Подпространства. Сумма, пересечение, прямая сумма

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Подпространства, их сумма и пересечение
Размерность подпространства и линейной оболочки
Подпространство решений однородной системы
Формула Грассмана
Критерии прямой суммы. Дополнение подпространства
Нахождение базисов суммы и пересечения подпространств

теорема

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Подпространство само является линейным пространством с теми же операциями; в частности, оно содержит нулевой вектор.
Пересечение и сумма подпространств — подпространства.
Линейная оболочка любой системы — подпространство; это наименьшее подпространство, содержащее эту систему.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы, не связанные с существованием элементов, выполнены в $L$ , потому что они выполнены в $V$ . Для $x\in L$ векторы $0 = 0\cdot x$ и $-x = (-1)x$ лежат в $L$ .
Если $x, y\in L_1\cap L_2$ , то $x + y$ и $\lambda x$ лежат и в $L_1$ , и в $L_2$ . Для суммы:

(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2),\qquad\lambda(x_1 + x_2) = \lambda x_1 + \lambda x_2.

Сумма двух линейных комбинаций и произведение комбинации на число — снова линейные комбинации тех же векторов. Любое подпространство, содержащее $a_1,\dots,a_k$ , содержит и все их линейные комбинации. $\blacksquare$

теорема

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Подпространство $L$ $n$ -мерного пространства $V$ конечномерно и $\dim L\le n$ ; равенство $\dim L = n$ выполнено только при $L = V$ .
$\dim\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ равна максимальному числу линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ , то есть рангу матрицы из их координатных столбцов. Любая максимальная линейно независимая подсистема — базис оболочки.

Доказательство

Развернуть

В $L$ нет более $n$ линейно независимых векторов (они независимы и в $V$ ). Возьмём в $L$ максимальную независимую систему: любой вектор $L$ через неё выражается (иначе её можно было бы расширить), и она — базис $L$ . Если в нём $n$ векторов, то это $n$ независимых векторов $V$ , то есть базис $V$ , и $L = V$ .
Пусть $a_{i_1},\dots,a_{i_r}$ — максимальная независимая подсистема. Каждый $a_j$ через неё выражается (иначе подсистему можно было бы расширить), поэтому и любая линейная комбинация $a_1,\dots,a_k$ выражается через неё. Значит, это базис оболочки, и $\dim = r$ . Равенство $r$ рангу — координатная форма линейной независимости. $\blacksquare$

теорема

Подпространство решений однородной системы

Формулировка

Множество решений однородной системы $AX = 0$ с $n$ неизвестными — подпространство $\mathbb R^n$ размерности $n - \operatorname{rank}A$ ; фундаментальная система решений — его базис.
Обратно, любое подпространство $L\subset\mathbb R^n$ является множеством решений некоторой однородной системы.

Доказательство

Развернуть

Сумма решений и произведение решения на число — решения, так что это подпространство. По теореме о фундаментальной системе решений любое решение — линейная комбинация $n - r$ линейно независимых решений ФСР, а значит, ФСР — базис.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ — базис $L$ , и $A_L$ — матрица со строками $a_i$ . Рассмотрим подпространство $M$ решений системы $A_LY = 0$ ; его размерность $n - k$ . Пусть $b_1,\dots,b_{n-k}$ — базис $M$ , а $B$ — матрица со строками $b_j$ . Каждый $a_i$ удовлетворяет системе $BX = 0$ , так как $(b_j, a_i) = \sum b_{jm}a_{im} = 0$ . Подпространство решений системы $BX = 0$ имеет размерность $n - \operatorname{rank}B = n - (n - k) = k$ и содержит $L$ ; значит, совпадает с $L$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Грассмана

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ конечномерного пространства

\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1\cap L_2).

Доказательство

Развернуть

Пусть $c_1,\dots,c_k$ — базис $L_1\cap L_2$ . Дополним его до базиса $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p$ пространства $L_1$ и до базиса $c_1,\dots,c_k,b_1,\dots,b_q$ пространства $L_2$ . Покажем, что $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q$ — базис $L_1 + L_2$ ; тогда $\dim(L_1 + L_2) = k + p + q = (k + p) + (k + q) - k$ .

Порождение. Любой $x_1 + x_2$ с $x_i\in L_i$ — комбинация векторов $c, a$ и $c, b$ .

Независимость. Пусть $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i + \sum\beta_ib_i = 0$ . Вектор $y = \sum\beta_ib_i = -\sum\gamma_ic_i - \sum\alpha_ia_i$ лежит и в $L_2$ , и в $L_1$ , то есть в пересечении: $y = \sum\delta_ic_i$ . Тогда $\sum\beta_ib_i - \sum\delta_ic_i = 0$ , и по независимости базиса $L_2$ все $\beta_i = 0$ . Остаётся $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i = 0$ — по независимости базиса $L_1$ все коэффициенты нулевые. $\blacksquare$

теорема

Критерии прямой суммы. Дополнение подпространства

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ $L_{1}, L_{2}$ конечномерного пространства равносильны условия:
- сумма $L_1 + L_2$ прямая;
- $L_1\cap L_2 = \{0\}$ ;
- $\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2$ ;
- объединение базисов $L_1$ и $L_2$ — базис $L_1 + L_2$ .
Для любого подпространства $L\subset V$ существует подпространство $M$ такое, что $V = L\oplus M$ .

Доказательство

Развернуть

1. Прямая $\Rightarrow$ пересечение нулевое. Если $0\ne z\in L_1\cap L_2$ , то $z = z + 0 = 0 + z$ — два разных разложения.

Пересечение нулевое $\Rightarrow$ прямая. Если $x_1 + x_2 = y_1 + y_2$ , то $x_1 - y_1 = y_2 - x_2\in L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Пересечение нулевое $\iff$ равенство размерностей — формула Грассмана.

Равенство размерностей $\iff$ объединение базисов — базис. Объединение базисов всегда порождает сумму и содержит $\dim L_1 + \dim L_2$ векторов; оно является базисом тогда и только тогда, когда это число равно $\dim(L_1 + L_2)$ .

2. Дополним базис $a_1,\dots,a_k$ подпространства $L$ до базиса $a_1,\dots,a_n$ пространства $V$ и положим $M = \operatorname{span}(a_{k+1},\dots,a_n)$ . Тогда $L + M = V$ , а объединение базисов $L$ и $M$ — базис, так что сумма прямая. $\blacksquare$

теорема

Нахождение базисов суммы и пересечения подпространств

Формулировка

Пусть $L_1 = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_p)$ , $L_2 = \operatorname{span}(b_1,\dots,b_q)$ в $\mathbb R^n$ . Тогда:

$L_1 + L_2 = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q)$ ; базис суммы — максимальная линейно независимая подсистема этих векторов;
вектор $x$ лежит в $L_1\cap L_2$ тогда и только тогда, когда

x = \sum_{i=1}^p\alpha_ia_i = \sum_{j=1}^q\beta_jb_j

для некоторого решения $(\alpha,\beta)$ однородной системы $\sum\alpha_ia_i - \sum\beta_jb_j = 0$ . Подставляя в $\sum\alpha_ia_i$ векторы ФСР этой системы, получаем систему, порождающую пересечение; если $a_i$ и $b_j$ — базисы $L_1$ и $L_2$ , это базис пересечения.

Доказательство

Развернуть

Любой $x_1 + x_2$ — комбинация всех $a_i$ и $b_j$ , и обратно. Базис оболочки — максимальная независимая подсистема.
Первое утверждение — определение пересечения. Отображение $(\alpha,\beta)\mapsto\sum\alpha_ia_i$ линейно и переводит пространство решений системы на $L_1\cap L_2$ , поэтому образы векторов ФСР порождают пересечение.

Если $a_i$ и $b_j$ — базисы, то из $\sum\alpha_ia_i = 0$ следует $\alpha = 0$ , а тогда и $\sum\beta_jb_j = 0$ , то есть $\beta = 0$ . Значит, отображение инъективно, и образы векторов ФСР линейно независимы. $\blacksquare$

Базисы суммы и пересечения подпространств

Условие

В $\mathbb R^4$ даны подпространства $L_1 = \operatorname{span}(a_1, a_2)$ и $L_2 = \operatorname{span}(b_1, b_2)$ , где

a_1 = (1,0,1,0),\quad a_2 = (0,1,1,1),\quad b_1 = (1,1,0,1),\quad b_2 = (1,1,2,1).

Найти размерности и базисы суммы и пересечения.

Решение

Развернуть

$a_1, a_2$ и $b_1, b_2$ не пропорциональны, поэтому $\dim L_1 = \dim L_2 = 2$ .

