Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных

Прогресс изучения0 из 4

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы4

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
Принцип суперпозиции
Метод Лагранжа вариации постоянных
Представление решения через функцию Коши

теорема

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Формулировка

Если $\tilde y$ — частное решение уравнения $L[y] = f$ , а $y_1, \dots, y_n$ — ФСР однородного уравнения $L[y] = 0$ , то общее решение неоднородного уравнения

y = \tilde y + C_1y_1 + \dots + C_ny_n.

Доказательство

Развернуть

По линейности $L[\tilde y + \sum C_ky_k] = f + 0 = f$ .

Обратно, для любого решения $y$ разность $y - \tilde y$ удовлетворяет уравнению $L[y - \tilde y] = f - f = 0$ . По теореме о структуре общего решения однородного уравнения $y - \tilde y = \sum C_ky_k$ . $\blacksquare$

следствие

Принцип суперпозиции

Формулировка

Если $L[y_i] = f_i$ , $i = 1, \dots, m$ , то $L\left[\sum c_iy_i\right] = \sum c_if_i$ .
Если коэффициенты $p_k$ вещественны и $L[u + iv] = f_1 + if_2$ с вещественными $u, v, f_1, f_2$ , то $L[u] = f_1$ , $L[v] = f_2$ .

Доказательство

Развернуть

Следует из линейности оператора $L$ .
$L[u] + iL[v] = f_1 + if_2$ , причём при вещественных коэффициентах $L[u]$ , $L[v]$ вещественны. Приравниваем вещественные и мнимые части. $\blacksquare$

теорема

Метод Лагранжа вариации постоянных

Формулировка

Пусть $y_1, \dots, y_n$ — ФСР уравнения $L[y] = 0$ , где $L[y] = y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny$ . Если непрерывно дифференцируемые функции $C_1(x), \dots, C_n(x)$ удовлетворяют системе

\begin{cases} C_1'y_1 + \dots + C_n'y_n = 0,\\ C_1'y_1' + \dots + C_n'y_n' = 0,\\ \quad\dots\\ C_1'y_1^{(n-2)} + \dots + C_n'y_n^{(n-2)} = 0,\\ C_1'y_1^{(n-1)} + \dots + C_n'y_n^{(n-1)} = f(x), \end{cases}

то $y = C_1(x)y_1 + \dots + C_n(x)y_n$ — решение уравнения $L[y] = f$ . Система однозначно разрешима относительно $C_k'$ , и $C_k'$ непрерывны.

Доказательство

Развернуть

Определитель системы — вронскиан $W(x)\ne 0$ , поэтому $C_k' = W_k(x)/W(x)$ (по Крамеру), где $W_k$ — определитель, в котором $k$ -й столбец заменён на $(0, \dots, 0, f)^T$ . Эти функции непрерывны, и $C_k$ находятся интегрированием.

Продифференцируем $y = \sum C_ky_k$ . Благодаря первым $n - 1$ уравнениям системы слагаемые с $C_k'$ пропадают при каждом из первых $n - 1$ дифференцирований:

y^{(j)} = \sum_kC_ky_k^{(j)},\quad j = 0, \dots, n-1;\qquad y^{(n)} = \sum_kC_ky_k^{(n)} + \sum_kC_k'y_k^{(n-1)} = \sum_kC_ky_k^{(n)} + f.

Подставляя в $L$ , получаем $L[y] = \sum_kC_kL[y_k] + f = f$ . $\blacksquare$

теорема

Представление решения через функцию Коши

Формулировка

Пусть $K(x, s)$ — функция Коши уравнения $L[y] = 0$ . Тогда функция

y(x) = \int_{x_0}^xK(x, s)f(s)\,ds

— решение уравнения $L[y] = f$ с нулевыми начальными условиями $y(x_0) = \dots = y^{(n-1)}(x_0) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Воспользуемся правилом дифференцирования интеграла, зависящего от параметра и с переменным верхним пределом:

\frac{d}{dx}\int_{x_0}^xg(x, s)\,ds = g(x, x) + \int_{x_0}^xg_x(x, s)\,ds.

Применяя его последовательно и учитывая, что по определению $K^{(j)}_x(x, x) = 0$ при $j\le n-2$ , получаем при $j\le n-1$

y^{(j)}(x) = \int_{x_0}^xK^{(j)}_x(x, s)f(s)\,ds,

и все $y^{(j)}(x_0) = 0$ . На последнем шаге $K^{(n-1)}_x(x, x) = 1$ , так что

y^{(n)}(x) = f(x) + \int_{x_0}^xK^{(n)}_x(x, s)f(s)\,ds.

Следовательно, $L[y] = f(x) + \int_{x_0}^xL_x[K(x, s)]f(s)\,ds = f(x)$ . $\blacksquare$

Вариация постоянных для y'' + y = 1/cos x

Условие

Решить уравнение $y'' + y = \dfrac1{\cos x}$ на интервале $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . ФСР однородного уравнения: $\cos x$ , $\sin x$ .

Решение

Развернуть

$y = C_1(x)\cos x + C_2(x)\sin x$ , система:

C_1'\cos x + C_2'\sin x = 0,\qquad -C_1'\sin x + C_2'\cos x = \frac1{\cos x}.

$W = 1$ , откуда $C_1' = -\operatorname{tg}x$ , $C_2' = 1$ . Значит, $C_1 = \ln\cos x + \bar C_1$ , $C_2 = x + \bar C_2$ .

Ответ: $y = \bar C_1\cos x + \bar C_2\sin x + \cos x\ln\cos x + x\sin x$ .

Вариация постоянных при кратном корне

Условие

Решить уравнение $y'' - 2y' + y = \dfrac{e^x}{x}$ , $x > 0$ . ФСР однородного уравнения: $e^x$ , $xe^x$ .

Решение

Развернуть

$W = e^x(x + 1)e^x - e^x\cdot xe^x = e^{2x}$ . По формулам Крамера

C_1' = -\frac{xe^x\cdot e^x/x}{e^{2x}} = -1,\qquad C_2' = \frac{e^x\cdot e^x/x}{e^{2x}} = \frac1x.

Получаем $C_1 = -x$ , $C_2 = \ln x$ , и частное решение $\tilde y = -xe^x + xe^x\ln x$ . Слагаемое $-xe^x$ входит в общее решение однородного уравнения.

Ответ: $y = (C_1 + C_2x)e^x + xe^x\ln x$ .

Функция Коши уравнения y'' + y = f

Условие

Найти функцию Коши уравнения $y'' + y = 0$ и записать решение задачи $y'' + y = f(x)$ , $y(0) = y'(0) = 0$ . Вычислить его при $f\equiv 1$ .

Решение

Развернуть

$K(x, s) = A(s)\cos x + B(s)\sin x$ , $K|_{x=s} = 0$ , $K'_x|_{x=s} = 1$ . Отсюда $K(x, s) = \sin(x - s)$ : эта функция — решение по $x$ , обращается в нуль при $x = s$ и имеет там производную $1$ .

Решение задачи:

y(x) = \int_0^x\sin(x - s)f(s)\,ds.

При $f\equiv 1$ : $y = \int_0^x\sin(x - s)\,ds = 1 - \cos x$ . Проверка: $y'' + y = \cos x + 1 - \cos x = 1$ .

Уравнение с переменными коэффициентами и известной ФСР

Условие

Решить уравнение $x^2y'' - 2xy' + 2y = x^3$ , $x > 0$ , если известно, что $y_1 = x$ , $y_2 = x^2$ — решения однородного уравнения.

Решение

Развернуть

Приведённый вид: $y'' - \dfrac2xy' + \dfrac2{x^2}y = x$ , так что $f = x$ . $W = x\cdot 2x - x^2 = x^2$ . Тогда

C_1' = -\frac{x^2\cdot x}{x^2} = -x,\qquad C_2' = \frac{x\cdot x}{x^2} = 1,

$C_1 = -\frac{x^2}2$ , $C_2 = x$ , и $\tilde y = -\frac{x^3}2 + x^3 = \frac{x^3}2$ .

Ответ: $y = C_1x + C_2x^2 + \frac{x^3}2$ . Проверка частного решения: $x^2\cdot 3x - 2x\cdot\frac{3x^2}2 + x^3 = x^3$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Функция Коши линейного уравнения

Функцией Коши уравнения $L[y] = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_n(x)y = 0$ называется функция $K(x, s)$ , $x, s\in I$ , которая при каждом фиксированном $s$ является решением этого уравнения (по $x$ ) с начальными условиями

K\big|_{x=s} = 0,\quad K'_x\big|_{x=s} = 0,\quad\dots,\quad K^{(n-2)}_x\big|_{x=s} = 0,\quad K^{(n-1)}_x\big|_{x=s} = 1.

Если $y_1, \dots, y_n$ — ФСР, то $K(x, s) = \sum_kc_k(s)y_k(x)$ , где коэффициенты $c_k(s)$ находятся из линейной системы с матрицей Вронского $W(s)$ . Поэтому $K$ непрерывна вместе с производными по $x$ до порядка $n$ .

Линейное уравнение n-го порядка. Линейный дифференциальный оператор

Линейным уравнением $n$ -го порядка называется уравнение

a_0(x)y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_n(x)y = f(x),

где $a_i$ , $f$ непрерывны на интервале $I$ и $a_0(x)\ne 0$ на $I$ . Деля на $a_0$ , приводим его к виду

L[y] \equiv y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_n(x)y = f(x).

Отображение $L\colon C^n(I)\to C(I)$ называется линейным дифференциальным оператором. Уравнение $L[y] = 0$ называется однородным, уравнение $L[y] = f$ с $f\not\equiv 0$ — неоднородным.

Фундаментальная система решений линейного уравнения

Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного уравнения $L[y] = 0$ $n$ -го порядка на интервале $I$ называется любой набор из $n$ линейно независимых на $I$ решений этого уравнения.

Определитель Вронского

Определителем Вронского (вронскианом) функций $y_1, \dots, y_n\in C^{n-1}(I)$ называется функция

W(x) = W[y_1, \dots, y_n](x) = \begin{vmatrix}y_1&y_2&\dots&y_n\\ y_1'&y_2'&\dots&y_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\dots&y_n^{(n-1)}\end{vmatrix}.

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Формулировка

Если $y_1, \dots, y_n$ — ФСР уравнения $L[y] = 0$ на $I$ , то общее решение имеет вид

y = C_1y_1 + \dots + C_ny_n,

то есть любое решение представляется так при единственном наборе постоянных. Пространство решений линейного однородного уравнения $n$ -го порядка $n$ -мерно.

Доказательство

Развернуть

Функция $\sum C_ky_k$ — решение при любых $C_k$ .

Пусть $y$ — любое решение и $x_0\in I$ . Система

\sum_{k=1}^nC_ky_k^{(j)}(x_0) = y^{(j)}(x_0),\qquad j = 0, \dots, n-1,

имеет определитель $W(x_0)\ne 0$ и потому однозначно разрешима. Решения $y$ и $\sum C_ky_k$ имеют одинаковые начальные данные в $x_0$ и по единственности совпадают на $I$ . Итак, $y_1, \dots, y_n$ — базис пространства решений, и его размерность равна $n$ . $\blacksquare$

Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения

Формулировка

Оператор $L$ линеен: $L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$ .
Любая линейная комбинация решений однородного уравнения $L[y] = 0$ — решение; множество решений — линейное пространство.
Если коэффициенты $p_i$ вещественны и комплекснозначная функция $y = u + iv$ — решение уравнения $L[y] = 0$ , то $u$ и $v$ — тоже решения.

Доказательство

Развернуть

Производная любого порядка линейна, а умножение на $p_k(x)$ и сложение сохраняют линейность.
Если $L[y_1] = L[y_2] = 0$ , то $L[c_1y_1 + c_2y_2] = 0$ .
$L[u + iv] = L[u] + iL[v] = 0$ , причём при вещественных $p_k$ функции $L[u]$ , $L[v]$ вещественны. Комплексное число равно нулю, только если равны нулю его вещественная и мнимая части. $\blacksquare$

Частное решение при правой части с синусами и косинусами

Формулировка

Пусть коэффициенты вещественны, $f(x) = e^{\alpha x}\bigl(P(x)\cos\beta x + Q(x)\sin\beta x\bigr)$ , $m = \max(\deg P, \deg Q)$ , и $\alpha + i\beta$ — корень $L(\lambda)$ кратности $s$ . Тогда существует частное решение

\tilde y = x^se^{\alpha x}\bigl(R(x)\cos\beta x + S(x)\sin\beta x\bigr),\qquad\deg R, \deg S\le m.

Доказательство

Развернуть

По формулам Эйлера $f = A(x)e^{(\alpha + i\beta)x} + B(x)e^{(\alpha - i\beta)x}$ , где $A$ , $B$ — многочлены степени не выше $m$ . Числа $\alpha\pm i\beta$ — корни одной кратности $s$ . По теореме о квазимногочленах и принципу суперпозиции есть частное решение

y = x^s\bigl(\tilde A(x)e^{(\alpha + i\beta)x} + \tilde B(x)e^{(\alpha - i\beta)x}\bigr).

Так как $L$ и $f$ вещественны, $\operatorname{Re}y$ — тоже решение. Раскрывая экспоненты по формуле Эйлера, видим, что $\operatorname{Re}y$ имеет указанный вид. $\blacksquare$

Вронскиан системы решений линейного однородного уравнения

Формулировка

Пусть $y_1, \dots, y_n$ — решения уравнения $L[y] = 0$ $n$ -го порядка с непрерывными на $I$ коэффициентами. Тогда возможны лишь два случая:

$W(x)\equiv 0$ на $I$ , и решения линейно зависимы;
$W(x)\ne 0$ при всех $x\in I$ , и решения линейно независимы.

В частности, если $W(x_0) = 0$ хотя бы в одной точке, то $W\equiv 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $W(x_0) = 0$ для некоторого $x_0\in I$ . Тогда однородная линейная система

\sum_{k=1}^nc_ky_k^{(j)}(x_0) = 0,\qquad j = 0, \dots, n-1,

имеет ненулевое решение $(c_1, \dots, c_n)$ . Функция $y = \sum c_ky_k$ — решение уравнения $L[y] = 0$ с нулевыми начальными данными в $x_0$ . Нулевая функция — тоже такое решение, поэтому по единственности $y\equiv 0$ на $I$ , и решения линейно зависимы. По теореме о вронскиане зависимых функций $W\equiv 0$ .

Итак, если $W$ обращается в нуль хотя бы в одной точке, имеет место случай 1. Иначе $W\ne 0$ всюду, и решения независимы (зависимые дали бы $W\equiv 0$ ). $\blacksquare$

Существование фундаментальной системы решений

Формулировка

Уравнение $L[y] = 0$ $n$ -го порядка с непрерывными на $I$ коэффициентами имеет фундаментальную систему решений. Более того, для любой невырожденной матрицы $B = (b_{jk})$ порядка $n$ и любой точки $x_0\in I$ решения с начальными данными $y_k^{(j-1)}(x_0) = b_{jk}$ образуют ФСР.

Доказательство

Развернуть

По теореме существования решения $y_1, \dots, y_n$ с указанными начальными данными существуют на всём $I$ . Их вронскиан в точке $x_0$ равен $\det B\ne 0$ . По теореме о вронскиане решений они линейно независимы. Например, можно взять $B = E$ . $\blacksquare$

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Пусть $L(D)y = y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = f(t)$ , где $f$ — оригинал, и заданы начальные условия $y^{(k)}(0) = y_k$ . Тогда решение задачи Коши (при $t\ge 0$ ) является оригиналом, а его изображение

Y(p) = \frac{F(p) + Q(p)}{L(p)},\qquad Q(p) = \sum_{k=1}^n a_{n-k}\sum_{j=0}^{k-1}p^{k-1-j}y_j\quad(a_0 = 1).

Доказательство

Развернуть

Решение — сумма решения однородного уравнения с данными начальными условиями и решения неоднородного с нулевыми данными. Первое — квазимногочлен (ФСР уравнения с постоянными коэффициентами), то есть оригинал. Второе по формуле Коши равно $\int_0^tK(t - s)f(s)\,ds$ , где $K$ — квазимногочлен, и тоже растёт не быстрее экспоненты. Значит, $y$ и (как решения той же природы) все производные до порядка $n$ — оригиналы.

Применим к уравнению преобразование Лапласа. По теореме о дифференцировании оригинала

y^{(k)}\risingdotseq p^kY - p^{k-1}y_0 - \dots - y_{k-1}.

Подставляя, получаем $L(p)Y - Q(p) = F(p)$ , где $Q$ собирает все слагаемые с начальными данными. $\blacksquare$

Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Принцип суперпозиции

Формулировка

Доказательство

Метод Лагранжа вариации постоянных

Формулировка

Доказательство

Представление решения через функцию Коши

Формулировка

Доказательство

Вариация постоянных для y'' + y = 1/cos x

Условие

Решение

Вариация постоянных при кратном корне

Условие

Решение

Функция Коши уравнения y'' + y = f

Условие

Решение

Уравнение с переменными коэффициентами и известной ФСР

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Функция Коши линейного уравнения

Линейное уравнение n-го порядка. Линейный дифференциальный оператор

Фундаментальная система решений линейного уравнения

Определитель Вронского

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Частное решение при правой части с синусами и косинусами

Формулировка

Доказательство

Вронскиан системы решений линейного однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Существование фундаментальной системы решений

Формулировка

Доказательство

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Доказательство