Устойчивость по Ляпунову

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Сведение к исследованию нулевого решения
Устойчивость решений линейной системы
Критерий устойчивости линейной однородной системы
Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами
Критерий асимптотической устойчивости при n = 2
Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

лемма

Сведение к исследованию нулевого решения

Формулировка

Замена $y = x - \varphi(t)$ переводит систему $x' = f(t, x)$ в систему

y' = g(t, y) := f(t, \varphi(t) + y) - f(t, \varphi(t)),\qquad g(t, 0)\equiv 0,

а решение $\varphi$ — в нулевое решение $y\equiv 0$ . Решение $\varphi$ устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) тогда и только тогда, когда этим свойством обладает нулевое решение новой системы.

Доказательство

Развернуть

$x(t)$ — решение исходной системы тогда и только тогда, когда $y(t) = x(t) - \varphi(t)$ — решение новой: $y' = f(t, x) - \varphi'(t) = f(t, \varphi + y) - f(t, \varphi)$ . При этом $\|x(t) - \varphi(t)\| = \|y(t) - 0\|$ , и определения устойчивости для $\varphi$ и для нуля дословно совпадают. $\blacksquare$

теорема

Устойчивость решений линейной системы

Формулировка

Все решения линейной системы $x' = A(t)x + b(t)$ одновременно устойчивы, асимптотически устойчивы или неустойчивы — а именно так же, как нулевое решение однородной системы $x' = A(t)x$ .

Поэтому говорят об устойчивости линейной системы в целом.

Доказательство

Развернуть

Для любого решения $\varphi$ отклонение $y = x - \varphi$ удовлетворяет системе $y' = A(t)(\varphi + y) + b - A(t)\varphi - b = A(t)y$ , которая не зависит от $\varphi$ . По лемме о сведении к нулевому решению устойчивость $\varphi$ равносильна устойчивости нуля однородной системы. $\blacksquare$

теорема

Критерий устойчивости линейной однородной системы

Формулировка

Пусть $X(t)$ — фундаментальная матрица системы $x' = A(t)x$ , нормированная при $t_0$ . Нулевое решение:

устойчиво $\iff$ все решения ограничены на $[t_0, +\infty)$ $\iff$ матрица $X(t)$ ограничена на $[t_0, +\infty)$ ;
асимптотически устойчиво $\iff$ все решения стремятся к нулю при $t\to+\infty$ $\iff$ $X(t)\to 0$ .

Доказательство

Развернуть

Решение с $x(t_0) = x^0$ равно $X(t)x^0$ , и $\|x(t)\|\le\|X(t)\|\,\|x^0\|$ .

Если $\|X(t)\|\le M$ при $t\ge t_0$ , то для данного $\varepsilon$ годится $\delta = \varepsilon/M$ . Обратно, пусть нуль устойчив, и $\delta$ отвечает $\varepsilon = 1$ . Решения с начальными данными $\frac\delta2e_k$ по норме меньше $1$ , то есть столбцы $X(t)$ ограничены числом $2/\delta$ . Ограниченность всех решений равносильна ограниченности столбцов $X(t)$ .
Если $X(t)\to 0$ , то все решения стремятся к нулю, и $X$ ограничена (непрерывна и имеет предел), так что нуль устойчив, а значит, асимптотически устойчив. Обратно, если решения с $\|x^0\| < \delta_0$ стремятся к нулю, то по линейности к нулю стремятся все решения, в частности столбцы $X(t)$ . $\blacksquare$

теорема

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Для системы $x' = Ax$ с постоянной матрицей $A$ :

нулевое решение асимптотически устойчиво $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda < 0$ для всех собственных значений $\lambda$ ;
оно устойчиво (но не асимптотически) $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ для всех $\lambda$ , есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ , и всем таким $\lambda$ отвечают жордановы клетки только размера $1$ ;
в остальных случаях оно неустойчиво: есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda > 0$ или с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и клеткой размера не меньше $2$ .

Доказательство

Развернуть

$e^{tA} = Te^{tJ}T^{-1}$ , а элементы $e^{tJ}$ — функции вида $\frac{t^j}{j!}e^{\lambda t}$ , где $j$ меньше размера клетки собственного значения $\lambda$ . Так как $|e^{\lambda t}| = e^{t\operatorname{Re}\lambda}$ :

если все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , все элементы стремятся к нулю, $e^{tA}\to 0$ , и нуль асимптотически устойчив;
если $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и для $\operatorname{Re}\lambda = 0$ клетки размера $1$ , то элементы с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ имеют модуль $1$ , а остальные стремятся к нулю. Значит, $e^{tA}$ ограничена, и нуль устойчив. Асимптотической устойчивости нет: решение $e^{\lambda t}h$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ (или его вещественная часть) не стремится к нулю.

Если $\operatorname{Re}\lambda > 0$ , то комплексное решение $e^{\lambda t}h$ неограничено. Так как $|e^{\lambda t}h|^2 = |u|^2 + |v|^2$ для вещественных решений $u = \operatorname{Re}$ , $v = \operatorname{Im}$ , одно из них неограничено. Если $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и есть клетка размера $\ge 2$ , то решение $e^{\lambda t}(h_2 + th_1)$ , где $h_1$ — собственный, а $h_2$ — присоединённый вектор, неограничено. В обоих случаях по критерию устойчивости линейной системы нуль неустойчив. $\blacksquare$

следствие

Критерий асимптотической устойчивости при n = 2

Формулировка

Система $x' = Ax$ с вещественной матрицей $A$ порядка $2$ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда

\operatorname{tr}A < 0\qquad\text{и}\qquad\det A > 0.

Доказательство

Развернуть

Характеристическое уравнение $\lambda^2 - \operatorname{tr}A\,\lambda + \det A = 0$ , и $\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A$ , $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ .

Если корни вещественны, то оба отрицательны $\iff$ сумма отрицательна, а произведение положительно. Если корни комплексно сопряжены, то $\operatorname{Re}\lambda = \frac12\operatorname{tr}A$ , и $\det A = |\lambda|^2 > 0$ выполнено автоматически. В обоих случаях условие $\operatorname{Re}\lambda_{1,2} < 0$ равносильно $\operatorname{tr}A < 0$ , $\det A > 0$ . Остаётся применить теорему об устойчивости системы с постоянными коэффициентами. $\blacksquare$

следствие

Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Нулевое решение уравнения $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = 0$ :

асимптотически устойчиво $\iff$ все корни характеристического многочлена имеют отрицательные вещественные части;
устойчиво $\iff$ все корни имеют $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ , а корни с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ простые.

Доказательство

Развернуть

Проще всего рассуждать через ФСР из теоремы о корнях характеристического уравнения. Решения уравнения и их производные — линейные комбинации функций $x^je^{\lambda x}$ , где $j$ меньше кратности корня $\lambda$ . Все такие функции стремятся к нулю $\iff$ все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ . Все они ограничены $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и корни с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ простые: иначе входит $xe^{i\beta x}$ .

Для эквивалентной нормальной системы фундаментальная матрица составлена из решений и их производных. Поэтому ограниченность (стремление к нулю) решений с производными равносильна тому же для фундаментальной матрицы, и применим критерий устойчивости линейной системы. $\blacksquare$

Устойчивость по определению

Условие

Исследовать по определению устойчивость нулевого решения уравнений: а) $x' = -x$ ; б) $x' = 0$ ; в) $x' = x$ ; г) $x' = -x^2$ .

Решение

Развернуть

а) $x = x_0e^{-(t - t_0)}$ : $|x(t)|\le|x_0|$ и $x\to 0$ . Асимптотически устойчиво ( $\delta = \varepsilon$ ).

б) $x\equiv x_0$ : устойчиво ( $\delta = \varepsilon$ ), но не асимптотически.

в) $x = x_0e^{t - t_0}$ : при любом $x_0\ne 0$ решение неограниченно растёт. Неустойчиво.

г) $x = \dfrac{x_0}{1 + x_0(t - t_0)}$ . При $x_0 > 0$ решения стремятся к нулю, но при $x_0 < 0$ решение уходит в $-\infty$ при $t\to t_0 + 1/|x_0|$ . Значит, при сколь угодно малом $|x_0|$ есть решения, которые не определены на $[t_0, +\infty)$ , и нуль неустойчив. Это показывает, что стремление к нулю «с одной стороны» не означает устойчивости.

Асимптотически устойчивая система 2×2

Условие

Исследовать устойчивость системы $x' = -x + y$ , $y' = -x - y$ .

Решение

Развернуть

$\operatorname{tr}A = -2 < 0$ , $\det A = 1 + 1 = 2 > 0$ — асимптотически устойчива. Собственные значения $\lambda = -1\pm i$ .

Нулевые собственные значения: роль жордановых клеток

Условие

Сравнить устойчивость систем а) $x' = 0$ , $y' = 0$ и б) $x' = y$ , $y' = 0$ .

Решение

Развернуть

В обоих случаях $\lambda = 0$ кратности $2$ .

а) $A = 0$ , клетки размера $1$ : решения постоянны, система устойчива, но не асимптотически.

б) $A = J_2(0)$ : $x = C_1 + C_2t$ , $y = C_2$ , решения неограничены, система неустойчива.

Устойчивость в зависимости от параметра

Условие

При каких $a$ устойчива система $x' = y$ , $y' = -x - ay$ (уравнение осциллятора $x'' + ax' + x = 0$ )?

Решение

Развернуть

$\operatorname{tr}A = -a$ , $\det A = 1$ , характеристическое уравнение $\lambda^2 + a\lambda + 1 = 0$ .

$a > 0$ : асимптотически устойчива (трение).
$a = 0$ : $\lambda = \pm i$ простые — устойчива, но не асимптотически (незатухающие колебания).
$a < 0$ : $\operatorname{Re}\lambda > 0$ — неустойчива («отрицательное трение»).

Устойчивое неограниченное решение

Условие

Исследовать устойчивость решений уравнения $x' = -x + t$ .

Решение

Развернуть

Общее решение: $x = t - 1 + Ce^{-t}$ . Разность любых двух решений $Ce^{-t}\to 0$ , и по теореме об устойчивости линейной системы все решения асимптотически устойчивы, так как однородное уравнение $x' = -x$ асимптотически устойчиво.

Например, решение $\varphi = t - 1$ неограничено, но асимптотически устойчиво: устойчивость — свойство близости решений, а не ограниченности.

Устойчивость уравнения третьего порядка

Условие

Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения $y''' + y'' + y' + y = 0$ .

Решение

Развернуть

$\lambda^3 + \lambda^2 + \lambda + 1 = (\lambda + 1)(\lambda^2 + 1)$ , корни $-1$ , $\pm i$ — простые. Все $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ , корни на мнимой оси простые, поэтому решение устойчиво, но не асимптотически (есть решения $\cos t$ , $\sin t$ ).

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Устойчивость по Ляпунову

Пусть $\varphi(t)$ — решение системы $x' = f(t, x)$ , определённое при $t\ge t_0$ . Оно называется устойчивым по Ляпунову, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что каждое решение $x(t)$ с

\|x(t_0) - \varphi(t_0)\| < \delta

определено при всех $t\ge t_0$ и удовлетворяет неравенству $\|x(t) - \varphi(t)\| < \varepsilon$ при всех $t\ge t_0$ .

Если это условие не выполнено, решение называется неустойчивым. Иными словами, существует $\varepsilon > 0$ такое, что при сколь угодно малом начальном отклонении найдётся решение, которое в некоторый момент отклонится от $\varphi$ на $\varepsilon$ .

Для одного уравнения $n$ -го порядка устойчивость понимается как устойчивость соответствующего решения эквивалентной нормальной системы, то есть по совокупности $y, y', \dots, y^{(n-1)}$ .

Асимптотическая устойчивость

Решение $\varphi(t)$ называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует $\delta_0 > 0$ такое, что для каждого решения с $\|x(t_0) - \varphi(t_0)\| < \delta_0$

\|x(t) - \varphi(t)\|\to 0\quad\text{при } t\to +\infty.

Одного условия стремления к нулю недостаточно: существуют неустойчивые решения, к которым все близкие решения стремятся.

Линейная система дифференциальных уравнений

Линейной системой называется нормальная система вида

x' = A(t)x + b(t),

где матрица $A(t) = (a_{ij}(t))_{n\times n}$ и вектор $b(t)$ непрерывны на интервале $I$ . При $b\equiv 0$ система называется однородной, иначе — неоднородной.

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица системы

Фундаментальной системой решений однородной системы $x' = A(t)x$ порядка $n$ называется любой набор из $n$ линейно независимых на $I$ решений.

Матрица $\Phi(t)$ , столбцы которой образуют ФСР, называется фундаментальной матрицей. Если $\Phi(t_0) = E$ , она называется нормированной в точке $t_0$ .

Жорданова клетка и жорданова матрица

Жордановой клеткой порядка $k$ с собственным значением $\lambda$ называется матрица

J_k(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}

(на диагонали $\lambda$ , над ней единицы, остальные элементы нулевые). Жордановой матрицей называется блочно-диагональная матрица из жордановых клеток. Базис, в котором матрица оператора жорданова, называется жордановым базисом.

Характеристическое уравнение системы с постоянными коэффициентами

Для системы $x' = Ax$ с постоянной матрицей $A$ уравнение

\det(A - \lambda E) = 0

называется характеристическим уравнением системы; его корни — собственные значения матрицы $A$ . Если система получена из уравнения $n$ -го порядка, её характеристическое уравнение с точностью до знака совпадает с характеристическим уравнением этого уравнения.

Характеристический многочлен линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Для уравнения с постоянными (вещественными или комплексными) коэффициентами

L[y] = y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = 0

многочлен $L(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dots + a_n$ называется характеристическим, а уравнение $L(\lambda) = 0$ — характеристическим уравнением. В операторной записи $L[y] = L(D)y$ , где $D = d/dx$ .

Для комплекснозначных функций $y = u + iv$ производная понимается покомпонентно; в частности, $\bigl(e^{\lambda x}\bigr)' = \lambda e^{\lambda x}$ при комплексном $\lambda$ , где $e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x)$ .

Свойства решений линейной системы

Формулировка

Линейная комбинация решений однородной системы $x' = A(t)x$ — решение; решения образуют линейное пространство.
Разность двух решений неоднородной системы — решение однородной.
Если $x' = A(t)x + b_i(t)$ для $x = x_i$ , то $\sum c_ix_i$ решает систему с правой частью $\sum c_ib_i$ (суперпозиция).
Если $A$ вещественна и $x = u + iv$ — комплексное решение однородной системы, то $u$ и $v$ — вещественные решения.

Доказательство

Развернуть

Все утверждения следуют из линейности отображения $x\mapsto x' - A(t)x$ . Например, для п. 4: $u' + iv' = A(u + iv) = Au + iAv$ , и при вещественной $A$ приравниваем вещественные и мнимые части. $\blacksquare$

Существование ФСР и структура общего решения однородной системы

Формулировка

Однородная система $x' = A(t)x$ имеет ФСР: например, решения с $x^{(k)}(t_0) = e_k$ .
Если $\Phi(t)$ — фундаментальная матрица, то общее решение

x = \Phi(t)C,\qquad C\in\mathbb R^n,

и пространство решений $n$ -мерно. 3. $\Phi' = A(t)\Phi$ , $\det\Phi(t)\ne 0$ ; любая другая фундаментальная матрица равна $\Phi(t)B$ с постоянной невырожденной $B$ . Решение задачи Коши: $x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0$ .

Доказательство

Развернуть

Решения с $x^{(k)}(t_0) = e_k$ существуют на $I$ , и $W(t_0) = \det E = 1$ , так что они независимы.
Пусть $x$ — решение. Система $\Phi(t_0)C = x(t_0)$ однозначно разрешима, так как $\det\Phi(t_0) = W(t_0)\ne 0$ . Решения $x$ и $\Phi C$ совпадают при $t_0$ , а значит, всюду.
Равенство $\Phi' = A\Phi$ — это запись того, что каждый столбец — решение. По теореме о вронскиане решений $\det\Phi\ne 0$ . Если $\Psi$ — другая фундаментальная матрица, то по п. 2 каждый её столбец равен $\Phi$ , умноженной на постоянный вектор, то есть $\Psi = \Phi B$ , причём $\det B\ne 0$ , так как $\det\Psi\ne 0$ . Наконец, $\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0$ — решение со значением $x^0$ при $t_0$ . $\blacksquare$

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Для жордановой клетки $J_k(\lambda)$ порядка $k$

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}{2!}&\dots&\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\\0&1&t&\dots&\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}\\\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&&1&t\\0&\dots&&0&1\end{pmatrix}.

Если $A = TJT^{-1}$ , где $J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots)$ — жорданова форма, то $e^{tA} = T\operatorname{diag}\bigl(e^{tJ_{k_1}(\lambda_1)}, \dots\bigr)T^{-1}$ , а столбцы матрицы $Te^{tJ}$ образуют ФСР.

Доказательство

Развернуть

$J_k(\lambda) = \lambda E + N$ , где $N$ — матрица с единицами над диагональю. $N^j$ имеет единицы на $j$ -й наддиагонали и $N^k = 0$ . Матрицы $\lambda E$ и $N$ коммутируют, поэтому

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}e^{tN} = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^jN^j}{j!}.

Экспонента блочно-диагональной матрицы блочно-диагональна (степени вычисляются поблочно). Для $A = TJT^{-1}$ применяем свойство 4 матричной экспоненты. Матрица $Te^{tJ} = e^{tA}T$ — фундаментальная, как произведение фундаментальной матрицы на невырожденную постоянную. $\blacksquare$

Структура ФСР при кратных собственных значениях

Формулировка

Пусть $\lambda$ — собственное значение матрицы $A$ алгебраической кратности $k$ , $K_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^k$ — корневое подпространство. Для любого $h\in K_\lambda$

x(t) = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}(A - \lambda E)^jh

— решение системы $x' = Ax$ . Выбрав базисы во всех корневых подпространствах, получаем $n$ таких решений, образующих ФСР.

Следовательно, каждая компонента любого решения — сумма квазимногочленов $e^{\lambda t}P(t)$ по собственным значениям $\lambda$ , где $\deg P$ меньше размера наибольшей жордановой клетки для $\lambda$ и тем более меньше $k$ .

Доказательство

Развернуть

$x(t) = e^{tA}h = e^{\lambda t}e^{t(A - \lambda E)}h$ по свойству экспоненты коммутирующих матриц. Ряд для $e^{t(A - \lambda E)}h$ обрывается, так как $(A - \lambda E)^kh = 0$ . Значит, $x$ — столбец вида «фундаментальная матрица $\times$ постоянный вектор», то есть решение.

Пространство (комплексное) раскладывается в прямую сумму корневых подпространств, поэтому объединение их базисов — базис $h_1, \dots, h_n$ . Решения $e^{tA}h_i$ при $t = 0$ дают $h_i$ , их вронскиан в нуле не равен нулю, и они образуют ФСР.

Последнее утверждение: если $m$ — размер наибольшей клетки для $\lambda$ , то $(A - \lambda E)^m = 0$ на $K_\lambda$ , и сумма обрывается на $j = m - 1$ . $\blacksquare$

Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы

Формулировка

Если все собственные значения матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные части, то матричное уравнение Ляпунова

A^TB + BA = -E

имеет единственное решение $B$ , и это симметричная положительно определённая матрица:

B = \int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA}\,dt.

Для квадратичной формы $V(x) = x^TBx$ производная в силу системы $x' = Ax$ равна $\dot V = -\|x\|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Элементы $e^{tA}$ — комбинации функций $t^je^{\lambda t}$ с $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , поэтому $\|e^{tA}\|\le Me^{-\gamma t}$ при некоторых $M$ , $\gamma > 0$ . Интеграл сходится.

$B$ симметрична, и $x^TBx = \int_0^\infty\|e^{tA}x\|^2\,dt > 0$ при $x\ne 0$ , так как $e^{tA}x\ne 0$ .

Далее,

A^TB + BA = \int_0^\infty\frac{d}{dt}\bigl(e^{tA^T}e^{tA}\bigr)\,dt = \Bigl[e^{tA^T}e^{tA}\Bigr]_0^\infty = -E.

Единственность: если $A^TB_0 + B_0A = 0$ , то $\frac{d}{dt}\bigl(e^{tA^T}B_0e^{tA}\bigr) = 0$ , так что $e^{tA^T}B_0e^{tA}\equiv B_0$ . Но левая часть стремится к нулю, значит, $B_0 = 0$ .

Наконец, $\dot V = (Ax)^TBx + x^TBAx = x^T(A^TB + BA)x = -x^Tx$ . $\blacksquare$

Устойчивость точек покоя различных типов

Формулировка

Устойчивые узлы (в том числе дикритический и вырожденный при $\lambda < 0$ ) и устойчивые фокусы асимптотически устойчивы. Центр устойчив, но не асимптотически. Седло, неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы.

Доказательство

Развернуть

Применяем теорему об устойчивости системы с постоянными коэффициентами. У устойчивых узлов и фокусов $\operatorname{Re}\lambda < 0$ . У центра $\lambda = \pm i\beta$ — простые корни на мнимой оси. У седла и неустойчивых узлов и фокусов есть $\operatorname{Re}\lambda > 0$ . $\blacksquare$

Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе

Формулировка

Функция $y(t)$ — решение уравнения $y^{(n)} = f\bigl(t, y, y', \dots, y^{(n-1)}\bigr)$ тогда и только тогда, когда вектор $x = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^T$ — решение нормальной системы

x_1' = x_2,\quad\dots,\quad x_{n-1}' = x_n,\quad x_n' = f(t, x_1, \dots, x_n).

При этом начальные условия задачи Коши для уравнения переходят в условие $x(t_0) = x^0$ . В частности, теорема Коши для уравнения $n$ -го порядка следует из теоремы Коши для систем.

Доказательство

Развернуть

Если $y$ — решение уравнения, то для $x_k = y^{(k-1)}$ первые $n - 1$ уравнений системы выполнены по определению, а последнее совпадает с исходным уравнением.

Обратно, если $x$ — решение системы, то из первых уравнений $x_k = x_1^{(k-1)}$ , и последнее даёт $x_1^{(n)} = f(t, x_1, \dots, x_1^{(n-1)})$ . Правая часть системы непрерывна и липшицева по $x$ , если этим свойством обладает $f$ , так что применима теорема Коши для систем. $\blacksquare$

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Пусть $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ — различные корни характеристического многочлена $L(\lambda)$ кратностей $k_1, \dots, k_s$ , $k_1 + \dots + k_s = n$ . Тогда $n$ функций

x^je^{\lambda_ix},\qquad i = 1, \dots, s,\quad j = 0, \dots, k_i - 1,

образуют ФСР уравнения $L(D)y = 0$ (в классе комплекснозначных функций). В частности, при простых корнях ФСР — $e^{\lambda_1x}, \dots, e^{\lambda_nx}$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda$ — корень кратности $k$ . Тогда $L(\lambda + \mu) = \mu^kM(\mu)$ для некоторого многочлена $M$ . Это тождество многочленов от $\mu$ влечёт операторное тождество $L(D + \lambda) = M(D)D^k$ : операторы с постоянными коэффициентами перемножаются как многочлены. По формуле сдвига

L(D)\bigl(x^je^{\lambda x}\bigr) = e^{\lambda x}M(D)D^kx^j = 0\quad\text{при } j < k.

Итак, все $n$ функций — решения. По лемме о квазимногочленах они линейно независимы, а $n$ независимых решений образуют ФСР. $\blacksquare$

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Пусть $p$ , $q$ непрерывны на $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ , $y_0\in\mathbb R$ уравнение $y' + p(x)y = q(x)$ имеет на всём интервале $I$ единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0e^{-\int_{x_0}^xp(t)\,dt} + \int_{x_0}^xq(s)\,e^{-\int_s^xp(t)\,dt}\,ds.

Общее решение: $y = e^{-P(x)}\left(C + \int q(x)e^{P(x)}\,dx\right)$ , $P' = p$ .

Доказательство

Развернуть

Ищем решение в виде $y = C(x)e^{-P(x)}$ — «варьируем» постоянную в решении однородного уравнения. Подставляя, получаем

C'e^{-P} - Cpe^{-P} + pCe^{-P} = q\quad\Longrightarrow\quad C' = qe^{P}.

Отсюда $C(x) = y_0 + \int_{x_0}^xq(s)e^{P(s)}\,ds$ , где $P(x) = \int_{x_0}^xp$ . Подстановка даёт формулу Коши; функция определена и дифференцируема на всём $I$ .

Единственность: разность двух решений с одинаковым начальным значением решает однородное уравнение и обращается в нуль в точке $x_0$ . Значит, она равна $Ce^{-P}$ с $C = 0$ . $\blacksquare$

Устойчивость по Ляпунову

Сведение к исследованию нулевого решения

Формулировка

Доказательство

Устойчивость решений линейной системы

Формулировка

Доказательство

Критерий устойчивости линейной однородной системы

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Критерий асимптотической устойчивости при n = 2

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Устойчивость по определению

Условие

Решение

Асимптотически устойчивая система 2×2

Условие

Решение

Нулевые собственные значения: роль жордановых клеток

Условие

Решение

Устойчивость в зависимости от параметра

Условие

Решение

Устойчивое неограниченное решение

Условие

Решение

Устойчивость уравнения третьего порядка

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Устойчивость по Ляпунову

Асимптотическая устойчивость

Линейная система дифференциальных уравнений

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица системы

Жорданова клетка и жорданова матрица

Характеристическое уравнение системы с постоянными коэффициентами

Характеристический многочлен линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений линейной системы

Формулировка

Доказательство

Существование ФСР и структура общего решения однородной системы

Формулировка

Доказательство

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Доказательство

Структура ФСР при кратных собственных значениях

Формулировка

Доказательство

Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы

Формулировка

Доказательство

Устойчивость точек покоя различных типов

Формулировка

Доказательство

Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе

Формулировка

Доказательство

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Доказательство