Пересечение. Решаем $\alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 = \beta_1b_1 + \beta_2b_2$ покоординатно:

\alpha_1 = \beta_1 + \beta_2,\quad\alpha_2 = \beta_1 + \beta_2,\quad\alpha_1 + \alpha_2 = 2\beta_2,\quad\alpha_2 = \beta_1 + \beta_2.

Из первых трёх: $2(\beta_1 + \beta_2) = 2\beta_2$ , то есть $\beta_1 = 0$ , $\alpha_1 = \alpha_2 = \beta_2$ . Пространство решений одномерно, и

L_1\cap L_2 = \operatorname{span}(a_1 + a_2) = \operatorname{span}\big((1,1,2,1)\big),\qquad b_2 = a_1 + a_2.

Сумма. По формуле Грассмана $\dim(L_1 + L_2) = 2 + 2 - 1 = 3$ . Вектор $b_1$ не лежит в $L_1$ (иначе $b_1 = \beta a_1 + \gamma a_2$ давало бы $\beta = \gamma = 1$ и третью координату $2\ne0$ ), поэтому базис суммы — $a_1, a_2, b_1$ .

Разложение матриц на симметрическую и кососимметрическую части

Условие

Доказать, что пространство квадратных матриц порядка $n$ — прямая сумма подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

Решение

Развернуть

Любая матрица раскладывается в сумму

A = \frac{A + A^\mathsf{T}}2 + \frac{A - A^\mathsf{T}}2,

где первое слагаемое симметрично, а второе кососимметрично. Если матрица одновременно симметрична и кососимметрична, то $A = A^\mathsf{T} = -A$ , то есть $A = 0$ . По критерию прямой суммы сумма прямая. Это согласуется с размерностями: $\frac{n(n+1)}2 + \frac{n(n-1)}2 = n^2$ .

Плоскость в ℝ³ как подпространство

Условие

Являются ли подпространствами $\mathbb R^3$ множества $\{x: x_1 + x_2 + x_3 = 0\}$ и $\{x: x_1 + x_2 + x_3 = 1\}$ ? Для подпространства найти базис и размерность.

Решение

Развернуть

Второе множество подпространством не является: оно не содержит нулевого вектора.

Первое — множество решений однородного уравнения ранга $1$ , то есть подпространство размерности $3 - 1 = 2$ . Положив свободные неизвестные $x_2, x_3$ равными $(1,0)$ и $(0,1)$ , получаем базис $(-1,1,0)$ , $(-1,0,1)$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейное подпространство

Непустое подмножество $L$ линейного пространства $V$ называется линейным подпространством, если оно замкнуто относительно линейных операций: из $x, y\in L$ следует $x + y\in L$ и $\lambda x\in L$ для всех $\lambda$ .

Линейная оболочка

Линейной оболочкой системы векторов $a_1,\dots,a_k$ называется множество всех их линейных комбинаций:

\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k) = \{\lambda_1a_1 + \dots + \lambda_ka_k\},

обозначается также $L(a_1,\dots,a_k)$ или $\langle a_1,\dots,a_k\rangle$ .

Сумма и пересечение подпространств

Суммой подпространств $L_1$ и $L_2$ называется множество

L_1 + L_2 = \{x_1 + x_2:\ x_1\in L_1,\ x_2\in L_2\},

а пересечением — множество $L_1\cap L_2$ векторов, лежащих в обоих подпространствах.

Прямая сумма подпространств

Сумма $L_1 + L_2$ называется прямой ( $L_1\oplus L_2$ ), если каждый её вектор единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_1\in L_1$ , $x_2\in L_2$ . Аналогично определяется прямая сумма $L_1\oplus\dots\oplus L_k$ нескольких подпространств.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство $V$ называется $n$ -мерным ( $\dim V = n$ ), если в нём существует базис из $n$ векторов. Пространство $\{0\}$ имеет размерность $0$ . Если в $V$ для любого $n$ есть $n$ линейно независимых векторов, $V$ называется бесконечномерным.

Корректность определения (независимость $n$ от выбора базиса) — содержание теоремы о числе векторов в базисе.

Простейшие следствия аксиом линейного пространства

Формулировка

В любом линейном пространстве:

нулевой вектор единствен; противоположный вектор для каждого $x$ единствен;
$0\cdot x = 0$ и $\lambda\cdot 0 = 0$ ;
$(-1)x = -x$ ;
если $\lambda x = 0$ , то $\lambda = 0$ или $x = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если $0$ и $0'$ — нули, то $0' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0$ . Если $y$ и $y'$ противоположны $x$ , то $y = y + (x + y') = (y + x) + y' = y'$ .
$0\cdot x = (0 + 0)x = 0\cdot x + 0\cdot x$ ; прибавив к обеим частям $-(0\cdot x)$ , получаем $0\cdot x = 0$ . Аналогично $\lambda\cdot0 = \lambda(0 + 0) = \lambda0 + \lambda0$ , откуда $\lambda\cdot 0 = 0$ .
$x + (-1)x = (1 + (-1))x = 0\cdot x = 0$ ; по единственности противоположного $(-1)x = -x$ .
Если $\lambda\ne0$ , то $x = 1\cdot x = (\lambda^{-1}\lambda)x = \lambda^{-1}(\lambda x) = \lambda^{-1}\cdot 0 = 0$ . $\blacksquare$

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ и $\operatorname{Im}\mathcal A$ инвариантны относительно $\mathcal A$ . Более общо, для любого многочлена $p$ подпространства $\operatorname{Ker}p(\mathcal A)$ и $\operatorname{Im}p(\mathcal A)$ инвариантны.
Сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.
Если $e_1,\dots,e_k$ — базис инвариантного подпространства $L$ , дополненный до базиса $V$ , то матрица $\mathcal A$ в этом базисе блочно-треугольная:

A = \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix},

где $A_{11}$ — матрица $\mathcal A|_L$ . Если $V = L_1\oplus L_2$ с инвариантными $L_1, L_2$ , то в объединённом базисе матрица блочно-диагональная.

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A$ перестановочен с $p(\mathcal A)$ . Если $p(\mathcal A)x = 0$ , то $p(\mathcal A)\mathcal Ax = \mathcal Ap(\mathcal A)x = 0$ . Если $y = p(\mathcal A)x$ , то $\mathcal Ay = p(\mathcal A)(\mathcal Ax)$ . При $p(t) = t$ получаем ядро и образ $\mathcal A$ .
Если $x\in L_1$ , $y\in L_2$ , то $\mathcal A(x + y) = \mathcal Ax + \mathcal Ay\in L_1 + L_2$ . Для пересечения рассуждение очевидно.
При $j\le k$ вектор $\mathcal Ae_j$ лежит в $L$ , то есть раскладывается только по $e_1,\dots,e_k$ . Поэтому в первых $k$ столбцах ниже $k$ -й строки стоят нули. Во втором случае то же верно для столбцов второго блока. $\blacksquare$

Ядро и образ — подпространства

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ — подпространство $V$ , $\operatorname{Im}\mathcal A$ — подпространство $W$ .
Если $e_1,\dots,e_n$ — базис $V$ , то $\operatorname{Im}\mathcal A = \operatorname{span}(\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n)$ .
$\mathcal A$ инъективно тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\mathcal Ax = \mathcal Ay = 0$ , то $\mathcal A(\alpha x + \beta y) = 0$ . Далее, $\alpha\mathcal Ax + \beta\mathcal Ay = \mathcal A(\alpha x + \beta y)\in\operatorname{Im}\mathcal A$ .
$\mathcal Ax = \sum x_j\mathcal Ae_j$ .
$\mathcal Ax = \mathcal Ay\iff\mathcal A(x - y) = 0\iff x - y\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ . $\blacksquare$

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Пусть в базисе $e$ векторы $x$ , $y$ имеют координатные столбцы $X$ , $Y$ . Тогда:

координатный столбец $x + y$ равен $X + Y$ , а $\lambda x$ — $\lambda X$ ;
векторы $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы, то есть ранг матрицы, составленной из этих столбцов, равен $k$ ;
максимальное число линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ равно рангу этой матрицы.

Доказательство

Развернуть

$x + y = \sum x_ie_i + \sum y_ie_i = \sum(x_i + y_i)e_i$ ; по единственности разложения это и есть координаты суммы. Для $\lambda x$ аналогично.
По п. 1 равенство $\sum\lambda_ja_j = 0$ равносильно $\sum\lambda_jA_j = 0$ для координатных столбцов $A_j$ (нулевой вектор имеет нулевые координаты). Значит, линейные соотношения между векторами и между их столбцами одни и те же. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых столбцов.
Следует из п. 2 и той же теоремы о ранге. $\blacksquare$

Свойства корневых подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\subset\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^2\subset\dots$ , и с некоторого номера $h$ эта цепочка стабилизируется; $K_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^h$ — подпространство.
$K_\lambda$ инвариантно относительно $\mathcal A$ .
Ограничение $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)|_{K_\lambda}$ нильпотентно.
Единственное собственное значение ограничения $\mathcal A|_{K_\lambda}$ равно $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Включения очевидны: если $\mathcal B^kx = 0$ , то $\mathcal B^{k+1}x = 0$ (здесь $\mathcal B = \mathcal A - \lambda\mathcal I$ ). Размерности не убывают и ограничены $n$ , поэтому стабилизируются. Если $\operatorname{Ker}\mathcal B^h = \operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1}$ , то и все следующие ядра совпадают: из $\mathcal B^{h+2}x = 0$ следует $\mathcal Bx\in\operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1} = \operatorname{Ker}\mathcal B^h$ , то есть $\mathcal B^{h+1}x = 0$ .
Это ядро многочлена $(t - \lambda)^h$ от $\mathcal A$ ; оно инвариантно.
$\mathcal B^h = \mathcal O$ на $K_\lambda$ .
Если $\mathcal Ax = \mu x$ , $0\ne x\in K_\lambda$ , то $0 = \mathcal B^hx = (\mu - \lambda)^hx$ , откуда $\mu = \lambda$ . $\blacksquare$

Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Формулировка

Если $\operatorname{rank}A = r < n$ , то однородная система $AX = 0$ имеет фундаментальную систему решений из $n - r$ решений. При $r = n$ система имеет только нулевое решение.

Доказательство

Развернуть

Случай $r = n$ следует из критерия существования ненулевых решений. Пусть $r < n$ . При $r = 0$ ( $A = O$ ) ФСР — столбцы единичной матрицы. Пусть $r > 0$ . Перенумеровав уравнения и неизвестные, будем считать, что базисный минор $M$ стоит в левом верхнем углу.

Строки с номерами $> r$ — комбинации первых $r$ строк, поэтому соответствующие уравнения следуют из первых $r$ . Система равносильна системе

\sum_{j=1}^r a_{ij}x_j = -\sum_{j=r+1}^n a_{ij}x_j,\qquad i = 1,\dots,r.

При любых значениях свободных неизвестных $x_{r+1}, \dots, x_n$ эта система относительно базисных неизвестных имеет матрицу $M$ с $\det M \ne 0$ . Базисные неизвестные определяются однозначно.

Пусть $X_k$ ( $k = 1, \dots, n-r$ ) — решение, у которого $x_{r+k} = 1$ , а остальные свободные неизвестные равны нулю.

Независимость. Если $\sum c_kX_k = 0$ , то, глядя на координаты свободных неизвестных, получаем $c_k = 0$ .

Полнота. Пусть $X$ — решение со свободными координатами $c_1, \dots, c_{n-r}$ . Разность решений — тоже решение, поэтому $Y = X - \sum c_kX_k$ — решение, у которого все свободные неизвестные равны нулю. По единственности (Крамер) его базисные координаты тоже нули, то есть $Y = 0$ . Значит, $X = \sum c_kX_k$ . $\blacksquare$

Неравенства для ранга произведения и суммы операторов

Формулировка

Для линейных операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в $n$ -мерном пространстве:

$\operatorname{rank}(\mathcal A\mathcal B)\le\min(\operatorname{rank}\mathcal A, \operatorname{rank}\mathcal B)$ ;
$\operatorname{rank}(\mathcal A + \mathcal B)\le\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{rank}\mathcal B$ ;
(неравенство Сильвестра) $\operatorname{rank}(\mathcal A\mathcal B)\ge\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{rank}\mathcal B - n$ .

Те же неравенства верны для рангов матриц.

Доказательство

Развернуть

Положим $U = \operatorname{Im}\mathcal B$ . Тогда $\operatorname{Im}(\mathcal A\mathcal B) = \mathcal A(U)$ — образ ограничения $\mathcal A|_U$ .

$\mathcal A(U)\subset\operatorname{Im}\mathcal A$ ; кроме того, $\dim\mathcal A(U)\le\dim U$ по теореме о ранге и дефекте для $\mathcal A|_U$ .
$\operatorname{Im}(\mathcal A + \mathcal B)\subset\operatorname{Im}\mathcal A + \operatorname{Im}\mathcal B$ , а по формуле Грассмана размерность суммы не больше суммы размерностей.
Ядро $\mathcal A|_U$ равно $\operatorname{Ker}\mathcal A\cap U$ . По теореме о ранге и дефекте

\operatorname{rank}(\mathcal A\mathcal B) = \dim U - \dim(\operatorname{Ker}\mathcal A\cap U)\ge\operatorname{rank}\mathcal B - \operatorname{def}\mathcal A = \operatorname{rank}\mathcal B - (n - \operatorname{rank}\mathcal A).

$\blacksquare$

Закон инерции квадратичных форм

Формулировка

Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от способа приведения к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Число ненулевых коэффициентов равно рангу формы и от базиса не зависит. Пусть в базисе $f$ форма имеет $p$ положительных коэффициентов (при $f_1,\dots,f_p$ ), а в базисе $g$ — $s$ положительных (при $g_1,\dots,g_s$ ), и $p > s$ .

Положим $L_1 = \operatorname{span}(f_1,\dots,f_p)$ , $L_2 = \operatorname{span}(g_{s+1},\dots,g_n)$ . На ненулевых векторах $L_1$ форма положительна, а на $L_2$ неположительна. Но $\dim L_1 + \dim L_2 = p + n - s > n$ , поэтому по формуле Грассмана $L_1\cap L_2\ne\{0\}$ , и на ненулевом векторе пересечения $q > 0$ и $q\le0$ одновременно — противоречие. Значит, $p = s$ , а тогда совпадают и числа отрицательных коэффициентов. $\blacksquare$

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма собственных подпространств $V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_s}$ при попарно различных $\lambda_i$ прямая.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу $s$ векторов; при $s = 1$ собственный вектор ненулевой. Пусть $\mathcal Ax_i = \lambda_ix_i$ и $\sum_{i=1}^sc_ix_i = 0$ . Применим $\mathcal A$ и вычтем исходное равенство, умноженное на $\lambda_s$ :

\sum_{i=1}^{s-1}c_i(\lambda_i - \lambda_s)x_i = 0.

По предположению индукции $c_i(\lambda_i - \lambda_s) = 0$ , и так как $\lambda_i\ne\lambda_s$ , все $c_i = 0$ при $i < s$ . Тогда $c_sx_s = 0$ , то есть $c_s = 0$ .

Для суммы подпространств: если $\sum y_i = 0$ , $y_i\in V_{\lambda_i}$ , то ненулевые $y_i$ были бы линейно зависимыми собственными векторами для различных собственных значений. Значит, все $y_i = 0$ , и разложение нуля единственно; это равносильно единственности любого разложения. $\blacksquare$

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для подпространства $L$ $n$ -мерного евклидова пространства $V$ :

$L^\perp$ — подпространство и $\dim L^\perp = n - \dim L$ ;
$V = L\oplus L^\perp$ ;
$(L^\perp)^\perp = L$ ;
если $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , то $x\in L^\perp\iff(x,a_i) = 0$ при $i = 1,\dots,k$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ ; дополним его до ортонормированного базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Так как $x_i = (x,e_i)$ , вектор $x$ ортогонален $L$ тогда и только тогда, когда $x_1 = \dots = x_k = 0$ , то есть

L^\perp = \operatorname{span}(e_{k+1},\dots,e_n).

Отсюда следуют п. 1 и 2. Аналогично $(L^\perp)^\perp = \operatorname{span}(e_1,\dots,e_k) = L$ .

Если $x$ ортогонален всем $a_i$ , то он ортогонален и их линейным комбинациям. $\blacksquare$

Подпространства. Сумма, пересечение, прямая сумма

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Доказательство

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Доказательство

Подпространство решений однородной системы

Формулировка

Доказательство

Формула Грассмана

Формулировка

Доказательство

Критерии прямой суммы. Дополнение подпространства

Формулировка

Доказательство

Нахождение базисов суммы и пересечения подпространств

Формулировка

Доказательство

Базисы суммы и пересечения подпространств

Условие

Решение

Разложение матриц на симметрическую и кососимметрическую части

Условие

Решение

Плоскость в ℝ³ как подпространство

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейное подпространство

Линейная оболочка

Сумма и пересечение подпространств

Прямая сумма подпространств

Размерность линейного пространства

Простейшие следствия аксиом линейного пространства

Формулировка

Доказательство

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

Доказательство

Ядро и образ — подпространства

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Доказательство

Свойства корневых подпространств

Формулировка

Доказательство

Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Формулировка

Доказательство

Неравенства для ранга произведения и суммы операторов

Формулировка

Доказательство

Закон инерции квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство