Нормальные системы. Первые интегралы. Автономные системы

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Теорема Коши для нормальной системы
Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе
Сведение нормальной системы к одному уравнению (метод исключения)
Критерий первого интеграла
Существование системы локальных первых интегралов
Понижение порядка системы с помощью первых интегралов
Свойства решений и траекторий автономной системы
Симметричная форма автономной системы и интегрируемые комбинации

теорема

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Пусть функции $f_i(t, x)$ непрерывны в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ вместе с частными производными $\partial f_i/\partial x_j$ (достаточно локального условия Липшица по $x$ : $\|f(t, x) - f(t, y)\|\le L\|x - y\|$ ). Тогда для любой точки $(t_0, x^0)\in G$ задача Коши $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x^0$ имеет решение на некотором отрезке $|t - t_0|\le h$ , и любые два решения совпадают на общем интервале определения.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без доказательства. Оно дословно повторяет доказательство теоремы Коши–Пикара для одного уравнения. Модуль заменяется нормой вектора, прямоугольник — цилиндром $\{|t - t_0|\le a,\ \|x - x^0\|\le b\}$ , и используются неравенство $\left\|\int g\right\|\le\int\|g\|$ и лемма Гронуолла. Локальное условие Липшица следует из непрерывности производных по формуле конечных приращений: $f(t, x) - f(t, y) = \int_0^1f_x(t, y + \theta(x - y))\,d\theta\,(x - y)$ . $\blacksquare$

теорема

Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе

Формулировка

Функция $y(t)$ — решение уравнения $y^{(n)} = f\bigl(t, y, y', \dots, y^{(n-1)}\bigr)$ тогда и только тогда, когда вектор $x = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^T$ — решение нормальной системы

x_1' = x_2,\quad\dots,\quad x_{n-1}' = x_n,\quad x_n' = f(t, x_1, \dots, x_n).

При этом начальные условия задачи Коши для уравнения переходят в условие $x(t_0) = x^0$ . В частности, теорема Коши для уравнения $n$ -го порядка следует из теоремы Коши для систем.

Доказательство

Развернуть

Если $y$ — решение уравнения, то для $x_k = y^{(k-1)}$ первые $n - 1$ уравнений системы выполнены по определению, а последнее совпадает с исходным уравнением.

Обратно, если $x$ — решение системы, то из первых уравнений $x_k = x_1^{(k-1)}$ , и последнее даёт $x_1^{(n)} = f(t, x_1, \dots, x_1^{(n-1)})$ . Правая часть системы непрерывна и липшицева по $x$ , если этим свойством обладает $f$ , так что применима теорема Коши для систем. $\blacksquare$

теорема

Сведение нормальной системы к одному уравнению (метод исключения)

Формулировка

Пусть в системе

x' = f(t, x, y),\qquad y' = g(t, x, y)

функции $f\in C^1$ , $g\in C$ и $f_y\ne 0$ в рассматриваемой области. Тогда первая компонента $x(t)$ любого решения удовлетворяет уравнению второго порядка

x'' = f_t + f_xf + f_yg,\qquad\text{где } y = \varphi(t, x, x')\ \text{найдено из } x' = f(t, x, y),

и обратно: по решению $x(t)$ этого уравнения функция $y = \varphi(t, x, x')$ дополняет его до решения системы.

Для системы $n$ уравнений аналогично: последовательно дифференцируя первое уравнение, выражают $x_1^{(k)}$ через $t, x$ при $k = 1, \dots, n$ . Если якобиан полученных выражений по $x_2, \dots, x_n$ отличен от нуля, исключение даёт одно уравнение $n$ -го порядка для $x_1$ .

Доказательство

Развернуть

Так как $f_y\ne 0$ , по теореме о неявной функции уравнение $x' = f(t, x, y)$ (как соотношение между $t$ , $x$ , $p = x'$ и $y$ ) локально разрешимо: $y = \varphi(t, x, p)$ .

Если $(x, y)$ — решение системы, то $y = \varphi(t, x, x')$ , и, дифференцируя первое уравнение,

x'' = f_t + f_xx' + f_yy' = f_t + f_xf + f_yg

с подставленным $y = \varphi(t, x, x')$ .

Обратно, пусть $x(t)$ — решение полученного уравнения и $y := \varphi(t, x, x')$ . Тогда $x' = f(t, x, y)$ по построению. Дифференцируя это тождество, получаем $x'' = f_t + f_xx' + f_yy'$ . Сравнивая с уравнением, имеем $f_yy' = f_yg$ , и так как $f_y\ne 0$ , получаем $y' = g$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий первого интеграла

Формулировка

Пусть $f$ удовлетворяет условиям теоремы Коши в области $D$ . Функция $u\in C^1(D)$ является первым интегралом системы $x' = f(t, x)$ в $D$ тогда и только тогда, когда её производная в силу системы тождественно равна нулю:

\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}f_i(t, x)\equiv 0\quad\text{в } D.

Доказательство

Развернуть

Вдоль любого решения

\frac{d}{dt}u(t, x(t)) = u_t + \sum_iu_{x_i}x_i' = u_t + \sum_iu_{x_i}f_i(t, x(t)).

Если производная в силу системы равна нулю, то $u(t, x(t))$ постоянна.

Обратно, пусть $u$ — первый интеграл и $(t_0, x^0)\in D$ . По теореме Коши через эту точку проходит решение. Вдоль него $u$ постоянна, и производная в точке $t_0$ равна нулю. Но эта производная — производная в силу системы в точке $(t_0, x^0)$ . $\blacksquare$

теорема

Существование системы локальных первых интегралов

Формулировка

Пусть $f\in C^1(G)$ . Тогда у каждой точки $(t_0, x^0)\in G$ есть окрестность, в которой система $x' = f(t, x)$ имеет $n$ независимых первых интегралов $u_1, \dots, u_n$ . Любой другой первый интеграл в этой окрестности имеет вид $F(u_1, \dots, u_n)$ , а соотношения $u_i(t, x) = C_i$ задают все решения (общее решение в неявной форме).

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без доказательства; поясним идею. Пусть $x = \varphi(t, t_0, \xi)$ — решение с начальным условием $x(t_0) = \xi$ . Для гладкой правой части оно гладко зависит от $\xi$ , и $\partial\varphi/\partial\xi = E$ при $t = t_0$ . По теореме об обратной функции равенство $x = \varphi(t, t_0, \xi)$ вблизи $(t_0, x^0)$ разрешимо: $\xi = u(t, x)$ . Компоненты $u_1, \dots, u_n$ — «начальные данные решения, проходящего через точку $(t, x)$ » — постоянны вдоль решений и независимы.

Если $v$ — первый интеграл, то $v(t, x) = v(t_0, \varphi(t_0, t, x)) = v(t_0, u(t, x)) =: F(u)$ . $\blacksquare$

теорема

Понижение порядка системы с помощью первых интегралов

Формулировка

Пусть $u_1, \dots, u_k$ — первые интегралы системы $x' = f(t, x)$ и

\det\frac{\partial(u_1, \dots, u_k)}{\partial(x_1, \dots, x_k)}\ne 0.

Тогда из равенств $u_i(t, x) = C_i$ можно выразить $x_1, \dots, x_k$ через $t$ , $C$ и $x_{k+1}, \dots, x_n$ . После подстановки в последние $n - k$ уравнений получается система порядка $n - k$ для $x_{k+1}, \dots, x_n$ . При $k = n$ первые интегралы задают все решения.

Доказательство

Развернуть

По теореме о неявной функции система $u_i(t, x) = C_i$ , $i\le k$ , локально разрешима относительно $x_1, \dots, x_k$ : $x_j = \psi_j(t, C, x_{k+1}, \dots, x_n)$ .

Вдоль любого решения $u_i = C_i$ с некоторыми $C_i$ , поэтому его первые $k$ компонент выражаются через остальные по этим формулам. Тогда $(x_{k+1}, \dots, x_n)$ удовлетворяют системе

x_m' = f_m\bigl(t, \psi(t, C, x_{k+1}, \dots, x_n), x_{k+1}, \dots, x_n\bigr),\qquad m > k.

Обратно, по решению этой системы и формулам для $x_1, \dots, x_k$ восстанавливается решение исходной системы. Уравнения для $x_1, \dots, x_k$ выполняются, так как первые интегралы сохраняются в силу системы, а якобиан не равен нулю. $\blacksquare$

теорема

Свойства решений и траекторий автономной системы

Формулировка

Пусть $f\in C^1(D)$ . Для автономной системы $x' = f(x)$ :

если $x(t)$ — решение, то $x(t + c)$ — тоже решение при любом $c$ ;
две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают;
каждая фазовая траектория — либо точка покоя, либо замкнутая кривая (ей отвечает периодическое решение), либо кривая без самопересечений.

Доказательство

Развернуть

$\frac{d}{dt}x(t + c) = x'(t + c) = f(x(t + c))$ , так как $f$ не зависит от $t$ .
Пусть $x(t_1) = y(t_2)$ для решений $x$ , $y$ . Функция $z(t) = y(t + t_2 - t_1)$ — решение и $z(t_1) = x(t_1)$ . По единственности $z\equiv x$ , то есть $x$ и $y$ отличаются сдвигом времени и имеют одну траекторию.
Если $x(t_1) = x(t_2)$ при $t_1 < t_2$ , то, как в п. 2, $x(t + T)\equiv x(t)$ при $T = t_2 - t_1$ , и решение периодично. Множество периодов замкнуто и вместе с $T_1, T_2$ содержит $T_1 - T_2$ . Если оно содержит сколь угодно малые положительные числа, то оно плотно в $\mathbb R$ , а тогда по непрерывности $x$ постоянна — это точка покоя. Иначе есть наименьший положительный период, и траектория — замкнутая кривая. Если же совпадений $x(t_1) = x(t_2)$ нет, кривая не имеет самопересечений. $\blacksquare$

теорема

Симметричная форма автономной системы и интегрируемые комбинации

Формулировка

Вне точек покоя фазовые траектории автономной системы $x' = f(x)$ — это решения системы в симметричной форме $\dfrac{dx_1}{f_1} = \dots = \dfrac{dx_n}{f_n}$ .
Если функции $a_i(x)$ таковы, что $\sum_ia_if_i\equiv 0$ и $\sum_ia_i\,dx_i = d\Phi$ , то $\Phi(x)$ — первый интеграл (не зависящий от $t$ ).

Доказательство

Развернуть

Касательный вектор к траектории $x(t)$ равен $x'(t) = f(x(t))\ne 0$ , то есть коллинеарен вектору $f$ . Обратно, кривую, касательная которой коллинеарна $f$ , можно параметризовать так, чтобы $dx/dt = f(x)$ : в параметризации $x(s)$ с $dx/ds = \lambda(s)f$ , $\lambda\ne 0$ , положим $dt = \lambda\,ds$ .
Производная $\Phi$ в силу системы равна $\sum_i\Phi_{x_i}f_i = \sum_ia_if_i = 0$ . По критерию первого интеграла $\Phi$ — первый интеграл. $\blacksquare$

Метод исключения для системы x' = y, y' = x

Условие

Решить систему $x' = y$ , $y' = x$ методом исключения. Записать уравнение $y''' = yy'$ в виде нормальной системы.

Решение

Развернуть

Дифференцируем первое уравнение: $x'' = y' = x$ . Значит, $x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ и $y = x' = C_1e^t - C_2e^{-t}$ .

Для уравнения третьего порядка положим $x_1 = y$ , $x_2 = y'$ , $x_3 = y''$ :

x_1' = x_2,\qquad x_2' = x_3,\qquad x_3' = x_1x_2.

Первые интегралы гармонического осциллятора

Условие

Для системы $x' = y$ , $y' = -x$ проверить, что $u_1 = x^2 + y^2$ и $u_2 = \operatorname{arctg}\dfrac xy - t$ (при $y\ne 0$ ) — первые интегралы, и найти с их помощью общее решение.

Решение

Развернуть

Производные в силу системы:

\dot u_1 = 2x\cdot y + 2y\cdot(-x) = 0,\qquad\dot u_2 = -1 + \frac{1/y}{1 + x^2/y^2}\cdot y - \frac{x/y^2}{1 + x^2/y^2}\cdot(-x) = -1 + \frac{y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 0.

Якобиан $\dfrac{\partial(u_1, u_2)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix}2x&2y\\ \frac{y}{x^2+y^2}&-\frac{x}{x^2+y^2}\end{vmatrix} = -2\ne 0$ , так что интегралы независимы.

Из $x^2 + y^2 = R^2$ , $\operatorname{arctg}(x/y) = t + c$ получаем

x = R\sin(t + c),\qquad y = R\cos(t + c).

Фазовые траектории — окружности; точка покоя — начало координат.

Интегрируемые комбинации для симметричной системы

Условие

Найти два независимых первых интеграла системы

\frac{dx}{y - z} = \frac{dy}{z - x} = \frac{dz}{x - y}

и описать траектории.

Решение

Развернуть

$a = (1, 1, 1)$ : $(y - z) + (z - x) + (x - y) = 0$ , и $dx + dy + dz = d(x + y + z)$ . Первый интеграл $x + y + z = C_1$ .
$a = (x, y, z)$ : $x(y - z) + y(z - x) + z(x - y) = 0$ , и $x\,dx + y\,dy + z\,dz = \frac12d(x^2 + y^2 + z^2)$ . Первый интеграл $x^2 + y^2 + z^2 = C_2$ .

Градиенты $(1, 1, 1)$ и $(x, y, z)$ неколлинеарны вне прямой $x = y = z$ (а она состоит из точек покоя). Траектории — окружности, по которым плоскости $x + y + z = C_1$ пересекают сферы $x^2 + y^2 + z^2 = C_2$ .

Фазовый портрет маятника

Условие

Записать уравнение маятника $x'' + \sin x = 0$ в виде автономной системы, найти первый интеграл и описать фазовые траектории.

Решение

Развернуть

$x' = y$ , $y' = -\sin x$ . Интеграл энергии $E = \frac{y^2}2 - \cos x$ : $\dot E = y\cdot(-\sin x) + \sin x\cdot y = 0$ .

Траектории лежат на линиях $\frac{y^2}2 - \cos x = C$ , $C\ge -1$ :

$C = -1$ : точки покоя $(2\pi k, 0)$ — нижнее положение равновесия;
$-1 < C < 1$ : замкнутые кривые вокруг $(2\pi k, 0)$ — периодические колебания;
$C = 1$ : проходят через точки покоя $((2k + 1)\pi, 0)$ (верхнее положение) и разделяют области колебаний и вращений (сепаратрисы);
$C > 1$ : кривые $y = \pm\sqrt{2(C + \cos x)}$ , не пересекающие ось $Ox$ , — вращение маятника.

Понижение порядка системы двумя первыми интегралами

Условие

Для системы $x' = yz$ , $y' = xz$ , $z' = xy$ найти два первых интеграла и свести систему к одному уравнению первого порядка.

Решение

Развернуть

$x\,dx - y\,dy$ : $x\cdot yz - y\cdot xz = 0$ , поэтому $x^2 - y^2 = C_1$ . Аналогично $x^2 - z^2 = C_2$ .

Якобиан по $(y, z)$ : $\det\begin{pmatrix}-2y&0\\0&-2z\end{pmatrix} = 4yz\ne 0$ при $yz\ne 0$ . Выражаем $y = \pm\sqrt{x^2 - C_1}$ , $z = \pm\sqrt{x^2 - C_2}$ и подставляем в первое уравнение:

x' = \pm\sqrt{(x^2 - C_1)(x^2 - C_2)}.

Это уравнение с разделяющимися переменными; оно интегрируется в квадратурах (интеграл эллиптический). Система третьего порядка сведена к одному уравнению первого порядка.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Нормальная система дифференциальных уравнений

Нормальной системой $n$ уравнений первого порядка называется система

\begin{cases}x_1' = f_1(t, x_1, \dots, x_n),\\ \quad\dots\\ x_n' = f_n(t, x_1, \dots, x_n),\end{cases}

где функции $f_i$ определены в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ . В векторной форме: $x' = f(t, x)$ , $x = (x_1, \dots, x_n)^T$ , $f = (f_1, \dots, f_n)^T$ .

Решение на интервале $I$ — дифференцируемая вектор-функция $x(t)$ , для которой $(t, x(t))\in G$ и $x'(t) = f(t, x(t))$ при $t\in I$ . Её график в $\mathbb R^{n+1}$ называется интегральной кривой.

Задача Коши: найти решение с условием $x(t_0) = x^0$ , $(t_0, x^0)\in G$ .

Первый интеграл нормальной системы

Функция $u(t, x)\in C^1(D)$ , $D\subset G$ , отличная от постоянной, называется первым интегралом системы $x' = f(t, x)$ в области $D$ , если для любого решения $x(t)$ , график которого лежит в $D$ , функция $u(t, x(t))$ постоянна.

Соотношение $u(t, x) = C$ тоже называют первым интегралом.

Первые интегралы $u_1, \dots, u_k$ называются независимыми, если ранг матрицы Якоби $\dfrac{\partial(u_1, \dots, u_k)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}$ равен $k$ во всех точках $D$ .

Первый интеграл называется глобальным, если он определён во всей области $G$ , и локальным, если он определён лишь в окрестности некоторой точки.

Автономная система. Фазовое пространство

Нормальная система называется автономной, если её правая часть не зависит от $t$ :

x' = f(x),\qquad x\in D\subset\mathbb R^n.

Пространство $\mathbb R^n$ переменных $x$ называется фазовым пространством (при $n = 2$ — фазовой плоскостью).

Проекция интегральной кривой на фазовое пространство, то есть кривая $x = x(t)$ , называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий — фазовый портрет системы.

Точка $a$ с $f(a) = 0$ называется точкой покоя (положением равновесия): ей отвечает решение $x(t)\equiv a$ .

Механическая интерпретация: $x(t)$ — закон движения точки в фазовом пространстве, а $f(x)$ — поле скоростей, не зависящее от времени.

Симметричная форма записи системы

Систему

\frac{dx_1}{X_1(x)} = \frac{dx_2}{X_2(x)} = \dots = \frac{dx_n}{X_n(x)}

называют системой в симметричной форме: ни одна из переменных не выделена как независимая. Её решениями называют кривые в пространстве $x$ , касательный вектор которых в каждой точке коллинеарен вектору $X(x) = (X_1, \dots, X_n)$ .

Нормальная система $x' = f(t, x)$ записывается в симметричной форме как $\dfrac{dt}1 = \dfrac{dx_1}{f_1} = \dots = \dfrac{dx_n}{f_n}$ .

Сочетание $a_1\,dx_1 + \dots + a_n\,dx_n$ , которое в силу системы оказывается полным дифференциалом $d\Phi$ и обращается в нуль, называется интегрируемой комбинацией.

Условие Липшица

Функция $f(x, y)$ удовлетворяет в области $D$ условию Липшица по $y$ , если существует постоянная $L\ge 0$ такая, что

|f(x, y_1) - f(x, y_2)|\le L|y_1 - y_2|\qquad\text{для всех } (x, y_1), (x, y_2)\in D.

Функция удовлетворяет локальному условию Липшица в области $G$ , если у каждой точки $G$ есть окрестность, в которой выполнено условие Липшица (со своей постоянной).

Уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Уравнение

y^{(n)} = f\bigl(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}\bigr),

где $f$ определена в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ , называется уравнением $n$ -го порядка, разрешённым относительно старшей производной.

Задача Коши для него: найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y(x_0) = y_0,\quad y'(x_0) = y_0',\quad\dots,\quad y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)},

где $(x_0, y_0, y_0', \dots, y_0^{(n-1)})\in G$ .

Общим решением в области единственности называется семейство решений $y = \varphi(x, C_1, \dots, C_n)$ , из которого выбором постоянных можно получить решение любой задачи Коши с начальной точкой в этой области.

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике

\Pi = \{|x - x_0|\le a,\ |y - y_0|\le b\},

$|f|\le M$ в $\Pi$ , и $f$ удовлетворяет в $\Pi$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ . Тогда на отрезке $|x - x_0|\le h$ , где

h = \min\left(a, \frac bM\right),

задача Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ имеет решение, и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

По лемме об эквивалентности достаточно решить интегральное уравнение $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ . Рассмотрим отрезок $x_0\le x\le x_0 + h$ (левая половина аналогична).

Последовательные приближения:

y_0(x)\equiv y_0,\qquad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y_n(t)\bigr)\,dt.

Графики не выходят из $\Pi$ . Если график непрерывной $y_n$ лежит в $\Pi$ , то $y_{n+1}$ определена, непрерывна и $|y_{n+1}(x) - y_0|\le M(x - x_0)\le Mh\le b$ .
Оценка разностей. Индукцией докажем

|y_{n+1}(x) - y_n(x)|\le\frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

При $n = 0$ это шаг 1. Переход:

|y_{n+1} - y_n|\le\int_{x_0}^xL|y_n(t) - y_{n-1}(t)|\,dt\le L\int_{x_0}^x\frac{ML^{n-1}(t - x_0)^n}{n!}\,dt = \frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

Равномерная сходимость. Ряд $y_0 + \sum_n(y_{n+1} - y_n)$ мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum_nML^nh^{n+1}/(n + 1)!$ . По признаку Вейерштрасса $y_n\rightrightarrows y$ на $[x_0, x_0 + h]$ ; предел непрерывен, его график лежит в $\Pi$ (множество $\Pi$ замкнуто).
Предел — решение. $|f(t, y_n(t)) - f(t, y(t))|\le L|y_n(t) - y(t)|\rightrightarrows 0$ . Поэтому в равенстве для $y_{n+1}$ можно перейти к пределу под знаком интеграла: $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ .
Единственность. Пусть $z$ — ещё одно решение на $[x_0, x_0 + h']$ , $h'\le h$ . Его график лежит в $\Pi$ : иначе в первой точке выхода $x^*$ было бы $|z(x^*) - y_0| = b$ , но $|z(x^*) - y_0|\le M(x^* - x_0) < Mh\le b$ . Для $u = |y - z|$

u(x)\le\int_{x_0}^x|f(t, y) - f(t, z)|\,dt\le L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,

и по лемме Гронуолла с $a = 0$ получаем $u\equiv 0$ . $\blacksquare$

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Если $A(t)$ и $b(t)$ непрерывны на интервале $I$ , то для любых $t_0\in I$ , $x^0\in\mathbb R^n$ решение задачи Коши $x' = A(t)x + b(t)$ , $x(t_0) = x^0$ существует на всём интервале $I$ и единственно.

Доказательство

Развернуть

Именно это утверждение доказано в теореме о существовании решения линейного уравнения $n$ -го порядка на всём интервале: там доказательство проведено для векторного уравнения $z' = A(x)z + b(x)$ с произвольной непрерывной матрицей. Существенно, что правая часть линейна по $x$ и поэтому удовлетворяет условию Липшица с постоянной $\max\|A(t)\|$ во всей полосе $[\alpha, \beta]\times\mathbb R^n$ . Последовательные приближения не выходят ни из какой области, и решение существует на всём отрезке $[\alpha, \beta]$ . $\blacksquare$

Теорема Четаева о неустойчивости

Формулировка

Пусть $f\in C^1$ , $f(0) = 0$ , и в шаре $\|x\|\le r$ определена функция $V\in C^1$ такая, что:

в любой окрестности нуля есть точки, где $V > 0$ ;
$\dot V > 0$ во всех точках шара, где $V > 0$ .

Тогда нулевое решение системы $x' = f(x)$ неустойчиво.

Доказательство

Развернуть

Возьмём $\varepsilon = r$ и любое $\delta > 0$ . По условию 1 есть точка $x^0$ с $\|x^0\| < \delta$ и $V(x^0) = \alpha > 0$ . Пусть $x(t)$ — решение с $x(t_0) = x^0$ .

Предположим, что $\|x(t)\| < r$ при всех $t\ge t_0$ . Пока $V(x(t)) > 0$ , функция $V(x(t))$ возрастает, поэтому $V(x(t))\ge\alpha$ при всех $t\ge t_0$ . Значит, решение лежит в множестве

K = \{\|x\|\le r,\ V(x)\ge\alpha\}.

Оно компактно, и на нём $\dot V > 0$ по условию 2, поэтому $\dot V\ge\beta > 0$ на $K$ . Тогда $V(x(t))\ge\alpha + \beta(t - t_0)\to+\infty$ , что противоречит ограниченности непрерывной функции $V$ на шаре.

Итак, при сколь угодно малом $\delta$ найдётся решение, выходящее на сферу $\|x\| = r$ . Нулевое решение неустойчиво. $\blacksquare$

Теорема Ляпунова об устойчивости

Формулировка

Пусть $f\in C^1$ , $f(0) = 0$ , и в окрестности нуля существует положительно определённая функция $V\in C^1$ , производная которой в силу системы $x' = f(x)$ неположительна: $\dot V\le 0$ . Тогда нулевое решение устойчиво по Ляпунову.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\varepsilon > 0$ так мало, что шар $\|x\|\le\varepsilon$ лежит в окрестности, где определена $V$ . На сфере $\|x\| = \varepsilon$ непрерывная положительная функция $V$ достигает минимума $m > 0$ . Так как $V(0) = 0$ и $V$ непрерывна, найдётся $\delta\in(0, \varepsilon)$ с $V(x) < m$ при $\|x\| < \delta$ .

Пусть $\|x(t_0)\| < \delta$ . Пока решение остаётся в шаре $\|x\|\le\varepsilon$ , функция $V(x(t))$ не возрастает, так что $V(x(t))\le V(x(t_0)) < m$ . Поэтому решение не может достичь сферы $\|x\| = \varepsilon$ , где $V\ge m$ .

Значит, решение остаётся в компакте $\|x\| < \varepsilon$ . Решение, не покидающее компакт внутри области, продолжается на всю полуось $t\ge t_0$ (иначе оно должно было бы приблизиться к границе области). Итак, $\|x(t)\| < \varepsilon$ при всех $t\ge t_0$ . $\blacksquare$

Связь с линейным уравнением n-го порядка

Формулировка

При сведении уравнения $y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny = 0$ к системе $z' = A(t)z$ , $z = (y, \dots, y^{(n-1)})^T$ , решениям $y_1, \dots, y_n$ уравнения отвечают решения системы, и вронскиан системы совпадает с вронскианом уравнения. Формула Лиувилля для системы переходит в формулу Остроградского–Лиувилля для уравнения.

Доказательство

Развернуть

Столбец, отвечающий $y_k$ , равен $(y_k, y_k', \dots, y_k^{(n-1)})^T$ — это $k$ -й столбец вронскиана уравнения, поэтому определители совпадают. У матрицы $A$ этой системы все диагональные элементы, кроме последнего, равны нулю, а последний равен $-p_1$ . Значит, $\operatorname{tr}A = -p_1$ , и $\exp\int\operatorname{tr}A = \exp\left(-\int p_1\right)$ . $\blacksquare$

Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Нулевое решение уравнения $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = 0$ :

асимптотически устойчиво $\iff$ все корни характеристического многочлена имеют отрицательные вещественные части;
устойчиво $\iff$ все корни имеют $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ , а корни с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ простые.

Доказательство

Развернуть

Проще всего рассуждать через ФСР из теоремы о корнях характеристического уравнения. Решения уравнения и их производные — линейные комбинации функций $x^je^{\lambda x}$ , где $j$ меньше кратности корня $\lambda$ . Все такие функции стремятся к нулю $\iff$ все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ . Все они ограничены $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и корни с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ простые: иначе входит $xe^{i\beta x}$ .

Для эквивалентной нормальной системы фундаментальная матрица составлена из решений и их производных. Поэтому ограниченность (стремление к нулю) решений с производными равносильна тому же для фундаментальной матрицы, и применим критерий устойчивости линейной системы. $\blacksquare$

Нормальные системы. Первые интегралы. Автономные системы

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Доказательство

Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе

Формулировка

Доказательство

Сведение нормальной системы к одному уравнению (метод исключения)

Формулировка

Доказательство

Критерий первого интеграла

Формулировка

Доказательство

Существование системы локальных первых интегралов

Формулировка

Доказательство

Понижение порядка системы с помощью первых интегралов

Формулировка

Доказательство

Свойства решений и траекторий автономной системы

Формулировка

Доказательство

Симметричная форма автономной системы и интегрируемые комбинации

Формулировка

Доказательство

Метод исключения для системы x' = y, y' = x

Условие

Решение

Первые интегралы гармонического осциллятора

Условие

Решение

Интегрируемые комбинации для симметричной системы

Условие

Решение

Фазовый портрет маятника

Условие

Решение

Понижение порядка системы двумя первыми интегралами

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Нормальная система дифференциальных уравнений

Первый интеграл нормальной системы

Автономная система. Фазовое пространство

Симметричная форма записи системы

Условие Липшица

Уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Доказательство

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Доказательство

Теорема Четаева о неустойчивости

Формулировка

Доказательство

Теорема Ляпунова об устойчивости

Формулировка

Доказательство

Связь с линейным уравнением n-го порядка

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство