Вычеты. Теорема Коши о вычетах

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Вычет как коэффициент ряда Лорана
Теорема Коши о вычетах
Формулы для вычисления вычетов в полюсах
Вычисление вычета в бесконечности
Теорема о полной сумме вычетов
Вычет относительно области и сумма вычетов в ней

теорема

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

$\operatorname*{res}_{z=a}f = c_{-1}$ — коэффициент при $(z - a)^{-1}$ ряда Лорана в проколотой окрестности $a$ .
$\operatorname*{res}_{z=\infty}f = -c_{-1}$ — коэффициент при $z^{-1}$ ряда Лорана в окрестности $\infty$ , взятый с минусом.

В частности, вычет в устранимой особой точке $a\in\mathbb C$ равен нулю, а вычет в устранимой точке $\infty$ может быть ненулевым.

Доказательство

Развернуть

Ряд Лорана сходится равномерно на окружности $|z - a| = \rho$ , и его можно почленно интегрировать. По основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = -1$ : $\oint c_{-1}(z - a)^{-1}\,dz = 2\pi ic_{-1}$ . Для $\infty$ рассуждение то же, с учётом знака в определении.

Пример ненулевого вычета в устранимой точке $\infty$ : $f = \frac1z$ , $\operatorname*{res}_\infty f = -1$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ всюду, кроме конечного числа точек $a_1, \dots, a_n\in D$ . Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname*{res}_{z=a_k}f(z).

Доказательство

Развернуть

Выкинем из $D$ малые непересекающиеся замкнутые круги с центрами $a_k$ . В оставшейся допустимой области $f$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области интеграл по внешней границе равен сумме интегралов по окружностям вокруг $a_k$ , обходимым против часовой стрелки. По определению каждый из них равен $2\pi i\operatorname*{res}_{a_k}f$ . $\blacksquare$

теорема

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Если $a$ — простой полюс, то $\operatorname*{res}_{z=a}f = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ .
Если $f = \dfrac\varphi\psi$ , где $\varphi$ , $\psi$ голоморфны в окрестности $a$ , $\varphi(a)\ne 0$ , $\psi(a) = 0$ , $\psi'(a)\ne 0$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.

Если $a$ — полюс порядка не выше $m$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac1{(m - 1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigl[(z - a)^mf(z)\bigr].

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^n$ , то $(z - a)^mf = \sum_{k\ge 0}c_{k - m}(z - a)^k$ — сумма степенного ряда, коэффициент которого при $(z - a)^{m-1}$ равен $c_{-1}$ . По формуле коэффициентов ряда Тейлора он равен $\frac1{(m - 1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - a)^mf]$ в точке $a$ , то есть пределу.
Частный случай п. 3 при $m = 1$ .
Полюс простой (по описанию полюсов), и

(z - a)\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{\varphi(z)}{\frac{\psi(z) - \psi(a)}{z - a}}\to\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.\qquad\blacksquare

теорема

Вычисление вычета в бесконечности

Формулировка

$\displaystyle\operatorname*{res}_{z=\infty}f(z) = -\operatorname*{res}_{\zeta=0}\left[\frac1{\zeta^2}f\left(\frac1\zeta\right)\right]$ .
Если $\infty$ — устранимая особая точка и $f(z) = c_0 + \frac{c_{-1}}z + \dots$ , то $\operatorname*{res}_\infty f = -c_{-1} = -\lim_{z\to\infty}z\bigl(f(z) - f(\infty)\bigr)$ . В частности, если $f$ имеет в $\infty$ нуль порядка не ниже $2$ , то $\operatorname*{res}_\infty f = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum c_nz^n$ при $|z| > R$ , то

\frac1{\zeta^2}f\left(\frac1\zeta\right) = \sum c_n\zeta^{-n-2},

и коэффициент при $\zeta^{-1}$ (то есть при $-n - 2 = -1$ , $n = -1$ ) равен $c_{-1}$ . По теореме о вычете как коэффициенте ряда Лорана получаем равенство.

Ряд Лорана в окрестности устранимой точки $\infty$ содержит только неположительные степени, и $z(f(z) - c_0) = c_{-1} + \frac{c_{-2}}z + \dots\to c_{-1}$ . При нуле порядка не ниже $2$ имеем $c_0 = c_{-1} = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о полной сумме вычетов

Формулировка

Если функция $f$ голоморфна в $\overline{\mathbb C}$ всюду, кроме конечного числа точек $a_1, \dots, a_n\in\mathbb C$ и, возможно, $\infty$ , то сумма всех её вычетов, включая вычет в бесконечности, равна нулю:

\sum_{k=1}^n\operatorname*{res}_{z=a_k}f + \operatorname*{res}_{z=\infty}f = 0.

Доказательство

Развернуть

Возьмём окружность $|z| = \rho$ , внутри которой лежат все $a_k$ . По теореме Коши о вычетах $\frac1{2\pi i}\oint_{|z| = \rho}f\,dz = \sum\operatorname*{res}_{a_k}f$ , а по определению вычета в бесконечности этот же интеграл равен $-\operatorname*{res}_\infty f$ . $\blacksquare$

следствие

Вычет относительно области и сумма вычетов в ней

Формулировка

Для допустимой области $D$ вычет относительно области равен сумме вычетов в особых точках, лежащих в $D$ .
Если $D$ — внешность допустимой области (неограниченная область, содержащая $\infty$ ), а у $f$ в $D$ конечное число особых точек, то

\operatorname*{res}_Df = \sum_{a_k\in D}\operatorname*{res}_{z=a_k}f + \operatorname*{res}_{z=\infty}f.

В частности, интеграл по контуру можно вычислять через вычеты в точках вне контура и в $\infty$ .

Доказательство

Развернуть

Это переформулировка теоремы Коши о вычетах.
Пусть $\Gamma = \partial D$ , и $\rho$ настолько велико, что все конечные особые точки $f$ , лежащие в $D$ , и сам контур $\Gamma$ находятся в круге $|z| < \rho$ . Область $D_\rho = D\cap\{|z| < \rho\}$ допустима, её положительно ориентированная граница — окружность $|z| = \rho$ (против часовой стрелки) и $\Gamma$ в ориентации $\partial D$ . По теореме Коши о вычетах

\frac1{2\pi i}\oint_{|z| = \rho}f\,dz + \operatorname*{res}_Df = \sum_{a_k\in D}\operatorname*{res}_{z=a_k}f.

По определению вычета в бесконечности первое слагаемое равно $-\operatorname*{res}_\infty f$ , откуда следует формула. $\blacksquare$

Вычеты рациональной функции

Условие

Найти вычеты функции $f = \dfrac1{z(z - 1)^2}$ во всех особых точках, включая $\infty$ .

Решение

Развернуть

$z = 0$ — простой полюс: $\operatorname*{res}_0f = \frac1{(0 - 1)^2} = 1$ .

$z = 1$ — полюс второго порядка: $\operatorname*{res}_1f = \frac{d}{dz}\frac1z\Big|_{z=1} = -1$ .

В $\infty$ функция имеет нуль третьего порядка, поэтому $\operatorname*{res}_\infty f = 0$ . Сумма $1 - 1 + 0 = 0$ — в согласии с теоремой о полной сумме вычетов.

Вычеты через ряд Лорана

Условие

Найти $\operatorname*{res}_{z=0}\dfrac{e^z}{z^3}$ , $\operatorname*{res}_{z=0}z^3\cos\dfrac1z$ и $\operatorname*{res}_{z=\infty}z^3\cos\dfrac1z$ .

Решение

Развернуть

$\frac{e^z}{z^3} = \frac1{z^3} + \frac1{z^2} + \frac1{2z} + \dots$ , поэтому $\operatorname*{res}_0 = \frac12$ .

$z^3\cos\frac1z = z^3 - \frac z2 + \frac1{24z} - \frac1{720z^3} + \dots$ — ряд Лорана в кольце $0 < |z| < \infty$ . Он одновременно является рядом в окрестности $0$ и $\infty$ . Поэтому $\operatorname*{res}_0 = \frac1{24}$ , $\operatorname*{res}_\infty = -\frac1{24}$ .

Вычеты в простых полюсах по формуле φ/ψ'

Условие

Найти вычеты функции $f = \dfrac z{z^4 - 1}$ в её полюсах и вычеты функции $\dfrac1{\sin z}$ в точках $\pi k$ .

Решение

Развернуть

Полюсы $f$ — корни $z^4 = 1$ , простые. $\operatorname*{res} = \frac{z}{4z^3} = \frac1{4z^2}$ : в точках $\pm1$ — $\frac14$ , в точках $\pm i$ — $-\frac14$ .

$\operatorname*{res}_{\pi k}\frac1{\sin z} = \frac1{\cos\pi k} = (-1)^k$ .

Интеграл через вычет в бесконечности

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{dz}{z^8 + 1}$ и $\displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{z^{15}\,dz}{(z^2 + 1)^2(z^4 + 2)^3}$ .

Решение

Развернуть

Все восемь полюсов лежат внутри окружности ( $|z| = 1$ ). По теореме о полной сумме вычетов сумма вычетов внутри равна $-\operatorname*{res}_\infty$ , а в $\infty$ функция имеет нуль восьмого порядка, так что $\operatorname*{res}_\infty = 0$ . Интеграл равен $0$ .
Полюсы: $\pm i$ и корни $z^4 = -2$ ( $|z| = \sqrt[4]2 < 2$ ) — все внутри. Степень знаменателя $4 + 12 = 16$ , поэтому $f = \frac{z^{15}}{z^{16}(1 + \dots)} = \frac1z + O(z^{-2})$ , и $\operatorname*{res}_\infty f = -1$ . Интеграл равен $2\pi i\cdot 1 = 2\pi i$ .

Интеграл с полюсом высокого порядка

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 1}\frac{\sin z}{z^4}\,dz$ и $\displaystyle\oint_{|z - i| = 1}\frac{dz}{(z^2 + 1)^2}$ .

Решение

Развернуть

$\frac{\sin z}{z^4} = \frac1{z^3} - \frac1{6z} + \dots$ , $\operatorname*{res}_0 = -\frac16$ , интеграл равен $-\frac{\pi i}3$ .
Внутри только $z = i$ — полюс второго порядка:

\operatorname*{res}_if = \frac{d}{dz}\frac1{(z + i)^2}\Big|_{z=i} = -\frac2{(2i)^3} = -\frac2{-8i} = \frac1{4i}.

Интеграл равен $2\pi i\cdot\frac1{4i} = \frac\pi2$ .

Интеграл с существенно особой точкой

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 1}z^2e^{1/z}\,dz$ .

Решение

Развернуть

$z^2e^{1/z} = z^2 + z + \frac12 + \frac1{6z} + \frac1{24z^2} + \dots$ , вычет в существенно особой точке $0$ равен $\frac16$ . Интеграл равен $\frac{\pi i}3$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Вычет функции в изолированной особой точке

Пусть $a\in\mathbb C$ — изолированная особая точка однозначного характера функции $f$ . Вычетом $f$ в точке $a$ называется число

\operatorname*{res}_{z=a}f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|z - a| = \rho}f(z)\,dz,

где окружность обходится против часовой стрелки, а $\rho$ настолько мало, что в круге $0 < |z - a|\le\rho$ нет других особых точек. По теореме Коши для кольца интеграл не зависит от $\rho$ .

Вычет в бесконечно удалённой точке

Пусть $f$ голоморфна в области $R < |z| < \infty$ . Вычетом в точке $\infty$ называется

\operatorname*{res}_{z=\infty}f(z) = -\frac1{2\pi i}\oint_{|z| = \rho}f(z)\,dz,\qquad\rho > R,

где окружность обходится против часовой стрелки. Знак «минус» отражает то, что при обходе окрестности $\infty$ «в положительном направлении» (так, чтобы окрестность оставалась слева) окружность проходится по часовой стрелке.

Вычет относительно области

Пусть $D$ — допустимая область (или внешность допустимой области), а $f$ голоморфна в окрестности $\partial D$ . Вычетом $f$ относительно области $D$ называется

\operatorname*{res}_Df = \frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}f(z)\,dz,

где граница ориентирована положительно (область остаётся слева).

Ряд Лорана

Рядом Лорана с центром $a$ называется ряд

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n = \sum_{n=1}^\infty\frac{c_{-n}}{(z - a)^n} + \sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n.

Первая сумма называется главной частью, вторая — правильной частью. Ряд Лорана сходится в точке, если сходятся обе части; его сумма — сумма сумм частей.

Допустимая область и её ориентированная граница

По теореме Жордана замкнутая жорданова кривая $\Gamma$ разбивает плоскость на две области: ограниченную (внутренность, жорданова область) и неограниченную; $\Gamma$ — их общая граница.

Ограниченная область $D$ называется допустимой, если её граница состоит из конечного числа попарно непересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.

Положительно ориентированной границей $\partial D$ допустимой области называется граница, обходимая так, что область остаётся слева: внешняя граница — против часовой стрелки, внутренние — по часовой.

Изолированная особая точка и её типы

Точка $a\in\mathbb C$ называется изолированной особой точкой однозначного характера функции $f$ , если $f$ голоморфна в проколотой окрестности $0 < |z - a| < r$ , но не определена или не голоморфна в самой точке $a$ . Особая точка называется:

устранимой, если существует конечный предел $\lim_{z\to a}f(z)$ ;
полюсом, если $\lim_{z\to a}f(z) = \infty$ ;
существенно особой, если предела (конечного или бесконечного) нет.

Порядком полюса называется порядок нуля функции $1/f$ в точке $a$ (с доопределением $1/f(a) = 0$ ).

Функция, все особые точки которой в области $D$ — полюсы, называется мероморфной в $D$ .

Бесконечность как особая точка

Точка $\infty$ называется изолированной особой точкой функции $f$ , если $f$ голоморфна в области $R < |z| < \infty$ . Тип особенности (устранимая, полюс порядка $m$ , существенно особая) определяется так же, по пределу при $z\to\infty$ , или, что то же, по типу особенности функции $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ в точке $\zeta = 0$ .

Главной частью ряда Лорана функции $f$ в окрестности $\infty$ (в области $|z| > R$ ) называется сумма членов с положительными степенями $z$ .

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в кольце $V = \{r < |z - a| < R\}$ , представляется в нём сходящимся рядом Лорана

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad r < \rho < R.

Разложение единственно: если ряд Лорана сходится к $f$ в $V$ , то его коэффициенты даются этими формулами.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r < \rho_1 < |z - a| < \rho_2 < R$ . По формуле Коши для кольца $\rho_1 < |\zeta - a| < \rho_2$ :

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_2}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z} - \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_1}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z}.

В первом интеграле, как в доказательстве теоремы Тейлора, $\frac1{\zeta - z} = \sum_{n\ge 0}\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}$ . Во втором $|\zeta - a| < |z - a|$ , и

-\frac1{\zeta - z} = \frac1{(z - a)\left(1 - \frac{\zeta - a}{z - a}\right)} = \sum_{n\ge 1}\frac{(\zeta - a)^{n-1}}{(z - a)^n}.

Оба ряда сходятся равномерно по $\zeta$ на соответствующих окружностях; почленное интегрирование даёт правильную и главную части с указанными коэффициентами. По теореме Коши для кольца интегралы $\oint\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}$ не зависят от $\rho$ .

Единственность: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ в $V$ , умножим равенство на $(z - a)^{-k-1}$ и проинтегрируем по окружности $|z - a| = \rho$ . Ряд сходится равномерно на окружности, а по основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = k$ , равный $2\pi ic_k$ . $\blacksquare$

Основной интеграл по окружности

Формулировка

Для окружности $|z - a| = r$ , обходимой один раз против часовой стрелки, и целого $n$

\oint_{|z - a| = r}(z - a)^n\,dz = \begin{cases}2\pi i, & n = -1,\\ 0, & n\ne -1.\end{cases}

Доказательство

Развернуть

$z = a + re^{it}$ , $dz = ire^{it}\,dt$ :

\int_0^{2\pi}r^ne^{int}\cdot ire^{it}\,dt = ir^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}\,dt.

При $n = -1$ интеграл равен $2\pi i$ . При $n\ne -1$ первообразная $\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}$ — $2\pi$ -периодическая, и интеграл равен нулю. $\blacksquare$

Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

Формулировка

Пусть $a$ — простой полюс функции $f$ , а $\gamma_\varepsilon$ — дуга окружности $|z - a| = \varepsilon$ с угловой мерой $\alpha$ , проходимая против часовой стрелки. Тогда

\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_\varepsilon}f(z)\,dz = i\alpha\operatorname*{res}_{z=a}f.

В частности, для полуокружности ( $\alpha = \pi$ ), проходимой по часовой стрелке, предел равен $-\pi i\operatorname*{res}_af$ .

Доказательство

Развернуть

$f(z) = \frac{c_{-1}}{z - a} + h(z)$ , где $h$ голоморфна вблизи $a$ и ограничена. Тогда $\left|\int_{\gamma_\varepsilon}h\right|\le\max|h|\cdot\alpha\varepsilon\to 0$ . При $z = a + \varepsilon e^{it}$ , $t\in[t_0, t_0 + \alpha]$ :

\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{c_{-1}\,dz}{z - a} = c_{-1}\int_{t_0}^{t_0 + \alpha}i\,dt = i\alpha c_{-1}.\qquad\blacksquare

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в некоторой окрестности $\overline D$ (или голоморфна в $D$ и непрерывна в $\overline D$ ). Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 0,

где $\partial D$ — положительно ориентированная граница. В частности, если $D$ ограничена внешним контуром $\Gamma_0$ и внутренними $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$ , то

\oint_{\Gamma_0}f\,dz = \sum_{k=1}^m\oint_{\Gamma_k}f\,dz,

где все контуры обходятся против часовой стрелки.

Доказательство

Развернуть

Проведём конечное число непересекающихся гладких разрезов, соединяющих внутренние контуры друг с другом и с внешним, так чтобы область разбилась на односвязные части $D_1, \dots, D_s$ . Каждая часть лежит в односвязной подобласти окрестности $\overline D$ , где $f$ голоморфна. По теореме Коши для односвязной области интеграл по границе каждой части равен нулю.

Сложим эти интегралы. Каждый разрез проходится дважды в противоположных направлениях, и интегралы по нему сокращаются. Остаётся интеграл по $\partial D$ с положительной ориентацией. Второе равенство — запись первого с учётом того, что внутренние контуры в $\partial D$ проходятся по часовой стрелке.

Случай функции, голоморфной в $D$ и непрерывной в $\overline D$ , сводится к доказанному предельным переходом по областям, приближающим $D$ изнутри; это рассуждение технически сложно, и мы приводим его без доказательства. В дальнейшем используется только случай функции, голоморфной в окрестности $\overline D$ . $\blacksquare$

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ мероморфна в окрестности $\overline D$ и не имеет нулей и полюсов на $\partial D$ . Тогда

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N - P,

где $N$ и $P$ — числа нулей и полюсов $f$ в $D$ , считаемых с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули и полюсы изолированы, поэтому в $\overline D$ их конечное число. Особые точки $f'/f$ в $D$ — только нули и полюсы $f$ .

Если $a$ — нуль порядка $m$ , то $f = (z - a)^mg$ , $g(a)\ne 0$ , и

\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g,

где $g'/g$ голоморфна вблизи $a$ . Поэтому $\operatorname*{res}_af'/f = m$ .

Если $a$ — полюс порядка $p$ , то $f = (z - a)^{-p}h$ , $h(a)\ne 0$ , и аналогично $\operatorname*{res}_af'/f = -p$ .

По теореме Коши о вычетах интеграл равен $2\pi i(N - P)$ . $\blacksquare$

Интегралы типа Фурье

Формулировка

Пусть $R = P/Q$ — рациональная функция, $\deg Q\ge\deg P + 1$ , $Q$ не имеет вещественных корней, $\lambda > 0$ . Тогда

\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{i\lambda x}\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{z=a_k}\bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr]

(при $\deg Q = \deg P + 1$ несобственный интеграл сходится условно по признаку Дирихле и потому совпадает с главным значением, которое даёт доказательство; при $\deg Q\ge\deg P + 2$ он сходится абсолютно). Для вещественной $R$ отсюда получаются интегралы $\int R(x)\cos\lambda x\,dx$ и $\int R(x)\sin\lambda x\,dx$ как вещественная и мнимая части.

Доказательство

Развернуть

При $\rho$ , большем модулей всех полюсов, рассмотрим контур из отрезка $[-\rho, \rho]$ и верхней полуокружности $C_\rho$ . По теореме о вычетах

\int_{-\rho}^\rho R(x)e^{i\lambda x}\,dx + \int_{C_\rho}R(z)e^{i\lambda z}\,dz = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{a_k}\bigl(R(z)e^{i\lambda z}\bigr).

Так как $\deg Q\ge\deg P + 1$ , имеем $\max_{C_\rho}|R|\to 0$ , и по лемме Жордана интеграл по $C_\rho$ стремится к нулю. Переходим к пределу при $\rho\to\infty$ . $\blacksquare$

Интегралы от рациональных функций по прямой

Формулировка

Пусть $R = P/Q$ — рациональная функция, $\deg Q\ge\deg P + 2$ , и $Q$ не имеет вещественных корней. Тогда

\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{z=a_k}R(z).

Доказательство

Развернуть

Интеграл сходится абсолютно, так как $R(x) = O(x^{-2})$ . Пусть $\rho$ больше модулей всех полюсов. Рассмотрим контур из отрезка $[-\rho, \rho]$ и верхней полуокружности $C_\rho$ . По теореме о вычетах

\int_{-\rho}^\rho R(x)\,dx + \int_{C_\rho}R(z)\,dz = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{a_k}R.

По лемме о большой дуге второй интеграл стремится к нулю, и при $\rho\to\infty$ получаем формулу. $\blacksquare$

Интегралы от рациональных функций синуса и косинуса

Формулировка

Пусть $R(u, v)$ — рациональная функция, не имеющая полюсов на окружности $u^2 + v^2 = 1$ . Тогда

\int_0^{2\pi}R(\cos t, \sin t)\,dt = 2\pi i\sum_{|a_k| < 1}\operatorname*{res}_{z=a_k}F(z),\qquad F(z) = \frac1{iz}R\left(\frac{z + z^{-1}}2, \frac{z - z^{-1}}{2i}\right).

Доказательство

Развернуть

Подстановка $z = e^{it}$ превращает отрезок $[0, 2\pi]$ в единичную окружность, проходимую один раз против часовой стрелки. При этом $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\sin t = \frac{z - z^{-1}}{2i}$ , $dt = \frac{dz}{iz}$ . Интеграл переходит в $\oint_{|z| = 1}F(z)\,dz$ , где $F$ — рациональная функция без полюсов на окружности, и теорема Коши о вычетах даёт формулу. $\blacksquare$

Описание полюсов

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — полюс порядка $m$ ;
$f(z) = \dfrac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h$ голоморфна в окрестности $a$ и $h(a)\ne 0$ ;
главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, и старший из них — $\dfrac{c_{-m}}{(z - a)^m}$ , $c_{-m}\ne 0$ .

Если $f = \varphi/\psi$ , где $\varphi(a)\ne 0$ , а $\psi$ имеет в $a$ нуль порядка $m$ , то $a$ — полюс порядка $m$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 2$ : функция $g = 1/f$ вблизи $a$ ограничена (так как $f\to\infty$ ), её особая точка устранима, и доопределённая $g(a) = 0$ имеет нуль порядка $m$ . По теореме о нулях $g = (z - a)^mg_1$ , $g_1(a)\ne 0$ . Тогда $f = \frac{h}{(z - a)^m}$ с $h = 1/g_1$ .

$2\Rightarrow 3$ : разложим $h$ в ряд Тейлора $h = \sum_{k\ge 0}b_k(z - a)^k$ , $b_0 = h(a)\ne 0$ , и разделим на $(z - a)^m$ . По единственности ряда Лорана главная часть равна $\sum_{k<m}b_k(z - a)^{k - m}$ , её старший член — $\frac{b_0}{(z - a)^m}$ .

$3\Rightarrow 1$ : $f = \frac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^{n + m}$ голоморфна и $h(a) = c_{-m}\ne 0$ . Тогда $f\to\infty$ , а $1/f = \frac{(z - a)^m}{h}$ имеет нуль порядка $m$ .

Последнее утверждение: $\psi = (z - a)^m\psi_1$ , $\psi_1(a)\ne 0$ , и $f = \frac{\varphi/\psi_1}{(z - a)^m}$ с $\frac{\varphi(a)}{\psi_1(a)}\ne 0$ . $\blacksquare$

Голоморфность суммы степенного ряда

Формулировка

Сумма $f$ степенного ряда $\sum c_n(z - a)^n$ голоморфна в круге сходимости. Ряд можно почленно дифференцировать, радиус сходимости продифференцированного ряда тот же, и

c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!},

то есть степенной ряд — ряд Тейлора своей суммы.

Доказательство

Развернуть

Ряд сходится равномерно внутри круга сходимости (теорема Абеля), его члены — многочлены. По теореме Вейерштрасса сумма голоморфна, а ряд можно дифференцировать почленно. Радиус продифференцированного ряда $\sum nc_n(z - a)^{n-1}$ тот же по формуле Коши–Адамара, так как $\sqrt[n]n\to 1$ . Дифференцируя $k$ раз и подставляя $z = a$ , получаем $f^{(k)}(a) = k!c_k$ . $\blacksquare$

Вторая теорема разложения

Формулировка

Пусть $F(p) = \dfrac{A(p)}{B(p)}$ — правильная рациональная дробь ( $\deg A < \deg B$ ) с полюсами $p_1, \dots, p_s$ . Тогда её оригинал равен

f(t) = \sum_{k=1}^s\operatorname*{res}_{p=p_k}\bigl[F(p)e^{pt}\bigr].

В частности, если все полюсы простые,

f(t) = \sum_{k=1}^s\frac{A(p_k)}{B'(p_k)}e^{p_kt}.

Доказательство

Развернуть

Разложим $F$ на простейшие дроби: $F = \sum_k\sum_{j=1}^{m_k}\frac{c_{kj}}{(p - p_k)^j}$ . По таблице изображений $\frac{1}{(p - p_k)^j}\risingdotseq\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j - 1)!}$ . По единственности оригинала (теорема обращения) $f = \sum c_{kj}\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j - 1)!}$ .

С другой стороны, вычислим вычеты. Вблизи $p_k$ : $e^{pt} = e^{p_kt}\sum_{l\ge 0}\frac{t^l(p - p_k)^l}{l!}$ , и коэффициент при $(p - p_k)^{-1}$ в произведении $\frac{c_{kj}}{(p - p_k)^j}e^{pt}$ равен $c_{kj}\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j-1)!}$ . Остальные простейшие дроби голоморфны в $p_k$ и вычетов там не дают. Суммы совпадают. Формула для простых полюсов — формула вычета $\varphi/\psi'$ . $\blacksquare$

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Пусть $f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$ — ряд Лорана в области $|z| > R$ . Точка $\infty$ :

устранимая $\iff$ $c_n = 0$ при всех $n > 0$ ;
полюс порядка $m\ge 1$ $\iff$ $c_m\ne 0$ и $c_n = 0$ при $n > m$ ;
существенно особая $\iff$ бесконечно много $c_n\ne 0$ с $n > 0$ .

Следствия: целая функция с полюсом порядка $m$ в бесконечности — многочлен степени $m$ ; целая функция с устранимой особенностью в бесконечности постоянна.

Доказательство

Развернуть

Функция $g(\zeta) = f(1/\zeta) = \sum c_n\zeta^{-n}$ имеет в точке $\zeta = 0$ главную часть $\sum_{n>0}c_n\zeta^{-n}$ , и тип особенности $g$ в нуле определяется описаниями устранимых точек, полюсов и существенно особых точек.

Целая функция разлагается в ряд Тейлора $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ во всей плоскости, и это же её ряд Лорана в окрестности $\infty$ . Полюс порядка $m$ означает $c_n = 0$ при $n > m$ , то есть $f$ — многочлен степени $m$ . Устранимая особенность — $f\equiv c_0$ ; это также следует из теоремы Лиувилля, так как такая функция ограничена. $\blacksquare$

Вычеты. Теорема Коши о вычетах

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Доказательство

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Доказательство

Вычисление вычета в бесконечности

Формулировка

Доказательство

Теорема о полной сумме вычетов

Формулировка

Доказательство

Вычет относительно области и сумма вычетов в ней

Формулировка

Доказательство

Вычеты рациональной функции

Условие

Решение

Вычеты через ряд Лорана

Условие

Решение

Вычеты в простых полюсах по формуле φ/ψ'

Условие

Решение

Интеграл через вычет в бесконечности

Условие

Решение

Интеграл с полюсом высокого порядка

Условие

Решение

Интеграл с существенно особой точкой

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Вычет функции в изолированной особой точке

Вычет в бесконечно удалённой точке

Вычет относительно области

Ряд Лорана

Допустимая область и её ориентированная граница

Изолированная особая точка и её типы

Бесконечность как особая точка

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Доказательство

Основной интеграл по окружности

Формулировка

Доказательство

Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

Формулировка

Доказательство

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Доказательство

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Доказательство

Интегралы типа Фурье

Формулировка

Доказательство

Интегралы от рациональных функций по прямой

Формулировка

Доказательство

Интегралы от рациональных функций синуса и косинуса

Формулировка

Доказательство

Описание полюсов

Формулировка

Доказательство

Голоморфность суммы степенного ряда

Формулировка

Доказательство

Вторая теорема разложения

Формулировка

Доказательство

Классификация особенности в бесконечности