Основные понятия. Поле направлений

Прогресс изучения0 из 3

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы3

Интегральная кривая касается поля направлений
Экстремумы и перегибы решений
Уравнение y' = f(x)

лемма

Интегральная кривая касается поля направлений

Формулировка

Пусть кривая $y = \varphi(x)$ , $x\in I$ , лежит в области $G$ и функция $\varphi$ дифференцируема на $I$ . Эта кривая является интегральной кривой уравнения $y' = f(x, y)$ тогда и только тогда, когда в каждой её точке касательная имеет направление поля.

Доказательство

Развернуть

Касательная к графику функции $\varphi$ в точке $(x, \varphi(x))$ имеет угловой коэффициент $\varphi'(x)$ , а направление поля в этой точке — угловой коэффициент $f(x, \varphi(x))$ . Совпадение направлений во всех точках означает, что $\varphi'(x) = f(x, \varphi(x))$ для всех $x\in I$ . Это и есть определение решения. $\blacksquare$

теорема

Экстремумы и перегибы решений

Формулировка

Пусть $f\in C^1(G)$ . Тогда:

точки локального экстремума решений уравнения $y' = f(x, y)$ лежат на изоклине $f(x, y) = 0$ ;
точки перегиба решений лежат на кривой

f_x(x, y) + f(x, y)\,f_y(x, y) = 0.

Доказательство

Развернуть

Пусть $y(x)$ — решение. Так как $y'(x) = f(x, y(x))$ , а $f$ и $y$ непрерывно дифференцируемы, функция $y'$ дифференцируема, и

y'' = f_x(x, y) + f_y(x, y)\,y' = f_x + f\,f_y.

В точке экстремума $y' = 0$ , то есть $f(x, y) = 0$ . В точке перегиба непрерывная функция $y''$ меняет знак, поэтому $y'' = 0$ , то есть $f_x + f f_y = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $(a, b)$ . Тогда все решения уравнения $y' = f(x)$ на $(a, b)$ имеют вид

y = F(x) + C,

где $F$ — какая-либо первообразная $f$ , а $C$ — произвольная постоянная. Для любых $x_0\in(a, b)$ и $y_0$ существует единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf(t)\,dt.

Доказательство

Развернуть

По теореме Барроу функция $F(x) = \int_{x_0}^xf(t)\,dt$ дифференцируема и $F' = f$ , поэтому $F + C$ — решение.

Если $y$ — любое решение, то $(y - F)' = 0$ на интервале. По теореме Лагранжа $y - F$ постоянна.

Условие $y(x_0) = y_0$ однозначно определяет постоянную: $C = y_0$ при $F(x_0) = 0$ . $\blacksquare$

Проверка решения и интегральная кривая через точку

Условие

Проверить, что функции $y = Cx^2$ являются решениями уравнения $xy' = 2y$ , и найти интегральную кривую, проходящую через точку $(1, 3)$ .

Решение

Развернуть

$y' = 2Cx$ , поэтому $xy' = 2Cx^2 = 2y$ — равенство верно при всех $x$ .

Условие $y(1) = 3$ даёт $C = 3$ . Искомая интегральная кривая — парабола $y = 3x^2$ .

Заметим, что через начало координат проходят все кривые семейства. Это согласуется с тем, что уравнение $y' = 2y/x$ не определено при $x = 0$ .

Дифференциальное уравнение семейства кривых

Условие

Составить дифференциальные уравнения семейств:

а) $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$ ;

б) окружностей единичного радиуса с центрами на оси $Ox$ : $(x - C)^2 + y^2 = 1$ .

Решение

Развернуть

а) Два параметра — дифференцируем дважды: $y' = C_1e^x - C_2e^{-x}$ , $y'' = C_1e^x + C_2e^{-x} = y$ . Ответ: $y'' = y$ .

б) Дифференцируем по $x$ : $(x - C) + yy' = 0$ , откуда $x - C = -yy'$ . Подставим в уравнение семейства:

y^2y'^2 + y^2 = 1.

Это уравнение первого порядка, не разрешённое относительно $y'$ . Ему удовлетворяют также прямые $y = \pm1$ — огибающие семейства окружностей.

Изоклины уравнения y' = x² + y²

Условие

Построить изоклины уравнения $y' = x^2 + y^2$ и описать поведение интегральных кривых.

Решение

Развернуть

Изоклины $x^2 + y^2 = k$ при $k > 0$ — окружности радиуса $\sqrt k$ с центром в начале координат; при $k = 0$ — точка $O$ .

Так как $y'\ge 0$ , все решения не убывают, и экстремумов (кроме точки $O$ , где $y' = 0$ ) нет. С удалением от начала координат наклон поля растёт: на окружности радиуса $1$ он равен $45^\circ$ , на окружности радиуса $\sqrt3$ — $60^\circ$ .

Точки перегиба лежат на кривой

f_x + ff_y = 2x + 2y(x^2 + y^2) = 0.

Интегральные кривые — возрастающие линии, которые при удалении от начала координат становятся всё круче. Решения уходят в бесконечность за конечное время: при $|y|$ большом $y'\ge y^2$ .

Поле направлений уравнения y' = y − x

Условие

Для уравнения $y' = y - x$ найти изоклины, выяснить, какая из них сама является интегральной кривой, и определить характер экстремумов решений. Проверить, что $y = x + 1 + Ce^x$ — решения.

Решение

Развернуть

Изоклины $y - x = k$ — прямые $y = x + k$ с угловым коэффициентом $1$ . На изоклине $k = 1$ направление поля совпадает с направлением самой прямой $y = x + 1$ , поэтому она — интегральная кривая.

Экстремумы лежат на изоклине $k = 0$ , то есть на прямой $y = x$ . Там $y'' = y' - 1 = -1 < 0$ , так что все экстремумы — максимумы.

Проверка: $y' = 1 + Ce^x$ , $y - x = 1 + Ce^x$ . При $C = 0$ получаем ту самую прямую $y = x + 1$ ; при $C < 0$ решения имеют максимум, при $C > 0$ монотонно возрастают.

Радиоактивный распад

Условие

Скорость распада радия пропорциональна его наличной массе $m(t)$ . Период полураспада радия — $1600$ лет. Какая доля исходной массы распадётся за $100$ лет?

Решение

Развернуть

Модель: $m' = -km$ , $k > 0$ . Тогда

\bigl(m(t)e^{kt}\bigr)' = e^{kt}(m' + km) = 0,

поэтому $m(t)e^{kt} = m_0$ , то есть $m(t) = m_0e^{-kt}$ .

Из $m(1600) = m_0/2$ находим $e^{-1600k} = 1/2$ , откуда $m(t) = m_0\,2^{-t/1600}$ . Через $100$ лет

\frac{m(100)}{m_0} = 2^{-1/16}\approx 0{,}9576.

Распадётся около $4{,}2\%$ исходной массы.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение

Обыкновенным дифференциальным уравнением $n$ -го порядка называется уравнение

F\bigl(x, y, y', \dots, y^{(n)}\bigr) = 0,

связывающее независимую переменную $x$ , неизвестную функцию $y(x)$ и её производные до порядка $n$ включительно, причём $y^{(n)}$ в уравнение действительно входит. Слово «обыкновенное» означает, что неизвестная функция зависит от одной переменной (в отличие от уравнений в частных производных).

Решением уравнения на интервале $I$ называется функция $y = \varphi(x)$ , $n$ раз дифференцируемая на $I$ , такая что для всех $x\in I$ точка $\bigl(x, \varphi(x), \dots, \varphi^{(n)}(x)\bigr)$ лежит в области определения $F$ и

F\bigl(x, \varphi(x), \varphi'(x), \dots, \varphi^{(n)}(x)\bigr) \equiv 0.

Решение может задаваться и неявно, соотношением $\Phi(x, y) = 0$ , или параметрически.

Уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной

Уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение

y' = f(x, y),

где функция $f$ определена в области $G\subset\mathbb R^2$ .

Наряду с ним рассматривают уравнение в симметричной форме (в дифференциалах)

M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0,

в котором переменные $x$ и $y$ равноправны: решениями считаются как функции $y = y(x)$ , так и функции $x = x(y)$ . Там, где $N\ne 0$ , оно равносильно уравнению $y' = -M/N$ , а там, где $M\ne 0$ , — уравнению $x'_y = -N/M$ .

Поле направлений и изоклины

Пусть дано уравнение $y' = f(x, y)$ , $(x, y)\in G$ . Проведём через каждую точку $(x, y)\in G$ короткий отрезок с угловым коэффициентом $f(x, y)$ . Совокупность этих отрезков называется полем направлений уравнения.

Изоклиной называется множество точек области $G$ , в которых направление поля одно и то же:

f(x, y) = k,\qquad k = \mathrm{const}.

Построение нескольких изоклин позволяет быстро набросать поле направлений, а по нему — приближённый вид решений.

Интегральная кривая

График решения $y = \varphi(x)$ уравнения $y' = f(x, y)$ называется интегральной кривой этого уравнения.

Для уравнения в симметричной форме $M\,dx + N\,dy = 0$ интегральной кривой называется кривая, которая в окрестности каждой своей точки является графиком решения вида $y = y(x)$ или вида $x = x(y)$ .

Эквивалентность задачи Коши интегральному уравнению

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна в области $G$ . Функция $y(x)$ , график которой лежит в $G$ , является решением задачи Коши $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ на интервале $I\ni x_0$ тогда и только тогда, когда $y$ непрерывна на $I$ и

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^xf\bigl(t, y(t)\bigr)\,dt,\qquad x\in I.

Доказательство

Развернуть

Если $y$ — решение, то $y'(t) = f(t, y(t))$ — непрерывная функция. Интегрируя от $x_0$ до $x$ и учитывая $y(x_0) = y_0$ , получаем интегральное уравнение.

Обратно, если непрерывная $y$ удовлетворяет интегральному уравнению, то подынтегральная функция непрерывна, и по теореме Барроу правая часть дифференцируема, причём $y' = f(x, y)$ . При $x = x_0$ получаем $y(x_0) = y_0$ . $\blacksquare$

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $I$ , $g$ — на интервале $J$ , и $F$ , $G$ — их первообразные. Тогда

F(x) + G(y) = C

— общий интеграл уравнения $f(x)\,dx + g(y)\,dy = 0$ в прямоугольнике $I\times J$ : всякое решение удовлетворяет этому соотношению при некотором $C$ , и всякая гладкая кривая, на которой $F(x) + G(y)$ постоянно, — интегральная кривая.

Доказательство

Развернуть

Пусть $y = y(x)$ — решение: $f(x) + g(y(x))y'(x) = 0$ . Тогда

\frac{d}{dx}\bigl[F(x) + G(y(x))\bigr] = f(x) + g(y(x))\,y'(x) = 0,

и функция $F(x) + G(y(x))$ постоянна. Для решения вида $x = x(y)$ рассуждение то же.

Обратно, если $F(x) + G(y(x))\equiv C$ для дифференцируемой функции $y(x)$ , то дифференцирование даёт $f(x) + g(y)y' = 0$ , то есть $y(x)$ — решение. $\blacksquare$

Уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x). Формула Коши

Формулировка

Пусть $f$ непрерывна на интервале $I$ , $x_0\in I$ . Решение уравнения $y^{(n)} = f(x)$ с начальными условиями $y^{(k)}(x_0) = y_0^{(k)}$ , $k = 0, \dots, n-1$ , существует на всём $I$ , единственно и задаётся формулой

y(x) = \sum_{k=0}^{n-1}y_0^{(k)}\frac{(x - x_0)^k}{k!} + \frac1{(n - 1)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{n-1}f(t)\,dt.

Общее решение: $y = \frac1{(n-1)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{n-1}f(t)\,dt + C_1x^{n-1} + \dots + C_{n-1}x + C_n$ .

Доказательство

Развернуть

Положим $J_m(x) = \frac1{(m-1)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{m-1}f(t)\,dt$ . Дифференцируя по параметру, при $m\ge 2$ получаем

J_m'(x) = \frac{(x - x)^{m-1}}{(m - 1)!}f(x) + \frac1{(m-2)!}\int_{x_0}^x(x - t)^{m-2}f(t)\,dt = J_{m-1}(x),

а $J_1' = f$ . Поэтому $J_n^{(k)} = J_{n-k}$ при $k < n$ , $J_n^{(n)} = f$ , и все $J_n^{(k)}(x_0) = 0$ при $k < n$ . Многочлен Тейлора в формуле обеспечивает начальные условия, а его $n$ -я производная равна нулю.

Единственность: разность двух решений имеет нулевую $n$ -ю производную. Значит, это многочлен степени меньше $n$ (по теореме о функции с нулевой производной, применённой $n$ раз). Все его производные в точке $x_0$ до порядка $n-1$ равны нулю, поэтому он тождественно равен нулю. $\blacksquare$

Решения линейного однородного уравнения первого порядка

Формулировка

Пусть $p$ непрерывна на $I$ , $x_0\in I$ . Все решения уравнения $y' + p(x)y = 0$ на $I$ имеют вид

y = Ce^{-\int_{x_0}^xp(t)\,dt},\qquad C\in\mathbb R.

Доказательство

Развернуть

Положим $P(x) = \int_{x_0}^xp(t)\,dt$ , так что $P' = p$ . Для любой дифференцируемой функции $y$

\bigl(ye^{P}\bigr)' = e^{P}(y' + py).

Поэтому $y$ — решение тогда и только тогда, когда $(ye^P)' = 0$ , то есть $ye^P = C$ . Деления на $y$ не было, так что найдены все решения, включая $y\equiv 0$ . $\blacksquare$

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Пусть $p$ , $q$ непрерывны на $I$ . Тогда для любых $x_0\in I$ , $y_0\in\mathbb R$ уравнение $y' + p(x)y = q(x)$ имеет на всём интервале $I$ единственное решение с $y(x_0) = y_0$ :

y(x) = y_0e^{-\int_{x_0}^xp(t)\,dt} + \int_{x_0}^xq(s)\,e^{-\int_s^xp(t)\,dt}\,ds.

Общее решение: $y = e^{-P(x)}\left(C + \int q(x)e^{P(x)}\,dx\right)$ , $P' = p$ .

Доказательство

Развернуть

Ищем решение в виде $y = C(x)e^{-P(x)}$ — «варьируем» постоянную в решении однородного уравнения. Подставляя, получаем

C'e^{-P} - Cpe^{-P} + pCe^{-P} = q\quad\Longrightarrow\quad C' = qe^{P}.

Отсюда $C(x) = y_0 + \int_{x_0}^xq(s)e^{P(s)}\,ds$ , где $P(x) = \int_{x_0}^xp$ . Подстановка даёт формулу Коши; функция определена и дифференцируема на всём $I$ .

Единственность: разность двух решений с одинаковым начальным значением решает однородное уравнение и обращается в нуль в точке $x_0$ . Значит, она равна $Ce^{-P}$ с $C = 0$ . $\blacksquare$

Основные понятия. Поле направлений

Интегральная кривая касается поля направлений

Формулировка

Доказательство

Экстремумы и перегибы решений

Формулировка

Доказательство

Уравнение y' = f(x)

Формулировка

Доказательство

Проверка решения и интегральная кривая через точку

Условие

Решение

Дифференциальное уравнение семейства кривых

Условие

Решение

Изоклины уравнения y' = x² + y²

Условие

Решение

Поле направлений уравнения y' = y − x

Условие

Решение

Радиоактивный распад

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение

Уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной

Поле направлений и изоклины

Интегральная кривая

Эквивалентность задачи Коши интегральному уравнению

Формулировка

Доказательство

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными

Формулировка

Доказательство

Уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x). Формула Коши

Формулировка

Доказательство

Решения линейного однородного уравнения первого порядка

Формулировка

Доказательство

Метод вариации постоянной. Формула Коши

Формулировка

Доказательство