Жорданова нормальная форма

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Свойства корневых подпространств
Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств
Жорданов базис нильпотентного оператора
Теорема о жордановой нормальной форме
Структура жордановой формы и её единственность
Диагонализуемость в терминах минимального многочлена

теорема

Свойства корневых подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\subset\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^2\subset\dots$ , и с некоторого номера $h$ эта цепочка стабилизируется; $K_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^h$ — подпространство.
$K_\lambda$ инвариантно относительно $\mathcal A$ .
Ограничение $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)|_{K_\lambda}$ нильпотентно.
Единственное собственное значение ограничения $\mathcal A|_{K_\lambda}$ равно $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Включения очевидны: если $\mathcal B^kx = 0$ , то $\mathcal B^{k+1}x = 0$ (здесь $\mathcal B = \mathcal A - \lambda\mathcal I$ ). Размерности не убывают и ограничены $n$ , поэтому стабилизируются. Если $\operatorname{Ker}\mathcal B^h = \operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1}$ , то и все следующие ядра совпадают: из $\mathcal B^{h+2}x = 0$ следует $\mathcal Bx\in\operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1} = \operatorname{Ker}\mathcal B^h$ , то есть $\mathcal B^{h+1}x = 0$ .
Это ядро многочлена $(t - \lambda)^h$ от $\mathcal A$ ; оно инвариантно.
$\mathcal B^h = \mathcal O$ на $K_\lambda$ .
Если $\mathcal Ax = \mu x$ , $0\ne x\in K_\lambda$ , то $0 = \mathcal B^hx = (\mu - \lambda)^hx$ , откуда $\mu = \lambda$ . $\blacksquare$

теорема

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Формулировка

Пусть характеристический многочлен оператора раскладывается на линейные множители (это всегда так над $\mathbb C$ ):

\chi(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_1}\cdots(\lambda_s - \lambda)^{m_s},\qquad\lambda_i\text{ попарно различны}.

Тогда

V = K_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus K_{\lambda_s},\qquad\dim K_{\lambda_i} = m_i,\qquad K_{\lambda_i} = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^{m_i}.

Доказательство

Развернуть

Лемма. Если $p = p_1p_2$ , многочлены $p_1, p_2$ взаимно просты и $p(\mathcal A) = \mathcal O$ , то $V = \operatorname{Ker}p_1(\mathcal A)\oplus\operatorname{Ker}p_2(\mathcal A)$ .

По теореме Безу существуют многочлены $u, v$ с $up_1 + vp_2 = 1$ , то есть $u(\mathcal A)p_1(\mathcal A) + v(\mathcal A)p_2(\mathcal A) = \mathcal I$ . Для любого $x$

x = \underbrace{v(\mathcal A)p_2(\mathcal A)x}_{x_1} + \underbrace{u(\mathcal A)p_1(\mathcal A)x}_{x_2},

причём $p_1(\mathcal A)x_1 = v(\mathcal A)p(\mathcal A)x = 0$ и аналогично $p_2(\mathcal A)x_2 = 0$ . Если $x$ лежит в обоих ядрах, то $x = v(\mathcal A)p_2(\mathcal A)x + u(\mathcal A)p_1(\mathcal A)x = 0$ .

Разложение. Множители $(t - \lambda_i)^{m_i}$ попарно взаимно просты, а $\chi(\mathcal A) = \mathcal O$ по теореме Гамильтона–Кэли. Применяя лемму несколько раз, получаем $V = \bigoplus_iL_i$ , где $L_i = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^{m_i}$ инвариантны.

Размерности. На $L_i$ единственное собственное значение $\mathcal A$ равно $\lambda_i$ (как в свойствах корневых подпространств), поэтому $\chi_{\mathcal A|_{L_i}} = (\lambda_i - t)^{d_i}$ , $d_i = \dim L_i$ . Матрица $\mathcal A$ в объединённом базисе блочно-диагональная, и

\chi(t) = \prod_i(\lambda_i - t)^{d_i}.

Сравнивая с разложением $\chi$ , получаем $d_i = m_i$ .

Совпадение с $K_{\lambda_i}$ . $L_i\subset K_{\lambda_i}$ . Пусть $(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^kx = 0$ и $x = \sum_jx_j$ , $x_j\in L_j$ . Подпространства $L_j$ инвариантны, поэтому $(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^kx_j = 0$ для всех $j$ . При $j\ne i$ оператор $\mathcal A - \lambda_i\mathcal I$ на $L_j$ обратим (его единственное собственное значение $\lambda_j - \lambda_i\ne0$ ), поэтому $x_j = 0$ . Значит, $x = x_i\in L_i$ . $\blacksquare$

теорема

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Для любого нильпотентного оператора $\mathcal N$ в конечномерном пространстве существует базис, составленный из жордановых цепочек. В таком базисе (векторы каждой цепочки упорядочены от собственного вектора) матрица $\mathcal N$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ .

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ . Если $\mathcal N = \mathcal O$ , подходит любой базис (цепочки длины $1$ ); в частности, это так при $n = 1$ .

Пусть $\mathcal N\ne\mathcal O$ . Ядро $\mathcal N$ ненулевое, иначе $\mathcal N$ был бы обратим, а тогда и $\mathcal N^k$ обратим. Поэтому $W = \operatorname{Im}\mathcal N$ имеет размерность меньше $n$ , инвариантно, и $\mathcal N|_W$ нильпотентен. По предположению индукции в $W$ есть базис из цепочек

y_i,\ \mathcal Ny_i,\ \dots,\ \mathcal N^{k_i-1}y_i,\qquad\mathcal N^{k_i}y_i = 0,\qquad i = 1,\dots,s.

Ядро на $W$ . Применив $\mathcal N$ к линейной комбинации векторов этого базиса, видим: она лежит в $\operatorname{Ker}\mathcal N$ тогда и только тогда, когда в ней участвуют только последние векторы цепочек $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ . Значит, они образуют базис $\operatorname{Ker}\mathcal N\cap W$ .

Построение. Так как $y_i\in\operatorname{Im}\mathcal N$ , выберем $x_i$ с $\mathcal Nx_i = y_i$ ; цепочка от $x_i$ имеет длину $k_i + 1$ . Дополним векторы $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ до базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ векторами $z_1,\dots,z_t$ . Рассмотрим систему

\{\mathcal N^mx_i:\ 0\le m\le k_i,\ 1\le i\le s\}\cup\{z_1,\dots,z_t\}.

В ней $\sum(k_i + 1) + t = \dim W + \dim\operatorname{Ker}\mathcal N = n$ векторов (теорема о ранге и дефекте), так что достаточно доказать её линейную независимость.

Независимость. Пусть $\sum_{i,m}c_{im}\mathcal N^mx_i + \sum_jd_jz_j = 0$ . Применим $\mathcal N$ : векторы $\mathcal N^{k_i+1}x_i$ и $\mathcal Nz_j$ нулевые, и остаётся $\sum_i\sum_{m<k_i}c_{im}\mathcal N^my_i = 0$ — комбинация базиса $W$ . Значит, $c_{im} = 0$ при $m < k_i$ . Остаётся

\sum_ic_{ik_i}\mathcal N^{k_i-1}y_i + \sum_jd_jz_j = 0,

а это комбинация базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ , поэтому и эти коэффициенты нулевые.

Матрица. Для цепочки $f_1,\dots,f_k$ имеем $\mathcal Nf_1 = 0$ , $\mathcal Nf_i = f_{i-1}$ ; в её базисе матрица — $J_k(0)$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о жордановой нормальной форме

Формулировка

Если характеристический многочлен оператора раскладывается на линейные множители (в частности, для любого оператора в комплексном пространстве), то существует жорданов базис: матрица оператора в нём — жорданова матрица. Каждая клетка $J_k(\lambda_i)$ отвечает жордановой цепочке длины $k$ для собственного значения $\lambda_i$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме о разложении $V = K_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus K_{\lambda_s}$ с инвариантными $K_{\lambda_i}$ , поэтому в объединённом базисе матрица блочно-диагональная. На $K_{\lambda_i}$ оператор $\mathcal N_i = (\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)|_{K_{\lambda_i}}$ нильпотентен, и в $K_{\lambda_i}$ есть базис из его жордановых цепочек. В нём матрица $\mathcal N_i$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ , а матрица $\mathcal A|_{K_{\lambda_i}} = \lambda_i\mathcal I + \mathcal N_i$ — из клеток $J_k(\lambda_i)$ . $\blacksquare$

теорема

Структура жордановой формы и её единственность

Формулировка

Пусть $\lambda$ — собственное значение, $r_k = \operatorname{rank}(A - \lambda E)^k$ , $r_0 = n$ . Тогда в жордановой форме:

сумма порядков клеток с собственным значением $\lambda$ равна его алгебраической кратности;
число клеток с собственным значением $\lambda$ равно геометрической кратности $n - r_1$ ;
число клеток порядка не меньше $k$ равно $r_{k-1} - r_k$ , а число клеток порядка ровно $k$ равно $r_{k-1} - 2r_k + r_{k+1}$ ;
порядок наибольшей клетки с собственным значением $\lambda_i$ равен кратности корня $\lambda_i$ минимального многочлена.

Следовательно, жорданова форма определена однозначно с точностью до порядка клеток.

Доказательство

Развернуть

Ранги $r_k$ не зависят от базиса, поэтому их можно считать по жордановой матрице $J$ . Для клетки $J_m(\mu)$ с $\mu\ne\lambda$ матрица $J_m(\mu) - \lambda E$ невырождена, и её степени имеют ранг $m$ при всех $k$ . Для клетки $J_m(\lambda)$ матрица $J_m(0)^k$ имеет ранг $\max(m - k, 0)$ : единицы сдвигаются на $k$ мест над диагональю. Поэтому

r_{k-1} - r_k = \#\{\text{клеток с }\lambda\text{ порядка}\ \ge k\},

откуда следуют п. 2 ( $k = 1$ ) и п. 3. Пункт 1 — это равенство $\dim K_\lambda = m_\lambda$ .

Минимальный многочлен блочно-диагональной матрицы — наименьшее общее кратное минимальных многочленов блоков, а у клетки $J_m(\lambda)$ он равен $(t - \lambda)^m$ , так как $J_m(0)^{m-1}\ne0$ , $J_m(0)^m = 0$ .

Ранги определяют количества клеток всех порядков, поэтому жорданова форма единственна. $\blacksquare$

следствие

Диагонализуемость в терминах минимального многочлена

Формулировка

Оператор с раскладывающимся характеристическим многочленом диагонализуем тогда и только тогда, когда все его жордановы клетки имеют порядок $1$ , то есть тогда и только тогда, когда минимальный многочлен не имеет кратных корней.

Доказательство

Развернуть

Диагональная матрица — жорданова с клетками порядка $1$ ; по единственности жордановой формы оператор диагонализуем ровно тогда, когда все клетки имеют порядок $1$ . По п. 4 теоремы о структуре это равносильно тому, что все корни минимального многочлена простые. $\blacksquare$

Жорданова форма и жорданов базис матрицы третьего порядка

Условие

Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы

A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}.

Решение

Развернуть

Разлагая $\det(A - \lambda E)$ по третьему столбцу, получаем $\chi(\lambda) = (2 - \lambda)(1 - \lambda)^2$ .

$\lambda = 1$ . $A - E = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\-1&1&1\end{pmatrix}$ , ранг $2$ , поэтому одна клетка порядка $2$ . Собственный вектор: $x_2 = 0$ , $x_3 = x_1$ , то есть $f_1 = (1,0,1)$ . Присоединённый: $(A - E)f_2 = f_1$ даёт $x_2 = 1$ , $-x_1 + x_2 + x_3 = 1$ ; можно взять $f_2 = (0,1,0)$ .

$\lambda = 2$ . $A - 2E = \begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}$ , собственный вектор $f_3 = (0,0,1)$ .

В базисе $f_1, f_2, f_3$ :

J = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad T = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix},\qquad T^{-1}AT = J.

Минимальный многочлен $(t - 1)^2(t - 2)$ ; матрица не диагонализуема.

Жорданова форма по рангам степеней

Условие

Матрица $A$ порядка $4$ имеет $\chi(\lambda) = (\lambda - 2)^4$ , $\operatorname{rank}(A - 2E) = 2$ , $(A - 2E)^2 = 0$ . Найти её жорданову форму.

Решение

Развернуть

$r_0 = 4$ , $r_1 = 2$ , $r_2 = 0$ . Число клеток $r_0 - r_1 = 2$ , число клеток порядка не меньше $2$ : $r_1 - r_2 = 2$ . Значит, обе клетки порядка $2$ :

J = \operatorname{diag}\big(J_2(2), J_2(2)\big).

Степени жордановой клетки

Условие

Найти $J^n$ для $J = J_2(\lambda)$ и $J = J_3(\lambda)$ .

Решение

Развернуть

$J = \lambda E + N$ , где $N = J_k(0)$ , а матрицы $\lambda E$ и $N$ перестановочны. По формуле бинома:

$k = 2$ : $N^2 = 0$ , и $J^n = \lambda^nE + n\lambda^{n-1}N = \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}$ ;
$k = 3$ : $N^3 = 0$ , и

J^n = \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}&\binom n2\lambda^{n-2}\\0&\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&0&\lambda^n\end{pmatrix}.

Поэтому степень любой матрицы удобно считать через жорданову форму: $A^n = TJ^nT^{-1}$ .

Минимальный и характеристический многочлены по жордановой форме

Условие

Жорданова форма оператора — $\operatorname{diag}\big(J_3(1), J_1(1), J_2(4)\big)$ . Найти характеристический и минимальный многочлены, алгебраические и геометрические кратности.

Решение

Развернуть

$\chi(\lambda) = (1 - \lambda)^4(4 - \lambda)^2$ . Минимальный многочлен — $(t - 1)^3(t - 4)^2$ (порядки наибольших клеток).

У $\lambda = 1$ алгебраическая кратность $4$ , геометрическая $2$ (две клетки). У $\lambda = 4$ алгебраическая кратность $2$ , геометрическая $1$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Нильпотентный оператор

Оператор $\mathcal N$ называется нильпотентным, если $\mathcal N^k = \mathcal O$ при некотором натуральном $k$ . Наименьшее такое $k$ — индекс нильпотентности.

Присоединённые векторы. Жорданова цепочка

Вектор $x$ называется корневым для собственного значения $\lambda$ , если $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^kx = 0$ при некотором $k$ . Если $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^kx = 0$ , но $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^{k-1}x\ne0$ , то $x$ называется присоединённым вектором $(k-1)$ -го порядка (при $k = 1$ — собственным).

Последовательность $f_1 = (\mathcal A - \lambda\mathcal I)^{k-1}x,\ \dots,\ f_{k-1} = (\mathcal A - \lambda\mathcal I)x,\ f_k = x$ называется жордановой цепочкой длины $k$ : $f_1$ — собственный вектор, а $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)f_i = f_{i-1}$ .

Корневое подпространство

Корневым подпространством оператора $\mathcal A$ , отвечающим собственному значению $\lambda$ , называется множество всех корневых векторов для $\lambda$ :

K_\lambda = \bigcup_{k\ge1}\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^k.

Жорданова клетка и жорданова матрица

Жордановой клеткой порядка $k$ с собственным значением $\lambda$ называется матрица

J_k(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}

(на диагонали $\lambda$ , над ней единицы, остальные элементы нулевые). Жордановой матрицей называется блочно-диагональная матрица из жордановых клеток. Базис, в котором матрица оператора жорданова, называется жордановым базисом.

Инвариантное подпространство

Подпространство $L\subset V$ называется инвариантным относительно оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax\in L$ для всех $x\in L$ . Тогда определено ограничение $\mathcal A|_L\colon L\to L$ .

Характеристический многочлен

Характеристическим многочленом квадратной матрицы $A$ порядка $n$ называется

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E).

Характеристический многочлен оператора — характеристический многочлен его матрицы в любом базисе. Алгебраическая кратность собственного значения — его кратность как корня $\chi$ . Множество корней $\chi$ — спектр оператора.

Прямая сумма подпространств

Сумма $L_1 + L_2$ называется прямой ( $L_1\oplus L_2$ ), если каждый её вектор единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_1\in L_1$ , $x_2\in L_2$ . Аналогично определяется прямая сумма $L_1\oplus\dots\oplus L_k$ нескольких подпространств.

Собственные значения и собственные векторы

Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax = \lambda x$ для некоторого числа $\lambda$ , которое называется собственным значением, отвечающим $x$ .

Множество $V_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)$ — собственное подпространство: собственные векторы для $\lambda$ вместе с нулём. Его размерность — геометрическая кратность собственного значения.

Многочлен от оператора. Минимальный многочлен

Для многочлена $p(t) = c_0 + c_1t + \dots + c_kt^k$ положим $p(\mathcal A) = c_0\mathcal I + c_1\mathcal A + \dots + c_k\mathcal A^k$ . Многочлен $p$ аннулирует оператор, если $p(\mathcal A) = \mathcal O$ .

Минимальным многочленом оператора называется ненулевой аннулирующий многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом $1$ .

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ и $\operatorname{Im}\mathcal A$ инвариантны относительно $\mathcal A$ . Более общо, для любого многочлена $p$ подпространства $\operatorname{Ker}p(\mathcal A)$ и $\operatorname{Im}p(\mathcal A)$ инвариантны.
Сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.
Если $e_1,\dots,e_k$ — базис инвариантного подпространства $L$ , дополненный до базиса $V$ , то матрица $\mathcal A$ в этом базисе блочно-треугольная:

A = \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix},

где $A_{11}$ — матрица $\mathcal A|_L$ . Если $V = L_1\oplus L_2$ с инвариантными $L_1, L_2$ , то в объединённом базисе матрица блочно-диагональная.

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A$ перестановочен с $p(\mathcal A)$ . Если $p(\mathcal A)x = 0$ , то $p(\mathcal A)\mathcal Ax = \mathcal Ap(\mathcal A)x = 0$ . Если $y = p(\mathcal A)x$ , то $\mathcal Ay = p(\mathcal A)(\mathcal Ax)$ . При $p(t) = t$ получаем ядро и образ $\mathcal A$ .
Если $x\in L_1$ , $y\in L_2$ , то $\mathcal A(x + y) = \mathcal Ax + \mathcal Ay\in L_1 + L_2$ . Для пересечения рассуждение очевидно.
При $j\le k$ вектор $\mathcal Ae_j$ лежит в $L$ , то есть раскладывается только по $e_1,\dots,e_k$ . Поэтому в первых $k$ столбцах ниже $k$ -й строки стоят нули. Во втором случае то же верно для столбцов второго блока. $\blacksquare$

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Подпространство $L$ $n$ -мерного пространства $V$ конечномерно и $\dim L\le n$ ; равенство $\dim L = n$ выполнено только при $L = V$ .
$\dim\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ равна максимальному числу линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ , то есть рангу матрицы из их координатных столбцов. Любая максимальная линейно независимая подсистема — базис оболочки.

Доказательство

Развернуть

В $L$ нет более $n$ линейно независимых векторов (они независимы и в $V$ ). Возьмём в $L$ максимальную независимую систему: любой вектор $L$ через неё выражается (иначе её можно было бы расширить), и она — базис $L$ . Если в нём $n$ векторов, то это $n$ независимых векторов $V$ , то есть базис $V$ , и $L = V$ .
Пусть $a_{i_1},\dots,a_{i_r}$ — максимальная независимая подсистема. Каждый $a_j$ через неё выражается (иначе подсистему можно было бы расширить), поэтому и любая линейная комбинация $a_1,\dots,a_k$ выражается через неё. Значит, это базис оболочки, и $\dim = r$ . Равенство $r$ рангу — координатная форма линейной независимости. $\blacksquare$

Структура ФСР при кратных собственных значениях

Формулировка

Пусть $\lambda$ — собственное значение матрицы $A$ алгебраической кратности $k$ , $K_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^k$ — корневое подпространство. Для любого $h\in K_\lambda$

x(t) = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}(A - \lambda E)^jh

— решение системы $x' = Ax$ . Выбрав базисы во всех корневых подпространствах, получаем $n$ таких решений, образующих ФСР.

Следовательно, каждая компонента любого решения — сумма квазимногочленов $e^{\lambda t}P(t)$ по собственным значениям $\lambda$ , где $\deg P$ меньше размера наибольшей жордановой клетки для $\lambda$ и тем более меньше $k$ .

Доказательство

Развернуть

$x(t) = e^{tA}h = e^{\lambda t}e^{t(A - \lambda E)}h$ по свойству экспоненты коммутирующих матриц. Ряд для $e^{t(A - \lambda E)}h$ обрывается, так как $(A - \lambda E)^kh = 0$ . Значит, $x$ — столбец вида «фундаментальная матрица $\times$ постоянный вектор», то есть решение.

Пространство (комплексное) раскладывается в прямую сумму корневых подпространств, поэтому объединение их базисов — базис $h_1, \dots, h_n$ . Решения $e^{tA}h_i$ при $t = 0$ дают $h_i$ , их вронскиан в нуле не равен нулю, и они образуют ФСР.

Последнее утверждение: если $m$ — размер наибольшей клетки для $\lambda$ , то $(A - \lambda E)^m = 0$ на $K_\lambda$ , и сумма обрывается на $j = m - 1$ . $\blacksquare$

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Каждый оператор (каждая квадратная матрица) является корнем своего характеристического многочлена: $\chi_A(A) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^nc_k\lambda^k$ . Для присоединённой матрицы верно тождество

(A - \lambda E)\,\widetilde{(A - \lambda E)} = \det(A - \lambda E)E = \chi(\lambda)E.

Элементы присоединённой матрицы — алгебраические дополнения, то есть многочлены от $\lambda$ степени не выше $n - 1$ . Поэтому

\widetilde{(A - \lambda E)} = B_0 + \lambda B_1 + \dots + \lambda^{n-1}B_{n-1}

с числовыми матрицами $B_k$ . Приравниваем коэффициенты при степенях $\lambda$ :

AB_0 = c_0E,\qquad AB_k - B_{k-1} = c_kE\ \ (1\le k\le n - 1),\qquad -B_{n-1} = c_nE.

Умножим $k$ -е равенство слева на $A^k$ и сложим:

\sum_{k=0}^nc_kA^k = AB_0 + \sum_{k=1}^{n-1}\big(A^{k+1}B_k - A^kB_{k-1}\big) - A^nB_{n-1} = 0,

так как сумма телескопическая. Для оператора: матрица $\chi(\mathcal A)$ равна $\chi(A)$ . $\blacksquare$

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

Формулировка

Пусть $b(t) = e^{\gamma t}p(t)$ , где $p$ — вектор-многочлен степени $m$ , а $\gamma$ — собственное значение матрицы $A$ кратности $s$ ( $s = 0$ , если $\gamma$ не собственное значение). Тогда система $x' = Ax + b(t)$ имеет частное решение

\tilde x = e^{\gamma t}q(t),\qquad\deg q\le m + s.

Доказательство

Развернуть

Подстановка $x = e^{\gamma t}u$ даёт $u' = Bu + p$ , где $B = A - \gamma E$ . Разложим пространство в прямую сумму $K_\gamma\oplus V'$ , где $V'$ — сумма остальных корневых подпространств. Оба слагаемых инвариантны относительно $B$ , так что задача распадается на две.

На $V'$ оператор $B$ обратим. Ищем полиномиальное решение $u = u_0 + \dots + u_mt^m$ : из $Bu = u' - p$ , приравнивая коэффициенты от старшего к младшему, последовательно находим $u_m = -B^{-1}p_m$ , $u_{m-1} = B^{-1}(mu_m - p_{m-1})$ и т. д. Степень не превосходит $m$ .

На $K_\gamma$ (при $s > 0$ ) имеем $B^s = 0$ , так как $\dim K_\gamma = s$ . По формуле Коши решение с $u(0) = 0$ :

u(t) = \int_0^te^{(t - \tau)B}p(\tau)\,d\tau = \sum_{j=0}^{s-1}B^j\int_0^t\frac{(t - \tau)^j}{j!}p(\tau)\,d\tau,

и каждое слагаемое — многочлен степени не выше $m + j + 1\le m + s$ . $\blacksquare$

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Для линейного отображения $\mathcal A\colon V\to W$ , $\dim V = n$ :

\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{def}\mathcal A = n.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — базис $\operatorname{Ker}\mathcal A$ . Дополним его до базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Покажем, что $\mathcal Ae_{k+1},\dots,\mathcal Ae_n$ — базис $\operatorname{Im}\mathcal A$ ; тогда $\operatorname{rank}\mathcal A = n - k$ .

Образ порождается векторами $\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n$ , из которых первые $k$ нулевые.

Если $\sum_{i>k}c_i\mathcal Ae_i = 0$ , то $\sum_{i>k}c_ie_i\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ , то есть $\sum_{i>k}c_ie_i = \sum_{i\le k}d_ie_i$ . По независимости базиса все $c_i = 0$ . $\blacksquare$

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Для жордановой клетки $J_k(\lambda)$ порядка $k$

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}{2!}&\dots&\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\\0&1&t&\dots&\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}\\\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&&1&t\\0&\dots&&0&1\end{pmatrix}.

Если $A = TJT^{-1}$ , где $J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots)$ — жорданова форма, то $e^{tA} = T\operatorname{diag}\bigl(e^{tJ_{k_1}(\lambda_1)}, \dots\bigr)T^{-1}$ , а столбцы матрицы $Te^{tJ}$ образуют ФСР.

Доказательство

Развернуть

$J_k(\lambda) = \lambda E + N$ , где $N$ — матрица с единицами над диагональю. $N^j$ имеет единицы на $j$ -й наддиагонали и $N^k = 0$ . Матрицы $\lambda E$ и $N$ коммутируют, поэтому

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}e^{tN} = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^jN^j}{j!}.

Экспонента блочно-диагональной матрицы блочно-диагональна (степени вычисляются поблочно). Для $A = TJT^{-1}$ применяем свойство 4 матричной экспоненты. Матрица $Te^{tJ} = e^{tA}T$ — фундаментальная, как произведение фундаментальной матрицы на невырожденную постоянную. $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Свойства минимального многочлена

Формулировка

Минимальный многочлен существует и единствен; его степень не больше $n$ .
Минимальный многочлен делит любой аннулирующий многочлен, в частности характеристический.
Корни минимального многочлена в основном поле — это в точности собственные значения оператора.

Доказательство

Развернуть

По теореме Гамильтона–Кэли ненулевой аннулирующий многочлен степени $n$ существует. Если $m_1, m_2$ — два минимальных многочлена, то $m_1 - m_2$ аннулирует $\mathcal A$ и имеет меньшую степень, поэтому равен нулю.
Разделим аннулирующий $p$ на минимальный $m$ с остатком: $p = qm + r$ , $\deg r < \deg m$ . Тогда $r(\mathcal A) = p(\mathcal A) - q(\mathcal A)m(\mathcal A) = \mathcal O$ , и по минимальности $r = 0$ .
Если $\mathcal Ax = \lambda x$ , $x\ne0$ , то $p(\mathcal A)x = p(\lambda)x$ для любого многочлена; при $p = m$ получаем $m(\lambda)x = 0$ , то есть $m(\lambda) = 0$ . Обратно, $m$ делит $\chi$ , поэтому каждый корень $m$ — корень $\chi$ , то есть собственное значение. $\blacksquare$

Критерий диагонализуемости оператора

Формулировка

Матрица оператора в базисе $e$ диагональна тогда и только тогда, когда $e$ состоит из собственных векторов; на диагонали стоят соответствующие собственные значения.
Оператор диагонализуем (в некотором базисе имеет диагональную матрицу) тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен раскладывается на линейные множители над основным полем и геометрическая кратность каждого собственного значения равна алгебраической.
Достаточное условие: $\chi$ имеет $n$ различных корней в основном поле.

Доказательство

Развернуть

$j$ -й столбец матрицы — координаты $\mathcal Ae_j$ ; он равен $\lambda_j$ , умноженному на $j$ -й столбец единичной матрицы, тогда и только тогда, когда $\mathcal Ae_j = \lambda_je_j$ .
Если матрица $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , то $\chi = \prod(\lambda_i - \lambda)$ , а размерность $V_\mu$ равна числу $i$ с $\lambda_i = \mu$ — алгебраической кратности.

Обратно, пусть $\mu_1,\dots,\mu_s$ — различные корни, а их кратности $m_i$ равны $\dim V_{\mu_i}$ , причём $\sum m_i = n$ . Сумма $V_{\mu_1}\oplus\dots\oplus V_{\mu_s}$ прямая, и её размерность равна $\sum m_i = n$ . Значит, это всё $V$ , и объединение базисов собственных подпространств — базис из собственных векторов.

Каждая кратность равна $1$ , а геометрическая кратность не меньше $1$ и не больше алгебраической. $\blacksquare$

Жорданова нормальная форма

Свойства корневых подпространств

Формулировка

Доказательство

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Формулировка

Доказательство

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Доказательство

Теорема о жордановой нормальной форме

Формулировка

Доказательство

Структура жордановой формы и её единственность

Формулировка

Доказательство

Диагонализуемость в терминах минимального многочлена

Формулировка

Доказательство

Жорданова форма и жорданов базис матрицы третьего порядка

Условие

Решение

Жорданова форма по рангам степеней

Условие

Решение

Степени жордановой клетки

Условие

Решение

Минимальный и характеристический многочлены по жордановой форме

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Нильпотентный оператор

Присоединённые векторы. Жорданова цепочка

Корневое подпространство

Жорданова клетка и жорданова матрица

Инвариантное подпространство

Характеристический многочлен

Прямая сумма подпространств

Собственные значения и собственные векторы

Многочлен от оператора. Минимальный многочлен

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

Доказательство

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Доказательство

Структура ФСР при кратных собственных значениях

Формулировка

Доказательство

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Доказательство

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

Формулировка

Доказательство

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Доказательство

Свойства минимального многочлена

Формулировка

Доказательство

Критерий диагонализуемости оператора

Формулировка

Доказательство