Линейные операторы

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Задание линейного оператора образами базисных векторов
Ядро и образ — подпространства
Теорема о ранге и дефекте
Линейный оператор в координатах
Матрицы суммы, произведения и обратного оператора
Неравенства для ранга произведения и суммы операторов
Преобразование матрицы оператора при смене базиса
Линейные функционалы в координатах. Сопряжённое пространство

теорема

Задание линейного оператора образами базисных векторов

Формулировка

$\mathcal A0 = 0$ и $\mathcal A\big(\sum\lambda_ix_i\big) = \sum\lambda_i\mathcal Ax_i$ .
Если $e_1,\dots,e_n$ — базис $V$ , а $w_1,\dots,w_n\in W$ — любые векторы, то существует единственное линейное отображение $\mathcal A$ с $\mathcal Ae_j = w_j$ .

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A0 = \mathcal A(0\cdot0) = 0\cdot\mathcal A0 = 0$ ; второе равенство получается индукцией по числу слагаемых.
Единственность. По п. 1 $\mathcal Ax = \mathcal A\big(\sum x_je_j\big) = \sum x_jw_j$ однозначно определено.

Существование. Положим $\mathcal Ax = \sum x_jw_j$ , где $x_j$ — координаты $x$ . Координаты определены однозначно, а координаты суммы и произведения на число — сумма и произведение координат. Поэтому отображение линейно, и $\mathcal Ae_j = w_j$ . $\blacksquare$

теорема

Ядро и образ — подпространства

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ — подпространство $V$ , $\operatorname{Im}\mathcal A$ — подпространство $W$ .
Если $e_1,\dots,e_n$ — базис $V$ , то $\operatorname{Im}\mathcal A = \operatorname{span}(\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n)$ .
$\mathcal A$ инъективно тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\mathcal Ax = \mathcal Ay = 0$ , то $\mathcal A(\alpha x + \beta y) = 0$ . Далее, $\alpha\mathcal Ax + \beta\mathcal Ay = \mathcal A(\alpha x + \beta y)\in\operatorname{Im}\mathcal A$ .
$\mathcal Ax = \sum x_j\mathcal Ae_j$ .
$\mathcal Ax = \mathcal Ay\iff\mathcal A(x - y) = 0\iff x - y\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Для линейного отображения $\mathcal A\colon V\to W$ , $\dim V = n$ :

\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{def}\mathcal A = n.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — базис $\operatorname{Ker}\mathcal A$ . Дополним его до базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Покажем, что $\mathcal Ae_{k+1},\dots,\mathcal Ae_n$ — базис $\operatorname{Im}\mathcal A$ ; тогда $\operatorname{rank}\mathcal A = n - k$ .

Образ порождается векторами $\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n$ , из которых первые $k$ нулевые.

Если $\sum_{i>k}c_i\mathcal Ae_i = 0$ , то $\sum_{i>k}c_ie_i\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ , то есть $\sum_{i>k}c_ie_i = \sum_{i\le k}d_ie_i$ . По независимости базиса все $c_i = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Линейный оператор в координатах

Формулировка

Пусть $A$ — матрица отображения $\mathcal A$ в базисах $e, f$ . Тогда:

если $X$ — координатный столбец $x$ , то координатный столбец $\mathcal Ax$ равен $Y = AX$ ;
$\operatorname{rank}\mathcal A = \operatorname{rank}A$ ;
ядро $\mathcal A$ — это векторы, координаты которых удовлетворяют однородной системе $AX = 0$ .
Сопоставление отображению его матрицы — изоморфизм пространства линейных отображений $V\to W$ на $M_{m\times n}$ ; в частности, размерность этого пространства равна $mn$ .

Доказательство

Развернуть

$\mathcal Ax = \sum_jx_j\mathcal Ae_j = \sum_jx_j\sum_ia_{ij}f_i = \sum_i\Big(\sum_ja_{ij}x_j\Big)f_i$ .
$\operatorname{Im}\mathcal A$ порождается векторами $\mathcal Ae_j$ , координаты которых — столбцы $A$ . Размерность оболочки равна рангу матрицы из координатных столбцов.
Следует из п. 1.
Отображение «оператор $\mapsto$ матрица» линейно, а по теореме о задании оператора образами базиса оно биективно. $\blacksquare$

теорема

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Пусть $A, B$ — матрицы операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в базисе $e$ . Тогда:

матрицы операторов $\mathcal A + \mathcal B$ , $\lambda\mathcal A$ , $\mathcal A\mathcal B$ равны $A + B$ , $\lambda A$ , $AB$ ;
оператор $\mathcal A$ обратим тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , что равносильно $\det A\ne0$ ; при этом матрица $\mathcal A^{-1}$ равна $A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

В координатах $(\mathcal A + \mathcal B)x$ имеет столбец $AX + BX = (A + B)X$ , а $\mathcal A(\mathcal Bx)$ — столбец $A(BX) = (AB)X$ . Матрица оператора определяется его действием на координаты.
Если $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , то $\mathcal A$ инъективен, и по теореме о ранге и дефекте $\operatorname{rank}\mathcal A = n$ , то есть он и сюръективен. Обратное отображение биекции линейно, так что $\mathcal A$ обратим. Если же $\mathcal Ax = 0$ при $x\ne0$ , обратного нет.

$\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}\iff$ однородная система $AX = 0$ имеет только нулевое решение $\iff\det A\ne0$ . Из $\mathcal A\mathcal A^{-1} = \mathcal I$ по п. 1 получаем $A\cdot[\mathcal A^{-1}] = E$ . $\blacksquare$

теорема

Неравенства для ранга произведения и суммы операторов

Формулировка

Для линейных операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в $n$ -мерном пространстве:

$\operatorname{rank}(\mathcal A\mathcal B)\le\min(\operatorname{rank}\mathcal A, \operatorname{rank}\mathcal B)$ ;
$\operatorname{rank}(\mathcal A + \mathcal B)\le\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{rank}\mathcal B$ ;
(неравенство Сильвестра) $\operatorname{rank}(\mathcal A\mathcal B)\ge\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{rank}\mathcal B - n$ .

Те же неравенства верны для рангов матриц.

Доказательство

Развернуть

Положим $U = \operatorname{Im}\mathcal B$ . Тогда $\operatorname{Im}(\mathcal A\mathcal B) = \mathcal A(U)$ — образ ограничения $\mathcal A|_U$ .

$\mathcal A(U)\subset\operatorname{Im}\mathcal A$ ; кроме того, $\dim\mathcal A(U)\le\dim U$ по теореме о ранге и дефекте для $\mathcal A|_U$ .
$\operatorname{Im}(\mathcal A + \mathcal B)\subset\operatorname{Im}\mathcal A + \operatorname{Im}\mathcal B$ , а по формуле Грассмана размерность суммы не больше суммы размерностей.
Ядро $\mathcal A|_U$ равно $\operatorname{Ker}\mathcal A\cap U$ . По теореме о ранге и дефекте

\operatorname{rank}(\mathcal A\mathcal B) = \dim U - \dim(\operatorname{Ker}\mathcal A\cap U)\ge\operatorname{rank}\mathcal B - \operatorname{def}\mathcal A = \operatorname{rank}\mathcal B - (n - \operatorname{rank}\mathcal A).

$\blacksquare$

теорема

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

теорема

Линейные функционалы в координатах. Сопряжённое пространство

Формулировка

В базисе $e$ любой линейный функционал имеет вид $f(x) = a_1x_1 + \dots + a_nx_n$ , где $a_i = f(e_i)$ .
Взаимный базис $f^1,\dots,f^n$ — базис $V^*$ ; в частности, $\dim V^* = \dim V$ .
При переходе к базису $e' = eT$ строка коэффициентов функционала преобразуется по формуле $a' = aT$ .
Ядро ненулевого функционала — подпространство размерности $n - 1$ (гиперплоскость).

Доказательство

Развернуть

$f(x) = f\big(\sum x_ie_i\big) = \sum x_if(e_i)$ .
По п. 1 $f = \sum a_if^i$ , так как $f^i(x) = x_i$ . Если $\sum c_if^i = 0$ , то, применив к $e_j$ , получаем $c_j = 0$ .
$a_j' = f(e_j') = f\big(\sum_it_{ij}e_i\big) = \sum_ia_it_{ij}$ .
Образ ненулевого функционала — всё $\mathbb R$ (ранг $1$ ), поэтому дефект равен $n - 1$ . $\blacksquare$

Оператор дифференцирования в пространстве многочленов

Условие

Найти матрицу оператора дифференцирования $\mathcal D$ в $P_3$ в базисе $1, t, t^2, t^3$ , его ядро, образ, ранг и дефект.

Решение

Развернуть

$\mathcal D1 = 0$ , $\mathcal Dt = 1$ , $\mathcal Dt^2 = 2t$ , $\mathcal Dt^3 = 3t^2$ . По столбцам:

D = \begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Ядро — постоянные многочлены (дефект $1$ ), образ — $P_2$ (ранг $3$ ). Проверка: $3 + 1 = 4 = \dim P_3$ .

Оператор проектирования

Условие

Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования пространства $V_3$ на плоскость $Oxy$ параллельно оси $Oz$ в базисе $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ .

Решение

Развернуть

$\mathcal P\mathbf i = \mathbf i$ , $\mathcal P\mathbf j = \mathbf j$ , $\mathcal P\mathbf k = 0$ , поэтому $P = \operatorname{diag}(1, 1, 0)$ . Ядро — ось $Oz$ , образ — плоскость $Oxy$ . Кроме того, $P^2 = P$ : повторное проектирование ничего не меняет.

Матрица оператора в новом базисе

Условие

Оператор в базисе $e_1, e_2$ имеет матрицу $A = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ . Найти его матрицу в базисе $e_1' = e_1 + e_2$ , $e_2' = e_2$ .

Решение

Развернуть

$T = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ , $T^{-1} = \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$ . По формуле преобразования

A' = T^{-1}AT = \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\3&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}.

Проверка: $\operatorname{tr}A' = \operatorname{tr}A = 4$ , $\det A' = \det A = 3$ .

Ядро и образ оператора по его матрице

Условие

Оператор в $\mathbb R^3$ задан в стандартном базисе матрицей $A = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}$ . Найти базисы ядра и образа.

Решение

Развернуть

Вторая строка вдвое больше первой, а первая и третья не пропорциональны, поэтому $\operatorname{rank}A = 2$ . Ядро: из $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$ и $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ получаем $x_2 = -2x_3$ , $x_1 = x_3$ . Базис ядра — $(1,-2,1)$ .

Образ порождается столбцами $(1,2,1)$ , $(2,4,1)$ , $(3,6,1)$ , причём третий равен удвоенному второму минус первый. Базис образа: $(1,2,1)$ , $(2,4,1)$ ; равносильно, $(1,2,0)$ , $(0,0,1)$ . Образ — плоскость $y_2 = 2y_1$ . Проверка: $2 + 1 = 3$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейное отображение и линейный оператор

Отображение $\mathcal A\colon V\to W$ линейных пространств называется линейным, если для всех $x, y\in V$ и чисел $\lambda$

\mathcal A(x + y) = \mathcal Ax + \mathcal Ay,\qquad\mathcal A(\lambda x) = \lambda\mathcal Ax.

Линейное отображение пространства в себя ( $W = V$ ) называется линейным оператором в $V$ .

Примеры: нулевой оператор $\mathcal O$ , тождественный оператор $\mathcal I$ , дифференцирование $\mathcal D$ в $P_n$ , поворот плоскости на угол $\varphi$ , проектирование $V_3$ на плоскость вдоль прямой.

Ядро, образ, ранг и дефект

Для линейного отображения $\mathcal A\colon V\to W$ :

ядро $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{x\in V:\ \mathcal Ax = 0\}$ ;
образ $\operatorname{Im}\mathcal A = \{\mathcal Ax:\ x\in V\}$ ;
ранг $\operatorname{rank}\mathcal A = \dim\operatorname{Im}\mathcal A$ ;
дефект $\operatorname{def}\mathcal A = \dim\operatorname{Ker}\mathcal A$ .

Матрица линейного оператора

Пусть $e = (e_1,\dots,e_n)$ — базис $V$ , $f = (f_1,\dots,f_m)$ — базис $W$ , и

\mathcal Ae_j = \sum_{i=1}^ma_{ij}f_i,\qquad j = 1,\dots,n.

Матрица $A = (a_{ij})$ размера $m\times n$ , $j$ -й столбец которой — координаты вектора $\mathcal Ae_j$ в базисе $f$ , называется матрицей линейного отображения в базисах $e, f$ . Для оператора в $V$ берётся один базис $e$ , и матрица квадратная: $\mathcal Ae = eA$ .

Действия над линейными операторами

Для линейных операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в $V$ :

сумма: $(\mathcal A + \mathcal B)x = \mathcal Ax + \mathcal Bx$ ;
произведение на число: $(\lambda\mathcal A)x = \lambda\mathcal Ax$ ;
произведение (композиция): $(\mathcal A\mathcal B)x = \mathcal A(\mathcal Bx)$ ;
оператор $\mathcal A^{-1}$ называется обратным к $\mathcal A$ , если $\mathcal A\mathcal A^{-1} = \mathcal A^{-1}\mathcal A = \mathcal I$ .

Множество линейных операторов в $V$ с суммой и умножением на число — линейное пространство $\mathcal L(V)$ .

Подобные матрицы

Квадратные матрицы $A$ и $B$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $T$ такая, что $B = T^{-1}AT$ .

Линейный функционал. Сопряжённое пространство

Линейным функционалом (линейной формой) на $V$ называется линейное отображение $f\colon V\to\mathbb R$ . Линейные функционалы на $V$ образуют линейное пространство $V^*$ , называемое сопряжённым (двойственным) к $V$ .

Если $e$ — базис $V$ , то функционалы $f^1,\dots,f^n$ с $f^i(e_j) = \delta_{ij}$ образуют взаимный (двойственный) базис.

Базис и координаты

Упорядоченная система векторов $e = (e_1,\dots,e_n)$ называется базисом линейного пространства $V$ , если она линейно независима и любой вектор $x\in V$ является её линейной комбинацией:

x = x_1e_1 + \dots + x_ne_n.

Числа $x_1,\dots,x_n$ называются координатами вектора $x$ в базисе $e$ ; столбец $X = (x_1,\dots,x_n)^\mathsf{T}$ — координатный столбец.

Линейное подпространство

Непустое подмножество $L$ линейного пространства $V$ называется линейным подпространством, если оно замкнуто относительно линейных операций: из $x, y\in L$ следует $x + y\in L$ и $\lambda x\in L$ для всех $\lambda$ .

Линейная оболочка

Линейной оболочкой системы векторов $a_1,\dots,a_k$ называется множество всех их линейных комбинаций:

\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k) = \{\lambda_1a_1 + \dots + \lambda_ka_k\},

обозначается также $L(a_1,\dots,a_k)$ или $\langle a_1,\dots,a_k\rangle$ .

Размерность линейного пространства

Линейное пространство $V$ называется $n$ -мерным ( $\dim V = n$ ), если в нём существует базис из $n$ векторов. Пространство $\{0\}$ имеет размерность $0$ . Если в $V$ для любого $n$ есть $n$ линейно независимых векторов, $V$ называется бесконечномерным.

Корректность определения (независимость $n$ от выбора базиса) — содержание теоремы о числе векторов в базисе.

Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть $e = (e_1,\dots,e_n)$ и $e' = (e_1',\dots,e_n')$ — базисы пространства $V$ и

e_j' = \sum_{i=1}^nt_{ij}e_i,\qquad j = 1,\dots,n.

Матрица $T = (t_{ij})$ , $j$ -й столбец которой — координаты вектора $e_j'$ в базисе $e$ , называется матрицей перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Коротко: $e' = eT$ .

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $x = \sum x_ie_i = \sum x_i'e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')e_i = 0$ . Базис линейно независим, поэтому $x_i = x_i'$ при всех $i$ . $\blacksquare$

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Подпространство само является линейным пространством с теми же операциями; в частности, оно содержит нулевой вектор.
Пересечение и сумма подпространств — подпространства.
Линейная оболочка любой системы — подпространство; это наименьшее подпространство, содержащее эту систему.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы, не связанные с существованием элементов, выполнены в $L$ , потому что они выполнены в $V$ . Для $x\in L$ векторы $0 = 0\cdot x$ и $-x = (-1)x$ лежат в $L$ .
Если $x, y\in L_1\cap L_2$ , то $x + y$ и $\lambda x$ лежат и в $L_1$ , и в $L_2$ . Для суммы:

(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2),\qquad\lambda(x_1 + x_2) = \lambda x_1 + \lambda x_2.

Сумма двух линейных комбинаций и произведение комбинации на число — снова линейные комбинации тех же векторов. Любое подпространство, содержащее $a_1,\dots,a_k$ , содержит и все их линейные комбинации. $\blacksquare$

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ и $\operatorname{Im}\mathcal A$ инвариантны относительно $\mathcal A$ . Более общо, для любого многочлена $p$ подпространства $\operatorname{Ker}p(\mathcal A)$ и $\operatorname{Im}p(\mathcal A)$ инвариантны.
Сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.
Если $e_1,\dots,e_k$ — базис инвариантного подпространства $L$ , дополненный до базиса $V$ , то матрица $\mathcal A$ в этом базисе блочно-треугольная:

A = \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix},

где $A_{11}$ — матрица $\mathcal A|_L$ . Если $V = L_1\oplus L_2$ с инвариантными $L_1, L_2$ , то в объединённом базисе матрица блочно-диагональная.

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A$ перестановочен с $p(\mathcal A)$ . Если $p(\mathcal A)x = 0$ , то $p(\mathcal A)\mathcal Ax = \mathcal Ap(\mathcal A)x = 0$ . Если $y = p(\mathcal A)x$ , то $\mathcal Ay = p(\mathcal A)(\mathcal Ax)$ . При $p(t) = t$ получаем ядро и образ $\mathcal A$ .
Если $x\in L_1$ , $y\in L_2$ , то $\mathcal A(x + y) = \mathcal Ax + \mathcal Ay\in L_1 + L_2$ . Для пересечения рассуждение очевидно.
При $j\le k$ вектор $\mathcal Ae_j$ лежит в $L$ , то есть раскладывается только по $e_1,\dots,e_k$ . Поэтому в первых $k$ столбцах ниже $k$ -й строки стоят нули. Во втором случае то же верно для столбцов второго блока. $\blacksquare$

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном пространстве спектр оператора состоит только из собственных значений — корней характеристического многочлена.

Доказательство

Развернуть

Если $\lambda$ не собственное значение, то $A - \lambda I$ инъективен, а по теореме о ранге и дефекте и сюръективен. Обратный оператор линеен и, как любой линейный оператор в конечномерном пространстве, ограничен (это следует из ограниченности координатных функционалов). Значит, $\lambda\in\rho(A)$ . Собственные значения — корни характеристического многочлена. $\blacksquare$

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Для любого нильпотентного оператора $\mathcal N$ в конечномерном пространстве существует базис, составленный из жордановых цепочек. В таком базисе (векторы каждой цепочки упорядочены от собственного вектора) матрица $\mathcal N$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ .

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ . Если $\mathcal N = \mathcal O$ , подходит любой базис (цепочки длины $1$ ); в частности, это так при $n = 1$ .

Пусть $\mathcal N\ne\mathcal O$ . Ядро $\mathcal N$ ненулевое, иначе $\mathcal N$ был бы обратим, а тогда и $\mathcal N^k$ обратим. Поэтому $W = \operatorname{Im}\mathcal N$ имеет размерность меньше $n$ , инвариантно, и $\mathcal N|_W$ нильпотентен. По предположению индукции в $W$ есть базис из цепочек

y_i,\ \mathcal Ny_i,\ \dots,\ \mathcal N^{k_i-1}y_i,\qquad\mathcal N^{k_i}y_i = 0,\qquad i = 1,\dots,s.

Ядро на $W$ . Применив $\mathcal N$ к линейной комбинации векторов этого базиса, видим: она лежит в $\operatorname{Ker}\mathcal N$ тогда и только тогда, когда в ней участвуют только последние векторы цепочек $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ . Значит, они образуют базис $\operatorname{Ker}\mathcal N\cap W$ .

