Точки покоя на фазовой плоскости

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Линейная замена сохраняет тип точки покоя
Вещественные канонические формы матрицы 2×2
Фазовые портреты точек покоя линейной системы на плоскости
Классификация по следу и определителю
Устойчивость точек покоя различных типов

лемма

Линейная замена сохраняет тип точки покоя

Формулировка

Невырожденная замена $x = Ty$ переводит систему $x' = Ax$ в систему $y' = T^{-1}AT\,y$ . Фазовые траектории переходят в фазовые траектории (под действием линейного отображения $T^{-1}$ ), собственные значения не меняются, и тип точки покоя сохраняется.

Доказательство

Развернуть

$y' = T^{-1}x' = T^{-1}Ax = T^{-1}ATy$ . Решения систем связаны взаимно однозначно, $y(t) = T^{-1}x(t)$ , поэтому траектории отображаются друг на друга. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены, а значит, одинаковые собственные значения. Условие $A = \lambda E$ равносильно $T^{-1}AT = \lambda E$ . $\blacksquare$

лемма

Вещественные канонические формы матрицы 2×2

Формулировка

Вещественная матрица $A$ порядка $2$ подобна над $\mathbb R$ одной из матриц

\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}\ (\beta\ne 0),

соответственно для вещественных собственных значений с базисом из собственных векторов (в частности, для $\lambda_1\ne\lambda_2$ или $A = \lambda E$ ), для кратного собственного значения при $A\ne\lambda E$ и для комплексных собственных значений $\alpha\pm i\beta$ .

Доказательство

Развернуть

Различные вещественные собственные значения дают независимые собственные векторы — базис, в котором матрица диагональна.

Пусть $\lambda$ — двукратный корень и $A\ne\lambda E$ . Возьмём вектор $h_2$ с $h_1 := (A - \lambda E)h_2\ne 0$ . По теореме Гамильтона–Кэли $(A - \lambda E)^2 = 0$ , поэтому $(A - \lambda E)h_1 = 0$ . Векторы $h_1, h_2$ независимы (иначе $h_2$ был бы собственным). В базисе $h_1, h_2$ : $Ah_1 = \lambda h_1$ , $Ah_2 = h_1 + \lambda h_2$ .

Пусть $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne 0$ , и $h = a + ib$ — собственный вектор. Из $A(a + ib) = (\alpha + i\beta)(a + ib)$ получаем

Aa = \alpha a - \beta b,\qquad Ab = \beta a + \alpha b.

Векторы $a$ , $b$ независимы: иначе $h$ был бы комплексным кратным вещественного вектора, и $\lambda$ было бы вещественным. В базисе $(b, a)$ матрица равна $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}$ . $\blacksquare$

теорема

Фазовые портреты точек покоя линейной системы на плоскости

Формулировка

В канонических координатах (из леммы о канонических формах) фазовые портреты таковы.

Узел ( $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ; неустойчивый — с обращением времени): траектории $y = C|x|^{\lambda_2/\lambda_1}$ , $\lambda_2/\lambda_1 > 1$ , и полуоси $Oy$ . Все траектории входят в $O$ , касаясь оси собственного вектора с меньшим по модулю $\lambda$ , кроме двух полуосей другого собственного вектора.
Седло ( $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ ): траектории $|y| = C|x|^{\lambda_2/\lambda_1}$ — «гиперболы» ( $\lambda_2/\lambda_1 < 0$ ) — и четыре сепаратрисы-полуоси.
Дикритический узел ( $A = \lambda E$ ): лучи, выходящие из $O$ .
Вырожденный узел: $x = (C_1 + C_2t)e^{\lambda t}$ , $y = C_2e^{\lambda t}$ . Все траектории касаются в $O$ единственного собственного направления.
Фокус ( $\alpha\pm i\beta$ , $\alpha\ne 0$ ): в полярных координатах $r' = \alpha r$ , $\varphi' = \beta$ , траектории — логарифмические спирали $r = Ce^{(\alpha/\beta)\varphi}$ . Центр ( $\alpha = 0$ ): окружности $r = C$ .

В исходных координатах портрет — образ канонического при линейном отображении: «параболы», «гиперболы», спирали, эллипсы вместо окружностей.

Доказательство

Развернуть

1, 2. Для диагональной матрицы $x = C_1e^{\lambda_1t}$ , $y = C_2e^{\lambda_2t}$ . Исключая $t$ , получаем $|y| = C|x|^{\lambda_2/\lambda_1}$ . В случае узла $x, y\to 0$ , и при $\lambda_2/\lambda_1 > 1$ получаем $dy/dx\to 0$ — касание оси $Ox$ . В случае седла при $C_1C_2\ne 0$ траектория уходит в бесконечность в обе стороны времени, а полуоси — сепаратрисы.

$x = C_1e^{\lambda t}$ , $y = C_2e^{\lambda t}$ , отношение $y/x$ постоянно — лучи.
Решение получаем по формуле для экспоненты жордановой клетки. При $C_2\ne 0$ имеем $y/x = C_2/(C_1 + C_2t)\to 0$ при $t\to\pm\infty$ , то есть касание оси $Ox$ , направления собственного вектора.
Для $x' = \alpha x - \beta y$ , $y' = \beta x + \alpha y$ в полярных координатах: $rr' = xx' + yy' = \alpha r^2$ , $r^2\varphi' = xy' - yx' = \beta r^2$ . Отсюда $r = r_0e^{\alpha t}$ , $\varphi = \varphi_0 + \beta t$ .

Переход к исходным координатам — по лемме о линейной замене. $\blacksquare$

следствие

Классификация по следу и определителю

Формулировка

Пусть $\sigma = \operatorname{tr}A$ , $\Delta = \det A\ne 0$ , $D = \sigma^2 - 4\Delta$ . Тогда:

$\Delta < 0$ — седло;
$\Delta > 0$ , $D > 0$ — узел (устойчивый при $\sigma < 0$ );
$\Delta > 0$ , $D < 0$ , $\sigma\ne 0$ — фокус (устойчивый при $\sigma < 0$ );
$\Delta > 0$ , $\sigma = 0$ — центр;
$D = 0$ — дикритический ( $A = \lambda E$ ) или вырожденный узел.

Доказательство

Развернуть

Собственные значения — корни $\lambda^2 - \sigma\lambda + \Delta = 0$ , $\lambda_1\lambda_2 = \Delta$ , $\lambda_1 + \lambda_2 = \sigma$ . При $D > 0$ корни вещественны и различны, при $D < 0$ комплексны с $\operatorname{Re}\lambda = \sigma/2$ , при $D = 0$ совпадают. При $\Delta < 0$ корни вещественны (так как $D > 0$ ) и разных знаков. При $\Delta > 0$ , $D > 0$ — одного знака, знака $\sigma$ . Остаётся сравнить с определением типов. $\blacksquare$

следствие

Устойчивость точек покоя различных типов

Формулировка

Устойчивые узлы (в том числе дикритический и вырожденный при $\lambda < 0$ ) и устойчивые фокусы асимптотически устойчивы. Центр устойчив, но не асимптотически. Седло, неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы.

Доказательство

В обоих случаях $\lambda = 2$ кратности $2$ , точки покоя неустойчивы.

а) $A = 2E$ — дикритический узел. Решения $x = C_1e^{2t}$ , $y = C_2e^{2t}$ , траектории — лучи из начала координат.

б) $A = J_2(2)$ — вырожденный узел. $y = C_2e^{2t}$ , $x = (C_1 + C_2t)e^{2t}$ . При $t\to-\infty$ траектории входят в $O$ , касаясь оси $Ox$ — единственного собственного направления.

Центр и эллипсы

Условие

Определить тип точки покоя системы $x' = x + 2y$ , $y' = -5x - y$ и найти уравнения траекторий.

Решение

Развернуть

$\sigma = 0$ , $\Delta = -1 + 10 = 9 > 0$ — центр, $\lambda = \pm 3i$ .

Траектории — интегральные кривые уравнения $(5x + y)\,dx + (x + 2y)\,dy = 0$ . Это уравнение в полных дифференциалах ( $M_y = N_x = 1$ ), поэтому

\frac52x^2 + xy + y^2 = C.

Квадратичная форма положительно определена (дискриминант $1 - 10 < 0$ ), и траектории — эллипсы с центром $O$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Типы точек покоя линейной системы на плоскости

Пусть $x' = Ax$ — система с вещественной матрицей порядка $2$ , $\det A\ne 0$ , и $\lambda_1$ , $\lambda_2$ — собственные значения $A$ . Единственная точка покоя $O$ называется:

узлом, если $\lambda_1, \lambda_2$ вещественны, различны и одного знака;
седлом, если $\lambda_1, \lambda_2$ вещественны и разных знаков;
фокусом, если $\lambda_{1,2} = \alpha\pm i\beta$ , $\beta\ne 0$ , $\alpha\ne 0$ ;
центром, если $\lambda_{1,2} = \pm i\beta$ , $\beta\ne 0$ ;
дикритическим узлом, если $\lambda_1 = \lambda_2$ и $A = \lambda E$ ;
вырожденным узлом, если $\lambda_1 = \lambda_2$ и $A\ne\lambda E$ .

Узел и фокус называются устойчивыми при отрицательных вещественных частях и неустойчивыми при положительных.

Сепаратрисы седла

Сепаратрисами седла называются четыре фазовые траектории, которые стремятся к точке покоя при $t\to+\infty$ (две устойчивые сепаратрисы) или при $t\to-\infty$ (две неустойчивые). Для линейной системы они лежат на прямых, натянутых на собственные векторы, и отделяют друг от друга области с качественно различным поведением траекторий.

Подобные матрицы

Квадратные матрицы $A$ и $B$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $T$ такая, что $B = T^{-1}AT$ .

Собственные значения и собственные векторы

Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax = \lambda x$ для некоторого числа $\lambda$ , которое называется собственным значением, отвечающим $x$ .

Множество $V_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)$ — собственное подпространство: собственные векторы для $\lambda$ вместе с нулём. Его размерность — геометрическая кратность собственного значения.

Автономная система. Фазовое пространство

Нормальная система называется автономной, если её правая часть не зависит от $t$ :

x' = f(x),\qquad x\in D\subset\mathbb R^n.

Пространство $\mathbb R^n$ переменных $x$ называется фазовым пространством (при $n = 2$ — фазовой плоскостью).

Проекция интегральной кривой на фазовое пространство, то есть кривая $x = x(t)$ , называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий — фазовый портрет системы.

Точка $a$ с $f(a) = 0$ называется точкой покоя (положением равновесия): ей отвечает решение $x(t)\equiv a$ .

Механическая интерпретация: $x(t)$ — закон движения точки в фазовом пространстве, а $f(x)$ — поле скоростей, не зависящее от времени.

Асимптотическая устойчивость

Решение $\varphi(t)$ называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует $\delta_0 > 0$ такое, что для каждого решения с $\|x(t_0) - \varphi(t_0)\| < \delta_0$

\|x(t) - \varphi(t)\|\to 0\quad\text{при } t\to +\infty.

Одного условия стремления к нулю недостаточно: существуют неустойчивые решения, к которым все близкие решения стремятся.

Инвариантность характеристического многочлена

Формулировка

Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены; поэтому характеристический многочлен оператора определён корректно.
$\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^n + (-\lambda)^{n-1}\operatorname{tr}A + \dots + \det A$ .

Доказательство

Развернуть

$\det(T^{-1}AT - \lambda E) = \det\big(T^{-1}(A - \lambda E)T\big) = \det T^{-1}\det(A - \lambda E)\det T = \det(A - \lambda E)$ .
В определителе $\det(A - \lambda E)$ слагаемое, соответствующее подстановке $\sigma\ne\varepsilon$ , содержит не больше $n - 2$ диагональных множителей, поэтому имеет степень по $\lambda$ не выше $n - 2$ . Значит, коэффициенты при $\lambda^n$ и $\lambda^{n-1}$ берутся из произведения $\prod(a_{ii} - \lambda)$ ; это $(-1)^n$ и $(-1)^{n-1}\sum a_{ii}$ . Свободный член равен $\chi(0) = \det A$ . $\blacksquare$

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма собственных подпространств $V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_s}$ при попарно различных $\lambda_i$ прямая.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу $s$ векторов; при $s = 1$ собственный вектор ненулевой. Пусть $\mathcal Ax_i = \lambda_ix_i$ и $\sum_{i=1}^sc_ix_i = 0$ . Применим $\mathcal A$ и вычтем исходное равенство, умноженное на $\lambda_s$ :

\sum_{i=1}^{s-1}c_i(\lambda_i - \lambda_s)x_i = 0.

По предположению индукции $c_i(\lambda_i - \lambda_s) = 0$ , и так как $\lambda_i\ne\lambda_s$ , все $c_i = 0$ при $i < s$ . Тогда $c_sx_s = 0$ , то есть $c_s = 0$ .

Для суммы подпространств: если $\sum y_i = 0$ , $y_i\in V_{\lambda_i}$ , то ненулевые $y_i$ были бы линейно зависимыми собственными векторами для различных собственных значений. Значит, все $y_i = 0$ , и разложение нуля единственно; это равносильно единственности любого разложения. $\blacksquare$

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Каждый оператор (каждая квадратная матрица) является корнем своего характеристического многочлена: $\chi_A(A) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^nc_k\lambda^k$ . Для присоединённой матрицы верно тождество

(A - \lambda E)\,\widetilde{(A - \lambda E)} = \det(A - \lambda E)E = \chi(\lambda)E.

Элементы присоединённой матрицы — алгебраические дополнения, то есть многочлены от $\lambda$ степени не выше $n - 1$ . Поэтому

\widetilde{(A - \lambda E)} = B_0 + \lambda B_1 + \dots + \lambda^{n-1}B_{n-1}

с числовыми матрицами $B_k$ . Приравниваем коэффициенты при степенях $\lambda$ :

AB_0 = c_0E,\qquad AB_k - B_{k-1} = c_kE\ \ (1\le k\le n - 1),\qquad -B_{n-1} = c_nE.

Умножим $k$ -е равенство слева на $A^k$ и сложим:

\sum_{k=0}^nc_kA^k = AB_0 + \sum_{k=1}^{n-1}\big(A^{k+1}B_k - A^kB_{k-1}\big) - A^nB_{n-1} = 0,

так как сумма телескопическая. Для оператора: матрица $\chi(\mathcal A)$ равна $\chi(A)$ . $\blacksquare$

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Если матрица $A$ имеет базис из собственных векторов $h_1, \dots, h_n$ , $Ah_k = \lambda_kh_k$ (в частности, если все корни характеристического уравнения различны), то

e^{\lambda_1t}h_1,\ \dots,\ e^{\lambda_nt}h_n

— ФСР системы $x' = Ax$ , и общее решение $x = \sum_kC_ke^{\lambda_kt}h_k$ .

Доказательство

Развернуть

Каждая функция — решение по лемме о решениях вида $e^{\lambda t}h$ . Вронскиан при $t = 0$ равен $\det(h_1, \dots, h_n)\ne 0$ , так как векторы образуют базис. Значит, решения независимы. При различных собственных значениях собственные векторы линейно независимы, и $n$ таких векторов образуют базис. $\blacksquare$

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Для жордановой клетки $J_k(\lambda)$ порядка $k$

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}{2!}&\dots&\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\\0&1&t&\dots&\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}\\\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&&1&t\\0&\dots&&0&1\end{pmatrix}.

Если $A = TJT^{-1}$ , где $J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots)$ — жорданова форма, то $e^{tA} = T\operatorname{diag}\bigl(e^{tJ_{k_1}(\lambda_1)}, \dots\bigr)T^{-1}$ , а столбцы матрицы $Te^{tJ}$ образуют ФСР.

Доказательство

Развернуть

$J_k(\lambda) = \lambda E + N$ , где $N$ — матрица с единицами над диагональю. $N^j$ имеет единицы на $j$ -й наддиагонали и $N^k = 0$ . Матрицы $\lambda E$ и $N$ коммутируют, поэтому

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}e^{tN} = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^jN^j}{j!}.

Экспонента блочно-диагональной матрицы блочно-диагональна (степени вычисляются поблочно). Для $A = TJT^{-1}$ применяем свойство 4 матричной экспоненты. Матрица $Te^{tJ} = e^{tA}T$ — фундаментальная, как произведение фундаментальной матрицы на невырожденную постоянную. $\blacksquare$

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Для системы $x' = Ax$ с постоянной матрицей $A$ :

нулевое решение асимптотически устойчиво $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda < 0$ для всех собственных значений $\lambda$ ;
оно устойчиво (но не асимптотически) $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ для всех $\lambda$ , есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ , и всем таким $\lambda$ отвечают жордановы клетки только размера $1$ ;
в остальных случаях оно неустойчиво: есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda > 0$ или с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и клеткой размера не меньше $2$ .

Доказательство

Развернуть

$e^{tA} = Te^{tJ}T^{-1}$ , а элементы $e^{tJ}$ — функции вида $\frac{t^j}{j!}e^{\lambda t}$ , где $j$ меньше размера клетки собственного значения $\lambda$ . Так как $|e^{\lambda t}| = e^{t\operatorname{Re}\lambda}$ :

если все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , все элементы стремятся к нулю, $e^{tA}\to 0$ , и нуль асимптотически устойчив;
если $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и для $\operatorname{Re}\lambda = 0$ клетки размера $1$ , то элементы с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ имеют модуль $1$ , а остальные стремятся к нулю. Значит, $e^{tA}$ ограничена, и нуль устойчив. Асимптотической устойчивости нет: решение $e^{\lambda t}h$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ (или его вещественная часть) не стремится к нулю.

Если $\operatorname{Re}\lambda > 0$ , то комплексное решение $e^{\lambda t}h$ неограничено. Так как $|e^{\lambda t}h|^2 = |u|^2 + |v|^2$ для вещественных решений $u = \operatorname{Re}$ , $v = \operatorname{Im}$ , одно из них неограничено. Если $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и есть клетка размера $\ge 2$ , то решение $e^{\lambda t}(h_2 + th_1)$ , где $h_1$ — собственный, а $h_2$ — присоединённый вектор, неограничено. В обоих случаях по критерию устойчивости линейной системы нуль неустойчив. $\blacksquare$

Признак уравнения в полных дифференциалах

Формулировка

Пусть $M, N\in C^1(G)$ , где $G$ — прямоугольник (или односвязная область). Уравнение $M\,dx + N\,dy = 0$ является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда

\frac{\partial M}{\partial y}\equiv\frac{\partial N}{\partial x}\quad\text{в } G.

В этом случае для прямоугольника с точкой $(x_0, y_0)$

U(x, y) = \int_{x_0}^xM(t, y_0)\,dt + \int_{y_0}^yN(x, s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $U_x = M$ , $U_y = N$ , то $U_{xy} = M_y$ и $U_{yx} = N_x$ непрерывны. По теореме Шварца смешанные производные равны: $M_y = N_x$ .

Достаточность (для прямоугольника). Определим $U$ формулой из условия. Тогда $U_y = N(x, y)$ . Дифференцируя по $x$ интеграл, зависящий от параметра (подынтегральная функция $N_x$ непрерывна), получаем

U_x = M(x, y_0) + \int_{y_0}^yN_x(x, s)\,ds = M(x, y_0) + \int_{y_0}^yM_y(x, s)\,ds = M(x, y_0) + M(x, y) - M(x, y_0) = M(x, y).

Для односвязной области $U$ строится как криволинейный интеграл $\int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)}M\,dx + N\,dy$ , не зависящий от пути. $\blacksquare$

Точки покоя на фазовой плоскости

Линейная замена сохраняет тип точки покоя

Формулировка

Доказательство

Вещественные канонические формы матрицы 2×2

Формулировка

Доказательство

Фазовые портреты точек покоя линейной системы на плоскости

Формулировка

Доказательство

Классификация по следу и определителю

Формулировка

Доказательство

Устойчивость точек покоя различных типов

Формулировка

Доказательство

Седло

Условие

Решение

Устойчивый узел

Условие

Решение

Неустойчивый фокус и направление закручивания

Условие

Решение

Затухающий осциллятор

Условие

Решение

Дикритический и вырожденный узлы

Условие

Решение

Центр и эллипсы

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Типы точек покоя линейной системы на плоскости

Сепаратрисы седла

Подобные матрицы

Собственные значения и собственные векторы

Автономная система. Фазовое пространство

Асимптотическая устойчивость

Инвариантность характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Доказательство

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Признак уравнения в полных дифференциалах

Формулировка

Доказательство