Уравнения высших порядков. Понижение порядка

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Теорема Коши для уравнения n-го порядка
Уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x). Формула Коши
Уравнения, не содержащие искомой функции
Уравнения, не содержащие независимой переменной
Уравнения, однородные относительно искомой функции и её производных
Уравнение в точных производных

теорема

Теорема Коши для уравнения n-го порядка

Формулировка

Пусть функция $f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)})$ непрерывна в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ вместе с частными производными по $y, y', \dots, y^{(n-1)}$ (достаточно локального условия Липшица по этим переменным). Тогда для любой точки $(x_0, y_0, \dots, y_0^{(n-1)})\in G$ задача Коши для уравнения $y^{(n)} = f(x, y, \dots, y^{(n-1)})$ имеет решение на некотором отрезке $|x - x_0|\le h$ , и это решение единственно.

Доказательство

Развернуть

Введём вектор $z = (z_1, \dots, z_n) = (y, y', \dots, y^{(n-1)})$ . Уравнение равносильно нормальной системе

z_1' = z_2,\quad\dots,\quad z_{n-1}' = z_n,\quad z_n' = f(x, z_1, \dots, z_n)

с начальным условием $z(x_0) = (y_0, \dots, y_0^{(n-1)})$ .

Для систем доказательство повторяет доказательство теоремы Коши–Пикара дословно. Модуль заменяется нормой вектора, прямоугольник — цилиндром $|x - x_0|\le a$ , $\|z - z_0\|\le b$ , а условие Липшица записывается как $\|F(x, z) - F(x, w)\|\le L\|z - w\|$ . Подробно сведение разобрано в теме о нормальных системах. $\blacksquare$

теорема

Уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x). Формула Коши

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $I$ , $x_0\in I$ . Решение уравнения $y^{(n)} = f(x)$ с начальными условиями $y^{(k)}(x_0) = y_0^{(k)}$ , $k = 0, \dots, n-1$ , существует на всём $I$ , единственно и задаётся формулой

y(x) = \sum_{k=0}^{n-1}y_0^{(k)}\frac{(x - x_0)^k}{k!} + \frac1{(n - 1)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{n-1}f(t)\,dt.

Общее решение: $y = \frac1{(n-1)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{n-1}f(t)\,dt + C_1x^{n-1} + \dots + C_{n-1}x + C_n$ .

Доказательство

Развернуть

Положим $J_m(x) = \frac1{(m-1)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{m-1}f(t)\,dt$ . Дифференцируя по параметру, при $m\ge 2$ получаем

J_m'(x) = \frac{(x - x)^{m-1}}{(m - 1)!}f(x) + \frac1{(m-2)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{m-2}f(t)\,dt = J_{m-1}(x),

а $J_1' = f$ . Поэтому $J_n^{(k)} = J_{n-k}$ при $k < n$ , $J_n^{(n)} = f$ , и все $J_n^{(k)}(x_0) = 0$ при $k < n$ . Многочлен Тейлора в формуле обеспечивает начальные условия, а его $n$ -я производная равна нулю.

Единственность: разность двух решений имеет нулевую $n$ -ю производную. Значит, это многочлен степени меньше $n$ (по теореме о функции с нулевой производной, применённой $n$ раз). Все его производные в точке $x_0$ до порядка $n-1$ равны нулю, поэтому он тождественно равен нулю. $\blacksquare$

теорема

Уравнения, не содержащие искомой функции

Формулировка

Уравнение $F\bigl(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \dots, y^{(n)}\bigr) = 0$ , не содержащее $y, y', \dots, y^{(k-1)}$ , заменой $z = y^{(k)}$ приводится к уравнению порядка $n - k$ :

F\bigl(x, z, z', \dots, z^{(n-k)}\bigr) = 0.

Если $z = \varphi(x, C_1, \dots, C_{n-k})$ — его решения, то $y$ находится $k$ -кратным интегрированием уравнения $y^{(k)} = \varphi$ .

