Уравнения с разделяющимися переменными и однородные

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными
Решения уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение y' = f(ax + by + c)
Интегрирование однородного уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным

теорема

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $I$ , $g$ — на интервале $J$ , и $F$ , $G$ — их первообразные. Тогда

F(x) + G(y) = C

— общий интеграл уравнения $f(x)\,dx + g(y)\,dy = 0$ в прямоугольнике $I\times J$ : всякое решение удовлетворяет этому соотношению при некотором $C$ , и всякая гладкая кривая, на которой $F(x) + G(y)$ постоянно, — интегральная кривая.

Доказательство

Развернуть

Пусть $y = y(x)$ — решение: $f(x) + g(y(x))y'(x) = 0$ . Тогда

\frac{d}{dx}\bigl[F(x) + G(y(x))\bigr] = f(x) + g(y(x))\,y'(x) = 0,

и функция $F(x) + G(y(x))$ постоянна. Для решения вида $x = x(y)$ рассуждение то же.

Обратно, если $F(x) + G(y(x))\equiv C$ для дифференцируемой функции $y(x)$ , то дифференцирование даёт $f(x) + g(y)y' = 0$ , то есть $y(x)$ — решение. $\blacksquare$

теорема

Решения уравнения с разделяющимися переменными

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $I$ , $g$ непрерывна на интервале $J$ . Для уравнения $y' = f(x)g(y)$ :

если $g(b) = 0$ , то $y\equiv b$ — решение;
на всяком интервале, где решение $y(x)$ удовлетворяет условию $g(y(x))\ne 0$ , оно задаётся соотношением

\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C;

обратно, при каждом $C$ это соотношение задаёт решение (там, где оно разрешимо относительно $y$ ).

Если, кроме того, $g\in C^1(J)$ , то решения $y\equiv b$ не пересекаются с остальными решениями (это следует из теоремы единственности). Без этого условия возможны «склейки» решений.

Доказательство

Развернуть

При $y\equiv b$ обе части уравнения равны нулю.
Пусть $G$ — первообразная функции $1/g$ на интервале, где $g\ne 0$ . Если $y(x)$ — решение и $g(y(x))\ne 0$ , то

\frac{d}{dx}G(y(x)) = \frac{y'(x)}{g(y(x))} = f(x),

откуда $G(y(x)) = F(x) + C$ , где $F$ — первообразная $f$ .

На интервале, где $g\ne 0$ , непрерывная функция $g$ сохраняет знак, поэтому $G$ строго монотонна и обратима. Функция $y = G^{-1}(F(x) + C)$ дифференцируема, и

y' = \frac{f(x)}{G'(y)} = f(x)g(y). \qquad\blacksquare

следствие

Уравнение y' = f(ax + by + c)

Формулировка

Уравнение $y' = f(ax + by + c)$ , $b\ne 0$ , заменой $z = ax + by + c$ приводится к уравнению с разделяющимися переменными

z' = a + bf(z).

Доказательство

Развернуть

Если $y(x)$ — решение, то $z(x) = ax + by(x) + c$ дифференцируема и $z' = a + by' = a + bf(z)$ . Обратно, по решению $z(x)$ функция $y = (z - ax - c)/b$ удовлетворяет исходному уравнению. Правая часть $a + bf(z)$ не зависит от $x$ , то есть уравнение имеет вид из теоремы о разделяющихся переменных с множителем $1$ при $x$ . $\blacksquare$

теорема

Интегрирование однородного уравнения

Формулировка

Уравнение $M\,dx + N\,dy = 0$ с однородными функциями $M$ , $N$ одной степени $m$ в области, где $N\ne 0$ , равносильно уравнению вида $y' = g(y/x)$ .
Уравнение $y' = g(y/x)$ с непрерывной $g$ заменой $y = xu(x)$ , $x\ne 0$ , приводится к уравнению с разделяющимися переменными

xu' = g(u) - u.

Его решения: прямые $y = u_0x$ , где $g(u_0) = u_0$ , и кривые

\int\frac{du}{g(u) - u} = \ln|x| + C,\qquad u = \frac yx.

Доказательство

Развернуть

При $x > 0$ возьмём $t = 1/x$ : $M(x, y) = x^mM(1, y/x)$ , $N(x, y) = x^mN(1, y/x)$ , и

y' = -\frac{M(x, y)}{N(x, y)} = -\frac{M(1, y/x)}{N(1, y/x)}.

При $x < 0$ берём $t = -1/x$ и получаем $-M(-1, -y/x)/N(-1, -y/x)$ — также функцию от $y/x$ .

Если $y = xu$ , то $y' = u + xu'$ , и уравнение принимает вид $u + xu' = g(u)$ . Обратная замена $y = xu$ переводит решения в решения, так что уравнения равносильны при $x\ne 0$ . Корням уравнения $g(u_0) = u_0$ отвечают решения $u\equiv u_0$ , остальные решения находятся по теореме о разделяющихся переменных. $\blacksquare$

теорема

Уравнения, приводящиеся к однородным

Формулировка

Рассмотрим уравнение

y' = f\left(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\right),\qquad \Delta = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}.

Если $\Delta\ne 0$ и $(x_0, y_0)$ — точка пересечения прямых $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ , $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ , то замена $x = \xi + x_0$ , $y = \eta + y_0$ приводит уравнение к однородному

\frac{d\eta}{d\xi} = f\left(\frac{a_1\xi + b_1\eta}{a_2\xi + b_2\eta}\right).

Если $\Delta = 0$ , то правая часть — функция от $a_2x + b_2y$ (или от $a_1x + b_1y$ ), и уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Доказательство

Развернуть

При $\Delta\ne 0$ система $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ , $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ имеет единственное решение $(x_0, y_0)$ . Тогда

a_ix + b_iy + c_i = a_i\xi + b_i\eta,\qquad i = 1, 2,

и $dy/dx = d\eta/d\xi$ . Правая часть — однородная функция нулевой степени от $\xi, \eta$ .

При $\Delta = 0$ строки $(a_1, b_1)$ и $(a_2, b_2)$ пропорциональны. Пусть, например, $(a_1, b_1) = \lambda(a_2, b_2)$ . Тогда с $z = a_2x + b_2y$ правая часть равна $f\bigl((\lambda z + c_1)/(z + c_2)\bigr)$ — функция от $a_2x + b_2y$ . Это уравнение вида $y' = h(a_2x + b_2y)$ , и замена $z = a_2x + b_2y$ разделяет переменные. $\blacksquare$

Задача Коши для уравнения с разделяющимися переменными

Условие

Решить задачу Коши

y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2},\qquad y(0) = 1,

и указать максимальный интервал существования решения.

Решение

Развернуть

$1 + y^2\ne 0$ , разделяем переменные:

\int\frac{dy}{1 + y^2} = \int\frac{dx}{1 + x^2}\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}x + C.

Из $y(0) = 1$ находим $C = \pi/4$ . Тогда

y = \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}x + \frac\pi4\right) = \frac{1 + x}{1 - x}.

Решение уходит в бесконечность при $x\to 1$ , поэтому максимальный интервал существования — $(-\infty, 1)$ .

Проверка: $y' = \dfrac{2}{(1-x)^2}$ , $\dfrac{1 + y^2}{1 + x^2} = \dfrac{(1-x)^2 + (1+x)^2}{(1-x)^2(1+x^2)} = \dfrac{2}{(1-x)^2}$ .

Уравнение в дифференциалах с разделяющимися переменными

Условие

Решить уравнение $xy\,dx + (1 + x^2)\,dy = 0$ .

Решение

Развернуть

При $y\ne 0$ делим на $y(1 + x^2)$ :

\frac{dy}{y} = -\frac{x\,dx}{1 + x^2}\quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = -\frac12\ln(1 + x^2) + c.

Отсюда $y = \dfrac{C}{\sqrt{1 + x^2}}$ , $C\ne 0$ . При делении потеряно решение $y\equiv 0$ ; оно получается при $C = 0$ .

Ответ: $y = \dfrac{C}{\sqrt{1 + x^2}}$ , $C\in\mathbb R$ .

Однородное уравнение с корнем

Условие

Решить уравнение $xy' = y + \sqrt{x^2 + y^2}$ при $x > 0$ .

Решение

Развернуть

Уравнение однородное: $y' = y/x + \sqrt{1 + (y/x)^2}$ при $x > 0$ . Подстановка $y = xu$ :

xu' = \sqrt{1 + u^2}\quad\Longrightarrow\quad \int\frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \ln x + c\quad\Longrightarrow\quad u + \sqrt{1 + u^2} = Cx,\ C > 0.

Корней уравнения $g(u) = u$ нет, так как $\sqrt{1 + u^2}\ne 0$ .

Возвращаясь к $y$ : $y + \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2$ . Перенесём $y$ вправо и возведём в квадрат: $x^2 = C^2x^4 - 2Cx^2y$ , откуда

y = \frac{C}{2}x^2 - \frac{1}{2C},\qquad C > 0.

Проверка: $xy' = Cx^2$ , а $x^2 + y^2 = \left(\frac C2x^2 + \frac1{2C}\right)^2$ , так что $y + \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2$ .

Уравнение с параллельными прямыми в числителе и знаменателе

Условие

Решить уравнение

y' = \frac{2x + y - 1}{4x + 2y + 5}.

Решение

Развернуть

Здесь $\Delta = 2\cdot 2 - 1\cdot 4 = 0$ . Положим $z = 2x + y$ :

z' = 2 + \frac{z - 1}{2z + 5} = \frac{5z + 9}{2z + 5}.

Решение $5z + 9 = 0$ даёт прямую $10x + 5y + 9 = 0$ , то есть $y = -2x - \frac95$ ; проверка: $y' = -2$ , а правая часть равна $\frac{-14/5}{7/5} = -2$ .

При $5z + 9\ne 0$ :

\int\frac{2z + 5}{5z + 9}\,dz = \int\left(\frac25 + \frac{7/5}{5z + 9}\right)dz = \frac25z + \frac7{25}\ln|5z + 9| = x + c.

Умножая на $25$ и подставляя $z = 2x + y$ , получаем общий интеграл

10y - 5x + 7\ln|10x + 5y + 9| = C.

Ответ: этот общий интеграл и решение $y = -2x - \frac95$ .

Закон охлаждения Ньютона

Условие

Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Тело охладилось со $100^\circ$ до $60^\circ$ за $20$ минут; температура воздуха $20^\circ$ . Через сколько минут от начала охлаждения температура тела станет $30^\circ$ ?

Решение

Развернуть

$T' = -k(T - 20)$ . Разделяя переменные, получаем $T - 20 = 80e^{-kt}$ (учтено $T(0) = 100$ ).

Из $T(20) = 60$ : $40 = 80e^{-20k}$ , то есть $e^{-20k} = \frac12$ и $T - 20 = 80\cdot 2^{-t/20}$ .

Условие $T = 30$ : $2^{-t/20} = \frac18$ , откуда $t = 60$ минут.

Уравнение, приводящееся к однородному переносом начала

Условие

Решить уравнение

y' = \frac{y - x + 1}{y + x + 3}.

Решение

Развернуть

$\Delta = (-1)\cdot 1 - 1\cdot 1 = -2\ne 0$ . Прямые $y - x + 1 = 0$ и $y + x + 3 = 0$ пересекаются в точке $(-1, -2)$ . Положим $x = \xi - 1$ , $y = \eta - 2$ :

\frac{d\eta}{d\xi} = \frac{\eta - \xi}{\eta + \xi}.

Подстановка $\eta = \xi u$ :

\xi u' = \frac{u - 1}{u + 1} - u = -\frac{u^2 + 1}{u + 1}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(u + 1)\,du}{u^2 + 1} = -\frac{d\xi}{\xi}.

Интегрируя, получаем $\frac12\ln(u^2 + 1) + \operatorname{arctg}u = -\ln|\xi| + c$ , то есть $\frac12\ln(\xi^2 + \eta^2) + \operatorname{arctg}\frac\eta\xi = c$ .

Ответ:

\ln\bigl((x + 1)^2 + (y + 2)^2\bigr) + 2\operatorname{arctg}\frac{y + 2}{x + 1} = C.

В полярных координатах с центром $(-1, -2)$ это логарифмические спирали $r = Ce^{-\varphi}$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Общий интеграл. Интегрирование в квадратурах

Функция $\Phi(x, y)$ , непрерывно дифференцируемая в области $G$ и сохраняющая постоянное значение вдоль каждого решения уравнения, называется интегралом уравнения.

Соотношение $\Phi(x, y) = C$ , которое при подходящих значениях постоянной $C$ задаёт (неявно) все решения уравнения в области $G$ , называется общим интегралом. При фиксированном значении $C$ оно называется частным интегралом.

Говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах, если все его решения выражаются через известные функции и интегралы от них с помощью конечного числа алгебраических операций, взятия первообразных и обращения функций.

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделёнными переменными называется уравнение

f(x)\,dx + g(y)\,dy = 0.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

y' = f(x)\,g(y)\qquad\text{или}\qquad M_1(x)N_1(y)\,dx + M_2(x)N_2(y)\,dy = 0.

Делением на $g(y)$ (соответственно на $N_1(y)M_2(x)$ ) оно приводится к уравнению с разделёнными переменными; при этом могут быть потеряны решения $y = b$ , где $g(b) = 0$ (соответственно $y = b$ и $x = a$ с $N_1(b) = 0$ , $M_2(a) = 0$ ).

Однородное уравнение первого порядка

Функция $M(x, y)$ называется однородной степени $m$ , если

M(tx, ty) = t^mM(x, y)\qquad\text{для всех } t > 0.

Уравнение $y' = f(x, y)$ называется однородным, если $f$ — однородная функция нулевой степени; тогда $f(x, y) = g(y/x)$ . Уравнение $M\,dx + N\,dy = 0$ называется однородным, если $M$ и $N$ — однородные функции одной и той же степени.

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $(a, b)$ . Тогда все решения уравнения $y' = f(x)$ на $(a, b)$ имеют вид

y = F(x) + C,

где $F$ — какая-либо первообразная $f$ , а $C$ — произвольная постоянная. Для любых $x_0\in(a, b)$ и $y_0$ существует единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf(t)\,dt.

Доказательство

Развернуть

По теореме Барроу функция $F(x) = \int_{x_0}^xf(t)\,dt$ дифференцируема и $F' = f$ , поэтому $F + C$ — решение.

Если $y$ — любое решение, то $(y - F)' = 0$ на интервале. По теореме Лагранжа $y - F$ постоянна.

Условие $y(x_0) = y_0$ однозначно определяет постоянную: $C = y_0$ при $F(x_0) = 0$ . $\blacksquare$

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

Формулировка

Пусть $dU = M\,dx + N\,dy$ в области $G$ и $M^2 + N^2 > 0$ в $G$ . Тогда $U(x, y) = C$ — общий интеграл уравнения $M\,dx + N\,dy = 0$ : каждое решение лежит на линии уровня функции $U$ , и каждая линия уровня состоит из интегральных кривых.

Доказательство

Развернуть

Если $y = y(x)$ — решение, то

\frac{d}{dx}U(x, y(x)) = U_x + U_yy' = M + Ny' = 0,

и $U$ постоянна вдоль решения. Для решений вида $x = x(y)$ рассуждение аналогично.

Обратно, пусть $U(x_0, y_0) = C$ . Если $N(x_0, y_0) = U_y\ne 0$ , то по теореме о неявной функции вблизи этой точки линия $U = C$ — график функции $y(x)$ с $y' = -U_x/U_y = -M/N$ , то есть интегральная кривая. Если $N(x_0, y_0) = 0$ , то $M(x_0, y_0)\ne 0$ , и линия уровня — график решения $x = x(y)$ . $\blacksquare$

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными

Формулировка

Доказательство

Решения уравнения с разделяющимися переменными

Формулировка

Доказательство

Уравнение y' = f(ax + by + c)

Формулировка

Доказательство

Интегрирование однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Уравнения, приводящиеся к однородным

Формулировка

Доказательство

Задача Коши для уравнения с разделяющимися переменными

Условие

Решение

Уравнение в дифференциалах с разделяющимися переменными

Условие

Решение

Однородное уравнение с корнем

Условие

Решение

Уравнение с параллельными прямыми в числителе и знаменателе

Условие

Решение

Закон охлаждения Ньютона

Условие

Решение

Уравнение, приводящееся к однородному переносом начала

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Общий интеграл. Интегрирование в квадратурах

Уравнения с разделяющимися переменными

Однородное уравнение первого порядка

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Доказательство

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

Формулировка

Доказательство