Линейные системы с постоянными коэффициентами

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Решения вида e^{λt}h
ФСР в случае базиса из собственных векторов
Вещественная ФСР при комплексных собственных значениях
Свойства матричной экспоненты
Экспонента жордановой клетки
Структура ФСР при кратных собственных значениях
Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

лемма

Решения вида e^{λt}h

Формулировка

Вектор-функция $x(t) = e^{\lambda t}h$ , $h\ne 0$ , является решением системы $x' = Ax$ тогда и только тогда, когда $\lambda$ — собственное значение матрицы $A$ , а $h$ — отвечающий ему собственный вектор.

Доказательство

Развернуть

$x' = \lambda e^{\lambda t}h$ , $Ax = e^{\lambda t}Ah$ . Равенство $\lambda e^{\lambda t}h = e^{\lambda t}Ah$ при всех $t$ равносильно $Ah = \lambda h$ . $\blacksquare$

теорема

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Если матрица $A$ имеет базис из собственных векторов $h_1, \dots, h_n$ , $Ah_k = \lambda_kh_k$ (в частности, если все корни характеристического уравнения различны), то

e^{\lambda_1t}h_1,\ \dots,\ e^{\lambda_nt}h_n

— ФСР системы $x' = Ax$ , и общее решение $x = \sum_kC_ke^{\lambda_kt}h_k$ .

Доказательство

Развернуть

Каждая функция — решение по лемме о решениях вида $e^{\lambda t}h$ . Вронскиан при $t = 0$ равен $\det(h_1, \dots, h_n)\ne 0$ , так как векторы образуют базис. Значит, решения независимы. При различных собственных значениях собственные векторы линейно независимы, и $n$ таких векторов образуют базис. $\blacksquare$

следствие

Вещественная ФСР при комплексных собственных значениях

Формулировка

Пусть $A$ вещественна, $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne 0$ , — её собственное значение с собственным вектором $h = a + ib$ . Тогда

\operatorname{Re}\bigl(e^{\lambda t}h\bigr) = e^{\alpha t}(a\cos\beta t - b\sin\beta t),\qquad\operatorname{Im}\bigl(e^{\lambda t}h\bigr) = e^{\alpha t}(a\sin\beta t + b\cos\beta t)

— вещественные решения. Заменив в ФСР пару комплексно сопряжённых решений $e^{\lambda t}h$ , $e^{\bar\lambda t}\bar h$ этими двумя функциями, получим вещественную ФСР.

Доказательство

Развернуть

По свойствам решений вещественной системы вещественная и мнимая части комплексного решения — решения. Так как $A\bar h = \overline{Ah} = \bar\lambda\bar h$ , сопряжённое решение $e^{\bar\lambda t}\bar h$ тоже входит в ФСР. Пара $(e^{\lambda t}h, e^{\bar\lambda t}\bar h)$ и пара $(\operatorname{Re}, \operatorname{Im})$ выражаются друг через друга невырожденным преобразованием $u\pm iv$ , поэтому линейная независимость сохраняется. $\blacksquare$

теорема

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

$\dfrac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}$ , и $e^{tA}$ — фундаментальная матрица системы $x' = Ax$ , нормированная при $t = 0$ . Решение задачи Коши: $x(t) = e^{(t - t_0)A}x^0$ .
$e^{(t + s)A} = e^{tA}e^{sA}$ , $\bigl(e^{tA}\bigr)^{-1} = e^{-tA}$ .
Если $AB = BA$ , то $e^{A + B} = e^Ae^B$ .
$e^{tTJT^{-1}} = Te^{tJ}T^{-1}$ для любой невырожденной $T$ .

Доказательство

Развернуть

Ряд $\sum t^kA^k/k!$ и ряд из производных $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)!$ сходятся равномерно на любом отрезке $|t|\le T$ (мажоранта $\sum T^k\|A\|^k/k!$ ). Поэтому ряд можно дифференцировать почленно: $(e^{tA})' = Ae^{tA}$ . Каждый столбец — решение, $e^{0A} = E$ .
Обе части как функции $t$ удовлетворяют уравнению $X' = AX$ и при $t = 0$ равны $e^{sA}$ . По единственности решения задачи Коши (применённой к каждому столбцу) они совпадают. При $s = -t$ получаем обратную матрицу.
Если $B$ коммутирует с $A$ , то она коммутирует со всеми степенями $A$ , а значит, с $e^{tA}$ . Тогда

\bigl(e^{tA}e^{tB}\bigr)' = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)e^{tA}e^{tB},

и $e^{tA}e^{tB}$ , $e^{t(A + B)}$ решают одну задачу Коши с начальным значением $E$ . При $t = 1$ получаем утверждение.

$(TJT^{-1})^k = TJ^kT^{-1}$ ; подставляем в ряд. $\blacksquare$

теорема

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Для жордановой клетки $J_k(\lambda)$ порядка $k$

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}{2!}&\dots&\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\\0&1&t&\dots&\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}\\\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&&1&t\\0&\dots&&0&1\end{pmatrix}.

Если $A = TJT^{-1}$ , где $J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots)$ — жорданова форма, то $e^{tA} = T\operatorname{diag}\bigl(e^{tJ_{k_1}(\lambda_1)}, \dots\bigr)T^{-1}$ , а столбцы матрицы $Te^{tJ}$ образуют ФСР.

Доказательство

Развернуть

$J_k(\lambda) = \lambda E + N$ , где $N$ — матрица с единицами над диагональю. $N^j$ имеет единицы на $j$ -й наддиагонали и $N^k = 0$ . Матрицы $\lambda E$ и $N$ коммутируют, поэтому

e^{tJ_k(\lambda)} = e^{\lambda t}e^{tN} = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^jN^j}{j!}.

Экспонента блочно-диагональной матрицы блочно-диагональна (степени вычисляются поблочно). Для $A = TJT^{-1}$ применяем свойство 4 матричной экспоненты. Матрица $Te^{tJ} = e^{tA}T$ — фундаментальная, как произведение фундаментальной матрицы на невырожденную постоянную. $\blacksquare$

теорема

Структура ФСР при кратных собственных значениях

Формулировка

Пусть $\lambda$ — собственное значение матрицы $A$ алгебраической кратности $k$ , $K_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^k$ — корневое подпространство. Для любого $h\in K_\lambda$

x(t) = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}(A - \lambda E)^jh

— решение системы $x' = Ax$ . Выбрав базисы во всех корневых подпространствах, получаем $n$ таких решений, образующих ФСР.

Следовательно, каждая компонента любого решения — сумма квазимногочленов $e^{\lambda t}P(t)$ по собственным значениям $\lambda$ , где $\deg P$ меньше размера наибольшей жордановой клетки для $\lambda$ и тем более меньше $k$ .

Доказательство

Развернуть

$x(t) = e^{tA}h = e^{\lambda t}e^{t(A - \lambda E)}h$ по свойству экспоненты коммутирующих матриц. Ряд для $e^{t(A - \lambda E)}h$ обрывается, так как $(A - \lambda E)^kh = 0$ . Значит, $x$ — столбец вида «фундаментальная матрица $\times$ постоянный вектор», то есть решение.

Пространство (комплексное) раскладывается в прямую сумму корневых подпространств, поэтому объединение их базисов — базис $h_1, \dots, h_n$ . Решения $e^{tA}h_i$ при $t = 0$ дают $h_i$ , их вронскиан в нуле не равен нулю, и они образуют ФСР.

Последнее утверждение: если $m$ — размер наибольшей клетки для $\lambda$ , то $(A - \lambda E)^m = 0$ на $K_\lambda$ , и сумма обрывается на $j = m - 1$ . $\blacksquare$

теорема

Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

Формулировка

Пусть $b(t) = e^{\gamma t}p(t)$ , где $p$ — вектор-многочлен степени $m$ , а $\gamma$ — собственное значение матрицы $A$ кратности $s$ ( $s = 0$ , если $\gamma$ не собственное значение). Тогда система $x' = Ax + b(t)$ имеет частное решение

\tilde x = e^{\gamma t}q(t),\qquad\deg q\le m + s.

Доказательство

Развернуть

Подстановка $x = e^{\gamma t}u$ даёт $u' = Bu + p$ , где $B = A - \gamma E$ . Разложим пространство в прямую сумму $K_\gamma\oplus V'$ , где $V'$ — сумма остальных корневых подпространств. Оба слагаемых инвариантны относительно $B$ , так что задача распадается на две.

На $V'$ оператор $B$ обратим. Ищем полиномиальное решение $u = u_0 + \dots + u_mt^m$ : из $Bu = u' - p$ , приравнивая коэффициенты от старшего к младшему, последовательно находим $u_m = -B^{-1}p_m$ , $u_{m-1} = B^{-1}(mu_m - p_{m-1})$ и т. д. Степень не превосходит $m$ .

На $K_\gamma$ (при $s > 0$ ) имеем $B^s = 0$ , так как $\dim K_\gamma = s$ . По формуле Коши решение с $u(0) = 0$ :

u(t) = \int_0^te^{(t - \tau)B}p(\tau)\,d\tau = \sum_{j=0}^{s-1}B^j\int_0^t\frac{(t - \tau)^j}{j!}p(\tau)\,d\tau,

и каждое слагаемое — многочлен степени не выше $m + j + 1\le m + s$ . $\blacksquare$

Симметричная матрица 2×2

Условие

Решить систему $x' = x + 2y$ , $y' = 2x + y$ .

Решение

Развернуть

$\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\2&1-\lambda\end{pmatrix} = (\lambda - 3)(\lambda + 1)$ . Собственные векторы: $\lambda = 3$ , $h = (1, 1)$ ; $\lambda = -1$ , $h = (1, -1)$ . Получаем

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = C_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + C_2e^{-t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.

Комплексные собственные значения

Условие

Решить систему $x' = x - y$ , $y' = x + y$ .

Решение

Развернуть

$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0$ , $\lambda = 1\pm i$ . Для $\lambda = 1 + i$ : $(A - \lambda E)h = 0$ , $\begin{pmatrix}-i&-1\\1&-i\end{pmatrix}h = 0$ , $h = (1, -i)^T$ . Тогда

e^{(1+i)t}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix} = e^t\begin{pmatrix}\cos t + i\sin t\\\sin t - i\cos t\end{pmatrix}.

Вещественная и мнимая части: $e^t(\cos t, \sin t)^T$ , $e^t(\sin t, -\cos t)^T$ .

Ответ: $x = e^t(C_1\cos t + C_2\sin t)$ , $y = e^t(C_1\sin t - C_2\cos t)$ .

Кратное собственное значение с одной клеткой

Условие

Решить систему $x' = 2x + y$ , $y' = -x + 4y$ .

Решение

Развернуть

$\operatorname{tr}A = 6$ , $\det A = 9$ , $\lambda = 3$ кратности $2$ . $A - 3E = \begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}\ne 0$ , так что собственный вектор один и жорданова клетка размера $2$ . Корневое подпространство — всё $\mathbb R^2$ .

Для $h = (a, b)^T$ : $(A - 3E)h = (b - a)(1, 1)^T$ , и

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = e^{3t}\left[\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} + t(b - a)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right].

Ответ: $x = e^{3t}\bigl(a + (b - a)t\bigr)$ , $y = e^{3t}\bigl(b + (b - a)t\bigr)$ , где $a$ , $b$ произвольны (это $x(0)$ и $y(0)$ ).

Экспонента матрицы поворота

Условие

Вычислить $e^{tA}$ для $A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ .

Решение

Развернуть

$A^2 = -E$ , поэтому $A^{2k} = (-1)^kE$ , $A^{2k+1} = (-1)^kA$ . Разбивая ряд на чётные и нечётные члены:

e^{tA} = \sum_k\frac{(-1)^kt^{2k}}{(2k)!}E + \sum_k\frac{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!}A = \cos t\,E + \sin t\,A = \begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}.

Экспонента матрицы через жорданову форму

Условие

Найти $e^{tA}$ и общее решение системы $x' = Ax$ для

A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix},

если $A = TJT^{-1}$ с $T = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$ , $J = J_2(1)\oplus(2)$ .

Решение

Развернуть

По формуле для экспоненты жордановой клетки

e^{tJ} = \begin{pmatrix}e^t&te^t&0\\0&e^t&0\\0&0&e^{2t}\end{pmatrix},\qquad T^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}.

Перемножая:

e^{tA} = Te^{tJ}T^{-1} = \begin{pmatrix}e^t&te^t&0\\0&e^t&0\\e^t - e^{2t}&te^t&e^{2t}\end{pmatrix}.

Проверка: при $t = 0$ получаем $E$ ; производная при $t = 0$ равна $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix} = A$ .

Общее решение $x = e^{tA}C$ , то есть

x_1 = (C_1 + C_2t)e^t,\quad x_2 = C_2e^t,\quad x_3 = (C_1 + C_2t)e^t + (C_3 - C_1)e^{2t}.

Резонанс в системе

Условие

Найти частное решение системы $x' = x + y$ , $y' = y + e^t$ и сравнить его степень с оценкой из теоремы о квазимногочленах.

Решение

Развернуть

$A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ , $\gamma = 1$ — собственное значение кратности $s = 2$ , $m = 0$ . Теорема гарантирует решение вида $e^tq(t)$ с $\deg q\le 2$ .

Система треугольная. Решаем снизу вверх: $y' - y = e^t$ даёт частное решение $y = te^t$ . Тогда $x' - x = te^t$ даёт $x = \frac{t^2}2e^t$ .

Ответ: $\tilde x = e^t\left(\dfrac{t^2}2,\ t\right)^T$ . Степень $q$ равна $2 = m + s$ , то есть оценка точна.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Матричная экспонента

Экспонентой квадратной матрицы $A$ называется сумма ряда

e^A = \sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!} = E + A + \frac{A^2}{2!} + \dots

Ряд сходится абсолютно по любой матричной норме, так как $\|A^k\|\le\|A\|^k$ . Функция $t\mapsto e^{tA}$ определена при всех $t\in\mathbb R$ .

Характеристическое уравнение системы с постоянными коэффициентами

Для системы $x' = Ax$ с постоянной матрицей $A$ уравнение

\det(A - \lambda E) = 0

называется характеристическим уравнением системы; его корни — собственные значения матрицы $A$ . Если система получена из уравнения $n$ -го порядка, её характеристическое уравнение с точностью до знака совпадает с характеристическим уравнением этого уравнения.

Собственные значения и собственные векторы

Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором оператора $\mathcal A$ , если $\mathcal Ax = \lambda x$ для некоторого числа $\lambda$ , которое называется собственным значением, отвечающим $x$ .

Множество $V_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)$ — собственное подпространство: собственные векторы для $\lambda$ вместе с нулём. Его размерность — геометрическая кратность собственного значения.

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица системы

Фундаментальной системой решений однородной системы $x' = A(t)x$ порядка $n$ называется любой набор из $n$ линейно независимых на $I$ решений.

Матрица $\Phi(t)$ , столбцы которой образуют ФСР, называется фундаментальной матрицей. Если $\Phi(t_0) = E$ , она называется нормированной в точке $t_0$ .

Жорданова клетка и жорданова матрица

Жордановой клеткой порядка $k$ с собственным значением $\lambda$ называется матрица

J_k(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}

(на диагонали $\lambda$ , над ней единицы, остальные элементы нулевые). Жордановой матрицей называется блочно-диагональная матрица из жордановых клеток. Базис, в котором матрица оператора жорданова, называется жордановым базисом.

Корневое подпространство

Корневым подпространством оператора $\mathcal A$ , отвечающим собственному значению $\lambda$ , называется множество всех корневых векторов для $\lambda$ :

K_\lambda = \bigcup_{k\ge1}\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^k.

Квазимногочлен

Квазимногочленом называется функция вида

P(x)e^{\gamma x},

где $P$ — многочлен степени $m$ (возможно, с комплексными коэффициентами), $\gamma\in\mathbb C$ . Число $\gamma$ называется контрольным числом.

Вещественная форма: $e^{\alpha x}\bigl(P(x)\cos\beta x + Q(x)\sin\beta x\bigr)$ , где $P$ , $Q$ — вещественные многочлены. Контрольное число такой функции $\gamma = \alpha + i\beta$ , её степень $m = \max(\deg P, \deg Q)$ .

Определитель Вронского системы решений

Формулировка

Если вектор-функции $x^{(1)}, \dots, x^{(n)}$ линейно зависимы на $I$ , то $W(t)\equiv 0$ на $I$ .
Если $x^{(1)}, \dots, x^{(n)}$ — решения однородной системы $x' = A(t)x$ с непрерывной на $I$ матрицей, то либо $W\equiv 0$ на $I$ и решения линейно зависимы, либо $W(t)\ne 0$ при всех $t\in I$ и решения линейно независимы.

Для произвольных вектор-функций из $W\equiv 0$ зависимость не следует.

Доказательство

Развернуть

Если $\sum c_kx^{(k)}(t) = 0$ при всех $t$ с ненулевым набором $c$ , то при каждом $t$ столбцы матрицы линейно зависимы, и $W(t) = 0$ .
Пусть $W(t_0) = 0$ . Тогда столбцы $x^{(k)}(t_0)$ зависимы: $\sum c_kx^{(k)}(t_0) = 0$ с ненулевым $c$ . Решение $x = \sum c_kx^{(k)}$ обращается в нуль при $t_0$ , и по единственности $x\equiv 0$ на $I$ . Значит, решения зависимы, и по п. 1 $W\equiv 0$ . Если $W$ нигде не обращается в нуль, решения независимы по п. 1.

Пример к последнему замечанию: $x^{(1)} = (t, 1)^T$ , $x^{(2)} = (t^2, t)^T$ независимы, но $W = t^2 - t^2\equiv 0$ . $\blacksquare$

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма собственных подпространств $V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_s}$ при попарно различных $\lambda_i$ прямая.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу $s$ векторов; при $s = 1$ собственный вектор ненулевой. Пусть $\mathcal Ax_i = \lambda_ix_i$ и $\sum_{i=1}^sc_ix_i = 0$ . Применим $\mathcal A$ и вычтем исходное равенство, умноженное на $\lambda_s$ :

\sum_{i=1}^{s-1}c_i(\lambda_i - \lambda_s)x_i = 0.

По предположению индукции $c_i(\lambda_i - \lambda_s) = 0$ , и так как $\lambda_i\ne\lambda_s$ , все $c_i = 0$ при $i < s$ . Тогда $c_sx_s = 0$ , то есть $c_s = 0$ .

Для суммы подпространств: если $\sum y_i = 0$ , $y_i\in V_{\lambda_i}$ , то ненулевые $y_i$ были бы линейно зависимыми собственными векторами для различных собственных значений. Значит, все $y_i = 0$ , и разложение нуля единственно; это равносильно единственности любого разложения. $\blacksquare$

Фазовые портреты точек покоя линейной системы на плоскости

Формулировка

В канонических координатах (из леммы о канонических формах) фазовые портреты таковы.

Узел ( $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ; неустойчивый — с обращением времени): траектории $y = C|x|^{\lambda_2/\lambda_1}$ , $\lambda_2/\lambda_1 > 1$ , и полуоси $Oy$ . Все траектории входят в $O$ , касаясь оси собственного вектора с меньшим по модулю $\lambda$ , кроме двух полуосей другого собственного вектора.
Седло ( $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ ): траектории $|y| = C|x|^{\lambda_2/\lambda_1}$ — «гиперболы» ( $\lambda_2/\lambda_1 < 0$ ) — и четыре сепаратрисы-полуоси.
Дикритический узел ( $A = \lambda E$ ): лучи, выходящие из $O$ .
Вырожденный узел: $x = (C_1 + C_2t)e^{\lambda t}$ , $y = C_2e^{\lambda t}$ . Все траектории касаются в $O$ единственного собственного направления.
Фокус ( $\alpha\pm i\beta$ , $\alpha\ne 0$ ): в полярных координатах $r' = \alpha r$ , $\varphi' = \beta$ , траектории — логарифмические спирали $r = Ce^{(\alpha/\beta)\varphi}$ . Центр ( $\alpha = 0$ ): окружности $r = C$ .

В исходных координатах портрет — образ канонического при линейном отображении: «параболы», «гиперболы», спирали, эллипсы вместо окружностей.

Доказательство

Развернуть

1, 2. Для диагональной матрицы $x = C_1e^{\lambda_1t}$ , $y = C_2e^{\lambda_2t}$ . Исключая $t$ , получаем $|y| = C|x|^{\lambda_2/\lambda_1}$ . В случае узла $x, y\to 0$ , и при $\lambda_2/\lambda_1 > 1$ получаем $dy/dx\to 0$ — касание оси $Ox$ . В случае седла при $C_1C_2\ne 0$ траектория уходит в бесконечность в обе стороны времени, а полуоси — сепаратрисы.

$x = C_1e^{\lambda t}$ , $y = C_2e^{\lambda t}$ , отношение $y/x$ постоянно — лучи.
Решение получаем по формуле для экспоненты жордановой клетки. При $C_2\ne 0$ имеем $y/x = C_2/(C_1 + C_2t)\to 0$ при $t\to\pm\infty$ , то есть касание оси $Ox$ , направления собственного вектора.
Для $x' = \alpha x - \beta y$ , $y' = \beta x + \alpha y$ в полярных координатах: $rr' = xx' + yy' = \alpha r^2$ , $r^2\varphi' = xy' - yx' = \beta r^2$ . Отсюда $r = r_0e^{\alpha t}$ , $\varphi = \varphi_0 + \beta t$ .

Переход к исходным координатам — по лемме о линейной замене. $\blacksquare$

Свойства решений линейной системы

Формулировка

Линейная комбинация решений однородной системы $x' = A(t)x$ — решение; решения образуют линейное пространство.
Разность двух решений неоднородной системы — решение однородной.
Если $x' = A(t)x + b_i(t)$ для $x = x_i$ , то $\sum c_ix_i$ решает систему с правой частью $\sum c_ib_i$ (суперпозиция).
Если $A$ вещественна и $x = u + iv$ — комплексное решение однородной системы, то $u$ и $v$ — вещественные решения.

Доказательство

Развернуть

Все утверждения следуют из линейности отображения $x\mapsto x' - A(t)x$ . Например, для п. 4: $u' + iv' = A(u + iv) = Au + iAv$ , и при вещественной $A$ приравниваем вещественные и мнимые части. $\blacksquare$

Существование ФСР и структура общего решения однородной системы

Формулировка

Однородная система $x' = A(t)x$ имеет ФСР: например, решения с $x^{(k)}(t_0) = e_k$ .
Если $\Phi(t)$ — фундаментальная матрица, то общее решение

x = \Phi(t)C,\qquad C\in\mathbb R^n,

и пространство решений $n$ -мерно. 3. $\Phi' = A(t)\Phi$ , $\det\Phi(t)\ne 0$ ; любая другая фундаментальная матрица равна $\Phi(t)B$ с постоянной невырожденной $B$ . Решение задачи Коши: $x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0$ .

Доказательство

Развернуть

Решения с $x^{(k)}(t_0) = e_k$ существуют на $I$ , и $W(t_0) = \det E = 1$ , так что они независимы.
Пусть $x$ — решение. Система $\Phi(t_0)C = x(t_0)$ однозначно разрешима, так как $\det\Phi(t_0) = W(t_0)\ne 0$ . Решения $x$ и $\Phi C$ совпадают при $t_0$ , а значит, всюду.
Равенство $\Phi' = A\Phi$ — это запись того, что каждый столбец — решение. По теореме о вронскиане решений $\det\Phi\ne 0$ . Если $\Psi$ — другая фундаментальная матрица, то по п. 2 каждый её столбец равен $\Phi$ , умноженной на постоянный вектор, то есть $\Psi = \Phi B$ , причём $\det B\ne 0$ , так как $\det\Psi\ne 0$ . Наконец, $\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0$ — решение со значением $x^0$ при $t_0$ . $\blacksquare$

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Если $A(t)$ и $b(t)$ непрерывны на интервале $I$ , то для любых $t_0\in I$ , $x^0\in\mathbb R^n$ решение задачи Коши $x' = A(t)x + b(t)$ , $x(t_0) = x^0$ существует на всём интервале $I$ и единственно.

Доказательство

Развернуть

Именно это утверждение доказано в теореме о существовании решения линейного уравнения $n$ -го порядка на всём интервале: там доказательство проведено для векторного уравнения $z' = A(x)z + b(x)$ с произвольной непрерывной матрицей. Существенно, что правая часть линейна по $x$ и поэтому удовлетворяет условию Липшица с постоянной $\max\|A(t)\|$ во всей полосе $[\alpha, \beta]\times\mathbb R^n$ . Последовательные приближения не выходят ни из какой области, и решение существует на всём отрезке $[\alpha, \beta]$ . $\blacksquare$

Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы

Формулировка

Если все собственные значения матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные части, то матричное уравнение Ляпунова

A^TB + BA = -E

имеет единственное решение $B$ , и это симметричная положительно определённая матрица:

B = \int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA}\,dt.

Для квадратичной формы $V(x) = x^TBx$ производная в силу системы $x' = Ax$ равна $\dot V = -\|x\|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Элементы $e^{tA}$ — комбинации функций $t^je^{\lambda t}$ с $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , поэтому $\|e^{tA}\|\le Me^{-\gamma t}$ при некоторых $M$ , $\gamma > 0$ . Интеграл сходится.

$B$ симметрична, и $x^TBx = \int_0^\infty\|e^{tA}x\|^2\,dt > 0$ при $x\ne 0$ , так как $e^{tA}x\ne 0$ .

Далее,

A^TB + BA = \int_0^\infty\frac{d}{dt}\bigl(e^{tA^T}e^{tA}\bigr)\,dt = \Bigl[e^{tA^T}e^{tA}\Bigr]_0^\infty = -E.

Единственность: если $A^TB_0 + B_0A = 0$ , то $\frac{d}{dt}\bigl(e^{tA^T}B_0e^{tA}\bigr) = 0$ , так что $e^{tA^T}B_0e^{tA}\equiv B_0$ . Но левая часть стремится к нулю, значит, $B_0 = 0$ .

Наконец, $\dot V = (Ax)^TBx + x^TBAx = x^T(A^TB + BA)x = -x^Tx$ . $\blacksquare$

Операционный метод для линейных систем

Формулировка

Для системы $x' = Ax + b(t)$ , $x(0) = x^0$ , с постоянной матрицей $A$ и вектором-оригиналом $b$ изображение решения равно

X(p) = (pE - A)^{-1}\bigl(x^0 + B(p)\bigr).

В частности, $e^{tA}\risingdotseq(pE - A)^{-1}$ (резольвента матрицы $A$ ).

Доказательство

Развернуть

Решение — оригинал (оно выражается через $e^{tA}$ формулой Коши, а элементы $e^{tA}$ — квазимногочлены). По теореме о дифференцировании оригинала $x'\risingdotseq pX - x^0$ , и система переходит в $pX - x^0 = AX + B$ , то есть $(pE - A)X = x^0 + B$ . При $\operatorname{Re}p$ , больших модулей собственных значений, матрица $pE - A$ обратима.

Для $b = 0$ решение $x = e^{tA}x^0$ , откуда $e^{tA}x^0\risingdotseq(pE - A)^{-1}x^0$ для всех $x^0$ . $\blacksquare$

Теорема о жордановой нормальной форме

Формулировка

Если характеристический многочлен оператора раскладывается на линейные множители (в частности, для любого оператора в комплексном пространстве), то существует жорданов базис: матрица оператора в нём — жорданова матрица. Каждая клетка $J_k(\lambda_i)$ отвечает жордановой цепочке длины $k$ для собственного значения $\lambda_i$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме о разложении $V = K_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus K_{\lambda_s}$ с инвариантными $K_{\lambda_i}$ , поэтому в объединённом базисе матрица блочно-диагональная. На $K_{\lambda_i}$ оператор $\mathcal N_i = (\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)|_{K_{\lambda_i}}$ нильпотентен, и в $K_{\lambda_i}$ есть базис из его жордановых цепочек. В нём матрица $\mathcal N_i$ — блочно-диагональная из клеток $J_k(0)$ , а матрица $\mathcal A|_{K_{\lambda_i}} = \lambda_i\mathcal I + \mathcal N_i$ — из клеток $J_k(\lambda_i)$ . $\blacksquare$

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Для системы $x' = Ax$ с постоянной матрицей $A$ :

нулевое решение асимптотически устойчиво $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda < 0$ для всех собственных значений $\lambda$ ;
оно устойчиво (но не асимптотически) $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ для всех $\lambda$ , есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ , и всем таким $\lambda$ отвечают жордановы клетки только размера $1$ ;
в остальных случаях оно неустойчиво: есть $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda > 0$ или с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и клеткой размера не меньше $2$ .

Доказательство

Развернуть

$e^{tA} = Te^{tJ}T^{-1}$ , а элементы $e^{tJ}$ — функции вида $\frac{t^j}{j!}e^{\lambda t}$ , где $j$ меньше размера клетки собственного значения $\lambda$ . Так как $|e^{\lambda t}| = e^{t\operatorname{Re}\lambda}$ :

если все $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , все элементы стремятся к нулю, $e^{tA}\to 0$ , и нуль асимптотически устойчив;
если $\operatorname{Re}\lambda\le 0$ и для $\operatorname{Re}\lambda = 0$ клетки размера $1$ , то элементы с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ имеют модуль $1$ , а остальные стремятся к нулю. Значит, $e^{tA}$ ограничена, и нуль устойчив. Асимптотической устойчивости нет: решение $e^{\lambda t}h$ с $\operatorname{Re}\lambda = 0$ (или его вещественная часть) не стремится к нулю.

Если $\operatorname{Re}\lambda > 0$ , то комплексное решение $e^{\lambda t}h$ неограничено. Так как $|e^{\lambda t}h|^2 = |u|^2 + |v|^2$ для вещественных решений $u = \operatorname{Re}$ , $v = \operatorname{Im}$ , одно из них неограничено. Если $\operatorname{Re}\lambda = 0$ и есть клетка размера $\ge 2$ , то решение $e^{\lambda t}(h_2 + th_1)$ , где $h_1$ — собственный, а $h_2$ — присоединённый вектор, неограничено. В обоих случаях по критерию устойчивости линейной системы нуль неустойчив. $\blacksquare$

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Формулировка

Пусть характеристический многочлен оператора раскладывается на линейные множители (это всегда так над $\mathbb C$ ):

\chi(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_1}\cdots(\lambda_s - \lambda)^{m_s},\qquad\lambda_i\text{ попарно различны}.

Тогда

V = K_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus K_{\lambda_s},\qquad\dim K_{\lambda_i} = m_i,\qquad K_{\lambda_i} = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^{m_i}.

Доказательство

Развернуть

Лемма. Если $p = p_1p_2$ , многочлены $p_1, p_2$ взаимно просты и $p(\mathcal A) = \mathcal O$ , то $V = \operatorname{Ker}p_1(\mathcal A)\oplus\operatorname{Ker}p_2(\mathcal A)$ .

По теореме Безу существуют многочлены $u, v$ с $up_1 + vp_2 = 1$ , то есть $u(\mathcal A)p_1(\mathcal A) + v(\mathcal A)p_2(\mathcal A) = \mathcal I$ . Для любого $x$

x = \underbrace{v(\mathcal A)p_2(\mathcal A)x}_{x_1} + \underbrace{u(\mathcal A)p_1(\mathcal A)x}_{x_2},

причём $p_1(\mathcal A)x_1 = v(\mathcal A)p(\mathcal A)x = 0$ и аналогично $p_2(\mathcal A)x_2 = 0$ . Если $x$ лежит в обоих ядрах, то $x = v(\mathcal A)p_2(\mathcal A)x + u(\mathcal A)p_1(\mathcal A)x = 0$ .

Разложение. Множители $(t - \lambda_i)^{m_i}$ попарно взаимно просты, а $\chi(\mathcal A) = \mathcal O$ по теореме Гамильтона–Кэли. Применяя лемму несколько раз, получаем $V = \bigoplus_iL_i$ , где $L_i = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^{m_i}$ инвариантны.

Размерности. На $L_i$ единственное собственное значение $\mathcal A$ равно $\lambda_i$ (как в свойствах корневых подпространств), поэтому $\chi_{\mathcal A|_{L_i}} = (\lambda_i - t)^{d_i}$ , $d_i = \dim L_i$ . Матрица $\mathcal A$ в объединённом базисе блочно-диагональная, и

\chi(t) = \prod_i(\lambda_i - t)^{d_i}.

Сравнивая с разложением $\chi$ , получаем $d_i = m_i$ .

Совпадение с $K_{\lambda_i}$ . $L_i\subset K_{\lambda_i}$ . Пусть $(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^kx = 0$ и $x = \sum_jx_j$ , $x_j\in L_j$ . Подпространства $L_j$ инвариантны, поэтому $(\mathcal A - \lambda_i\mathcal I)^kx_j = 0$ для всех $j$ . При $j\ne i$ оператор $\mathcal A - \lambda_i\mathcal I$ на $L_j$ обратим (его единственное собственное значение $\lambda_j - \lambda_i\ne0$ ), поэтому $x_j = 0$ . Значит, $x = x_i\in L_i$ . $\blacksquare$

Свойства корневых подпространств

Формулировка

$\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\subset\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^2\subset\dots$ , и с некоторого номера $h$ эта цепочка стабилизируется; $K_\lambda = \operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)^h$ — подпространство.
$K_\lambda$ инвариантно относительно $\mathcal A$ .
Ограничение $(\mathcal A - \lambda\mathcal I)|_{K_\lambda}$ нильпотентно.
Единственное собственное значение ограничения $\mathcal A|_{K_\lambda}$ равно $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Включения очевидны: если $\mathcal B^kx = 0$ , то $\mathcal B^{k+1}x = 0$ (здесь $\mathcal B = \mathcal A - \lambda\mathcal I$ ). Размерности не убывают и ограничены $n$ , поэтому стабилизируются. Если $\operatorname{Ker}\mathcal B^h = \operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1}$ , то и все следующие ядра совпадают: из $\mathcal B^{h+2}x = 0$ следует $\mathcal Bx\in\operatorname{Ker}\mathcal B^{h+1} = \operatorname{Ker}\mathcal B^h$ , то есть $\mathcal B^{h+1}x = 0$ .
Это ядро многочлена $(t - \lambda)^h$ от $\mathcal A$ ; оно инвариантно.
$\mathcal B^h = \mathcal O$ на $K_\lambda$ .
Если $\mathcal Ax = \mu x$ , $0\ne x\in K_\lambda$ , то $0 = \mathcal B^hx = (\mu - \lambda)^hx$ , откуда $\mu = \lambda$ . $\blacksquare$

Неоднородная система. Метод вариации постоянных

Формулировка

Пусть $\Phi(t)$ — фундаментальная матрица однородной системы. Тогда:

общее решение неоднородной системы $x' = A(t)x + b(t)$ — сумма частного решения и общего решения $\Phi(t)C$ однородной;
частное решение даёт метод вариации постоянных: $x = \Phi(t)C(t)$ , где $\Phi(t)C'(t) = b(t)$ ;
решение задачи Коши (формула Коши):

x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x^0 + \int_{t_0}^t\Phi(t)\Phi^{-1}(s)b(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Разность двух решений неоднородной системы — решение однородной, то есть равна $\Phi C$ .
Для $x = \Phi C(t)$ : $x' = \Phi'C + \Phi C' = A\Phi C + \Phi C' = Ax + \Phi C'$ . Поэтому $x' = Ax + b$ равносильно $\Phi C' = b$ , то есть $C' = \Phi^{-1}b$ , где $\Phi^{-1}$ непрерывна.
Возьмём $C(t) = \Phi^{-1}(t_0)x^0 + \int_{t_0}^t\Phi^{-1}(s)b(s)\,ds$ . Тогда $x = \Phi C$ — решение и $x(t_0) = x^0$ . $\blacksquare$

Линейные системы с постоянными коэффициентами

Решения вида e^{λt}h

Формулировка

Доказательство

ФСР в случае базиса из собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Вещественная ФСР при комплексных собственных значениях

Формулировка

Доказательство

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

Доказательство

Экспонента жордановой клетки

Формулировка

Доказательство

Структура ФСР при кратных собственных значениях

Формулировка

Доказательство

Частное решение системы с правой частью — квазимногочленом

Формулировка

Доказательство

Симметричная матрица 2×2

Условие

Решение

Комплексные собственные значения

Условие

Решение

Кратное собственное значение с одной клеткой

Условие

Решение

Экспонента матрицы поворота

Условие

Решение

Экспонента матрицы через жорданову форму

Условие

Решение

Резонанс в системе

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Матричная экспонента

Характеристическое уравнение системы с постоянными коэффициентами

Собственные значения и собственные векторы

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица системы

Жорданова клетка и жорданова матрица

Корневое подпространство

Квазимногочлен

Определитель Вронского системы решений

Формулировка

Доказательство

Линейная независимость собственных векторов

Формулировка

Доказательство

Фазовые портреты точек покоя линейной системы на плоскости

Формулировка

Доказательство

Свойства решений линейной системы

Формулировка

Доказательство

Существование ФСР и структура общего решения однородной системы

Формулировка

Доказательство

Глобальная разрешимость задачи Коши для линейной системы

Формулировка

Доказательство

Квадратичная функция Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной системы

Формулировка

Доказательство

Операционный метод для линейных систем

Формулировка

Доказательство

Теорема о жордановой нормальной форме

Формулировка

Доказательство

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств