Кривые и поверхности второго порядка

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Центр гиперповерхности второго порядка
Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду
Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы
Классификация кривых второго порядка по инвариантам
Классификация поверхностей второго порядка

теорема

Центр гиперповерхности второго порядка

Формулировка

При переносе начала координат в точку $X_0$ уравнение принимает вид

Y^\mathsf{T}AY + 2(AX_0 + b)^\mathsf{T}Y + \big(X_0^\mathsf{T}AX_0 + 2b^\mathsf{T}X_0 + c\big) = 0.

Точка $X_0$ с $AX_0 = -b$ называется центром: после переноса в неё линейные члены исчезают, а свободный член становится равным $b^\mathsf{T}X_0 + c$ . Если $\det A\ne0$ , центр единствен (центральная гиперповерхность).

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = X_0 + Y$ и раскроем скобки с учётом симметричности $A$ : $X_0^\mathsf{T}AY = Y^\mathsf{T}AX_0 = (AX_0)^\mathsf{T}Y$ . При $AX_0 = -b$ свободный член равен $X_0^\mathsf{T}AX_0 + 2b^\mathsf{T}X_0 + c = -b^\mathsf{T}X_0 + 2b^\mathsf{T}X_0 + c$ . При $\det A\ne0$ система $AX_0 = -b$ имеет единственное решение. $\blacksquare$

теорема

Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

Формулировка

Поворотом прямоугольной системы координат ( $X = QY$ , $Q$ ортогональна, $\det Q = 1$ ) и переносом начала уравнение приводится к одному из видов

\lambda_1z_1^2 + \dots + \lambda_rz_r^2 + c' = 0\qquad\text{или}\qquad\lambda_1z_1^2 + \dots + \lambda_rz_r^2 + 2\beta z_{r+1} = 0,

где $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ — ненулевые собственные значения $A$ , $r = \operatorname{rank}A$ , $\beta > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Поворот. Возьмём ортогональную $Q$ , приводящую $A$ к виду $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)$ . Если $\det Q = -1$ , сменим знак у одного столбца: диагональный вид сохранится. После замены $X = QY$ уравнение принимает вид

\sum_{i\le r}\lambda_iy_i^2 + 2\sum_{i=1}^nb_i'y_i + c = 0,\qquad b' = Q^\mathsf{T}b.

Перенос по первым $r$ координатам. $\lambda_iy_i^2 + 2b_i'y_i = \lambda_i\big(y_i + \frac{b_i'}{\lambda_i}\big)^2 - \frac{b_i'^2}{\lambda_i}$ ; положим $z_i = y_i + b_i'/\lambda_i$ .

Остальные координаты. Если $b_{r+1}' = \dots = b_n' = 0$ , получаем первый вид. Иначе сделаем поворот в координатах $y_{r+1},\dots,y_n$ , при котором первый новый базисный вектор направлен вдоль $(b_{r+1}',\dots,b_n')$ . Тогда линейная часть по этим координатам станет $2\beta z_{r+1}'$ с $\beta = |(b_{r+1}',\dots,b_n')|$ . Сдвиг по $z_{r+1}$ уничтожает свободный член. $\blacksquare$

теорема

Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы

Формулировка

При переходе к другой прямоугольной системе координат ( $X = QX' + X_0$ , $Q$ ортогональна) характеристический многочлен матрицы $A$ (в частности, $\operatorname{tr}A$ и $\det A$ ) и определитель расширенной матрицы $\hat A$ не меняются. Для кривых это означает инвариантность $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ .

Доказательство

Развернуть

Квадратичная часть преобразуется как $A' = Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ$ (перенос её не меняет), а подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен.

В однородных координатах замена записывается как $\hat X = P\hat X'$ с $P = \begin{pmatrix}Q&X_0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому $\hat A' = P^\mathsf{T}\hat AP$ . Так как $\det P = \det Q = \pm1$ , получаем $\det\hat A' = (\det P)^2\det\hat A = \det\hat A$ . $\blacksquare$

теорема

Классификация кривых второго порядка по инвариантам

Формулировка

Эллиптический тип ( $I_2 > 0$ ): каноническое уравнение $\lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 + \frac{I_3}{I_2} = 0$ ; это эллипс при $I_1I_3 < 0$ , мнимый эллипс при $I_1I_3 > 0$ , точка при $I_3 = 0$ .
Гиперболический тип ( $I_2 < 0$ ): то же уравнение; гипербола при $I_3\ne0$ , пара пересекающихся прямых при $I_3 = 0$ .
Параболический тип ( $I_2 = 0$ ): при $I_3\ne0$ — парабола $y^2 = 2px$ с $p = \sqrt{-I_3/I_1^3}$ ; при $I_3 = 0$ — пара параллельных, совпадающих или мнимых прямых.

Здесь $\lambda_1, \lambda_2$ — корни уравнения $\lambda^2 - I_1\lambda + I_2 = 0$ .

Доказательство

Развернуть

$\lambda_1, \lambda_2$ — собственные значения $A$ , поэтому $\lambda_1\lambda_2 = I_2$ , $\lambda_1 + \lambda_2 = I_1$ .

$I_2\ne0$ . Кривая центральная, и канонический вид $\lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 + c' = 0$ . Для него $I_3 = \lambda_1\lambda_2c' = I_2c'$ , откуда $c' = I_3/I_2$ . При $I_2 > 0$ числа $\lambda_1, \lambda_2$ одного знака (знака $I_1$ ), и кривая — эллипс, если $c'$ противоположного знака, то есть $I_1I_3 < 0$ . При $I_2 < 0$ числа разного знака: гипербола при $c'\ne0$ и пара прямых при $c' = 0$ .

$I_2 = 0$ . Одно собственное значение нулевое, $\lambda_2 = I_1$ . Если остался линейный член, вид $I_1y^2 + 2\beta x = 0$ ; для него $I_3 = -I_1\beta^2$ , то есть $\beta^2 = -I_3/I_1$ , и $p = |\beta|/|I_1| = \sqrt{-I_3/I_1^3}$ . Если линейного члена нет, $I_3 = 0$ , и вид $I_1y^2 + c' = 0$ — пара параллельных, совпадающих или мнимых прямых. $\blacksquare$

теорема

Классификация поверхностей второго порядка

Формулировка

Любая поверхность второго порядка в подходящей прямоугольной системе координат задаётся одним из $17$ канонических уравнений ( $a, b, c, p > 0$ ):

$\operatorname{rank}A$	Канонические уравнения
3	эллипсоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ; мнимый эллипсоид ( $= -1$ ); мнимый конус (точка, $= 0$ ); однополостный гиперболоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ ; двуполостный гиперболоид ( $= -1$ ); конус ( $= 0$ )
2	эллиптический параболоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ ; гиперболический параболоид $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ ; эллиптический, мнимый эллиптический и гиперболический цилиндры; пара пересекающихся плоскостей; пара мнимых пересекающихся плоскостей (прямая)
1	параболический цилиндр $y^2 = 2px$ ; пара параллельных, мнимых параллельных и совпадающих плоскостей

Доказательство

Развернуть

По теореме о приведении уравнение принимает вид $\sum_{i\le r}\lambda_iz_i^2 + c' = 0$ или $\sum_{i\le r}\lambda_iz_i^2 + 2\beta z_{r+1} = 0$ (второй возможен лишь при $r < 3$ ). Перебираем случаи.

$r = 3$ : только первый вид. По знакам $\lambda_i$ (после умножения уравнения на $-1$ и перенумерации осей) остаются случаи «все одного знака» и «два одного, один другого». Каждый из них с $c' < 0$ , $c' > 0$ , $c' = 0$ даёт по одной поверхности — всего $6$ .
$r = 2$ , второй вид: параболоиды эллиптический (одинаковые знаки) и гиперболический (разные).
$r = 2$ , первый вид: при одинаковых знаках — эллиптический цилиндр, мнимый цилиндр или прямая; при разных — гиперболический цилиндр или пара пересекающихся плоскостей.
$r = 1$ , второй вид: параболический цилиндр.
$r = 1$ , первый вид: $\lambda_1z_1^2 = -c'$ — пара параллельных, мнимых параллельных или совпадающих плоскостей.

