Ортогональные операторы

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Критерии ортогональности оператора
Свойства ортогональных матриц
Матрица перехода между ортонормированными базисами
Ортогональные операторы на плоскости
Канонический вид ортогонального оператора
Ортогональные операторы трёхмерного пространства
Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

теорема

Критерии ортогональности оператора

Формулировка

Для оператора $\mathcal Q$ в конечномерном евклидовом пространстве равносильны условия:

$\mathcal Q$ сохраняет скалярное произведение;
$\mathcal Q$ сохраняет длины: $|\mathcal Qx| = |x|$ ;
$\mathcal Q$ переводит некоторый (а тогда и любой) ортонормированный базис в ортонормированный;
матрица $\mathcal Q$ в ортонормированном базисе ортогональна;
$\mathcal Q^*\mathcal Q = \mathcal I$ , то есть $\mathcal Q$ обратим и $\mathcal Q^{-1} = \mathcal Q^*$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ : положить $y = x$ . $2\Rightarrow1$ : $(x,y) = \frac12\big(|x + y|^2 - |x|^2 - |y|^2\big)$ , а правая часть сохраняется.

$1\Rightarrow3$ : $(\mathcal Qe_i, \mathcal Qe_j) = (e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . $3\Rightarrow1$ : если $e$ и $\mathcal Qe$ — ортонормированные базисы, то $\mathcal Qx = \sum x_i\mathcal Qe_i$ и $(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = \sum x_iy_i = (x,y)$ .

$1\iff4$ : в ортонормированном базисе $(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = X^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QY$ . Это равно $X^\mathsf{T}Y$ при всех $X, Y$ тогда и только тогда, когда $Q^\mathsf{T}Q = E$ .

$4\iff5$ : матрица $\mathcal Q^*$ в ортонормированном базисе равна $Q^\mathsf{T}$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

$Q^\mathsf{T}Q = E\iff QQ^\mathsf{T} = E\iff Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ ; столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.
$\det Q = \pm1$ .
Произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной, ортогональны.
Все корни характеристического многочлена ортогональной матрицы по модулю равны $1$ ; вещественные собственные значения равны $\pm1$ .

Доказательство

Развернуть

Односторонняя обратная квадратной матрицы является обратной. Элемент $(i,j)$ матрицы $Q^\mathsf{T}Q$ — скалярное произведение $i$ -го и $j$ -го столбцов; для $QQ^\mathsf{T}$ — строк.
$1 = \det E = \det Q^\mathsf{T}\det Q = (\det Q)^2$ .
$(Q_1Q_2)^\mathsf{T}Q_1Q_2 = Q_2^\mathsf{T}Q_1^\mathsf{T}Q_1Q_2 = E$ ; $(Q^{-1})^\mathsf{T}Q^{-1} = QQ^\mathsf{T} = E$ .
Если $QZ = \lambda Z$ , $Z\ne0$ — комплексный столбец, то $\bar Z^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QZ = \bar Z^\mathsf{T}Z$ , а левая часть равна $\overline{\lambda Z}^\mathsf{T}\lambda Z = |\lambda|^2\bar Z^\mathsf{T}Z$ . Так как $\bar Z^\mathsf{T}Z > 0$ , получаем $|\lambda| = 1$ . $\blacksquare$

теорема

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна. Обратно, если $e$ — ортонормированный базис, а $T$ ортогональна, то базис $e' = eT$ ортонормирован.

Доказательство

Развернуть

Столбцы $T$ — координаты векторов $e_j'$ в ортонормированном базисе $e$ , поэтому $(e_i', e_j')$ равно скалярному произведению $i$ -го и $j$ -го столбцов $T$ . Условие $(e_i', e_j') = \delta_{ij}$ равносильно $T^\mathsf{T}T = E$ . $\blacksquare$

теорема

Ортогональные операторы на плоскости

Формулировка

Любая ортогональная матрица порядка $2$ имеет один из видов

R_\varphi = \begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}\ (\det = 1),\qquad S_\varphi = \begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}\ (\det = -1).

