Изолированные особые точки

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Описание устранимых особых точек
Описание полюсов
Теорема Сохоцкого
Классификация особенности в бесконечности
Мероморфные на сфере функции рациональны

теорема

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — устранимая особая точка;
главная часть ряда Лорана в точке $a$ равна нулю;
$f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $a$ .

При этом, доопределив $f(a) = \lim_{z\to a}f(z)$ , получаем функцию, голоморфную в окрестности $a$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ : функция, имеющая конечный предел, ограничена вблизи $a$ .

$3\Rightarrow 2$ : если $|f|\le M$ , то по неравенствам Коши для ряда Лорана $|c_{-n}|\le M\rho^n\to 0$ при $\rho\to 0$ , $n\ge 1$ .

$2\Rightarrow 1$ : если главная часть равна нулю, то $f(z) = \sum_{n\ge 0}c_n(z - a)^n$ в проколотой окрестности, и правая часть — сумма степенного ряда, голоморфная и в самой точке $a$ . Поэтому $\lim_{z\to a}f(z) = c_0$ , и доопределение $f(a) = c_0$ даёт голоморфную функцию. $\blacksquare$

теорема

Описание полюсов

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — полюс порядка $m$ ;
$f(z) = \dfrac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h$ голоморфна в окрестности $a$ и $h(a)\ne 0$ ;
главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, и старший из них — $\dfrac{c_{-m}}{(z - a)^m}$ , $c_{-m}\ne 0$ .

Если $f = \varphi/\psi$ , где $\varphi(a)\ne 0$ , а $\psi$ имеет в $a$ нуль порядка $m$ , то $a$ — полюс порядка $m$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 2$ : функция $g = 1/f$ вблизи $a$ ограничена (так как $f\to\infty$ ), её особая точка устранима, и доопределённая $g(a) = 0$ имеет нуль порядка $m$ . По теореме о нулях $g = (z - a)^mg_1$ , $g_1(a)\ne 0$ . Тогда $f = \frac{h}{(z - a)^m}$ с $h = 1/g_1$ .

$2\Rightarrow 3$ : разложим $h$ в ряд Тейлора $h = \sum_{k\ge 0}b_k(z - a)^k$ , $b_0 = h(a)\ne 0$ , и разделим на $(z - a)^m$ . По единственности ряда Лорана главная часть равна $\sum_{k<m}b_k(z - a)^{k - m}$ , её старший член — $\frac{b_0}{(z - a)^m}$ .

$3\Rightarrow 1$ : $f = \frac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^{n + m}$ голоморфна и $h(a) = c_{-m}\ne 0$ . Тогда $f\to\infty$ , а $1/f = \frac{(z - a)^m}{h}$ имеет нуль порядка $m$ .

Последнее утверждение: $\psi = (z - a)^m\psi_1$ , $\psi_1(a)\ne 0$ , и $f = \frac{\varphi/\psi_1}{(z - a)^m}$ с $\frac{\varphi(a)}{\psi_1(a)}\ne 0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Сохоцкого

Формулировка

Изолированная особая точка $a$ — существенно особая тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много ненулевых членов.

Теорема Сохоцкого. Если $a$ — существенно особая точка функции $f$ , то для любого $A\in\overline{\mathbb C}$ существует последовательность $z_n\to a$ , для которой $f(z_n)\to A$ .

Доказательство

Развернуть

Первое утверждение следует из описаний устранимых точек (главная часть нулевая) и полюсов (главная часть конечна и ненулевая), так как эти три случая исчерпывают возможности.

Теорема Сохоцкого. Для $A = \infty$ : если бы $f$ была ограничена вблизи $a$ , точка была бы устранимой. Значит, $f$ не ограничена, и есть $z_n\to a$ с $f(z_n)\to\infty$ .

Пусть $A\in\mathbb C$ и, от противного, $|f(z) - A|\ge\delta > 0$ в некоторой проколотой окрестности. Тогда $g = \frac1{f - A}$ голоморфна и ограничена там, и $a$ — устранимая точка $g$ . Если $g(a)\ne 0$ , то $f = A + \frac1g$ имеет конечный предел в $a$ . Если $g(a) = 0$ , то $f\to\infty$ . В обоих случаях $a$ не существенно особая — противоречие. $\blacksquare$

теорема

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Пусть $f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$ — ряд Лорана в области $|z| > R$ . Точка $\infty$ :

устранимая $\iff$ $c_n = 0$ при всех $n > 0$ ;
полюс порядка $m\ge 1$ $\iff$ $c_m\ne 0$ и $c_n = 0$ при $n > m$ ;
существенно особая $\iff$ бесконечно много $c_n\ne 0$ с $n > 0$ .

Следствия: целая функция с полюсом порядка $m$ в бесконечности — многочлен степени $m$ ; целая функция с устранимой особенностью в бесконечности постоянна.

Доказательство

Развернуть

Функция $g(\zeta) = f(1/\zeta) = \sum c_n\zeta^{-n}$ имеет в точке $\zeta = 0$ главную часть $\sum_{n>0}c_n\zeta^{-n}$ , и тип особенности $g$ в нуле определяется описаниями устранимых точек, полюсов и существенно особых точек.

Целая функция разлагается в ряд Тейлора $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ во всей плоскости, и это же её ряд Лорана в окрестности $\infty$ . Полюс порядка $m$ означает $c_n = 0$ при $n > m$ , то есть $f$ — многочлен степени $m$ . Устранимая особенность — $f\equiv c_0$ ; это также следует из теоремы Лиувилля, так как такая функция ограничена. $\blacksquare$

следствие

Мероморфные на сфере функции рациональны

Формулировка

Если функция $f$ в $\overline{\mathbb C}$ не имеет особых точек, кроме полюсов (включая, возможно, точку $\infty$ ), то $f$ — рациональная функция.

Доказательство

Развернуть

Полюсы изолированы, а $\overline{\mathbb C}$ компактно, поэтому полюсов конечное число: $a_1, \dots, a_s\in\mathbb C$ (и, возможно, $\infty$ ). Пусть $g_k$ — главная часть ряда Лорана в $a_k$ (рациональная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности), а $g_\infty$ — главная часть в $\infty$ (многочлен). Функция $f - g_\infty - \sum g_k$ не имеет особых точек в $\mathbb C$ (все особенности устранимы) и имеет устранимую особенность в $\infty$ . По классификации особенности в бесконечности она постоянна. $\blacksquare$

Классификация особых точек

Условие

Найти и классифицировать особые точки функций а) $\dfrac{\sin z}z$ ; б) $\dfrac{1 - \cos z}{z^5}$ ; в) $e^{1/z}$ ; г) $\dfrac1{e^z - 1}$ ; д) $\dfrac z{\sin z}$ .

Решение

Развернуть

а) $\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \dots$ — точка $0$ устранима.

б) $1 - \cos z = \frac{z^2}2 - \dots$ — нуль порядка $2$ , поэтому $0$ — полюс порядка $5 - 2 = 3$ .

в) $e^{1/z} = \sum\frac1{n!z^n}$ — бесконечная главная часть, существенно особая точка.

г) Нули знаменателя $z_k = 2\pi ik$ простые ( $(e^z)' = e^z\ne 0$ ) — простые полюсы.

д) В нуле предел равен $1$ — устранимая точка. В точках $\pi k$ , $k\ne 0$ , числитель не равен нулю, а $\sin z$ имеет простой нуль — простые полюсы.

Особенность в бесконечности

Условие

Определить тип точки $\infty$ для функций а) $\dfrac{z^3}{z^2 + 1}$ ; б) $e^z$ ; в) $\dfrac{z^2 + 1}{z^2}$ ; г) $\sin\dfrac1z$ .

Решение

Развернуть

а) $\frac{z^3}{z^2 + 1} = z - \frac1z + \frac1{z^3} - \dots$ — простой полюс.

б) $e^z = \sum\frac{z^n}{n!}$ — бесконечно много положительных степеней, существенно особая.

в) $1 + \frac1{z^2}$ — устранимая (предел $1$ ).

г) $\sin\frac1z = \frac1z - \frac1{6z^3} + \dots$ — устранимая, причём $\infty$ — нуль первого порядка.

Теорема Сохоцкого для e^{1/z}

Условие

Для функции $e^{1/z}$ найти последовательность $z_n\to 0$ , на которой $e^{1/z_n} = i$ , а также последовательности, на которых $e^{1/z}\to 0$ и $e^{1/z}\to\infty$ .

Решение

Развернуть

$e^{1/z} = i$ при $\frac1z = \operatorname{Ln}i = i\left(\frac\pi2 + 2\pi n\right)$ , то есть $z_n = \dfrac{-i}{\pi/2 + 2\pi n}\to 0$ .

$z_n = -\frac1n$ : $e^{-n}\to 0$ . $z_n = \frac1n$ : $e^n\to\infty$ .

Значение $0$ функция не принимает вовсе (экспонента не обращается в нуль), но как предельное значение оно достигается — в согласии с теоремой Сохоцкого.

Порядок полюса через порядок нуля знаменателя

Условие

Найти порядок полюса в точке $0$ функций а) $\dfrac1{z^3 - \sin^3z}$ ; б) $\operatorname{ctg}z$ ; в) $\dfrac{e^z}{z(1 - \cos z)}$ .

Решение

Развернуть

а) $z^3 - \sin^3z$ имеет нуль порядка $5$ ( $= \frac{z^5}2 + \dots$ ), поэтому полюс порядка $5$ .

б) $\operatorname{ctg}z = \frac{\cos z}{\sin z}$ : $\cos 0\ne 0$ , $\sin z$ — простой нуль, простой полюс.

в) Знаменатель $z(1 - \cos z) = \frac{z^3}2 + \dots$ — нуль порядка $3$ , числитель $e^0 = 1\ne 0$ . Полюс порядка $3$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Изолированная особая точка и её типы

Точка $a\in\mathbb C$ называется изолированной особой точкой однозначного характера функции $f$ , если $f$ голоморфна в проколотой окрестности $0 < |z - a| < r$ , но не определена или не голоморфна в самой точке $a$ . Особая точка называется:

устранимой, если существует конечный предел $\lim_{z\to a}f(z)$ ;
полюсом, если $\lim_{z\to a}f(z) = \infty$ ;
существенно особой, если предела (конечного или бесконечного) нет.

Порядком полюса называется порядок нуля функции $1/f$ в точке $a$ (с доопределением $1/f(a) = 0$ ).

Функция, все особые точки которой в области $D$ — полюсы, называется мероморфной в $D$ .

Бесконечность как особая точка

Точка $\infty$ называется изолированной особой точкой функции $f$ , если $f$ голоморфна в области $R < |z| < \infty$ . Тип особенности (устранимая, полюс порядка $m$ , существенно особая) определяется так же, по пределу при $z\to\infty$ , или, что то же, по типу особенности функции $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ в точке $\zeta = 0$ .

Главной частью ряда Лорана функции $f$ в окрестности $\infty$ (в области $|z| > R$ ) называется сумма членов с положительными степенями $z$ .

Ряд Лорана

Рядом Лорана с центром $a$ называется ряд

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n = \sum_{n=1}^\infty\frac{c_{-n}}{(z - a)^n} + \sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n.

Первая сумма называется главной частью, вторая — правильной частью. Ряд Лорана сходится в точке, если сходятся обе части; его сумма — сумма сумм частей.

Нуль голоморфной функции и его порядок

Точка $a$ называется нулём голоморфной функции $f$ , если $f(a) = 0$ . Нуль имеет порядок (кратность) $m$ , если

f(a) = f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0,\qquad f^{(m)}(a)\ne 0.

Нуль порядка $1$ называется простым.

Говорят, что $f$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\infty$ , если функция $f(1/\zeta)$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\zeta = 0$ .

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в кольце $V = \{r < |z - a| < R\}$ , представляется в нём сходящимся рядом Лорана

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad r < \rho < R.

Разложение единственно: если ряд Лорана сходится к $f$ в $V$ , то его коэффициенты даются этими формулами.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r < \rho_1 < |z - a| < \rho_2 < R$ . По формуле Коши для кольца $\rho_1 < |\zeta - a| < \rho_2$ :

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_2}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z} - \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_1}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z}.

В первом интеграле, как в доказательстве теоремы Тейлора, $\frac1{\zeta - z} = \sum_{n\ge 0}\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}$ . Во втором $|\zeta - a| < |z - a|$ , и

-\frac1{\zeta - z} = \frac1{(z - a)\left(1 - \frac{\zeta - a}{z - a}\right)} = \sum_{n\ge 1}\frac{(\zeta - a)^{n-1}}{(z - a)^n}.

Оба ряда сходятся равномерно по $\zeta$ на соответствующих окружностях; почленное интегрирование даёт правильную и главную части с указанными коэффициентами. По теореме Коши для кольца интегралы $\oint\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}$ не зависят от $\rho$ .

Единственность: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ в $V$ , умножим равенство на $(z - a)^{-k-1}$ и проинтегрируем по окружности $|z - a| = \rho$ . Ряд сходится равномерно на окружности, а по основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = k$ , равный $2\pi ic_k$ . $\blacksquare$

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Формулировка

Если $f$ голоморфна в кольце $r < |z - a| < R$ и $M(\rho) = \max_{|z - a| = \rho}|f(z)|$ , то при всех целых $n$ и $r < \rho < R$

|c_n|\le\frac{M(\rho)}{\rho^n}.

Доказательство

Развернуть

По формуле для коэффициентов и оценке интеграла

|c_n|\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{M(\rho)}{\rho^{n+1}}\cdot 2\pi\rho = \frac{M(\rho)}{\rho^n}.\qquad\blacksquare

Голоморфность суммы степенного ряда

Формулировка

Сумма $f$ степенного ряда $\sum c_n(z - a)^n$ голоморфна в круге сходимости. Ряд можно почленно дифференцировать, радиус сходимости продифференцированного ряда тот же, и

c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!},

то есть степенной ряд — ряд Тейлора своей суммы.

Доказательство

Развернуть

Ряд сходится равномерно внутри круга сходимости (теорема Абеля), его члены — многочлены. По теореме Вейерштрасса сумма голоморфна, а ряд можно дифференцировать почленно. Радиус продифференцированного ряда $\sum nc_n(z - a)^{n-1}$ тот же по формуле Коши–Адамара, так как $\sqrt[n]n\to 1$ . Дифференцируя $k$ раз и подставляя $z = a$ , получаем $f^{(k)}(a) = k!c_k$ . $\blacksquare$

Лемма Шварца

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , $|f(z)| < 1$ и $f(0) = 0$ . Тогда

|f(z)|\le|z|\quad(|z| < 1),\qquad|f'(0)|\le 1.

Если хотя бы в одной точке $z_0\ne 0$ выполнено $|f(z_0)| = |z_0|$ или $|f'(0)| = 1$ , то $f(z) = e^{i\theta}z$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $g(z) = f(z)/z$ имеет в нуле устранимую особенность ( $f(0) = 0$ ), и $g(0) = f'(0)$ . При $|z| = r < 1$ имеем $|g(z)|\le\frac1r$ , и по принципу максимума $|g|\le\frac1r$ в круге $|z|\le r$ . Устремляя $r\to 1$ , получаем $|g|\le 1$ , то есть $|f(z)|\le|z|$ и $|f'(0)|\le 1$ .

Если $|g(z_0)| = 1$ во внутренней точке, то $|g|$ достигает максимума внутри, и по принципу максимума $g\equiv e^{i\theta}$ . $\blacksquare$

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в области $D$ и не равна тождественно нулю. Тогда каждый её нуль $a$ имеет конечный порядок $m$ , $f(z) = (z - a)^mg(z)$ с голоморфной $g$ , $g(a)\ne 0$ , и у нуля есть проколотая окрестность, в которой $f\ne 0$ (нули изолированы).

Доказательство

Развернуть

Пусть $E$ — множество точек $D$ , в которых все производные $f$ (включая $f$ ) равны нулю. Оно замкнуто в $D$ (по непрерывности производных). Оно открыто: если $z_0\in E$ , то ряд Тейлора в круге с центром $z_0$ нулевой, и $f\equiv 0$ в этом круге. Так как $D$ связна и $f\not\equiv 0$ , множество $E$ пусто.

Значит, в нуле $a$ некоторая производная не равна нулю, и порядок $m$ конечен. В круге с центром $a$

f(z) = \sum_{n\ge m}c_n(z - a)^n = (z - a)^m\sum_{k\ge 0}c_{m+k}(z - a)^k = (z - a)^mg(z),

где $g$ голоморфна как сумма степенного ряда и $g(a) = c_m\ne 0$ . Вне круга $g(z) = f(z)/(z - a)^m$ . По непрерывности $g\ne 0$ вблизи $a$ , поэтому и $f\ne 0$ в проколотой окрестности. $\blacksquare$

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ мероморфна в окрестности $\overline D$ и не имеет нулей и полюсов на $\partial D$ . Тогда

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N - P,

где $N$ и $P$ — числа нулей и полюсов $f$ в $D$ , считаемых с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули и полюсы изолированы, поэтому в $\overline D$ их конечное число. Особые точки $f'/f$ в $D$ — только нули и полюсы $f$ .

Если $a$ — нуль порядка $m$ , то $f = (z - a)^mg$ , $g(a)\ne 0$ , и

\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g,

где $g'/g$ голоморфна вблизи $a$ . Поэтому $\operatorname*{res}_af'/f = m$ .

Если $a$ — полюс порядка $p$ , то $f = (z - a)^{-p}h$ , $h(a)\ne 0$ , и аналогично $\operatorname*{res}_af'/f = -p$ .

По теореме Коши о вычетах интеграл равен $2\pi i(N - P)$ . $\blacksquare$

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Если $a$ — простой полюс, то $\operatorname*{res}_{z=a}f = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ .
Если $f = \dfrac\varphi\psi$ , где $\varphi$ , $\psi$ голоморфны в окрестности $a$ , $\varphi(a)\ne 0$ , $\psi(a) = 0$ , $\psi'(a)\ne 0$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.

Если $a$ — полюс порядка не выше $m$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac1{(m - 1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigl[(z - a)^mf(z)\bigr].

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^n$ , то $(z - a)^mf = \sum_{k\ge 0}c_{k - m}(z - a)^k$ — сумма степенного ряда, коэффициент которого при $(z - a)^{m-1}$ равен $c_{-1}$ . По формуле коэффициентов ряда Тейлора он равен $\frac1{(m - 1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - a)^mf]$ в точке $a$ , то есть пределу.
Частный случай п. 3 при $m = 1$ .
Полюс простой (по описанию полюсов), и

(z - a)\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{\varphi(z)}{\frac{\psi(z) - \psi(a)}{z - a}}\to\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.\qquad\blacksquare

Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы

Формулировка

$\operatorname{Aut}\{\operatorname{Im}z > 0\}$ — дробно-линейные функции $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ с $a, b, c, d\in\mathbb R$ , $ad - bc > 0$ .
$\operatorname{Aut}\mathbb C$ — линейные функции $w = az + b$ , $a\ne 0$ .
$\operatorname{Aut}\overline{\mathbb C}$ — все дробно-линейные функции.

Доказательство

Развернуть

Отображение Кэли $\kappa(z) = \frac{z - i}{z + i}$ переводит полуплоскость в круг (точки $\mathbb R$ равноудалены от $\pm i$ , а $i\mapsto 0$ ), поэтому $\operatorname{Aut}H = \kappa^{-1}\circ\operatorname{Aut}\mathbb D\circ\kappa$ — дробно-линейные функции, сохраняющие полуплоскость. Такая функция переводит $\mathbb R\cup\{\infty\}$ в себя и потому может быть записана с вещественными коэффициентами (три вещественные точки переходят в вещественные). Условие $\operatorname{Im}w(i) > 0$ даёт $ad - bc > 0$ , так как $\operatorname{Im}\frac{ai + b}{ci + d} = \frac{ad - bc}{c^2 + d^2}$ .
Автоморфизм $f$ плоскости — однолистная целая функция. Точка $\infty$ не может быть существенно особой: по теореме Сохоцкого значения $f$ вблизи $\infty$ приближали бы значение $f(0)$ , которое уже принимается в окрестности нуля, что противоречит однолистности (по принципу сохранения области). Не может она быть и устранимой (иначе $f$ постоянна). Значит, это полюс, $f$ — многочлен, а однолистный многочлен имеет степень $1$ .
Если $f\in\operatorname{Aut}\overline{\mathbb C}$ , возьмём дробно-линейную $L$ с $L(f(\infty)) = \infty$ . Тогда $L\circ f$ — автоморфизм, сохраняющий $\infty$ , его ограничение на $\mathbb C$ — автоморфизм плоскости, то есть линейная функция. Значит, $f$ дробно-линейна. $\blacksquare$

Теорема Лиувилля

Формулировка

Ограниченная целая функция постоянна. Следствие (основная теорема алгебры): всякий многочлен степени $n\ge 1$ имеет комплексный корень.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|f(z)|\le M$ на $\mathbb C$ . Целая функция разлагается в ряд Тейлора с центром $0$ во всей плоскости. По неравенствам Коши $|c_n|\le\frac M{r^n}$ при любом $r > 0$ . При $n\ge 1$ , устремляя $r\to\infty$ , получаем $c_n = 0$ , то есть $f\equiv c_0$ .

Если многочлен $P$ степени $n\ge 1$ не имеет корней, то $1/P$ — целая функция, и $|1/P(z)|\to 0$ при $z\to\infty$ . Значит, $1/P$ ограничена, и по теореме Лиувилля постоянна, что неверно. $\blacksquare$

Первая теорема разложения

Формулировка

Пусть изображение $F(p)$ голоморфно в окрестности $\infty$ и $F(\infty) = 0$ , то есть

F(p) = \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{p^{n+1}},\qquad|p| > R.

Тогда оригинал — целая функция

f(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{n!}t^n\quad(t\ge 0).

Доказательство

Развернуть

По неравенствам Коши для коэффициентов ряда Лорана в окрестности $\infty$ (при $|p| = R_1 > R$ ) имеем $|c_n|\le MR_1^{n+1}$ , где $M = \max_{|p| = R_1}|F(p)|$ . Тогда ряд $\sum\frac{c_n}{n!}t^n$ сходится при всех $t$ , и $|f(t)|\le MR_1e^{R_1t}$ — оригинал.

Почленно применим преобразование Лапласа: $\frac{c_nt^n}{n!}\risingdotseq\frac{c_n}{p^{n+1}}$ . При $\operatorname{Re}p > R_1$ ряд $\sum\frac{|c_n|t^n}{n!}e^{-\operatorname{Re}p\,t}$ мажорируется интегрируемой функцией $MR_1e^{-(\operatorname{Re}p - R_1)t}$ , поэтому почленное интегрирование законно, и изображение $f$ равно $F$ . $\blacksquare$

Вычисление вычета в бесконечности

Формулировка

$\displaystyle\operatorname*{res}_{z=\infty}f(z) = -\operatorname*{res}_{\zeta=0}\left[\frac1{\zeta^2}f\left(\frac1\zeta\right)\right]$ .
Если $\infty$ — устранимая особая точка и $f(z) = c_0 + \frac{c_{-1}}z + \dots$ , то $\operatorname*{res}_\infty f = -c_{-1} = -\lim_{z\to\infty}z\bigl(f(z) - f(\infty)\bigr)$ . В частности, если $f$ имеет в $\infty$ нуль порядка не ниже $2$ , то $\operatorname*{res}_\infty f = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum c_nz^n$ при $|z| > R$ , то

\frac1{\zeta^2}f\left(\frac1\zeta\right) = \sum c_n\zeta^{-n-2},

и коэффициент при $\zeta^{-1}$ (то есть при $-n - 2 = -1$ , $n = -1$ ) равен $c_{-1}$ . По теореме о вычете как коэффициенте ряда Лорана получаем равенство.

Ряд Лорана в окрестности устранимой точки $\infty$ содержит только неположительные степени, и $z(f(z) - c_0) = c_{-1} + \frac{c_{-2}}z + \dots\to c_{-1}$ . При нуле порядка не ниже $2$ имеем $c_0 = c_{-1} = 0$ . $\blacksquare$

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

В области $D = \mathbb C\setminus l$ , где $l$ — луч, выходящий из нуля, логарифм имеет бесконечно много регулярных ветвей; они отличаются на $2\pi ik$ , и для каждой $(\ln z)' = \frac1z$ .
Степень $z^\alpha = e^{\alpha\ln z}$ в той же области имеет регулярные ветви, $(z^\alpha)' = \alpha\frac{z^\alpha}z$ . При $\alpha = \frac1n$ ветвей ровно $n$ , они отличаются множителями $e^{2\pi ik/n}$ .
В области, содержащей замкнутый путь с ненулевым индексом относительно нуля (например, в кольце $1 < |z| < 2$ ), регулярной ветви логарифма не существует.

Доказательство

Развернуть

В $D$ существует непрерывная ветвь аргумента $\arg z$ (со значениями в интервале длины $2\pi$ ). Функция $f(z) = \ln|z| + i\arg z$ непрерывна и $e^{f(z)} = z$ . Она взаимно однозначна (обратна экспоненте на полосе), и по теореме о производной обратной функции $f'(z) = \frac1{e^{f(z)}} = \frac1z$ . Две ветви $f_1, f_2$ удовлетворяют $e^{f_1 - f_2} = 1$ , то есть $f_1 - f_2\in 2\pi i\mathbb Z$ — непрерывная функция с дискретными значениями, постоянная в области.
$z^\alpha$ — композиция голоморфных функций. $(e^{\alpha\ln z})' = e^{\alpha\ln z}\cdot\frac\alpha z$ . При $\alpha = \frac1n$ замена ветви логарифма умножает корень на $e^{2\pi ik/n}$ ; различных значений $n$ .
Если $f$ — непрерывная ветвь логарифма, то $\operatorname{Im}f$ — непрерывная ветвь аргумента вдоль любого пути в области. Для замкнутого пути её приращение равно нулю, а должно быть $2\pi\operatorname{ind}_\gamma(0)\ne 0$ . $\blacksquare$

Изолированные особые точки

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Доказательство

Описание полюсов

Формулировка

Доказательство

Теорема Сохоцкого

Формулировка

Доказательство

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Доказательство

Мероморфные на сфере функции рациональны

Формулировка

Доказательство

Классификация особых точек

Условие

Решение

Особенность в бесконечности

Условие

Решение

Теорема Сохоцкого для e^{1/z}

Условие

Решение

Порядок полюса через порядок нуля знаменателя

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Изолированная особая точка и её типы

Бесконечность как особая точка

Ряд Лорана

Нуль голоморфной функции и его порядок

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Доказательство

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Голоморфность суммы степенного ряда

Формулировка

Доказательство

Лемма Шварца

Формулировка

Доказательство

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Доказательство

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Доказательство

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Доказательство

Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы

Формулировка

Доказательство

Теорема Лиувилля

Формулировка

Доказательство

Первая теорема разложения

Формулировка

Доказательство

Вычисление вычета в бесконечности

Формулировка

Доказательство

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

Доказательство