Принцип симметрии. Теорема Римана

Прогресс изучения0 из 4

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы4

Голоморфность при склейке областей через отрезок
Принцип симметрии Римана–Шварца
Теорема Римана
Теорема Каратеодори о соответствии границ

лемма

Голоморфность при склейке областей через отрезок

Формулировка

Пусть области $D_1$ и $D_2$ не пересекаются и примыкают друг к другу по интервалу $l$ (так что $D = D_1\cup l\cup D_2$ — область). Если $f$ непрерывна в $D$ и голоморфна в $D_1$ и $D_2$ , то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Голоморфность — локальное свойство, поэтому достаточно проверить её в малом круге $U$ с центром в точке $l$ , для которого $U\setminus l$ состоит из двух полукругов, лежащих в $D_1$ и $D_2$ . По теореме Мореры достаточно проверить, что интеграл по границе любого треугольника $\Delta\subset U$ равен нулю. Если $\Delta$ не пересекает $l$ , это лемма Гурса. Если пересекает, то $l$ делит его на треугольник и четырёхугольник (или два треугольника), лежащие по разные стороны от $l$ . Интеграл по $\partial\Delta$ равен сумме интегралов по их границам.

Для каждой части интеграл по её границе — предел интегралов по границам многоугольников, отодвинутых от $l$ на расстояние $\varepsilon$ внутрь $D_1$ (соответственно $D_2$ ). Эти интегралы равны нулю по лемме Гурса, а предельный переход законен по равномерной непрерывности $f$ на компакте. $\blacksquare$

теорема

Принцип симметрии Римана–Шварца

Формулировка

Пусть область $D$ лежит в верхней полуплоскости, её граница содержит интервал $l$ вещественной оси, функция $f$ голоморфна в $D$ , непрерывна в $D\cup l$ и вещественна на $l$ . Тогда функция

F(z) = \begin{cases}f(z), & z\in D\cup l,\\ \overline{f(\bar z)}, & z\in D^*,\end{cases}

голоморфна в $D\cup l\cup D^*$ , где $D^*$ — область, симметричная $D$ относительно $\mathbb R$ .

Общая форма: пусть область $D$ лежит по одну сторону от окружности (прямой), содержащей дугу $\gamma\subset\partial D$ , функция $f$ голоморфна в $D$ , непрерывна в $D\cup\gamma$ и переводит $\gamma$ в дугу окружности (прямой) $\Gamma$ . Тогда $f$ продолжается до функции, мероморфной в $D\cup\gamma\cup D^*$ , где $D^*$ — область, симметричная $D$ относительно $\gamma$ , причём точки, симметричные относительно $\gamma$ , переходят в точки, симметричные относительно $\Gamma$ .

Доказательство

Развернуть

В $D^*$ функция $\overline{f(\bar z)}$ голоморфна: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ вблизи $a\in D$ , то $\overline{f(\bar z)} = \sum\bar c_n(z - \bar a)^n$ вблизи $\bar a$ . На $l$ обе формулы дают одно значение, так как $f$ вещественна там: $\overline{f(x)} = f(x)$ . Значит, $F$ непрерывна в $D\cup l\cup D^*$ , и по лемме о склейке голоморфна.
Дробно-линейные отображения $\lambda$ , $\mu$ переводят $\gamma$ и $\Gamma$ в интервалы вещественной оси и сохраняют симметрию. Функция $\mu\circ f\circ\lambda^{-1}$ вещественна на интервале, и по п. 1 продолжается отражением (если $\mu\circ f$ принимает значение $\infty$ , рассуждение проводится локально вблизи $\gamma$ , где $\mu\circ f$ конечна). Возвращаясь к исходным координатам, получаем утверждение. $\blacksquare$

теорема

Теорема Римана

Формулировка

Всякая односвязная область $D\subset\overline{\mathbb C}$ , граница которой содержит более одной точки, конформно эквивалентна единичному кругу. Для любой точки $z_0\in D$ (конечной) существует единственное конформное отображение $f$ области $D$ на круг $|w| < 1$ с нормировкой

f(z_0) = 0,\qquad f'(z_0) > 0.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится с обсуждением, существование — без доказательства. Обсудим условия и докажем единственность.

Условие на границу существенно. Если граница пуста ( $D = \overline{\mathbb C}$ ), область компактна, а круг — нет. Если граница — одна точка, то $D$ дробно-линейным отображением переводится в $\mathbb C$ , а конформного отображения $\mathbb C$ на круг нет по теореме Лиувилля (это была бы ограниченная непостоянная целая функция).

Единственность. Пусть $f_1$ , $f_2$ — два нормированных отображения. Тогда $g = f_2\circ f_1^{-1}$ — автоморфизм круга с $g(0) = 0$ , $g'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ . По теореме об автоморфизмах круга $g(w) = e^{i\theta}w$ , и $g'(0) > 0$ даёт $\theta = 0$ , то есть $f_1 = f_2$ .

Идея доказательства существования: среди однолистных отображений $f$ области $D$ в круг с $f(z_0) = 0$ выбирается функция с наибольшим $|f'(z_0)|$ (существует по принципу компактности Монтеля и теореме Гурвица). Если бы она не была отображением «на», с помощью квадратного корня и автоморфизмов круга её можно было бы улучшить. $\blacksquare$

теорема

Теорема Каратеодори о соответствии границ

Формулировка

Если $D$ и $G$ — жордановы области, то любое конформное отображение $D$ на $G$ продолжается до гомеоморфизма замыканий $\overline D\to\overline G$ ; в частности, границы соответствуют друг другу взаимно однозначно и непрерывно.

Следствие. Конформное отображение жордановой области на круг однозначно определяется заданием соответствия трёх точек границы (с сохранением порядка обхода) или одной внутренней и одной граничной точки.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без доказательства.

Обоснуем следствие. Если $f_1$ , $f_2$ — два отображения $D$ на круг, то $g = f_2\circ f_1^{-1}$ — автоморфизм круга, по теореме Каратеодори непрерывный вплоть до границы. Автоморфизм круга дробно-линеен, и при совпадении образов трёх граничных точек он тождественен (дробно-линейная функция определяется тремя точками). Во втором случае, композицией с автоморфизмом круга, можно считать, что заданная внутренняя точка переходит в $0$ ; тогда $g(0) = 0$ и $g(w) = e^{i\theta}w$ , а совпадение образа граничной точки даёт $\theta = 0$ . $\blacksquare$

Полуплоскость с разрезом

Условие

Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку $[0, i]$ на верхнюю полуплоскость.

Решение

Развернуть

$\zeta_1 = z^2$ переводит верхнюю полуплоскость в $\mathbb C\setminus[0, +\infty)$ , а разрез $[0, i]$ — в отрезок $[-1, 0]$ . Образ области — $\mathbb C\setminus[-1, +\infty)$ .
$\zeta_2 = \zeta_1 + 1$ : область $\mathbb C\setminus[0, +\infty)$ .
$w = \sqrt{\zeta_2}$ (ветвь с $\operatorname{Im}w > 0$ ) переводит её в верхнюю полуплоскость.

Ответ: $w = \sqrt{z^2 + 1}$ , ветвь с положительной мнимой частью.

Продолжение по симметрии

Условие

Отображение $f(z) = \left(\frac{1 + z}{1 - z}\right)^2$ переводит верхний полукруг в верхнюю полуплоскость, а диаметр $(-1, 1)$ — в положительную полуось. Найти с помощью принципа симметрии образ всего круга $|z| < 1$ .

Решение

Развернуть

$f$ вещественна на $(-1, 1)$ . По принципу симметрии она продолжается в нижний полукруг формулой $\overline{f(\bar z)}$ . Это та же функция (у рациональной функции коэффициенты вещественные), и она переводит нижний полукруг в нижнюю полуплоскость.

Образ круга — верхняя и нижняя полуплоскости вместе с положительной полуосью (образом диаметра): $\mathbb C\setminus(-\infty, 0]$ . Проверка: $\zeta = \frac{1 + z}{1 - z}$ переводит круг в правую полуплоскость, а квадрат переводит её в $\mathbb C\setminus(-\infty, 0]$ .

Нормированное отображение полуплоскости на круг

Условие

Найти конформное отображение верхней полуплоскости на единичный круг с нормировкой $f(i) = 0$ , $f'(i) > 0$ .

Решение

Развернуть

Все отображения с $f(i) = 0$ имеют вид $f = e^{i\theta}\frac{z - i}{z + i}$ . Тогда $f'(i) = e^{i\theta}\frac{2i}{(2i)^2} = \frac{e^{i\theta}}{2i}$ . Положительность требует $e^{i\theta} = i$ :

f(z) = i\,\frac{z - i}{z + i},\qquad f'(i) = \frac12.

По теореме Римана такое отображение единственно.

Конформно неэквивалентные области

Условие

Доказать, что не существует конформного отображения проколотой плоскости $\mathbb C\setminus\{0\}$ на единичный круг.

Решение

Развернуть

Пусть $f$ — такое отображение. Тогда $f$ голоморфна и ограничена ( $|f| < 1$ ) в проколотой окрестности нуля, и по теореме об устранимых особых точках продолжается голоморфно в $0$ . Получаем ограниченную целую функцию, которая по теореме Лиувилля постоянна, — противоречие с однолистностью.

Заметим, что проколотая плоскость не односвязна, так что теорема Римана к ней и не применима.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Точки, симметричные относительно окружности

Точки $z$ и $z^*$ называются симметричными относительно окружности $|z - a| = R$ , если они лежат на одном луче, выходящем из $a$ , и $|z - a|\cdot|z^* - a| = R^2$ , то есть

z^* = a + \frac{R^2}{\bar z - \bar a}.

Точки $a$ и $\infty$ считаются симметричными. Симметрия относительно прямой — обычное отражение. Области $D$ и $D^*$ симметричны, если $D^*$ состоит из точек, симметричных точкам $D$ .

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Конформное отображение области. Автоморфизмы

Конформным отображением области $D\subset\overline{\mathbb C}$ на область $G$ называется взаимно однозначное отображение $D$ на $G$ , голоморфное в $D$ (если $\infty\in D$ или $f$ принимает значение $\infty$ , голоморфность понимается в локальных координатах $1/z$ и $1/w$ соответственно). Области называются конформно эквивалентными, если существует конформное отображение одной на другую.

Автоморфизмом области $D$ называется конформное отображение $D$ на себя. Автоморфизмы образуют группу $\operatorname{Aut}D$ относительно композиции.

Область. Граница. Односвязность

Множество $D\subset\mathbb C$ называется областью, если оно открыто и связно (любые две его точки соединяются ломаной, лежащей в $D$ ).

Граница $\partial D$ — множество точек, в любой окрестности которых есть точки как из $D$ , так и не из $D$ . Множество $\overline D = D\cup\partial D$ называется замкнутой областью.

Область $D\subset\mathbb C$ называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в $D$ , её внутренность также лежит в $D$ . Например, круг и полуплоскость односвязны, а кольцо $1 < |z| < 2$ и проколотый круг — нет.

Допустимая область и её ориентированная граница

По теореме Жордана замкнутая жорданова кривая $\Gamma$ разбивает плоскость на две области: ограниченную (внутренность, жорданова область) и неограниченную; $\Gamma$ — их общая граница.

Ограниченная область $D$ называется допустимой, если её граница состоит из конечного числа попарно непересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.

Положительно ориентированной границей $\partial D$ допустимой области называется граница, обходимая так, что область остаётся слева: внешняя граница — против часовой стрелки, внутренние — по часовой.

Теорема Мореры

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна в области $D$ и интеграл от неё по границе любого треугольника, лежащего в $D$ вместе с внутренностью, равен нулю, то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём круг $K\subset D$ с центром $z_0$ и положим $F(z) = \int_{[z_0, z]}f(\zeta)\,d\zeta$ , $z\in K$ . По условию для треугольника с вершинами $z_0, z, z + h$ получаем $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f$ . Как в доказательстве теоремы Коши, отсюда $F' = f$ в $K$ , то есть $F$ голоморфна.

По теореме о бесконечной дифференцируемости производная голоморфной функции голоморфна. Значит, $f = F'$ голоморфна в $K$ , а так как круг произволен, — во всей $D$ . $\blacksquare$

Лемма Гурса

Формулировка

Если $f$ голоморфна в области $D$ , а замкнутый треугольник $\Delta$ (вместе с внутренностью) лежит в $D$ , то

\oint_{\partial\Delta}f(z)\,dz = 0.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\left|\oint_{\partial\Delta}f\right| = M$ . Разделим $\Delta$ средними линиями на четыре треугольника; интеграл по $\partial\Delta$ равен сумме интегралов по их границам (внутренние стороны проходятся дважды в разных направлениях). Хотя бы для одного из них, $\Delta_1$ , интеграл по модулю не меньше $M/4$ . Повторяя, получаем вложенные треугольники $\Delta_n$ с

\left|\oint_{\partial\Delta_n}f\right|\ge\frac M{4^n},\qquad L(\partial\Delta_n) = \frac{L}{2^n},\qquad\operatorname{diam}\Delta_n\le\frac{L}{2^n},

где $L$ — периметр $\Delta$ . Пусть $z_0$ — общая точка всех $\Delta_n$ . В ней $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \varepsilon(z)(z - z_0)$ , $\varepsilon(z)\to 0$ .

Интегралы от $f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)$ по замкнутому пути равны нулю: у этой функции есть первообразная-многочлен, а интеграл от производной по замкнутому пути равен нулю по формуле Ньютона–Лейбница для $F(\gamma(t))$ . Поэтому

\frac M{4^n}\le\left|\oint_{\partial\Delta_n}\varepsilon(z)(z - z_0)\,dz\right|\le\max_{\Delta_n}|\varepsilon|\cdot\frac L{2^n}\cdot\frac L{2^n},

то есть $M\le L^2\max_{\Delta_n}|\varepsilon|\to 0$ . Значит, $M = 0$ . $\blacksquare$

Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии

Формулировка

Двойное отношение инвариантно относительно дробно-линейных отображений: $(w, w_1, w_2, w_3) = (z, z_1, z_2, z_3)$ , если $w = L(z)$ , $w_k = L(z_k)$ .
Для любых двух троек различных точек $z_1, z_2, z_3$ и $w_1, w_2, w_3$ существует единственная дробно-линейная функция с $L(z_k) = w_k$ ; она находится из равенства двойных отношений.
Точки, симметричные относительно окружности (или прямой), переходят в точки, симметричные относительно образа этой окружности.

Доказательство

Развернуть

Для сдвигов и растяжений инвариантность очевидна. Для $w = 1/z$ :

\frac{1/z - 1/z_1}{1/z - 1/z_2} = \frac{z_2(z_1 - z)}{z_1(z_2 - z)},

и в двойном отношении множители $z_2/z_1$ сокращаются. По теореме о группе достаточно этих трёх случаев.

Функция $z\mapsto(z, z_1, z_2, z_3)$ — дробно-линейная, переводящая $z_1, z_2, z_3$ в $0, \infty, 1$ . Композиция её с обратной к аналогичной функции для $w_k$ даёт требуемое отображение. Если $L_1$ , $L_2$ — два таких отображения, то $L_2^{-1}L_1$ имеет три неподвижные точки. Уравнение $\frac{az + b}{cz + d} = z$ — квадратное (или линейное), и при трёх корнях отображение тождественно.
Точки $z$ , $z^*$ симметричны относительно окружности $\Gamma$ тогда и только тогда, когда любая окружность (прямая), проходящая через $z$ и $z^*$ , ортогональна $\Gamma$ . Дробно-линейная функция переводит окружности в окружности (круговое свойство) и сохраняет углы (конформность), поэтому сохраняет и это свойство. $\blacksquare$

Автоморфизмы единичного круга

Формулировка

Все автоморфизмы круга $|z| < 1$ задаются формулой

w = e^{i\theta}\frac{z - a}{1 - \bar az},\qquad|a| < 1,\ \theta\in\mathbb R.

Доказательство

Развернуть

Функция $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ дробно-линейна. При $|z| = 1$ имеем $|1 - \bar az| = |\bar z - \bar a| = |z - a|$ , так что окружность переходит в себя. Точка $a$ переходит в $0$ , поэтому круг переходит в круг (по принципу соответствия границ или по связности). Значит, указанные функции — автоморфизмы.

Пусть $f$ — автоморфизм, $f(a) = 0$ . Тогда $g = f\circ\varphi_a^{-1}$ — автоморфизм с $g(0) = 0$ . По лемме Шварца $|g(z)|\le|z|$ , а для обратного автоморфизма $|g^{-1}(w)|\le|w|$ , то есть $|z|\le|g(z)|$ . Значит, $|g(z)| = |z|$ и $g(z) = e^{i\theta}z$ , откуда $f = e^{i\theta}\varphi_a$ . $\blacksquare$

Теорема Лиувилля

Формулировка

Ограниченная целая функция постоянна. Следствие (основная теорема алгебры): всякий многочлен степени $n\ge 1$ имеет комплексный корень.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|f(z)|\le M$ на $\mathbb C$ . Целая функция разлагается в ряд Тейлора с центром $0$ во всей плоскости. По неравенствам Коши $|c_n|\le\frac M{r^n}$ при любом $r > 0$ . При $n\ge 1$ , устремляя $r\to\infty$ , получаем $c_n = 0$ , то есть $f\equiv c_0$ .

Если многочлен $P$ степени $n\ge 1$ не имеет корней, то $1/P$ — целая функция, и $|1/P(z)|\to 0$ при $z\to\infty$ . Значит, $1/P$ ограничена, и по теореме Лиувилля постоянна, что неверно. $\blacksquare$

Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

Формулировка

Степень $w = z^{\pi/\alpha}$ (ветвь, для которой $z^{\pi/\alpha} = r^{\pi/\alpha}e^{i\pi\varphi/\alpha}$ при $z = re^{i\varphi}$ , $0 < \varphi < \alpha$ ) конформно отображает угол $0 < \arg z < \alpha$ , $0 < \alpha\le 2\pi$ , на верхнюю полуплоскость.
$w = e^z$ конформно отображает полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ на верхнюю полуплоскость; $w = \ln z$ — обратное отображение.
$w = \dfrac{z - i}{z + i}$ (отображение Кэли) конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг.
Функция Жуковского конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка $[-1, 1]$ , а верхнюю половину единичного круга — на нижнюю полуплоскость.
Дробно-линейная функция, переводящая точку пересечения двух окружностей в $\infty$ , отображает «двуугольник» (луночку) на угол.

Доказательство

Развернуть

При $z = re^{i\varphi}$ имеем $w = r^{\pi/\alpha}e^{i\pi\varphi/\alpha}$ : луч $\arg z = \varphi$ переходит в луч $\arg w = \frac{\pi\varphi}\alpha\in(0, \pi)$ , функция однолистна в угле и голоморфна (ветвь степени из теоремы о ветвях).
Доказано в теореме о свойствах показательной функции; обратное к однолистному голоморфному отображению голоморфно.
Точки вещественной оси равноудалены от $i$ и $-i$ , поэтому переходят в $|w| = 1$ , а $i\mapsto 0$ .
Утверждение о внешности круга доказано в теореме о функции Жуковского. При $z = re^{it}$ имеем $\operatorname{Im}J = \frac12\left(r - \frac1r\right)\sin t$ . Поэтому при $r < 1$ верхний полукруг переходит в нижнюю полуплоскость, нижний — в верхнюю, а интервалы $(0, 1)$ и $(-1, 0)$ — в $(1, +\infty)$ и $(-\infty, -1)$ . Так как $J$ однолистно отображает круг на $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ , верхний полукруг отображается на всю нижнюю полуплоскость.
Окружности, проходящие через точку, переходящую в $\infty$ , переходят в прямые, пересекающиеся под тем же углом (конформность), и область между дугами — в угол. $\blacksquare$

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

В области $D = \mathbb C\setminus l$ , где $l$ — луч, выходящий из нуля, логарифм имеет бесконечно много регулярных ветвей; они отличаются на $2\pi ik$ , и для каждой $(\ln z)' = \frac1z$ .
Степень $z^\alpha = e^{\alpha\ln z}$ в той же области имеет регулярные ветви, $(z^\alpha)' = \alpha\frac{z^\alpha}z$ . При $\alpha = \frac1n$ ветвей ровно $n$ , они отличаются множителями $e^{2\pi ik/n}$ .
В области, содержащей замкнутый путь с ненулевым индексом относительно нуля (например, в кольце $1 < |z| < 2$ ), регулярной ветви логарифма не существует.

Доказательство

Развернуть

В $D$ существует непрерывная ветвь аргумента $\arg z$ (со значениями в интервале длины $2\pi$ ). Функция $f(z) = \ln|z| + i\arg z$ непрерывна и $e^{f(z)} = z$ . Она взаимно однозначна (обратна экспоненте на полосе), и по теореме о производной обратной функции $f'(z) = \frac1{e^{f(z)}} = \frac1z$ . Две ветви $f_1, f_2$ удовлетворяют $e^{f_1 - f_2} = 1$ , то есть $f_1 - f_2\in 2\pi i\mathbb Z$ — непрерывная функция с дискретными значениями, постоянная в области.
$z^\alpha$ — композиция голоморфных функций. $(e^{\alpha\ln z})' = e^{\alpha\ln z}\cdot\frac\alpha z$ . При $\alpha = \frac1n$ замена ветви логарифма умножает корень на $e^{2\pi ik/n}$ ; различных значений $n$ .
Если $f$ — непрерывная ветвь логарифма, то $\operatorname{Im}f$ — непрерывная ветвь аргумента вдоль любого пути в области. Для замкнутого пути её приращение равно нулю, а должно быть $2\pi\operatorname{ind}_\gamma(0)\ne 0$ . $\blacksquare$

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — устранимая особая точка;
главная часть ряда Лорана в точке $a$ равна нулю;
$f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $a$ .

При этом, доопределив $f(a) = \lim_{z\to a}f(z)$ , получаем функцию, голоморфную в окрестности $a$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ : функция, имеющая конечный предел, ограничена вблизи $a$ .

$3\Rightarrow 2$ : если $|f|\le M$ , то по неравенствам Коши для ряда Лорана $|c_{-n}|\le M\rho^n\to 0$ при $\rho\to 0$ , $n\ge 1$ .

$2\Rightarrow 1$ : если главная часть равна нулю, то $f(z) = \sum_{n\ge 0}c_n(z - a)^n$ в проколотой окрестности, и правая часть — сумма степенного ряда, голоморфная и в самой точке $a$ . Поэтому $\lim_{z\to a}f(z) = c_0$ , и доопределение $f(a) = c_0$ даёт голоморфную функцию. $\blacksquare$

Принцип симметрии. Теорема Римана

Голоморфность при склейке областей через отрезок

Формулировка

Доказательство

Принцип симметрии Римана–Шварца

Формулировка

Доказательство

Теорема Римана

Формулировка

Доказательство

Теорема Каратеодори о соответствии границ

Формулировка

Доказательство

Полуплоскость с разрезом

Условие

Решение

Продолжение по симметрии

Условие

Решение

Нормированное отображение полуплоскости на круг

Условие

Решение

Конформно неэквивалентные области

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Точки, симметричные относительно окружности

Голоморфная функция

Конформное отображение области. Автоморфизмы

Область. Граница. Односвязность

Допустимая область и её ориентированная граница

Теорема Мореры

Формулировка

Доказательство

Лемма Гурса

Формулировка

Доказательство

Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии

Формулировка

Доказательство

Автоморфизмы единичного круга

Формулировка

Доказательство

Теорема Лиувилля

Формулировка

Доказательство

Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

Формулировка

Доказательство

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

Доказательство

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Доказательство