Итого $6 + 2 + 5 + 1 + 3 = 17$ . $\blacksquare$

Приведение уравнения эллипса к каноническому виду

Условие

Привести к каноническому виду кривую $5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0$ .

Решение

Развернуть

$A = \begin{pmatrix}5&2\\2&8\end{pmatrix}$ : $I_1 = 13$ , $I_2 = 36 > 0$ — эллиптический тип. Собственные значения: $\lambda^2 - 13\lambda + 36 = 0$ , то есть $4$ и $9$ .

Центр: $5x + 2y = 16$ , $2x + 8y = 28$ , откуда $x_0 = 2$ , $y_0 = 3$ . Свободный член после переноса: $b^\mathsf{T}X_0 + c = -16\cdot2 - 28\cdot3 + 80 = -36$ .

Поворот к собственным векторам $(1,-2)/\sqrt5$ (для $\lambda = 4$ ) и $(2,1)/\sqrt5$ (для $\lambda = 9$ ) даёт

4x'^2 + 9y'^2 - 36 = 0\iff\frac{x'^2}{9} + \frac{y'^2}{4} = 1.

Это эллипс с полуосями $3$ и $2$ и центром $(2,3)$ . Проверка по инвариантам: $I_3 = -1296$ , $I_3/I_2 = -36$ , $I_1I_3 < 0$ .

Определение типа поверхности по уравнению без квадратов

Условие

Определить тип поверхности $2xy + 2yz + 2xz = 1$ .

Решение

Развернуть

$A = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} = U - E$ , где $U$ — матрица из единиц. Собственные значения $A$ : $3 - 1 = 2$ и дважды $0 - 1 = -1$ . Линейных членов нет, поэтому после поворота

2X^2 - Y^2 - Z^2 = 1\iff\frac{X^2}{1/2} - Y^2 - Z^2 = 1,

то есть двуполостный гиперболоид с осью вдоль $(1,1,1)$ .

Приведение уравнения параболы к каноническому виду

Условие

Привести к каноническому виду кривую $x^2 - 2xy + y^2 - 10x - 6y + 25 = 0$ .

Решение

Развернуть

$I_1 = 2$ , $I_2 = 0$ — параболический тип; $I_3 = -64\ne0$ , так что это парабола с $p = \sqrt{64/8} = 2\sqrt2$ .

Явное приведение. Поворот на $45^\circ$ : $x = \frac{x' - y'}{\sqrt2}$ , $y = \frac{x' + y'}{\sqrt2}$ . Тогда $(x - y)^2 = 2y'^2$ и $-10x - 6y = -8\sqrt2x' + 2\sqrt2y'$ , откуда

2y'^2 + 2\sqrt2y' - 8\sqrt2x' + 25 = 0\iff2\Big(y' + \frac1{\sqrt2}\Big)^2 = 8\sqrt2\Big(x' - \frac3{\sqrt2}\Big).

При $Y = y' + \frac1{\sqrt2}$ , $X = x' - \frac3{\sqrt2}$ получаем $Y^2 = 4\sqrt2X$ , то есть $p = 2\sqrt2$ , что совпадает с ответом по инвариантам.

Вырожденная кривая второго порядка

Условие

Определить тип кривой $x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0$ .

Решение

Развернуть

$I_2 = -1 < 0$ — гиперболический тип,

I_3 = \begin{vmatrix}1&0&1\\0&-1&0\\1&0&1\end{vmatrix} = 0,

поэтому это пара пересекающихся прямых. Действительно, $(x + 1)^2 - y^2 = 0$ , то есть $y = \pm(x + 1)$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Гиперповерхность второго порядка

Гиперповерхностью второго порядка в $n$ -мерном евклидовом пространстве называется множество точек, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению

X^\mathsf{T}AX + 2b^\mathsf{T}X + c = 0,

где $A$ — ненулевая симметричная матрица порядка $n$ , $b\in\mathbb R^n$ , $c\in\mathbb R$ . При $n = 2$ это кривая второго порядка, при $n = 3$ — поверхность второго порядка.

Расширенной матрицей уравнения называется $\hat A = \begin{pmatrix}A&b\\b^\mathsf{T}&c\end{pmatrix}$ ; уравнение записывается как $\hat X^\mathsf{T}\hat A\hat X = 0$ , где $\hat X = (X, 1)^\mathsf{T}$ .

Инварианты кривой второго порядка

Для кривой $a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_1x + 2a_2y + a_0 = 0$ величины

I_1 = a_{11} + a_{22},\qquad I_2 = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix},\qquad I_3 = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\end{vmatrix}

называются её инвариантами.

Ортогональный оператор и ортогональная матрица

Оператор $\mathcal Q$ в евклидовом пространстве называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение:

(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = (x,y)\quad\text{для всех } x, y.

Квадратная матрица $Q$ называется ортогональной, если $Q^\mathsf{T}Q = E$ .

Алгебраическая кривая второго порядка

Алгебраической кривой второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых в ПДСК удовлетворяют уравнению

a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_1x + 2a_2y + a_0 = 0,\qquad a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{22}^2 \ne 0.

Замена ПДСК выражает старые координаты через новые линейно, поэтому порядок кривой от выбора системы координат не зависит.

Алгебраическая поверхность второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых в ПДСК удовлетворяют уравнению второй степени

\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}x_ix_j + 2\sum_{i=1}^3 a_ix_i + a_0 = 0,

где $a_{ij} = a_{ji}$ и не все $a_{ij}$ равны нулю ( $x_1 = x$ , $x_2 = y$ , $x_3 = z$ ).

Теорема Крамера

Формулировка

Если $\Delta = \det A \ne 0$ , то система $AX = B$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными имеет единственное решение

x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta},\qquad j = 1, \dots, n,

где $\Delta_j$ — определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $j$ -го столбца столбцом свободных членов $B$ .

Доказательство

Развернуть

Матричным методом $X = A^{-1}B = \frac{1}{\Delta}\tilde AB$ , где $\tilde A$ — присоединённая матрица, то есть

x_j = \frac1\Delta\sum_{i=1}^n A_{ij}b_i.

Сумма $\sum_i b_iA_{ij}$ — разложение $\Delta_j$ по $j$ -му столбцу: алгебраические дополнения элементов $j$ -го столбца у $A$ и у матрицы с заменённым столбцом одинаковы. $\blacksquare$

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором

q(x) = \lambda_1x_1^2 + \dots + \lambda_nx_n^2,

где $\lambda_i$ — собственные значения матрицы формы в (любом) ортонормированном базисе. В координатах: существует ортогональная матрица $Q$ с $Q^\mathsf{T}BQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , и замена $X = QY$ приводит форму к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathcal A$ — самосопряжённый оператор с $b(x,y) = (\mathcal Ax, y)$ . Возьмём ортонормированный базис из его собственных векторов: $\mathcal Ae_i = \lambda_ie_i$ . Тогда $b(e_i,e_j) = (\lambda_ie_i, e_j) = \lambda_i\delta_{ij}$ , то есть базис канонический. Матрица оператора в ортонормированном базисе совпадает с матрицей формы, поэтому $\lambda_i$ — собственные значения этой матрицы. Координатная форма — теорема об ортогональной диагонализации симметричной матрицы: для ортогональной $Q$ имеем $Q^\mathsf{T} = Q^{-1}$ . $\blacksquare$

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна. Обратно, если $e$ — ортонормированный базис, а $T$ ортогональна, то базис $e' = eT$ ортонормирован.

Доказательство

Развернуть

Столбцы $T$ — координаты векторов $e_j'$ в ортонормированном базисе $e$ , поэтому $(e_i', e_j')$ равно скалярному произведению $i$ -го и $j$ -го столбцов $T$ . Условие $(e_i', e_j') = \delta_{ij}$ равносильно $T^\mathsf{T}T = E$ . $\blacksquare$

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

$Q^\mathsf{T}Q = E\iff QQ^\mathsf{T} = E\iff Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ ; столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.
$\det Q = \pm1$ .
Произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной, ортогональны.
Все корни характеристического многочлена ортогональной матрицы по модулю равны $1$ ; вещественные собственные значения равны $\pm1$ .

Доказательство

Развернуть

Односторонняя обратная квадратной матрицы является обратной. Элемент $(i,j)$ матрицы $Q^\mathsf{T}Q$ — скалярное произведение $i$ -го и $j$ -го столбцов; для $QQ^\mathsf{T}$ — строк.
$1 = \det E = \det Q^\mathsf{T}\det Q = (\det Q)^2$ .
$(Q_1Q_2)^\mathsf{T}Q_1Q_2 = Q_2^\mathsf{T}Q_1^\mathsf{T}Q_1Q_2 = E$ ; $(Q^{-1})^\mathsf{T}Q^{-1} = QQ^\mathsf{T} = E$ .
Если $QZ = \lambda Z$ , $Z\ne0$ — комплексный столбец, то $\bar Z^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QZ = \bar Z^\mathsf{T}Z$ , а левая часть равна $\overline{\lambda Z}^\mathsf{T}\lambda Z = |\lambda|^2\bar Z^\mathsf{T}Z$ . Так как $\bar Z^\mathsf{T}Z > 0$ , получаем $|\lambda| = 1$ . $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Каноническое уравнение эллипса

Формулировка

В канонической системе координат эллипс задаётся уравнением

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = a^2 - c^2,

а фокальные радиусы его точки $M(x, y)$ равны $r_1 = a + ex$ , $r_2 = a - ex$ . Эллипс симметричен относительно осей координат и начала, лежит в прямоугольнике $|x|\le a$ , $|y|\le b$ .

Доказательство

Развернуть

Из определения следует уравнение. Условие $r_1 + r_2 = 2a$ записывается как

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}.

Возведя в квадрат и упростив, получаем $a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2 - cx$ . Ещё раз возводим в квадрат:

(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2),

и после деления на $a^2b^2$ — каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Пусть $(x,y)$ удовлетворяет уравнению. Подставив $y^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2$ , получаем

r_1^2 = (x + c)^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}x^2 + 2cx + a^2 = (a + ex)^2.

Так как $|x|\le a$ и $e < 1$ , имеем $a + ex > 0$ , то есть $r_1 = a + ex$ . Аналогично $r_2 = a - ex$ , и $r_1 + r_2 = 2a$ .

Симметрии следуют из того, что в уравнение $x$ и $y$ входят во второй степени. $\blacksquare$

Каноническое уравнение гиперболы

Формулировка

В канонической системе координат гипербола задаётся уравнением

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = c^2 - a^2,

а фокальные радиусы её точки равны $r_1 = |ex + a|$ , $r_2 = |ex - a|$ . Гипербола состоит из двух ветвей $x \ge a$ и $x\le -a$ .

Доказательство

Развернуть

Из определения следует уравнение. Пусть $r_1 - r_2 = \pm 2a$ , то есть $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \sqrt{(x-c)^2+y^2} \pm 2a$ . Возводя в квадрат, получаем $cx - a^2 = \pm a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$ . Ещё раз:

(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2),

что после деления на $a^2b^2$ даёт каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Подставив $y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2$ , получаем $r_1^2 = (ex + a)^2$ , $r_2^2 = (ex - a)^2$ . Из уравнения $|x|\ge a$ , и так как $e > 1$ , $|ex| > a$ . При $x \ge a$ : $r_1 = ex + a$ , $r_2 = ex - a$ , $r_1 - r_2 = 2a$ . При $x\le-a$ : $r_1 = -ex - a$ , $r_2 = a - ex$ , $r_2 - r_1 = 2a$ . $\blacksquare$

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

В канонической системе координат парабола задаётся уравнением

y^2 = 2px,

а фокальный радиус её точки равен $r = x + p/2$ . Парабола лежит в полуплоскости $x\ge0$ и симметрична относительно оси $Ox$ .

Доказательство

Развернуть

Для $M(x,y)$ : $r = \sqrt{(x - p/2)^2 + y^2}$ , расстояние до директрисы $x = -p/2$ равно $|x + p/2|$ . Обе величины неотрицательны, поэтому их равенство равносильно равенству квадратов:

x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}4 \iff y^2 = 2px.

Из уравнения $x \ge 0$ , поэтому $r = x + p/2$ . $\blacksquare$

Исследование формы эллипсоида

Формулировка

Эллипсоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ :

ограничен: $|x|\le a$ , $|y|\le b$ , $|z|\le c$ ;
симметричен относительно координатных плоскостей, осей и начала координат;
его сечения плоскостями $z = h$ при $|h| < c$ — эллипсы с полуосями $a\sqrt{1 - h^2/c^2}$ , $b\sqrt{1 - h^2/c^2}$ ; при $|h| = c$ — точки; при $|h| > c$ — пустые. То же для сечений $x = h$ , $y = h$ .

При $a = b$ это эллипсоид вращения вокруг $Oz$ , при $a = b = c$ — сфера.

Доказательство

Развернуть

Каждое слагаемое левой части неотрицательно и не превосходит 1.
Переменные входят в уравнение лишь во второй степени.
Подставим $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{h^2}{c^2}$ . Правая часть положительна, равна нулю или отрицательна соответственно при $|h| < c$ , $|h| = c$ , $|h| > c$ .

При $a = b$ это уравнение поверхности, полученной вращением эллипса вокруг оси $Oz$ . $\blacksquare$

Исследование формы однополостного гиперболоида

Формулировка

Для однополостного гиперболоида $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ :

сечения $z = h$ — эллипсы с полуосями $a\sqrt{1 + h^2/c^2}$ , $b\sqrt{1 + h^2/c^2}$ ; наименьший из них (при $h = 0$ ) — горловой эллипс;
сечения $y = h$ : при $|h| < b$ — гиперболы с действительной осью, параллельной $Ox$ ; при $|h| = b$ — пара пересекающихся прямых; при $|h| > b$ — гиперболы с действительной осью, параллельной $Oz$ .

Поверхность неограничена и связна: «трубка», расширяющаяся при $|z|\to\infty$ .

Доказательство

Развернуть

При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{h^2}{c^2} > 0$ .
При $y = h$ :

\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{h^2}{b^2}.

При положительной правой части это гипербола с действительной осью вдоль $x$ . При нулевой — $\frac xa = \pm\frac zc$ . При отрицательной — гипербола с действительной осью вдоль $z$ . $\blacksquare$

Исследование формы двуполостного гиперболоида

Формулировка

Для двуполостного гиперболоида $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$ :

сечения $z = h$ пусты при $|h| < c$ , вырождаются в точку при $|h| = c$ , являются эллипсами при $|h| > c$ ;
сечения $x = h$ и $y = h$ — гиперболы с действительной осью, параллельной $Oz$ .

Поверхность состоит из двух полостей: $z\ge c$ и $z\le -c$ .

Доказательство

Развернуть

При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{h^2}{c^2} - 1$ .
При $x = h$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{h^2}{a^2} > 0$ — гипербола с действительной осью вдоль $z$ . Для $y = h$ аналогично. $\blacksquare$

Исследование формы параболоидов

Формулировка

Эллиптический параболоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ лежит в полупространстве $z\ge0$ . Его сечения $z = h > 0$ — эллипсы, а сечения $x = h$ и $y = h$ — параболы с ветвями вверх.
Гиперболический параболоид $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ («седло»). Сечения $z = h\ne0$ — гиперболы, действительная ось которых параллельна $Ox$ при $h > 0$ и $Oy$ при $h < 0$ . Сечение $z = 0$ — пара прямых $\frac xa = \pm\frac yb$ . Сечения $x = h$ — параболы с ветвями вниз, $y = h$ — с ветвями вверх.

Доказательство

Развернуть

Левая часть неотрицательна, поэтому $z \ge 0$ . При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2h$ . При $x = h$ : $y^2 = 2b^2\left(z - \frac{h^2}{2a^2}\right)$ — парабола с вершиной на высоте $\frac{h^2}{2a^2}$ .
При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2h$ — гипербола, ориентация которой зависит от знака $h$ . При $h = 0$ получаем пару прямых. При $x = h$ : $y^2 = -2b^2\left(z - \frac{h^2}{2a^2}\right)$ — ветви вниз. При $y = h$ : $x^2 = 2a^2\left(z + \frac{h^2}{2b^2}\right)$ — ветви вверх. $\blacksquare$

Конус второго порядка

Формулировка

Поверхность $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ является конической поверхностью с вершиной в начале координат. Её сечения плоскостями $z = h\ne0$ — эллипсы с полуосями $\frac{a|h|}{c}$ , $\frac{b|h|}{c}$ , а сечение плоскостью $x = 0$ — пара прямых $\frac yb = \pm\frac zc$ .

Доказательство

Развернуть

Левая часть $F$ однородна второй степени: $F(tx,ty,tz) = t^2F(x,y,z)$ . Поэтому вместе с точкой $M\ne O$ поверхности ей принадлежит вся прямая $OM$ , и поверхность состоит из прямых, проходящих через $O$ . Направляющей служит, например, эллипс в сечении $z = c$ .

Сечения находим подстановкой. При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2h^2/c^2} + \frac{y^2}{b^2h^2/c^2} = 1$ . При $x = 0$ : $\frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ . $\blacksquare$

Уравнение цилиндрической поверхности

Формулировка

Уравнение $F(x, y) = 0$ , не содержащее $z$ , задаёт в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси $Oz$ , и направляющей $F(x,y) = 0$ , $z = 0$ . Цилиндры второго порядка: эллиптический $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , гиперболический $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , параболический $y^2 = 2px$ .

Доказательство

Развернуть

Координаты точки $M(x,y,z)$ удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда ему удовлетворяет её проекция $(x,y,0)$ на плоскость $Oxy$ , то есть когда $M$ лежит на вертикальной прямой, проходящей через точку направляющей. $\blacksquare$

Кривые и поверхности второго порядка

Центр гиперповерхности второго порядка

Формулировка

Доказательство

Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

Формулировка

Доказательство

Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы

Формулировка

Доказательство

Классификация кривых второго порядка по инвариантам

Формулировка

Доказательство

Классификация поверхностей второго порядка

Формулировка

Доказательство

Приведение уравнения эллипса к каноническому виду

Условие

Решение

Определение типа поверхности по уравнению без квадратов

Условие

Решение

Приведение уравнения параболы к каноническому виду

Условие

Решение

Вырожденная кривая второго порядка

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Гиперповерхность второго порядка

Инварианты кривой второго порядка

Ортогональный оператор и ортогональная матрица

Алгебраическая кривая второго порядка

Алгебраическая поверхность второго порядка

Теорема Крамера

Формулировка

Доказательство

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

Доказательство

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение эллипса

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение гиперболы

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

Доказательство

Исследование формы эллипсоида

Формулировка

Доказательство

Исследование формы однополостного гиперболоида

Формулировка

Доказательство

Исследование формы двуполостного гиперболоида

Формулировка

Доказательство

Исследование формы параболоидов

Формулировка

Доказательство

Конус второго порядка

Формулировка

Доказательство

Уравнение цилиндрической поверхности

Формулировка

Доказательство