Вычисление интегралов с помощью вычетов

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Интегралы от рациональных функций синуса и косинуса
Лемма об интеграле по большой дуге
Интегралы от рациональных функций по прямой
Лемма Жордана
Интегралы типа Фурье
Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

теорема

Интегралы от рациональных функций синуса и косинуса

Формулировка

Пусть $R(u, v)$ — рациональная функция, не имеющая полюсов на окружности $u^2 + v^2 = 1$ . Тогда

\int_0^{2\pi}R(\cos t, \sin t)\,dt = 2\pi i\sum_{|a_k| < 1}\operatorname*{res}_{z=a_k}F(z),\qquad F(z) = \frac1{iz}R\left(\frac{z + z^{-1}}2, \frac{z - z^{-1}}{2i}\right).

Доказательство

Развернуть

Подстановка $z = e^{it}$ превращает отрезок $[0, 2\pi]$ в единичную окружность, проходимую один раз против часовой стрелки. При этом $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\sin t = \frac{z - z^{-1}}{2i}$ , $dt = \frac{dz}{iz}$ . Интеграл переходит в $\oint_{|z| = 1}F(z)\,dz$ , где $F$ — рациональная функция без полюсов на окружности, и теорема Коши о вычетах даёт формулу. $\blacksquare$

лемма

Лемма об интеграле по большой дуге

Формулировка

Пусть $C_R$ — дуга окружности $|z| = R$ (например, верхняя полуокружность), и $\max_{z\in C_R}|zf(z)|\to 0$ при $R\to\infty$ . Тогда

\int_{C_R}f(z)\,dz\to 0\quad(R\to\infty).

В частности, это верно для рациональной функции $f = P/Q$ при $\deg Q\ge\deg P + 2$ .

Доказательство

Развернуть

$\left|\int_{C_R}f\,dz\right|\le\max_{C_R}|f|\cdot 2\pi R = 2\pi\max_{C_R}|zf(z)|\to 0$ (длина дуги не больше $2\pi R$ ). Для рациональной функции с $\deg Q\ge\deg P + 2$ имеем $|zf(z)| = O(1/|z|)$ . $\blacksquare$

теорема

Интегралы от рациональных функций по прямой

Формулировка

Пусть $R = P/Q$ — рациональная функция, $\deg Q\ge\deg P + 2$ , и $Q$ не имеет вещественных корней. Тогда

\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{z=a_k}R(z).

Доказательство

Развернуть

Интеграл сходится абсолютно, так как $R(x) = O(x^{-2})$ . Пусть $\rho$ больше модулей всех полюсов. Рассмотрим контур из отрезка $[-\rho, \rho]$ и верхней полуокружности $C_\rho$ . По теореме о вычетах

\int_{-\rho}^\rho R(x)\,dx + \int_{C_\rho}R(z)\,dz = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{a_k}R.

По лемме о большой дуге второй интеграл стремится к нулю, и при $\rho\to\infty$ получаем формулу. $\blacksquare$

лемма

Лемма Жордана

Формулировка

Пусть функция $g$ непрерывна на верхних полуокружностях $C_R = \{|z| = R,\ \operatorname{Im}z\ge 0\}$ и $M(R) = \max_{C_R}|g|\to 0$ при $R\to\infty$ . Тогда при любом $\lambda > 0$

\int_{C_R}g(z)e^{i\lambda z}\,dz\to 0\quad(R\to\infty).

Доказательство

Развернуть

$z = Re^{it}$ , $t\in[0, \pi]$ : $|e^{i\lambda z}| = e^{-\lambda R\sin t}$ , $|dz| = R\,dt$ . Поэтому

\left|\int_{C_R}ge^{i\lambda z}\,dz\right|\le M(R)R\int_0^\pi e^{-\lambda R\sin t}\,dt = 2M(R)R\int_0^{\pi/2}e^{-\lambda R\sin t}\,dt.

