Приведение квадратичных форм

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Приведение квадратичной формы к главным осям
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
Закон инерции квадратичных форм
Положительная определённость в терминах канонического вида и собственных значений
Критерий Сильвестра
Одновременное приведение пары квадратичных форм
Нормальный вид и классификация квадратичных форм

теорема

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором

q(x) = \lambda_1x_1^2 + \dots + \lambda_nx_n^2,

где $\lambda_i$ — собственные значения матрицы формы в (любом) ортонормированном базисе. В координатах: существует ортогональная матрица $Q$ с $Q^\mathsf{T}BQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , и замена $X = QY$ приводит форму к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathcal A$ — самосопряжённый оператор с $b(x,y) = (\mathcal Ax, y)$ . Возьмём ортонормированный базис из его собственных векторов: $\mathcal Ae_i = \lambda_ie_i$ . Тогда $b(e_i,e_j) = (\lambda_ie_i, e_j) = \lambda_i\delta_{ij}$ , то есть базис канонический. Матрица оператора в ортонормированном базисе совпадает с матрицей формы, поэтому $\lambda_i$ — собственные значения этой матрицы. Координатная форма — теорема об ортогональной диагонализации симметричной матрицы: для ортогональной $Q$ имеем $Q^\mathsf{T} = Q^{-1}$ . $\blacksquare$

теорема

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Формулировка

Любая квадратичная форма невырожденной линейной заменой переменных приводится к каноническому виду. Заменой масштабов $y_i\mapsto y_i/\sqrt{|c_i|}$ она приводится к нормальному виду.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу переменных; если форма нулевая, доказывать нечего.

Случай 1: есть ненулевой коэффициент при квадрате, скажем $b_{11}\ne0$ . Выделим полный квадрат по всем слагаемым, содержащим $x_1$ :

q = b_{11}\Big(x_1 + \sum_{j>1}\frac{b_{1j}}{b_{11}}x_j\Big)^2 + q_1(x_2,\dots,x_n).

Замена $y_1 = x_1 + \sum_{j>1}\frac{b_{1j}}{b_{11}}x_j$ , $y_j = x_j$ ( $j > 1$ ) имеет треугольную матрицу с единицами на диагонали, то есть невырождена. К форме $q_1$ от меньшего числа переменных применяем предположение индукции.

Случай 2: все $b_{ii} = 0$ , но, например, $b_{12}\ne0$ . Замена $x_1 = y_1 + y_2$ , $x_2 = y_1 - y_2$ , $x_j = y_j$ ( $j > 2$ ) невырождена и превращает $2b_{12}x_1x_2$ в $2b_{12}(y_1^2 - y_2^2)$ . Другие слагаемые квадратов $y_1^2$ , $y_2^2$ не дают, так как они линейны по $x_1$ и по $x_2$ . Значит, появился ненулевой квадрат, и мы в случае 1.

Композиция невырожденных замен невырождена. $\blacksquare$

теорема

Закон инерции квадратичных форм

Формулировка

Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от способа приведения к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Число ненулевых коэффициентов равно рангу формы и от базиса не зависит. Пусть в базисе $f$ форма имеет $p$ положительных коэффициентов (при $f_1,\dots,f_p$ ), а в базисе $g$ — $s$ положительных (при $g_1,\dots,g_s$ ), и $p > s$ .

Положим $L_1 = \operatorname{span}(f_1,\dots,f_p)$ , $L_2 = \operatorname{span}(g_{s+1},\dots,g_n)$ . На ненулевых векторах $L_1$ форма положительна, а на $L_2$ неположительна. Но $\dim L_1 + \dim L_2 = p + n - s > n$ , поэтому по формуле Грассмана $L_1\cap L_2\ne\{0\}$ , и на ненулевом векторе пересечения $q > 0$ и $q\le0$ одновременно — противоречие. Значит, $p = s$ , а тогда совпадают и числа отрицательных коэффициентов. $\blacksquare$

теорема

Положительная определённость в терминах канонического вида и собственных значений

Формулировка

Для квадратичной формы на $n$ -мерном пространстве равносильны:

форма положительно определена;
все $n$ коэффициентов её канонического вида положительны ( $p = n$ );
все собственные значения её матрицы в ортонормированном базисе (для формы $X^\mathsf{T}BX$ в $\mathbb R^n$ — все собственные значения $B$ ) положительны.

Аналогично: отрицательно определена $\iff q = n$ ; полуопределена $\iff$ все ненулевые коэффициенты одного знака; знакопеременна $\iff p > 0$ и $q > 0$ .

Доказательство

Развернуть

$1\iff2$ : в каноническом базисе $q = \sum c_iy_i^2$ . Если все $c_i > 0$ , то $q > 0$ при $y\ne0$ . Если некоторое $c_i\le0$ , то $q(f_i) = c_i\le0$ при $f_i\ne0$ .

$2\iff3$ : при приведении к главным осям коэффициенты канонического вида — собственные значения, а по закону инерции число положительных коэффициентов не зависит от способа приведения. Остальные утверждения доказываются так же. $\blacksquare$

теорема

Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма с матрицей $B$ положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны: $\Delta_1 > 0,\ \dots,\ \Delta_n > 0$ . Форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса: $(-1)^k\Delta_k > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Определитель матрицы положительно определённой формы положителен: в каноническом базисе $T^\mathsf{T}BT = \operatorname{diag}(c_i)$ со всеми $c_i > 0$ , откуда $\det B = \prod c_i/(\det T)^2 > 0$ .

Необходимость. Ограничение $q$ на $L_k = \operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)$ положительно определено, а его матрица в базисе $e_1,\dots,e_k$ — левый верхний блок $B$ . По лемме $\Delta_k > 0$ .

Достаточность. Индукция по $n$ ; при $n = 1$ имеем $q = \Delta_1x_1^2$ . Пусть все $\Delta_k > 0$ . По предположению индукции ограничение на $L_{n-1}$ положительно определено, и по методу Лагранжа (с нормировкой) в $L_{n-1}$ есть базис $f_1,\dots,f_{n-1}$ с $b(f_i,f_j) = \delta_{ij}$ . Положим

f_n = e_n - \sum_{i<n}b(e_n,f_i)f_i.

Тогда $b(f_n,f_i) = 0$ при $i < n$ , и $f_1,\dots,f_n$ — базис, так как $f_n\notin L_{n-1}$ . В нём матрица формы равна $\operatorname{diag}(1,\dots,1,c)$ , $c = q(f_n)$ . По формуле преобразования $c = (\det T)^2\Delta_n > 0$ , так что $q = y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2 + cy_n^2$ положительно определена.

Для отрицательной определённости применяем доказанное к $-q$ : угловые миноры $-B$ равны $(-1)^k\Delta_k$ . $\blacksquare$

теорема

Одновременное приведение пары квадратичных форм

Формулировка

Если $q_1$ положительно определена, а $q_2$ — любая квадратичная форма, то существует базис, в котором

q_1 = y_1^2 + \dots + y_n^2,\qquad q_2 = \mu_1y_1^2 + \dots + \mu_ny_n^2,

где $\mu_i$ — корни уравнения $\det(B_2 - \mu B_1) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Полярная форма $b_1$ формы $q_1$ симметрична и положительно определена, то есть является скалярным произведением. В полученном евклидовом пространстве приведём $q_2$ к главным осям: в ортонормированном относительно $b_1$ базисе $q_1 = \sum y_i^2$ , а $q_2 = \sum\mu_iy_i^2$ .

Если $T$ — матрица перехода, то $T^\mathsf{T}B_1T = E$ , $T^\mathsf{T}B_2T = \operatorname{diag}(\mu_i)$ , и

\prod(\mu_i - \mu) = \det\big(T^\mathsf{T}(B_2 - \mu B_1)T\big) = (\det T)^2\det(B_2 - \mu B_1).

$\blacksquare$

теорема

Нормальный вид и классификация квадратичных форм

Формулировка

Любая вещественная квадратичная форма ранга $r$ с положительным индексом инерции $p$ невырожденной заменой приводится к нормальному виду

y_1^2 + \dots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \dots - y_r^2.

Две квадратичные формы от $n$ переменных переводятся одна в другую невырожденной линейной заменой тогда и только тогда, когда у них совпадают ранг и положительный индекс инерции.
В частности, форма положительно определена при $p = r = n$ , отрицательно определена при $p = 0$ , $r = n$ , полуопределена при $r < n$ и $p\in\{0, r\}$ , знакопеременна при $0 < p < r$ .

Доказательство

Развернуть

По методу Лагранжа приводим форму к каноническому виду, переставляем переменные так, чтобы сначала шли положительные коэффициенты, затем отрицательные, и делаем замену $y_i\mapsto y_i/\sqrt{|c_i|}$ .
Ранг и индекс инерции при невырожденной замене не меняются (инвариантность ранга и закон инерции). Обратно, формы с одинаковыми $r$ и $p$ приводятся к одному нормальному виду, а композиция замены и обратной к другой замене переводит одну форму в другую.
Следует из нормального вида. $\blacksquare$

Проверка: $b_1(f_1,f_2) = 0$ . В базисе $f_1, f_2$ : $q_1 = z_1^2 + z_2^2$ , $q_2 = z_1^2 - 3z_2^2$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Знакоопределённые квадратичные формы

Квадратичная форма $q$ называется:

положительно определённой, если $q(x) > 0$ при $x\ne0$ ;
отрицательно определённой, если $q(x) < 0$ при $x\ne0$ ;
положительно (отрицательно) полуопределённой, если $q(x)\ge0$ ( $\le0$ ) для всех $x$ ;
знакопеременной, если она принимает значения разных знаков.

Индексы инерции. Сигнатура

Положительным индексом инерции $p$ квадратичной формы называется число положительных коэффициентов в её каноническом виде, отрицательным $q$ — число отрицательных. Пара $(p, q)$ (или разность $p - q$ ) называется сигнатурой. Корректность определения следует из закона инерции.

Угловые миноры

Угловыми (главными угловыми) минорами матрицы $B$ порядка $n$ называются определители

\Delta_k = \begin{vmatrix}b_{11}&\dots&b_{1k}\\\vdots&&\vdots\\b_{k1}&\dots&b_{kk}\end{vmatrix},\qquad k = 1,\dots,n.

Квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция $q(x) = b(x,x)$ , где $b$ — симметричная билинейная форма; $b$ называется полярной (присоединённой) к $q$ . В координатах

q(x) = \sum_{i,j=1}^nb_{ij}x_ix_j = \sum_ib_{ii}x_i^2 + 2\sum_{i<j}b_{ij}x_ix_j,\qquad b_{ij} = b_{ji}.

Канонический и нормальный вид квадратичной формы

Квадратичная форма имеет канонический вид в базисе, если в нём

q(x) = c_1x_1^2 + c_2x_2^2 + \dots + c_nx_n^2,

то есть её матрица диагональна. Нормальный вид — канонический с коэффициентами $c_i\in\{1, -1, 0\}$ . Базис, в котором форма канонична, называется каноническим.

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Система векторов называется ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, и ортонормированной, если, кроме того, все они имеют единичную длину: $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Базис, являющийся ортонормированной системой, называется ортонормированным базисом (ОНБ).

Матрица билинейной и квадратичной формы. Ранг формы

Матрицей билинейной формы в базисе $e$ называется $B = \big(b(e_i,e_j)\big)$ . Матрица квадратичной формы — матрица её полярной формы (симметричная). Рангом формы называется ранг её матрицы; форма невырождена, если $\det B\ne0$ .

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Скалярным произведением в вещественном линейном пространстве $V$ называется функция $(x,y)$ , сопоставляющая паре векторов число так, что для всех $x, y, z\in V$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$(x,y) = (y,x)$ ;
$(x + y, z) = (x,z) + (y,z)$ ;
$(\lambda x, y) = \lambda(x,y)$ ;
$(x,x) > 0$ при $x\ne0$ .

Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.

Примеры: $\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_iy_i$ ; $C[a,b]$ с $(f,g) = \int_a^bf(t)g(t)\,dt$ ; $M_{m\times n}$ с $(A,B) = \operatorname{tr}(A^\mathsf{T}B)$ .

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для каждой симметричной билинейной формы $b$ существует единственный самосопряжённый оператор $\mathcal A$ с

b(x,y) = (\mathcal Ax, y)\quad\text{для всех } x, y.

В любом ортонормированном базисе матрицы $b$ и $\mathcal A$ совпадают.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — матрица формы в ортонормированном базисе. Оператор с матрицей $B$ самосопряжён (матрица симметрична), и $(\mathcal Ax, y) = (BX)^\mathsf{T}Y = X^\mathsf{T}BY = b(x,y)$ . Если операторы $\mathcal A_1, \mathcal A_2$ подходят, то $(\mathcal A_1x - \mathcal A_2x, y) = 0$ для всех $y$ , откуда $\mathcal A_1 = \mathcal A_2$ . $\blacksquare$

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Для любого самосопряжённого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из его собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна, а пространство раскладывается в прямую сумму попарно ортогональных собственных подпространств.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ ; при $n = 1$ любой ненулевой вектор собственный. Пусть $n > 1$ . Характеристический многочлен имеет корень, и он вещественный, поэтому существует собственный вектор; нормируем его и обозначим $e_1$ .

Подпространство $L = \operatorname{span}(e_1)$ инвариантно, значит, $L^\perp$ размерности $n - 1$ тоже инвариантно, и ограничение $\mathcal A|_{L^\perp}$ самосопряжено. По предположению индукции в $L^\perp$ есть ортонормированный базис $e_2,\dots,e_n$ из собственных векторов. Векторы $e_1,\dots,e_n$ — искомый базис.

Собственные подпространства для разных собственных значений ортогональны, а их сумма — всё $V$ , так как содержит построенный базис. $\blacksquare$

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Для любой вещественной симметричной матрицы $A$ существует ортогональная матрица $Q$ такая, что

Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),

где $\lambda_i$ — собственные значения $A$ с учётом кратности. Столбцы $Q$ — ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство

Развернуть

Оператор с матрицей $A$ в стандартном ортонормированном базисе $\mathbb R^n$ самосопряжён, поэтому существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Матрица перехода $Q$ к этому базису ортогональна, $Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ , а матрица оператора в новом базисе диагональна.

Алгоритм: найти корни $\chi$ ; в каждом собственном подпространстве найти базис и ортонормировать его процессом Грама–Шмидта (векторы из разных подпространств уже ортогональны); записать полученные векторы столбцами $Q$ . $\blacksquare$

Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

Формулировка

Поворотом прямоугольной системы координат ( $X = QY$ , $Q$ ортогональна, $\det Q = 1$ ) и переносом начала уравнение приводится к одному из видов

\lambda_1z_1^2 + \dots + \lambda_rz_r^2 + c' = 0\qquad\text{или}\qquad\lambda_1z_1^2 + \dots + \lambda_rz_r^2 + 2\beta z_{r+1} = 0,

где $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ — ненулевые собственные значения $A$ , $r = \operatorname{rank}A$ , $\beta > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Поворот. Возьмём ортогональную $Q$ , приводящую $A$ к виду $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)$ . Если $\det Q = -1$ , сменим знак у одного столбца: диагональный вид сохранится. После замены $X = QY$ уравнение принимает вид

\sum_{i\le r}\lambda_iy_i^2 + 2\sum_{i=1}^nb_i'y_i + c = 0,\qquad b' = Q^\mathsf{T}b.

Перенос по первым $r$ координатам. $\lambda_iy_i^2 + 2b_i'y_i = \lambda_i\big(y_i + \frac{b_i'}{\lambda_i}\big)^2 - \frac{b_i'^2}{\lambda_i}$ ; положим $z_i = y_i + b_i'/\lambda_i$ .

Остальные координаты. Если $b_{r+1}' = \dots = b_n' = 0$ , получаем первый вид. Иначе сделаем поворот в координатах $y_{r+1},\dots,y_n$ , при котором первый новый базисный вектор направлен вдоль $(b_{r+1}',\dots,b_n')$ . Тогда линейная часть по этим координатам станет $2\beta z_{r+1}'$ с $\beta = |(b_{r+1}',\dots,b_n')|$ . Сдвиг по $z_{r+1}$ уничтожает свободный член. $\blacksquare$

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Если $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к $e'$ , то матрица формы в новом базисе

B' = T^\mathsf{T}BT.

Следовательно, ранг формы не зависит от базиса, а знак определителя её матрицы сохраняется.

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = TX'$ , $Y = TY'$ : $b(x,y) = X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}BT)Y'$ . Матрица формы определена однозначно ( $b_{ij}' = b(e_i', e_j')$ ), поэтому $B' = T^\mathsf{T}BT$ . Умножение на невырожденные матрицы не меняет ранг, а $\det B' = (\det T)^2\det B$ . $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Формула Грассмана

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ конечномерного пространства

\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1\cap L_2).

Доказательство

Развернуть

Пусть $c_1,\dots,c_k$ — базис $L_1\cap L_2$ . Дополним его до базиса $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p$ пространства $L_1$ и до базиса $c_1,\dots,c_k,b_1,\dots,b_q$ пространства $L_2$ . Покажем, что $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q$ — базис $L_1 + L_2$ ; тогда $\dim(L_1 + L_2) = k + p + q = (k + p) + (k + q) - k$ .

Порождение. Любой $x_1 + x_2$ с $x_i\in L_i$ — комбинация векторов $c, a$ и $c, b$ .

Независимость. Пусть $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i + \sum\beta_ib_i = 0$ . Вектор $y = \sum\beta_ib_i = -\sum\gamma_ic_i - \sum\alpha_ia_i$ лежит и в $L_2$ , и в $L_1$ , то есть в пересечении: $y = \sum\delta_ic_i$ . Тогда $\sum\beta_ib_i - \sum\delta_ic_i = 0$ , и по независимости базиса $L_2$ все $\beta_i = 0$ . Остаётся $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i = 0$ — по независимости базиса $L_1$ все коэффициенты нулевые. $\blacksquare$

Канонический базис как b-ортогональный базис

Формулировка

Квадратичная форма имеет канонический вид в базисе $e$ тогда и только тогда, когда $b(e_i,e_j) = 0$ при $i\ne j$ . Коэффициенты канонического вида равны $c_i = q(e_i)$ .

Доказательство

Развернуть

Матрица формы диагональна ровно тогда, когда её внедиагональные элементы $b(e_i,e_j)$ равны нулю; диагональные элементы — $b(e_i,e_i) = q(e_i)$ . $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Приведение квадратичных форм

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

Доказательство

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Формулировка

Доказательство

Закон инерции квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Положительная определённость в терминах канонического вида и собственных значений

Формулировка

Доказательство

Критерий Сильвестра

Формулировка

Доказательство

Одновременное приведение пары квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Нормальный вид и классификация квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Метод Лагранжа для формы трёх переменных

Условие

Решение

Положительная определённость формы с параметром

Условие

Решение

Приведение формы к главным осям

Условие

Решение

Индексы инерции формы без квадратов

Условие

Решение

Одновременное приведение пары форм

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Знакоопределённые квадратичные формы

Индексы инерции. Сигнатура

Угловые миноры

Квадратичная форма

Канонический и нормальный вид квадратичной формы

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Матрица билинейной и квадратичной формы. Ранг формы

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Доказательство

Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Доказательство

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Формула Грассмана

Формулировка

Доказательство

Канонический базис как b-ортогональный базис

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство