Собственные значения и инвариантные подпространства

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Свойства инвариантных подпространств
Инвариантность характеристического многочлена
Собственные значения — корни характеристического многочлена
Линейная независимость собственных векторов
Критерий диагонализуемости оператора
Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности
Теорема Гамильтона–Кэли
Свойства минимального многочлена

теорема

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ и $\operatorname{Im}\mathcal A$ инвариантны относительно $\mathcal A$ . Более общо, для любого многочлена $p$ подпространства $\operatorname{Ker}p(\mathcal A)$ и $\operatorname{Im}p(\mathcal A)$ инвариантны.
Сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.
Если $e_1,\dots,e_k$ — базис инвариантного подпространства $L$ , дополненный до базиса $V$ , то матрица $\mathcal A$ в этом базисе блочно-треугольная:

A = \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix},

где $A_{11}$ — матрица $\mathcal A|_L$ . Если $V = L_1\oplus L_2$ с инвариантными $L_1, L_2$ , то в объединённом базисе матрица блочно-диагональная.

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A$ перестановочен с $p(\mathcal A)$ . Если $p(\mathcal A)x = 0$ , то $p(\mathcal A)\mathcal Ax = \mathcal Ap(\mathcal A)x = 0$ . Если $y = p(\mathcal A)x$ , то $\mathcal Ay = p(\mathcal A)(\mathcal Ax)$ . При $p(t) = t$ получаем ядро и образ $\mathcal A$ .
Если $x\in L_1$ , $y\in L_2$ , то $\mathcal A(x + y) = \mathcal Ax + \mathcal Ay\in L_1 + L_2$ . Для пересечения рассуждение очевидно.
При $j\le k$ вектор $\mathcal Ae_j$ лежит в $L$ , то есть раскладывается только по $e_1,\dots,e_k$ . Поэтому в первых $k$ столбцах ниже $k$ -й строки стоят нули. Во втором случае то же верно для столбцов второго блока. $\blacksquare$

теорема

Инвариантность характеристического многочлена

Формулировка

Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены; поэтому характеристический многочлен оператора определён корректно.
$\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^n + (-\lambda)^{n-1}\operatorname{tr}A + \dots + \det A$ .

Доказательство

Развернуть

$\det(T^{-1}AT - \lambda E) = \det\big(T^{-1}(A - \lambda E)T\big) = \det T^{-1}\det(A - \lambda E)\det T = \det(A - \lambda E)$ .
В определителе $\det(A - \lambda E)$ слагаемое, соответствующее подстановке $\sigma\ne\varepsilon$ , содержит не больше $n - 2$ диагональных множителей, поэтому имеет степень по $\lambda$ не выше $n - 2$ . Значит, коэффициенты при $\lambda^n$ и $\lambda^{n-1}$ берутся из произведения $\prod(a_{ii} - \lambda)$ ; это $(-1)^n$ и $(-1)^{n-1}\sum a_{ii}$ . Свободный член равен $\chi(0) = \det A$ . $\blacksquare$

теорема

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

теорема

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма собственных подпространств $V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_s}$ при попарно различных $\lambda_i$ прямая.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу $s$ векторов; при $s = 1$ собственный вектор ненулевой. Пусть $\mathcal Ax_i = \lambda_ix_i$ и $\sum_{i=1}^sc_ix_i = 0$ . Применим $\mathcal A$ и вычтем исходное равенство, умноженное на $\lambda_s$ :

\sum_{i=1}^{s-1}c_i(\lambda_i - \lambda_s)x_i = 0.

По предположению индукции $c_i(\lambda_i - \lambda_s) = 0$ , и так как $\lambda_i\ne\lambda_s$ , все $c_i = 0$ при $i < s$ . Тогда $c_sx_s = 0$ , то есть $c_s = 0$ .

Для суммы подпространств: если $\sum y_i = 0$ , $y_i\in V_{\lambda_i}$ , то ненулевые $y_i$ были бы линейно зависимыми собственными векторами для различных собственных значений. Значит, все $y_i = 0$ , и разложение нуля единственно; это равносильно единственности любого разложения. $\blacksquare$

теорема

Критерий диагонализуемости оператора

Формулировка

Матрица оператора в базисе $e$ диагональна тогда и только тогда, когда $e$ состоит из собственных векторов; на диагонали стоят соответствующие собственные значения.
Оператор диагонализуем (в некотором базисе имеет диагональную матрицу) тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен раскладывается на линейные множители над основным полем и геометрическая кратность каждого собственного значения равна алгебраической.
Достаточное условие: $\chi$ имеет $n$ различных корней в основном поле.

Доказательство

Развернуть

$j$ -й столбец матрицы — координаты $\mathcal Ae_j$ ; он равен $\lambda_j$ , умноженному на $j$ -й столбец единичной матрицы, тогда и только тогда, когда $\mathcal Ae_j = \lambda_je_j$ .
Если матрица $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , то $\chi = \prod(\lambda_i - \lambda)$ , а размерность $V_\mu$ равна числу $i$ с $\lambda_i = \mu$ — алгебраической кратности.

Обратно, пусть $\mu_1,\dots,\mu_s$ — различные корни, а их кратности $m_i$ равны $\dim V_{\mu_i}$ , причём $\sum m_i = n$ . Сумма $V_{\mu_1}\oplus\dots\oplus V_{\mu_s}$ прямая, и её размерность равна $\sum m_i = n$ . Значит, это всё $V$ , и объединение базисов собственных подпространств — базис из собственных векторов.

Каждая кратность равна $1$ , а геометрическая кратность не меньше $1$ и не больше алгебраической. $\blacksquare$

теорема

Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности

Формулировка

Любой оператор в ненулевом конечномерном комплексном пространстве имеет собственный вектор, то есть одномерное инвариантное подпространство.
Любой оператор в ненулевом конечномерном вещественном пространстве имеет инвариантное подпространство размерности $1$ или $2$ .

Доказательство

Развернуть

По основной теореме алгебры $\chi$ имеет комплексный корень, а он является собственным значением.
Пусть $A$ — матрица оператора в некотором базисе. Если у $\chi$ есть вещественный корень, есть и собственный вектор. Иначе возьмём комплексный корень $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne0$ , и ненулевое решение $Z = U + iV$ системы $AZ = \lambda Z$ ( $U, V$ — вещественные столбцы). Отделяя вещественную и мнимую части, получаем

AU = \alpha U - \beta V,\qquad AV = \beta U + \alpha V.

Значит, векторы с координатами $U$ и $V$ порождают инвариантное подпространство, причём оно ненулевое, так как $Z\ne0$ , и его размерность не больше $2$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Каждый оператор (каждая квадратная матрица) является корнем своего характеристического многочлена: $\chi_A(A) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^nc_k\lambda^k$ . Для присоединённой матрицы верно тождество

(A - \lambda E)\,\widetilde{(A - \lambda E)} = \det(A - \lambda E)E = \chi(\lambda)E.

Элементы присоединённой матрицы — алгебраические дополнения, то есть многочлены от $\lambda$ степени не выше $n - 1$ . Поэтому

\widetilde{(A - \lambda E)} = B_0 + \lambda B_1 + \dots + \lambda^{n-1}B_{n-1}

с числовыми матрицами $B_k$ . Приравниваем коэффициенты при степенях $\lambda$ :

AB_0 = c_0E,\qquad AB_k - B_{k-1} = c_kE\ \ (1\le k\le n - 1),\qquad -B_{n-1} = c_nE.

Умножим $k$ -е равенство слева на $A^k$ и сложим:

\sum_{k=0}^nc_kA^k = AB_0 + \sum_{k=1}^{n-1}\big(A^{k+1}B_k - A^kB_{k-1}\big) - A^nB_{n-1} = 0,

так как сумма телескопическая. Для оператора: матрица $\chi(\mathcal A)$ равна $\chi(A)$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства минимального многочлена

Формулировка

Минимальный многочлен существует и единствен; его степень не больше $n$ .
Минимальный многочлен делит любой аннулирующий многочлен, в частности характеристический.
Корни минимального многочлена в основном поле — это в точности собственные значения оператора.

Доказательство

Развернуть

По теореме Гамильтона–Кэли ненулевой аннулирующий многочлен степени $n$ существует. Если $m_1, m_2$ — два минимальных многочлена, то $m_1 - m_2$ аннулирует $\mathcal A$ и имеет меньшую степень, поэтому равен нулю.
Разделим аннулирующий $p$ на минимальный $m$ с остатком: $p = qm + r$ , $\deg r < \deg m$ . Тогда $r(\mathcal A) = p(\mathcal A) - q(\mathcal A)m(\mathcal A) = \mathcal O$ , и по минимальности $r = 0$ .
Если $\mathcal Ax = \lambda x$ , $x\ne0$ , то $p(\mathcal A)x = p(\lambda)x$ для любого многочлена; при $p = m$ получаем $m(\lambda)x = 0$ , то есть $m(\lambda) = 0$ . Обратно, $m$ делит $\chi$ , поэтому каждый корень $m$ — корень $\chi$ , то есть собственное значение. $\blacksquare$

Собственные значения и диагонализация матрицы второго порядка

Условие

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы $A = \begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}$ и привести её к диагональному виду.

Решение

Развернуть

$\chi(\lambda) = (4 - \lambda)(1 - \lambda) + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6$ , корни $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 3$ .

$\lambda = 2$ : $(A - 2E)X = 0$ , то есть $2x_1 - 2x_2 = 0$ , откуда собственный вектор $(1,1)$ .
$\lambda = 3$ : $x_1 - 2x_2 = 0$ , откуда $(2,1)$ .

Корни различны, поэтому матрица диагонализуема. При $T = \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}$ получаем $T^{-1}AT = \operatorname{diag}(2,3)$ .

Матрица из единиц

Условие

Найти собственные значения, их алгебраические и геометрические кратности для матрицы порядка $3$ , все элементы которой равны $1$ . Диагонализуема ли она?

Решение

Развернуть

$\operatorname{rank}A = 1$ , поэтому $\dim V_0 = 3 - 1 = 2$ : собственные векторы $(1,-1,0)$ , $(1,0,-1)$ . Далее, $A(1,1,1)^\mathsf{T} = 3(1,1,1)^\mathsf{T}$ . Характеристический многочлен $\chi(\lambda) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 = -\lambda^2(\lambda - 3)$ (след равен $3$ , а миноры второго порядка и определитель нулевые).

У $\lambda = 0$ алгебраическая и геометрическая кратности равны $2$ , у $\lambda = 3$ — обе равны $1$ . Матрица диагонализуема: $\operatorname{diag}(3,0,0)$ .

Жорданова клетка не диагонализуема

Условие

Доказать, что матрица $J = \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$ не приводится к диагональному виду.

Решение

Развернуть

$\chi(t) = (\lambda - t)^2$ , единственное собственное значение $\lambda$ кратности $2$ . Но $\operatorname{rank}(J - \lambda E) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = 1$ , поэтому геометрическая кратность равна $1 < 2$ . По критерию диагонализуемости матрица не диагонализуема.

Обратная матрица по теореме Гамильтона–Кэли

Условие

Для $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ проверить теорему Гамильтона–Кэли и с её помощью найти $A^{-1}$ .

Решение

Развернуть

$\chi(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2$ (след $5$ , определитель $-2$ ). Вычисляем:

A^2 = \begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix},\qquad A^2 - 5A - 2E = \begin{pmatrix}7 - 5 - 2&10 - 10\\15 - 15&22 - 20 - 2\end{pmatrix} = 0.

Тогда $A(A - 5E) = 2E$ , откуда

A^{-1} = \frac12(A - 5E) = \begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}.

Поворот плоскости не имеет вещественных собственных векторов

Условие

Найти собственные значения оператора поворота плоскости на угол $\varphi$ , $0 < \varphi < \pi$ .

Решение

Развернуть

Матрица поворота $\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$ , и

\chi(\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda\cos\varphi + 1,\qquad\lambda_{1,2} = \cos\varphi\pm i\sin\varphi = e^{\pm i\varphi}.

Вещественных корней нет, поэтому собственных векторов в вещественной плоскости нет. Это согласуется с геометрией: при повороте ни одно направление не сохраняется. Сама плоскость — инвариантное подпространство размерности $2$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Инвариантное подпространство

Подпространство $L\subset V$ называется инвариантным относительно оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax\in L$ для всех $x\in L$ . Тогда определено ограничение $\mathcal A|_L\colon L\to L$ .

Собственные значения и собственные векторы

Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax = \lambda x$ для некоторого числа $\lambda$ , которое называется собственным значением, отвечающим $x$ .

Множество $V_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)$ — собственное подпространство: собственные векторы для $\lambda$ вместе с нулём. Его размерность — геометрическая кратность собственного значения.

Характеристический многочлен

Характеристическим многочленом квадратной матрицы $A$ порядка $n$ называется

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E).

Характеристический многочлен оператора — характеристический многочлен его матрицы в любом базисе. Алгебраическая кратность собственного значения — его кратность как корня $\chi$ . Множество корней $\chi$ — спектр оператора.

Многочлен от оператора. Минимальный многочлен

Для многочлена $p(t) = c_0 + c_1t + \dots + c_kt^k$ положим $p(\mathcal A) = c_0\mathcal I + c_1\mathcal A + \dots + c_k\mathcal A^k$ . Многочлен $p$ аннулирует оператор, если $p(\mathcal A) = \mathcal O$ .

Минимальным многочленом оператора называется ненулевой аннулирующий многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом $1$ .

Матрица линейного оператора

Пусть $e = (e_1,\dots,e_n)$ — базис $V$ , $f = (f_1,\dots,f_m)$ — базис $W$ , и

\mathcal Ae_j = \sum_{i=1}^ma_{ij}f_i,\qquad j = 1,\dots,n.

Матрица $A = (a_{ij})$ размера $m\times n$ , $j$ -й столбец которой — координаты вектора $\mathcal Ae_j$ в базисе $f$ , называется матрицей линейного отображения в базисах $e, f$ . Для оператора в $V$ берётся один базис $e$ , и матрица квадратная: $\mathcal Ae = eA$ .

Подобные матрицы

Квадратные матрицы $A$ и $B$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $T$ такая, что $B = T^{-1}AT$ .

Прямая сумма подпространств

Сумма $L_1 + L_2$ называется прямой ( $L_1\oplus L_2$ ), если каждый её вектор единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_1\in L_1$ , $x_2\in L_2$ . Аналогично определяется прямая сумма $L_1\oplus\dots\oplus L_k$ нескольких подпространств.

Присоединённая матрица

Присоединённой (союзной) матрицей к квадратной матрице $A$ называется транспонированная матрица алгебраических дополнений:

\tilde A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn}\end{pmatrix}, \qquad \tilde a_{ij} = A_{ji}.

Ядро и образ — подпространства

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ — подпространство $V$ , $\operatorname{Im}\mathcal A$ — подпространство $W$ .
Если $e_1,\dots,e_n$ — базис $V$ , то $\operatorname{Im}\mathcal A = \operatorname{span}(\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n)$ .
$\mathcal A$ инъективно тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\mathcal Ax = \mathcal Ay = 0$ , то $\mathcal A(\alpha x + \beta y) = 0$ . Далее, $\alpha\mathcal Ax + \beta\mathcal Ay = \mathcal A(\alpha x + \beta y)\in\operatorname{Im}\mathcal A$ .
$\mathcal Ax = \sum x_j\mathcal Ae_j$ .
$\mathcal Ax = \mathcal Ay\iff\mathcal A(x - y) = 0\iff x - y\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ . $\blacksquare$

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Подпространство само является линейным пространством с теми же операциями; в частности, оно содержит нулевой вектор.
Пересечение и сумма подпространств — подпространства.
Линейная оболочка любой системы — подпространство; это наименьшее подпространство, содержащее эту систему.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы, не связанные с существованием элементов, выполнены в $L$ , потому что они выполнены в $V$ . Для $x\in L$ векторы $0 = 0\cdot x$ и $-x = (-1)x$ лежат в $L$ .
Если $x, y\in L_1\cap L_2$ , то $x + y$ и $\lambda x$ лежат и в $L_1$ , и в $L_2$ . Для суммы:

(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2),\qquad\lambda(x_1 + x_2) = \lambda x_1 + \lambda x_2.

Сумма двух линейных комбинаций и произведение комбинации на число — снова линейные комбинации тех же векторов. Любое подпространство, содержащее $a_1,\dots,a_k$ , содержит и все их линейные комбинации. $\blacksquare$

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Для любого нильпотентного оператора $\mathcal N$ в конечномерном пространстве существует базис, составленный из жордановых цепочек. В таком базисе (векторы каждой цепочки упорядочены от собственного вектора) матрица $\mathcal N$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ .

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ . Если $\mathcal N = \mathcal O$ , подходит любой базис (цепочки длины $1$ ); в частности, это так при $n = 1$ .

Пусть $\mathcal N\ne\mathcal O$ . Ядро $\mathcal N$ ненулевое, иначе $\mathcal N$ был бы обратим, а тогда и $\mathcal N^k$ обратим. Поэтому $W = \operatorname{Im}\mathcal N$ имеет размерность меньше $n$ , инвариантно, и $\mathcal N|_W$ нильпотентен. По предположению индукции в $W$ есть базис из цепочек

y_i,\ \mathcal Ny_i,\ \dots,\ \mathcal N^{k_i-1}y_i,\qquad\mathcal N^{k_i}y_i = 0,\qquad i = 1,\dots,s.

Ядро на $W$ . Применив $\mathcal N$ к линейной комбинации векторов этого базиса, видим: она лежит в $\operatorname{Ker}\mathcal N$ тогда и только тогда, когда в ней участвуют только последние векторы цепочек $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ . Значит, они образуют базис $\operatorname{Ker}\mathcal N\cap W$ .

Построение. Так как $y_i\in\operatorname{Im}\mathcal N$ , выберем $x_i$ с $\mathcal Nx_i = y_i$ ; цепочка от $x_i$ имеет длину $k_i + 1$ . Дополним векторы $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ до базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ векторами $z_1,\dots,z_t$ . Рассмотрим систему

\{\mathcal N^mx_i:\ 0\le m\le k_i,\ 1\le i\le s\}\cup\{z_1,\dots,z_t\}.

В ней $\sum(k_i + 1) + t = \dim W + \dim\operatorname{Ker}\mathcal N = n$ векторов (теорема о ранге и дефекте), так что достаточно доказать её линейную независимость.

Независимость. Пусть $\sum_{i,m}c_{im}\mathcal N^mx_i + \sum_jd_jz_j = 0$ . Применим $\mathcal N$ : векторы $\mathcal N^{k_i+1}x_i$ и $\mathcal Nz_j$ нулевые, и остаётся $\sum_i\sum_{m<k_i}c_{im}\mathcal N^my_i = 0$ — комбинация базиса $W$ . Значит, $c_{im} = 0$ при $m < k_i$ . Остаётся

\sum_ic_{ik_i}\mathcal N^{k_i-1}y_i + \sum_jd_jz_j = 0,

а это комбинация базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ , поэтому и эти коэффициенты нулевые.

Матрица. Для цепочки $f_1,\dots,f_k$ имеем $\mathcal Nf_1 = 0$ , $\mathcal Nf_i = f_{i-1}$ ; в её базисе матрица — $J_k(0)$ . $\blacksquare$

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Формулировка

Пусть характеристический многочлен оператора раскладывается на линейные множители (это всегда так над $\mathbb C$ ):

\chi(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_1}\cdots(\lambda_s - \lambda)^{m_s},\qquad\lambda_i\text{ попарно различны}.

Тогда

V = K_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus K_{\lambda_s},\qquad\dim K_{\lambda_i} = m_i,\qquad K_{\lambda_i} = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^{m_i}.

Доказательство

Развернуть

Лемма. Если $p = p_1p_2$ , многочлены $p_1, p_2$ взаимно просты и $p(\mathcal A) = \mathcal O$ , то $V = \operatorname{Ker}p_1(\mathcal A)\oplus\operatorname{Ker}p_2(\mathcal A)$ .

По теореме Безу существуют многочлены $u, v$ с $up_1 + vp_2 = 1$ , то есть $u(\mathcal A)p_1(\mathcal A) + v(\mathcal A)p_2(\mathcal A) = \mathcal I$ . Для любого $x$

x = \underbrace{v(\mathcal A)p_2(\mathcal A)x}_{x_1} + \underbrace{u(\mathcal A)p_1(\mathcal A)x}_{x_2},

причём $p_1(\mathcal A)x_1 = v(\mathcal A)p(\mathcal A)x = 0$ и аналогично $p_2(\mathcal A)x_2 = 0$ . Если $x$ лежит в обоих ядрах, то $x = v(\mathcal A)p_2(\mathcal A)x + u(\mathcal A)p_1(\mathcal A)x = 0$ .

Разложение. Множители $(t - \lambda_i)^{m_i}$ попарно взаимно просты, а $\chi(\mathcal A) = \mathcal O$ по теореме Гамильтона–Кэли. Применяя лемму несколько раз, получаем $V = \bigoplus_iL_i$ , где $L_i = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^{m_i}$ инвариантны.

Размерности. На $L_i$ единственное собственное значение $\mathcal A$ равно $\lambda_i$ (как в свойствах корневых подпространств), поэтому $\chi_{\mathcal A|_{L_i}} = (\lambda_i - t)^{d_i}$ , $d_i = \dim L_i$ . Матрица $\mathcal A$ в объединённом базисе блочно-диагональная, и

\chi(t) = \prod_i(\lambda_i - t)^{d_i}.

Сравнивая с разложением $\chi$ , получаем $d_i = m_i$ .

Совпадение с $K_{\lambda_i}$ . $L_i\subset K_{\lambda_i}$ . Пусть $(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^kx = 0$ и $x = \sum_jx_j$ , $x_j\in L_j$ . Подпространства $L_j$ инвариантны, поэтому $(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^kx_j = 0$ для всех $j$ . При $j\ne i$ оператор $\mathcal A - \lambda_i\mathcal I$ на $L_j$ обратим (его единственное собственное значение $\lambda_j - \lambda_i\ne0$ ), поэтому $x_j = 0$ . Значит, $x = x_i\in L_i$ . $\blacksquare$

Свойства корневых подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\subset\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^2\subset\dots$ , и с некоторого номера $h$ эта цепочка стабилизируется; $K_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^h$ — подпространство.
$K_\lambda$ инвариантно относительно $\mathcal A$ .
Ограничение $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)|_{K_\lambda}$ нильпотентно.
Единственное собственное значение ограничения $\mathcal A|_{K_\lambda}$ равно $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Включения очевидны: если $\mathcal B^kx = 0$ , то $\mathcal B^{k+1}x = 0$ (здесь $\mathcal B = \mathcal A - \lambda\mathcal I$ ). Размерности не убывают и ограничены $n$ , поэтому стабилизируются. Если $\operatorname{Ker}\mathcal B^h = \operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1}$ , то и все следующие ядра совпадают: из $\mathcal B^{h+2}x = 0$ следует $\mathcal Bx\in\operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1} = \operatorname{Ker}\mathcal B^h$ , то есть $\mathcal B^{h+1}x = 0$ .
Это ядро многочлена $(t - \lambda)^h$ от $\mathcal A$ ; оно инвариантно.
$\mathcal B^h = \mathcal O$ на $K_\lambda$ .
Если $\mathcal Ax = \mu x$ , $0\ne x\in K_\lambda$ , то $0 = \mathcal B^hx = (\mu - \lambda)^hx$ , откуда $\mu = \lambda$ . $\blacksquare$

Теорема о жордановой нормальной форме

Формулировка

Если характеристический многочлен оператора раскладывается на линейные множители (в частности, для любого оператора в комплексном пространстве), то существует жорданов базис: матрица оператора в нём — жорданова матрица. Каждая клетка $J_k(\lambda_i)$ отвечает жордановой цепочке длины $k$ для собственного значения $\lambda_i$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме о разложении $V = K_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus K_{\lambda_s}$ с инвариантными $K_{\lambda_i}$ , поэтому в объединённом базисе матрица блочно-диагональная. На $K_{\lambda_i}$ оператор $\mathcal N_i = (\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)|_{K_{\lambda_i}}$ нильпотентен, и в $K_{\lambda_i}$ есть базис из его жордановых цепочек. В нём матрица $\mathcal N_i$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ , а матрица $\mathcal A|_{K_{\lambda_i}} = \lambda_i\mathcal I + \mathcal N_i$ — из клеток $J_k(\lambda_i)$ . $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Линейная замена сохраняет тип точки покоя

Формулировка

Невырожденная замена $x = Ty$ переводит систему $x' = Ax$ в систему $y' = T^{-1}AT\,y$ . Фазовые траектории переходят в фазовые траектории (под действием линейного отображения $T^{-1}$ ), собственные значения не меняются, и тип точки покоя сохраняется.

Доказательство

Развернуть

$y' = T^{-1}x' = T^{-1}Ax = T^{-1}ATy$ . Решения систем связаны взаимно однозначно, $y(t) = T^{-1}x(t)$ , поэтому траектории отображаются друг на друга. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены, а значит, одинаковые собственные значения. Условие $A = \lambda E$ равносильно $T^{-1}AT = \lambda E$ . $\blacksquare$

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Пусть $A, B$ — матрицы операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в базисе $e$ . Тогда:

матрицы операторов $\mathcal A + \mathcal B$ , $\lambda\mathcal A$ , $\mathcal A\mathcal B$ равны $A + B$ , $\lambda A$ , $AB$ ;
оператор $\mathcal A$ обратим тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , что равносильно $\det A\ne0$ ; при этом матрица $\mathcal A^{-1}$ равна $A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

В координатах $(\mathcal A + \mathcal B)x$ имеет столбец $AX + BX = (A + B)X$ , а $\mathcal A(\mathcal Bx)$ — столбец $A(BX) = (AB)X$ . Матрица оператора определяется его действием на координаты.
Если $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , то $\mathcal A$ инъективен, и по теореме о ранге и дефекте $\operatorname{rank}\mathcal A = n$ , то есть он и сюръективен. Обратное отображение биекции линейно, так что $\mathcal A$ обратим. Если же $\mathcal Ax = 0$ при $x\ne0$ , обратного нет.

$\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}\iff$ однородная система $AX = 0$ имеет только нулевое решение $\iff\det A\ne0$ . Из $\mathcal A\mathcal A^{-1} = \mathcal I$ по п. 1 получаем $A\cdot[\mathcal A^{-1}] = E$ . $\blacksquare$

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Для линейного отображения $\mathcal A\colon V\to W$ , $\dim V = n$ :

\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{def}\mathcal A = n.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — базис $\operatorname{Ker}\mathcal A$ . Дополним его до базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Покажем, что $\mathcal Ae_{k+1},\dots,\mathcal Ae_n$ — базис $\operatorname{Im}\mathcal A$ ; тогда $\operatorname{rank}\mathcal A = n - k$ .

Образ порождается векторами $\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n$ , из которых первые $k$ нулевые.

Если $\sum_{i>k}c_i\mathcal Ae_i = 0$ , то $\sum_{i>k}c_ie_i\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ , то есть $\sum_{i>k}c_ie_i = \sum_{i\le k}d_ie_i$ . По независимости базиса все $c_i = 0$ . $\blacksquare$

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном пространстве спектр оператора состоит только из собственных значений — корней характеристического многочлена.

Доказательство

Развернуть

Если $\lambda$ не собственное значение, то $A - \lambda I$ инъективен, а по теореме о ранге и дефекте и сюръективен. Обратный оператор линеен и, как любой линейный оператор в конечномерном пространстве, ограничен (это следует из ограниченности координатных функционалов). Значит, $\lambda\in\rho(A)$ . Собственные значения — корни характеристического многочлена. $\blacksquare$

Структура жордановой формы и её единственность

Формулировка

Пусть $\lambda$ — собственное значение, $r_k = \operatorname{rank}(A - \lambda E)^k$ , $r_0 = n$ . Тогда в жордановой форме:

сумма порядков клеток с собственным значением $\lambda$ равна его алгебраической кратности;
число клеток с собственным значением $\lambda$ равно геометрической кратности $n - r_1$ ;
число клеток порядка не меньше $k$ равно $r_{k-1} - r_k$ , а число клеток порядка ровно $k$ равно $r_{k-1} - 2r_k + r_{k+1}$ ;
порядок наибольшей клетки с собственным значением $\lambda_i$ равен кратности корня $\lambda_i$ минимального многочлена.

Следовательно, жорданова форма определена однозначно с точностью до порядка клеток.

Доказательство

Развернуть

Ранги $r_k$ не зависят от базиса, поэтому их можно считать по жордановой матрице $J$ . Для клетки $J_m(\mu)$ с $\mu\ne\lambda$ матрица $J_m(\mu) - \lambda E$ невырождена, и её степени имеют ранг $m$ при всех $k$ . Для клетки $J_m(\lambda)$ матрица $J_m(0)^k$ имеет ранг $\max(m - k, 0)$ : единицы сдвигаются на $k$ мест над диагональю. Поэтому

r_{k-1} - r_k = \#\{\text{клеток с }\lambda\text{ порядка}\ \ge k\},

откуда следуют п. 2 ( $k = 1$ ) и п. 3. Пункт 1 — это равенство $\dim K_\lambda = m_\lambda$ .

Минимальный многочлен блочно-диагональной матрицы — наименьшее общее кратное минимальных многочленов блоков, а у клетки $J_m(\lambda)$ он равен $(t - \lambda)^m$ , так как $J_m(0)^{m-1}\ne0$ , $J_m(0)^m = 0$ .

Ранги определяют количества клеток всех порядков, поэтому жорданова форма единственна. $\blacksquare$

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

$Q^\mathsf{T}Q = E\iff QQ^\mathsf{T} = E\iff Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ ; столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.
$\det Q = \pm1$ .
Произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной, ортогональны.
Все корни характеристического многочлена ортогональной матрицы по модулю равны $1$ ; вещественные собственные значения равны $\pm1$ .

Доказательство

Развернуть

Односторонняя обратная квадратной матрицы является обратной. Элемент $(i,j)$ матрицы $Q^\mathsf{T}Q$ — скалярное произведение $i$ -го и $j$ -го столбцов; для $QQ^\mathsf{T}$ — строк.
$1 = \det E = \det Q^\mathsf{T}\det Q = (\det Q)^2$ .
$(Q_1Q_2)^\mathsf{T}Q_1Q_2 = Q_2^\mathsf{T}Q_1^\mathsf{T}Q_1Q_2 = E$ ; $(Q^{-1})^\mathsf{T}Q^{-1} = QQ^\mathsf{T} = E$ .
Если $QZ = \lambda Z$ , $Z\ne0$ — комплексный столбец, то $\bar Z^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QZ = \bar Z^\mathsf{T}Z$ , а левая часть равна $\overline{\lambda Z}^\mathsf{T}\lambda Z = |\lambda|^2\bar Z^\mathsf{T}Z$ . Так как $\bar Z^\mathsf{T}Z > 0$ , получаем $|\lambda| = 1$ . $\blacksquare$

Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора

Формулировка

Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора (симметричной вещественной матрицы) вещественны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ — симметричная матрица оператора в ортонормированном базисе, $\lambda\in\mathbb C$ — корень $\chi$ , и $Z\ne0$ — комплексный столбец с $AZ = \lambda Z$ . Рассмотрим число $s = \bar Z^\mathsf{T}AZ$ . Так как $A$ вещественна и симметрична,

\bar s = Z^\mathsf{T}A\bar Z = (Z^\mathsf{T}A\bar Z)^\mathsf{T} = \bar Z^\mathsf{T}A^\mathsf{T}Z = \bar Z^\mathsf{T}AZ = s,

то есть $s$ вещественно. С другой стороны, $s = \lambda\bar Z^\mathsf{T}Z = \lambda\sum|z_i|^2$ , и $\sum|z_i|^2 > 0$ . Значит, $\lambda = s/\sum|z_i|^2\in\mathbb R$ . $\blacksquare$

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Для любого самосопряжённого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из его собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна, а пространство раскладывается в прямую сумму попарно ортогональных собственных подпространств.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ ; при $n = 1$ любой ненулевой вектор собственный. Пусть $n > 1$ . Характеристический многочлен имеет корень, и он вещественный, поэтому существует собственный вектор; нормируем его и обозначим $e_1$ .

Подпространство $L = \operatorname{span}(e_1)$ инвариантно, значит, $L^\perp$ размерности $n - 1$ тоже инвариантно, и ограничение $\mathcal A|_{L^\perp}$ самосопряжено. По предположению индукции в $L^\perp$ есть ортонормированный базис $e_2,\dots,e_n$ из собственных векторов. Векторы $e_1,\dots,e_n$ — искомый базис.

Собственные подпространства для разных собственных значений ортогональны, а их сумма — всё $V$ , так как содержит построенный базис. $\blacksquare$

Критерии прямой суммы. Дополнение подпространства

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ $L_{1}, L_{2}$ конечномерного пространства равносильны условия:
- сумма $L_1 + L_2$ прямая;
- $L_1\cap L_2 = \{0\}$ ;
- $\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2$ ;
- объединение базисов $L_1$ и $L_2$ — базис $L_1 + L_2$ .
Для любого подпространства $L\subset V$ существует подпространство $M$ такое, что $V = L\oplus M$ .

Доказательство

Развернуть

1. Прямая $\Rightarrow$ пересечение нулевое. Если $0\ne z\in L_1\cap L_2$ , то $z = z + 0 = 0 + z$ — два разных разложения.

Пересечение нулевое $\Rightarrow$ прямая. Если $x_1 + x_2 = y_1 + y_2$ , то $x_1 - y_1 = y_2 - x_2\in L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Пересечение нулевое $\iff$ равенство размерностей — формула Грассмана.

Равенство размерностей $\iff$ объединение базисов — базис. Объединение базисов всегда порождает сумму и содержит $\dim L_1 + \dim L_2$ векторов; оно является базисом тогда и только тогда, когда это число равно $\dim(L_1 + L_2)$ .

2. Дополним базис $a_1,\dots,a_k$ подпространства $L$ до базиса $a_1,\dots,a_n$ пространства $V$ и положим $M = \operatorname{span}(a_{k+1},\dots,a_n)$ . Тогда $L + M = V$ , а объединение базисов $L$ и $M$ — базис, так что сумма прямая. $\blacksquare$

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Если матрица $A$ имеет базис из собственных векторов $h_1, \dots, h_n$ , $Ah_k = \lambda_kh_k$ (в частности, если все корни характеристического уравнения различны), то

e^{\lambda_1t}h_1,\ \dots,\ e^{\lambda_nt}h_n

— ФСР системы $x' = Ax$ , и общее решение $x = \sum_kC_ke^{\lambda_kt}h_k$ .

Доказательство

Развернуть

Каждая функция — решение по лемме о решениях вида $e^{\lambda t}h$ . Вронскиан при $t = 0$ равен $\det(h_1, \dots, h_n)\ne 0$ , так как векторы образуют базис. Значит, решения независимы. При различных собственных значениях собственные векторы линейно независимы, и $n$ таких векторов образуют базис. $\blacksquare$

Вещественные канонические формы матрицы 2×2

Формулировка

Вещественная матрица $A$ порядка $2$ подобна над $\mathbb R$ одной из матриц

\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}\ (\beta\ne 0),

соответственно для вещественных собственных значений с базисом из собственных векторов (в частности, для $\lambda_1\ne\lambda_2$ или $A = \lambda E$ ), для кратного собственного значения при $A\ne\lambda E$ и для комплексных собственных значений $\alpha\pm i\beta$ .

Доказательство

Развернуть

Различные вещественные собственные значения дают независимые собственные векторы — базис, в котором матрица диагональна.

Пусть $\lambda$ — двукратный корень и $A\ne\lambda E$ . Возьмём вектор $h_2$ с $h_1 := (A - \lambda E)h_2\ne 0$ . По теореме Гамильтона–Кэли $(A - \lambda E)^2 = 0$ , поэтому $(A - \lambda E)h_1 = 0$ . Векторы $h_1, h_2$ независимы (иначе $h_2$ был бы собственным). В базисе $h_1, h_2$ : $Ah_1 = \lambda h_1$ , $Ah_2 = h_1 + \lambda h_2$ .

Пусть $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne 0$ , и $h = a + ib$ — собственный вектор. Из $A(a + ib) = (\alpha + i\beta)(a + ib)$ получаем

Aa = \alpha a - \beta b,\qquad Ab = \beta a + \alpha b.

Векторы $a$ , $b$ независимы: иначе $h$ был бы комплексным кратным вещественного вектора, и $\lambda$ было бы вещественным. В базисе $(b, a)$ матрица равна $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}$ . $\blacksquare$

Диагонализуемость в терминах минимального многочлена

Формулировка

Оператор с раскладывающимся характеристическим многочленом диагонализуем тогда и только тогда, когда все его жордановы клетки имеют порядок $1$ , то есть тогда и только тогда, когда минимальный многочлен не имеет кратных корней.

Доказательство

Развернуть

Диагональная матрица — жорданова с клетками порядка $1$ ; по единственности жордановой формы оператор диагонализуем ровно тогда, когда все клетки имеют порядок $1$ . По п. 4 теоремы о структуре это равносильно тому, что все корни минимального многочлена простые. $\blacksquare$

Свойства арифметических операций над комплексными числами

Формулировка

Сложение и умножение комплексных чисел коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистрибутивности. $0$ и $1$ — нейтральные элементы. Каждое $z\ne0$ имеет обратное

z^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2},\qquad\text{и}\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}\quad(z_2\ne0).

Таким образом, $\mathbb C$ — поле.

Доказательство

Развернуть

Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность проверяются непосредственно по формулам операций и сводятся к свойствам вещественных чисел. Далее,

z\bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 + i(-xy + yx) = |z|^2,

поэтому $z\cdot\frac{\bar z}{|z|^2} = 1$ при $z\ne0$ . Деление определяется как умножение на обратное. $\blacksquare$

Канонический вид ортогонального оператора

Формулировка

Для любого ортогонального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица блочно-диагональна с блоками вида $(1)$ , $(-1)$ и $R_\varphi$ , $0 < \varphi < \pi$ .

Доказательство

Развернуть

Инвариантность дополнения. Если $L$ инвариантно относительно $\mathcal Q$ , то $\mathcal Q(L) = L$ ( $\mathcal Q$ обратим, размерности равны), поэтому $L$ инвариантно и относительно $\mathcal Q^{-1} = \mathcal Q^*$ . Тогда $L^\perp$ инвариантно относительно $(\mathcal Q^*)^* = \mathcal Q$ .

Индукция по размерности. Существует инвариантное подпространство $L$ размерности $1$ или $2$ . Ограничение $\mathcal Q$ на $L$ и на $L^\perp$ — ортогональные операторы, и к $L^\perp$ применимо предположение индукции.

$\dim L = 1$ : $\mathcal Qx = \lambda x$ , $|\lambda| = 1$ , то есть блок $(\pm1)$ .
$\dim L = 2$ : в ортонормированном базисе $L$ матрица ограничения — $R_\varphi$ или $S_\varphi$ . В случае $S_\varphi$ плоскость раскладывается в два ортогональных собственных направления — два блока $(1)$ и $(-1)$ . Если $R_\varphi$ при $\varphi\in(\pi, 2\pi)$ , заменим второй базисный вектор на противоположный: получится $R_{2\pi - \varphi}$ . Случаи $\varphi = 0, \pi$ дают блоки $(1),(1)$ и $(-1),(-1)$ . $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Разложение по чужим алгебраическим дополнениям

Формулировка

Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (то же для столбцов):

\sum_{k=1}^n a_{lk} A_{ik} = \delta_{li}\det A, \qquad \sum_{k=1}^n a_{kl} A_{kj} = \delta_{lj}\det A,

где $\delta_{li}$ — символ Кронекера.

Доказательство

Развернуть

При $l = i$ это разложение по строке. Пусть $l \ne i$ . Заменим в $A$ $i$ -ю строку на $l$ -ю. Алгебраические дополнения $A_{ik}$ не зависят от $i$ -й строки, поэтому разложение нового определителя по $i$ -й строке и есть $\sum_k a_{lk}A_{ik}$ . У новой матрицы две равные строки, поэтому её определитель равен нулю. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Собственные значения и инвариантные подпространства

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

Доказательство

Инвариантность характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Критерий диагонализуемости оператора

Формулировка

Доказательство

Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности

Формулировка

Доказательство

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Доказательство

Свойства минимального многочлена

Формулировка

Доказательство

Собственные значения и диагонализация матрицы второго порядка

Условие

Решение

Матрица из единиц

Условие

Решение

Жорданова клетка не диагонализуема

Условие

Решение

Обратная матрица по теореме Гамильтона–Кэли

Условие

Решение

Поворот плоскости не имеет вещественных собственных векторов

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Инвариантное подпространство

Собственные значения и собственные векторы

Характеристический многочлен

Многочлен от оператора. Минимальный многочлен

Матрица линейного оператора

Подобные матрицы

Прямая сумма подпространств

Присоединённая матрица

Ядро и образ — подпространства

Формулировка

Доказательство

Подпространства, их сумма и пересечение

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Доказательство

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Формулировка

Доказательство

Свойства корневых подпространств

Формулировка

Доказательство

Теорема о жордановой нормальной форме

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Линейная замена сохраняет тип точки покоя

Формулировка

Доказательство