Доказательство

Развернуть

Если $y$ — решение, то $z = y^{(k)}$ удовлетворяет уравнению для $z$ , так как $z^{(j)} = y^{(k+j)}$ . Обратно, если $z$ — решение уравнения для $z$ , то любое решение уравнения $y^{(k)} = z(x)$ (оно существует по теореме об уравнении $y^{(n)} = f(x)$ и содержит ещё $k$ постоянных) удовлетворяет исходному уравнению. $\blacksquare$

теорема

Уравнения, не содержащие независимой переменной

Формулировка

Уравнение $F\bigl(y, y', \dots, y^{(n)}\bigr) = 0$ , не содержащее $x$ явно, заменой $y' = p(y)$ , где $y$ — новая независимая переменная, приводится к уравнению порядка $n - 1$ относительно $p(y)$ . При этом

y'' = p\frac{dp}{dy},\qquad y''' = p^2\frac{d^2p}{dy^2} + p\left(\frac{dp}{dy}\right)^2,\ \dots

Решения $y\equiv b$ (для которых замена невозможна) проверяются отдельно.

Доказательство

Развернуть

Пусть $y(x)$ — решение и $y'\ne 0$ на интервале. Тогда $y$ строго монотонна, существует обратная функция $x = x(y)$ , и $p(y) := y'(x(y))$ определена. По правилу дифференцирования сложной функции

y'' = \frac{d}{dx}p(y(x)) = \frac{dp}{dy}\,y' = p\frac{dp}{dy},

и далее по индукции $y^{(k)}$ выражается через $p, p', \dots, p^{(k-1)}$ (производные по $y$ ). Подстановка даёт уравнение порядка $n - 1$ для $p(y)$ .

Обратно, по решению $p(y)$ функция $y(x)$ находится из уравнения первого порядка $y' = p(y)$ с разделяющимися переменными. $\blacksquare$

теорема

Уравнения, однородные относительно искомой функции и её производных

Формулировка

Пусть $F\bigl(x, ty, ty', \dots, ty^{(n)}\bigr) = t^mF\bigl(x, y, y', \dots, y^{(n)}\bigr)$ при $t\ne 0$ . Тогда подстановка $y' = yz$ (то есть $y = e^{\int z\,dx}$ ) понижает порядок уравнения $F(x, y, \dots, y^{(n)}) = 0$ на единицу. Решение $y\equiv 0$ проверяется отдельно.

Доказательство

Развернуть

Индукцией по $k$ докажем, что $y^{(k)} = y\,P_k\bigl(z, z', \dots, z^{(k-1)}\bigr)$ для некоторого многочлена $P_k$ . При $k = 1$ : $P_1 = z$ . Переход:

y^{(k+1)} = \bigl(yP_k\bigr)' = yzP_k + y\frac{d}{dx}P_k = y\bigl(zP_k + P_k'\bigr),

где $P_k'$ содержит производные $z$ до порядка $k$ . В частности, $y'' = y(z' + z^2)$ .

Подставляя и пользуясь однородностью при $t = y\ne 0$ , получаем

F = y^mF\bigl(x, 1, P_1, \dots, P_n\bigr) = 0\quad\Longleftrightarrow\quad F\bigl(x, 1, z, z' + z^2, \dots\bigr) = 0.

Это уравнение порядка $n - 1$ относительно $z$ . $\blacksquare$

теорема

Уравнение в точных производных

Формулировка

Если левая часть уравнения $F(x, y, \dots, y^{(n)}) = 0$ тождественно равна полной производной

F = \frac{d}{dx}\Phi\bigl(x, y, \dots, y^{(n-1)}\bigr)

некоторой функции $\Phi$ , то $\Phi(x, y, \dots, y^{(n-1)}) = C$ — промежуточный интеграл, и порядок понижается на единицу. Иногда левую часть удаётся привести к такому виду умножением на подходящий множитель.

Доказательство

Развернуть

Вдоль любого решения $\frac{d}{dx}\Phi\bigl(x, y(x), \dots, y^{(n-1)}(x)\bigr) = 0$ , поэтому $\Phi$ постоянна. Обратно, если функция удовлетворяет уравнению $\Phi = C$ порядка $n - 1$ (и достаточно гладкая), то дифференцирование даёт $F = 0$ . $\blacksquare$

Трёхкратное интегрирование

Условие

Найти общее решение уравнения $y''' = e^{2x}$ .

Решение

Развернуть

Интегрируем три раза: $y'' = \frac12e^{2x} + C_1$ , $y' = \frac14e^{2x} + C_1x + C_2$ ,

y = \frac18e^{2x} + C_1\frac{x^2}2 + C_2x + C_3.

Переобозначив постоянную, ответ можно записать как $y = \frac18e^{2x} + C_1x^2 + C_2x + C_3$ .

Уравнение без искомой функции

Условие

Решить уравнение $xy'' = y'$ .

Решение

Развернуть

Замена $z = y'$ : $xz' = z$ . Это уравнение с разделяющимися переменными, его решения $z = 2C_1x$ (множитель $2$ выбран для удобства). Тогда

y = C_1x^2 + C_2.

Решения определены на всей оси, хотя при $x = 0$ уравнение вырождается.

Уравнение yy'' = y'²

Условие

Решить уравнение $yy'' = y'^2$ .

Решение

Развернуть

Способ 1. Уравнение однородно относительно $y, y', y''$ (степень $2$ ). Подстановка $y' = yz$ , $y'' = y(z' + z^2)$ :

y^2(z' + z^2) = y^2z^2\quad\Longrightarrow\quad z' = 0,\ z = C_1.

Тогда $y' = C_1y$ , $y = C_2e^{C_1x}$ .

Способ 2. Уравнение не содержит $x$ : $y' = p(y)$ , $y'' = pp'$ , и $ypp' = p^2$ . При $p\ne 0$ получаем $p' = p/y$ , $p = C_1y$ — тот же ответ.

Ответ: $y = C_2e^{C_1x}$ ; сюда входит и $y\equiv 0$ (при $C_2 = 0$ ).

Задача Коши для y'' = 2y³

Условие

Решить задачу Коши $y'' = 2y^3$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 1$ .

Решение

Развернуть

$y' = p(y)$ , $pp' = 2y^3$ , откуда $p^2 = y^4 + C_1$ . При $y = 1$ имеем $p = 1$ , так что $C_1 = 0$ и $p = y^2$ (знак — по условию $p(1) = 1 > 0$ ).

$y' = y^2$ , $-\frac1y = x + C_2$ ; $y(0) = 1$ даёт $C_2 = -1$ :

y = \frac1{1 - x},\qquad x < 1.

Проверка: $y'' = \frac{2}{(1-x)^3} = 2y^3$ .

Уравнение в точных производных

Условие

Решить задачу Коши $y'' = 2yy'$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .

Решение

Развернуть

$y'' - 2yy' = \frac{d}{dx}\bigl(y' - y^2\bigr) = 0$ , поэтому $y' - y^2 = C_1$ — промежуточный интеграл. Из начальных условий $C_1 = 1$ .

$y' = 1 + y^2$ , $\operatorname{arctg}y = x + C_2$ , $C_2 = 0$ :

y = \operatorname{tg}x,\qquad |x| < \frac\pi2.

Формула Коши для y'' = 1/(1 + x²)

Условие

С помощью формулы Коши решить задачу $y'' = \dfrac1{1 + x^2}$ , $y(0) = y'(0) = 0$ .

Решение

Развернуть

y = \int_0^x\frac{x - t}{1 + t^2}\,dt = x\operatorname{arctg}x - \frac12\ln(1 + x^2).

Проверка: $y' = \operatorname{arctg}x + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{x}{1 + x^2} = \operatorname{arctg}x$ , $y'' = \frac1{1 + x^2}$ , $y(0) = y'(0) = 0$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике

\Pi = \{|x - x_0|\le a,\ |y - y_0|\le b\},

$|f|\le M$ в $\Pi$ , и $f$ удовлетворяет в $\Pi$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ . Тогда на отрезке $|x - x_0|\le h$ , где

h = \min\left(a, \frac bM\right),

задача Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ имеет решение, и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

По лемме об эквивалентности достаточно решить интегральное уравнение $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ . Рассмотрим отрезок $x_0\le x\le x_0 + h$ (левая половина аналогична).

Последовательные приближения:

y_0(x)\equiv y_0,\qquad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y_n(t)\bigr)\,dt.

Графики не выходят из $\Pi$ . Если график непрерывной $y_n$ лежит в $\Pi$ , то $y_{n+1}$ определена, непрерывна и $|y_{n+1}(x) - y_0|\le M(x - x_0)\le Mh\le b$ .
Оценка разностей. Индукцией докажем

|y_{n+1}(x) - y_n(x)|\le\frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

При $n = 0$ это шаг 1. Переход:

|y_{n+1} - y_n|\le\int_{x_0}^xL|y_n(t) - y_{n-1}(t)|\,dt\le L\int_{x_0}^x\frac{ML^{n-1}(t - x_0)^n}{n!}\,dt = \frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

Равномерная сходимость. Ряд $y_0 + \sum_n(y_{n+1} - y_n)$ мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum_nML^nh^{n+1}/(n + 1)!$ . По признаку Вейерштрасса $y_n\rightrightarrows y$ на $[x_0, x_0 + h]$ ; предел непрерывен, его график лежит в $\Pi$ (множество $\Pi$ замкнуто).
Предел — решение. $|f(t, y_n(t)) - f(t, y(t))|\le L|y_n(t) - y(t)|\rightrightarrows 0$ . Поэтому в равенстве для $y_{n+1}$ можно перейти к пределу под знаком интеграла: $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ .
Единственность. Пусть $z$ — ещё одно решение на $[x_0, x_0 + h']$ , $h'\le h$ . Его график лежит в $\Pi$ : иначе в первой точке выхода $x^*$ было бы $|z(x^*) - y_0| = b$ , но $|z(x^*) - y_0|\le M(x^* - x_0) < Mh\le b$ . Для $u = |y - z|$

u(x)\le\int_{x_0}^x|f(t, y) - f(t, z)|\,dt\le L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,

и по лемме Гронуолла с $a = 0$ получаем $u\equiv 0$ . $\blacksquare$

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $(a, b)$ . Тогда все решения уравнения $y' = f(x)$ на $(a, b)$ имеют вид

y = F(x) + C,

где $F$ — какая-либо первообразная $f$ , а $C$ — произвольная постоянная. Для любых $x_0\in(a, b)$ и $y_0$ существует единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf(t)\,dt.

Доказательство

Развернуть

По теореме Барроу функция $F(x) = \int_{x_0}^xf(t)\,dt$ дифференцируема и $F' = f$ , поэтому $F + C$ — решение.

Если $y$ — любое решение, то $(y - F)' = 0$ на интервале. По теореме Лагранжа $y - F$ постоянна.

Условие $y(x_0) = y_0$ однозначно определяет постоянную: $C = y_0$ при $F(x_0) = 0$ . $\blacksquare$

Уравнения высших порядков. Понижение порядка

Теорема Коши для уравнения n-го порядка

Формулировка

Доказательство

Уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x). Формула Коши

Формулировка

Доказательство

Уравнения, не содержащие искомой функции

Формулировка

Доказательство

Уравнения, не содержащие независимой переменной

Формулировка

Доказательство

Уравнения, однородные относительно искомой функции и её производных

Формулировка

Доказательство

Уравнение в точных производных

Формулировка

Доказательство

Трёхкратное интегрирование

Условие

Решение

Уравнение без искомой функции

Условие

Решение

Уравнение yy'' = y'²

Условие

Решение

Задача Коши для y'' = 2y³

Условие

Решение

Уравнение в точных производных

Условие

Решение

Формула Коши для y'' = 1/(1 + x²)

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Промежуточный интеграл

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Доказательство

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Доказательство