Евклидовы пространства

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Неравенство Коши–Буняковского
Свойства нормы. Теорема Пифагора
Линейная независимость ортогональной системы
Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса
Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах
Свойства определителя Грама

теорема

Неравенство Коши–Буняковского

Формулировка

В евклидовом пространстве $(x,y)^2\le(x,x)(y,y)$ , причём равенство выполнено тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

При $y = 0$ обе части нулевые. Пусть $y\ne0$ . Для всех $t\in\mathbb R$

0\le(x - ty, x - ty) = (x,x) - 2t(x,y) + t^2(y,y).

Квадратный трёхчлен неотрицателен, поэтому его дискриминант $4(x,y)^2 - 4(x,x)(y,y)\le0$ . Равенство дискриминанта нулю означает существование корня $t_0$ , то есть $x = t_0y$ . Обратно, при $x = t_0y$ равенство проверяется непосредственно. $\blacksquare$

теорема

Свойства нормы. Теорема Пифагора

Формулировка

$|x| = \sqrt{(x,x)}$ — норма; в частности, $|x + y|\le|x| + |y|$ . Следовательно, евклидово пространство — нормированное.
Угол между ненулевыми векторами определён корректно.
(Пифагор) Если $x\perp y$ , то $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$ .
(Равенство параллелограмма) $|x + y|^2 + |x - y|^2 = 2|x|^2 + 2|y|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Положительность и однородность очевидны. Далее,

|x + y|^2 = |x|^2 + 2(x,y) + |y|^2\le|x|^2 + 2|x|\,|y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2

по неравенству Коши–Буняковского.

По тому же неравенству $\left|\frac{(x,y)}{|x||y|}\right|\le1$ .

3, 4. Раскрываем скобки: $|x\pm y|^2 = |x|^2\pm2(x,y) + |y|^2$ . $\blacksquare$

теорема

Линейная независимость ортогональной системы

Формулировка

Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство

Развернуть

Если $\sum c_ia_i = 0$ , умножим скалярно на $a_j$ : $c_j(a_j,a_j) = 0$ . Так как $a_j\ne0$ , получаем $c_j = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса

Формулировка

Пусть $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы. Векторы

b_1 = a_1,\qquad b_m = a_m - \sum_{i=1}^{m-1}\frac{(a_m,b_i)}{(b_i,b_i)}b_i\quad(m = 2,\dots,k)

ненулевые, попарно ортогональны и $\operatorname{span}(b_1,\dots,b_m) = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_m)$ при каждом $m$ . Векторы $e_i = b_i/|b_i|$ образуют ортонормированную систему. 2. В любом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. 3. Любую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $m$ . Пусть $b_1,\dots,b_{m-1}$ ненулевые, ортогональны и порождают $\operatorname{span}(a_1,\dots,a_{m-1})$ . При $j < m$

(b_m,b_j) = (a_m,b_j) - \frac{(a_m,b_j)}{(b_j,b_j)}(b_j,b_j) = 0.

Если $b_m = 0$ , то $a_m$ лежит в $\operatorname{span}(b_1,\dots,b_{m-1}) = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_{m-1})$ , что противоречит независимости. Вектор $b_m$ выражается через $a_1,\dots,a_m$ , а $a_m$ — через $b_1,\dots,b_m$ , поэтому оболочки совпадают.

Применяем процесс к любому базису: получаем ортонормированную систему из $n$ векторов. Она линейно независима, а значит, это базис.
Дополним ортонормированную систему $e_1,\dots,e_k$ до базиса и применим процесс: первые $k$ векторов не изменятся, так как они уже ортонормированы. $\blacksquare$

теорема

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

В ортонормированном базисе $x_i = (x,e_i)$ , $(x,y) = \sum x_iy_i = X^\mathsf{T}Y$ , $|x|^2 = \sum x_i^2$ .
В произвольном базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ верно $(x,y) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ ; матрица $\Gamma$ симметрична. Если $e' = eT$ , то $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .

Доказательство

Развернуть

По билинейности $(x,y) = \big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_j(e_i,e_j) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ . Симметричность следует из симметричности скалярного произведения. Подставив $X = TX'$ , $Y = TY'$ , получаем $X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}\Gamma T)Y'$ ; по единственности матрицы билинейной функции $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .
В ОНБ $\Gamma = E$ . Умножая $x = \sum x_ie_i$ скалярно на $e_j$ , получаем $(x,e_j) = x_j$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства определителя Грама

Формулировка

$G(a_1,\dots,a_k)\ge0$ , причём $G = 0$ тогда и только тогда, когда $a_1,\dots,a_k$ линейно зависимы.
Матрица Грама любого базиса невырождена, и её определитель положителен.
Для двух векторов в $V_3$ величина $\sqrt{G(a,b)}$ равна площади параллелограмма, построенного на $a$ и $b$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\sum_jc_ja_j = 0$ нетривиально, то $\sum_jc_j(a_i,a_j) = 0$ при всех $i$ : столбцы $\Gamma$ линейно зависимы, и $G = 0$ .

Пусть векторы независимы, $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , и $P$ — матрица, столбцы которой — координаты $a_j$ в ортонормированном базисе $L$ . Тогда $(a_i,a_j) =$ сумма произведений координат, то есть $\Gamma = P^\mathsf{T}P$ , и $G = (\det P)^2 > 0$ , так как столбцы $P$ независимы.

Частный случай п. 1.
$G(a,b) = |a|^2|b|^2 - (a,b)^2 = |a|^2|b|^2\sin^2\varphi$ . $\blacksquare$

Ортогонализация системы векторов в ℝ⁴

Условие

Ортогонализовать и нормировать систему $a_1 = (1,1,0,0)$ , $a_2 = (1,0,1,0)$ , $a_3 = (0,1,1,1)$ в $\mathbb R^4$ со стандартным скалярным произведением.

Решение

Развернуть

$b_1 = a_1 = (1,1,0,0)$ , $|b_1|^2 = 2$ .

$b_2 = a_2 - \frac{(a_2,b_1)}{2}b_1 = (1,0,1,0) - \frac12(1,1,0,0) = \left(\frac12, -\frac12, 1, 0\right)$ , $|b_2|^2 = \frac32$ .

$(a_3,b_1) = 1$ , $(a_3,b_2) = \frac12$ , поэтому

b_3 = a_3 - \frac12b_1 - \frac{1/2}{3/2}b_2 = (0,1,1,1) - \left(\frac12,\frac12,0,0\right) - \left(\frac16,-\frac16,\frac13,0\right) = \left(-\frac23,\frac23,\frac23,1\right),

$|b_3|^2 = \frac73$ . Ортонормированная система:

e_1 = \frac{(1,1,0,0)}{\sqrt2},\quad e_2 = \frac{(1,-1,2,0)}{\sqrt6},\quad e_3 = \frac{(-2,2,2,3)}{\sqrt{21}}.

Ортонормированный базис многочленов на отрезке [0, 1]

Условие

В $P_2$ со скалярным произведением $(p,q) = \int_0^1p(t)q(t)\,dt$ ортонормировать базис $1, t, t^2$ .

Решение

Развернуть

Нужные интегралы: $\int_0^1t^k\,dt = \frac1{k+1}$ .

$b_1 = 1$ , $|b_1|^2 = 1$ .
$b_2 = t - (t,1)\cdot1 = t - \frac12$ , $|b_2|^2 = \int_0^1\left(t - \frac12\right)^2dt = \frac1{12}$ .
$(t^2,1) = \frac13$ , $(t^2, t - \frac12) = \frac14 - \frac16 = \frac1{12}$ , поэтому $b_3 = t^2 - \frac13 - \left(t - \frac12\right) = t^2 - t + \frac16$ , $|b_3|^2 = \frac1{180}$ .

Ортонормированный базис:

e_1 = 1,\qquad e_2 = \sqrt3\,(2t - 1),\qquad e_3 = \sqrt5\,(6t^2 - 6t + 1).

Скалярное произведение на пространстве матриц

Условие

Доказать, что $(A,B) = \operatorname{tr}(A^\mathsf{T}B)$ — скалярное произведение на $M_{2\times2}$ , и найти угол между $E$ и $B = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ .

Решение

Развернуть

$\operatorname{tr}(A^\mathsf{T}B) = \sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}$ — это стандартное скалярное произведение векторов из $4$ элементов матрицы. Поэтому все аксиомы выполнены.

$(E,B) = \operatorname{tr}B = 2$ , $|E| = \sqrt2$ , $|B| = \sqrt3$ , откуда $\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt6} = \sqrt{\frac23}$ .

Площадь параллелограмма через определитель Грама

Условие

Найти площадь параллелограмма, построенного на $a = (1,2,3)$ и $b = (2,3,4)$ , и выяснить, зависимы ли векторы $a$ , $b$ , $c = (3,4,5)$ .

Решение

Развернуть

$(a,a) = 14$ , $(b,b) = 29$ , $(a,b) = 20$ , поэтому $G(a,b) = 14\cdot29 - 20^2 = 6$ и $S = \sqrt6$ . Это совпадает с $|a\times b| = |(-1,2,-1)| = \sqrt6$ .

$a - 2b + c = 0$ , поэтому система зависима, и $G(a,b,c) = 0$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Скалярным произведением в вещественном линейном пространстве $V$ называется функция $(x,y)$ , сопоставляющая паре векторов число так, что для всех $x, y, z\in V$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$(x,y) = (y,x)$ ;
$(x + y, z) = (x,z) + (y,z)$ ;
$(\lambda x, y) = \lambda(x,y)$ ;
$(x,x) > 0$ при $x\ne0$ .

Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.

Примеры: $\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_iy_i$ ; $C[a,b]$ с $(f,g) = \int_a^bf(t)g(t)\,dt$ ; $M_{m\times n}$ с $(A,B) = \operatorname{tr}(A^\mathsf{T}B)$ .

Норма, угол, ортогональность. Нормированное пространство

Нормой (длиной) вектора в евклидовом пространстве называется $|x| = \sqrt{(x,x)}$ . Углом между ненулевыми векторами — число $\varphi\in[0,\pi]$ с

\cos\varphi = \frac{(x,y)}{|x|\,|y|}.

Векторы ортогональны, если $(x,y) = 0$ .

Вообще, нормированным пространством называется линейное пространство с функцией $\|x\|$ , для которой $\|x\| > 0$ при $x\ne0$ , $\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ и $\|x + y\|\le\|x\| + \|y\|$ .

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Система векторов называется ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, и ортонормированной, если, кроме того, все они имеют единичную длину: $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Базис, являющийся ортонормированной системой, называется ортонормированным базисом (ОНБ).

Матрица Грама

Матрицей Грама системы векторов $a_1,\dots,a_k$ называется матрица $\Gamma = \big((a_i,a_j)\big)_{i,j=1}^k$ , а её определитель $G(a_1,\dots,a_k)$ — определителем Грама.

Линейная комбинация. Линейная зависимость

Линейной комбинацией векторов $a_1,\dots,a_k$ с коэффициентами $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ называется вектор $\lambda_1a_1 + \dots + \lambda_ka_k$ . Комбинация тривиальна, если все $\lambda_i = 0$ .

Система векторов $a_1,\dots,a_k$ называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю, и линейно независимой, если нулю равна только тривиальная комбинация.

Линейная оболочка

Линейной оболочкой системы векторов $a_1,\dots,a_k$ называется множество всех их линейных комбинаций:

\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k) = \{\lambda_1a_1 + \dots + \lambda_ka_k\},

обозначается также $L(a_1,\dots,a_k)$ или $\langle a_1,\dots,a_k\rangle$ .

Ортогональная проекция и расстояние до подпространства

Формулировка

Ортогональная проекция вектора на подпространство существует и единственна.
Если $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ , то $\operatorname{pr}_Lx = \sum_{i=1}^k(x,e_i)e_i$ .
Если $a_1,\dots,a_k$ — произвольный базис $L$ , то $\operatorname{pr}_Lx = \sum c_ja_j$ , где коэффициенты — единственное решение системы

\sum_{j=1}^k(a_i,a_j)c_j = (x,a_i),\qquad i = 1,\dots,k.

Проекция — ближайший к $x$ вектор подпространства: $|x - u| > |x - \operatorname{pr}_Lx|$ при $u\in L$ , $u\ne\operatorname{pr}_Lx$ . Поэтому $\rho(x,L) = |x - \operatorname{pr}_Lx|$ .

Доказательство

Развернуть

Следует из $V = L\oplus L^\perp$ .
Вектор $z = x - \sum(x,e_i)e_i$ удовлетворяет $(z,e_j) = (x,e_j) - (x,e_j) = 0$ , то есть $z\in L^\perp$ .
Условие $x - \sum c_ja_j\perp a_i$ при всех $i$ — это указанная система. Её матрица — матрица Грама базиса, она невырождена, поэтому решение единственно.
Пусть $y = \operatorname{pr}_Lx$ , $z = x - y$ . Для $u\in L$ вектор $y - u$ лежит в $L$ и ортогонален $z$ , поэтому по теореме Пифагора

|x - u|^2 = |z|^2 + |y - u|^2 > |z|^2\quad\text{при}\ u\ne y.

$\blacksquare$

Нормальное псевдорешение и псевдообратная матрица

Формулировка

Нормальное псевдорешение существует и единственно; это единственное псевдорешение, лежащее в $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ — линейной оболочке строк $A$ .
Псевдообратная матрица $A^+$ существует и единственна.
Если $\operatorname{rank}A = n$ , то $A^+ = (A^\mathsf{T}A)^{-1}A^\mathsf{T}$ ; если $\operatorname{rank}A = m$ , то $A^+ = A^\mathsf{T}(AA^\mathsf{T})^{-1}$ ; если $A$ квадратная невырожденная, то $A^+ = A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

Ядро. $AX = 0$ означает, что $X$ ортогонален всем строкам $A$ , поэтому $\operatorname{Ker}A = (\operatorname{Im}A^\mathsf{T})^\perp$ и $\mathbb R^n = \operatorname{Im}A^\mathsf{T}\oplus\operatorname{Ker}A$ .

Псевдорешения — это все $X$ с $AX = \operatorname{pr}_{\operatorname{Im}A}B$ , то есть множество $X_0 + \operatorname{Ker}A$ . Разложим $X_0 = X_1 + X_2$ , $X_1\in\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ , $X_2\in\operatorname{Ker}A$ . Тогда $X_1$ — псевдорешение, и для любого другого псевдорешения $X_1 + K$ , $0\ne K\in\operatorname{Ker}A$ , по теореме Пифагора $|X_1 + K|^2 = |X_1|^2 + |K|^2 > |X_1|^2$ . Два псевдорешения из $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ различаются на вектор из $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}\cap\operatorname{Ker}A = \{0\}$ .
Отображение $B\mapsto X_1$ — композиция ортогонального проектирования на $\operatorname{Im}A$ и обратного к ограничению $A|_{\operatorname{Im}A^\mathsf{T}}$ , которое взаимно однозначно отображает $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ на $\operatorname{Im}A$ (ядро нулевое, размерности равны рангу). Значит, оно линейно, и его матрица — $A^+$ .
При $\operatorname{rank}A = n$ псевдорешение единственно (теорема о методе наименьших квадратов). При $\operatorname{rank}A = m$ система совместна при любом $B$ , и вектор $X = A^\mathsf{T}(AA^\mathsf{T})^{-1}B$ — её решение, лежащее в $\operatorname{Im}A^\mathsf{T}$ ; значит, это нормальное псевдорешение. Матрица $AA^\mathsf{T}$ невырождена по тем же соображениям, что и $A^\mathsf{T}A$ . $\blacksquare$

Критерии ортогональности оператора

Формулировка

Для оператора $\mathcal Q$ в конечномерном евклидовом пространстве равносильны условия:

$\mathcal Q$ сохраняет скалярное произведение;
$\mathcal Q$ сохраняет длины: $|\mathcal Qx| = |x|$ ;
$\mathcal Q$ переводит некоторый (а тогда и любой) ортонормированный базис в ортонормированный;
матрица $\mathcal Q$ в ортонормированном базисе ортогональна;
$\mathcal Q^*\mathcal Q = \mathcal I$ , то есть $\mathcal Q$ обратим и $\mathcal Q^{-1} = \mathcal Q^*$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ : положить $y = x$ . $2\Rightarrow1$ : $(x,y) = \frac12\big(|x + y|^2 - |x|^2 - |y|^2\big)$ , а правая часть сохраняется.

$1\Rightarrow3$ : $(\mathcal Qe_i, \mathcal Qe_j) = (e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . $3\Rightarrow1$ : если $e$ и $\mathcal Qe$ — ортонормированные базисы, то $\mathcal Qx = \sum x_i\mathcal Qe_i$ и $(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = \sum x_iy_i = (x,y)$ .

$1\iff4$ : в ортонормированном базисе $(\mathcal Qx, \mathcal Qy) = X^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QY$ . Это равно $X^\mathsf{T}Y$ при всех $X, Y$ тогда и только тогда, когда $Q^\mathsf{T}Q = E$ .

$4\iff5$ : матрица $\mathcal Q^*$ в ортонормированном базисе равна $Q^\mathsf{T}$ . $\blacksquare$

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для подпространства $L$ $n$ -мерного евклидова пространства $V$ :

$L^\perp$ — подпространство и $\dim L^\perp = n - \dim L$ ;
$V = L\oplus L^\perp$ ;
$(L^\perp)^\perp = L$ ;
если $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , то $x\in L^\perp\iff(x,a_i) = 0$ при $i = 1,\dots,k$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ ; дополним его до ортонормированного базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Так как $x_i = (x,e_i)$ , вектор $x$ ортогонален $L$ тогда и только тогда, когда $x_1 = \dots = x_k = 0$ , то есть

L^\perp = \operatorname{span}(e_{k+1},\dots,e_n).

Отсюда следуют п. 1 и 2. Аналогично $(L^\perp)^\perp = \operatorname{span}(e_1,\dots,e_k) = L$ .

Если $x$ ортогонален всем $a_i$ , то он ортогонален и их линейным комбинациям. $\blacksquare$

Изоморфизм конечномерных евклидовых пространств

Формулировка

Конечномерные евклидовы пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны. В частности, любое $n$ -мерное евклидово пространство изоморфно $\mathbb R^n$ со стандартным скалярным произведением.

Доказательство

Развернуть

Изоморфизм евклидовых пространств — в частности, изоморфизм линейных, поэтому размерности равны. Обратно, выберем ортонормированные базисы $e$ в $V$ и $f$ в $W$ и положим $\varphi\big(\sum x_ie_i\big) = \sum x_if_i$ . Это изоморфизм линейных пространств, а скалярное произведение в обоих пространствах равно $\sum x_iy_i$ в координатах ортонормированного базиса. $\blacksquare$

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $x = \sum x_ie_i = \sum x_i'e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')e_i = 0$ . Базис линейно независим, поэтому $x_i = x_i'$ при всех $i$ . $\blacksquare$

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для каждой симметричной билинейной формы $b$ существует единственный самосопряжённый оператор $\mathcal A$ с

b(x,y) = (\mathcal Ax, y)\quad\text{для всех } x, y.

В любом ортонормированном базисе матрицы $b$ и $\mathcal A$ совпадают.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — матрица формы в ортонормированном базисе. Оператор с матрицей $B$ самосопряжён (матрица симметрична), и $(\mathcal Ax, y) = (BX)^\mathsf{T}Y = X^\mathsf{T}BY = b(x,y)$ . Если операторы $\mathcal A_1, \mathcal A_2$ подходят, то $(\mathcal A_1x - \mathcal A_2x, y) = 0$ для всех $y$ , откуда $\mathcal A_1 = \mathcal A_2$ . $\blacksquare$

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна. Обратно, если $e$ — ортонормированный базис, а $T$ ортогональна, то базис $e' = eT$ ортонормирован.

Доказательство

Развернуть

Столбцы $T$ — координаты векторов $e_j'$ в ортонормированном базисе $e$ , поэтому $(e_i', e_j')$ равно скалярному произведению $i$ -го и $j$ -го столбцов $T$ . Условие $(e_i', e_j') = \delta_{ij}$ равносильно $T^\mathsf{T}T = E$ . $\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве сопряжённый существует и единствен.
В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ ; в произвольном базисе с матрицей Грама $\Gamma$ она равна $\Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ .
$(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ , $(\mathcal A + \mathcal B)^* = \mathcal A^* + \mathcal B^*$ , $(\lambda\mathcal A)^* = \lambda\mathcal A^*$ , $(\mathcal A\mathcal B)^* = \mathcal B^*\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Единственность. Если $(x, \mathcal By) = (x, \mathcal Cy)$ для всех $x$ , то при $x = \mathcal By - \mathcal Cy$ получаем $|\mathcal By - \mathcal Cy|^2 = 0$ .

Существование и матрица. В базисе с матрицей Грама $\Gamma$ равенство $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y)$ записывается как

(AX)^\mathsf{T}\Gamma Y = X^\mathsf{T}\Gamma A^*Y\quad\text{для всех } X, Y,

то есть $A^\mathsf{T}\Gamma = \Gamma A^*$ . Так как $\Gamma$ невырождена, $A^* = \Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ подходит, и оператор с этой матрицей — сопряжённый. В ОНБ $\Gamma = E$ .

Проверяется подстановкой, например $(\mathcal A\mathcal Bx, y) = (\mathcal Bx, \mathcal A^*y) = (x, \mathcal B^*\mathcal A^*y)$ . $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

$\det A^\mathsf{T} = \det A$ . Как следствие, всякое свойство определителя, сформулированное для строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Так как $(A^\mathsf{T})_{ij} = a_{ji}$ ,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma\; a_{\sigma(1)1}\, a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}.

Переставим множители в каждом произведении по возрастанию первого индекса. Множитель с первым индексом $i$ — это $a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ , поэтому произведение равно $\prod_i a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ . Кроме того, $\operatorname{sgn}\sigma^{-1} = \operatorname{sgn}\sigma$ . Когда $\sigma$ пробегает $S_n$ , подстановка $\rho = \sigma^{-1}$ тоже пробегает всё $S_n$ . Значит,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\rho\in S_n} \operatorname{sgn}\rho\; a_{1\rho(1)}\cdots a_{n\rho(n)} = \det A.

$\blacksquare$

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

Достаточность. Одна строка — линейная комбинация остальных. Вычтя из неё эту комбинацию, получим нулевую строку, и определитель равен нулю.

Необходимость. Если $\det A = 0$ , то $r = \operatorname{rank} A < n$ . При $r = 0$ матрица нулевая, и строки зависимы. При $r > 0$ найдётся небазисная строка. Она — линейная комбинация базисных, и строки зависимы. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Евклидовы пространства

Неравенство Коши–Буняковского

Формулировка

Доказательство

Свойства нормы. Теорема Пифагора

Формулировка

Доказательство

Линейная независимость ортогональной системы

Формулировка

Доказательство

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

Доказательство

Свойства определителя Грама

Формулировка

Доказательство

Ортогонализация системы векторов в ℝ⁴

Условие

Решение

Ортонормированный базис многочленов на отрезке [0, 1]

Условие

Решение

Скалярное произведение на пространстве матриц

Условие

Решение

Площадь параллелограмма через определитель Грама

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Норма, угол, ортогональность. Нормированное пространство

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Матрица Грама

Линейная комбинация. Линейная зависимость

Линейная оболочка

Ортогональная проекция и расстояние до подпространства

Формулировка

Доказательство

Нормальное псевдорешение и псевдообратная матрица

Формулировка

Доказательство

Критерии ортогональности оператора

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Изоморфизм конечномерных евклидовых пространств

Формулировка

Доказательство

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Доказательство

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

Доказательство

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Доказательство