Билинейные и квадратичные формы

Прогресс изучения0 из 4

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы4

Билинейные и квадратичные формы в координатах
Преобразование матрицы формы при замене базиса
Канонический базис как b-ортогональный базис
Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

теорема

Билинейные и квадратичные формы в координатах

Формулировка

$b(x,y) = X^\mathsf{T}BY$ ; форма симметрична тогда и только тогда, когда симметрична её матрица.
Квадратичная форма однозначно определяет свою полярную форму:

b(x,y) = \frac12\big(q(x + y) - q(x) - q(y)\big).

Доказательство

Развернуть

По билинейности $b\big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_jb(e_i,e_j)$ . Если $b$ симметрична, то $b_{ij} = b_{ji}$ ; обратно, при симметричной матрице $X^\mathsf{T}BY = (X^\mathsf{T}BY)^\mathsf{T} = Y^\mathsf{T}BX$ .
$q(x + y) = b(x,x) + 2b(x,y) + b(y,y)$ для симметричной $b$ . $\blacksquare$

теорема

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Если $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к $e'$ , то матрица формы в новом базисе

B' = T^\mathsf{T}BT.

Следовательно, ранг формы не зависит от базиса, а знак определителя её матрицы сохраняется.

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = TX'$ , $Y = TY'$ : $b(x,y) = X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}BT)Y'$ . Матрица формы определена однозначно ( $b_{ij}' = b(e_i', e_j')$ ), поэтому $B' = T^\mathsf{T}BT$ . Умножение на невырожденные матрицы не меняет ранг, а $\det B' = (\det T)^2\det B$ . $\blacksquare$

теорема

Канонический базис как b-ортогональный базис

Формулировка

Квадратичная форма имеет канонический вид в базисе $e$ тогда и только тогда, когда $b(e_i,e_j) = 0$ при $i\ne j$ . Коэффициенты канонического вида равны $c_i = q(e_i)$ .

Доказательство

Развернуть

Матрица формы диагональна ровно тогда, когда её внедиагональные элементы $b(e_i,e_j)$ равны нулю; диагональные элементы — $b(e_i,e_i) = q(e_i)$ . $\blacksquare$

теорема

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для каждой симметричной билинейной формы $b$ существует единственный самосопряжённый оператор $\mathcal A$ с

b(x,y) = (\mathcal Ax, y)\quad\text{для всех } x, y.

В любом ортонормированном базисе матрицы $b$ и $\mathcal A$ совпадают.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — матрица формы в ортонормированном базисе. Оператор с матрицей $B$ самосопряжён (матрица симметрична), и $(\mathcal Ax, y) = (BX)^\mathsf{T}Y = X^\mathsf{T}BY = b(x,y)$ . Если операторы $\mathcal A_1, \mathcal A_2$ подходят, то $(\mathcal A_1x - \mathcal A_2x, y) = 0$ для всех $y$ , откуда $\mathcal A_1 = \mathcal A_2$ . $\blacksquare$

Матрица квадратичной формы и полярная форма

Условие

Записать матрицу квадратичной формы $q = x_1^2 + 4x_1x_2 - 2x_2x_3 + 3x_3^2$ и её полярную билинейную форму.

Решение

Развернуть

Коэффициент при $x_ix_j$ ( $i\ne j$ ) делим пополам между $b_{ij}$ и $b_{ji}$ :

B = \begin{pmatrix}1&2&0\\2&0&-1\\0&-1&3\end{pmatrix},

b(x,y) = x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 - x_2y_3 - x_3y_2 + 3x_3y_3.

$\det B = -13\ne0$ , форма невырождена.

Квадратичная форма в новом базисе

Условие

Найти вид формы $q = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ в базисе $e_1' = e_1 + e_2$ , $e_2' = e_1 - e_2$ .

Решение

Развернуть

$B = \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ , $T = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ . По формуле преобразования

B' = T^\mathsf{T}BT = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&0\\0&-2\end{pmatrix},

то есть $q = 6y_1^2 - 2y_2^2$ — канонический вид.

Билинейная форма на пространстве многочленов

Условие

Доказать, что $b(p,q) = p(0)q(1) + p(1)q(0)$ — симметричная билинейная форма на $P_1$ , найти её матрицу в базисе $1, t$ и соответствующую квадратичную форму.

Решение

Развернуть

Линейность по каждому аргументу очевидна, симметричность видна из формулы. Значения на базисе: $b(1,1) = 2$ , $b(1,t) = 1\cdot1 + 1\cdot0 = 1$ , $b(t,t) = 0$ . Поэтому

B = \begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad q(p) = 2p(0)p(1).

$\det B = -1 < 0$ , так что форма невырождена и знакопеременна: например, $q(1) = 2 > 0$ , $q(1 - 2t) = -2 < 0$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Билинейная форма

Билинейной формой на вещественном линейном пространстве $V$ называется функция $b(x,y)$ от двух векторов, линейная по каждому аргументу при фиксированном другом:

b(\alpha x + \beta x', y) = \alpha b(x,y) + \beta b(x',y),\qquad b(x, \alpha y + \beta y') = \alpha b(x,y) + \beta b(x,y').

Форма симметрична, если $b(x,y) = b(y,x)$ .

Квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция $q(x) = b(x,x)$ , где $b$ — симметричная билинейная форма; $b$ называется полярной (присоединённой) к $q$ . В координатах

q(x) = \sum_{i,j=1}^nb_{ij}x_ix_j = \sum_ib_{ii}x_i^2 + 2\sum_{i<j}b_{ij}x_ix_j,\qquad b_{ij} = b_{ji}.

Матрица билинейной и квадратичной формы. Ранг формы

Матрицей билинейной формы в базисе $e$ называется $B = \big(b(e_i,e_j)\big)$ . Матрица квадратичной формы — матрица её полярной формы (симметричная). Рангом формы называется ранг её матрицы; форма невырождена, если $\det B\ne0$ .

Канонический и нормальный вид квадратичной формы

Квадратичная форма имеет канонический вид в базисе, если в нём

q(x) = c_1x_1^2 + c_2x_2^2 + \dots + c_nx_n^2,

то есть её матрица диагональна. Нормальный вид — канонический с коэффициентами $c_i\in\{1, -1, 0\}$ . Базис, в котором форма канонична, называется каноническим.

Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть $e = (e_1,\dots,e_n)$ и $e' = (e_1',\dots,e_n')$ — базисы пространства $V$ и

e_j' = \sum_{i=1}^nt_{ij}e_i,\qquad j = 1,\dots,n.

Матрица $T = (t_{ij})$ , $j$ -й столбец которой — координаты вектора $e_j'$ в базисе $e$ , называется матрицей перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Коротко: $e' = eT$ .

Самосопряжённый оператор

Оператор $\mathcal A$ называется самосопряжённым (симметрическим), если $\mathcal A^* = \mathcal A$ , то есть $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal Ay)$ для всех $x, y$ .

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Система векторов называется ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, и ортонормированной, если, кроме того, все они имеют единичную длину: $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Базис, являющийся ортонормированной системой, называется ортонормированным базисом (ОНБ).

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $x = \sum x_ie_i = \sum x_i'e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')e_i = 0$ . Базис линейно независим, поэтому $x_i = x_i'$ при всех $i$ . $\blacksquare$

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Нормальный вид и классификация квадратичных форм

Формулировка

Любая вещественная квадратичная форма ранга $r$ с положительным индексом инерции $p$ невырожденной заменой приводится к нормальному виду

y_1^2 + \dots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \dots - y_r^2.

Две квадратичные формы от $n$ переменных переводятся одна в другую невырожденной линейной заменой тогда и только тогда, когда у них совпадают ранг и положительный индекс инерции.
В частности, форма положительно определена при $p = r = n$ , отрицательно определена при $p = 0$ , $r = n$ , полуопределена при $r < n$ и $p\in\{0, r\}$ , знакопеременна при $0 < p < r$ .

Доказательство

Развернуть

По методу Лагранжа приводим форму к каноническому виду, переставляем переменные так, чтобы сначала шли положительные коэффициенты, затем отрицательные, и делаем замену $y_i\mapsto y_i/\sqrt{|c_i|}$ .
Ранг и индекс инерции при невырожденной замене не меняются (инвариантность ранга и закон инерции). Обратно, формы с одинаковыми $r$ и $p$ приводятся к одному нормальному виду, а композиция замены и обратной к другой замене переводит одну форму в другую.
Следует из нормального вида. $\blacksquare$

Закон инерции квадратичных форм

Формулировка

Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от способа приведения к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Число ненулевых коэффициентов равно рангу формы и от базиса не зависит. Пусть в базисе $f$ форма имеет $p$ положительных коэффициентов (при $f_1,\dots,f_p$ ), а в базисе $g$ — $s$ положительных (при $g_1,\dots,g_s$ ), и $p > s$ .

Положим $L_1 = \operatorname{span}(f_1,\dots,f_p)$ , $L_2 = \operatorname{span}(g_{s+1},\dots,g_n)$ . На ненулевых векторах $L_1$ форма положительна, а на $L_2$ неположительна. Но $\dim L_1 + \dim L_2 = p + n - s > n$ , поэтому по формуле Грассмана $L_1\cap L_2\ne\{0\}$ , и на ненулевом векторе пересечения $q > 0$ и $q\le0$ одновременно — противоречие. Значит, $p = s$ , а тогда совпадают и числа отрицательных коэффициентов. $\blacksquare$

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Формулировка

Любая квадратичная форма невырожденной линейной заменой переменных приводится к каноническому виду. Заменой масштабов $y_i\mapsto y_i/\sqrt{|c_i|}$ она приводится к нормальному виду.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу переменных; если форма нулевая, доказывать нечего.

Случай 1: есть ненулевой коэффициент при квадрате, скажем $b_{11}\ne0$ . Выделим полный квадрат по всем слагаемым, содержащим $x_1$ :

q = b_{11}\Big(x_1 + \sum_{j>1}\frac{b_{1j}}{b_{11}}x_j\Big)^2 + q_1(x_2,\dots,x_n).

Замена $y_1 = x_1 + \sum_{j>1}\frac{b_{1j}}{b_{11}}x_j$ , $y_j = x_j$ ( $j > 1$ ) имеет треугольную матрицу с единицами на диагонали, то есть невырождена. К форме $q_1$ от меньшего числа переменных применяем предположение индукции.

Случай 2: все $b_{ii} = 0$ , но, например, $b_{12}\ne0$ . Замена $x_1 = y_1 + y_2$ , $x_2 = y_1 - y_2$ , $x_j = y_j$ ( $j > 2$ ) невырождена и превращает $2b_{12}x_1x_2$ в $2b_{12}(y_1^2 - y_2^2)$ . Другие слагаемые квадратов $y_1^2$ , $y_2^2$ не дают, так как они линейны по $x_1$ и по $x_2$ . Значит, появился ненулевой квадрат, и мы в случае 1.

Композиция невырожденных замен невырождена. $\blacksquare$

Одновременное приведение пары квадратичных форм

Формулировка

Если $q_1$ положительно определена, а $q_2$ — любая квадратичная форма, то существует базис, в котором

q_1 = y_1^2 + \dots + y_n^2,\qquad q_2 = \mu_1y_1^2 + \dots + \mu_ny_n^2,

где $\mu_i$ — корни уравнения $\det(B_2 - \mu B_1) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Полярная форма $b_1$ формы $q_1$ симметрична и положительно определена, то есть является скалярным произведением. В полученном евклидовом пространстве приведём $q_2$ к главным осям: в ортонормированном относительно $b_1$ базисе $q_1 = \sum y_i^2$ , а $q_2 = \sum\mu_iy_i^2$ .

Если $T$ — матрица перехода, то $T^\mathsf{T}B_1T = E$ , $T^\mathsf{T}B_2T = \operatorname{diag}(\mu_i)$ , и

\prod(\mu_i - \mu) = \det\big(T^\mathsf{T}(B_2 - \mu B_1)T\big) = (\det T)^2\det(B_2 - \mu B_1).

$\blacksquare$

Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма с матрицей $B$ положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны: $\Delta_1 > 0,\ \dots,\ \Delta_n > 0$ . Форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса: $(-1)^k\Delta_k > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Определитель матрицы положительно определённой формы положителен: в каноническом базисе $T^\mathsf{T}BT = \operatorname{diag}(c_i)$ со всеми $c_i > 0$ , откуда $\det B = \prod c_i/(\det T)^2 > 0$ .

Необходимость. Ограничение $q$ на $L_k = \operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)$ положительно определено, а его матрица в базисе $e_1,\dots,e_k$ — левый верхний блок $B$ . По лемме $\Delta_k > 0$ .

Достаточность. Индукция по $n$ ; при $n = 1$ имеем $q = \Delta_1x_1^2$ . Пусть все $\Delta_k > 0$ . По предположению индукции ограничение на $L_{n-1}$ положительно определено, и по методу Лагранжа (с нормировкой) в $L_{n-1}$ есть базис $f_1,\dots,f_{n-1}$ с $b(f_i,f_j) = \delta_{ij}$ . Положим

f_n = e_n - \sum_{i<n}b(e_n,f_i)f_i.

Тогда $b(f_n,f_i) = 0$ при $i < n$ , и $f_1,\dots,f_n$ — базис, так как $f_n\notin L_{n-1}$ . В нём матрица формы равна $\operatorname{diag}(1,\dots,1,c)$ , $c = q(f_n)$ . По формуле преобразования $c = (\det T)^2\Delta_n > 0$ , так что $q = y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2 + cy_n^2$ положительно определена.

Для отрицательной определённости применяем доказанное к $-q$ : угловые миноры $-B$ равны $(-1)^k\Delta_k$ . $\blacksquare$

Критерий самосопряжённости

Формулировка

Оператор самосопряжён тогда и только тогда, когда его матрица в некотором (а тогда и в любом) ортонормированном базисе симметрична. В частности, оператор в $\mathbb R^n$ , заданный симметричной матрицей, самосопряжён относительно стандартного скалярного произведения.

Доказательство

Развернуть

В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ . Равенство $\mathcal A^* = \mathcal A$ равносильно равенству матриц $A^\mathsf{T} = A$ . $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

В ортонормированном базисе $x_i = (x,e_i)$ , $(x,y) = \sum x_iy_i = X^\mathsf{T}Y$ , $|x|^2 = \sum x_i^2$ .
В произвольном базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ верно $(x,y) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ ; матрица $\Gamma$ симметрична. Если $e' = eT$ , то $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .

Доказательство

Развернуть

По билинейности $(x,y) = \big(\sum x_ie_i, \sum y_je_j\big) = \sum_{i,j}x_iy_j(e_i,e_j) = X^\mathsf{T}\Gamma Y$ . Симметричность следует из симметричности скалярного произведения. Подставив $X = TX'$ , $Y = TY'$ , получаем $X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}\Gamma T)Y'$ ; по единственности матрицы билинейной функции $\Gamma' = T^\mathsf{T}\Gamma T$ .
В ОНБ $\Gamma = E$ . Умножая $x = \sum x_ie_i$ скалярно на $e_j$ , получаем $(x,e_j) = x_j$ . $\blacksquare$

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором

q(x) = \lambda_1x_1^2 + \dots + \lambda_nx_n^2,

где $\lambda_i$ — собственные значения матрицы формы в (любом) ортонормированном базисе. В координатах: существует ортогональная матрица $Q$ с $Q^\mathsf{T}BQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , и замена $X = QY$ приводит форму к каноническому виду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathcal A$ — самосопряжённый оператор с $b(x,y) = (\mathcal Ax, y)$ . Возьмём ортонормированный базис из его собственных векторов: $\mathcal Ae_i = \lambda_ie_i$ . Тогда $b(e_i,e_j) = (\lambda_ie_i, e_j) = \lambda_i\delta_{ij}$ , то есть базис канонический. Матрица оператора в ортонормированном базисе совпадает с матрицей формы, поэтому $\lambda_i$ — собственные значения этой матрицы. Координатная форма — теорема об ортогональной диагонализации симметричной матрицы: для ортогональной $Q$ имеем $Q^\mathsf{T} = Q^{-1}$ . $\blacksquare$

Билинейные и квадратичные формы

Билинейные и квадратичные формы в координатах

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Доказательство

Канонический базис как b-ортогональный базис

Формулировка

Доказательство

Связь симметричных билинейных форм и самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Матрица квадратичной формы и полярная форма

Условие

Решение

Квадратичная форма в новом базисе

Условие

Решение

Билинейная форма на пространстве многочленов

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Билинейная форма

Квадратичная форма

Матрица билинейной и квадратичной формы. Ранг формы

Канонический и нормальный вид квадратичной формы

Матрица перехода от одного базиса к другому

Самосопряжённый оператор

Ортогональная и ортонормированная системы. Ортонормированный базис

Единственность разложения вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Нормальный вид и классификация квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Закон инерции квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Формулировка

Доказательство

Одновременное приведение пары квадратичных форм

Формулировка

Доказательство

Критерий Сильвестра

Формулировка

Доказательство

Критерий самосопряжённости

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисах

Формулировка

Доказательство

Приведение квадратичной формы к главным осям

Формулировка

Доказательство