Первая задаёт поворот на угол $\varphi$ ; вторая — отражение относительно прямой, имеет собственные значения $1$ и $-1$ с ортогональными собственными векторами.

Доказательство

Развернуть

Первый столбец — единичный вектор, то есть $(\cos\varphi, \sin\varphi)$ . Второй столбец — единичный вектор, ортогональный первому, то есть $\pm(-\sin\varphi, \cos\varphi)$ ; знак определяется знаком определителя.

$S_\varphi$ симметрична, $\operatorname{tr}S_\varphi = 0$ , $\det S_\varphi = -1$ , поэтому $\chi(\lambda) = \lambda^2 - 1$ , собственные значения $\pm1$ , а собственные векторы симметричной матрицы для различных собственных значений ортогональны. $\blacksquare$

теорема

Канонический вид ортогонального оператора

Формулировка

Для любого ортогонального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица блочно-диагональна с блоками вида $(1)$ , $(-1)$ и $R_\varphi$ , $0 < \varphi < \pi$ .

Доказательство

Развернуть

Инвариантность дополнения. Если $L$ инвариантно относительно $\mathcal Q$ , то $\mathcal Q(L) = L$ ( $\mathcal Q$ обратим, размерности равны), поэтому $L$ инвариантно и относительно $\mathcal Q^{-1} = \mathcal Q^*$ . Тогда $L^\perp$ инвариантно относительно $(\mathcal Q^*)^* = \mathcal Q$ .

Индукция по размерности. Существует инвариантное подпространство $L$ размерности $1$ или $2$ . Ограничение $\mathcal Q$ на $L$ и на $L^\perp$ — ортогональные операторы, и к $L^\perp$ применимо предположение индукции.

$\dim L = 1$ : $\mathcal Qx = \lambda x$ , $|\lambda| = 1$ , то есть блок $(\pm1)$ .
$\dim L = 2$ : в ортонормированном базисе $L$ матрица ограничения — $R_\varphi$ или $S_\varphi$ . В случае $S_\varphi$ плоскость раскладывается в два ортогональных собственных направления — два блока $(1)$ и $(-1)$ . Если $R_\varphi$ при $\varphi\in(\pi, 2\pi)$ , заменим второй базисный вектор на противоположный: получится $R_{2\pi - \varphi}$ . Случаи $\varphi = 0, \pi$ дают блоки $(1),(1)$ и $(-1),(-1)$ . $\blacksquare$

следствие

Ортогональные операторы трёхмерного пространства

Формулировка

Ортогональный оператор в трёхмерном евклидовом пространстве с определителем $1$ — поворот вокруг некоторой оси (собственного вектора с собственным значением $1$ ) на угол $\varphi\in[0,\pi]$ , где

\cos\varphi = \frac{\operatorname{tr}Q - 1}{2}.

Оператор с определителем $-1$ — композиция такого поворота и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси.

Доказательство

Развернуть

Канонический вид в размерности $3$ : либо $(\pm1)\oplus R_\varphi$ , либо $\operatorname{diag}(\pm1,\pm1,\pm1)$ . При $\det = 1$ это $(1)\oplus R_\varphi$ , $\operatorname{diag}(1,1,1)$ (тождественный, $\varphi = 0$ ) или $\operatorname{diag}(1,-1,-1)$ (поворот на $\pi$ ). Во всех случаях первый базисный вектор — ось, а в ортогональной плоскости действует поворот. След не зависит от базиса и равен $1 + 2\cos\varphi$ . При $\det = -1$ вместо $(1)$ на оси стоит $(-1)$ . $\blacksquare$

теорема

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Для любой вещественной симметричной матрицы $A$ существует ортогональная матрица $Q$ такая, что

Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),

где $\lambda_i$ — собственные значения $A$ с учётом кратности. Столбцы $Q$ — ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство

Развернуть

Оператор с матрицей $A$ в стандартном ортонормированном базисе $\mathbb R^n$ самосопряжён, поэтому существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Матрица перехода $Q$ к этому базису ортогональна, $Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ , а матрица оператора в новом базисе диагональна.

Алгоритм: найти корни $\chi$ ; в каждом собственном подпространстве найти базис и ортонормировать его процессом Грама–Шмидта (векторы из разных подпространств уже ортогональны); записать полученные векторы столбцами $Q$ . $\blacksquare$

Поворот, переставляющий координатные оси

Условие

Доказать, что оператор с матрицей $Q = \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ в ортонормированном базисе — поворот, и найти его ось и угол.

Решение

Развернуть

Столбцы $Q$ — переставленные векторы стандартного базиса, поэтому $Q$ ортогональна; $\det Q = 1$ . Значит, это поворот.

Ось: $Q(1,1,1)^\mathsf{T} = (1,1,1)^\mathsf{T}$ , то есть ось направлена по $(1,1,1)$ . Угол: $\cos\varphi = \frac{\operatorname{tr}Q - 1}2 = -\frac12$ , $\varphi = \frac{2\pi}3$ . Оператор циклически переставляет векторы $\mathbf i\to\mathbf j\to\mathbf k\to\mathbf i$ .

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы третьего порядка

Условие

Найти ортогональную матрицу $Q$ , приводящую $A = \begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ к диагональному виду.

Решение

Развернуть

$A = E + U$ , где $U$ — матрица из единиц с собственными значениями $3, 0, 0$ . Поэтому собственные значения $A$ равны $4, 1, 1$ .

$\lambda = 4$ : собственный вектор $(1,1,1)$ .
$\lambda = 1$ : подпространство $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ ; его базис $(1,-1,0)$ , $(1,0,-1)$ ортогонализуем: второй вектор заменяем на $(1,0,-1) - \frac12(1,-1,0) = \frac12(1,1,-2)$ .

После нормировки

Q = \begin{pmatrix}1/\sqrt3&1/\sqrt2&1/\sqrt6\\1/\sqrt3&-1/\sqrt2&1/\sqrt6\\1/\sqrt3&0&-2/\sqrt6\end{pmatrix},\qquad Q^\mathsf{T}AQ = \operatorname{diag}(4,1,1).

Поворот или отражение на плоскости

Условие

Определить геометрический смысл операторов с матрицами $\frac15\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}$ и $\frac15\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}$ в ортонормированном базисе плоскости.

Решение

Развернуть

Обе матрицы ортогональны. У первой определитель $1$ , это поворот на угол $\varphi$ с $\cos\varphi = \frac35$ , $\sin\varphi = \frac45$ .

У второй определитель $-1$ , это отражение. Ось — собственный вектор для $\lambda = 1$ : $-\frac25x + \frac45y = 0$ , то есть направление $(2,1)$ . Вектор $(1,-2)$ меняет знак.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Ортогональный оператор и ортогональная матрица

Оператор $\mathcal Q$ в евклидовом пространстве называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение:

(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = (x,y)\quad\text{для всех } x, y.

Квадратная матрица $Q$ называется ортогональной, если $Q^\mathsf{T}Q = E$ .

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Система векторов называется ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, и ортонормированной, если, кроме того, все они имеют единичную длину: $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Базис, являющийся ортонормированной системой, называется ортонормированным базисом (ОНБ).

Сопряжённый оператор

Оператор $\mathcal A^*$ в евклидовом пространстве называется сопряжённым к оператору $\mathcal A$ , если для всех $x, y$

(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y).

Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть $e = (e_1,\dots,e_n)$ и $e' = (e_1',\dots,e_n')$ — базисы пространства $V$ и

e_j' = \sum_{i=1}^nt_{ij}e_i,\qquad j = 1,\dots,n.

Матрица $T = (t_{ij})$ , $j$ -й столбец которой — координаты вектора $e_j'$ в базисе $e$ , называется матрицей перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Коротко: $e' = eT$ .

Инвариантное подпространство

Подпространство $L\subset V$ называется инвариантным относительно оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax\in L$ для всех $x\in L$ . Тогда определено ограничение $\mathcal A|_L\colon L\to L$ .

