Сопряжённые и самосопряжённые операторы

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Существование и свойства сопряжённого оператора
Ядро и образ сопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения
Критерий самосопряжённости
Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора
Ортогональность собственных векторов самосопряжённого оператора
Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

теорема

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве сопряжённый существует и единствен.
В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ ; в произвольном базисе с матрицей Грама $\Gamma$ она равна $\Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ .
$(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ , $(\mathcal A + \mathcal B)^* = \mathcal A^* + \mathcal B^*$ , $(\lambda\mathcal A)^* = \lambda\mathcal A^*$ , $(\mathcal A\mathcal B)^* = \mathcal B^*\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Единственность. Если $(x, \mathcal By) = (x, \mathcal Cy)$ для всех $x$ , то при $x = \mathcal By - \mathcal Cy$ получаем $|\mathcal By - \mathcal Cy|^2 = 0$ .

Существование и матрица. В базисе с матрицей Грама $\Gamma$ равенство $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y)$ записывается как

(AX)^\mathsf{T}\Gamma Y = X^\mathsf{T}\Gamma A^*Y\quad\text{для всех } X, Y,

то есть $A^\mathsf{T}\Gamma = \Gamma A^*$ . Так как $\Gamma$ невырождена, $A^* = \Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ подходит, и оператор с этой матрицей — сопряжённый. В ОНБ $\Gamma = E$ .

Проверяется подстановкой, например $(\mathcal A\mathcal Bx, y) = (\mathcal Bx, \mathcal A^*y) = (x, \mathcal B^*\mathcal A^*y)$ . $\blacksquare$

теорема

Ядро и образ сопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A^* = (\operatorname{Im}\mathcal A)^\perp$ и $\operatorname{Im}\mathcal A^* = (\operatorname{Ker}\mathcal A)^\perp$ ; в частности, $\operatorname{rank}\mathcal A^* = \operatorname{rank}\mathcal A$ .
Если подпространство $L$ инвариантно относительно $\mathcal A$ , то $L^\perp$ инвариантно относительно $\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$y\in\operatorname{Ker}\mathcal A^*\iff(x, \mathcal A^*y) = 0\ \forall x\iff(\mathcal Ax, y) = 0\ \forall x\iff y\perp\operatorname{Im}\mathcal A$ . Применяя это к $\mathcal A^*$ (с учётом $(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ ), получаем $\operatorname{Ker}\mathcal A = (\operatorname{Im}\mathcal A^*)^\perp$ , и, переходя к ортогональным дополнениям, $\operatorname{Im}\mathcal A^* = (\operatorname{Ker}\mathcal A)^\perp$ .
Пусть $y\in L^\perp$ . Для любого $x\in L$ вектор $\mathcal Ax\in L$ , поэтому $(x, \mathcal A^*y) = (\mathcal Ax, y) = 0$ , то есть $\mathcal A^*y\in L^\perp$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий самосопряжённости

Формулировка

Оператор самосопряжён тогда и только тогда, когда его матрица в некотором (а тогда и в любом) ортонормированном базисе симметрична. В частности, оператор в $\mathbb R^n$ , заданный симметричной матрицей, самосопряжён относительно стандартного скалярного произведения.

Доказательство

Развернуть

В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ . Равенство $\mathcal A^* = \mathcal A$ равносильно равенству матриц $A^\mathsf{T} = A$ . $\blacksquare$

теорема

Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора

Формулировка

Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора (симметричной вещественной матрицы) вещественны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ — симметричная матрица оператора в ортонормированном базисе, $\lambda\in\mathbb C$ — корень $\chi$ , и $Z\ne0$ — комплексный столбец с $AZ = \lambda Z$ . Рассмотрим число $s = \bar Z^\mathsf{T}AZ$ . Так как $A$ вещественна и симметрична,

\bar s = Z^\mathsf{T}A\bar Z = (Z^\mathsf{T}A\bar Z)^\mathsf{T} = \bar Z^\mathsf{T}A^\mathsf{T}Z = \bar Z^\mathsf{T}AZ = s,

то есть $s$ вещественно. С другой стороны, $s = \lambda\bar Z^\mathsf{T}Z = \lambda\sum|z_i|^2$ , и $\sum|z_i|^2 > 0$ . Значит, $\lambda = s/\sum|z_i|^2\in\mathbb R$ . $\blacksquare$

теорема

Ортогональность собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Собственные векторы самосопряжённого оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Ортогональное дополнение инвариантного подпространства самосопряжённого оператора инвариантно, а ограничение оператора на инвариантное подпространство самосопряжено.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathcal Ax = \lambda x$ , $\mathcal Ay = \mu y$ , $\lambda\ne\mu$ . Тогда

\lambda(x,y) = (\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal Ay) = \mu(x,y),

откуда $(\lambda - \mu)(x,y) = 0$ и $(x,y) = 0$ .

Первое утверждение — инвариантность $L^\perp$ относительно $\mathcal A^* = \mathcal A$ . Равенство $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal Ay)$ верно и для $x, y\in L$ . $\blacksquare$

теорема

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Для любого самосопряжённого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из его собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна, а пространство раскладывается в прямую сумму попарно ортогональных собственных подпространств.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ ; при $n = 1$ любой ненулевой вектор собственный. Пусть $n > 1$ . Характеристический многочлен имеет корень, и он вещественный, поэтому существует собственный вектор; нормируем его и обозначим $e_1$ .

Подпространство $L = \operatorname{span}(e_1)$ инвариантно, значит, $L^\perp$ размерности $n - 1$ тоже инвариантно, и ограничение $\mathcal A|_{L^\perp}$ самосопряжено. По предположению индукции в $L^\perp$ есть ортонормированный базис $e_2,\dots,e_n$ из собственных векторов. Векторы $e_1,\dots,e_n$ — искомый базис.

Собственные подпространства для разных собственных значений ортогональны, а их сумма — всё $V$ , так как содержит построенный базис. $\blacksquare$

Сопряжённый к оператору дифференцирования

Условие

В пространстве тригонометрических многочленов $V = \operatorname{span}(\cos t, \sin t, \cos2t, \sin2t)$ со скалярным произведением $(f,g) = \int_{-\pi}^\pi f(t)g(t)\,dt$ найти оператор, сопряжённый к дифференцированию $\mathcal D$ .

Решение

Развернуть

Интегрируя по частям и учитывая $2\pi$ -периодичность ( $fg$ принимает одинаковые значения в $\pm\pi$ ), получаем

(\mathcal Df, g) = \int_{-\pi}^\pi f'g\,dt = \Big[fg\Big]_{-\pi}^\pi - \int_{-\pi}^\pi fg'\,dt = -(f, \mathcal Dg).

Значит, $\mathcal D^* = -\mathcal D$ : оператор кососимметричен. В ортонормированном базисе $\frac{\cos t}{\sqrt\pi},\frac{\sin t}{\sqrt\pi},\dots$ его матрица действительно кососимметрическая: $\mathcal D\cos t = -\sin t$ , $\mathcal D\sin t = \cos t$ и т.д.

Ортогональный проектор самосопряжён

Условие

Доказать, что оператор ортогонального проектирования $\mathcal P$ на подпространство $L$ линеен, самосопряжён и удовлетворяет $\mathcal P^2 = \mathcal P$ .

Решение

Развернуть

Если $x = y + z$ , $x' = y' + z'$ — разложения по $L\oplus L^\perp$ , то $\alpha x + \beta x' = (\alpha y + \beta y') + (\alpha z + \beta z')$ — тоже такое разложение, поэтому $\mathcal P$ линеен. Далее,

(\mathcal Px, x') = (y, y' + z') = (y,y') = (y + z, y') = (x, \mathcal Px').

Наконец, $\mathcal Py = y$ для $y\in L$ , поэтому $\mathcal P^2 = \mathcal P$ . Собственные значения проектора — $1$ (на $L$ ) и $0$ (на $L^\perp$ ).

Ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы

Условие

Найти ортонормированный базис из собственных векторов оператора с матрицей $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ в стандартном базисе $\mathbb R^2$ .

Решение

Развернуть

$\chi(\lambda) = (2 - \lambda)^2 - 1$ , корни $\lambda_1 = 3$ , $\lambda_2 = 1$ . Собственные векторы $(1,1)$ и $(1,-1)$ ортогональны, как и должно быть. Нормируя, получаем

e_1 = \frac{(1,1)}{\sqrt2},\qquad e_2 = \frac{(1,-1)}{\sqrt2},

и в этом базисе матрица равна $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Сопряжённый оператор

Оператор $\mathcal A^*$ в евклидовом пространстве называется сопряжённым к оператору $\mathcal A$ , если для всех $x, y$

(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y).

Самосопряжённый оператор

Оператор $\mathcal A$ называется самосопряжённым (симметрическим), если $\mathcal A^* = \mathcal A$ , то есть $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal Ay)$ для всех $x, y$ .

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Система векторов называется ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, и ортонормированной, если, кроме того, все они имеют единичную длину: $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Базис, являющийся ортонормированной системой, называется ортонормированным базисом (ОНБ).

Матрица Грама

Матрицей Грама системы векторов $a_1,\dots,a_k$ называется матрица $\Gamma = \big((a_i,a_j)\big)_{i,j=1}^k$ , а её определитель $G(a_1,\dots,a_k)$ — определителем Грама.

Ортогональное дополнение подпространства

Ортогональным дополнением подпространства $L$ евклидова пространства $V$ называется множество

L^\perp = \{x\in V:\ (x,y) = 0\ \text{для всех}\ y\in L\}.

Инвариантное подпространство

Подпространство $L\subset V$ называется инвариантным относительно оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax\in L$ для всех $x\in L$ . Тогда определено ограничение $\mathcal A|_L\colon L\to L$ .

Характеристический многочлен

Характеристическим многочленом квадратной матрицы $A$ порядка $n$ называется

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E).

Характеристический многочлен оператора — характеристический многочлен его матрицы в любом базисе. Алгебраическая кратность собственного значения — его кратность как корня $\chi$ . Множество корней $\chi$ — спектр оператора.

Собственные значения и собственные векторы

Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax = \lambda x$ для некоторого числа $\lambda$ , которое называется собственным значением, отвечающим $x$ .

Множество $V_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)$ — собственное подпространство: собственные векторы для $\lambda$ вместе с нулём. Его размерность — геометрическая кратность собственного значения.

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

В ортонормированном базисе $x_i = (x,e_i)$ , $(x,y) = \sum x_iy_i = X^\mathsf{T}Y$ , $|x|^2 = \sum x_i^2$ .
В произвольном базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ верно $(x,y) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ ; матрица $\Gamma$ симметрична. Если $e' = eT$ , то $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .

Доказательство

Развернуть

По билинейности $(x,y) = \big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_j(e_i,e_j) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ . Симметричность следует из симметричности скалярного произведения. Подставив $X = TX'$ , $Y = TY'$ , получаем $X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}\Gamma T)Y'$ ; по единственности матрицы билинейной функции $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .
В ОНБ $\Gamma = E$ . Умножая $x = \sum x_ie_i$ скалярно на $e_j$ , получаем $(x,e_j) = x_j$ . $\blacksquare$

Линейный оператор в координатах

Формулировка

Пусть $A$ — матрица отображения $\mathcal A$ в базисах $e, f$ . Тогда:

если $X$ — координатный столбец $x$ , то координатный столбец $\mathcal Ax$ равен $Y = AX$ ;
$\operatorname{rank}\mathcal A = \operatorname{rank}A$ ;
ядро $\mathcal A$ — это векторы, координаты которых удовлетворяют однородной системе $AX = 0$ .
Сопоставление отображению его матрицы — изоморфизм пространства линейных отображений $V\to W$ на $M_{m\times n}$ ; в частности, размерность этого пространства равна $mn$ .

Доказательство

Развернуть

$\mathcal Ax = \sum_jx_j\mathcal Ae_j = \sum_jx_j\sum_ia_{ij}f_i = \sum_i\Big(\sum_ja_{ij}x_j\Big)f_i$ .
$\operatorname{Im}\mathcal A$ порождается векторами $\mathcal Ae_j$ , координаты которых — столбцы $A$ . Размерность оболочки равна рангу матрицы из координатных столбцов.
Следует из п. 1.
Отображение «оператор $\mapsto$ матрица» линейно, а по теореме о задании оператора образами базиса оно биективно. $\blacksquare$

Свойства операции транспонирования

Формулировка

$(A^\mathsf{T})^\mathsf{T} = A$ ;
$(A + B)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T} + B^\mathsf{T}$ ;
$(\lambda A)^\mathsf{T} = \lambda A^\mathsf{T}$ ;
$(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T} A^\mathsf{T}$ .

Доказательство

Развернуть

Свойства 1–3 проверяются поэлементно. Для свойства 4 пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ . Тогда

\big((AB)^\mathsf{T}\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki} = \sum_{k=1}^n (B^\mathsf{T})_{ik} (A^\mathsf{T})_{kj} = (B^\mathsf{T}A^\mathsf{T})_{ij}.

$\blacksquare$

Свойства определителя Грама

Формулировка

$G(a_1,\dots,a_k)\ge0$ , причём $G = 0$ тогда и только тогда, когда $a_1,\dots,a_k$ линейно зависимы.
Матрица Грама любого базиса невырождена, и её определитель положителен.
Для двух векторов в $V_3$ величина $\sqrt{G(a,b)}$ равна площади параллелограмма, построенного на $a$ и $b$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\sum_jc_ja_j = 0$ нетривиально, то $\sum_jc_j(a_i,a_j) = 0$ при всех $i$ : столбцы $\Gamma$ линейно зависимы, и $G = 0$ .

Пусть векторы независимы, $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , и $P$ — матрица, столбцы которой — координаты $a_j$ в ортонормированном базисе $L$ . Тогда $(a_i,a_j) =$ сумма произведений координат, то есть $\Gamma = P^\mathsf{T}P$ , и $G = (\det P)^2 > 0$ , так как столбцы $P$ независимы.

Частный случай п. 1.
$G(a,b) = |a|^2|b|^2 - (a,b)^2 = |a|^2|b|^2\sin^2\varphi$ . $\blacksquare$

Критерии ортогональности оператора

Формулировка

Для оператора $\mathcal Q$ в конечномерном евклидовом пространстве равносильны условия:

$\mathcal Q$ сохраняет скалярное произведение;
$\mathcal Q$ сохраняет длины: $|\mathcal Qx| = |x|$ ;
$\mathcal Q$ переводит некоторый (а тогда и любой) ортонормированный базис в ортонормированный;
матрица $\mathcal Q$ в ортонормированном базисе ортогональна;
$\mathcal Q^*\mathcal Q = \mathcal I$ , то есть $\mathcal Q$ обратим и $\mathcal Q^{-1} = \mathcal Q^*$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ : положить $y = x$ . $2\Rightarrow1$ : $(x,y) = \frac12\big(|x + y|^2 - |x|^2 - |y|^2\big)$ , а правая часть сохраняется.

$1\Rightarrow3$ : $(\mathcal Qe_i, \mathcal Qe_j) = (e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . $3\Rightarrow1$ : если $e$ и $\mathcal Qe$ — ортонормированные базисы, то $\mathcal Qx = \sum x_i\mathcal Qe_i$ и $(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = \sum x_iy_i = (x,y)$ .

$1\iff4$ : в ортонормированном базисе $(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = X^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QY$ . Это равно $X^\mathsf{T}Y$ при всех $X, Y$ тогда и только тогда, когда $Q^\mathsf{T}Q = E$ .

$4\iff5$ : матрица $\mathcal Q^*$ в ортонормированном базисе равна $Q^\mathsf{T}$ . $\blacksquare$

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для подпространства $L$ $n$ -мерного евклидова пространства $V$ :

$L^\perp$ — подпространство и $\dim L^\perp = n - \dim L$ ;
$V = L\oplus L^\perp$ ;
$(L^\perp)^\perp = L$ ;
если $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , то $x\in L^\perp\iff(x,a_i) = 0$ при $i = 1,\dots,k$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ ; дополним его до ортонормированного базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Так как $x_i = (x,e_i)$ , вектор $x$ ортогонален $L$ тогда и только тогда, когда $x_1 = \dots = x_k = 0$ , то есть

L^\perp = \operatorname{span}(e_{k+1},\dots,e_n).

Отсюда следуют п. 1 и 2. Аналогично $(L^\perp)^\perp = \operatorname{span}(e_1,\dots,e_k) = L$ .

Если $x$ ортогонален всем $a_i$ , то он ортогонален и их линейным комбинациям. $\blacksquare$

Канонический вид ортогонального оператора

Формулировка

Для любого ортогонального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица блочно-диагональна с блоками вида $(1)$ , $(-1)$ и $R_\varphi$ , $0 < \varphi < \pi$ .

Доказательство

Развернуть

Инвариантность дополнения. Если $L$ инвариантно относительно $\mathcal Q$ , то $\mathcal Q(L) = L$ ( $\mathcal Q$ обратим, размерности равны), поэтому $L$ инвариантно и относительно $\mathcal Q^{-1} = \mathcal Q^*$ . Тогда $L^\perp$ инвариантно относительно $(\mathcal Q^*)^* = \mathcal Q$ .

Индукция по размерности. Существует инвариантное подпространство $L$ размерности $1$ или $2$ . Ограничение $\mathcal Q$ на $L$ и на $L^\perp$ — ортогональные операторы, и к $L^\perp$ применимо предположение индукции.

$\dim L = 1$ : $\mathcal Qx = \lambda x$ , $|\lambda| = 1$ , то есть блок $(\pm1)$ .
$\dim L = 2$ : в ортонормированном базисе $L$ матрица ограничения — $R_\varphi$ или $S_\varphi$ . В случае $S_\varphi$ плоскость раскладывается в два ортогональных собственных направления — два блока $(1)$ и $(-1)$ . Если $R_\varphi$ при $\varphi\in(\pi, 2\pi)$ , заменим второй базисный вектор на противоположный: получится $R_{2\pi - \varphi}$ . Случаи $\varphi = 0, \pi$ дают блоки $(1),(1)$ и $(-1),(-1)$ . $\blacksquare$

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для каждой симметричной билинейной формы $b$ существует единственный самосопряжённый оператор $\mathcal A$ с

b(x,y) = (\mathcal Ax, y)\quad\text{для всех } x, y.

В любом ортонормированном базисе матрицы $b$ и $\mathcal A$ совпадают.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — матрица формы в ортонормированном базисе. Оператор с матрицей $B$ самосопряжён (матрица симметрична), и $(\mathcal Ax, y) = (BX)^\mathsf{T}Y = X^\mathsf{T}BY = b(x,y)$ . Если операторы $\mathcal A_1, \mathcal A_2$ подходят, то $(\mathcal A_1x - \mathcal A_2x, y) = 0$ для всех $y$ , откуда $\mathcal A_1 = \mathcal A_2$ . $\blacksquare$

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Для любой вещественной симметричной матрицы $A$ существует ортогональная матрица $Q$ такая, что

Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),

где $\lambda_i$ — собственные значения $A$ с учётом кратности. Столбцы $Q$ — ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство

Развернуть

Оператор с матрицей $A$ в стандартном ортонормированном базисе $\mathbb R^n$ самосопряжён, поэтому существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Матрица перехода $Q$ к этому базису ортогональна, $Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ , а матрица оператора в новом базисе диагональна.

Алгоритм: найти корни $\chi$ ; в каждом собственном подпространстве найти базис и ортонормировать его процессом Грама–Шмидта (векторы из разных подпространств уже ортогональны); записать полученные векторы столбцами $Q$ . $\blacksquare$

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

Свойства сопряжения и модуля

Формулировка

$\overline{z_1\pm z_2} = \bar z_1\pm\bar z_2$ , $\overline{z_1z_2} = \bar z_1\bar z_2$ ;
$z\bar z = |z|^2$ ; $z\in\mathbb R \iff z = \bar z$ ;
$|z_1z_2| = |z_1|\,|z_2|$ ;
$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2 проверяются непосредственно (равенство $z\bar z = |z|^2$ уже проверено при выводе формулы деления).

$|z_1z_2|^2 = z_1z_2\overline{z_1z_2} = z_1\bar z_1\,z_2\bar z_2 = |z_1|^2|z_2|^2$ .
Сумма комплексных чисел соответствует сумме радиус-векторов, а для векторов это неравенство треугольника. $\blacksquare$

Нормы матричных операторов

Формулировка

Для оператора $A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ , заданного матрицей $(a_{ij})$ :

\|A\|_{\infty} = \max_i\sum_j|a_{ij}|,\qquad\|A\|_{1} = \max_j\sum_i|a_{ij}|,\qquad\|A\|_{2} = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)},

где индекс указывает норму $\rho_\infty$ , $\rho_1$ , $\rho_2$ в обоих пространствах.

Доказательство

Развернуть

$\infty$ : $\left|\sum_ja_{ij}x_j\right|\le\sum_j|a_{ij}|\max|x_j|$ ; равенство достигается при $x_j = \operatorname{sign}a_{i_0j}$ , где $i_0$ — строка с наибольшей суммой.

