Задача Коши. Теорема существования и единственности

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Эквивалентность задачи Коши интегральному уравнению
Достаточное условие Липшица
Лемма Гронуолла
Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)
Единственность в области с локальным условием Липшица
Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части

лемма

Эквивалентность задачи Коши интегральному уравнению

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна в области $G$ . Функция $y(x)$ , график которой лежит в $G$ , является решением задачи Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ на интервале $I\ni x_0$ тогда и только тогда, когда $y$ непрерывна на $I$ и

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y(t)\bigr)\,dt,\qquad x\in I.

Доказательство

Развернуть

Если $y$ — решение, то $y'(t) = f(t, y(t))$ — непрерывная функция. Интегрируя от $x_0$ до $x$ и учитывая $y(x_0) = y_0$ , получаем интегральное уравнение.

Обратно, если непрерывная $y$ удовлетворяет интегральному уравнению, то подынтегральная функция непрерывна, и по теореме Барроу правая часть дифференцируема, причём $y' = f(x, y)$ . При $x = x_0$ получаем $y(x_0) = y_0$ . $\blacksquare$

лемма

Достаточное условие Липшица

Формулировка

Пусть в области $D$ , выпуклой по $y$ (вместе с точками $(x, y_1)$ , $(x, y_2)$ содержит соединяющий их отрезок; например, в прямоугольнике), производная $f_y$ существует и $|f_y|\le L$ . Тогда $f$ удовлетворяет в $D$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ .

В частности, если $f_y$ непрерывна в области $G$ , то $f$ удовлетворяет в $G$ локальному условию Липшица.

Доказательство

Развернуть

По теореме Лагранжа $f(x, y_1) - f(x, y_2) = f_y(x, \xi)(y_1 - y_2)$ для некоторого $\xi$ между $y_1$ и $y_2$ , откуда $|f(x, y_1) - f(x, y_2)|\le L|y_1 - y_2|$ .

Если $f_y$ непрерывна в $G$ , то у каждой точки $G$ есть замкнутый прямоугольник, лежащий в $G$ . На нём $|f_y|$ ограничен по теореме Вейерштрасса. $\blacksquare$

лемма

Лемма Гронуолла

Формулировка

Пусть функция $u(x)\ge 0$ непрерывна на $[x_0, x_1]$ , и при некоторых $a\ge 0$ , $L > 0$

u(x)\le a + L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,\qquad x\in[x_0, x_1].

Тогда $u(x)\le ae^{L(x - x_0)}$ . В частности, при $a = 0$ имеем $u\equiv 0$ .

Доказательство

Развернуть

Положим $v(x) = a + L\int_{x_0}^xu(t)\,dt$ . Тогда $u\le v$ и $v' = Lu\le Lv$ . Значит,

\bigl(v(x)e^{-L(x - x_0)}\bigr)' = (v' - Lv)e^{-L(x - x_0)}\le 0,

то есть функция $ve^{-L(x - x_0)}$ не возрастает и не превосходит своего значения $v(x_0) = a$ . Поэтому $u(x)\le v(x)\le ae^{L(x - x_0)}$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике

\Pi = \{|x - x_0|\le a,\ |y - y_0|\le b\},

$|f|\le M$ в $\Pi$ , и $f$ удовлетворяет в $\Pi$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ . Тогда на отрезке $|x - x_0|\le h$ , где

h = \min\left(a, \frac bM\right),

задача Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ имеет решение, и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

По лемме об эквивалентности достаточно решить интегральное уравнение $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ . Рассмотрим отрезок $x_0\le x\le x_0 + h$ (левая половина аналогична).

Последовательные приближения:

y_0(x)\equiv y_0,\qquad y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y_n(t)\bigr)\,dt.

Графики не выходят из $\Pi$ . Если график непрерывной $y_n$ лежит в $\Pi$ , то $y_{n+1}$ определена, непрерывна и $|y_{n+1}(x) - y_0|\le M(x - x_0)\le Mh\le b$ .
Оценка разностей. Индукцией докажем

|y_{n+1}(x) - y_n(x)|\le\frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

При $n = 0$ это шаг 1. Переход:

|y_{n+1} - y_n|\le\int_{x_0}^xL|y_n(t) - y_{n-1}(t)|\,dt\le L\int_{x_0}^x\frac{ML^{n-1}(t - x_0)^n}{n!}\,dt = \frac{ML^n(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!}.

Равномерная сходимость. Ряд $y_0 + \sum_n(y_{n+1} - y_n)$ мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum_nML^nh^{n+1}/(n + 1)!$ . По признаку Вейерштрасса $y_n\rightrightarrows y$ на $[x_0, x_0 + h]$ ; предел непрерывен, его график лежит в $\Pi$ (множество $\Pi$ замкнуто).
Предел — решение. $|f(t, y_n(t)) - f(t, y(t))|\le L|y_n(t) - y(t)|\rightrightarrows 0$ . Поэтому в равенстве для $y_{n+1}$ можно перейти к пределу под знаком интеграла: $y = y_0 + \int_{x_0}^xf(t, y)\,dt$ .
Единственность. Пусть $z$ — ещё одно решение на $[x_0, x_0 + h']$ , $h'\le h$ . Его график лежит в $\Pi$ : иначе в первой точке выхода $x^*$ было бы $|z(x^*) - y_0| = b$ , но $|z(x^*) - y_0|\le M(x^* - x_0) < Mh\le b$ . Для $u = |y - z|$

u(x)\le\int_{x_0}^x|f(t, y) - f(t, z)|\,dt\le L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,

и по лемме Гронуолла с $a = 0$ получаем $u\equiv 0$ . $\blacksquare$

следствие

Единственность в области с локальным условием Липшица

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна в области $G$ и удовлетворяет в ней локальному условию Липшица по $y$ (например, $f_y$ непрерывна в $G$ ). Тогда $G$ — область существования и единственности: через каждую точку $G$ проходит интегральная кривая, и два решения, совпадающие в одной точке, совпадают на всём общем интервале определения. В частности, интегральные кривые в $G$ не пересекаются.

Доказательство

Развернуть

Существование: у каждой точки $(x_0, y_0)\in G$ есть прямоугольник $\Pi\subset G$ , в котором $f$ ограничена и липшицева, и применима теорема Коши–Пикара.

Пусть решения $y$ , $z$ определены на интервале $I$ и $y(x_0) = z(x_0)$ . Множество $E = \{x\in I:\ y(x) = z(x)\}$ непусто и замкнуто в $I$ (по непрерывности). Оно открыто: если $x_1\in E$ , то возьмём прямоугольник $\Pi\subset G$ с центром $(x_1, y(x_1))$ , где $f$ липшицева. При $x$ , близких к $x_1$ , графики обоих решений лежат в $\Pi$ , и по единственности в теореме Коши–Пикара $y = z$ вблизи $x_1$ . Интервал связен, поэтому $E = I$ . $\blacksquare$

теорема

Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части

Формулировка

Пусть $f$ , $g$ непрерывны в области $G$ , $f$ удовлетворяет в $G$ условию Липшица по $y$ с постоянной $L$ , и $|f - g|\le\varepsilon$ в $G$ . Пусть $y$ — решение задачи $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ , а $z$ — решение задачи $z' = g(x, z)$ , $z(x_0) = z_0$ , и оба определены при $|x - x_0|\le H$ , а их графики лежат в $G$ . Тогда

|y(x) - z(x)|\le\bigl(|y_0 - z_0| + \varepsilon H\bigr)e^{L|x - x_0|}.

В частности, при $g = f$ получаем $|y(x) - z(x)|\le|y_0 - z_0|e^{L|x - x_0|}$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\ge x_0$ (случай $x < x_0$ аналогичен). Из интегральных уравнений

y(x) - z(x) = y_0 - z_0 + \int_{x_0}^x\bigl[f(t, y) - g(t, z)\bigr]\,dt.

Оценим подынтегральное выражение: $|f(t, y) - g(t, z)|\le|f(t, y) - f(t, z)| + |f(t, z) - g(t, z)|\le L|y - z| + \varepsilon$ . Для $u = |y - z|$

u(x)\le|y_0 - z_0| + \varepsilon H + L\int_{x_0}^xu(t)\,dt,

и лемма Гронуолла даёт оценку. $\blacksquare$

Последовательные приближения для y' = y

Условие

Построить последовательные приближения Пикара для задачи $y' = y$ , $y(0) = 1$ и найти их предел.

Решение

Развернуть

$y_0 = 1$ , $y_{n+1}(x) = 1 + \int_0^xy_n(t)\,dt$ . Получаем

y_1 = 1 + x,\quad y_2 = 1 + x + \frac{x^2}2,\quad\dots,\quad y_n = \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}

(индукция: интеграл от $x^k/k!$ равен $x^{k+1}/(k+1)!$ ). Предел — $e^x$ , и сходимость равномерна на любом отрезке. Это и есть решение задачи.

Оценка отрезка существования для y' = x + y²

Условие

Для задачи $y' = x + y^2$ , $y(0) = 0$ :

а) найти $h$ из теоремы Коши–Пикара для прямоугольника $|x|\le 1$ , $|y|\le 1$ ;

б) подобрать прямоугольник, дающий наибольшее $h$ .

Решение

Развернуть

а) $M = \max|x + y^2| = 2$ , $h = \min(1, 1/2) = \frac12$ .

б) Для прямоугольника $|x|\le a$ , $|y|\le b$ : $M = a + b^2$ , $h = \min\left(a, \dfrac{b}{a + b^2}\right)$ .

При фиксированном $a$ функция $\dfrac{b}{a + b^2}$ максимальна при $b = \sqrt a$ и равна $\dfrac1{2\sqrt a}$ . Функция $\min\left(a, \frac1{2\sqrt a}\right)$ максимальна, когда $a = \frac1{2\sqrt a}$ , то есть $a^{3/2} = \frac12$ и $a = 2^{-2/3}\approx 0{,}63$ .

Итак, наибольшее $h = 2^{-2/3}\approx 0{,}63$ при $a = 2^{-2/3}$ , $b = 2^{-1/3}$ . Теорема гарантирует существование решения на $|x|\le 0{,}63$ , хотя настоящий интервал существования больше.

Неединственность для y' = 3y^{2/3}

Условие

Найти все решения уравнения $y' = 3y^{2/3}$ , проходящие через точку $(0, 0)$ . В каких точках плоскости единственность заведомо имеет место?

Решение

Развернуть

При $y\ne 0$ : $\dfrac{dy}{3y^{2/3}} = dx$ , $y^{1/3} = x - C$ , то есть $y = (x - C)^3$ . Кроме того, $y\equiv 0$ — решение.

Через $(0, 0)$ проходят $y\equiv 0$ , $y = x^3$ , а также «склеенные» решения

y = \begin{cases}(x - \alpha)^3, & x < \alpha,\\ 0, & \alpha\le x\le\beta,\\ (x - \beta)^3, & x > \beta,\end{cases}\qquad\alpha\le 0\le\beta,

(включая варианты с $\alpha = -\infty$ или $\beta = +\infty$ ). Все они непрерывно дифференцируемы.

При $y\ne 0$ производная $f_y = 2y^{-1/3}$ непрерывна, поэтому в полуплоскостях $y > 0$ и $y < 0$ единственность есть. На прямой $y = 0$ условие Липшица нарушено: $\frac{|f(x, y) - f(x, 0)|}{|y|} = 3|y|^{-1/3}\to\infty$ . Именно там единственность и нарушается.

Проверка условия Липшица

Условие

Выяснить, удовлетворяют ли условию Липшица по $y$ в полосе $|x|\le 1$ , $y\in\mathbb R$ функции:

а) $f = |y|$ ; б) $f = y^2$ ; в) $f = \sqrt{|y|}$ ; г) $f = x\sin y$ .

Решение

Развернуть

а) Да, $L = 1$ : $\bigl||y_1| - |y_2|\bigr|\le|y_1 - y_2|$ , хотя производной при $y = 0$ нет.

б) В полосе — нет: $\frac{|y_1^2 - y_2^2|}{|y_1 - y_2|} = |y_1 + y_2|$ не ограничено. В любой ограниченной области — да (локальное условие выполнено, $f_y = 2y$ непрерывна).

в) Нет даже локально около $y = 0$ : $\frac{\sqrt{|y|}}{|y|} = |y|^{-1/2}\to\infty$ . Около точек с $y\ne 0$ условие выполнено.

г) Да: $|f_y| = |x\cos y|\le 1$ , $L = 1$ .

Оценка отклонения решений

Условие

Решения $y$ и $z$ уравнения $y' = \sin(xy)$ на отрезке $|x|\le 1$ удовлетворяют условиям $y(0) = \frac12$ , $z(0) = \frac12 + \delta$ . Оценить $|y(x) - z(x)|$ .
Уравнение $y' = \sin(xy)$ заменили «линеаризованным» $u' = xu$ с тем же начальным условием $u(0) = \frac12$ . Оценить $|y(x) - u(x)|$ при $|x|\le\frac12$ .

Решение

Развернуть

$|f_y| = |x\cos(xy)|\le 1$ при $|x|\le 1$ , поэтому $L = 1$ и

|y(x) - z(x)|\le|\delta|e^{|x|}\le e|\delta|.

Возьмём $G = \{|x|\le\frac12,\ |y|\le 1\}$ . Графики обоих решений лежат в $G$ : $|y'|\le 1$ , так что $|y - \frac12|\le|x|\le\frac12$ , а $u = \frac12e^{x^2/2}\le\frac12e^{1/8} < 1$ .

В $G$ имеем $|xy|\le\frac12$ и $|\sin t - t|\le\frac{|t|^3}6\le\frac1{48} = \varepsilon$ . Постоянная Липшица функции $\sin(xy)$ в $G$ равна $L = \frac12$ , $H = \frac12$ . По теореме о непрерывной зависимости

|y(x) - u(x)|\le\varepsilon He^{L|x|}\le\frac1{96}e^{1/4}\approx 0{,}013.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Задача Коши для уравнения первого порядка

Задачей Коши для уравнения $y' = f(x, y)$ , $(x, y)\in G$ , называется задача отыскания решения $y(x)$ , удовлетворяющего начальному условию

y(x_0) = y_0,\qquad (x_0, y_0)\in G.

Геометрически: найти интегральную кривую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$ .

Задача Коши однозначно разрешима, если она имеет решение и любые два её решения совпадают на общем интервале определения.

Условие Липшица

Функция $f(x, y)$ удовлетворяет в области $D$ условию Липшица по $y$ , если существует постоянная $L\ge 0$ такая, что

|f(x, y_1) - f(x, y_2)|\le L|y_1 - y_2|\qquad\text{для всех } (x, y_1), (x, y_2)\in D.

Функция удовлетворяет локальному условию Липшица в области $G$ , если у каждой точки $G$ есть окрестность, в которой выполнено условие Липшица (со своей постоянной).

Частное и общее решения

Пусть $G$ — область существования и единственности уравнения $y' = f(x, y)$ : для каждой точки $(x_0, y_0)\in G$ задача Коши однозначно разрешима.

Частным решением называется решение задачи Коши с начальной точкой в $G$ .

Функция $y = \varphi(x, C)$ , зависящая от параметра $C$ , называется общим решением в области $G$ , если:

при каждом допустимом $C$ она является решением;
для любой точки $(x_0, y_0)\in G$ уравнение $y_0 = \varphi(x_0, C)$ однозначно разрешимо относительно $C$ .

Таким образом, любое частное решение получается из общего при конкретном значении $C$ .

Интегральная кривая

График решения $y = \varphi(x)$ уравнения $y' = f(x, y)$ называется интегральной кривой этого уравнения.

Для уравнения в симметричной форме $M\,dx + N\,dy = 0$ интегральной кривой называется кривая, которая в окрестности каждой своей точки является графиком решения вида $y = y(x)$ или вида $x = x(y)$ .

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $(a, b)$ . Тогда все решения уравнения $y' = f(x)$ на $(a, b)$ имеют вид

y = F(x) + C,

где $F$ — какая-либо первообразная $f$ , а $C$ — произвольная постоянная. Для любых $x_0\in(a, b)$ и $y_0$ существует единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf(t)\,dt.

Доказательство

Развернуть

По теореме Барроу функция $F(x) = \int_{x_0}^xf(t)\,dt$ дифференцируема и $F' = f$ , поэтому $F + C$ — решение.

Если $y$ — любое решение, то $(y - F)' = 0$ на интервале. По теореме Лагранжа $y - F$ постоянна.

Условие $y(x_0) = y_0$ однозначно определяет постоянную: $C = y_0$ при $F(x_0) = 0$ . $\blacksquare$

Теорема Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной

Формулировка

Пусть в окрестности точки $(x_0, y_0, p_0)$ функция $F(x, y, p)$ непрерывна вместе с производными $F_y$ , $F_p$ , и

F(x_0, y_0, p_0) = 0,\qquad F_p(x_0, y_0, p_0)\ne 0.

Тогда при некотором $h > 0$ на отрезке $|x - x_0|\le h$ существует единственное решение $y(x)$ уравнения $F(x, y, y') = 0$ с условиями $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = p_0$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме о неявной функции в окрестности точки $(x_0, y_0, p_0)$ уравнение $F(x, y, p) = 0$ равносильно уравнению $p = f(x, y)$ . Здесь $f$ непрерывна, $f(x_0, y_0) = p_0$ и $f_y = -F_y/F_p$ непрерывна.

Значит, решения с $y'$ , близким к $p_0$ , — это в точности решения уравнения $y' = f(x, y)$ . В малом прямоугольнике около $(x_0, y_0)$ функция $f$ ограничена и липшицева по $y$ (достаточное условие Липшица). По теореме Коши–Пикара задача $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ однозначно разрешима. $\blacksquare$

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Пусть $p$ , $q$ непрерывны на $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ , $y_0\in\mathbb R$ уравнение $y' + p(x)y = q(x)$ имеет на всём интервале $I$ единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0e^{-\int_{x_0}^xp(t)\,dt} + \int_{x_0}^xq(s)\,e^{-\int_s^xp(t)\,dt}\,ds.

Общее решение: $y = e^{-P(x)}\left(C + \int q(x)e^{P(x)}\,dx\right)$ , $P' = p$ .

Доказательство

Развернуть

Ищем решение в виде $y = C(x)e^{-P(x)}$ — «варьируем» постоянную в решении однородного уравнения. Подставляя, получаем

C'e^{-P} - Cpe^{-P} + pCe^{-P} = q\quad\Longrightarrow\quad C' = qe^{P}.

Отсюда $C(x) = y_0 + \int_{x_0}^xq(s)e^{P(s)}\,ds$ , где $P(x) = \int_{x_0}^xp$ . Подстановка даёт формулу Коши; функция определена и дифференцируема на всём $I$ .

Единственность: разность двух решений с одинаковым начальным значением решает однородное уравнение и обращается в нуль в точке $x_0$ . Значит, она равна $Ce^{-P}$ с $C = 0$ . $\blacksquare$

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале

Формулировка

Пусть $p_1, \dots, p_n, f$ непрерывны на интервале $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ и чисел $y_0, y_0', \dots, y_0^{(n-1)}$ уравнение $L[y] = f$ имеет решение с этими начальными условиями, определённое на всём интервале $I$ , и оно единственно.

Доказательство

Развернуть

Вектор $z = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^T$ удовлетворяет линейной системе $z' = A(x)z + b(x)$ . Здесь матрица $A$ имеет единицы над диагональю, последняя строка равна $(-p_n, \dots, -p_1)$ , остальные элементы нулевые, а $b = (0, \dots, 0, f)^T$ . Обратно, первая компонента решения системы — решение уравнения. Докажем утверждение для системы $z' = A(x)z + b(x)$ с непрерывными $A$ , $b$ .

Возьмём любой отрезок $[\alpha, \beta]\subset I$ , содержащий $x_0$ . На нём $\|A(x)\|\le K$ , $\|A(x)z_0 + b(x)\|\le M$ . Приближения

z_0(x)\equiv z_0,\qquad z_{k+1}(x) = z_0 + \int_{x_0}^x\bigl(A(t)z_k(t) + b(t)\bigr)\,dt

определены на всём $[\alpha, \beta]$ : правая часть линейна по $z$ , ограничений вида $\|z - z_0\|\le b$ не нужно. Как в теореме Коши–Пикара,

\|z_{k+1}(x) - z_k(x)\|\le\frac{MK^k|x - x_0|^{k+1}}{(k + 1)!},

поэтому $z_k$ равномерно сходятся на $[\alpha, \beta]$ к решению интегрального уравнения.

Единственность: для разности $u$ двух решений $\|u(x)\|\le K\left|\int_{x_0}^x\|u\|\,dt\right|$ , и по лемме Гронуолла $u\equiv 0$ . Поэтому решения, построенные на разных отрезках, совпадают на их пересечении. Взяв последовательность отрезков, исчерпывающих $I$ , получаем решение на всём $I$ . $\blacksquare$

Теорема Коши для уравнения n-го порядка

Формулировка

Пусть функция $f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)})$ непрерывна в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ вместе с частными производными по $y, y', \dots, y^{(n-1)}$ (достаточно локального условия Липшица по этим переменным). Тогда для любой точки $(x_0, y_0, \dots, y_0^{(n-1)})\in G$ задача Коши для уравнения $y^{(n)} = f(x, y, \dots, y^{(n-1)})$ имеет решение на некотором отрезке $|x - x_0|\le h$ , и это решение единственно.

Доказательство

Развернуть

Введём вектор $z = (z_1, \dots, z_n) = (y, y', \dots, y^{(n-1)})$ . Уравнение равносильно нормальной системе

z_1' = z_2,\quad\dots,\quad z_{n-1}' = z_n,\quad z_n' = f(x, z_1, \dots, z_n)

с начальным условием $z(x_0) = (y_0, \dots, y_0^{(n-1)})$ .

Для систем доказательство повторяет доказательство теоремы Коши–Пикара дословно. Модуль заменяется нормой вектора, прямоугольник — цилиндром $|x - x_0|\le a$ , $\|z - z_0\|\le b$ , а условие Липшица записывается как $\|F(x, z) - F(x, w)\|\le L\|z - w\|$ . Подробно сведение разобрано в теме о нормальных системах. $\blacksquare$

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Пусть функции $f_i(t, x)$ непрерывны в области $G\subset\mathbb R^{n+1}$ вместе с частными производными $\partial f_i/\partial x_j$ (достаточно локального условия Липшица по $x$ : $\|f(t, x) - f(t, y)\|\le L\|x - y\|$ ). Тогда для любой точки $(t_0, x^0)\in G$ задача Коши $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x^0$ имеет решение на некотором отрезке $|t - t_0|\le h$ , и любые два решения совпадают на общем интервале определения.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без доказательства. Оно дословно повторяет доказательство теоремы Коши–Пикара для одного уравнения. Модуль заменяется нормой вектора, прямоугольник — цилиндром $\{|t - t_0|\le a,\ \|x - x^0\|\le b\}$ , и используются неравенство $\left\|\int g\right\|\le\int\|g\|$ и лемма Гронуолла. Локальное условие Липшица следует из непрерывности производных по формуле конечных приращений: $f(t, x) - f(t, y) = \int_0^1f_x(t, y + \theta(x - y))\,d\theta\,(x - y)$ . $\blacksquare$

Задача Коши. Теорема существования и единственности

Эквивалентность задачи Коши интегральному уравнению

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие Липшица

Формулировка

Доказательство

Лемма Гронуолла

Формулировка

Доказательство

Теорема существования и единственности (теорема Коши–Пикара)

Формулировка

Доказательство

Единственность в области с локальным условием Липшица

Формулировка

Доказательство

Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части

Формулировка

Доказательство

Последовательные приближения для y' = y

Условие

Решение

Оценка отрезка существования для y' = x + y²

Условие

Решение

Неединственность для y' = 3y^{2/3}

Условие

Решение

Проверка условия Липшица

Условие

Решение

Оценка отклонения решений

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Задача Коши для уравнения первого порядка

Условие Липшица

Частное и общее решения

Интегральная кривая

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной

Формулировка

Доказательство

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Доказательство

Существование и единственность решения линейного уравнения на всём интервале

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши для уравнения n-го порядка

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши для нормальной системы

Формулировка

Доказательство