Линейные системы дифференциальных уравнений

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы
Свойства решений линейной системы
Определитель Вронского системы решений
Существование ФСР и структура общего решения однородной системы
Формула Остроградского–Лиувилля для системы
Связь с линейным уравнением n-го порядка
Неоднородная система. Метод вариации постоянных

теорема

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Если $A(t)$ и $b(t)$ непрерывны на интервале $I$ , то для любых $t_0\in I$ , $x^0\in\mathbb R^n$ решение задачи Коши $x' = A(t)x + b(t)$ , $x(t_0) = x^0$ существует на всём интервале $I$ и единственно.

Доказательство

Развернуть

Именно это утверждение доказано в теореме о существовании решения линейного уравнения $n$ -го порядка на всём интервале: там доказательство проведено для векторного уравнения $z' = A(x)z + b(x)$ с произвольной непрерывной матрицей. Существенно, что правая часть линейна по $x$ и поэтому удовлетворяет условию Липшица с постоянной $\max\|A(t)\|$ во всей полосе $[\alpha, \beta]\times\mathbb R^n$ . Последовательные приближения не выходят ни из какой области, и решение существует на всём отрезке $[\alpha, \beta]$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства решений линейной системы

Формулировка

Линейная комбинация решений однородной системы $x' = A(t)x$ — решение; решения образуют линейное пространство.
Разность двух решений неоднородной системы — решение однородной.
Если $x' = A(t)x + b_i(t)$ для $x = x_i$ , то $\sum c_ix_i$ решает систему с правой частью $\sum c_ib_i$ (суперпозиция).
Если $A$ вещественна и $x = u + iv$ — комплексное решение однородной системы, то $u$ и $v$ — вещественные решения.

Доказательство

Развернуть

Все утверждения следуют из линейности отображения $x\mapsto x' - A(t)x$ . Например, для п. 4: $u' + iv' = A(u + iv) = Au + iAv$ , и при вещественной $A$ приравниваем вещественные и мнимые части. $\blacksquare$

теорема

Определитель Вронского системы решений

Формулировка

Если вектор-функции $x^{(1)}, \dots, x^{(n)}$ линейно зависимы на $I$ , то $W(t)\equiv 0$ на $I$ .
Если $x^{(1)}, \dots, x^{(n)}$ — решения однородной системы $x' = A(t)x$ с непрерывной на $I$ матрицей, то либо $W\equiv 0$ на $I$ и решения линейно зависимы, либо $W(t)\ne 0$ при всех $t\in I$ и решения линейно независимы.

Для произвольных вектор-функций из $W\equiv 0$ зависимость не следует.

Доказательство

Развернуть

Если $\sum c_kx^{(k)}(t) = 0$ при всех $t$ с ненулевым набором $c$ , то при каждом $t$ столбцы матрицы линейно зависимы, и $W(t) = 0$ .
Пусть $W(t_0) = 0$ . Тогда столбцы $x^{(k)}(t_0)$ зависимы: $\sum c_kx^{(k)}(t_0) = 0$ с ненулевым $c$ . Решение $x = \sum c_kx^{(k)}$ обращается в нуль при $t_0$ , и по единственности $x\equiv 0$ на $I$ . Значит, решения зависимы, и по п. 1 $W\equiv 0$ . Если $W$ нигде не обращается в нуль, решения независимы по п. 1.

Пример к последнему замечанию: $x^{(1)} = (t, 1)^T$ , $x^{(2)} = (t^2, t)^T$ независимы, но $W = t^2 - t^2\equiv 0$ . $\blacksquare$

теорема

Существование ФСР и структура общего решения однородной системы

Формулировка

Однородная система $x' = A(t)x$ имеет ФСР: например, решения с $x^{(k)}(t_0) = e_k$ .
Если $\Phi(t)$ — фундаментальная матрица, то общее решение

x = \Phi(t)C,\qquad C\in\mathbb R^n,

и пространство решений $n$ -мерно. 3. $\Phi' = A(t)\Phi$ , $\det\Phi(t)\ne 0$ ; любая другая фундаментальная матрица равна $\Phi(t)B$ с постоянной невырожденной $B$ . Решение задачи Коши: $x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0$ .

Доказательство

Развернуть

Решения с $x^{(k)}(t_0) = e_k$ существуют на $I$ , и $W(t_0) = \det E = 1$ , так что они независимы.
Пусть $x$ — решение. Система $\Phi(t_0)C = x(t_0)$ однозначно разрешима, так как $\det\Phi(t_0) = W(t_0)\ne 0$ . Решения $x$ и $\Phi C$ совпадают при $t_0$ , а значит, всюду.
Равенство $\Phi' = A\Phi$ — это запись того, что каждый столбец — решение. По теореме о вронскиане решений $\det\Phi\ne 0$ . Если $\Psi$ — другая фундаментальная матрица, то по п. 2 каждый её столбец равен $\Phi$ , умноженной на постоянный вектор, то есть $\Psi = \Phi B$ , причём $\det B\ne 0$ , так как $\det\Psi\ne 0$ . Наконец, $\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0$ — решение со значением $x^0$ при $t_0$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Остроградского–Лиувилля для системы

Формулировка

Для любых решений $x^{(1)}, \dots, x^{(n)}$ однородной системы $x' = A(t)x$

W(t) = W(t_0)\exp\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\Phi$ — матрица со столбцами $x^{(k)}$ . Производная $\det\Phi$ равна сумме определителей $D_i$ , в каждом из которых продифференцирована $i$ -я строка. Обозначим через $\Phi_k$ $k$ -ю строку матрицы $\Phi$ . Из $\Phi' = A\Phi$ следует, что $i$ -я строка $\Phi'$ равна $\sum_ka_{ik}\Phi_k$ .

По линейности определителя по строке $D_i = \sum_ka_{ik}\det(\dots)$ , где на $i$ -м месте стоит $k$ -я строка $\Phi$ . При $k\ne i$ получаются две равные строки и определитель равен нулю, а при $k = i$ — исходный определитель. Поэтому $D_i = a_{ii}W$ , и

W' = (a_{11} + \dots + a_{nn})W = \operatorname{tr}A(t)\,W.

Решение этого линейного уравнения даёт формулу. $\blacksquare$

следствие

Связь с линейным уравнением n-го порядка

Формулировка

При сведении уравнения $y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny = 0$ к системе $z' = A(t)z$ , $z = (y, \dots, y^{(n-1)})^T$ , решениям $y_1, \dots, y_n$ уравнения отвечают решения системы, и вронскиан системы совпадает с вронскианом уравнения. Формула Лиувилля для системы переходит в формулу Остроградского–Лиувилля для уравнения.

Доказательство

Развернуть

Столбец, отвечающий $y_k$ , равен $(y_k, y_k', \dots, y_k^{(n-1)})^T$ — это $k$ -й столбец вронскиана уравнения, поэтому определители совпадают. У матрицы $A$ этой системы все диагональные элементы, кроме последнего, равны нулю, а последний равен $-p_1$ . Значит, $\operatorname{tr}A = -p_1$ , и $\exp\int\operatorname{tr}A = \exp\left(-\int p_1\right)$ . $\blacksquare$

теорема

Неоднородная система. Метод вариации постоянных

Формулировка

Пусть $\Phi(t)$ — фундаментальная матрица однородной системы. Тогда:

общее решение неоднородной системы $x' = A(t)x + b(t)$ — сумма частного решения и общего решения $\Phi(t)C$ однородной;
частное решение даёт метод вариации постоянных: $x = \Phi(t)C(t)$ , где $\Phi(t)C'(t) = b(t)$ ;
решение задачи Коши (формула Коши):

x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0 + \int_{t_0}^t\Phi(t)\Phi^{-1}(s)b(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Разность двух решений неоднородной системы — решение однородной, то есть равна $\Phi C$ .
Для $x = \Phi C(t)$ : $x' = \Phi'C + \Phi C' = A\Phi C + \Phi C' = Ax + \Phi C'$ . Поэтому $x' = Ax + b$ равносильно $\Phi C' = b$ , то есть $C' = \Phi^{-1}b$ , где $\Phi^{-1}$ непрерывна.
Возьмём $C(t) = \Phi^{-1}(t_0)x^0 + \int_{t_0}^t\Phi^{-1}(s)b(s)\,ds$ . Тогда $x = \Phi C$ — решение и $x(t_0) = x^0$ . $\blacksquare$

Вронскиан, равный нулю, у независимых вектор-функций

Условие

Показать, что вектор-функции $x^{(1)} = (t, 1)^T$ и $x^{(2)} = (t^2, t)^T$ линейно независимы на любом интервале, хотя их вронскиан тождественно равен нулю. Могут ли они быть решениями однородной линейной системы второго порядка с непрерывными коэффициентами?

Решение

Развернуть

$W = \begin{vmatrix}t&t^2\\1&t\end{vmatrix} = t^2 - t^2 = 0$ .

Если $c_1(t, 1) + c_2(t^2, t)\equiv 0$ , то из второй компоненты $c_1 + c_2t\equiv 0$ , откуда $c_1 = c_2 = 0$ . Функции независимы.

Для решений системы $x' = A(t)x$ с непрерывной $A$ тождество $W\equiv 0$ означало бы зависимость. Поэтому ответ отрицательный ни на каком интервале.

Вронскиан по формуле Лиувилля

Условие

Решения $x^{(1)}, x^{(2)}$ системы

x' = \begin{pmatrix}t&e^t\\-e^{-t}&t\end{pmatrix}x

таковы, что $W(0) = 3$ . Найти $W(t)$ .

Решение

Развернуть

$\operatorname{tr}A = 2t$ , поэтому $W(t) = 3\exp\int_0^t2s\,ds = 3e^{t^2}$ .

Вариация постоянных для системы

Условие

Решить систему

x' = y,\qquad y' = -x + \frac1{\cos t},\qquad |t| < \frac\pi2,

если $\Phi(t) = \begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ — фундаментальная матрица однородной системы.

Решение

Развернуть

$\det\Phi = 1$ , $\Phi^{-1}(s) = \begin{pmatrix}\cos s&-\sin s\\\sin s&\cos s\end{pmatrix}$ , $b = (0, 1/\cos s)^T$ , и

\Phi^{-1}(s)b(s) = \begin{pmatrix}-\operatorname{tg}s\\1\end{pmatrix},\qquad C(t) = \int\Phi^{-1}b\,ds = \begin{pmatrix}\ln\cos t\\t\end{pmatrix} + C.

Частное решение:

\tilde x = \Phi(t)\begin{pmatrix}\ln\cos t\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos t\ln\cos t + t\sin t\\-\sin t\ln\cos t + t\cos t\end{pmatrix}.

Ответ: $(x, y)^T = \tilde x + \Phi(t)(C_1, C_2)^T$ . Сравните с решением уравнения $y'' + y = 1/\cos x$ вариацией постоянных: это та же задача.

Система по фундаментальной матрице и задача Коши

Условие

Проверить, что $\Phi(t) = \begin{pmatrix}e^t&te^t\\0&e^t\end{pmatrix}$ — фундаментальная матрица некоторой однородной системы, найти эту систему и решить для неё задачу Коши $x(0) = (1, 2)^T$ .

Решение

Развернуть

$\det\Phi = e^{2t}\ne 0$ . Из $\Phi' = A\Phi$ находим $A = \Phi'\Phi^{-1}$ :

\Phi' = \begin{pmatrix}e^t&(1 + t)e^t\\0&e^t\end{pmatrix},\quad\Phi^{-1} = \begin{pmatrix}e^{-t}&-te^{-t}\\0&e^{-t}\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

Так как $\Phi(0) = E$ , решение задачи Коши $x = \Phi(t)x^0 = \bigl((1 + 2t)e^t,\ 2e^t\bigr)^T$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейная система дифференциальных уравнений

Линейной системой называется нормальная система вида

x' = A(t)x + b(t),

где матрица $A(t) = (a_{ij}(t))_{n\times n}$ и вектор $b(t)$ непрерывны на интервале $I$ . При $b\equiv 0$ система называется однородной, иначе — неоднородной.

Линейная зависимость вектор-функций. Определитель Вронского системы

Вектор-функции $x^{(1)}(t), \dots, x^{(n)}(t)$ со значениями в $\mathbb R^n$ (или $\mathbb C^n$ ) называются линейно зависимыми на $I$ , если существуют числа $c_1, \dots, c_n$ , не все равные нулю, такие что $\sum c_kx^{(k)}(t) = 0$ при всех $t\in I$ . Иначе они линейно независимы на $I$ .

Определителем Вронского этих вектор-функций называется

W(t) = \det\bigl(x^{(1)}(t), \dots, x^{(n)}(t)\bigr)

— определитель матрицы со столбцами $x^{(k)}(t)$ .

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица системы

Фундаментальной системой решений однородной системы $x' = A(t)x$ порядка $n$ называется любой набор из $n$ линейно независимых на $I$ решений.

Матрица $\Phi(t)$ , столбцы которой образуют ФСР, называется фундаментальной матрицей. Если $\Phi(t_0) = E$ , она называется нормированной в точке $t_0$ .

Определитель Вронского

Определителем Вронского (вронскианом) функций $y_1, \dots, y_n\in C^{n-1}(I)$ называется функция

W(x) = W[y_1, \dots, y_n](x) = \begin{vmatrix}y_1&y_2&\dots&y_n\\ y_1'&y_2'&\dots&y_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\dots&y_n^{(n-1)}\end{vmatrix}.

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале

Формулировка

Пусть $p_1, \dots, p_n, f$ непрерывны на интервале $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ и чисел $y_0, y_0', \dots, y_0^{(n-1)}$ уравнение $L[y] = f$ имеет решение с этими начальными условиями, определённое на всём интервале $I$ , и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

Вектор $z = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^T$ удовлетворяет линейной системе $z' = A(x)z + b(x)$ . Здесь матрица $A$ имеет единицы над диагональю, последняя строка равна $(-p_n, \dots, -p_1)$ , остальные элементы нулевые, а $b = (0, \dots, 0, f)^T$ . Обратно, первая компонента решения системы — решение уравнения. Докажем утверждение для системы $z' = A(x)z + b(x)$ с непрерывными $A$ , $b$ .

Возьмём любой отрезок $[\alpha, \beta]\subset I$ , содержащий $x_0$ . На нём $\|A(x)\|\le K$ , $\|A(x)z_0 + b(x)\|\le M$ . Приближения

z_0(x)\equiv z_0,\qquad z_{k+1}(x) = z_0 + \int_{x_0}^x\bigl(A(t)z_k(t) + b(t)\bigr)\,dt

определены на всём $[\alpha, \beta]$ : правая часть линейна по $z$ , ограничений вида $\|z - z_0\|\le b$ не нужно. Как в теореме Коши–Пикара,

\|z_{k+1}(x) - z_k(x)\|\le\frac{MK^k|x - x_0|^{k+1}}{(k + 1)!},

поэтому $z_k$ равномерно сходятся на $[\alpha, \beta]$ к решению интегрального уравнения.

Единственность: для разности $u$ двух решений $\|u(x)\|\le K\left|\int_{x_0}^x\|u\|\,dt\right|$ , и по лемме Гронуолла $u\equiv 0$ . Поэтому решения, построенные на разных отрезках, совпадают на их пересечении. Взяв последовательность отрезков, исчерпывающих $I$ , получаем решение на всём $I$ . $\blacksquare$

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Пусть функции $f_i(t, x)$ непрерывны в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ вместе с частными производными $\partial f_i/\partial x_j$ (достаточно локального условия Липшица по $x$ : $\|f(t, x) - f(t, y)\|\le L\|x - y\|$ ). Тогда для любой точки $(t_0, x^0)\in G$ задача Коши $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x^0$ имеет решение на некотором отрезке $|t - t_0|\le h$ , и любые два решения совпадают на общем интервале определения.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без доказательства. Оно дословно повторяет доказательство теоремы Коши–Пикара для одного уравнения. Модуль заменяется нормой вектора, прямоугольник — цилиндром $\{|t - t_0|\le a,\ \|x - x^0\|\le b\}$ , и используются неравенство $\left\|\int g\right\|\le\int\|g\|$ и лемма Гронуолла. Локальное условие Липшица следует из непрерывности производных по формуле конечных приращений: $f(t, x) - f(t, y) = \int_0^1f_x(t, y + \theta(x - y))\,d\theta\,(x - y)$ . $\blacksquare$

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

$\dfrac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}$ , и $e^{tA}$ — фундаментальная матрица системы $x' = Ax$ , нормированная при $t = 0$ . Решение задачи Коши: $x(t) = e^{(t - t_0)A}x^0$ .
$e^{(t + s)A} = e^{tA}e^{sA}$ , $\bigl(e^{tA}\bigr)^{-1} = e^{-tA}$ .
Если $AB = BA$ , то $e^{A + B} = e^Ae^B$ .
$e^{tTJT^{-1}} = Te^{tJ}T^{-1}$ для любой невырожденной $T$ .

Доказательство

Развернуть

Ряд $\sum t^kA^k/k!$ и ряд из производных $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)!$ сходятся равномерно на любом отрезке $|t|\le T$ (мажоранта $\sum T^k\|A\|^k/k!$ ). Поэтому ряд можно дифференцировать почленно: $(e^{tA})' = Ae^{tA}$ . Каждый столбец — решение, $e^{0A} = E$ .
Обе части как функции $t$ удовлетворяют уравнению $X' = AX$ и при $t = 0$ равны $e^{sA}$ . По единственности решения задачи Коши (применённой к каждому столбцу) они совпадают. При $s = -t$ получаем обратную матрицу.
Если $B$ коммутирует с $A$ , то она коммутирует со всеми степенями $A$ , а значит, с $e^{tA}$ . Тогда

\bigl(e^{tA}e^{tB}\bigr)' = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)e^{tA}e^{tB},

и $e^{tA}e^{tB}$ , $e^{t(A + B)}$ решают одну задачу Коши с начальным значением $E$ . При $t = 1$ получаем утверждение.

$(TJT^{-1})^k = TJ^kT^{-1}$ ; подставляем в ряд. $\blacksquare$

Вещественная ФСР при комплексных собственных значениях

Формулировка

Пусть $A$ вещественна, $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne 0$ , — её собственное значение с собственным вектором $h = a + ib$ . Тогда

\operatorname{Re}\bigl(e^{\lambda t}h\bigr) = e^{\alpha t}(a\cos\beta t - b\sin\beta t),\qquad\operatorname{Im}\bigl(e^{\lambda t}h\bigr) = e^{\alpha t}(a\sin\beta t + b\cos\beta t)

— вещественные решения. Заменив в ФСР пару комплексно сопряжённых решений $e^{\lambda t}h$ , $e^{\bar\lambda t}\bar h$ этими двумя функциями, получим вещественную ФСР.

Доказательство

Развернуть

По свойствам решений вещественной системы вещественная и мнимая части комплексного решения — решения. Так как $A\bar h = \overline{Ah} = \bar\lambda\bar h$ , сопряжённое решение $e^{\bar\lambda t}\bar h$ тоже входит в ФСР. Пара $(e^{\lambda t}h, e^{\bar\lambda t}\bar h)$ и пара $(\operatorname{Re}, \operatorname{Im})$ выражаются друг через друга невырожденным преобразованием $u\pm iv$ , поэтому линейная независимость сохраняется. $\blacksquare$

Устойчивость решений линейной системы

Формулировка

Все решения линейной системы $x' = A(t)x + b(t)$ одновременно устойчивы, асимптотически устойчивы или неустойчивы — а именно так же, как нулевое решение однородной системы $x' = A(t)x$ .

Поэтому говорят об устойчивости линейной системы в целом.

Доказательство

Развернуть

Для любого решения $\varphi$ отклонение $y = x - \varphi$ удовлетворяет системе $y' = A(t)(\varphi + y) + b - A(t)\varphi - b = A(t)y$ , которая не зависит от $\varphi$ . По лемме о сведении к нулевому решению устойчивость $\varphi$ равносильна устойчивости нуля однородной системы. $\blacksquare$

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Если матрица $A$ имеет базис из собственных векторов $h_1, \dots, h_n$ , $Ah_k = \lambda_kh_k$ (в частности, если все корни характеристического уравнения различны), то

e^{\lambda_1t}h_1,\ \dots,\ e^{\lambda_nt}h_n

— ФСР системы $x' = Ax$ , и общее решение $x = \sum_kC_ke^{\lambda_kt}h_k$ .

Доказательство

Развернуть

Каждая функция — решение по лемме о решениях вида $e^{\lambda t}h$ . Вронскиан при $t = 0$ равен $\det(h_1, \dots, h_n)\ne 0$ , так как векторы образуют базис. Значит, решения независимы. При различных собственных значениях собственные векторы линейно независимы, и $n$ таких векторов образуют базис. $\blacksquare$

Критерий устойчивости линейной однородной системы

Формулировка

Пусть $X(t)$ — фундаментальная матрица системы $x' = A(t)x$ , нормированная при $t_0$ . Нулевое решение:

устойчиво $\iff$ все решения ограничены на $[t_0, +\infty)$ $\iff$ матрица $X(t)$ ограничена на $[t_0, +\infty)$ ;
асимптотически устойчиво $\iff$ все решения стремятся к нулю при $t\to+\infty$ $\iff$ $X(t)\to 0$ .

Доказательство

Развернуть

Решение с $x(t_0) = x^0$ равно $X(t)x^0$ , и $\|x(t)\|\le\|X(t)\|\,\|x^0\|$ .

Если $\|X(t)\|\le M$ при $t\ge t_0$ , то для данного $\varepsilon$ годится $\delta = \varepsilon/M$ . Обратно, пусть нуль устойчив, и $\delta$ отвечает $\varepsilon = 1$ . Решения с начальными данными $\frac\delta2e_k$ по норме меньше $1$ , то есть столбцы $X(t)$ ограничены числом $2/\delta$ . Ограниченность всех решений равносильна ограниченности столбцов $X(t)$ .
Если $X(t)\to 0$ , то все решения стремятся к нулю, и $X$ ограничена (непрерывна и имеет предел), так что нуль устойчив, а значит, асимптотически устойчив. Обратно, если решения с $\|x^0\| < \delta_0$ стремятся к нулю, то по линейности к нулю стремятся все решения, в частности столбцы $X(t)$ . $\blacksquare$

Линейность определителя по строке

Формулировка

Если $i$ -я строка матрицы $A$ имеет вид $a_i = \alpha b + \beta c$ , где $b, c$ — строки той же длины, то

\det A = \alpha \det A_b + \beta \det A_c,

где $A_b$ и $A_c$ получены из $A$ заменой $i$ -й строки на $b$ и на $c$ соответственно. В частности, общий множитель строки можно вынести за знак определителя, а определитель с нулевой строкой равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Каждое слагаемое в определении $\det A$ содержит ровно один множитель из $i$ -й строки:

a_{i\sigma(i)} = \alpha b_{\sigma(i)} + \beta c_{\sigma(i)}.

Раскрыв скобки и разбив сумму на две, получаем $\alpha\det A_b + \beta\det A_c$ . При $\alpha = 0$ (нулевая строка $a_i = 0\cdot b$ ) получаем $\det A = 0$ . $\blacksquare$

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Для элементарных матриц $\det P_{ij} = -1$ , $\det D_i(\lambda) = \lambda$ , $\det T_{ij}(\lambda) = 1$ . Для любой элементарной матрицы $S$ и квадратной $A$ того же порядка $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Всё сказанное, а также линейность по строке и смена знака при перестановке строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Если $a_j = \lambda a_i$ , то $\det A = \lambda\cdot(\text{определитель с равными строками}) = 0$ , так как определитель с двумя равными строками равен нулю.
По линейности $\det(\dots, a_i + \lambda a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A$ .
Сначала $\det E = 1$ : в сумме из определения ненулевое лишь слагаемое с $\sigma = \varepsilon$ . Элементарные преобразования типов 1, 2, 3 умножают определитель соответственно на $-1$ , $\lambda$ , $1$ (по свойствам перестановки строк, линейности и пункту 2). Применяя их к $E$ , получаем указанные значения $\det S$ . Применяя их к $A$ и учитывая, что $SA$ — результат того же преобразования, получаем $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе

Формулировка

Функция $y(t)$ — решение уравнения $y^{(n)} = f\bigl(t, y, y', \dots, y^{(n-1)}\bigr)$ тогда и только тогда, когда вектор $x = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^T$ — решение нормальной системы

x_1' = x_2,\quad\dots,\quad x_{n-1}' = x_n,\quad x_n' = f(t, x_1, \dots, x_n).

При этом начальные условия задачи Коши для уравнения переходят в условие $x(t_0) = x^0$ . В частности, теорема Коши для уравнения $n$ -го порядка следует из теоремы Коши для систем.

Доказательство

Развернуть

Если $y$ — решение уравнения, то для $x_k = y^{(k-1)}$ первые $n - 1$ уравнений системы выполнены по определению, а последнее совпадает с исходным уравнением.

Обратно, если $x$ — решение системы, то из первых уравнений $x_k = x_1^{(k-1)}$ , и последнее даёт $x_1^{(n)} = f(t, x_1, \dots, x_1^{(n-1)})$ . Правая часть системы непрерывна и липшицева по $x$ , если этим свойством обладает $f$ , так что применима теорема Коши для систем. $\blacksquare$

Формула Остроградского–Лиувилля

Формулировка

Для любых решений $y_1, \dots, y_n$ уравнения $y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_n(x)y = 0$ с непрерывными на $I$ коэффициентами

W(x) = W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp_1(t)\,dt\right),\qquad x, x_0\in I.

Доказательство

Развернуть

Производная определителя, элементы которого — дифференцируемые функции, равна сумме $n$ определителей, в каждом из которых продифференцирована одна строка. Это следует из формулы полного развёртывания и правила дифференцирования произведения.

Если продифференцировать строку с номером $j < n$ (производные порядка $j - 1$ ), получится строка производных порядка $j$ , совпадающая со следующей строкой. Такой определитель равен нулю.

Остаётся определитель с продифференцированной последней строкой $\bigl(y_1^{(n)}, \dots, y_n^{(n)}\bigr)$ . Из уравнения

y_k^{(n)} = -p_1y_k^{(n-1)} - p_2y_k^{(n-2)} - \dots - p_ny_k.

По линейности определителя по строке он распадается на сумму. Слагаемые с $p_2, \dots, p_n$ содержат строку, пропорциональную одной из предыдущих, и равны нулю, а слагаемое с $p_1$ равно $-p_1W$ . Итак, $W' = -p_1W$ — линейное однородное уравнение первого порядка, откуда следует формула. $\blacksquare$

Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

Формулировка

Пусть $b(t) = e^{\gamma t}p(t)$ , где $p$ — вектор-многочлен степени $m$ , а $\gamma$ — собственное значение матрицы $A$ кратности $s$ ( $s = 0$ , если $\gamma$ не собственное значение). Тогда система $x' = Ax + b(t)$ имеет частное решение

\tilde x = e^{\gamma t}q(t),\qquad\deg q\le m + s.

Доказательство

Развернуть

Подстановка $x = e^{\gamma t}u$ даёт $u' = Bu + p$ , где $B = A - \gamma E$ . Разложим пространство в прямую сумму $K_\gamma\oplus V'$ , где $V'$ — сумма остальных корневых подпространств. Оба слагаемых инвариантны относительно $B$ , так что задача распадается на две.

На $V'$ оператор $B$ обратим. Ищем полиномиальное решение $u = u_0 + \dots + u_mt^m$ : из $Bu = u' - p$ , приравнивая коэффициенты от старшего к младшему, последовательно находим $u_m = -B^{-1}p_m$ , $u_{m-1} = B^{-1}(mu_m - p_{m-1})$ и т. д. Степень не превосходит $m$ .

На $K_\gamma$ (при $s > 0$ ) имеем $B^s = 0$ , так как $\dim K_\gamma = s$ . По формуле Коши решение с $u(0) = 0$ :

u(t) = \int_0^te^{(t - \tau)B}p(\tau)\,d\tau = \sum_{j=0}^{s-1}B^j\int_0^t\frac{(t - \tau)^j}{j!}p(\tau)\,d\tau,

и каждое слагаемое — многочлен степени не выше $m + j + 1\le m + s$ . $\blacksquare$

Линейные системы дифференциальных уравнений

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Доказательство

Свойства решений линейной системы

Формулировка

Доказательство

Определитель Вронского системы решений

Формулировка

Доказательство

Существование ФСР и структура общего решения однородной системы

Формулировка

Доказательство

Формула Остроградского–Лиувилля для системы

Формулировка

Доказательство

Связь с линейным уравнением n-го порядка

Формулировка

Доказательство

Неоднородная система. Метод вариации постоянных

Формулировка

Доказательство

Вронскиан, равный нулю, у независимых вектор-функций

Условие

Решение

Вронскиан по формуле Лиувилля

Условие

Решение

Вариация постоянных для системы

Условие

Решение

Система по фундаментальной матрице и задача Коши

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейная система дифференциальных уравнений

Линейная зависимость вектор-функций. Определитель Вронского системы

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица системы

Определитель Вронского

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Доказательство

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

Доказательство

Вещественная ФСР при комплексных собственных значениях

Формулировка

Доказательство

Устойчивость решений линейной системы

Формулировка

Доказательство

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Критерий устойчивости линейной однородной системы

Формулировка

Доказательство

Линейность определителя по строке

Формулировка

Доказательство

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Доказательство

Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе

Формулировка

Доказательство

Формула Остроградского–Лиувилля

Формулировка

Доказательство

Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

Формулировка

Доказательство