Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость по первому приближению

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Теорема Ляпунова об устойчивости
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
Теорема Четаева о неустойчивости
Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы
Устойчивость по первому приближению
Критический случай первого приближения

теорема

Теорема Ляпунова об устойчивости

Формулировка

Пусть $f\in C^1$ , $f(0) = 0$ , и в окрестности нуля существует положительно определённая функция $V\in C^1$ , производная которой в силу системы $x' = f(x)$ неположительна: $\dot V\le 0$ . Тогда нулевое решение устойчиво по Ляпунову.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\varepsilon > 0$ так мало, что шар $\|x\|\le\varepsilon$ лежит в окрестности, где определена $V$ . На сфере $\|x\| = \varepsilon$ непрерывная положительная функция $V$ достигает минимума $m > 0$ . Так как $V(0) = 0$ и $V$ непрерывна, найдётся $\delta\in(0, \varepsilon)$ с $V(x) < m$ при $\|x\| < \delta$ .

Пусть $\|x(t_0)\| < \delta$ . Пока решение остаётся в шаре $\|x\|\le\varepsilon$ , функция $V(x(t))$ не возрастает, так что $V(x(t))\le V(x(t_0)) < m$ . Поэтому решение не может достичь сферы $\|x\| = \varepsilon$ , где $V\ge m$ .

Значит, решение остаётся в компакте $\|x\| < \varepsilon$ . Решение, не покидающее компакт внутри области, продолжается на всю полуось $t\ge t_0$ (иначе оно должно было бы приблизиться к границе области). Итак, $\|x(t)\| < \varepsilon$ при всех $t\ge t_0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Формулировка

Если в условиях теоремы Ляпунова об устойчивости производная $\dot V$ отрицательно определена, то нулевое решение асимптотически устойчиво.

Доказательство

Развернуть

По теореме Ляпунова об устойчивости нуль устойчив. Возьмём $\delta_0$ , отвечающее некоторому $\varepsilon$ , и решение с $\|x(t_0)\| < \delta_0$ ; тогда $\|x(t)\| < \varepsilon$ при $t\ge t_0$ .

Функция $V(x(t))$ убывает и ограничена снизу нулём, поэтому имеет предел $L\ge 0$ . Пусть $L > 0$ . Так как $V(0) = 0$ , найдётся $\eta > 0$ с $V < L$ при $\|x\| < \eta$ , и, значит, $\eta\le\|x(t)\|\le\varepsilon$ при всех $t\ge t_0$ . На этом кольце непрерывная отрицательная функция $\dot V$ не превосходит $-\gamma < 0$ . Тогда

V(x(t))\le V(x(t_0)) - \gamma(t - t_0)\to -\infty,

что противоречит $V\ge 0$ . Итак, $V(x(t))\to 0$ .

Отсюда $x(t)\to 0$ : если бы $\|x(t_k)\|\ge\eta' > 0$ для последовательности $t_k\to\infty$ , то $V(x(t_k))\ge\min_{\eta'\le\|x\|\le\varepsilon}V > 0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Четаева о неустойчивости

Формулировка

Пусть $f\in C^1$ , $f(0) = 0$ , и в шаре $\|x\|\le r$ определена функция $V\in C^1$ такая, что:

в любой окрестности нуля есть точки, где $V > 0$ ;
$\dot V > 0$ во всех точках шара, где $V > 0$ .

Тогда нулевое решение системы $x' = f(x)$ неустойчиво.

Доказательство

Развернуть

Возьмём $\varepsilon = r$ и любое $\delta > 0$ . По условию 1 есть точка $x^0$ с $\|x^0\| < \delta$ и $V(x^0) = \alpha > 0$ . Пусть $x(t)$ — решение с $x(t_0) = x^0$ .

Предположим, что $\|x(t)\| < r$ при всех $t\ge t_0$ . Пока $V(x(t)) > 0$ , функция $V(x(t))$ возрастает, поэтому $V(x(t))\ge\alpha$ при всех $t\ge t_0$ . Значит, решение лежит в множестве

K = \{\|x\|\le r,\ V(x)\ge\alpha\}.

Оно компактно, и на нём $\dot V > 0$ по условию 2, поэтому $\dot V\ge\beta > 0$ на $K$ . Тогда $V(x(t))\ge\alpha + \beta(t - t_0)\to+\infty$ , что противоречит ограниченности непрерывной функции $V$ на шаре.

Итак, при сколь угодно малом $\delta$ найдётся решение, выходящее на сферу $\|x\| = r$ . Нулевое решение неустойчиво. $\blacksquare$

лемма

Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы

Формулировка

Если все собственные значения матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные части, то матричное уравнение Ляпунова

A^TB + BA = -E

имеет единственное решение $B$ , и это симметричная положительно определённая матрица:

B = \int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA}\,dt.

Для квадратичной формы $V(x) = x^TBx$ производная в силу системы $x' = Ax$ равна $\dot V = -\|x\|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Элементы $e^{tA}$ — комбинации функций $t^je^{\lambda t}$ с $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , поэтому $\|e^{tA}\|\le Me^{-\gamma t}$ при некоторых $M$ , $\gamma > 0$ . Интеграл сходится.

$B$ симметрична, и $x^TBx = \int_0^\infty\|e^{tA}x\|^2\,dt > 0$ при $x\ne 0$ , так как $e^{tA}x\ne 0$ .

Далее,

A^TB + BA = \int_0^\infty\frac{d}{dt}\bigl(e^{tA^T}e^{tA}\bigr)\,dt = \Bigl[e^{tA^T}e^{tA}\Bigr]_0^\infty = -E.

Единственность: если $A^TB_0 + B_0A = 0$ , то $\frac{d}{dt}\bigl(e^{tA^T}B_0e^{tA}\bigr) = 0$ , так что $e^{tA^T}B_0e^{tA}\equiv B_0$ . Но левая часть стремится к нулю, значит, $B_0 = 0$ .

Наконец, $\dot V = (Ax)^TBx + x^TBAx = x^T(A^TB + BA)x = -x^Tx$ . $\blacksquare$

теорема

Устойчивость по первому приближению

Формулировка

Пусть $x' = Ax + g(x)$ , $g(x) = o(\|x\|)$ при $x\to 0$ .

Если все собственные значения $A$ имеют $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , то нулевое решение асимптотически устойчиво.
Если хотя бы одно собственное значение имеет $\operatorname{Re}\lambda > 0$ , то нулевое решение неустойчиво.

Доказательство

Развернуть

Возьмём $V = x^TBx$ из леммы о квадратичной функции Ляпунова. Для полной системы

\dot V = x^T(A^TB + BA)x + 2x^TBg(x) = -\|x\|^2 + 2x^TBg(x).

Выберем $\rho > 0$ так, чтобы $\|g(x)\|\le\frac{\|x\|}{4\|B\|}$ при $\|x\|\le\rho$ . Тогда $|2x^TBg(x)|\le\frac12\|x\|^2$ и $\dot V\le -\frac12\|x\|^2$ — отрицательно определена. По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости нуль асимптотически устойчив.

В курсе приводится без доказательства. Идея: в базисе, разделяющем собственные значения с $\operatorname{Re}\lambda > 0$ и остальные, строится квадратичная форма $V = V_+(x) - V_-(x)$ , удовлетворяющая условиям теоремы Четаева с учётом малости $g$ . $\blacksquare$

лемма

Критический случай первого приближения

Формулировка

Если $\max\operatorname{Re}\lambda = 0$ , то первое приближение не решает вопроса об устойчивости. Например, для уравнения $x' = ax^3$ первое приближение $x' = 0$ одно и то же при всех $a$ , но нулевое решение асимптотически устойчиво при $a < 0$ , неустойчиво при $a > 0$ и устойчиво (не асимптотически) при $a = 0$ .

Доказательство

Развернуть

При $a < 0$ : $V = x^2$ , $\dot V = 2ax^4 < 0$ при $x\ne 0$ , и по теореме Ляпунова нуль асимптотически устойчив.

При $a > 0$ : решение $x = \dfrac{x_0}{\sqrt{1 - 2ax_0^2(t - t_0)}}$ уходит на бесконечность за конечное время при любом $x_0\ne 0$ .

При $a = 0$ : решения постоянны. $\blacksquare$

Функция Ляпунова в критическом случае

Условие

Исследовать устойчивость нулевого решения системы $x' = -y - x^3$ , $y' = x - y^3$ .

Решение

Развернуть

Первое приближение $x' = -y$ , $y' = x$ — центр ( $\lambda = \pm i$ ), критический случай.

$V = x^2 + y^2$ : $\dot V = 2x(-y - x^3) + 2y(x - y^3) = -2(x^4 + y^4)$ — отрицательно определена. По теореме Ляпунова нуль асимптотически устойчив.

Неустойчивость по Четаеву

Условие

Доказать неустойчивость нулевого решения системы $x' = y^3 + x^5$ , $y' = x^3 + y^5$ .

Решение

Развернуть

Первое приближение нулевое, оно ничего не даёт. Возьмём $V = x^4 - y^4$ . Положительна в области $|x| > |y|$ , которая подходит к нулю. Далее,

\dot V = 4x^3(y^3 + x^5) - 4y^3(x^3 + y^5) = 4(x^8 - y^8) > 0\quad\text{при } |x| > |y|.

Условия теоремы Четаева выполнены, нуль неустойчив.

Устойчивость по первому приближению

Условие

Исследовать устойчивость нулевого решения системы

x' = e^{x + 2y} - \cos 3x,\qquad y' = \sqrt{4 + 8x} - 2e^y.

Решение

Развернуть

Матрица Якоби в нуле: $\partial_x(e^{x+2y} - \cos 3x) = 1$ , $\partial_y = 2$ ; $\partial_x\sqrt{4 + 8x} = \frac{8}{2\cdot 2} = 2$ , $\partial_y(-2e^y) = -2$ . Получаем

A = \begin{pmatrix}1&2\\2&-2\end{pmatrix},\qquad\lambda^2 + \lambda - 6 = 0,\qquad\lambda = 2,\ -3.

Есть $\lambda = 2 > 0$ — нулевое решение неустойчиво (точка покоя — седло первого приближения).

Первое приближение с параметром

Условие

При каких $a$ по первому приближению можно судить об устойчивости нулевого решения системы $x' = ax - y + x^2$ , $y' = x + ay$ , и каков ответ?

Решение

Развернуть

$A = \begin{pmatrix}a&-1\\1&a\end{pmatrix}$ , $\lambda = a\pm i$ .

$a < 0$ : асимптотически устойчиво;
$a > 0$ : неустойчиво;
$a = 0$ : критический случай ( $\lambda = \pm i$ ). Первое приближение ответа не даёт: при $V = x^2 + y^2$ получаем $\dot V = 2x^3$ , это знакопеременная функция, и нужно дополнительное исследование.

Решение уравнения Ляпунова

Условие

Для системы $x' = -x + y$ , $y' = -2y$ найти квадратичную форму $V$ с $\dot V = -(x^2 + y^2)$ .

Решение

Развернуть

$A = \begin{pmatrix}-1&1\\0&-2\end{pmatrix}$ , собственные значения $-1, -2$ . Ищем $B = \begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix}$ из уравнения $A^TB + BA = -E$ :

A^TB + BA = \begin{pmatrix}-2p&p - 3q\\p - 3q&2q - 4r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.

Отсюда $p = \frac12$ , $q = \frac16$ , $r = \frac13$ , и

V = \frac12x^2 + \frac13xy + \frac13y^2.

По критерию Сильвестра $\frac12 > 0$ и $\frac16 - \frac1{36} = \frac5{36} > 0$ , так что форма положительно определена. Проверка: $\dot V = (x + \tfrac13y)(-x + y) + (\tfrac13x + \tfrac23y)(-2y) = -x^2 - y^2$ .

Положения равновесия маятника с трением

Условие

Исследовать устойчивость положений равновесия уравнения $x'' + x' + \sin x = 0$ .

Решение

Развернуть

Система $x' = y$ , $y' = -\sin x - y$ ; точки покоя $(k\pi, 0)$ .

В точке $(0, 0)$ первое приближение $u'' + u' + u = 0$ : $\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$ , $\operatorname{Re}\lambda = -\frac12 < 0$ — асимптотически устойчиво (устойчивый фокус).

В точке $(\pi, 0)$ : $x = \pi + u$ , $\sin(\pi + u) = -\sin u\approx -u$ , первое приближение $u'' + u' - u = 0$ , $\lambda^2 + \lambda - 1 = 0$ , корни разных знаков — неустойчиво (седло).

Так же ведут себя точки $(2k\pi, 0)$ и $((2k + 1)\pi, 0)$ соответственно.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Знакоопределённые функции. Производная в силу системы

Пусть $V(x)\in C^1$ в окрестности $U$ точки $0\in\mathbb R^n$ , $V(0) = 0$ . Функция $V$ называется:

положительно определённой в $U$ , если $V(x) > 0$ при $x\ne 0$ ;
отрицательно определённой, если $V(x) < 0$ при $x\ne 0$ ;
знакопостоянной (неположительной или неотрицательной), если $V\le 0$ (соответственно $V\ge 0$ ) в $U$ .

Производной в силу автономной системы $x' = f(x)$ называется функция

\dot V(x) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x) = (\nabla V, f).

Вдоль решения $\frac{d}{dt}V(x(t)) = \dot V(x(t))$ . Положительно определённую функцию $V$ с $\dot V\le 0$ называют функцией Ляпунова.

Система первого приближения

Пусть $f\in C^1$ в окрестности нуля и $f(0) = 0$ . Систему $x' = f(x)$ можно записать в виде

x' = Ax + g(x),\qquad A = \frac{\partial f}{\partial x}(0),\qquad\frac{\|g(x)\|}{\|x\|}\to 0\ \text{при } x\to 0.

Линейная система $x' = Ax$ называется системой первого приближения (линеаризацией) в точке покоя $0$ . Для точки покоя $a\ne 0$ сначала переносят начало координат в $a$ .

Устойчивость по Ляпунову

Пусть $\varphi(t)$ — решение системы $x' = f(t, x)$ , определённое при $t\ge t_0$ . Оно называется устойчивым по Ляпунову, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что каждое решение $x(t)$ с

\|x(t_0) - \varphi(t_0)\| < \delta

определено при всех $t\ge t_0$ и удовлетворяет неравенству $\|x(t) - \varphi(t)\| < \varepsilon$ при всех $t\ge t_0$ .

Если это условие не выполнено, решение называется неустойчивым. Иными словами, существует $\varepsilon > 0$ такое, что при сколь угодно малом начальном отклонении найдётся решение, которое в некоторый момент отклонится от $\varphi$ на $\varepsilon$ .

Для одного уравнения $n$ -го порядка устойчивость понимается как устойчивость соответствующего решения эквивалентной нормальной системы, то есть по совокупности $y, y', \dots, y^{(n-1)}$ .

Асимптотическая устойчивость

Решение $\varphi(t)$ называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует $\delta_0 > 0$ такое, что для каждого решения с $\|x(t_0) - \varphi(t_0)\| < \delta_0$

\|x(t) - \varphi(t)\|\to 0\quad\text{при } t\to +\infty.

Одного условия стремления к нулю недостаточно: существуют неустойчивые решения, к которым все близкие решения стремятся.

Квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция $q(x) = b(x,x)$ , где $b$ — симметричная билинейная форма; $b$ называется полярной (присоединённой) к $q$ . В координатах

q(x) = \sum_{i,j=1}^nb_{ij}x_ix_j = \sum_ib_{ii}x_i^2 + 2\sum_{i<j}b_{ij}x_ix_j,\qquad b_{ij} = b_{ji}.

Знакоопределённые квадратичные формы

Квадратичная форма $q$ называется:

положительно определённой, если $q(x) > 0$ при $x\ne0$ ;
отрицательно определённой, если $q(x) < 0$ при $x\ne0$ ;
положительно (отрицательно) полуопределённой, если $q(x)\ge0$ ( $\le0$ ) для всех $x$ ;
знакопеременной, если она принимает значения разных знаков.

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Пусть функции $f_i(t, x)$ непрерывны в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ вместе с частными производными $\partial f_i/\partial x_j$ (достаточно локального условия Липшица по $x$ : $\|f(t, x) - f(t, y)\|\le L\|x - y\|$ ). Тогда для любой точки $(t_0, x^0)\in G$ задача Коши $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x^0$ имеет решение на некотором отрезке $|t - t_0|\le h$ , и любые два решения совпадают на общем интервале определения.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без доказательства. Оно дословно повторяет доказательство теоремы Коши–Пикара для одного уравнения. Модуль заменяется нормой вектора, прямоугольник — цилиндром $\{|t - t_0|\le a,\ \|x - x^0\|\le b\}$ , и используются неравенство $\left\|\int g\right\|\le\int\|g\|$ и лемма Гронуолла. Локальное условие Липшица следует из непрерывности производных по формуле конечных приращений: $f(t, x) - f(t, y) = \int_0^1f_x(t, y + \theta(x - y))\,d\theta\,(x - y)$ . $\blacksquare$

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Для системы $x' = Ax$ с постоянной матрицей $A$ :

нулевое решение асимптотически устойчиво $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda < 0$ для всех собственных значений $\lambda$ ;
оно устойчиво (но не асимптотически) $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ для всех $\lambda$ , есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ , и всем таким $\lambda$ отвечают жордановы клетки только размера $1$ ;
в остальных случаях оно неустойчиво: есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda > 0$ или с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и клеткой размера не меньше $2$ .

Доказательство

Развернуть

$e^{tA} = Te^{tJ}T^{-1}$ , а элементы $e^{tJ}$ — функции вида $\frac{t^j}{j!}e^{\lambda t}$ , где $j$ меньше размера клетки собственного значения $\lambda$ . Так как $|e^{\lambda t}| = e^{t\operatorname{Re}\lambda}$ :

если все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , все элементы стремятся к нулю, $e^{tA}\to 0$ , и нуль асимптотически устойчив;
если $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и для $\operatorname{Re}\lambda = 0$ клетки размера $1$ , то элементы с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ имеют модуль $1$ , а остальные стремятся к нулю. Значит, $e^{tA}$ ограничена, и нуль устойчив. Асимптотической устойчивости нет: решение $e^{\lambda t}h$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ (или его вещественная часть) не стремится к нулю.

Если $\operatorname{Re}\lambda > 0$ , то комплексное решение $e^{\lambda t}h$ неограничено. Так как $|e^{\lambda t}h|^2 = |u|^2 + |v|^2$ для вещественных решений $u = \operatorname{Re}$ , $v = \operatorname{Im}$ , одно из них неограничено. Если $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и есть клетка размера $\ge 2$ , то решение $e^{\lambda t}(h_2 + th_1)$ , где $h_1$ — собственный, а $h_2$ — присоединённый вектор, неограничено. В обоих случаях по критерию устойчивости линейной системы нуль неустойчив. $\blacksquare$

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

$\dfrac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}$ , и $e^{tA}$ — фундаментальная матрица системы $x' = Ax$ , нормированная при $t = 0$ . Решение задачи Коши: $x(t) = e^{(t - t_0)A}x^0$ .
$e^{(t + s)A} = e^{tA}e^{sA}$ , $\bigl(e^{tA}\bigr)^{-1} = e^{-tA}$ .
Если $AB = BA$ , то $e^{A + B} = e^Ae^B$ .
$e^{tTJT^{-1}} = Te^{tJ}T^{-1}$ для любой невырожденной $T$ .

Доказательство

Развернуть

Ряд $\sum t^kA^k/k!$ и ряд из производных $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)!$ сходятся равномерно на любом отрезке $|t|\le T$ (мажоранта $\sum T^k\|A\|^k/k!$ ). Поэтому ряд можно дифференцировать почленно: $(e^{tA})' = Ae^{tA}$ . Каждый столбец — решение, $e^{0A} = E$ .
Обе части как функции $t$ удовлетворяют уравнению $X' = AX$ и при $t = 0$ равны $e^{sA}$ . По единственности решения задачи Коши (применённой к каждому столбцу) они совпадают. При $s = -t$ получаем обратную матрицу.
Если $B$ коммутирует с $A$ , то она коммутирует со всеми степенями $A$ , а значит, с $e^{tA}$ . Тогда

\bigl(e^{tA}e^{tB}\bigr)' = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)e^{tA}e^{tB},

и $e^{tA}e^{tB}$ , $e^{t(A + B)}$ решают одну задачу Коши с начальным значением $E$ . При $t = 1$ получаем утверждение.

$(TJT^{-1})^k = TJ^kT^{-1}$ ; подставляем в ряд. $\blacksquare$

Сведение к исследованию нулевого решения

Формулировка

Замена $y = x - \varphi(t)$ переводит систему $x' = f(t, x)$ в систему

y' = g(t, y) := f(t, \varphi(t) + y) - f(t, \varphi(t)),\qquad g(t, 0)\equiv 0,

а решение $\varphi$ — в нулевое решение $y\equiv 0$ . Решение $\varphi$ устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) тогда и только тогда, когда этим свойством обладает нулевое решение новой системы.

Доказательство

Развернуть

$x(t)$ — решение исходной системы тогда и только тогда, когда $y(t) = x(t) - \varphi(t)$ — решение новой: $y' = f(t, x) - \varphi'(t) = f(t, \varphi + y) - f(t, \varphi)$ . При этом $\|x(t) - \varphi(t)\| = \|y(t) - 0\|$ , и определения устойчивости для $\varphi$ и для нуля дословно совпадают. $\blacksquare$

Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость по первому приближению

Теорема Ляпунова об устойчивости

Формулировка

Доказательство

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Формулировка

Доказательство

Теорема Четаева о неустойчивости

Формулировка

Доказательство

Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы

Формулировка

Доказательство

Устойчивость по первому приближению

Формулировка

Доказательство

Критический случай первого приближения

Формулировка

Доказательство

Функция Ляпунова в критическом случае

Условие

Решение

Неустойчивость по Четаеву

Условие

Решение

Устойчивость по первому приближению

Условие

Решение

Первое приближение с параметром

Условие

Решение

Решение уравнения Ляпунова

Условие

Решение

Положения равновесия маятника с трением

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Знакоопределённые функции. Производная в силу системы

Система первого приближения

Устойчивость по Ляпунову

Асимптотическая устойчивость

Квадратичная форма

Знакоопределённые квадратичные формы

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

Доказательство

Сведение к исследованию нулевого решения

Формулировка

Доказательство