Уравнения, не разрешённые относительно производной. Особые решения

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Теорема Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной
Особое решение лежит на p-дискриминантной кривой
Метод введения параметра
Интегрирование уравнения Лагранжа
Общее и особое решения уравнения Клеро
Огибающая семейства интегральных кривых — особое решение

теорема

Теорема Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной

Формулировка

Пусть в окрестности точки $(x_0, y_0, p_0)$ функция $F(x, y, p)$ непрерывна вместе с производными $F_y$ , $F_p$ , и

F(x_0, y_0, p_0) = 0,\qquad F_p(x_0, y_0, p_0)\ne 0.

Тогда при некотором $h > 0$ на отрезке $|x - x_0|\le h$ существует единственное решение $y(x)$ уравнения $F(x, y, y') = 0$ с условиями $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = p_0$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме о неявной функции в окрестности точки $(x_0, y_0, p_0)$ уравнение $F(x, y, p) = 0$ равносильно уравнению $p = f(x, y)$ . Здесь $f$ непрерывна, $f(x_0, y_0) = p_0$ и $f_y = -F_y/F_p$ непрерывна.

Значит, решения с $y'$ , близким к $p_0$ , — это в точности решения уравнения $y' = f(x, y)$ . В малом прямоугольнике около $(x_0, y_0)$ функция $f$ ограничена и липшицева по $y$ (достаточное условие Липшица). По теореме Коши–Пикара задача $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ однозначно разрешима. $\blacksquare$

теорема

Особое решение лежит на p-дискриминантной кривой

Формулировка

Пусть $F$ , $F_y$ , $F_p$ непрерывны. Тогда график любого особого решения уравнения $F(x, y, y') = 0$ лежит на $p$ -дискриминантной кривой: вдоль особого решения $y = \varphi(x)$

F_p\bigl(x, \varphi(x), \varphi'(x)\bigr) = 0.

Обратное неверно: $p$ -дискриминантная кривая может не быть решением (например, быть геометрическим местом точек возврата) или быть решением, но не особым. Поэтому кривые из дискриминанта нужно проверять подстановкой и по определению.

Доказательство

Развернуть

Пусть в некоторой точке $x_1$ выполнено $F_p(x_1, \varphi(x_1), \varphi'(x_1))\ne 0$ . По теореме Коши для неявного уравнения решение с $y(x_1) = \varphi(x_1)$ , $y'(x_1) = \varphi'(x_1)$ единственно в окрестности $x_1$ .

Но по определению особого решения через точку $(x_1, \varphi(x_1))$ проходит другое решение с той же касательной, не совпадающее с $\varphi$ ни в какой окрестности. Противоречие. Значит, $F_p = 0$ всюду вдоль $\varphi$ ; кроме того, $F = 0$ , так как $\varphi$ — решение. $\blacksquare$

теорема

Метод введения параметра

Формулировка

Пусть уравнение разрешено относительно $y$ : $y = f(x, y')$ , $f\in C^1$ . Положим $y' = p$ . Тогда дважды дифференцируемые решения $y(x)$ (с $p(x) = y'(x)$ ) соответствуют решениям уравнения первого порядка

\bigl(f_x(x, p) - p\bigr)\,dx + f_p(x, p)\,dp = 0,

и если $x = \omega(p, C)$ — его решения, то

x = \omega(p, C),\qquad y = f\bigl(\omega(p, C), p\bigr)

— решения исходного уравнения в параметрической форме. Аналогично для уравнения $x = g(y, y')$ используют $dx = dy/p$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $y(x)$ — решение и $p(x) = y'(x)$ . Дифференцируя тождество $y(x) = f(x, p(x))$ , получаем

p = f_x(x, p) + f_p(x, p)\,p',

то есть $(f_x - p)\,dx + f_p\,dp = 0$ вдоль кривой $(x, p(x))$ .

Обратно, пусть дифференцируемая функция $p(x)$ удовлетворяет этому уравнению, и $y(x) := f(x, p(x))$ . Тогда

y' = f_x + f_pp' = p,

так что $y = f(x, y')$ . Если решение найдено в виде $x = \omega(p, C)$ , рассуждение то же с параметром $p$ (там, где $\omega_p\ne 0$ ). $\blacksquare$

теорема

Интегрирование уравнения Лагранжа

Формулировка

Для уравнения Лагранжа $y = x\varphi(y') + \psi(y')$ с гладкими $\varphi$ , $\psi$ :

на участках, где $\varphi(p)\ne p$ , функция $x(p)$ удовлетворяет линейному уравнению

\bigl(p - \varphi(p)\bigr)\frac{dx}{dp} = x\varphi'(p) + \psi'(p),

и, найдя $x = \omega(p, C)$ , получаем решения $x = \omega(p, C)$ , $y = \omega(p, C)\varphi(p) + \psi(p)$ ;

для каждого корня $p_0$ уравнения $\varphi(p_0) = p_0$ прямая $y = p_0x + \psi(p_0)$ — решение (оно может оказаться особым).

Доказательство

Развернуть

По методу введения параметра: $dy = p\,dx$ и $dy = \varphi\,dx + (x\varphi' + \psi')\,dp$ . Приравнивая, получаем $(p - \varphi)\,dx = (x\varphi' + \psi')\,dp$ . При $p\ne\varphi(p)$ это линейное уравнение для $x(p)$ , которое решается методом вариации постоянной.
Для $y = p_0x + \psi(p_0)$ имеем $y' = p_0$ , и $x\varphi(p_0) + \psi(p_0) = p_0x + \psi(p_0) = y$ . $\blacksquare$

теорема

Общее и особое решения уравнения Клеро

Формулировка

Пусть $\psi\in C^2$ и $\psi''\ne 0$ . Уравнение Клеро $y = xy' + \psi(y')$ имеет:

семейство решений — прямые $y = Cx + \psi(C)$ ;
решение, заданное параметрически:

x = -\psi'(p),\qquad y = -p\psi'(p) + \psi(p).

Оно является особым: это огибающая семейства прямых.

Доказательство

Развернуть

По методу введения параметра $p\,dx = p\,dx + (x + \psi'(p))\,dp$ , то есть $(x + \psi'(p))\,dp = 0$ .

$dp = 0$ : $p = C$ , и $y = Cx + \psi(C)$ . Это действительно решение.
$x + \psi'(p) = 0$ : $x = -\psi'(p)$ , $y = xp + \psi(p)$ . Тогда $\dfrac{dy}{dp} = -p\psi''(p)$ , $\dfrac{dx}{dp} = -\psi''(p)\ne 0$ , и $\dfrac{dy}{dx} = p$ . Значит, $y = xy' + \psi(y')$ выполнено.

В точке с параметром $p$ этой кривой через неё проходит прямая $y = px + \psi(p)$ с тем же угловым коэффициентом $p$ . Прямая не совпадает с кривой ни на каком участке: у кривой угловой коэффициент $p$ строго монотонно меняется вдоль неё, так как $dx/dp\ne 0$ . Поэтому в каждой точке нарушается единственность, и решение особое. $\blacksquare$

теорема

Огибающая семейства интегральных кривых — особое решение

Формулировка

Пусть $\Phi(x, y, C) = 0$ — семейство интегральных кривых уравнения $F(x, y, y') = 0$ . Тогда:

огибающая этого семейства (если она существует и является гладкой кривой) — особое решение;
если огибающая параметризована гладко как $x = x(C)$ , $y = y(C)$ (точка касания с кривой параметра $C$ ) и $\Phi\in C^1$ , $(\Phi_x, \Phi_y)\ne 0$ , то она лежит на $C$ -дискриминантной кривой.

Доказательство

Развернуть

В каждой точке огибающей её касательная совпадает с касательной к некоторой интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому угловой коэффициент $p$ огибающей удовлетворяет $F(x, y, p) = 0$ , и огибающая — решение. Через каждую её точку проходит другое решение с той же касательной (кривая семейства), не совпадающее с огибающей ни на каком участке. Значит, решение особое.
Из $\Phi(x(C), y(C), C)\equiv 0$ дифференцированием получаем

\Phi_xx'(C) + \Phi_yy'(C) + \Phi_C = 0.

Касание означает, что касательный вектор $(x', y')$ огибающей ортогонален нормали $(\Phi_x, \Phi_y)$ к кривой семейства. Поэтому первые два слагаемых в сумме дают нуль, и $\Phi_C = 0$ . $\blacksquare$

Уравнение, распадающееся на два

Условие

Решить уравнение $y'^2 - (x + y)y' + xy = 0$ .

Решение

Развернуть

Левая часть раскладывается: $(y' - x)(y' - y) = 0$ . Уравнение распадается на два:

y' = x\ \Rightarrow\ y = \frac{x^2}2 + C;\qquad y' = y\ \Rightarrow\ y = Ce^x.

Через каждую точку проходят две интегральные кривые (по одной из каждого семейства). Они касаются только на прямой $y = x$ , где корни $p = x$ и $p = y$ совпадают; это $p$ -дискриминантная кривая, но не решение.

Уравнение Клеро y = xy' + y'²

Условие

Найти общее и особое решения уравнения $y = xy' + y'^2$ .

Решение

Развернуть

Это уравнение Клеро с $\psi(p) = p^2$ , $\psi'' = 2\ne 0$ . Общее решение: $y = Cx + C^2$ .

Особое решение: $x = -\psi'(p) = -2p$ , $y = -2p^2 + p^2 = -p^2$ . Исключая $p = -x/2$ , получаем $y = -\dfrac{x^2}4$ .

Проверка через $p$ -дискриминант: $F = xp + p^2 - y$ , $F_p = x + 2p = 0$ , откуда $p = -x/2$ и $y = -\frac{x^2}2 + \frac{x^2}4 = -\frac{x^2}4$ . Прямые $y = Cx + C^2$ касаются параболы $y = -x^2/4$ в точках $x = -2C$ .

Уравнение Лагранжа y = 2xy' − y'²

Условие

Решить уравнение $y = 2xy' - y'^2$ .

Решение

Развернуть

$\varphi(p) = 2p$ , $\psi(p) = -p^2$ . Уравнение для $x(p)$ : $(p - 2p)\dfrac{dx}{dp} = 2x - 2p$ , то есть при $p\ne 0$

\frac{dx}{dp} + \frac{2x}{p} = 2\quad\Longrightarrow\quad (p^2x)' = 2p^2\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2p}3 + \frac C{p^2}.

Тогда $y = 2xp - p^2 = \dfrac{p^2}3 + \dfrac{2C}p$ .

Корень $\varphi(p_0) = p_0$ : $p_0 = 0$ , ему отвечает прямая $y = 0$ . Подстановка подтверждает, что это решение.

Ответ: $x = \dfrac{2p}3 + \dfrac C{p^2}$ , $y = \dfrac{p^2}3 + \dfrac{2C}p$ ; $y = 0$ .

Особое решение уравнения y'² = 4y

Условие

Найти решения уравнения $y'^2 = 4y$ и выяснить, есть ли у него особые решения.

Решение

Развернуть

При $y > 0$ : $y' = \pm2\sqrt y$ , $\sqrt y = \pm(x - C)$ , то есть $y = (x - C)^2$ (каждая парабола составлена из двух ветвей). Кроме того, $y\equiv 0$ — решение.

$p$ -дискриминант: $F = p^2 - 4y = 0$ , $F_p = 2p = 0$ , откуда $y = 0$ . $C$ -дискриминант: $(x - C)^2 - y = 0$ , $-2(x - C) = 0$ , откуда тоже $y = 0$ .

Через каждую точку $(x_0, 0)$ проходят решение $y = 0$ и парабола $y = (x - x_0)^2$ с той же (горизонтальной) касательной. Значит, $y = 0$ — особое решение и огибающая семейства парабол.

Уравнение, разрешённое относительно x

Условие

Решить уравнение $x = y'^3 + y'$ .

Решение

Развернуть

Положим $y' = p$ : $x = p^3 + p$ , $dx = (3p^2 + 1)\,dp$ . Тогда

dy = p\,dx = (3p^3 + p)\,dp\quad\Longrightarrow\quad y = \frac34p^4 + \frac12p^2 + C.

Ответ в параметрической форме: $x = p^3 + p$ , $y = \frac34p^4 + \frac12p^2 + C$ .

Так как $dx/dp = 3p^2 + 1 > 0$ , параметр $p$ однозначно выражается через $x$ , и каждое решение определено на всей оси.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной

Уравнением первого порядка, не разрешённым относительно производной, называется уравнение

F(x, y, y') = 0.

Если его удаётся разрешить относительно $y'$ , оно распадается на несколько уравнений $y' = f_i(x, y)$ . Поэтому через одну точку $(x_0, y_0)$ может проходить несколько интегральных кривых с разными направлениями $p_0$ — корнями уравнения $F(x_0, y_0, p) = 0$ .

Особая точка и особое решение

Точка $(x_0, y_0)$ называется особой точкой уравнения, если в любой её окрестности нарушается существование или единственность решения задачи Коши. Например, для $y' = M(x, y)/N(x, y)$ особыми бывают точки, где $M = N = 0$ .

Решение $y = \varphi(x)$ называется особым, если через каждую его точку, кроме него самого, проходит другое решение, которое имеет в этой точке ту же касательную, но не совпадает с ним ни в какой окрестности этой точки. Иначе говоря, в каждой точке особого решения нарушается единственность.

Дискриминантные кривые. Огибающая

$p$ -дискриминантной кривой уравнения $F(x, y, p) = 0$ , $p = y'$ , называется множество точек $(x, y)$ , для которых при некотором $p$

F(x, y, p) = 0,\qquad F_p(x, y, p) = 0.

Огибающей семейства кривых $\Phi(x, y, C) = 0$ называется кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства и на любом своём участке не совпадает ни с одной кривой семейства.

$C$ -дискриминантной кривой семейства называется множество, задаваемое системой $\Phi(x, y, C) = 0$ , $\Phi_C(x, y, C) = 0$ .

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется уравнение, линейное относительно $x$ и $y$ :

y = x\,\varphi(y') + \psi(y'),\qquad \varphi(p)\not\equiv p.

Уравнением Клеро называется частный случай $\varphi(p) = p$ :

y = xy' + \psi(y').

Задача Коши для уравнения первого порядка

Задачей Коши для уравнения $y' = f(x, y)$ , $(x, y)\in G$ , называется задача отыскания решения $y(x)$ , удовлетворяющего начальному условию

y(x_0) = y_0,\qquad (x_0, y_0)\in G.

Геометрически: найти интегральную кривую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$ .

Задача Коши однозначно разрешима, если она имеет решение и любые два её решения совпадают на общем интервале определения.

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике

\Pi = \{|x - x_0|\le a,\ |y - y_0|\le b\},

$|f|\le M$ в $\Pi$ , и $f$ удовлетворяет в $\Pi$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ . Тогда на отрезке $|x - x_0|\le h$ , где

h = \min\left(a, \frac bM\right),

задача Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ имеет решение, и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

По лемме об эквивалентности достаточно решить интегральное уравнение $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ . Рассмотрим отрезок $x_0\le x\le x_0 + h$ (левая половина аналогична).

Последовательные приближения:

y_0(x)\equiv y_0,\qquad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y_n(t)\bigr)\,dt.

Графики не выходят из $\Pi$ . Если график непрерывной $y_n$ лежит в $\Pi$ , то $y_{n+1}$ определена, непрерывна и $|y_{n+1}(x) - y_0|\le M(x - x_0)\le Mh\le b$ .
Оценка разностей. Индукцией докажем

|y_{n+1}(x) - y_n(x)|\le\frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

При $n = 0$ это шаг 1. Переход:

|y_{n+1} - y_n|\le\int_{x_0}^xL|y_n(t) - y_{n-1}(t)|\,dt\le L\int_{x_0}^x\frac{ML^{n-1}(t - x_0)^n}{n!}\,dt = \frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

Равномерная сходимость. Ряд $y_0 + \sum_n(y_{n+1} - y_n)$ мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum_nML^nh^{n+1}/(n + 1)!$ . По признаку Вейерштрасса $y_n\rightrightarrows y$ на $[x_0, x_0 + h]$ ; предел непрерывен, его график лежит в $\Pi$ (множество $\Pi$ замкнуто).
Предел — решение. $|f(t, y_n(t)) - f(t, y(t))|\le L|y_n(t) - y(t)|\rightrightarrows 0$ . Поэтому в равенстве для $y_{n+1}$ можно перейти к пределу под знаком интеграла: $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ .
Единственность. Пусть $z$ — ещё одно решение на $[x_0, x_0 + h']$ , $h'\le h$ . Его график лежит в $\Pi$ : иначе в первой точке выхода $x^*$ было бы $|z(x^*) - y_0| = b$ , но $|z(x^*) - y_0|\le M(x^* - x_0) < Mh\le b$ . Для $u = |y - z|$

u(x)\le\int_{x_0}^x|f(t, y) - f(t, z)|\,dt\le L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,

и по лемме Гронуолла с $a = 0$ получаем $u\equiv 0$ . $\blacksquare$

Достаточное условие Липшица

Формулировка

Пусть в области $D$ , выпуклой по $y$ (вместе с точками $(x, y_1)$ , $(x, y_2)$ содержит соединяющий их отрезок; например, в прямоугольнике), производная $f_y$ существует и $|f_y|\le L$ . Тогда $f$ удовлетворяет в $D$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ .

В частности, если $f_y$ непрерывна в области $G$ , то $f$ удовлетворяет в $G$ локальному условию Липшица.

Доказательство

Развернуть

По теореме Лагранжа $f(x, y_1) - f(x, y_2) = f_y(x, \xi)(y_1 - y_2)$ для некоторого $\xi$ между $y_1$ и $y_2$ , откуда $|f(x, y_1) - f(x, y_2)|\le L|y_1 - y_2|$ .

Если $f_y$ непрерывна в $G$ , то у каждой точки $G$ есть замкнутый прямоугольник, лежащий в $G$ . На нём $|f_y|$ ограничен по теореме Вейерштрасса. $\blacksquare$

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Пусть $p$ , $q$ непрерывны на $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ , $y_0\in\mathbb R$ уравнение $y' + p(x)y = q(x)$ имеет на всём интервале $I$ единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0e^{-\int_{x_0}^xp(t)\,dt} + \int_{x_0}^xq(s)\,e^{-\int_s^xp(t)\,dt}\,ds.

Общее решение: $y = e^{-P(x)}\left(C + \int q(x)e^{P(x)}\,dx\right)$ , $P' = p$ .

Доказательство

Развернуть

Ищем решение в виде $y = C(x)e^{-P(x)}$ — «варьируем» постоянную в решении однородного уравнения. Подставляя, получаем

C'e^{-P} - Cpe^{-P} + pCe^{-P} = q\quad\Longrightarrow\quad C' = qe^{P}.

Отсюда $C(x) = y_0 + \int_{x_0}^xq(s)e^{P(s)}\,ds$ , где $P(x) = \int_{x_0}^xp$ . Подстановка даёт формулу Коши; функция определена и дифференцируема на всём $I$ .

Единственность: разность двух решений с одинаковым начальным значением решает однородное уравнение и обращается в нуль в точке $x_0$ . Значит, она равна $Ce^{-P}$ с $C = 0$ . $\blacksquare$

Уравнения, не разрешённые относительно производной. Особые решения

Теорема Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной

Формулировка

Доказательство

Особое решение лежит на p-дискриминантной кривой

Формулировка

Доказательство

Метод введения параметра

Формулировка

Доказательство

Интегрирование уравнения Лагранжа

Формулировка

Доказательство

Общее и особое решения уравнения Клеро

Формулировка

Доказательство

Огибающая семейства интегральных кривых — особое решение

Формулировка

Доказательство

Уравнение, распадающееся на два

Условие

Решение

Уравнение Клеро y = xy' + y'²

Условие

Решение

Уравнение Лагранжа y = 2xy' − y'²

Условие

Решение

Особое решение уравнения y'² = 4y

Условие

Решение

Уравнение, разрешённое относительно x

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной

Особая точка и особое решение

Дискриминантные кривые. Огибающая

Уравнения Лагранжа и Клеро

Задача Коши для уравнения первого порядка

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие Липшица

Формулировка

Доказательство

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Доказательство