Линейные однородные уравнения. Определитель Вронского

Прогресс изучения0 из 10

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы10

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале
Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения
Вронскиан линейно зависимых функций
Нулевой вронскиан не влечёт зависимости
Вронскиан системы решений линейного однородного уравнения
Существование фундаментальной системы решений
Структура общего решения линейного однородного уравнения
Формула Остроградского–Лиувилля
Второе решение уравнения второго порядка по известному первому
Восстановление уравнения по фундаментальной системе

теорема

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале

Формулировка

Пусть $p_1, \dots, p_n, f$ непрерывны на интервале $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ и чисел $y_0, y_0', \dots, y_0^{(n-1)}$ уравнение $L[y] = f$ имеет решение с этими начальными условиями, определённое на всём интервале $I$ , и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

Вектор $z = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^T$ удовлетворяет линейной системе $z' = A(x)z + b(x)$ . Здесь матрица $A$ имеет единицы над диагональю, последняя строка равна $(-p_n, \dots, -p_1)$ , остальные элементы нулевые, а $b = (0, \dots, 0, f)^T$ . Обратно, первая компонента решения системы — решение уравнения. Докажем утверждение для системы $z' = A(x)z + b(x)$ с непрерывными $A$ , $b$ .

Возьмём любой отрезок $[\alpha, \beta]\subset I$ , содержащий $x_0$ . На нём $\|A(x)\|\le K$ , $\|A(x)z_0 + b(x)\|\le M$ . Приближения

z_0(x)\equiv z_0,\qquad z_{k+1}(x) = z_0 + \int_{x_0}^x\bigl(A(t)z_k(t) + b(t)\bigr)\,dt

определены на всём $[\alpha, \beta]$ : правая часть линейна по $z$ , ограничений вида $\|z - z_0\|\le b$ не нужно. Как в теореме Коши–Пикара,

\|z_{k+1}(x) - z_k(x)\|\le\frac{MK^k|x - x_0|^{k+1}}{(k + 1)!},

поэтому $z_k$ равномерно сходятся на $[\alpha, \beta]$ к решению интегрального уравнения.

Единственность: для разности $u$ двух решений $\|u(x)\|\le K\left|\int_{x_0}^x\|u\|\,dt\right|$ , и по лемме Гронуолла $u\equiv 0$ . Поэтому решения, построенные на разных отрезках, совпадают на их пересечении. Взяв последовательность отрезков, исчерпывающих $I$ , получаем решение на всём $I$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения

Формулировка

Оператор $L$ линеен: $L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$ .
Любая линейная комбинация решений однородного уравнения $L[y] = 0$ — решение; множество решений — линейное пространство.
Если коэффициенты $p_i$ вещественны и комплекснозначная функция $y = u + iv$ — решение уравнения $L[y] = 0$ , то $u$ и $v$ — тоже решения.

Доказательство

Развернуть

Производная любого порядка линейна, а умножение на $p_k(x)$ и сложение сохраняют линейность.
Если $L[y_1] = L[y_2] = 0$ , то $L[c_1y_1 + c_2y_2] = 0$ .
$L[u + iv] = L[u] + iL[v] = 0$ , причём при вещественных $p_k$ функции $L[u]$ , $L[v]$ вещественны. Комплексное число равно нулю, только если равны нулю его вещественная и мнимая части. $\blacksquare$

теорема

Вронскиан линейно зависимых функций

Формулировка

Если функции $y_1, \dots, y_n\in C^{n-1}(I)$ линейно зависимы на $I$ , то $W[y_1, \dots, y_n](x)\equiv 0$ на $I$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $c_1y_1 + \dots + c_ny_n\equiv 0$ на $I$ , причём не все $c_k$ равны нулю. Дифференцируя тождество $n - 1$ раз, получаем

c_1y_1^{(j)}(x) + \dots + c_ny_n^{(j)}(x) = 0,\qquad j = 0, \dots, n-1.

Значит, при каждом $x$ столбцы определителя Вронского линейно зависимы с одними и теми же коэффициентами $c_k$ , и $W(x) = 0$ . $\blacksquare$

лемма

Нулевой вронскиан не влечёт зависимости

Формулировка

Для произвольных функций утверждение, обратное теореме о вронскиане зависимых функций, неверно: функции $y_1 = x^2$ , $y_2 = x|x|$ линейно независимы на $(-1, 1)$ , но $W[y_1, y_2]\equiv 0$ .

Доказательство

Развернуть

Обе функции непрерывно дифференцируемы: $y_1' = 2x$ , $y_2' = 2|x|$ . При $x\ge 0$ функции совпадают, при $x < 0$ имеем $y_2 = -y_1$ ; в обоих случаях столбцы вронскиана пропорциональны, и $W(x) = 0$ .

Если $c_1x^2 + c_2x|x|\equiv 0$ , то при $x = 1$ получаем $c_1 + c_2 = 0$ , а при $x = -1$ получаем $c_1 - c_2 = 0$ . Значит, $c_1 = c_2 = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Вронскиан системы решений линейного однородного уравнения

Формулировка

Пусть $y_1, \dots, y_n$ — решения уравнения $L[y] = 0$ $n$ -го порядка с непрерывными на $I$ коэффициентами. Тогда возможны лишь два случая:

$W(x)\equiv 0$ на $I$ , и решения линейно зависимы;
$W(x)\ne 0$ при всех $x\in I$ , и решения линейно независимы.

В частности, если $W(x_0) = 0$ хотя бы в одной точке, то $W\equiv 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $W(x_0) = 0$ для некоторого $x_0\in I$ . Тогда однородная линейная система

\sum_{k=1}^nc_ky_k^{(j)}(x_0) = 0,\qquad j = 0, \dots, n-1,

имеет ненулевое решение $(c_1, \dots, c_n)$ . Функция $y = \sum c_ky_k$ — решение уравнения $L[y] = 0$ с нулевыми начальными данными в $x_0$ . Нулевая функция — тоже такое решение, поэтому по единственности $y\equiv 0$ на $I$ , и решения линейно зависимы. По теореме о вронскиане зависимых функций $W\equiv 0$ .

Итак, если $W$ обращается в нуль хотя бы в одной точке, имеет место случай 1. Иначе $W\ne 0$ всюду, и решения независимы (зависимые дали бы $W\equiv 0$ ). $\blacksquare$

теорема

Существование фундаментальной системы решений

Формулировка

Уравнение $L[y] = 0$ $n$ -го порядка с непрерывными на $I$ коэффициентами имеет фундаментальную систему решений. Более того, для любой невырожденной матрицы $B = (b_{jk})$ порядка $n$ и любой точки $x_0\in I$ решения с начальными данными $y_k^{(j-1)}(x_0) = b_{jk}$ образуют ФСР.

Доказательство

Развернуть

По теореме существования решения $y_1, \dots, y_n$ с указанными начальными данными существуют на всём $I$ . Их вронскиан в точке $x_0$ равен $\det B\ne 0$ . По теореме о вронскиане решений они линейно независимы. Например, можно взять $B = E$ . $\blacksquare$

теорема

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Формулировка

Если $y_1, \dots, y_n$ — ФСР уравнения $L[y] = 0$ на $I$ , то общее решение имеет вид

y = C_1y_1 + \dots + C_ny_n,

то есть любое решение представляется так при единственном наборе постоянных. Пространство решений линейного однородного уравнения $n$ -го порядка $n$ -мерно.

Доказательство

Развернуть

Функция $\sum C_ky_k$ — решение при любых $C_k$ .

Пусть $y$ — любое решение и $x_0\in I$ . Система

\sum_{k=1}^nC_ky_k^{(j)}(x_0) = y^{(j)}(x_0),\qquad j = 0, \dots, n-1,

имеет определитель $W(x_0)\ne 0$ и потому однозначно разрешима. Решения $y$ и $\sum C_ky_k$ имеют одинаковые начальные данные в $x_0$ и по единственности совпадают на $I$ . Итак, $y_1, \dots, y_n$ — базис пространства решений, и его размерность равна $n$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Остроградского–Лиувилля

Формулировка

Для любых решений $y_1, \dots, y_n$ уравнения $y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_n(x)y = 0$ с непрерывными на $I$ коэффициентами

W(x) = W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp_1(t)\,dt\right),\qquad x, x_0\in I.

Доказательство

Развернуть

Производная определителя, элементы которого — дифференцируемые функции, равна сумме $n$ определителей, в каждом из которых продифференцирована одна строка. Это следует из формулы полного развёртывания и правила дифференцирования произведения.

Если продифференцировать строку с номером $j < n$ (производные порядка $j - 1$ ), получится строка производных порядка $j$ , совпадающая со следующей строкой. Такой определитель равен нулю.

Остаётся определитель с продифференцированной последней строкой $\bigl(y_1^{(n)}, \dots, y_n^{(n)}\bigr)$ . Из уравнения

y_k^{(n)} = -p_1y_k^{(n-1)} - p_2y_k^{(n-2)} - \dots - p_ny_k.

По линейности определителя по строке он распадается на сумму. Слагаемые с $p_2, \dots, p_n$ содержат строку, пропорциональную одной из предыдущих, и равны нулю, а слагаемое с $p_1$ равно $-p_1W$ . Итак, $W' = -p_1W$ — линейное однородное уравнение первого порядка, откуда следует формула. $\blacksquare$

следствие

Второе решение уравнения второго порядка по известному первому

Формулировка

Если $y_1$ — решение уравнения $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ , не обращающееся в нуль на $I$ , то

y_2 = y_1\int\frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^2}\,dx

— решение, линейно независимое с $y_1$ , и общее решение равно $C_1y_1 + C_2y_2$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме о ФСР существует решение $\tilde y$ , линейно независимое с $y_1$ . По формуле Остроградского–Лиувилля

y_1\tilde y' - y_1'\tilde y = W = Ce^{-\int p},\quad C\ne 0,\qquad\text{то есть}\qquad\left(\frac{\tilde y}{y_1}\right)' = \frac{Ce^{-\int p}}{y_1^2}.

Отсюда $\tilde y = Cy_2 + Dy_1$ , и $y_2 = (\tilde y - Dy_1)/C$ — решение. Его вронскиан с $y_1$ равен $y_1^2(y_2/y_1)' = e^{-\int p}\ne 0$ . $\blacksquare$

теорема

Восстановление уравнения по фундаментальной системе

Формулировка

Пусть $y_1, \dots, y_n\in C^n(I)$ и $W[y_1, \dots, y_n](x)\ne 0$ на $I$ . Тогда существует единственное уравнение вида $y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny = 0$ с непрерывными коэффициентами, для которого эти функции образуют ФСР:

\frac{W[y_1, \dots, y_n, y](x)}{W[y_1, \dots, y_n](x)} = 0.

Доказательство

Развернуть

Разложим $W[y_1, \dots, y_n, y]$ по последнему столбцу $(y, y', \dots, y^{(n)})^T$ . Коэффициент при $y^{(n)}$ равен $W[y_1, \dots, y_n]\ne 0$ , остальные коэффициенты непрерывны. После деления получаем уравнение требуемого вида. При $y = y_k$ определитель имеет два равных столбца и обращается в нуль, так что все $y_k$ — решения, а они независимы, так как $W\ne 0$ .

Единственность: если два таких уравнения имеют общую ФСР, то их разность $(p_1 - q_1)y^{(n-1)} + \dots + (p_n - q_n)y = 0$ обращается в тождество на всех $y_k$ , а значит, и на всех их комбинациях. Если некоторый коэффициент разности, скажем при $y^{(m)}$ с наибольшим $m$ , не равен нулю в точке $x_1$ , то вблизи $x_1$ получается уравнение порядка $m < n$ с $n$ линейно независимыми решениями. Это противоречит тому, что размерность пространства его решений равна $m$ . $\blacksquare$

Вронскиан экспонент

Условие

Вычислить вронскиан функций $e^x, e^{2x}, e^{3x}$ и доказать их линейную независимость на $\mathbb R$ .

Решение

Развернуть

W = \begin{vmatrix}e^x&e^{2x}&e^{3x}\\ e^x&2e^{2x}&3e^{3x}\\ e^x&4e^{2x}&9e^{3x}\end{vmatrix} = e^{6x}\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix} = e^{6x}(2 - 1)(3 - 1)(3 - 2) = 2e^{6x}.

(Определитель Вандермонда.) Так как $W\not\equiv 0$ , функции линейно независимы: зависимые дали бы $W\equiv 0$ .

Могут ли x и x² образовать ФСР

Условие

Могут ли функции $y_1 = x$ , $y_2 = x^2$ образовать ФСР уравнения $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ с непрерывными коэффициентами на интервале $(-1, 1)$ ? На интервале $(0, +\infty)$ ? Во втором случае найти уравнение.

Решение

Развернуть

$W = x\cdot 2x - x^2\cdot 1 = x^2$ . На $(-1, 1)$ вронскиан обращается в нуль при $x = 0$ , но не тождественно. Для решений уравнения с непрерывными коэффициентами это невозможно, так что ответ отрицательный.

На $(0, +\infty)$ имеем $W\ne 0$ , и уравнение существует:

\begin{vmatrix}x&x^2&y\\1&2x&y'\\0&2&y''\end{vmatrix} = x^2y'' - 2xy' + 2y = 0,

то есть $y'' - \dfrac2xy' + \dfrac2{x^2}y = 0$ . Его коэффициенты разрывны в нуле, что согласуется с первой частью.

Второе решение уравнения Лежандра

Условие

Уравнение $(1 - x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0$ имеет решение $y_1 = x$ . Найти общее решение на интервале $(0, 1)$ .

Решение

Развернуть

В приведённом виде $p = -\dfrac{2x}{1 - x^2}$ , $e^{-\int p\,dx} = e^{-\ln(1 - x^2)} = \dfrac1{1 - x^2}$ . По формуле

y_2 = x\int\frac{dx}{x^2(1 - x^2)} = x\int\left(\frac1{x^2} + \frac1{1 - x^2}\right)dx = x\left(-\frac1x + \frac12\ln\frac{1 + x}{1 - x}\right) = \frac x2\ln\frac{1 + x}{1 - x} - 1.

Ответ: $y = C_1x + C_2\left(\dfrac x2\ln\dfrac{1 + x}{1 - x} - 1\right)$ .

Найденное $y_2$ на самом деле является решением на всём интервале $(-1, 1)$ .

Вронскиан решений уравнения Бесселя

Условие

Найти с точностью до постоянного множителя вронскиан любых двух решений уравнения Бесселя

x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0,\qquad x > 0.

Проверить результат при $\nu = \frac12$ на решениях $y_1 = \dfrac{\sin x}{\sqrt x}$ , $y_2 = \dfrac{\cos x}{\sqrt x}$ .

Решение

Развернуть

В приведённом виде $p_1 = \dfrac1x$ , и по формуле Остроградского–Лиувилля $W = Ce^{-\ln x} = \dfrac Cx$ .

Проверка. Пусть $u = x^{-1/2}$ , $y_1 = u\sin x$ , $y_2 = u\cos x$ :

W = u\sin x\,(u'\cos x - u\sin x) - (u'\sin x + u\cos x)\,u\cos x = -u^2 = -\frac1x.

Это $C/x$ с $C = -1$ .

Уравнение по ФСР x, eˣ

Условие

Составить линейное однородное уравнение второго порядка с ФСР $y_1 = x$ , $y_2 = e^x$ и указать интервалы, на которых это возможно.

Решение

Развернуть

$W = xe^x - e^x = (x - 1)e^x$ обращается в нуль при $x = 1$ . Поэтому годятся интервалы $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$ .

\begin{vmatrix}x&e^x&y\\1&e^x&y'\\0&e^x&y''\end{vmatrix} = e^x\bigl[(x - 1)y'' - xy' + y\bigr] = 0.

Ответ: $(x - 1)y'' - xy' + y = 0$ . Проверка: при $y = x$ получаем $0 - x + x = 0$ ; при $y = e^x$ получаем $(x - 1 - x + 1)e^x = 0$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейное уравнение n-го порядка. Линейный дифференциальный оператор

Линейным уравнением $n$ -го порядка называется уравнение

a_0(x)y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_n(x)y = f(x),

где $a_i$ , $f$ непрерывны на интервале $I$ и $a_0(x)\ne 0$ на $I$ . Деля на $a_0$ , приводим его к виду

L[y] \equiv y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_n(x)y = f(x).

Отображение $L\colon C^n(I)\to C(I)$ называется линейным дифференциальным оператором. Уравнение $L[y] = 0$ называется однородным, уравнение $L[y] = f$ с $f\not\equiv 0$ — неоднородным.

Линейно зависимые и независимые системы функций

Функции $y_1, \dots, y_n$ , определённые на интервале $I$ , называются линейно зависимыми на $I$ , если существуют числа $c_1, \dots, c_n$ , не все равные нулю, такие что

c_1y_1(x) + \dots + c_ny_n(x) = 0\qquad\text{для всех } x\in I.

В противном случае функции называются линейно независимыми на $I$ . Линейная зависимость зависит от интервала: функции $x$ и $|x|$ зависимы на $(0, 1)$ , но независимы на $(-1, 1)$ .

Определитель Вронского

Определителем Вронского (вронскианом) функций $y_1, \dots, y_n\in C^{n-1}(I)$ называется функция

W(x) = W[y_1, \dots, y_n](x) = \begin{vmatrix}y_1&y_2&\dots&y_n\\ y_1'&y_2'&\dots&y_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\dots&y_n^{(n-1)}\end{vmatrix}.

Фундаментальная система решений линейного уравнения

Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного уравнения $L[y] = 0$ $n$ -го порядка на интервале $I$ называется любой набор из $n$ линейно независимых на $I$ решений этого уравнения.

Уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Уравнение

y^{(n)} = f\bigl(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}\bigr),

где $f$ определена в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ , называется уравнением $n$ -го порядка, разрешённым относительно старшей производной.

Задача Коши для него: найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y(x_0) = y_0,\quad y'(x_0) = y_0',\quad\dots,\quad y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)},

где $(x_0, y_0, y_0', \dots, y_0^{(n-1)})\in G$ .

Общим решением в области единственности называется семейство решений $y = \varphi(x, C_1, \dots, C_n)$ , из которого выбором постоянных можно получить решение любой задачи Коши с начальной точкой в этой области.

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике

\Pi = \{|x - x_0|\le a,\ |y - y_0|\le b\},

$|f|\le M$ в $\Pi$ , и $f$ удовлетворяет в $\Pi$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ . Тогда на отрезке $|x - x_0|\le h$ , где

h = \min\left(a, \frac bM\right),

задача Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ имеет решение, и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

По лемме об эквивалентности достаточно решить интегральное уравнение $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ . Рассмотрим отрезок $x_0\le x\le x_0 + h$ (левая половина аналогична).

Последовательные приближения:

y_0(x)\equiv y_0,\qquad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y_n(t)\bigr)\,dt.

Графики не выходят из $\Pi$ . Если график непрерывной $y_n$ лежит в $\Pi$ , то $y_{n+1}$ определена, непрерывна и $|y_{n+1}(x) - y_0|\le M(x - x_0)\le Mh\le b$ .
Оценка разностей. Индукцией докажем

|y_{n+1}(x) - y_n(x)|\le\frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

При $n = 0$ это шаг 1. Переход:

|y_{n+1} - y_n|\le\int_{x_0}^xL|y_n(t) - y_{n-1}(t)|\,dt\le L\int_{x_0}^x\frac{ML^{n-1}(t - x_0)^n}{n!}\,dt = \frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

Равномерная сходимость. Ряд $y_0 + \sum_n(y_{n+1} - y_n)$ мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum_nML^nh^{n+1}/(n + 1)!$ . По признаку Вейерштрасса $y_n\rightrightarrows y$ на $[x_0, x_0 + h]$ ; предел непрерывен, его график лежит в $\Pi$ (множество $\Pi$ замкнуто).
Предел — решение. $|f(t, y_n(t)) - f(t, y(t))|\le L|y_n(t) - y(t)|\rightrightarrows 0$ . Поэтому в равенстве для $y_{n+1}$ можно перейти к пределу под знаком интеграла: $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ .
Единственность. Пусть $z$ — ещё одно решение на $[x_0, x_0 + h']$ , $h'\le h$ . Его график лежит в $\Pi$ : иначе в первой точке выхода $x^*$ было бы $|z(x^*) - y_0| = b$ , но $|z(x^*) - y_0|\le M(x^* - x_0) < Mh\le b$ . Для $u = |y - z|$

u(x)\le\int_{x_0}^x|f(t, y) - f(t, z)|\,dt\le L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,

и по лемме Гронуолла с $a = 0$ получаем $u\equiv 0$ . $\blacksquare$

Лемма Гронуолла

Формулировка

Пусть функция $u(x)\ge 0$ непрерывна на $[x_0, x_1]$ , и при некоторых $a\ge 0$ , $L > 0$

u(x)\le a + L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,\qquad x\in[x_0, x_1].

Тогда $u(x)\le ae^{L(x - x_0)}$ . В частности, при $a = 0$ имеем $u\equiv 0$ .

Доказательство

Развернуть

Положим $v(x) = a + L\int_{x_0}^xu(t)\,dt$ . Тогда $u\le v$ и $v' = Lu\le Lv$ . Значит,

\bigl(v(x)e^{-L(x - x_0)}\bigr)' = (v' - Lv)e^{-L(x - x_0)}\le 0,

то есть функция $ve^{-L(x - x_0)}$ не возрастает и не превосходит своего значения $v(x_0) = a$ . Поэтому $u(x)\le v(x)\le ae^{L(x - x_0)}$ . $\blacksquare$

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Если $A(t)$ и $b(t)$ непрерывны на интервале $I$ , то для любых $t_0\in I$ , $x^0\in\mathbb R^n$ решение задачи Коши $x' = A(t)x + b(t)$ , $x(t_0) = x^0$ существует на всём интервале $I$ и единственно.

Доказательство

Развернуть

Именно это утверждение доказано в теореме о существовании решения линейного уравнения $n$ -го порядка на всём интервале: там доказательство проведено для векторного уравнения $z' = A(x)z + b(x)$ с произвольной непрерывной матрицей. Существенно, что правая часть линейна по $x$ и поэтому удовлетворяет условию Липшица с постоянной $\max\|A(t)\|$ во всей полосе $[\alpha, \beta]\times\mathbb R^n$ . Последовательные приближения не выходят ни из какой области, и решение существует на всём отрезке $[\alpha, \beta]$ . $\blacksquare$

Действие оператора L(D) на экспоненту. Формула сдвига

Формулировка

Для любого $\lambda\in\mathbb C$ и любой $u\in C^n$ :

L(D)e^{\lambda x} = L(\lambda)e^{\lambda x},\qquad L(D)\bigl(e^{\lambda x}u\bigr) = e^{\lambda x}L(D + \lambda)u.

Доказательство

Развернуть

$D(e^{\lambda x}u) = e^{\lambda x}(u' + \lambda u) = e^{\lambda x}(D + \lambda)u$ . Применяя это $k$ раз, получаем $D^k(e^{\lambda x}u) = e^{\lambda x}(D + \lambda)^ku$ . Складывая с коэффициентами $a_j$ , получаем формулу сдвига. При $u\equiv 1$ имеем $(D + \lambda)^k1 = \lambda^k$ , откуда первая формула. $\blacksquare$

Вещественная ФСР при комплексных корнях

Формулировка

Пусть коэффициенты $a_j$ вещественны. Тогда невещественные корни $L(\lambda)$ разбиваются на пары $\alpha\pm i\beta$ одинаковой кратности $k$ . Если в ФСР из теоремы о корнях заменить каждую пару $x^je^{(\alpha\pm i\beta)x}$ функциями

x^je^{\alpha x}\cos\beta x,\qquad x^je^{\alpha x}\sin\beta x,\qquad j = 0, \dots, k-1,

то получится вещественная ФСР.

Доказательство

Развернуть

Многочлен с вещественными коэффициентами вместе с корнем $\lambda$ имеет корень $\bar\lambda$ той же кратности ( $L(\bar\lambda) = \overline{L(\lambda)}$ , то же для производных).

Функции $x^je^{\alpha x}\cos\beta x$ и $x^je^{\alpha x}\sin\beta x$ — вещественная и мнимая части решения $x^je^{(\alpha + i\beta)x}$ , поэтому сами являются решениями. Они выражаются через $x^je^{(\alpha\pm i\beta)x}$ невырожденным линейным преобразованием (и обратно):

x^je^{(\alpha\pm i\beta)x} = x^je^{\alpha x}\cos\beta x\pm ix^je^{\alpha x}\sin\beta x.

Поэтому новые $n$ функций порождают то же $n$ -мерное пространство и линейно независимы. $\blacksquare$

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Формулировка

Если $\tilde y$ — частное решение уравнения $L[y] = f$ , а $y_1, \dots, y_n$ — ФСР однородного уравнения $L[y] = 0$ , то общее решение неоднородного уравнения

y = \tilde y + C_1y_1 + \dots + C_ny_n.

Доказательство

Развернуть

По линейности $L[\tilde y + \sum C_ky_k] = f + 0 = f$ .

Обратно, для любого решения $y$ разность $y - \tilde y$ удовлетворяет уравнению $L[y - \tilde y] = f - f = 0$ . По теореме о структуре общего решения однородного уравнения $y - \tilde y = \sum C_ky_k$ . $\blacksquare$

Принцип суперпозиции

Формулировка

Если $L[y_i] = f_i$ , $i = 1, \dots, m$ , то $L\left[\sum c_iy_i\right] = \sum c_if_i$ .
Если коэффициенты $p_k$ вещественны и $L[u + iv] = f_1 + if_2$ с вещественными $u, v, f_1, f_2$ , то $L[u] = f_1$ , $L[v] = f_2$ .

Доказательство

Развернуть

Следует из линейности оператора $L$ .
$L[u] + iL[v] = f_1 + if_2$ , причём при вещественных коэффициентах $L[u]$ , $L[v]$ вещественны. Приравниваем вещественные и мнимые части. $\blacksquare$

Метод Лагранжа вариации постоянных

Формулировка

Пусть $y_1, \dots, y_n$ — ФСР уравнения $L[y] = 0$ , где $L[y] = y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny$ . Если непрерывно дифференцируемые функции $C_1(x), \dots, C_n(x)$ удовлетворяют системе

\begin{cases} C_1'y_1 + \dots + C_n'y_n = 0,\\ C_1'y_1' + \dots + C_n'y_n' = 0,\\ \quad\dots\\ C_1'y_1^{(n-2)} + \dots + C_n'y_n^{(n-2)} = 0,\\ C_1'y_1^{(n-1)} + \dots + C_n'y_n^{(n-1)} = f(x), \end{cases}

то $y = C_1(x)y_1 + \dots + C_n(x)y_n$ — решение уравнения $L[y] = f$ . Система однозначно разрешима относительно $C_k'$ , и $C_k'$ непрерывны.

Доказательство

Развернуть

Определитель системы — вронскиан $W(x)\ne 0$ , поэтому $C_k' = W_k(x)/W(x)$ (по Крамеру), где $W_k$ — определитель, в котором $k$ -й столбец заменён на $(0, \dots, 0, f)^T$ . Эти функции непрерывны, и $C_k$ находятся интегрированием.

Продифференцируем $y = \sum C_ky_k$ . Благодаря первым $n - 1$ уравнениям системы слагаемые с $C_k'$ пропадают при каждом из первых $n - 1$ дифференцирований:

y^{(j)} = \sum_kC_ky_k^{(j)},\quad j = 0, \dots, n-1;\qquad y^{(n)} = \sum_kC_ky_k^{(n)} + \sum_kC_k'y_k^{(n-1)} = \sum_kC_ky_k^{(n)} + f.

Подставляя в $L$ , получаем $L[y] = \sum_kC_kL[y_k] + f = f$ . $\blacksquare$

Представление решения через функцию Коши

Формулировка

Пусть $K(x, s)$ — функция Коши уравнения $L[y] = 0$ . Тогда функция

y(x) = \int_{x_0}^xK(x, s)f(s)\,ds

— решение уравнения $L[y] = f$ с нулевыми начальными условиями $y(x_0) = \dots = y^{(n-1)}(x_0) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Воспользуемся правилом дифференцирования интеграла, зависящего от параметра и с переменным верхним пределом:

\frac{d}{dx}\int_{x_0}^xg(x, s)\,ds = g(x, x) + \int_{x_0}^xg_x(x, s)\,ds.

Применяя его последовательно и учитывая, что по определению $K^{(j)}_x(x, x) = 0$ при $j\le n-2$ , получаем при $j\le n-1$

y^{(j)}(x) = \int_{x_0}^xK^{(j)}_x(x, s)f(s)\,ds,

и все $y^{(j)}(x_0) = 0$ . На последнем шаге $K^{(n-1)}_x(x, x) = 1$ , так что

y^{(n)}(x) = f(x) + \int_{x_0}^xK^{(n)}_x(x, s)f(s)\,ds.

Следовательно, $L[y] = f(x) + \int_{x_0}^xL_x[K(x, s)]f(s)\,ds = f(x)$ . $\blacksquare$

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Пусть $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ — различные корни характеристического многочлена $L(\lambda)$ кратностей $k_1, \dots, k_s$ , $k_1 + \dots + k_s = n$ . Тогда $n$ функций

x^je^{\lambda_ix},\qquad i = 1, \dots, s,\quad j = 0, \dots, k_i - 1,

образуют ФСР уравнения $L(D)y = 0$ (в классе комплекснозначных функций). В частности, при простых корнях ФСР — $e^{\lambda_1x}, \dots, e^{\lambda_nx}$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda$ — корень кратности $k$ . Тогда $L(\lambda + \mu) = \mu^kM(\mu)$ для некоторого многочлена $M$ . Это тождество многочленов от $\mu$ влечёт операторное тождество $L(D + \lambda) = M(D)D^k$ : операторы с постоянными коэффициентами перемножаются как многочлены. По формуле сдвига

L(D)\bigl(x^je^{\lambda x}\bigr) = e^{\lambda x}M(D)D^kx^j = 0\quad\text{при } j < k.

Итак, все $n$ функций — решения. По лемме о квазимногочленах они линейно независимы, а $n$ независимых решений образуют ФСР. $\blacksquare$

Линейность определителя по строке

Формулировка

Если $i$ -я строка матрицы $A$ имеет вид $a_i = \alpha b + \beta c$ , где $b, c$ — строки той же длины, то

\det A = \alpha \det A_b + \beta \det A_c,

где $A_b$ и $A_c$ получены из $A$ заменой $i$ -й строки на $b$ и на $c$ соответственно. В частности, общий множитель строки можно вынести за знак определителя, а определитель с нулевой строкой равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Каждое слагаемое в определении $\det A$ содержит ровно один множитель из $i$ -й строки:

a_{i\sigma(i)} = \alpha b_{\sigma(i)} + \beta c_{\sigma(i)}.

Раскрыв скобки и разбив сумму на две, получаем $\alpha\det A_b + \beta\det A_c$ . При $\alpha = 0$ (нулевая строка $a_i = 0\cdot b$ ) получаем $\det A = 0$ . $\blacksquare$

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Для элементарных матриц $\det P_{ij} = -1$ , $\det D_i(\lambda) = \lambda$ , $\det T_{ij}(\lambda) = 1$ . Для любой элементарной матрицы $S$ и квадратной $A$ того же порядка $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Всё сказанное, а также линейность по строке и смена знака при перестановке строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Если $a_j = \lambda a_i$ , то $\det A = \lambda\cdot(\text{определитель с равными строками}) = 0$ , так как определитель с двумя равными строками равен нулю.
По линейности $\det(\dots, a_i + \lambda a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A$ .
Сначала $\det E = 1$ : в сумме из определения ненулевое лишь слагаемое с $\sigma = \varepsilon$ . Элементарные преобразования типов 1, 2, 3 умножают определитель соответственно на $-1$ , $\lambda$ , $1$ (по свойствам перестановки строк, линейности и пункту 2). Применяя их к $E$ , получаем указанные значения $\det S$ . Применяя их к $A$ и учитывая, что $SA$ — результат того же преобразования, получаем $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Решения линейного однородного уравнения первого порядка

Формулировка

Пусть $p$ непрерывна на $I$ , $x_0\in I$ . Все решения уравнения $y' + p(x)y = 0$ на $I$ имеют вид

y = Ce^{-\int_{x_0}^xp(t)\,dt},\qquad C\in\mathbb R.

Доказательство

Развернуть

Положим $P(x) = \int_{x_0}^xp(t)\,dt$ , так что $P' = p$ . Для любой дифференцируемой функции $y$

\bigl(ye^{P}\bigr)' = e^{P}(y' + py).

Поэтому $y$ — решение тогда и только тогда, когда $(ye^P)' = 0$ , то есть $ye^P = C$ . Деления на $y$ не было, так что найдены все решения, включая $y\equiv 0$ . $\blacksquare$

Связь с линейным уравнением n-го порядка

Формулировка

При сведении уравнения $y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny = 0$ к системе $z' = A(t)z$ , $z = (y, \dots, y^{(n-1)})^T$ , решениям $y_1, \dots, y_n$ уравнения отвечают решения системы, и вронскиан системы совпадает с вронскианом уравнения. Формула Лиувилля для системы переходит в формулу Остроградского–Лиувилля для уравнения.

Доказательство

Развернуть

Столбец, отвечающий $y_k$ , равен $(y_k, y_k', \dots, y_k^{(n-1)})^T$ — это $k$ -й столбец вронскиана уравнения, поэтому определители совпадают. У матрицы $A$ этой системы все диагональные элементы, кроме последнего, равны нулю, а последний равен $-p_1$ . Значит, $\operatorname{tr}A = -p_1$ , и $\exp\int\operatorname{tr}A = \exp\left(-\int p_1\right)$ . $\blacksquare$

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Линейные однородные уравнения. Определитель Вронского

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале

Формулировка

Доказательство

Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Вронскиан линейно зависимых функций

Формулировка

Доказательство

Нулевой вронскиан не влечёт зависимости

Формулировка

Доказательство

Вронскиан системы решений линейного однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Существование фундаментальной системы решений

Формулировка

Доказательство

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Формула Остроградского–Лиувилля

Формулировка

Доказательство

Второе решение уравнения второго порядка по известному первому

Формулировка

Доказательство

Восстановление уравнения по фундаментальной системе

Формулировка

Доказательство

Вронскиан экспонент

Условие

Решение

Могут ли x и x² образовать ФСР

Условие

Решение

Второе решение уравнения Лежандра

Условие

Решение

Вронскиан решений уравнения Бесселя

Условие

Решение

Уравнение по ФСР x, eˣ

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейное уравнение n-го порядка. Линейный дифференциальный оператор

Линейно зависимые и независимые системы функций

Определитель Вронского

Фундаментальная система решений линейного уравнения

Уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Доказательство

Лемма Гронуолла

Формулировка

Доказательство

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Доказательство

Действие оператора L(D) на экспоненту. Формула сдвига

Формулировка

Доказательство

Вещественная ФСР при комплексных корнях

Формулировка

Доказательство

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Принцип суперпозиции

Формулировка

Доказательство

Метод Лагранжа вариации постоянных

Формулировка

Доказательство

Представление решения через функцию Коши

Формулировка

Доказательство