Подобные матрицы

Квадратные матрицы $A$ и $B$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $T$ такая, что $B = T^{-1}AT$ .

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

В ортонормированном базисе $x_i = (x,e_i)$ , $(x,y) = \sum x_iy_i = X^\mathsf{T}Y$ , $|x|^2 = \sum x_i^2$ .
В произвольном базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ верно $(x,y) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ ; матрица $\Gamma$ симметрична. Если $e' = eT$ , то $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .

Доказательство

Развернуть

По билинейности $(x,y) = \big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_j(e_i,e_j) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ . Симметричность следует из симметричности скалярного произведения. Подставив $X = TX'$ , $Y = TY'$ , получаем $X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}\Gamma T)Y'$ ; по единственности матрицы билинейной функции $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .
В ОНБ $\Gamma = E$ . Умножая $x = \sum x_ie_i$ скалярно на $e_j$ , получаем $(x,e_j) = x_j$ . $\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве сопряжённый существует и единствен.
В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ ; в произвольном базисе с матрицей Грама $\Gamma$ она равна $\Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ .
$(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ , $(\mathcal A + \mathcal B)^* = \mathcal A^* + \mathcal B^*$ , $(\lambda\mathcal A)^* = \lambda\mathcal A^*$ , $(\mathcal A\mathcal B)^* = \mathcal B^*\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Единственность. Если $(x, \mathcal By) = (x, \mathcal Cy)$ для всех $x$ , то при $x = \mathcal By - \mathcal Cy$ получаем $|\mathcal By - \mathcal Cy|^2 = 0$ .

Существование и матрица. В базисе с матрицей Грама $\Gamma$ равенство $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y)$ записывается как

(AX)^\mathsf{T}\Gamma Y = X^\mathsf{T}\Gamma A^*Y\quad\text{для всех } X, Y,

то есть $A^\mathsf{T}\Gamma = \Gamma A^*$ . Так как $\Gamma$ невырождена, $A^* = \Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ подходит, и оператор с этой матрицей — сопряжённый. В ОНБ $\Gamma = E$ .

Проверяется подстановкой, например $(\mathcal A\mathcal Bx, y) = (\mathcal Bx, \mathcal A^*y) = (x, \mathcal B^*\mathcal A^*y)$ . $\blacksquare$

Свойства нормы. Теорема Пифагора

Формулировка

$|x| = \sqrt{(x,x)}$ — норма; в частности, $|x + y|\le|x| + |y|$ . Следовательно, евклидово пространство — нормированное.
Угол между ненулевыми векторами определён корректно.
(Пифагор) Если $x\perp y$ , то $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$ .
(Равенство параллелограмма) $|x + y|^2 + |x - y|^2 = 2|x|^2 + 2|y|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Положительность и однородность очевидны. Далее,

|x + y|^2 = |x|^2 + 2(x,y) + |y|^2\le|x|^2 + 2|x|\,|y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2

по неравенству Коши–Буняковского.

По тому же неравенству $\left|\frac{(x,y)}{|x||y|}\right|\le1$ .

3, 4. Раскрываем скобки: $|x\pm y|^2 = |x|^2\pm2(x,y) + |y|^2$ . $\blacksquare$

Односторонняя обратная матрица является обратной

Формулировка

Если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного порядка и $AB = E$ , то $BA = E$ , то есть $B = A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

Так как $\det(AB) = \det A\det B$ , имеем $\det A\det B = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ , и существует $A^{-1}$ . Тогда

B = (A^{-1}A)B = A^{-1}(AB) = A^{-1}.

$\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

$\det A^\mathsf{T} = \det A$ . Как следствие, всякое свойство определителя, сформулированное для строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Так как $(A^\mathsf{T})_{ij} = a_{ji}$ ,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma\; a_{\sigma(1)1}\, a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}.

Переставим множители в каждом произведении по возрастанию первого индекса. Множитель с первым индексом $i$ — это $a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ , поэтому произведение равно $\prod_i a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ . Кроме того, $\operatorname{sgn}\sigma^{-1} = \operatorname{sgn}\sigma$ . Когда $\sigma$ пробегает $S_n$ , подстановка $\rho = \sigma^{-1}$ тоже пробегает всё $S_n$ . Значит,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\rho\in S_n} \operatorname{sgn}\rho\; a_{1\rho(1)}\cdots a_{n\rho(n)} = \det A.

$\blacksquare$

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

Свойства сопряжения и модуля

Формулировка

$\overline{z_1\pm z_2} = \bar z_1\pm\bar z_2$ , $\overline{z_1z_2} = \bar z_1\bar z_2$ ;
$z\bar z = |z|^2$ ; $z\in\mathbb R \iff z = \bar z$ ;
$|z_1z_2| = |z_1|\,|z_2|$ ;
$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2 проверяются непосредственно (равенство $z\bar z = |z|^2$ уже проверено при выводе формулы деления).

$|z_1z_2|^2 = z_1z_2\overline{z_1z_2} = z_1\bar z_1\,z_2\bar z_2 = |z_1|^2|z_2|^2$ .
Сумма комплексных чисел соответствует сумме радиус-векторов, а для векторов это неравенство треугольника. $\blacksquare$

Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы

Формулировка

При переходе к другой прямоугольной системе координат ( $X = QX' + X_0$ , $Q$ ортогональна) характеристический многочлен матрицы $A$ (в частности, $\operatorname{tr}A$ и $\det A$ ) и определитель расширенной матрицы $\hat A$ не меняются. Для кривых это означает инвариантность $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ .

Доказательство

Развернуть

Квадратичная часть преобразуется как $A' = Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ$ (перенос её не меняет), а подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен.

В однородных координатах замена записывается как $\hat X = P\hat X'$ с $P = \begin{pmatrix}Q&X_0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому $\hat A' = P^\mathsf{T}\hat AP$ . Так как $\det P = \det Q = \pm1$ , получаем $\det\hat A' = (\det P)^2\det\hat A = \det\hat A$ . $\blacksquare$

Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

Формулировка

Поворотом прямоугольной системы координат ( $X = QY$ , $Q$ ортогональна, $\det Q = 1$ ) и переносом начала уравнение приводится к одному из видов

\lambda_1z_1^2 + \dots + \lambda_rz_r^2 + c' = 0\qquad\text{или}\qquad\lambda_1z_1^2 + \dots + \lambda_rz_r^2 + 2\beta z_{r+1} = 0,

где $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ — ненулевые собственные значения $A$ , $r = \operatorname{rank}A$ , $\beta > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Поворот. Возьмём ортогональную $Q$ , приводящую $A$ к виду $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)$ . Если $\det Q = -1$ , сменим знак у одного столбца: диагональный вид сохранится. После замены $X = QY$ уравнение принимает вид

\sum_{i\le r}\lambda_iy_i^2 + 2\sum_{i=1}^nb_i'y_i + c = 0,\qquad b' = Q^\mathsf{T}b.

Перенос по первым $r$ координатам. $\lambda_iy_i^2 + 2b_i'y_i = \lambda_i\big(y_i + \frac{b_i'}{\lambda_i}\big)^2 - \frac{b_i'^2}{\lambda_i}$ ; положим $z_i = y_i + b_i'/\lambda_i$ .

Остальные координаты. Если $b_{r+1}' = \dots = b_n' = 0$ , получаем первый вид. Иначе сделаем поворот в координатах $y_{r+1},\dots,y_n$ , при котором первый новый базисный вектор направлен вдоль $(b_{r+1}',\dots,b_n')$ . Тогда линейная часть по этим координатам станет $2\beta z_{r+1}'$ с $\beta = |(b_{r+1}',\dots,b_n')|$ . Сдвиг по $z_{r+1}$ уничтожает свободный член. $\blacksquare$

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности

Формулировка

Любой оператор в ненулевом конечномерном комплексном пространстве имеет собственный вектор, то есть одномерное инвариантное подпространство.
Любой оператор в ненулевом конечномерном вещественном пространстве имеет инвариантное подпространство размерности $1$ или $2$ .

Доказательство

Развернуть

По основной теореме алгебры $\chi$ имеет комплексный корень, а он является собственным значением.
Пусть $A$ — матрица оператора в некотором базисе. Если у $\chi$ есть вещественный корень, есть и собственный вектор. Иначе возьмём комплексный корень $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne0$ , и ненулевое решение $Z = U + iV$ системы $AZ = \lambda Z$ ( $U, V$ — вещественные столбцы). Отделяя вещественную и мнимую части, получаем

AU = \alpha U - \beta V,\qquad AV = \beta U + \alpha V.

Значит, векторы с координатами $U$ и $V$ порождают инвариантное подпространство, причём оно ненулевое, так как $Z\ne0$ , и его размерность не больше $2$ . $\blacksquare$

Ядро и образ сопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A^* = (\operatorname{Im}\mathcal A)^\perp$ и $\operatorname{Im}\mathcal A^* = (\operatorname{Ker}\mathcal A)^\perp$ ; в частности, $\operatorname{rank}\mathcal A^* = \operatorname{rank}\mathcal A$ .
Если подпространство $L$ инвариантно относительно $\mathcal A$ , то $L^\perp$ инвариантно относительно $\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$y\in\operatorname{Ker}\mathcal A^*\iff(x, \mathcal A^*y) = 0\ \forall x\iff(\mathcal Ax, y) = 0\ \forall x\iff y\perp\operatorname{Im}\mathcal A$ . Применяя это к $\mathcal A^*$ (с учётом $(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ ), получаем $\operatorname{Ker}\mathcal A = (\operatorname{Im}\mathcal A^*)^\perp$ , и, переходя к ортогональным дополнениям, $\operatorname{Im}\mathcal A^* = (\operatorname{Ker}\mathcal A)^\perp$ .
Пусть $y\in L^\perp$ . Для любого $x\in L$ вектор $\mathcal Ax\in L$ , поэтому $(x, \mathcal A^*y) = (\mathcal Ax, y) = 0$ , то есть $\mathcal A^*y\in L^\perp$ . $\blacksquare$

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для подпространства $L$ $n$ -мерного евклидова пространства $V$ :

$L^\perp$ — подпространство и $\dim L^\perp = n - \dim L$ ;
$V = L\oplus L^\perp$ ;
$(L^\perp)^\perp = L$ ;
если $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , то $x\in L^\perp\iff(x,a_i) = 0$ при $i = 1,\dots,k$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ ; дополним его до ортонормированного базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Так как $x_i = (x,e_i)$ , вектор $x$ ортогонален $L$ тогда и только тогда, когда $x_1 = \dots = x_k = 0$ , то есть

L^\perp = \operatorname{span}(e_{k+1},\dots,e_n).

Отсюда следуют п. 1 и 2. Аналогично $(L^\perp)^\perp = \operatorname{span}(e_1,\dots,e_k) = L$ .

Если $x$ ортогонален всем $a_i$ , то он ортогонален и их линейным комбинациям. $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Для любого самосопряжённого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из его собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна, а пространство раскладывается в прямую сумму попарно ортогональных собственных подпространств.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ ; при $n = 1$ любой ненулевой вектор собственный. Пусть $n > 1$ . Характеристический многочлен имеет корень, и он вещественный, поэтому существует собственный вектор; нормируем его и обозначим $e_1$ .

Подпространство $L = \operatorname{span}(e_1)$ инвариантно, значит, $L^\perp$ размерности $n - 1$ тоже инвариантно, и ограничение $\mathcal A|_{L^\perp}$ самосопряжено. По предположению индукции в $L^\perp$ есть ортонормированный базис $e_2,\dots,e_n$ из собственных векторов. Векторы $e_1,\dots,e_n$ — искомый базис.

Собственные подпространства для разных собственных значений ортогональны, а их сумма — всё $V$ , так как содержит построенный базис. $\blacksquare$

Критерий самосопряжённости

Формулировка

Оператор самосопряжён тогда и только тогда, когда его матрица в некотором (а тогда и в любом) ортонормированном базисе симметрична. В частности, оператор в $\mathbb R^n$ , заданный симметричной матрицей, самосопряжён относительно стандартного скалярного произведения.

Доказательство

Развернуть

В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ . Равенство $\mathcal A^* = \mathcal A$ равносильно равенству матриц $A^\mathsf{T} = A$ . $\blacksquare$

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором

q(x) = \lambda_1x_1^2 + \dots + \lambda_nx_n^2,

где $\lambda_i$ — собственные значения матрицы формы в (любом) ортонормированном базисе. В координатах: существует ортогональная матрица $Q$ с $Q^\mathsf{T}BQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , и замена $X = QY$ приводит форму к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathcal A$ — самосопряжённый оператор с $b(x,y) = (\mathcal Ax, y)$ . Возьмём ортонормированный базис из его собственных векторов: $\mathcal Ae_i = \lambda_ie_i$ . Тогда $b(e_i,e_j) = (\lambda_ie_i, e_j) = \lambda_i\delta_{ij}$ , то есть базис канонический. Матрица оператора в ортонормированном базисе совпадает с матрицей формы, поэтому $\lambda_i$ — собственные значения этой матрицы. Координатная форма — теорема об ортогональной диагонализации симметричной матрицы: для ортогональной $Q$ имеем $Q^\mathsf{T} = Q^{-1}$ . $\blacksquare$

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса

Формулировка

Пусть $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы. Векторы

b_1 = a_1,\qquad b_m = a_m - \sum_{i=1}^{m-1}\frac{(a_m,b_i)}{(b_i,b_i)}b_i\quad(m = 2,\dots,k)

ненулевые, попарно ортогональны и $\operatorname{span}(b_1,\dots,b_m) = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_m)$ при каждом $m$ . Векторы $e_i = b_i/|b_i|$ образуют ортонормированную систему. 2. В любом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. 3. Любую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $m$ . Пусть $b_1,\dots,b_{m-1}$ ненулевые, ортогональны и порождают $\operatorname{span}(a_1,\dots,a_{m-1})$ . При $j < m$

(b_m,b_j) = (a_m,b_j) - \frac{(a_m,b_j)}{(b_j,b_j)}(b_j,b_j) = 0.

Если $b_m = 0$ , то $a_m$ лежит в $\operatorname{span}(b_1,\dots,b_{m-1}) = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_{m-1})$ , что противоречит независимости. Вектор $b_m$ выражается через $a_1,\dots,a_m$ , а $a_m$ — через $b_1,\dots,b_m$ , поэтому оболочки совпадают.

Применяем процесс к любому базису: получаем ортонормированную систему из $n$ векторов. Она линейно независима, а значит, это базис.
Дополним ортонормированную систему $e_1,\dots,e_k$ до базиса и применим процесс: первые $k$ векторов не изменятся, так как они уже ортонормированы. $\blacksquare$

Ортогональные операторы

Критерии ортогональности оператора

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

Доказательство

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Доказательство

Ортогональные операторы на плоскости

Формулировка

Доказательство

Канонический вид ортогонального оператора

Формулировка

Доказательство

Ортогональные операторы трёхмерного пространства

Формулировка

Доказательство

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Доказательство

Поворот, переставляющий координатные оси

Условие

Решение

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы третьего порядка

Условие

Решение

Поворот или отражение на плоскости

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Ортогональный оператор и ортогональная матрица

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Сопряжённый оператор

Матрица перехода от одного базиса к другому

Инвариантное подпространство

Подобные матрицы

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

Доказательство

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Свойства нормы. Теорема Пифагора

Формулировка

Доказательство

Односторонняя обратная матрица является обратной

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

Доказательство

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Свойства сопряжения и модуля

Формулировка

Доказательство

Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы

Формулировка

Доказательство

Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

Формулировка

Доказательство

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Доказательство

Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности

Формулировка

Доказательство

Ядро и образ сопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка