Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Действие оператора L(D) на экспоненту. Формула сдвига
Линейная независимость квазимногочленов с разными показателями
ФСР уравнения с постоянными коэффициентами
Вещественная ФСР при комплексных корнях
Частное решение при правой части — квазимногочлене
Частное решение при правой части с синусами и косинусами

лемма

Действие оператора L(D) на экспоненту. Формула сдвига

Формулировка

Для любого $\lambda\in\mathbb C$ и любой $u\in C^n$ :

L(D)e^{\lambda x} = L(\lambda)e^{\lambda x},\qquad L(D)\bigl(e^{\lambda x}u\bigr) = e^{\lambda x}L(D + \lambda)u.

Доказательство

Развернуть

$D(e^{\lambda x}u) = e^{\lambda x}(u' + \lambda u) = e^{\lambda x}(D + \lambda)u$ . Применяя это $k$ раз, получаем $D^k(e^{\lambda x}u) = e^{\lambda x}(D + \lambda)^ku$ . Складывая с коэффициентами $a_j$ , получаем формулу сдвига. При $u\equiv 1$ имеем $(D + \lambda)^k1 = \lambda^k$ , откуда первая формула. $\blacksquare$

лемма

Линейная независимость квазимногочленов с разными показателями

Формулировка

Если $\lambda_1, \dots, \lambda_m\in\mathbb C$ попарно различны, $P_1, \dots, P_m$ — многочлены и

P_1(x)e^{\lambda_1x} + \dots + P_m(x)e^{\lambda_mx}\equiv 0

на интервале, то все $P_j\equiv 0$ . В частности, функции $x^je^{\lambda_ix}$ (с различными парами $(i, j)$ ) линейно независимы.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $m$ . При $m = 1$ после деления на $e^{\lambda_1x}$ получаем $P_1\equiv 0$ .

Переход. Пусть $P_m\not\equiv 0$ , $\deg P_m = d$ . Разделим тождество на $e^{\lambda_mx}$ и продифференцируем $d + 1$ раз. Слагаемое $P_m$ исчезнет, а каждое слагаемое $P_je^{(\lambda_j - \lambda_m)x}$ перейдёт в $Q_je^{(\lambda_j - \lambda_m)x}$ . Здесь $\deg Q_j = \deg P_j$ , так как при $\mu\ne 0$ имеем $(Pe^{\mu x})' = (P' + \mu P)e^{\mu x}$ , и старший коэффициент умножается на $\mu\ne 0$ . Получаем тождество с $m - 1$ слагаемыми, и по предположению индукции все $Q_j\equiv 0$ , а значит, и $P_j\equiv 0$ при $j < m$ . Тогда $P_me^{\lambda_mx}\equiv 0$ , откуда $P_m\equiv 0$ — противоречие. $\blacksquare$

теорема

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Пусть $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ — различные корни характеристического многочлена $L(\lambda)$ кратностей $k_1, \dots, k_s$ , $k_1 + \dots + k_s = n$ . Тогда $n$ функций

x^je^{\lambda_ix},\qquad i = 1, \dots, s,\quad j = 0, \dots, k_i - 1,

образуют ФСР уравнения $L(D)y = 0$ (в классе комплекснозначных функций). В частности, при простых корнях ФСР — $e^{\lambda_1x}, \dots, e^{\lambda_nx}$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda$ — корень кратности $k$ . Тогда $L(\lambda + \mu) = \mu^kM(\mu)$ для некоторого многочлена $M$ . Это тождество многочленов от $\mu$ влечёт операторное тождество $L(D + \lambda) = M(D)D^k$ : операторы с постоянными коэффициентами перемножаются как многочлены. По формуле сдвига

L(D)\bigl(x^je^{\lambda x}\bigr) = e^{\lambda x}M(D)D^kx^j = 0\quad\text{при } j < k.

Итак, все $n$ функций — решения. По лемме о квазимногочленах они линейно независимы, а $n$ независимых решений образуют ФСР. $\blacksquare$

следствие

Вещественная ФСР при комплексных корнях

Формулировка

Пусть коэффициенты $a_j$ вещественны. Тогда невещественные корни $L(\lambda)$ разбиваются на пары $\alpha\pm i\beta$ одинаковой кратности $k$ . Если в ФСР из теоремы о корнях заменить каждую пару $x^je^{(\alpha\pm i\beta)x}$ функциями

x^je^{\alpha x}\cos\beta x,\qquad x^je^{\alpha x}\sin\beta x,\qquad j = 0, \dots, k-1,

то получится вещественная ФСР.

Доказательство

Развернуть

Многочлен с вещественными коэффициентами вместе с корнем $\lambda$ имеет корень $\bar\lambda$ той же кратности ( $L(\bar\lambda) = \overline{L(\lambda)}$ , то же для производных).

Функции $x^je^{\alpha x}\cos\beta x$ и $x^je^{\alpha x}\sin\beta x$ — вещественная и мнимая части решения $x^je^{(\alpha + i\beta)x}$ , поэтому сами являются решениями. Они выражаются через $x^je^{(\alpha\pm i\beta)x}$ невырожденным линейным преобразованием (и обратно):

x^je^{(\alpha\pm i\beta)x} = x^je^{\alpha x}\cos\beta x\pm ix^je^{\alpha x}\sin\beta x.

Поэтому новые $n$ функций порождают то же $n$ -мерное пространство и линейно независимы. $\blacksquare$

теорема

Частное решение при правой части — квазимногочлене

Формулировка

Пусть $f(x) = P_m(x)e^{\gamma x}$ , $\deg P_m = m$ , и $\gamma$ — корень характеристического многочлена кратности $s$ ( $s = 0$ , если $\gamma$ не корень). Тогда уравнение $L(D)y = f$ имеет частное решение вида

\tilde y = x^sQ_m(x)e^{\gamma x},\qquad\deg Q_m = m.

Случай $s > 0$ называется резонансным.

Доказательство

Развернуть

Ищем $y = e^{\gamma x}u$ . По формуле сдвига уравнение принимает вид $L(D + \gamma)u = P_m$ . Как в доказательстве теоремы о корнях, $L(D + \gamma) = M(D)D^s$ , где $M(\mu) = b_0 + b_1\mu + \dots$ , $b_0 = M(0)\ne 0$ .

Рассмотрим пространство $\mathcal P_m$ многочленов степени не выше $m$ . Оператор $Q\mapsto D^s(x^sQ)$ переводит $\mathcal P_m$ в себя и на базисе $x^i$ действует как $x^i\mapsto\frac{(i + s)!}{i!}x^i$ , поэтому он обратим. Оператор $M(D) = b_0 + b_1D + \dots$ на $\mathcal P_m$ в базисе $1, x, \dots, x^m$ имеет треугольную матрицу с числами $b_0\ne 0$ на диагонали, поэтому тоже обратим. Значит, уравнение $M(D)D^s(x^sQ) = P_m$ имеет решение $Q\in\mathcal P_m$ , и $\deg Q = m$ , так как степень сохраняется. $\blacksquare$

следствие

Частное решение при правой части с синусами и косинусами

Формулировка

Пусть коэффициенты вещественны, $f(x) = e^{\alpha x}\bigl(P(x)\cos\beta x + Q(x)\sin\beta x\bigr)$ , $m = \max(\deg P, \deg Q)$ , и $\alpha + i\beta$ — корень $L(\lambda)$ кратности $s$ . Тогда существует частное решение

\tilde y = x^se^{\alpha x}\bigl(R(x)\cos\beta x + S(x)\sin\beta x\bigr),\qquad\deg R, \deg S\le m.

Доказательство

Развернуть

По формулам Эйлера $f = A(x)e^{(\alpha + i\beta)x} + B(x)e^{(\alpha - i\beta)x}$ , где $A$ , $B$ — многочлены степени не выше $m$ . Числа $\alpha\pm i\beta$ — корни одной кратности $s$ . По теореме о квазимногочленах и принципу суперпозиции есть частное решение

y = x^s\bigl(\tilde A(x)e^{(\alpha + i\beta)x} + \tilde B(x)e^{(\alpha - i\beta)x}\bigr).

Так как $L$ и $f$ вещественны, $\operatorname{Re}y$ — тоже решение. Раскрывая экспоненты по формуле Эйлера, видим, что $\operatorname{Re}y$ имеет указанный вид. $\blacksquare$

Простые вещественные корни

Условие

Решить уравнение $y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$ .

Решение

Развернуть

$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3)$ . Корни простые:

y = C_1e^x + C_2e^{2x} + C_3e^{3x}.

Кратные комплексные корни

Условие

Решить уравнение $y^{(4)} + 2y'' + y = 0$ .

Решение

Развернуть

$\lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 = (\lambda^2 + 1)^2$ : корни $\pm i$ кратности $2$ . Вещественная ФСР: $\cos x$ , $\sin x$ , $x\cos x$ , $x\sin x$ .

y = (C_1 + C_2x)\cos x + (C_3 + C_4x)\sin x.

Резонанс при правой части xeˣ

Условие

Решить уравнение $y'' - 3y' + 2y = xe^x$ .

Решение

Развернуть

$L(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$ . Контрольное число $\gamma = 1$ — простой корень, $s = 1$ , $m = 1$ , поэтому ищем $\tilde y = x(Ax + B)e^x$ .

Удобно воспользоваться формулой сдвига: $y = e^xu$ , $L(D + 1) = D(D - 1)$ , то есть $u'' - u' = x$ . Подставляя $u = Ax^2 + Bx$ , получаем $2A - 2Ax - B = x$ , откуда $A = -\frac12$ , $B = -1$ .

Ответ: $y = C_1e^x + C_2e^{2x} - \left(\frac{x^2}2 + x\right)e^x$ .

Резонанс при y'' + y = sin x

Условие

Решить уравнение $y'' + y = \sin x$ и объяснить механический смысл ответа.

Решение

Развернуть

Контрольное число $i$ — простой корень, поэтому ищем $\tilde y = x(A\cos x + B\sin x)$ . Удобнее решить комплексное уравнение $z'' + z = e^{ix}$ и взять мнимую часть. Ищем $z = Axe^{ix}$ ; по формуле сдвига $L(D + i) = D(D + 2i)$ , и $D(D + 2i)(Ax) = 2iA = 1$ , откуда $A = -\frac i2$ . Тогда

z = -\frac i2xe^{ix},\qquad\tilde y = \operatorname{Im}z = -\frac x2\cos x.

Ответ: $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac x2\cos x$ .

Смысл: осциллятор с собственной частотой $1$ под действием силы той же частоты — амплитуда колебаний растёт линейно по времени (резонанс).

Задача Коши с комплексными корнями

Условие

Решить задачу Коши $y'' - 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 3$ .

Решение

Развернуть

$\lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0$ , $\lambda = 1\pm 2i$ . Общее решение: $y = e^x(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ .

$y(0) = C_1 = 1$ ; $y'(0) = C_1 + 2C_2 = 3$ , откуда $C_2 = 1$ .

Ответ: $y = e^x(\cos 2x + \sin 2x)$ .

Вид и вычисление частного решения при сложной правой части

Условие

Найти частное решение уравнения $y''' - y'' = x^2 + e^x + \sin x$ .

Решение

Развернуть

$L(\lambda) = \lambda^2(\lambda - 1)$ : корень $0$ кратности $2$ , корень $1$ кратности $1$ . По принципу суперпозиции ищем три слагаемых.

$x^2$ : $\gamma = 0$ , $s = 2$ , вид $x^2(Ax^2 + Bx + C)$ . Подстановка даёт

y''' - y'' = -12Ax^2 + (24A - 6B)x + (6B - 2C) = x^2,

откуда $A = -\frac1{12}$ , $B = -\frac13$ , $C = -1$ .

$e^x$ : $\gamma = 1$ , $s = 1$ , вид $Gxe^x$ . Формула сдвига: $L(D + 1) = (D + 1)^2D$ , и $(D + 1)^2D(Gx) = G$ , откуда $G = 1$ .
$\sin x$ : $\gamma = i$ — не корень, вид $E\cos x + F\sin x$ . Через комплексную форму: $\tilde y = \operatorname{Im}\dfrac{e^{ix}}{L(i)}$ , $L(i) = 1 - i$ , так что $\tilde y = \operatorname{Im}\dfrac{(1 + i)e^{ix}}2 = \dfrac{\sin x + \cos x}2$ .

Ответ:

\tilde y = -\frac{x^4}{12} - \frac{x^3}3 - x^2 + xe^x + \frac{\sin x + \cos x}2.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Характеристический многочлен линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Для уравнения с постоянными (вещественными или комплексными) коэффициентами

L[y] = y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = 0

многочлен $L(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dots + a_n$ называется характеристическим, а уравнение $L(\lambda) = 0$ — характеристическим уравнением. В операторной записи $L[y] = L(D)y$ , где $D = d/dx$ .

Для комплекснозначных функций $y = u + iv$ производная понимается покомпонентно; в частности, $\bigl(e^{\lambda x}\bigr)' = \lambda e^{\lambda x}$ при комплексном $\lambda$ , где $e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x)$ .

Квазимногочлен

Квазимногочленом называется функция вида

P(x)e^{\gamma x},

где $P$ — многочлен степени $m$ (возможно, с комплексными коэффициентами), $\gamma\in\mathbb C$ . Число $\gamma$ называется контрольным числом.

Вещественная форма: $e^{\alpha x}\bigl(P(x)\cos\beta x + Q(x)\sin\beta x\bigr)$ , где $P$ , $Q$ — вещественные многочлены. Контрольное число такой функции $\gamma = \alpha + i\beta$ , её степень $m = \max(\deg P, \deg Q)$ .

Линейно зависимые и независимые системы функций

Функции $y_1, \dots, y_n$ , определённые на интервале $I$ , называются линейно зависимыми на $I$ , если существуют числа $c_1, \dots, c_n$ , не все равные нулю, такие что

c_1y_1(x) + \dots + c_ny_n(x) = 0\qquad\text{для всех } x\in I.

В противном случае функции называются линейно независимыми на $I$ . Линейная зависимость зависит от интервала: функции $x$ и $|x|$ зависимы на $(0, 1)$ , но независимы на $(-1, 1)$ .

Фундаментальная система решений линейного уравнения

Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного уравнения $L[y] = 0$ $n$ -го порядка на интервале $I$ называется любой набор из $n$ линейно независимых на $I$ решений этого уравнения.

Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения

Формулировка

Оператор $L$ линеен: $L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$ .
Любая линейная комбинация решений однородного уравнения $L[y] = 0$ — решение; множество решений — линейное пространство.
Если коэффициенты $p_i$ вещественны и комплекснозначная функция $y = u + iv$ — решение уравнения $L[y] = 0$ , то $u$ и $v$ — тоже решения.

Доказательство

Развернуть

Производная любого порядка линейна, а умножение на $p_k(x)$ и сложение сохраняют линейность.
Если $L[y_1] = L[y_2] = 0$ , то $L[c_1y_1 + c_2y_2] = 0$ .
$L[u + iv] = L[u] + iL[v] = 0$ , причём при вещественных $p_k$ функции $L[u]$ , $L[v]$ вещественны. Комплексное число равно нулю, только если равны нулю его вещественная и мнимая части. $\blacksquare$

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Формулировка

Если $y_1, \dots, y_n$ — ФСР уравнения $L[y] = 0$ на $I$ , то общее решение имеет вид

y = C_1y_1 + \dots + C_ny_n,

то есть любое решение представляется так при единственном наборе постоянных. Пространство решений линейного однородного уравнения $n$ -го порядка $n$ -мерно.

Доказательство

Развернуть

Функция $\sum C_ky_k$ — решение при любых $C_k$ .

Пусть $y$ — любое решение и $x_0\in I$ . Система

\sum_{k=1}^nC_ky_k^{(j)}(x_0) = y^{(j)}(x_0),\qquad j = 0, \dots, n-1,

имеет определитель $W(x_0)\ne 0$ и потому однозначно разрешима. Решения $y$ и $\sum C_ky_k$ имеют одинаковые начальные данные в $x_0$ и по единственности совпадают на $I$ . Итак, $y_1, \dots, y_n$ — базис пространства решений, и его размерность равна $n$ . $\blacksquare$

Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Нулевое решение уравнения $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = 0$ :

асимптотически устойчиво $\iff$ все корни характеристического многочлена имеют отрицательные вещественные части;
устойчиво $\iff$ все корни имеют $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ , а корни с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ простые.

Доказательство

Развернуть

Проще всего рассуждать через ФСР из теоремы о корнях характеристического уравнения. Решения уравнения и их производные — линейные комбинации функций $x^je^{\lambda x}$ , где $j$ меньше кратности корня $\lambda$ . Все такие функции стремятся к нулю $\iff$ все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ . Все они ограничены $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и корни с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ простые: иначе входит $xe^{i\beta x}$ .

Для эквивалентной нормальной системы фундаментальная матрица составлена из решений и их производных. Поэтому ограниченность (стремление к нулю) решений с производными равносильна тому же для фундаментальной матрицы, и применим критерий устойчивости линейной системы. $\blacksquare$

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Пусть $L(D)y = y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = f(t)$ , где $f$ — оригинал, и заданы начальные условия $y^{(k)}(0) = y_k$ . Тогда решение задачи Коши (при $t\ge 0$ ) является оригиналом, а его изображение

Y(p) = \frac{F(p) + Q(p)}{L(p)},\qquad Q(p) = \sum_{k=1}^n a_{n-k}\sum_{j=0}^{k-1}p^{k-1-j}y_j\quad(a_0 = 1).

Доказательство

Развернуть

Решение — сумма решения однородного уравнения с данными начальными условиями и решения неоднородного с нулевыми данными. Первое — квазимногочлен (ФСР уравнения с постоянными коэффициентами), то есть оригинал. Второе по формуле Коши равно $\int_0^tK(t - s)f(s)\,ds$ , где $K$ — квазимногочлен, и тоже растёт не быстрее экспоненты. Значит, $y$ и (как решения той же природы) все производные до порядка $n$ — оригиналы.

Применим к уравнению преобразование Лапласа. По теореме о дифференцировании оригинала

y^{(k)}\risingdotseq p^kY - p^{k-1}y_0 - \dots - y_{k-1}.

Подставляя, получаем $L(p)Y - Q(p) = F(p)$ , где $Q$ собирает все слагаемые с начальными данными. $\blacksquare$

Принцип суперпозиции

Формулировка

Если $L[y_i] = f_i$ , $i = 1, \dots, m$ , то $L\left[\sum c_iy_i\right] = \sum c_if_i$ .
Если коэффициенты $p_k$ вещественны и $L[u + iv] = f_1 + if_2$ с вещественными $u, v, f_1, f_2$ , то $L[u] = f_1$ , $L[v] = f_2$ .

Доказательство

Развернуть

Следует из линейности оператора $L$ .
$L[u] + iL[v] = f_1 + if_2$ , причём при вещественных коэффициентах $L[u]$ , $L[v]$ вещественны. Приравниваем вещественные и мнимые части. $\blacksquare$

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Формулировка

Если $\tilde y$ — частное решение уравнения $L[y] = f$ , а $y_1, \dots, y_n$ — ФСР однородного уравнения $L[y] = 0$ , то общее решение неоднородного уравнения

y = \tilde y + C_1y_1 + \dots + C_ny_n.

Доказательство

Развернуть

По линейности $L[\tilde y + \sum C_ky_k] = f + 0 = f$ .

Обратно, для любого решения $y$ разность $y - \tilde y$ удовлетворяет уравнению $L[y - \tilde y] = f - f = 0$ . По теореме о структуре общего решения однородного уравнения $y - \tilde y = \sum C_ky_k$ . $\blacksquare$

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Действие оператора L(D) на экспоненту. Формула сдвига

Формулировка

Доказательство

Линейная независимость квазимногочленов с разными показателями

Формулировка

Доказательство

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Вещественная ФСР при комплексных корнях

Формулировка

Доказательство

Частное решение при правой части — квазимногочлене

Формулировка

Доказательство

Частное решение при правой части с синусами и косинусами

Формулировка

Доказательство

Простые вещественные корни

Условие

Решение

Кратные комплексные корни

Условие

Решение

Резонанс при правой части xeˣ

Условие

Решение

Резонанс при y'' + y = sin x

Условие

Решение

Задача Коши с комплексными корнями

Условие

Решение

Вид и вычисление частного решения при сложной правой части

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Характеристический многочлен линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Квазимногочлен

Линейно зависимые и независимые системы функций

Фундаментальная система решений линейного уравнения

Свойства линейного оператора и решений однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Доказательство

Принцип суперпозиции

Формулировка

Доказательство

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

Формулировка

Доказательство