Размерность. Замена базиса. Изоморфизм

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Число векторов в базисе
Свойства n-мерного пространства
Размерности основных пространств
Преобразование координат при переходе к новому базису
Изоморфизм конечномерных пространств

теорема

Число векторов в базисе

Формулировка

Все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Следовательно, размерность определена корректно.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_n$ и $f_1,\dots,f_m$ — базисы. Каждый $f_j$ — линейная комбинация $e_1,\dots,e_n$ . Если $m > n$ , то по лемме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы $f_1,\dots,f_m$ зависимы — противоречие. Значит, $m\le n$ ; меняя базисы ролями, получаем $n\le m$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Пусть $\dim V = n$ . Тогда:

любые $n + 1$ векторов $V$ линейно зависимы;
любые $n$ линейно независимых векторов образуют базис;
если $n$ векторов порождают $V$ (любой вектор — их линейная комбинация), то они образуют базис;
любую линейно независимую систему векторов $V$ можно дополнить до базиса.

Доказательство

Развернуть

Все векторы — линейные комбинации $n$ векторов базиса; применяем лемму о линейной зависимости линейных комбинаций.
Если $a_1,\dots,a_n$ независимы, то для любого $x$ система $a_1,\dots,a_n,x$ из $n + 1$ векторов зависима (п. 1). По критерию линейной зависимости $x$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_n$ .
Если бы порождающие векторы $a_1,\dots,a_n$ были зависимы, один из них выражался бы через остальные, и $V$ порождалось бы $n - 1$ векторами. Тогда по лемме о линейных комбинациях любые $n$ векторов $V$ были бы зависимы, в том числе базис, — противоречие.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ независимы и не образуют базиса. Тогда некоторый $x$ через них не выражается, и система $a_1,\dots,a_k,x$ независима (иначе по критерию $x$ выражался бы через $a_i$ ). Повторяем; по п. 1 процесс оборвётся не позже чем на $n$ векторах, а получившаяся порождающая независимая система — базис. $\blacksquare$

теорема

Размерности основных пространств

Формулировка

\dim\mathbb R^n = n,\qquad\dim M_{m\times n} = mn,\qquad\dim P_n = n + 1,\qquad\dim V_3 = 3,

а пространство $C[a,b]$ бесконечномерно.

Доказательство

Развернуть

В $\mathbb R^n$ базис образуют векторы $(1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1)$ .
В $M_{m\times n}$ — матрицы $E_{ij}$ с единицей на месте $(i,j)$ и нулями в остальных местах; их $mn$ .
В $P_n$ — одночлены $1, t,\dots,t^n$ : они порождают $P_n$ и линейно независимы, так как многочлен, равный нулю тождественно, имеет нулевые коэффициенты.
В $V_3$ базис — любая тройка некомпланарных векторов.
В $C[a,b]$ при любом $n$ функции $1, t,\dots,t^n$ линейно независимы. $\blacksquare$

теорема

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

теорема

Изоморфизм конечномерных пространств

Формулировка

Изоморфизм переводит линейно зависимые системы в линейно зависимые, а независимые — в независимые; в частности, базис — в базис.
Любое $n$ -мерное пространство изоморфно $\mathbb R^n$ : изоморфизмом служит сопоставление вектору его координатного столбца в фиксированном базисе.
Конечномерные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство

Развернуть

$\varphi\big(\sum\lambda_ia_i\big) = \sum\lambda_i\varphi(a_i)$ , а $\varphi(x) = 0\iff x = 0$ , так как $\varphi(0) = 0$ и $\varphi$ инъективно. Поэтому нулевые линейные комбинации векторов $a_i$ и векторов $\varphi(a_i)$ одни и те же. Базис переходит в независимую систему, которая порождает $W$ в силу сюръективности.
Сопоставление $x\mapsto X$ биективно (существование и единственность координат) и сохраняет операции по координатным формулам.
Если $\varphi$ — изоморфизм, по п. 1 образ базиса $V$ — базис $W$ , поэтому $\dim V = \dim W$ . Обратно, оба пространства изоморфны $\mathbb R^n$ , а композиция изоморфизмов и обратный к изоморфизму — изоморфизмы. $\blacksquare$

Матрица перехода и координаты в двумерном пространстве

Условие

В $\mathbb R^2$ даны базисы $e_1 = (1,1)$ , $e_2 = (1,2)$ и $e_1' = (2,1)$ , $e_2' = (1,3)$ . Найти матрицу перехода от $e$ к $e'$ и координаты в базисе $e'$ вектора, имеющего в базисе $e$ координаты $(1,1)$ .

Решение

Развернуть

Раскладываем новые векторы по старым: из $e_1' = ae_1 + be_2$ получаем $a + b = 2$ , $a + 2b = 1$ , то есть $a = 3$ , $b = -1$ . Аналогично $e_2' = -e_1 + 2e_2$ . Значит,

T = \begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix},\qquad T^{-1} = \frac15\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}.

Координаты в новом базисе: $X' = T^{-1}X = \frac15(3, 4)^\mathsf{T}$ .

Проверка: вектор $e_1 + e_2 = (2,3)$ , и $\frac35(2,1) + \frac45(1,3) = (2,3)$ .

Размерности пространств симметрических и кососимметрических матриц

Условие

Найти размерности пространств симметрических и кососимметрических матриц порядка $n$ .

Решение

Развернуть

Симметрическая матрица однозначно задаётся элементами на главной диагонали и над ней, и эти элементы произвольны. Базис образуют матрицы $E_{ii}$ и $E_{ij} + E_{ji}$ при $i < j$ , поэтому размерность равна

n + \frac{n(n-1)}2 = \frac{n(n+1)}2.

Кососимметрическая матрица имеет нулевую диагональ и задаётся элементами над ней. Базис — $E_{ij} - E_{ji}$ при $i < j$ , размерность $\frac{n(n-1)}2$ .

Переход к базису степеней (t − 1) в пространстве многочленов

Условие

Найти матрицу перехода от базиса $1, t, t^2$ пространства $P_2$ к базису $1,\ t - 1,\ (t - 1)^2$ и координаты многочлена $t^2$ в новом базисе.

Решение

Развернуть

Новые базисные векторы в старом базисе: $1 = (1,0,0)$ , $t - 1 = (-1,1,0)$ , $(t-1)^2 = 1 - 2t + t^2 = (1,-2,1)$ . Поэтому

T = \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}.

Координаты $X'$ многочлена $t^2$ находим из $TX' = (0,0,1)^\mathsf{T}$ : $x_3' = 1$ , $x_2' = 2$ , $x_1' = 1$ . Действительно,

t^2 = 1 + 2(t - 1) + (t - 1)^2.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Размерность линейного пространства

Линейное пространство $V$ называется $n$ -мерным ( $\dim V = n$ ), если в нём существует базис из $n$ векторов. Пространство $\{0\}$ имеет размерность $0$ . Если в $V$ для любого $n$ есть $n$ линейно независимых векторов, $V$ называется бесконечномерным.

Корректность определения (независимость $n$ от выбора базиса) — содержание теоремы о числе векторов в базисе.

Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть $e = (e_1,\dots,e_n)$ и $e' = (e_1',\dots,e_n')$ — базисы пространства $V$ и

e_j' = \sum_{i=1}^nt_{ij}e_i,\qquad j = 1,\dots,n.

Матрица $T = (t_{ij})$ , $j$ -й столбец которой — координаты вектора $e_j'$ в базисе $e$ , называется матрицей перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Коротко: $e' = eT$ .

Изоморфизм линейных пространств

Линейные пространства $V$ и $W$ называются изоморфными, если существует биекция $\varphi\colon V\to W$ , сохраняющая линейные операции:

\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y),\qquad\varphi(\lambda x) = \lambda\varphi(x).

Отображение $\varphi$ называется изоморфизмом.

Базис и координаты

Упорядоченная система векторов $e = (e_1,\dots,e_n)$ называется базисом линейного пространства $V$ , если она линейно независима и любой вектор $x\in V$ является её линейной комбинацией:

x = x_1e_1 + \dots + x_ne_n.

Числа $x_1,\dots,x_n$ называются координатами вектора $x$ в базисе $e$ ; столбец $X = (x_1,\dots,x_n)^\mathsf{T}$ — координатный столбец.

Основные примеры линейных пространств

$\mathbb R^n$ — арифметическое пространство упорядоченных наборов $(x_1,\dots,x_n)$ с покоординатными операциями.
$V_1$ , $V_2$ , $V_3$ — пространства свободных геометрических векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
$M_{m\times n}$ — пространство матриц размера $m\times n$ с обычными сложением и умножением на число.
$P_n$ — пространство многочленов степени не выше $n$ (вместе с нулевым многочленом).
$C[a,b]$ — пространство функций, непрерывных на $[a,b]$ , с поточечными операциями.
Множество решений однородной системы линейных уравнений $AX = 0$ с $n$ неизвестными.

Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций

Формулировка

Если каждый из векторов $b_1,\dots,b_m$ является линейной комбинацией векторов $a_1,\dots,a_k$ и $m > k$ , то система $b_1,\dots,b_m$ линейно зависима.

Доказательство

Развернуть

Пусть $b_j = \sum_{i=1}^kc_{ij}a_i$ . Ищем числа $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ , не все нулевые, с $\sum_j\lambda_jb_j = 0$ . Так как

\sum_{j=1}^m\lambda_jb_j = \sum_{i=1}^k\Big(\sum_{j=1}^mc_{ij}\lambda_j\Big)a_i,

достаточно, чтобы выполнялись $k$ равенств $\sum_jc_{ij}\lambda_j = 0$ , $i = 1,\dots,k$ . Это однородная система из $k$ уравнений с $m > k$ неизвестными. Ранг её матрицы не больше $k < m$ , поэтому по критерию существования ненулевых решений однородной системы у неё есть ненулевое решение. $\blacksquare$

Критерий линейной зависимости

Формулировка

Система из $k\ge2$ векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один её вектор является линейной комбинацией остальных. Если $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы, а $a_1,\dots,a_k,b$ зависимы, то $b$ — линейная комбинация $a_1,\dots,a_k$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\sum\lambda_ia_i = 0$ и $\lambda_j\ne0$ , то $a_j = -\sum_{i\ne j}\frac{\lambda_i}{\lambda_j}a_i$ . Обратно, из $a_j = \sum_{i\ne j}\mu_ia_i$ получаем нетривиальную комбинацию $a_j - \sum_{i\ne j}\mu_ia_i = 0$ (коэффициент при $a_j$ равен $1$ ).

Пусть $\sum\lambda_ia_i + \mu b = 0$ — нетривиальная комбинация. Если $\mu = 0$ , то нетривиальна комбинация $\sum\lambda_ia_i = 0$ , что противоречит независимости. Значит, $\mu\ne0$ и $b = -\sum\frac{\lambda_i}{\mu}a_i$ . $\blacksquare$

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}\mathcal A$ и $\operatorname{Im}\mathcal A$ инвариантны относительно $\mathcal A$ . Более общо, для любого многочлена $p$ подпространства $\operatorname{Ker}p(\mathcal A)$ и $\operatorname{Im}p(\mathcal A)$ инвариантны.
Сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.
Если $e_1,\dots,e_k$ — базис инвариантного подпространства $L$ , дополненный до базиса $V$ , то матрица $\mathcal A$ в этом базисе блочно-треугольная:

A = \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix},

где $A_{11}$ — матрица $\mathcal A|_L$ . Если $V = L_1\oplus L_2$ с инвариантными $L_1, L_2$ , то в объединённом базисе матрица блочно-диагональная.

Доказательство

Развернуть

$\mathcal A$ перестановочен с $p(\mathcal A)$ . Если $p(\mathcal A)x = 0$ , то $p(\mathcal A)\mathcal Ax = \mathcal Ap(\mathcal A)x = 0$ . Если $y = p(\mathcal A)x$ , то $\mathcal Ay = p(\mathcal A)(\mathcal Ax)$ . При $p(t) = t$ получаем ядро и образ $\mathcal A$ .
Если $x\in L_1$ , $y\in L_2$ , то $\mathcal A(x + y) = \mathcal Ax + \mathcal Ay\in L_1 + L_2$ . Для пересечения рассуждение очевидно.
При $j\le k$ вектор $\mathcal Ae_j$ лежит в $L$ , то есть раскладывается только по $e_1,\dots,e_k$ . Поэтому в первых $k$ столбцах ниже $k$ -й строки стоят нули. Во втором случае то же верно для столбцов второго блока. $\blacksquare$

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса

Формулировка

Пусть $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы. Векторы

b_1 = a_1,\qquad b_m = a_m - \sum_{i=1}^{m-1}\frac{(a_m,b_i)}{(b_i,b_i)}b_i\quad(m = 2,\dots,k)

ненулевые, попарно ортогональны и $\operatorname{span}(b_1,\dots,b_m) = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_m)$ при каждом $m$ . Векторы $e_i = b_i/|b_i|$ образуют ортонормированную систему. 2. В любом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. 3. Любую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $m$ . Пусть $b_1,\dots,b_{m-1}$ ненулевые, ортогональны и порождают $\operatorname{span}(a_1,\dots,a_{m-1})$ . При $j < m$

(b_m,b_j) = (a_m,b_j) - \frac{(a_m,b_j)}{(b_j,b_j)}(b_j,b_j) = 0.

Если $b_m = 0$ , то $a_m$ лежит в $\operatorname{span}(b_1,\dots,b_{m-1}) = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_{m-1})$ , что противоречит независимости. Вектор $b_m$ выражается через $a_1,\dots,a_m$ , а $a_m$ — через $b_1,\dots,b_m$ , поэтому оболочки совпадают.

Применяем процесс к любому базису: получаем ортонормированную систему из $n$ векторов. Она линейно независима, а значит, это базис.
Дополним ортонормированную систему $e_1,\dots,e_k$ до базиса и применим процесс: первые $k$ векторов не изменятся, так как они уже ортонормированы. $\blacksquare$

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Для любого нильпотентного оператора $\mathcal N$ в конечномерном пространстве существует базис, составленный из жордановых цепочек. В таком базисе (векторы каждой цепочки упорядочены от собственного вектора) матрица $\mathcal N$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ .

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ . Если $\mathcal N = \mathcal O$ , подходит любой базис (цепочки длины $1$ ); в частности, это так при $n = 1$ .

Пусть $\mathcal N\ne\mathcal O$ . Ядро $\mathcal N$ ненулевое, иначе $\mathcal N$ был бы обратим, а тогда и $\mathcal N^k$ обратим. Поэтому $W = \operatorname{Im}\mathcal N$ имеет размерность меньше $n$ , инвариантно, и $\mathcal N|_W$ нильпотентен. По предположению индукции в $W$ есть базис из цепочек

y_i,\ \mathcal Ny_i,\ \dots,\ \mathcal N^{k_i-1}y_i,\qquad\mathcal N^{k_i}y_i = 0,\qquad i = 1,\dots,s.

Ядро на $W$ . Применив $\mathcal N$ к линейной комбинации векторов этого базиса, видим: она лежит в $\operatorname{Ker}\mathcal N$ тогда и только тогда, когда в ней участвуют только последние векторы цепочек $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ . Значит, они образуют базис $\operatorname{Ker}\mathcal N\cap W$ .

Построение. Так как $y_i\in\operatorname{Im}\mathcal N$ , выберем $x_i$ с $\mathcal Nx_i = y_i$ ; цепочка от $x_i$ имеет длину $k_i + 1$ . Дополним векторы $\mathcal N^{k_i-1}y_i$ до базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ векторами $z_1,\dots,z_t$ . Рассмотрим систему

\{\mathcal N^mx_i:\ 0\le m\le k_i,\ 1\le i\le s\}\cup\{z_1,\dots,z_t\}.

В ней $\sum(k_i + 1) + t = \dim W + \dim\operatorname{Ker}\mathcal N = n$ векторов (теорема о ранге и дефекте), так что достаточно доказать её линейную независимость.

Независимость. Пусть $\sum_{i,m}c_{im}\mathcal N^mx_i + \sum_jd_jz_j = 0$ . Применим $\mathcal N$ : векторы $\mathcal N^{k_i+1}x_i$ и $\mathcal Nz_j$ нулевые, и остаётся $\sum_i\sum_{m<k_i}c_{im}\mathcal N^my_i = 0$ — комбинация базиса $W$ . Значит, $c_{im} = 0$ при $m < k_i$ . Остаётся

\sum_ic_{ik_i}\mathcal N^{k_i-1}y_i + \sum_jd_jz_j = 0,

а это комбинация базиса $\operatorname{Ker}\mathcal N$ , поэтому и эти коэффициенты нулевые.

Матрица. Для цепочки $f_1,\dots,f_k$ имеем $\mathcal Nf_1 = 0$ , $\mathcal Nf_i = f_{i-1}$ ; в её базисе матрица — $J_k(0)$ . $\blacksquare$

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Для линейного отображения $\mathcal A\colon V\to W$ , $\dim V = n$ :

\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{def}\mathcal A = n.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — базис $\operatorname{Ker}\mathcal A$ . Дополним его до базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Покажем, что $\mathcal Ae_{k+1},\dots,\mathcal Ae_n$ — базис $\operatorname{Im}\mathcal A$ ; тогда $\operatorname{rank}\mathcal A = n - k$ .

Образ порождается векторами $\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n$ , из которых первые $k$ нулевые.

Если $\sum_{i>k}c_i\mathcal Ae_i = 0$ , то $\sum_{i>k}c_ie_i\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ , то есть $\sum_{i>k}c_ie_i = \sum_{i\le k}d_ie_i$ . По независимости базиса все $c_i = 0$ . $\blacksquare$

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Подпространство $L$ $n$ -мерного пространства $V$ конечномерно и $\dim L\le n$ ; равенство $\dim L = n$ выполнено только при $L = V$ .
$\dim\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ равна максимальному числу линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ , то есть рангу матрицы из их координатных столбцов. Любая максимальная линейно независимая подсистема — базис оболочки.

Доказательство

Развернуть

В $L$ нет более $n$ линейно независимых векторов (они независимы и в $V$ ). Возьмём в $L$ максимальную независимую систему: любой вектор $L$ через неё выражается (иначе её можно было бы расширить), и она — базис $L$ . Если в нём $n$ векторов, то это $n$ независимых векторов $V$ , то есть базис $V$ , и $L = V$ .
Пусть $a_{i_1},\dots,a_{i_r}$ — максимальная независимая подсистема. Каждый $a_j$ через неё выражается (иначе подсистему можно было бы расширить), поэтому и любая линейная комбинация $a_1,\dots,a_k$ выражается через неё. Значит, это базис оболочки, и $\dim = r$ . Равенство $r$ рангу — координатная форма линейной независимости. $\blacksquare$

Критерии прямой суммы. Дополнение подпространства

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ $L_{1}, L_{2}$ конечномерного пространства равносильны условия:
- сумма $L_1 + L_2$ прямая;
- $L_1\cap L_2 = \{0\}$ ;
- $\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2$ ;
- объединение базисов $L_1$ и $L_2$ — базис $L_1 + L_2$ .
Для любого подпространства $L\subset V$ существует подпространство $M$ такое, что $V = L\oplus M$ .

Доказательство

Развернуть

1. Прямая $\Rightarrow$ пересечение нулевое. Если $0\ne z\in L_1\cap L_2$ , то $z = z + 0 = 0 + z$ — два разных разложения.

Пересечение нулевое $\Rightarrow$ прямая. Если $x_1 + x_2 = y_1 + y_2$ , то $x_1 - y_1 = y_2 - x_2\in L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Пересечение нулевое $\iff$ равенство размерностей — формула Грассмана.

Равенство размерностей $\iff$ объединение базисов — базис. Объединение базисов всегда порождает сумму и содержит $\dim L_1 + \dim L_2$ векторов; оно является базисом тогда и только тогда, когда это число равно $\dim(L_1 + L_2)$ .

2. Дополним базис $a_1,\dots,a_k$ подпространства $L$ до базиса $a_1,\dots,a_n$ пространства $V$ и положим $M = \operatorname{span}(a_{k+1},\dots,a_n)$ . Тогда $L + M = V$ , а объединение базисов $L$ и $M$ — базис, так что сумма прямая. $\blacksquare$

Формула Грассмана

Формулировка

Для подпространств $L_1, L_2$ конечномерного пространства

\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1\cap L_2).

Доказательство

Развернуть

Пусть $c_1,\dots,c_k$ — базис $L_1\cap L_2$ . Дополним его до базиса $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p$ пространства $L_1$ и до базиса $c_1,\dots,c_k,b_1,\dots,b_q$ пространства $L_2$ . Покажем, что $c_1,\dots,c_k,a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q$ — базис $L_1 + L_2$ ; тогда $\dim(L_1 + L_2) = k + p + q = (k + p) + (k + q) - k$ .

Порождение. Любой $x_1 + x_2$ с $x_i\in L_i$ — комбинация векторов $c, a$ и $c, b$ .

Независимость. Пусть $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i + \sum\beta_ib_i = 0$ . Вектор $y = \sum\beta_ib_i = -\sum\gamma_ic_i - \sum\alpha_ia_i$ лежит и в $L_2$ , и в $L_1$ , то есть в пересечении: $y = \sum\delta_ic_i$ . Тогда $\sum\beta_ib_i - \sum\delta_ic_i = 0$ , и по независимости базиса $L_2$ все $\beta_i = 0$ . Остаётся $\sum\gamma_ic_i + \sum\alpha_ia_i = 0$ — по независимости базиса $L_1$ все коэффициенты нулевые. $\blacksquare$

Подпространство решений однородной системы

Формулировка

Множество решений однородной системы $AX = 0$ с $n$ неизвестными — подпространство $\mathbb R^n$ размерности $n - \operatorname{rank}A$ ; фундаментальная система решений — его базис.
Обратно, любое подпространство $L\subset\mathbb R^n$ является множеством решений некоторой однородной системы.

Доказательство

Развернуть

Сумма решений и произведение решения на число — решения, так что это подпространство. По теореме о фундаментальной системе решений любое решение — линейная комбинация $n - r$ линейно независимых решений ФСР, а значит, ФСР — базис.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ — базис $L$ , и $A_L$ — матрица со строками $a_i$ . Рассмотрим подпространство $M$ решений системы $A_LY = 0$ ; его размерность $n - k$ . Пусть $b_1,\dots,b_{n-k}$ — базис $M$ , а $B$ — матрица со строками $b_j$ . Каждый $a_i$ удовлетворяет системе $BX = 0$ , так как $(b_j, a_i) = \sum b_{jm}a_{im} = 0$ . Подпространство решений системы $BX = 0$ имеет размерность $n - \operatorname{rank}B = n - (n - k) = k$ и содержит $L$ ; значит, совпадает с $L$ . $\blacksquare$

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $x = \sum x_ie_i = \sum x_i'e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')e_i = 0$ . Базис линейно независим, поэтому $x_i = x_i'$ при всех $i$ . $\blacksquare$

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Пусть в базисе $e$ векторы $x$ , $y$ имеют координатные столбцы $X$ , $Y$ . Тогда:

координатный столбец $x + y$ равен $X + Y$ , а $\lambda x$ — $\lambda X$ ;
векторы $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы, то есть ранг матрицы, составленной из этих столбцов, равен $k$ ;
максимальное число линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ равно рангу этой матрицы.

Доказательство

Развернуть

$x + y = \sum x_ie_i + \sum y_ie_i = \sum(x_i + y_i)e_i$ ; по единственности разложения это и есть координаты суммы. Для $\lambda x$ аналогично.
По п. 1 равенство $\sum\lambda_ja_j = 0$ равносильно $\sum\lambda_jA_j = 0$ для координатных столбцов $A_j$ (нулевой вектор имеет нулевые координаты). Значит, линейные соотношения между векторами и между их столбцами одни и те же. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых столбцов.
Следует из п. 2 и той же теоремы о ранге. $\blacksquare$

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

Достаточность. Одна строка — линейная комбинация остальных. Вычтя из неё эту комбинацию, получим нулевую строку, и определитель равен нулю.

Необходимость. Если $\det A = 0$ , то $r = \operatorname{rank} A < n$ . При $r = 0$ матрица нулевая, и строки зависимы. При $r > 0$ найдётся небазисная строка. Она — линейная комбинация базисных, и строки зависимы. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Если $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к $e'$ , то матрица формы в новом базисе

B' = T^\mathsf{T}BT.

Следовательно, ранг формы не зависит от базиса, а знак определителя её матрицы сохраняется.

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = TX'$ , $Y = TY'$ : $b(x,y) = X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}BT)Y'$ . Матрица формы определена однозначно ( $b_{ij}' = b(e_i', e_j')$ ), поэтому $B' = T^\mathsf{T}BT$ . Умножение на невырожденные матрицы не меняет ранг, а $\det B' = (\det T)^2\det B$ . $\blacksquare$

Линейные функционалы в координатах. Сопряжённое пространство

Формулировка

В базисе $e$ любой линейный функционал имеет вид $f(x) = a_1x_1 + \dots + a_nx_n$ , где $a_i = f(e_i)$ .
Взаимный базис $f^1,\dots,f^n$ — базис $V^*$ ; в частности, $\dim V^* = \dim V$ .
При переходе к базису $e' = eT$ строка коэффициентов функционала преобразуется по формуле $a' = aT$ .
Ядро ненулевого функционала — подпространство размерности $n - 1$ (гиперплоскость).

Доказательство

Развернуть

$f(x) = f\big(\sum x_ie_i\big) = \sum x_if(e_i)$ .
По п. 1 $f = \sum a_if^i$ , так как $f^i(x) = x_i$ . Если $\sum c_if^i = 0$ , то, применив к $e_j$ , получаем $c_j = 0$ .
$a_j' = f(e_j') = f\big(\sum_it_{ij}e_i\big) = \sum_ia_it_{ij}$ .
Образ ненулевого функционала — всё $\mathbb R$ (ранг $1$ ), поэтому дефект равен $n - 1$ . $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Матрица перехода между ортонормированными базисами

Формулировка

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна. Обратно, если $e$ — ортонормированный базис, а $T$ ортогональна, то базис $e' = eT$ ортонормирован.

Доказательство

Развернуть

Столбцы $T$ — координаты векторов $e_j'$ в ортонормированном базисе $e$ , поэтому $(e_i', e_j')$ равно скалярному произведению $i$ -го и $j$ -го столбцов $T$ . Условие $(e_i', e_j') = \delta_{ij}$ равносильно $T^\mathsf{T}T = E$ . $\blacksquare$

Изоморфизм конечномерных евклидовых пространств

Формулировка

Конечномерные евклидовы пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны. В частности, любое $n$ -мерное евклидово пространство изоморфно $\mathbb R^n$ со стандартным скалярным произведением.

Доказательство

Развернуть

Изоморфизм евклидовых пространств — в частности, изоморфизм линейных, поэтому размерности равны. Обратно, выберем ортонормированные базисы $e$ в $V$ и $f$ в $W$ и положим $\varphi\big(\sum x_ie_i\big) = \sum x_if_i$ . Это изоморфизм линейных пространств, а скалярное произведение в обоих пространствах равно $\sum x_iy_i$ в координатах ортонормированного базиса. $\blacksquare$

Размерность. Замена базиса. Изоморфизм

Число векторов в базисе

Формулировка

Доказательство

Свойства n-мерного пространства

Формулировка

Доказательство

Размерности основных пространств

Формулировка

Доказательство

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Доказательство

Изоморфизм конечномерных пространств

Формулировка

Доказательство

Матрица перехода и координаты в двумерном пространстве

Условие

Решение

Размерности пространств симметрических и кососимметрических матриц

Условие

Решение

Переход к базису степеней (t − 1) в пространстве многочленов

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Размерность линейного пространства

Матрица перехода от одного базиса к другому

Изоморфизм линейных пространств

Базис и координаты

Основные примеры линейных пространств

Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций

Формулировка

Доказательство

Критерий линейной зависимости

Формулировка

Доказательство

Свойства инвариантных подпространств

Формулировка

Доказательство

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса

Формулировка

Доказательство

Жорданов базис нильпотентного оператора

Формулировка

Доказательство

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Доказательство

Размерность подпространства и линейной оболочки

Формулировка

Доказательство

Критерии прямой суммы. Дополнение подпространства

Формулировка

Доказательство

Формула Грассмана

Формулировка

Доказательство

Подпространство решений однородной системы

Формулировка

Доказательство

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Доказательство

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Доказательство

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Доказательство

Линейные функционалы в координатах. Сопряжённое пространство

Формулировка

Доказательство