Построение. Так как $y_i\in\operatorname{Im}\mathcal N$ , выберем $x_i$ с $\mathcal Nx_i = y_i$ ; цепочка от $x_i$ имеет длину $k_i + 1$ . Дополним векторы $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ до базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ векторами $z_1,\dots,z_t$ . Рассмотрим систему

\{\mathcal N^mx_i:\ 0\le m\le k_i,\ 1\le i\le s\}\cup\{z_1,\dots,z_t\}.

В ней $\sum(k_i + 1) + t = \dim W + \dim\operatorname{Ker}\mathcal N = n$ векторов (теорема о ранге и дефекте), так что достаточно доказать её линейную независимость.

Независимость. Пусть $\sum_{i,m}c_{im}\mathcal N^mx_i + \sum_jd_jz_j = 0$ . Применим $\mathcal N$ : векторы $\mathcal N^{k_i+1}x_i$ и $\mathcal Nz_j$ нулевые, и остаётся $\sum_i\sum_{m<k_i}c_{im}\mathcal N^my_i = 0$ — комбинация базиса $W$ . Значит, $c_{im} = 0$ при $m < k_i$ . Остаётся

\sum_ic_{ik_i}\mathcal N^{k_i-1}y_i + \sum_jd_jz_j = 0,

а это комбинация базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ , поэтому и эти коэффициенты нулевые.

Матрица. Для цепочки $f_1,\dots,f_k$ имеем $\mathcal Nf_1 = 0$ , $\mathcal Nf_i = f_{i-1}$ ; в её базисе матрица — $J_k(0)$ . $\blacksquare$

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Пусть в базисе $e$ векторы $x$ , $y$ имеют координатные столбцы $X$ , $Y$ . Тогда:

координатный столбец $x + y$ равен $X + Y$ , а $\lambda x$ — $\lambda X$ ;
векторы $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы, то есть ранг матрицы, составленной из этих столбцов, равен $k$ ;
максимальное число линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ равно рангу этой матрицы.

Доказательство

Развернуть

$x + y = \sum x_ie_i + \sum y_ie_i = \sum(x_i + y_i)e_i$ ; по единственности разложения это и есть координаты суммы. Для $\lambda x$ аналогично.
По п. 1 равенство $\sum\lambda_ja_j = 0$ равносильно $\sum\lambda_jA_j = 0$ для координатных столбцов $A_j$ (нулевой вектор имеет нулевые координаты). Значит, линейные соотношения между векторами и между их столбцами одни и те же. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых столбцов.
Следует из п. 2 и той же теоремы о ранге. $\blacksquare$

Метод наименьших квадратов. Нормальная система

Формулировка

$X$ — псевдорешение системы $AX = B$ тогда и только тогда, когда $X$ — решение нормальной системы

A^\mathsf{T}AX = A^\mathsf{T}B.

Нормальная система всегда совместна.
Если $\operatorname{rank}A = n$ (столбцы $A$ линейно независимы), псевдорешение единственно: $X = (A^\mathsf{T}A)^{-1}A^\mathsf{T}B$ .

Доказательство

Развернуть

Когда $X$ пробегает $\mathbb R^n$ , вектор $AX$ пробегает подпространство $L = \operatorname{Im}A$ , порождённое столбцами $A_1,\dots,A_n$ .

$|AX - B|$ минимально тогда и только тогда, когда $AX = \operatorname{pr}_LB$ , то есть $B - AX\perp L$ . Это равносильно $A_j^\mathsf{T}(B - AX) = 0$ для всех столбцов, то есть $A^\mathsf{T}(B - AX) = 0$ .
Проекция $\operatorname{pr}_LB$ лежит в $L$ , поэтому равна $AX_0$ для некоторого $X_0$ , и $X_0$ — решение нормальной системы.
Если $A^\mathsf{T}AX = 0$ , то $|AX|^2 = X^\mathsf{T}A^\mathsf{T}AX = 0$ , то есть $AX = 0$ , и $X = 0$ при независимых столбцах. Значит, $A^\mathsf{T}A$ невырождена. $\blacksquare$

Нормальное псевдорешение и псевдообратная матрица

Формулировка

Нормальное псевдорешение существует и единственно; это единственное псевдорешение, лежащее в $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ — линейной оболочке строк $A$ .
Псевдообратная матрица $A^+$ существует и единственна.
Если $\operatorname{rank}A = n$ , то $A^+ = (A^\mathsf{T}A)^{-1}A^\mathsf{T}$ ; если $\operatorname{rank}A = m$ , то $A^+ = A^\mathsf{T}(AA^\mathsf{T})^{-1}$ ; если $A$ квадратная невырожденная, то $A^+ = A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

Ядро. $AX = 0$ означает, что $X$ ортогонален всем строкам $A$ , поэтому $\operatorname{Ker}A = (\operatorname{Im}A^\mathsf{T})^\perp$ и $\mathbb R^n = \operatorname{Im}A^\mathsf{T}\oplus\operatorname{Ker}A$ .

Псевдорешения — это все $X$ с $AX = \operatorname{pr}_{\operatorname{Im}A}B$ , то есть множество $X_0 + \operatorname{Ker}A$ . Разложим $X_0 = X_1 + X_2$ , $X_1\in\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ , $X_2\in\operatorname{Ker}A$ . Тогда $X_1$ — псевдорешение, и для любого другого псевдорешения $X_1 + K$ , $0\ne K\in\operatorname{Ker}A$ , по теореме Пифагора $|X_1 + K|^2 = |X_1|^2 + |K|^2 > |X_1|^2$ . Два псевдорешения из $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ различаются на вектор из $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}\cap\operatorname{Ker}A = \{0\}$ .
Отображение $B\mapsto X_1$ — композиция ортогонального проектирования на $\operatorname{Im}A$ и обратного к ограничению $A|_{\operatorname{Im}A^\mathsf{T}}$ , которое взаимно однозначно отображает $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ на $\operatorname{Im}A$ (ядро нулевое, размерности равны рангу). Значит, оно линейно, и его матрица — $A^+$ .
При $\operatorname{rank}A = n$ псевдорешение единственно (теорема о методе наименьших квадратов). При $\operatorname{rank}A = m$ система совместна при любом $B$ , и вектор $X = A^\mathsf{T}(AA^\mathsf{T})^{-1}B$ — её решение, лежащее в $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ ; значит, это нормальное псевдорешение. Матрица $AA^\mathsf{T}$ невырождена по тем же соображениям, что и $A^\mathsf{T}A$ . $\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве сопряжённый существует и единствен.
В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ ; в произвольном базисе с матрицей Грама $\Gamma$ она равна $\Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ .
$(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ , $(\mathcal A + \mathcal B)^* = \mathcal A^* + \mathcal B^*$ , $(\lambda\mathcal A)^* = \lambda\mathcal A^*$ , $(\mathcal A\mathcal B)^* = \mathcal B^*\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Единственность. Если $(x, \mathcal By) = (x, \mathcal Cy)$ для всех $x$ , то при $x = \mathcal By - \mathcal Cy$ получаем $|\mathcal By - \mathcal Cy|^2 = 0$ .

Существование и матрица. В базисе с матрицей Грама $\Gamma$ равенство $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y)$ записывается как

(AX)^\mathsf{T}\Gamma Y = X^\mathsf{T}\Gamma A^*Y\quad\text{для всех } X, Y,

то есть $A^\mathsf{T}\Gamma = \Gamma A^*$ . Так как $\Gamma$ невырождена, $A^* = \Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ подходит, и оператор с этой матрицей — сопряжённый. В ОНБ $\Gamma = E$ .

Проверяется подстановкой, например $(\mathcal A\mathcal Bx, y) = (\mathcal Bx, \mathcal A^*y) = (x, \mathcal B^*\mathcal A^*y)$ . $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

Достаточность. Одна строка — линейная комбинация остальных. Вычтя из неё эту комбинацию, получим нулевую строку, и определитель равен нулю.

Необходимость. Если $\det A = 0$ , то $r = \operatorname{rank} A < n$ . При $r = 0$ матрица нулевая, и строки зависимы. При $r > 0$ найдётся небазисная строка. Она — линейная комбинация базисных, и строки зависимы. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Каждый оператор (каждая квадратная матрица) является корнем своего характеристического многочлена: $\chi_A(A) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^nc_k\lambda^k$ . Для присоединённой матрицы верно тождество

(A - \lambda E)\,\widetilde{(A - \lambda E)} = \det(A - \lambda E)E = \chi(\lambda)E.

Элементы присоединённой матрицы — алгебраические дополнения, то есть многочлены от $\lambda$ степени не выше $n - 1$ . Поэтому

\widetilde{(A - \lambda E)} = B_0 + \lambda B_1 + \dots + \lambda^{n-1}B_{n-1}

с числовыми матрицами $B_k$ . Приравниваем коэффициенты при степенях $\lambda$ :

AB_0 = c_0E,\qquad AB_k - B_{k-1} = c_kE\ \ (1\le k\le n - 1),\qquad -B_{n-1} = c_nE.

Умножим $k$ -е равенство слева на $A^k$ и сложим:

\sum_{k=0}^nc_kA^k = AB_0 + \sum_{k=1}^{n-1}\big(A^{k+1}B_k - A^kB_{k-1}\big) - A^nB_{n-1} = 0,

так как сумма телескопическая. Для оператора: матрица $\chi(\mathcal A)$ равна $\chi(A)$ . $\blacksquare$

Формула Грассмана

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ конечномерного пространства

\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1\cap L_2).

Доказательство

Развернуть

Пусть $c_1,\dots,c_k$ — базис $L_1\cap L_2$ . Дополним его до базиса $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p$ пространства $L_1$ и до базиса $c_1,\dots,c_k,b_1,\dots,b_q$ пространства $L_2$ . Покажем, что $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q$ — базис $L_1 + L_2$ ; тогда $\dim(L_1 + L_2) = k + p + q = (k + p) + (k + q) - k$ .

Порождение. Любой $x_1 + x_2$ с $x_i\in L_i$ — комбинация векторов $c, a$ и $c, b$ .

Независимость. Пусть $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i + \sum\beta_ib_i = 0$ . Вектор $y = \sum\beta_ib_i = -\sum\gamma_ic_i - \sum\alpha_ia_i$ лежит и в $L_2$ , и в $L_1$ , то есть в пересечении: $y = \sum\delta_ic_i$ . Тогда $\sum\beta_ib_i - \sum\delta_ic_i = 0$ , и по независимости базиса $L_2$ все $\beta_i = 0$ . Остаётся $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i = 0$ — по независимости базиса $L_1$ все коэффициенты нулевые. $\blacksquare$

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Свойства следа матрицы

Формулировка

Для квадратных матриц $A, B$ одного порядка и числа $\lambda$ :

$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B$ , $\operatorname{tr}(\lambda A) = \lambda \operatorname{tr} A$ ;
$\operatorname{tr} A^\mathsf{T} = \operatorname{tr} A$ ;
$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ . Это верно и для прямоугольных $A$ размера $m\times n$ и $B$ размера $n\times m$ .

Доказательство

Развернуть

Свойства 1 и 2 очевидны: транспонирование не меняет диагональ. Для свойства 3:

\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{ki} = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^m b_{ki} a_{ik} = \operatorname{tr}(BA).

$\blacksquare$

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Если $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к $e'$ , то матрица формы в новом базисе

B' = T^\mathsf{T}BT.

Следовательно, ранг формы не зависит от базиса, а знак определителя её матрицы сохраняется.

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = TX'$ , $Y = TY'$ : $b(x,y) = X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}BT)Y'$ . Матрица формы определена однозначно ( $b_{ij}' = b(e_i', e_j')$ ), поэтому $B' = T^\mathsf{T}BT$ . Умножение на невырожденные матрицы не меняет ранг, а $\det B' = (\det T)^2\det B$ . $\blacksquare$

Инвариантность характеристического многочлена

Формулировка

Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены; поэтому характеристический многочлен оператора определён корректно.
$\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^n + (-\lambda)^{n-1}\operatorname{tr}A + \dots + \det A$ .

Доказательство

Развернуть

$\det(T^{-1}AT - \lambda E) = \det\big(T^{-1}(A - \lambda E)T\big) = \det T^{-1}\det(A - \lambda E)\det T = \det(A - \lambda E)$ .
В определителе $\det(A - \lambda E)$ слагаемое, соответствующее подстановке $\sigma\ne\varepsilon$ , содержит не больше $n - 2$ диагональных множителей, поэтому имеет степень по $\lambda$ не выше $n - 2$ . Значит, коэффициенты при $\lambda^n$ и $\lambda^{n-1}$ берутся из произведения $\prod(a_{ii} - \lambda)$ ; это $(-1)^n$ и $(-1)^{n-1}\sum a_{ii}$ . Свободный член равен $\chi(0) = \det A$ . $\blacksquare$

Критерий диагонализуемости оператора

Формулировка

Матрица оператора в базисе $e$ диагональна тогда и только тогда, когда $e$ состоит из собственных векторов; на диагонали стоят соответствующие собственные значения.
Оператор диагонализуем (в некотором базисе имеет диагональную матрицу) тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен раскладывается на линейные множители над основным полем и геометрическая кратность каждого собственного значения равна алгебраической.
Достаточное условие: $\chi$ имеет $n$ различных корней в основном поле.

Доказательство

Развернуть

$j$ -й столбец матрицы — координаты $\mathcal Ae_j$ ; он равен $\lambda_j$ , умноженному на $j$ -й столбец единичной матрицы, тогда и только тогда, когда $\mathcal Ae_j = \lambda_je_j$ .
Если матрица $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , то $\chi = \prod(\lambda_i - \lambda)$ , а размерность $V_\mu$ равна числу $i$ с $\lambda_i = \mu$ — алгебраической кратности.

Обратно, пусть $\mu_1,\dots,\mu_s$ — различные корни, а их кратности $m_i$ равны $\dim V_{\mu_i}$ , причём $\sum m_i = n$ . Сумма $V_{\mu_1}\oplus\dots\oplus V_{\mu_s}$ прямая, и её размерность равна $\sum m_i = n$ . Значит, это всё $V$ , и объединение базисов собственных подпространств — базис из собственных векторов.

Каждая кратность равна $1$ , а геометрическая кратность не меньше $1$ и не больше алгебраической. $\blacksquare$

Структура жордановой формы и её единственность

Формулировка

Пусть $\lambda$ — собственное значение, $r_k = \operatorname{rank}(A - \lambda E)^k$ , $r_0 = n$ . Тогда в жордановой форме:

сумма порядков клеток с собственным значением $\lambda$ равна его алгебраической кратности;
число клеток с собственным значением $\lambda$ равно геометрической кратности $n - r_1$ ;
число клеток порядка не меньше $k$ равно $r_{k-1} - r_k$ , а число клеток порядка ровно $k$ равно $r_{k-1} - 2r_k + r_{k+1}$ ;
порядок наибольшей клетки с собственным значением $\lambda_i$ равен кратности корня $\lambda_i$ минимального многочлена.

Следовательно, жорданова форма определена однозначно с точностью до порядка клеток.

Доказательство

Развернуть

Ранги $r_k$ не зависят от базиса, поэтому их можно считать по жордановой матрице $J$ . Для клетки $J_m(\mu)$ с $\mu\ne\lambda$ матрица $J_m(\mu) - \lambda E$ невырождена, и её степени имеют ранг $m$ при всех $k$ . Для клетки $J_m(\lambda)$ матрица $J_m(0)^k$ имеет ранг $\max(m - k, 0)$ : единицы сдвигаются на $k$ мест над диагональю. Поэтому

r_{k-1} - r_k = \#\{\text{клеток с }\lambda\text{ порядка}\ \ge k\},

откуда следуют п. 2 ( $k = 1$ ) и п. 3. Пункт 1 — это равенство $\dim K_\lambda = m_\lambda$ .

Минимальный многочлен блочно-диагональной матрицы — наименьшее общее кратное минимальных многочленов блоков, а у клетки $J_m(\lambda)$ он равен $(t - \lambda)^m$ , так как $J_m(0)^{m-1}\ne0$ , $J_m(0)^m = 0$ .

Ранги определяют количества клеток всех порядков, поэтому жорданова форма единственна. $\blacksquare$

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Формулировка

Для любой вещественной симметричной матрицы $A$ существует ортогональная матрица $Q$ такая, что

Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),

где $\lambda_i$ — собственные значения $A$ с учётом кратности. Столбцы $Q$ — ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство

Развернуть

Оператор с матрицей $A$ в стандартном ортонормированном базисе $\mathbb R^n$ самосопряжён, поэтому существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Матрица перехода $Q$ к этому базису ортогональна, $Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ , а матрица оператора в новом базисе диагональна.

Алгоритм: найти корни $\chi$ ; в каждом собственном подпространстве найти базис и ортонормировать его процессом Грама–Шмидта (векторы из разных подпространств уже ортогональны); записать полученные векторы столбцами $Q$ . $\blacksquare$

Ортогональные операторы трёхмерного пространства

Формулировка

Ортогональный оператор в трёхмерном евклидовом пространстве с определителем $1$ — поворот вокруг некоторой оси (собственного вектора с собственным значением $1$ ) на угол $\varphi\in[0,\pi]$ , где

\cos\varphi = \frac{\operatorname{tr}Q - 1}{2}.

Оператор с определителем $-1$ — композиция такого поворота и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси.

Доказательство

Развернуть

Канонический вид в размерности $3$ : либо $(\pm1)\oplus R_\varphi$ , либо $\operatorname{diag}(\pm1,\pm1,\pm1)$ . При $\det = 1$ это $(1)\oplus R_\varphi$ , $\operatorname{diag}(1,1,1)$ (тождественный, $\varphi = 0$ ) или $\operatorname{diag}(1,-1,-1)$ (поворот на $\pi$ ). Во всех случаях первый базисный вектор — ось, а в ортогональной плоскости действует поворот. След не зависит от базиса и равен $1 + 2\cos\varphi$ . При $\det = -1$ вместо $(1)$ на оси стоит $(-1)$ . $\blacksquare$

Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы

Формулировка

При переходе к другой прямоугольной системе координат ( $X = QX' + X_0$ , $Q$ ортогональна) характеристический многочлен матрицы $A$ (в частности, $\operatorname{tr}A$ и $\det A$ ) и определитель расширенной матрицы $\hat A$ не меняются. Для кривых это означает инвариантность $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ .

Доказательство

Развернуть

Квадратичная часть преобразуется как $A' = Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ$ (перенос её не меняет), а подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен.

В однородных координатах замена записывается как $\hat X = P\hat X'$ с $P = \begin{pmatrix}Q&X_0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому $\hat A' = P^\mathsf{T}\hat AP$ . Так как $\det P = \det Q = \pm1$ , получаем $\det\hat A' = (\det P)^2\det\hat A = \det\hat A$ . $\blacksquare$

Линейные операторы

Задание линейного оператора образами базисных векторов

Формулировка

Доказательство

Ядро и образ — подпространства

Формулировка

Доказательство

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Доказательство

Линейный оператор в координатах

Формулировка

Доказательство

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Доказательство

Неравенства для ранга произведения и суммы операторов

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Доказательство

Линейные функционалы в координатах. Сопряжённое пространство

Формулировка

Доказательство

Оператор дифференцирования в пространстве многочленов

Условие

Решение

Оператор проектирования

Условие

Решение

Матрица оператора в новом базисе

Условие

Решение

Ядро и образ оператора по его матрице

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейное отображение и линейный оператор

Ядро, образ, ранг и дефект

Матрица линейного оператора

Действия над линейными операторами

Подобные матрицы

Линейный функционал. Сопряжённое пространство

Базис и координаты

Линейное подпространство

Линейная оболочка

Размерность линейного пространства

Матрица перехода от одного базиса к другому

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Доказательство

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Доказательство

Метод наименьших квадратов. Нормальная система

Формулировка

Доказательство

Нормальное псевдорешение и псевдообратная матрица

Формулировка

Доказательство