На $[0, \frac\pi2]$ выполнено неравенство Жордана $\sin t\ge\frac{2t}\pi$ (синус вогнут). Тогда

\int_0^{\pi/2}e^{-\lambda R\sin t}\,dt\le\int_0^{\pi/2}e^{-2\lambda Rt/\pi}\,dt < \frac\pi{2\lambda R},

и весь интеграл по модулю меньше $\frac{\pi M(R)}\lambda\to 0$ . $\blacksquare$

теорема

Интегралы типа Фурье

Формулировка

Пусть $R = P/Q$ — рациональная функция, $\deg Q\ge\deg P + 1$ , $Q$ не имеет вещественных корней, $\lambda > 0$ . Тогда

\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{i\lambda x}\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{z=a_k}\bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr]

(при $\deg Q = \deg P + 1$ несобственный интеграл сходится условно по признаку Дирихле и потому совпадает с главным значением, которое даёт доказательство; при $\deg Q\ge\deg P + 2$ он сходится абсолютно). Для вещественной $R$ отсюда получаются интегралы $\int R(x)\cos\lambda x\,dx$ и $\int R(x)\sin\lambda x\,dx$ как вещественная и мнимая части.

Доказательство

Развернуть

При $\rho$ , большем модулей всех полюсов, рассмотрим контур из отрезка $[-\rho, \rho]$ и верхней полуокружности $C_\rho$ . По теореме о вычетах

\int_{-\rho}^\rho R(x)e^{i\lambda x}\,dx + \int_{C_\rho}R(z)e^{i\lambda z}\,dz = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}a_k > 0}\operatorname*{res}_{a_k}\bigl(R(z)e^{i\lambda z}\bigr).

Так как $\deg Q\ge\deg P + 1$ , имеем $\max_{C_\rho}|R|\to 0$ , и по лемме Жордана интеграл по $C_\rho$ стремится к нулю. Переходим к пределу при $\rho\to\infty$ . $\blacksquare$

лемма

Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

Формулировка

Пусть $a$ — простой полюс функции $f$ , а $\gamma_\varepsilon$ — дуга окружности $|z - a| = \varepsilon$ с угловой мерой $\alpha$ , проходимая против часовой стрелки. Тогда

\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_\varepsilon}f(z)\,dz = i\alpha\operatorname*{res}_{z=a}f.

В частности, для полуокружности ( $\alpha = \pi$ ), проходимой по часовой стрелке, предел равен $-\pi i\operatorname*{res}_af$ .

Доказательство

Развернуть

$f(z) = \frac{c_{-1}}{z - a} + h(z)$ , где $h$ голоморфна вблизи $a$ и ограничена. Тогда $\left|\int_{\gamma_\varepsilon}h\right|\le\max|h|\cdot\alpha\varepsilon\to 0$ . При $z = a + \varepsilon e^{it}$ , $t\in[t_0, t_0 + \alpha]$ :

\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{c_{-1}\,dz}{z - a} = c_{-1}\int_{t_0}^{t_0 + \alpha}i\,dt = i\alpha c_{-1}.\qquad\blacksquare

Тригонометрический интеграл

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dt}{2 + \cos t}$ .

Решение

Развернуть

$z = e^{it}$ : $\frac{dt}{2 + \cos t} = \frac{dz}{iz\left(2 + \frac{z + z^{-1}}2\right)} = \frac{2\,dz}{i(z^2 + 4z + 1)}$ . Корни $z^2 + 4z + 1$ : $z_{1,2} = -2\pm\sqrt3$ ; внутри круга лежит только $z_1 = -2 + \sqrt3$ . Тогда

\operatorname*{res}_{z_1}\frac2{i(z^2 + 4z + 1)} = \frac2{i(2z_1 + 4)} = \frac2{2\sqrt3\,i} = \frac1{\sqrt3\,i}.

Ответ: $2\pi i\cdot\frac1{\sqrt3\,i} = \dfrac{2\pi}{\sqrt3}$ .

Интеграл от 1/(x² + 1)²

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ .

Решение

Развернуть

В верхней полуплоскости — полюс второго порядка $i$ с вычетом $\frac1{4i}$ (см. задачу о полюсе высокого порядка). Ответ: $2\pi i\cdot\frac1{4i} = \dfrac\pi2$ .

Интеграл от 1/(x⁴ + 1)

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^4 + 1}$ .

Решение

Развернуть

Полюсы в верхней полуплоскости: $a_1 = e^{i\pi/4}$ , $a_2 = e^{3i\pi/4}$ . Вычеты $\frac1{4a^3} = -\frac a4$ (так как $a^4 = -1$ ). Сумма:

-\frac{e^{i\pi/4} + e^{3i\pi/4}}4 = -\frac{i\sqrt2}4.

Ответ: $2\pi i\cdot\left(-\frac{i\sqrt2}4\right) = \dfrac{\pi}{\sqrt2}$ .

Интеграл Лапласа

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2 + a^2}\,dx$ , $a > 0$ .

Решение

Развернуть

Подынтегральная функция чётна, поэтому интеграл равен $\frac12\operatorname{Re}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^2 + a^2}\,dx$ . В верхней полуплоскости — простой полюс $ia$ :

\operatorname*{res}_{ia}\frac{e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{e^{-a}}{2ia}.

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}\,dx}{x^2 + a^2} = 2\pi i\cdot\frac{e^{-a}}{2ia} = \frac{\pi e^{-a}}a$ . Ответ: $\dfrac{\pi e^{-a}}{2a}$ .

Интеграл Дирихле

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,dx$ .

Решение

Развернуть

Рассмотрим $f(z) = \frac{e^{iz}}z$ и контур из отрезков $[-R, -\varepsilon]$ , $[\varepsilon, R]$ , малой полуокружности $\gamma_\varepsilon$ (по часовой стрелке) и большой $C_R$ . Внутри контура $f$ голоморфна, интеграл по контуру равен нулю:

\int_{-R}^{-\varepsilon}\frac{e^{ix}}x\,dx + \int_\varepsilon^R\frac{e^{ix}}x\,dx + \int_{\gamma_\varepsilon}f + \int_{C_R}f = 0.

По лемме Жордана ( $g = 1/z$ ) $\int_{C_R}f\to 0$ . По лемме о малой дуге $\int_{\gamma_\varepsilon}f\to -\pi i\operatorname*{res}_0f = -\pi i$ . Сумма первых двух интегралов равна $\int_\varepsilon^R\frac{e^{ix} - e^{-ix}}x\,dx = 2i\int_\varepsilon^R\frac{\sin x}x\,dx$ . В пределе $2i\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,dx = \pi i$ .

Ответ: $\dfrac\pi2$ .

Интеграл от x sin x/(x² + 1)

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin x}{x^2 + 1}\,dx$ .

Решение

Развернуть

Интеграл равен $\operatorname{Im}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xe^{ix}}{x^2 + 1}\,dx$ (интеграл сходится условно, лемма Жордана применима, так как $\deg Q = \deg P + 1$ ). Вычет в $i$ :

\operatorname*{res}_i\frac{ze^{iz}}{z^2 + 1} = \frac{ie^{-1}}{2i} = \frac1{2e}.

$\int\frac{xe^{ix}}{x^2 + 1}dx = 2\pi i\cdot\frac1{2e} = \frac{\pi i}e$ . Ответ: $\dfrac\pi e$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Несобственный интеграл и его главное значение

Несобственный интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, если существуют конечные пределы $\lim_{A\to+\infty}\int_0^Af$ и $\lim_{B\to+\infty}\int_{-B}^0f$ .

Главным значением (в смысле Коши) называется предел

\operatorname{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^Rf(x)\,dx.

Для функции с особенностью в точке $c$ главное значение определяется как $\lim_{\varepsilon\to+0}\left(\int_{-\infty}^{c-\varepsilon} + \int_{c+\varepsilon}^{+\infty}\right)$ . Если несобственный интеграл сходится, он совпадает с главным значением.

Вычет функции в изолированной особой точке

Пусть $a\in\mathbb C$ — изолированная особая точка однозначного характера функции $f$ . Вычетом $f$ в точке $a$ называется число

\operatorname*{res}_{z=a}f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|z - a| = \rho}f(z)\,dz,

где окружность обходится против часовой стрелки, а $\rho$ настолько мало, что в круге $0 < |z - a|\le\rho$ нет других особых точек. По теореме Коши для кольца интеграл не зависит от $\rho$ .

Интеграл от функции комплексного переменного вдоль пути

Пусть $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — кусочно-гладкий путь, а функция $f$ непрерывна на $\gamma^*$ . Интегралом от $f$ вдоль $\gamma$ называется

\int_\gamma f(z)\,dz = \int_\alpha^\beta f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.

При $f = u + iv$ , $dz = dx + i\,dy$ он выражается через криволинейные интегралы второго рода:

\int_\gamma f\,dz = \int_\gamma u\,dx - v\,dy + i\int_\gamma v\,dx + u\,dy.

Интеграл по замкнутому пути часто обозначают $\oint_\gamma$ .

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ всюду, кроме конечного числа точек $a_1, \dots, a_n\in D$ . Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname*{res}_{z=a_k}f(z).

Доказательство

Развернуть

Выкинем из $D$ малые непересекающиеся замкнутые круги с центрами $a_k$ . В оставшейся допустимой области $f$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области интеграл по внешней границе равен сумме интегралов по окружностям вокруг $a_k$ , обходимым против часовой стрелки. По определению каждый из них равен $2\pi i\operatorname*{res}_{a_k}f$ . $\blacksquare$

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Интеграл линеен по $f$ и не зависит от выбора параметризации пути (при возрастающей замене параметра).
$\int_{\gamma^-}f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$ ; если путь $\gamma$ составлен из $\gamma_1$ и $\gamma_2$ , то интегралы складываются.
Оценка:

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le\int_\gamma|f(z)|\,|dz|\le\max_{\gamma^*}|f|\cdot L(\gamma),

где $L(\gamma) = \int_\alpha^\beta|\gamma'(t)|\,dt$ — длина пути. 4. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma^*$ , то $\int_\gamma f_n\,dz\to\int_\gamma f\,dz$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2. Свойства следуют из свойств определённого интеграла от комплекснозначной функции вещественного переменного и формулы замены переменной: при $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , имеем $f(\gamma(\varphi(s)))\gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)\,ds = f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . Для противоположного пути замена убывающая, и знак меняется.

Для интеграла $I = \int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ от комплекснозначной функции возьмём $\theta = \arg I$ . Тогда

|I| = \operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}I\right) = \int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}g\right)dt\le\int_\alpha^\beta|g|\,dt.

При $g = f(\gamma)\gamma'$ получаем первое неравенство, второе очевидно.

Следует из п. 3: $\left|\int(f_n - f)\right|\le\max|f_n - f|\cdot L(\gamma)\to 0$ . $\blacksquare$

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

$\operatorname*{res}_{z=a}f = c_{-1}$ — коэффициент при $(z - a)^{-1}$ ряда Лорана в проколотой окрестности $a$ .
$\operatorname*{res}_{z=\infty}f = -c_{-1}$ — коэффициент при $z^{-1}$ ряда Лорана в окрестности $\infty$ , взятый с минусом.

В частности, вычет в устранимой особой точке $a\in\mathbb C$ равен нулю, а вычет в устранимой точке $\infty$ может быть ненулевым.

Доказательство

Развернуть

Ряд Лорана сходится равномерно на окружности $|z - a| = \rho$ , и его можно почленно интегрировать. По основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = -1$ : $\oint c_{-1}(z - a)^{-1}\,dz = 2\pi ic_{-1}$ . Для $\infty$ рассуждение то же, с учётом знака в определении.

Пример ненулевого вычета в устранимой точке $\infty$ : $f = \frac1z$ , $\operatorname*{res}_\infty f = -1$ . $\blacksquare$

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Если $a$ — простой полюс, то $\operatorname*{res}_{z=a}f = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ .
Если $f = \dfrac\varphi\psi$ , где $\varphi$ , $\psi$ голоморфны в окрестности $a$ , $\varphi(a)\ne 0$ , $\psi(a) = 0$ , $\psi'(a)\ne 0$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.

Если $a$ — полюс порядка не выше $m$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac1{(m - 1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigl[(z - a)^mf(z)\bigr].

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^n$ , то $(z - a)^mf = \sum_{k\ge 0}c_{k - m}(z - a)^k$ — сумма степенного ряда, коэффициент которого при $(z - a)^{m-1}$ равен $c_{-1}$ . По формуле коэффициентов ряда Тейлора он равен $\frac1{(m - 1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - a)^mf]$ в точке $a$ , то есть пределу.
Частный случай п. 3 при $m = 1$ .
Полюс простой (по описанию полюсов), и

(z - a)\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{\varphi(z)}{\frac{\psi(z) - \psi(a)}{z - a}}\to\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.\qquad\blacksquare

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в некоторой окрестности $\overline D$ (или голоморфна в $D$ и непрерывна в $\overline D$ ). Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 0,

где $\partial D$ — положительно ориентированная граница. В частности, если $D$ ограничена внешним контуром $\Gamma_0$ и внутренними $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$ , то

\oint_{\Gamma_0}f\,dz = \sum_{k=1}^m\oint_{\Gamma_k}f\,dz,

где все контуры обходятся против часовой стрелки.

Доказательство

Развернуть

Проведём конечное число непересекающихся гладких разрезов, соединяющих внутренние контуры друг с другом и с внешним, так чтобы область разбилась на односвязные части $D_1, \dots, D_s$ . Каждая часть лежит в односвязной подобласти окрестности $\overline D$ , где $f$ голоморфна. По теореме Коши для односвязной области интеграл по границе каждой части равен нулю.

Сложим эти интегралы. Каждый разрез проходится дважды в противоположных направлениях, и интегралы по нему сокращаются. Остаётся интеграл по $\partial D$ с положительной ориентацией. Второе равенство — запись первого с учётом того, что внутренние контуры в $\partial D$ проходятся по часовой стрелке.

Случай функции, голоморфной в $D$ и непрерывной в $\overline D$ , сводится к доказанному предельным переходом по областям, приближающим $D$ изнутри; это рассуждение технически сложно, и мы приводим его без доказательства. В дальнейшем используется только случай функции, голоморфной в окрестности $\overline D$ . $\blacksquare$

Вычисление интегралов с помощью вычетов

Интегралы от рациональных функций синуса и косинуса

Формулировка

Доказательство

Лемма об интеграле по большой дуге

Формулировка

Доказательство

Интегралы от рациональных функций по прямой

Формулировка

Доказательство

Лемма Жордана

Формулировка

Доказательство

Интегралы типа Фурье

Формулировка

Доказательство

Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

Формулировка

Доказательство

Тригонометрический интеграл

Условие

Решение

Интеграл от 1/(x² + 1)²

Условие

Решение

Интеграл от 1/(x⁴ + 1)

Условие

Решение

Интеграл Лапласа

Условие

Решение

Интеграл Дирихле

Условие

Решение

Интеграл от x sin x/(x² + 1)

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Несобственный интеграл и его главное значение

Вычет функции в изолированной особой точке

Интеграл от функции комплексного переменного вдоль пути

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Доказательство

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Доказательство

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Доказательство