$1$ : $\sum_i\left|\sum_ja_{ij}x_j\right|\le\sum_j|x_j|\sum_i|a_{ij}|$ ; равенство при $x = e_{j_0}$ .

$2$ : $\|Ax\|^2 = (A^TAx, x)$ . Матрица $A^TA$ симметрична и неотрицательна, в ортонормированном базисе её собственных векторов $(A^TAx, x) = \sum\lambda_kx_k^2\le\lambda_{\max}\|x\|^2$ , с равенством на собственном векторе. $\blacksquare$

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором

q(x) = \lambda_1x_1^2 + \dots + \lambda_nx_n^2,

где $\lambda_i$ — собственные значения матрицы формы в (любом) ортонормированном базисе. В координатах: существует ортогональная матрица $Q$ с $Q^\mathsf{T}BQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , и замена $X = QY$ приводит форму к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathcal A$ — самосопряжённый оператор с $b(x,y) = (\mathcal Ax, y)$ . Возьмём ортонормированный базис из его собственных векторов: $\mathcal Ae_i = \lambda_ie_i$ . Тогда $b(e_i,e_j) = (\lambda_ie_i, e_j) = \lambda_i\delta_{ij}$ , то есть базис канонический. Матрица оператора в ортонормированном базисе совпадает с матрицей формы, поэтому $\lambda_i$ — собственные значения этой матрицы. Координатная форма — теорема об ортогональной диагонализации симметричной матрицы: для ортогональной $Q$ имеем $Q^\mathsf{T} = Q^{-1}$ . $\blacksquare$

Ортогональная проекция и расстояние до подпространства

Формулировка

Ортогональная проекция вектора на подпространство существует и единственна.
Если $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ , то $\operatorname{pr}_Lx = \sum_{i=1}^k(x,e_i)e_i$ .
Если $a_1,\dots,a_k$ — произвольный базис $L$ , то $\operatorname{pr}_Lx = \sum c_ja_j$ , где коэффициенты — единственное решение системы

\sum_{j=1}^k(a_i,a_j)c_j = (x,a_i),\qquad i = 1,\dots,k.

Проекция — ближайший к $x$ вектор подпространства: $|x - u| > |x - \operatorname{pr}_Lx|$ при $u\in L$ , $u\ne\operatorname{pr}_Lx$ . Поэтому $\rho(x,L) = |x - \operatorname{pr}_Lx|$ .

Доказательство

Развернуть

Следует из $V = L\oplus L^\perp$ .
Вектор $z = x - \sum(x,e_i)e_i$ удовлетворяет $(z,e_j) = (x,e_j) - (x,e_j) = 0$ , то есть $z\in L^\perp$ .
Условие $x - \sum c_ja_j\perp a_i$ при всех $i$ — это указанная система. Её матрица — матрица Грама базиса, она невырождена, поэтому решение единственно.
Пусть $y = \operatorname{pr}_Lx$ , $z = x - y$ . Для $u\in L$ вектор $y - u$ лежит в $L$ и ортогонален $z$ , поэтому по теореме Пифагора

|x - u|^2 = |z|^2 + |y - u|^2 > |z|^2\quad\text{при}\ u\ne y.

$\blacksquare$

Сопряжённые и самосопряжённые операторы

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Ядро и образ сопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Критерий самосопряжённости

Формулировка

Доказательство

Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Ортогональность собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Сопряжённый к оператору дифференцирования

Условие

Решение

Ортогональный проектор самосопряжён

Условие

Решение

Ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Сопряжённый оператор

Самосопряжённый оператор

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Матрица Грама

Ортогональное дополнение подпространства

Инвариантное подпространство

Характеристический многочлен

Собственные значения и собственные векторы

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

Доказательство

Линейный оператор в координатах

Формулировка

Доказательство

Свойства операции транспонирования

Формулировка

Доказательство

Свойства определителя Грама

Формулировка

Доказательство

Критерии ортогональности оператора

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Канонический вид ортогонального оператора

Формулировка

Доказательство

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Доказательство

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Свойства сопряжения и модуля

Формулировка

Доказательство

Нормы матричных операторов

Формулировка

Доказательство

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

Доказательство

Ортогональная проекция и расстояние до подпространства

Формулировка

Доказательство