Линейные пространства

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Простейшие следствия аксиом линейного пространства
Свойства линейно зависимых и независимых систем
Критерий линейной зависимости
Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций
Единственность разложения вектора по базису
Линейные операции в координатной форме

теорема

Простейшие следствия аксиом линейного пространства

Формулировка

В любом линейном пространстве:

нулевой вектор единствен; противоположный вектор для каждого $x$ единствен;
$0\cdot x = 0$ и $\lambda\cdot 0 = 0$ ;
$(-1)x = -x$ ;
если $\lambda x = 0$ , то $\lambda = 0$ или $x = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если $0$ и $0'$ — нули, то $0' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0$ . Если $y$ и $y'$ противоположны $x$ , то $y = y + (x + y') = (y + x) + y' = y'$ .
$0\cdot x = (0 + 0)x = 0\cdot x + 0\cdot x$ ; прибавив к обеим частям $-(0\cdot x)$ , получаем $0\cdot x = 0$ . Аналогично $\lambda\cdot0 = \lambda(0 + 0) = \lambda0 + \lambda0$ , откуда $\lambda\cdot 0 = 0$ .
$x + (-1)x = (1 + (-1))x = 0\cdot x = 0$ ; по единственности противоположного $(-1)x = -x$ .
Если $\lambda\ne0$ , то $x = 1\cdot x = (\lambda^{-1}\lambda)x = \lambda^{-1}(\lambda x) = \lambda^{-1}\cdot 0 = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства линейно зависимых и независимых систем

Формулировка

Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
Система из одного вектора $a$ линейно зависима тогда и только тогда, когда $a = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если $a_1 = 0$ , то $1\cdot a_1 + 0\cdot a_2 + \dots + 0\cdot a_k = 0$ — нетривиальная нулевая комбинация.
Нетривиальную нулевую комбинацию части системы дополним нулевыми коэффициентами при остальных векторах — получим нетривиальную нулевую комбинацию всей системы.
Это утверждение, равносильное п. 2.
Если $\lambda a = 0$ при $\lambda\ne0$ , то $a = 0$ по свойству $\lambda x = 0\Rightarrow\lambda = 0$ или $x = 0$ . Обратное — п. 1. $\blacksquare$

теорема

Критерий линейной зависимости

Формулировка

Система из $k\ge2$ векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один её вектор является линейной комбинацией остальных. Если $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы, а $a_1,\dots,a_k,b$ зависимы, то $b$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_k$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\sum\lambda_ia_i = 0$ и $\lambda_j\ne0$ , то $a_j = -\sum_{i\ne j}\frac{\lambda_i}{\lambda_j}a_i$ . Обратно, из $a_j = \sum_{i\ne j}\mu_ia_i$ получаем нетривиальную комбинацию $a_j - \sum_{i\ne j}\mu_ia_i = 0$ (коэффициент при $a_j$ равен $1$ ).

Пусть $\sum\lambda_ia_i + \mu b = 0$ — нетривиальная комбинация. Если $\mu = 0$ , то нетривиальна комбинация $\sum\lambda_ia_i = 0$ , что противоречит независимости. Значит, $\mu\ne0$ и $b = -\sum\frac{\lambda_i}{\mu}a_i$ . $\blacksquare$

лемма

Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций

Формулировка

Если каждый из векторов $b_1,\dots,b_m$ является линейной комбинацией векторов $a_1,\dots,a_k$ и $m > k$ , то система $b_1,\dots,b_m$ линейно зависима.

Доказательство

Развернуть

Пусть $b_j = \sum_{i=1}^kc_{ij}a_i$ . Ищем числа $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ , не все нулевые, с $\sum_j\lambda_jb_j = 0$ . Так как

\sum_{j=1}^m\lambda_jb_j = \sum_{i=1}^k\Big(\sum_{j=1}^mc_{ij}\lambda_j\Big)a_i,

достаточно, чтобы выполнялись $k$ равенств $\sum_jc_{ij}\lambda_j = 0$ , $i = 1,\dots,k$ . Это однородная система из $k$ уравнений с $m > k$ неизвестными. Ранг её матрицы не больше $k < m$ , поэтому по критерию существования ненулевых решений однородной системы у неё есть ненулевое решение. $\blacksquare$

теорема

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $x = \sum x_ie_i = \sum x_i'e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')e_i = 0$ . Базис линейно независим, поэтому $x_i = x_i'$ при всех $i$ . $\blacksquare$

теорема

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Пусть в базисе $e$ векторы $x$ , $y$ имеют координатные столбцы $X$ , $Y$ . Тогда:

координатный столбец $x + y$ равен $X + Y$ , а $\lambda x$ — $\lambda X$ ;
векторы $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы, то есть ранг матрицы, составленной из этих столбцов, равен $k$ ;
максимальное число линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ равно рангу этой матрицы.

Доказательство

Развернуть

$x + y = \sum x_ie_i + \sum y_ie_i = \sum(x_i + y_i)e_i$ ; по единственности разложения это и есть координаты суммы. Для $\lambda x$ аналогично.
По п. 1 равенство $\sum\lambda_ja_j = 0$ равносильно $\sum\lambda_jA_j = 0$ для координатных столбцов $A_j$ (нулевой вектор имеет нулевые координаты). Значит, линейные соотношения между векторами и между их столбцами одни и те же. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых столбцов.
Следует из п. 2 и той же теоремы о ранге. $\blacksquare$

Многочлены степени ровно n не образуют линейного пространства

Условие

Образует ли линейное пространство множество многочленов степени не выше $n$ ? Множество многочленов степени ровно $n$ ?

Решение

Развернуть

Многочлены степени не выше $n$ (с нулевым многочленом) образуют линейное пространство $P_n$ : сумма и произведение на число не повышают степень, а аксиомы выполнены, потому что они верны для операций над коэффициентами.

Многочлены степени ровно $n$ пространства не образуют: в этом множестве нет нулевого многочлена. Кроме того, сумма $t^n + (-t^n + 1) = 1$ имеет степень $0$ .

Исследование системы векторов на линейную зависимость

Условие

Исследовать на линейную зависимость векторы $a_1 = (1,2,0,1)$ , $a_2 = (2,1,1,0)$ , $a_3 = (1,-1,1,-1)$ , $a_4 = (0,3,-1,2)$ в $\mathbb R^4$ . Найти максимальную линейно независимую подсистему и выразить через неё остальные векторы.

Решение

Развернуть

Составим матрицу из строк-векторов и приведём к ступенчатому виду:

\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&1&1&0\\1&-1&1&-1\\0&3&-1&2\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&-3&1&-2\\0&-3&1&-2\\0&3&-1&2\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&-3&1&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Ранг равен $2$ , поэтому система линейно зависима, а $a_1, a_2$ — максимальная линейно независимая подсистема. Непосредственно проверяется:

a_3 = a_2 - a_1,\qquad a_4 = 2a_1 - a_2.

Координаты вектора в заданном базисе

Условие

Доказать, что векторы $e_1 = (1,0,0)$ , $e_2 = (1,1,0)$ , $e_3 = (1,1,1)$ образуют базис $\mathbb R^3$ , и найти координаты вектора $x = (3,2,1)$ в этом базисе.

Решение

Развернуть

Определитель из координат $\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix} = 1\ne0$ , поэтому векторы линейно независимы. Любой вектор $(y_1,y_2,y_3)$ раскладывается по ним: система $a + b + c = y_1$ , $b + c = y_2$ , $c = y_3$ всегда разрешима. Значит, это базис.

Для $x$ : $c = 1$ , $b = 2 - 1 = 1$ , $a = 3 - 2 = 1$ . Ответ: $x = e_1 + e_2 + e_3$ , координаты $(1,1,1)$ .

Линейная независимость экспонент

Условие

Доказать, что при попарно различных $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ функции $e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_kt}$ линейно независимы в $C[0,1]$ .

Решение

Развернуть

Индукция по $k$ . При $k = 1$ функция $e^{\lambda_1t}$ ненулевая. Пусть утверждение верно для $k - 1$ функций и

c_1e^{\lambda_1t} + \dots + c_ke^{\lambda_kt} = 0\quad\text{на }[0,1].

Умножим на $e^{-\lambda_kt}$ и продифференцируем:

\sum_{i=1}^{k-1}c_i(\lambda_i - \lambda_k)e^{(\lambda_i - \lambda_k)t} = 0.

Числа $\lambda_i - \lambda_k$ при $i < k$ попарно различны, и по предположению индукции $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$ . Так как $\lambda_i\ne\lambda_k$ , получаем $c_1 = \dots = c_{k-1} = 0$ . Тогда $c_ke^{\lambda_kt} = 0$ , то есть и $c_k = 0$ .

Отсюда, в частности, следует, что $C[0,1]$ бесконечномерно.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейное пространство

Множество $V$ называется линейным (векторным) пространством над полем $\mathbb R$ , если на нём определены операция сложения $x + y\in V$ и операция умножения на число $\lambda x\in V$ ( $\lambda\in\mathbb R$ ), удовлетворяющие для всех $x, y, z\in V$ и $\alpha, \beta\in\mathbb R$ аксиомам:

$x + y = y + x$ ;
$(x + y) + z = x + (y + z)$ ;
существует нулевой элемент $0\in V$ : $x + 0 = x$ ;
для каждого $x$ существует противоположный элемент $-x$ : $x + (-x) = 0$ ;
$1\cdot x = x$ ;
$\alpha(\beta x) = (\alpha\beta)x$ ;
$(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x$ ;
$\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$ .

Элементы $V$ называют векторами. Если числа берутся из $\mathbb C$ , пространство называется комплексным.

Основные примеры линейных пространств

$\mathbb R^n$ — арифметическое пространство упорядоченных наборов $(x_1,\dots,x_n)$ с покоординатными операциями.
$V_1$ , $V_2$ , $V_3$ — пространства свободных геометрических векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
$M_{m\times n}$ — пространство матриц размера $m\times n$ с обычными сложением и умножением на число.
$P_n$ — пространство многочленов степени не выше $n$ (вместе с нулевым многочленом).
$C[a,b]$ — пространство функций, непрерывных на $[a,b]$ , с поточечными операциями.
Множество решений однородной системы линейных уравнений $AX = 0$ с $n$ неизвестными.

Линейная комбинация. Линейная зависимость

Линейной комбинацией векторов $a_1,\dots,a_k$ с коэффициентами $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ называется вектор $\lambda_1a_1 + \dots + \lambda_ka_k$ . Комбинация тривиальна, если все $\lambda_i = 0$ .

Система векторов $a_1,\dots,a_k$ называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю, и линейно независимой, если нулю равна только тривиальная комбинация.

Базис и координаты

Упорядоченная система векторов $e = (e_1,\dots,e_n)$ называется базисом линейного пространства $V$ , если она линейно независима и любой вектор $x\in V$ является её линейной комбинацией:

x = x_1e_1 + \dots + x_ne_n.

Числа $x_1,\dots,x_n$ называются координатами вектора $x$ в базисе $e$ ; столбец $X = (x_1,\dots,x_n)^\mathsf{T}$ — координатный столбец.

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Подпространство само является линейным пространством с теми же операциями; в частности, оно содержит нулевой вектор.
Пересечение и сумма подпространств — подпространства.
Линейная оболочка любой системы — подпространство; это наименьшее подпространство, содержащее эту систему.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы, не связанные с существованием элементов, выполнены в $L$ , потому что они выполнены в $V$ . Для $x\in L$ векторы $0 = 0\cdot x$ и $-x = (-1)x$ лежат в $L$ .
Если $x, y\in L_1\cap L_2$ , то $x + y$ и $\lambda x$ лежат и в $L_1$ , и в $L_2$ . Для суммы:

(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2),\qquad\lambda(x_1 + x_2) = \lambda x_1 + \lambda x_2.

Сумма двух линейных комбинаций и произведение комбинации на число — снова линейные комбинации тех же векторов. Любое подпространство, содержащее $a_1,\dots,a_k$ , содержит и все их линейные комбинации. $\blacksquare$

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ

Формулировка

Однородная система $AX = 0$ с $n$ неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда $\operatorname{rank}A < n$ . Для квадратной матрицы $A$ это равносильно $\det A = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Ненулевое решение — это нетривиальный набор $x_1, \dots, x_n$ с $\sum x_jA_j = 0$ , то есть линейная зависимость $n$ столбцов. Столбцы зависимы тогда и только тогда, когда максимальное число независимых столбцов, равное $\operatorname{rank}A$ , меньше $n$ . Для квадратной матрицы столбцы зависимы тогда и только тогда, когда $\det A = 0$ . $\blacksquare$

Число векторов в базисе

Формулировка

Все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Следовательно, размерность определена корректно.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_n$ и $f_1,\dots,f_m$ — базисы. Каждый $f_j$ — линейная комбинация $e_1,\dots,e_n$ . Если $m > n$ , то по лемме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы $f_1,\dots,f_m$ зависимы — противоречие. Значит, $m\le n$ ; меняя базисы ролями, получаем $n\le m$ . $\blacksquare$

Билинейные и квадратичные формы в координатах

Формулировка

$b(x,y) = X^\mathsf{T}BY$ ; форма симметрична тогда и только тогда, когда симметрична её матрица.
Квадратичная форма однозначно определяет свою полярную форму:

b(x,y) = \frac12\big(q(x + y) - q(x) - q(y)\big).

Доказательство

Развернуть

По билинейности $b\big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_jb(e_i,e_j)$ . Если $b$ симметрична, то $b_{ij} = b_{ji}$ ; обратно, при симметричной матрице $X^\mathsf{T}BY = (X^\mathsf{T}BY)^\mathsf{T} = Y^\mathsf{T}BX$ .
$q(x + y) = b(x,x) + 2b(x,y) + b(y,y)$ для симметричной $b$ . $\blacksquare$

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

В ортонормированном базисе $x_i = (x,e_i)$ , $(x,y) = \sum x_iy_i = X^\mathsf{T}Y$ , $|x|^2 = \sum x_i^2$ .
В произвольном базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ верно $(x,y) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ ; матрица $\Gamma$ симметрична. Если $e' = eT$ , то $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .

Доказательство

Развернуть

По билинейности $(x,y) = \big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_j(e_i,e_j) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ . Симметричность следует из симметричности скалярного произведения. Подставив $X = TX'$ , $Y = TY'$ , получаем $X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}\Gamma T)Y'$ ; по единственности матрицы билинейной функции $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .
В ОНБ $\Gamma = E$ . Умножая $x = \sum x_ie_i$ скалярно на $e_j$ , получаем $(x,e_j) = x_j$ . $\blacksquare$

Задание линейного оператора образами базисных векторов

Формулировка

$\mathcal A0 = 0$ и $\mathcal A\big(\sum\lambda_ix_i\big) = \sum\lambda_i\mathcal Ax_i$ .
Если $e_1,\dots,e_n$ — базис $V$ , а $w_1,\dots,w_n\in W$ — любые векторы, то существует единственное линейное отображение $\mathcal A$ с $\mathcal Ae_j = w_j$ .

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A0 = \mathcal A(0\cdot0) = 0\cdot\mathcal A0 = 0$ ; второе равенство получается индукцией по числу слагаемых.
Единственность. По п. 1 $\mathcal Ax = \mathcal A\big(\sum x_je_j\big) = \sum x_jw_j$ однозначно определено.

Существование. Положим $\mathcal Ax = \sum x_jw_j$ , где $x_j$ — координаты $x$ . Координаты определены однозначно, а координаты суммы и произведения на число — сумма и произведение координат. Поэтому отображение линейно, и $\mathcal Ae_j = w_j$ . $\blacksquare$

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк и максимальному числу её линейно независимых столбцов.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r = \operatorname{rank} A$ . По теореме о базисном миноре $r$ базисных строк линейно независимы.

Покажем, что любые $r + 1$ строк зависимы. Пусть $B$ — матрица из этих строк. Её миноры являются минорами $A$ , поэтому $\operatorname{rank} B \le r < r+1$ . Если $\operatorname{rank} B = 0$ , строки $B$ нулевые и зависимы. Иначе у $B$ есть небазисная строка, и она — комбинация базисных строк $B$ . Строки $B$ зависимы.

Для столбцов то же рассуждение применяем к $A^\mathsf{T}$ ( $\operatorname{rank}A^\mathsf{T} = \operatorname{rank}A$ ). $\blacksquare$

Изоморфизм конечномерных пространств

Формулировка

Изоморфизм переводит линейно зависимые системы в линейно зависимые, а независимые — в независимые; в частности, базис — в базис.
Любое $n$ -мерное пространство изоморфно $\mathbb R^n$ : изоморфизмом служит сопоставление вектору его координатного столбца в фиксированном базисе.
Конечномерные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство

Развернуть

$\varphi\big(\sum\lambda_ia_i\big) = \sum\lambda_i\varphi(a_i)$ , а $\varphi(x) = 0\iff x = 0$ , так как $\varphi(0) = 0$ и $\varphi$ инъективно. Поэтому нулевые линейные комбинации векторов $a_i$ и векторов $\varphi(a_i)$ одни и те же. Базис переходит в независимую систему, которая порождает $W$ в силу сюръективности.
Сопоставление $x\mapsto X$ биективно (существование и единственность координат) и сохраняет операции по координатным формулам.
Если $\varphi$ — изоморфизм, по п. 1 образ базиса $V$ — базис $W$ , поэтому $\dim V = \dim W$ . Обратно, оба пространства изоморфны $\mathbb R^n$ , а композиция изоморфизмов и обратный к изоморфизму — изоморфизмы. $\blacksquare$

Линейный оператор в координатах

Формулировка

Пусть $A$ — матрица отображения $\mathcal A$ в базисах $e, f$ . Тогда:

если $X$ — координатный столбец $x$ , то координатный столбец $\mathcal Ax$ равен $Y = AX$ ;
$\operatorname{rank}\mathcal A = \operatorname{rank}A$ ;
ядро $\mathcal A$ — это векторы, координаты которых удовлетворяют однородной системе $AX = 0$ .
Сопоставление отображению его матрицы — изоморфизм пространства линейных отображений $V\to W$ на $M_{m\times n}$ ; в частности, размерность этого пространства равна $mn$ .

Доказательство

Развернуть

$\mathcal Ax = \sum_jx_j\mathcal Ae_j = \sum_jx_j\sum_ia_{ij}f_i = \sum_i\Big(\sum_ja_{ij}x_j\Big)f_i$ .
$\operatorname{Im}\mathcal A$ порождается векторами $\mathcal Ae_j$ , координаты которых — столбцы $A$ . Размерность оболочки равна рангу матрицы из координатных столбцов.
Следует из п. 1.
Отображение «оператор $\mapsto$ матрица» линейно, а по теореме о задании оператора образами базиса оно биективно. $\blacksquare$

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Подпространство $L$ $n$ -мерного пространства $V$ конечномерно и $\dim L\le n$ ; равенство $\dim L = n$ выполнено только при $L = V$ .
$\dim\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ равна максимальному числу линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ , то есть рангу матрицы из их координатных столбцов. Любая максимальная линейно независимая подсистема — базис оболочки.

Доказательство

Развернуть

В $L$ нет более $n$ линейно независимых векторов (они независимы и в $V$ ). Возьмём в $L$ максимальную независимую систему: любой вектор $L$ через неё выражается (иначе её можно было бы расширить), и она — базис $L$ . Если в нём $n$ векторов, то это $n$ независимых векторов $V$ , то есть базис $V$ , и $L = V$ .
Пусть $a_{i_1},\dots,a_{i_r}$ — максимальная независимая подсистема. Каждый $a_j$ через неё выражается (иначе подсистему можно было бы расширить), поэтому и любая линейная комбинация $a_1,\dots,a_k$ выражается через неё. Значит, это базис оболочки, и $\dim = r$ . Равенство $r$ рангу — координатная форма линейной независимости. $\blacksquare$

Линейные пространства

Простейшие следствия аксиом линейного пространства

Формулировка

Доказательство

Свойства линейно зависимых и независимых систем

Формулировка

Доказательство

Критерий линейной зависимости

Формулировка

Доказательство

Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций

Формулировка

Доказательство

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Доказательство

Многочлены степени ровно n не образуют линейного пространства

Условие

Решение

Исследование системы векторов на линейную зависимость

Условие

Решение

Координаты вектора в заданном базисе

Условие

Решение

Линейная независимость экспонент

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейное пространство

Основные примеры линейных пространств

Линейная комбинация. Линейная зависимость

Базис и координаты

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ

Формулировка

Доказательство

Число векторов в базисе

Формулировка

Доказательство

Билинейные и квадратичные формы в координатах

Формулировка

Доказательство

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

Доказательство

Задание линейного оператора образами базисных векторов

Формулировка

Доказательство

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Доказательство

Изоморфизм конечномерных пространств

Формулировка

Доказательство

Линейный оператор в координатах

Формулировка

Доказательство

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Доказательство