Степенные ряды. Ряды Тейлора

Прогресс изучения0 из 10

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы10

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса
Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда
Формула Коши–Адамара
Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций
Голоморфность суммы степенного ряда
Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора
Неравенства Коши
Теорема Лиувилля
Изолированность нулей голоморфной функции
Теорема единственности

теорема

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса

Формулировка

(Критерий Коши.) Ряд $\sum w_n$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ , такое что $\left|\sum_{k=n}^mw_k\right| < \varepsilon$ при $m\ge n > N$ . Абсолютно сходящийся ряд сходится.
(Признак Вейерштрасса.) Если $|f_n(z)|\le a_n$ на $E$ и $\sum a_n < \infty$ , то ряд $\sum f_n$ сходится абсолютно и равномерно на $E$ .
Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна, и вдоль кусочно-гладкого пути, лежащего в $E$ , ряд можно интегрировать почленно.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb C$ с метрикой $|z - w|$ — полное пространство (это $\mathbb R^2$ ), поэтому сходимость частичных сумм равносильна их фундаментальности. Из $\left|\sum_n^mw_k\right|\le\sum_n^m|w_k|$ следует, что абсолютно сходящийся ряд удовлетворяет критерию Коши.
$\sup_E\left|\sum_{k=n}^mf_k\right|\le\sum_{k=n}^ma_k$ , и равномерный критерий Коши выполнен.
Непрерывность равномерного предела непрерывных функций доказывается так же, как в вещественном анализе. Почленное интегрирование следует из свойства интеграла вдоль пути: равномерная сходимость частичных сумм позволяет переходить к пределу под знаком интеграла. $\blacksquare$

теорема

Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда

Формулировка

Если степенной ряд $\sum c_n(z - a)^n$ сходится в точке $z_0$ , то он сходится абсолютно в круге $|z - a| < |z_0 - a|$ и равномерно в любом меньшем замкнутом круге.
Следовательно, существует радиус сходимости $R$ : множество сходимости состоит из круга $|z - a| < R$ и, возможно, некоторых точек окружности $|z - a| = R$ . Внутри круга сходимости ряд сходится абсолютно и равномерно на компактах.

Доказательство

Развернуть

Из сходимости ряда в $z_0$ члены $c_n(z_0 - a)^n\to 0$ и ограничены: $|c_n||z_0 - a|^n\le M$ . Пусть $|z - a|\le\rho < |z_0 - a|$ , $q = \frac\rho{|z_0 - a|} < 1$ . Тогда

|c_n(z - a)^n|\le Mq^n,

и по признаку Вейерштрасса ряд сходится абсолютно и равномерно в круге $|z - a|\le\rho$ .

Положим $R = \sup\{|z - a|:\ \text{ряд сходится в } z\}$ . По п. 1 ряд сходится абсолютно при $|z - a| < R$ . При $|z - a| > R$ он расходится по определению $R$ . Каждый компакт внутри круга лежит в замкнутом круге радиуса $\rho < R$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Коши–Адамара

Формулировка

Радиус сходимости степенного ряда $\sum c_n(z - a)^n$ равен

R = \frac1{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}}

(с соглашениями $1/0 = \infty$ , $1/\infty = 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Пусть $\ell = \overline{\lim}\sqrt[n]{|c_n|}$ и $|z - a| = \rho$ . По радикальному признаку Коши ряд $\sum|c_n|\rho^n$ сходится, если $\overline{\lim}\sqrt[n]{|c_n|\rho^n} = \ell\rho < 1$ . Если же $\ell\rho > 1$ , то $|c_n|\rho^n > 1$ для бесконечного числа $n$ , члены не стремятся к нулю, и ряд расходится. Значит, ряд сходится при $\rho < 1/\ell$ и расходится при $\rho > 1/\ell$ , то есть $R = 1/\ell$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Если ряд $\sum f_n(z)$ из голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно внутри $D$ , то его сумма $f$ голоморфна в $D$ , и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз: $\sum f_n^{(k)}$ сходится к $f^{(k)}$ равномерно внутри $D$ .

Доказательство

Развернуть

Сумма непрерывна. Для любого замкнутого треугольника $\Delta$ , лежащего в $D$ вместе с внутренностью, по лемме Гурса $\oint_{\partial\Delta}f_n = 0$ ; так как на компакте $\partial\Delta$ ряд сходится равномерно, почленное интегрирование даёт $\oint_{\partial\Delta}f = 0$ . По теореме Мореры $f$ голоморфна.

Пусть замкнутый круг $|z - z_0|\le 2r$ лежит в $D$ . При $|z - z_0|\le r$ по формуле Коши для производных

f^{(k)}(z) - \sum_{n\le N}f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\oint_{|\zeta - z_0| = 2r}\frac{f(\zeta) - S_N(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,d\zeta,

где $S_N = \sum_{n\le N}f_n$ , и модуль не превосходит $\frac{k!\cdot 2r}{r^{k+1}}\max_{|\zeta - z_0| = 2r}|f - S_N|\to 0$ . Компакт покрывается конечным числом таких кругов. $\blacksquare$

следствие

Голоморфность суммы степенного ряда

Формулировка

Сумма $f$ степенного ряда $\sum c_n(z - a)^n$ голоморфна в круге сходимости. Ряд можно почленно дифференцировать, радиус сходимости продифференцированного ряда тот же, и

c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!},

то есть степенной ряд — ряд Тейлора своей суммы.

Доказательство

Развернуть

Ряд сходится равномерно внутри круга сходимости (теорема Абеля), его члены — многочлены. По теореме Вейерштрасса сумма голоморфна, а ряд можно дифференцировать почленно. Радиус продифференцированного ряда $\sum nc_n(z - a)^{n-1}$ тот же по формуле Коши–Адамара, так как $\sqrt[n]n\to 1$ . Дифференцируя $k$ раз и подставляя $z = a$ , получаем $f^{(k)}(a) = k!c_k$ . $\blacksquare$

теорема

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора

Формулировка

Если $f$ голоморфна в круге $|z - a| < R$ , то в этом круге она представляется сходящимся рядом Тейлора

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad 0 < \rho < R.

В частности, радиус сходимости ряда Тейлора не меньше расстояния от $a$ до границы области голоморфности.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|z - a| < \rho < R$ . По формуле Коши $f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$ . Разложим ядро в геометрическую прогрессию:

\frac1{\zeta - z} = \frac1{(\zeta - a)\left(1 - \frac{z - a}{\zeta - a}\right)} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}.

При фиксированном $z$ ряд сходится равномерно по $\zeta$ на окружности, так как $\left|\frac{z - a}{\zeta - a}\right| = \frac{|z - a|}\rho < 1$ (признак Вейерштрасса). После умножения на ограниченную $f(\zeta)$ его можно почленно интегрировать, что даёт ряд с указанными коэффициентами. По формуле Коши для производных $c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ ; поэтому коэффициенты не зависят от $\rho$ , и разложение верно во всём круге. $\blacksquare$

следствие

Неравенства Коши

Формулировка

Если $f$ голоморфна в окрестности круга $|z - a|\le r$ и $M(r) = \max_{|z - a| = r}|f(z)|$ , то коэффициенты её ряда Тейлора удовлетворяют неравенствам

|c_n| = \frac{|f^{(n)}(a)|}{n!}\le\frac{M(r)}{r^n}.

Доказательство

Развернуть

По формуле для коэффициентов и оценке интеграла

|c_n| = \left|\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta\right|\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{M(r)}{r^{n+1}}\cdot 2\pi r = \frac{M(r)}{r^n}.\qquad\blacksquare

теорема

Теорема Лиувилля

Формулировка

Ограниченная целая функция постоянна. Следствие (основная теорема алгебры): всякий многочлен степени $n\ge 1$ имеет комплексный корень.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|f(z)|\le M$ на $\mathbb C$ . Целая функция разлагается в ряд Тейлора с центром $0$ во всей плоскости. По неравенствам Коши $|c_n|\le\frac M{r^n}$ при любом $r > 0$ . При $n\ge 1$ , устремляя $r\to\infty$ , получаем $c_n = 0$ , то есть $f\equiv c_0$ .

Если многочлен $P$ степени $n\ge 1$ не имеет корней, то $1/P$ — целая функция, и $|1/P(z)|\to 0$ при $z\to\infty$ . Значит, $1/P$ ограничена, и по теореме Лиувилля постоянна, что неверно. $\blacksquare$

теорема

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в области $D$ и не равна тождественно нулю. Тогда каждый её нуль $a$ имеет конечный порядок $m$ , $f(z) = (z - a)^mg(z)$ с голоморфной $g$ , $g(a)\ne 0$ , и у нуля есть проколотая окрестность, в которой $f\ne 0$ (нули изолированы).

Доказательство

Развернуть

Пусть $E$ — множество точек $D$ , в которых все производные $f$ (включая $f$ ) равны нулю. Оно замкнуто в $D$ (по непрерывности производных). Оно открыто: если $z_0\in E$ , то ряд Тейлора в круге с центром $z_0$ нулевой, и $f\equiv 0$ в этом круге. Так как $D$ связна и $f\not\equiv 0$ , множество $E$ пусто.

Значит, в нуле $a$ некоторая производная не равна нулю, и порядок $m$ конечен. В круге с центром $a$

f(z) = \sum_{n\ge m}c_n(z - a)^n = (z - a)^m\sum_{k\ge 0}c_{m+k}(z - a)^k = (z - a)^mg(z),

где $g$ голоморфна как сумма степенного ряда и $g(a) = c_m\ne 0$ . Вне круга $g(z) = f(z)/(z - a)^m$ . По непрерывности $g\ne 0$ вблизи $a$ , поэтому и $f\ne 0$ в проколотой окрестности. $\blacksquare$

следствие

Теорема единственности

Формулировка

Если функции $f$ и $g$ голоморфны в области $D$ и совпадают на множестве, имеющем предельную точку в $D$ , то $f\equiv g$ в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $h = f - g$ голоморфна, и её нули имеют предельную точку $a\in D$ . По непрерывности $h(a) = 0$ , и этот нуль не изолирован. По теореме об изолированности нулей это возможно только при $h\equiv 0$ . $\blacksquare$

Радиусы сходимости степенных рядов

Условие

Найти радиусы сходимости рядов: а) $\sum\frac{z^n}{n^2}$ ; б) $\sum n!z^n$ ; в) $\sum\frac{z^n}{n!}$ ; г) $\sum(2^n + 3^n)z^n$ ; д) $\sum z^{n^2}$ .

Решение

Развернуть

а) $\sqrt[n]{1/n^2}\to 1$ : $R = 1$ . На окружности $|z| = 1$ ряд сходится абсолютно ( $\sum\frac1{n^2} < \infty$ ).

б) $\sqrt[n]{n!}\to\infty$ : $R = 0$ .

в) $\sqrt[n]{1/n!}\to 0$ : $R = \infty$ .

г) $\sqrt[n]{2^n + 3^n}\to 3$ : $R = \frac13$ .

д) Это степенной ряд $\sum_mc_mz^m$ с $c_m = 1$ при $m = k^2$ и $c_m = 0$ иначе; $\overline{\lim}\sqrt[m]{|c_m|} = 1$ , поэтому $R = 1$ .

Разложение рациональных функций в ряд Тейлора

Условие

Разложить в ряд по степеням $z$ функции $\dfrac1{(1 - z)^2}$ и $\dfrac1{z^2 - 3z + 2}$ и найти радиусы сходимости.

Решение

Развернуть

$\frac1{1 - z} = \sum z^n$ при $|z| < 1$ . Почленное дифференцирование даёт $\frac1{(1 - z)^2} = \sum_{n\ge 0}(n + 1)z^n$ , $R = 1$ .

$\frac1{z^2 - 3z + 2} = \frac1{(z - 1)(z - 2)} = \frac1{1 - z} - \frac1{2 - z}$ . Получаем

\frac1{z^2 - 3z + 2} = \sum_{n\ge 0}\left(1 - \frac1{2^{n+1}}\right)z^n,\qquad R = 1

(расстояние до ближайшей особой точки $z = 1$ ).

Целая функция полиномиального роста

Условие

Доказать, что целая функция, удовлетворяющая неравенству $|f(z)|\le A + B|z|^k$ , — многочлен степени не выше $k$ .

Решение

Развернуть

По неравенствам Коши при $n > k$

|c_n|\le\frac{A + Br^k}{r^n}\to 0\quad(r\to\infty).

Значит, $c_n = 0$ при $n > k$ , и ряд Тейлора — многочлен степени не выше $k$ . При $k = 0$ получается теорема Лиувилля.

Порядок нуля

Условие

Найти порядок нуля в точке $0$ функций а) $e^z - 1 - z$ ; б) $z^3 - \sin^3z$ .

Решение

Развернуть

а) $e^z - 1 - z = \frac{z^2}2 + \frac{z^3}6 + \dots$ — порядок $2$ .

б) $\sin z = z - \frac{z^3}6 + O(z^5)$ , $\sin^3z = z^3\left(1 - \frac{z^2}6 + O(z^4)\right)^3 = z^3 - \frac{z^5}2 + O(z^7)$ . Тогда $z^3 - \sin^3z = \frac{z^5}2 + O(z^7)$ — порядок $5$ .

Применение теоремы единственности

Условие

Существует ли функция $f$ , голоморфная в круге $|z| < 1$ , такая что при $n = 2, 3, \dots$ : а) $f\left(\frac1n\right) = \frac1{n + 1}$ ; б) $f\left(\frac1n\right) = \frac{(-1)^n}n$ ?

Решение

Развернуть

а) $\frac1{n + 1} = \frac{1/n}{1 + 1/n}$ , так что подходит $f(z) = \frac z{1 + z}$ , голоморфная в круге. По теореме единственности такая функция единственна.

б) На точках $\frac1{2k}$ функция должна совпадать с $z$ , и по теореме единственности $f\equiv z$ (точки $\frac1{2k}\to 0$ ). Но тогда $f\left(\frac1{2k + 1}\right) = \frac1{2k + 1}\ne -\frac1{2k + 1}$ . Такой функции нет.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Последовательности и ряды комплексных чисел и функций

Последовательность $z_n$ сходится к $z$ , если $|z_n - z|\to 0$ ; это равносильно сходимости $\operatorname{Re}z_n\to\operatorname{Re}z$ и $\operatorname{Im}z_n\to\operatorname{Im}z$ .

Ряд $\sum_{n=0}^\infty w_n$ сходится, если сходится последовательность частичных сумм $S_N = \sum_{n\le N}w_n$ ; сумма ряда — предел $S_N$ . Ряд сходится абсолютно, если сходится $\sum|w_n|$ .

Функциональный ряд $\sum f_n(z)$ сходится равномерно на множестве $E$ , если $\sup_{z\in E}\left|\sum_{n>N}f_n(z)\right|\to 0$ при $N\to\infty$ . Ряд сходится равномерно внутри области $D$ , если он сходится равномерно на каждом компакте $K\subset D$ .

Степенной ряд. Радиус и круг сходимости

Степенным рядом с центром $a$ называется ряд

\sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n.

Радиусом сходимости называется число $R\in[0, +\infty]$ , такое что ряд сходится при $|z - a| < R$ и расходится при $|z - a| > R$ . Круг $|z - a| < R$ называется кругом сходимости.

Ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$ — степенной ряд $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n$ .

Нуль голоморфной функции и его порядок

Точка $a$ называется нулём голоморфной функции $f$ , если $f(a) = 0$ . Нуль имеет порядок (кратность) $m$ , если

f(a) = f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0,\qquad f^{(m)}(a)\ne 0.

Нуль порядка $1$ называется простым.

Говорят, что $f$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\infty$ , если функция $f(1/\zeta)$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\zeta = 0$ .

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Интеграл линеен по $f$ и не зависит от выбора параметризации пути (при возрастающей замене параметра).
$\int_{\gamma^-}f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$ ; если путь $\gamma$ составлен из $\gamma_1$ и $\gamma_2$ , то интегралы складываются.
Оценка:

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le\int_\gamma|f(z)|\,|dz|\le\max_{\gamma^*}|f|\cdot L(\gamma),

где $L(\gamma) = \int_\alpha^\beta|\gamma'(t)|\,dt$ — длина пути. 4. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma^*$ , то $\int_\gamma f_n\,dz\to\int_\gamma f\,dz$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2. Свойства следуют из свойств определённого интеграла от комплекснозначной функции вещественного переменного и формулы замены переменной: при $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , имеем $f(\gamma(\varphi(s)))\gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)\,ds = f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . Для противоположного пути замена убывающая, и знак меняется.

Для интеграла $I = \int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ от комплекснозначной функции возьмём $\theta = \arg I$ . Тогда

|I| = \operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}I\right) = \int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}g\right)dt\le\int_\alpha^\beta|g|\,dt.

При $g = f(\gamma)\gamma'$ получаем первое неравенство, второе очевидно.

Следует из п. 3: $\left|\int(f_n - f)\right|\le\max|f_n - f|\cdot L(\gamma)\to 0$ . $\blacksquare$

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в кольце $V = \{r < |z - a| < R\}$ , представляется в нём сходящимся рядом Лорана

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad r < \rho < R.

Разложение единственно: если ряд Лорана сходится к $f$ в $V$ , то его коэффициенты даются этими формулами.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r < \rho_1 < |z - a| < \rho_2 < R$ . По формуле Коши для кольца $\rho_1 < |\zeta - a| < \rho_2$ :

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_2}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z} - \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_1}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z}.

В первом интеграле, как в доказательстве теоремы Тейлора, $\frac1{\zeta - z} = \sum_{n\ge 0}\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}$ . Во втором $|\zeta - a| < |z - a|$ , и

-\frac1{\zeta - z} = \frac1{(z - a)\left(1 - \frac{\zeta - a}{z - a}\right)} = \sum_{n\ge 1}\frac{(\zeta - a)^{n-1}}{(z - a)^n}.

Оба ряда сходятся равномерно по $\zeta$ на соответствующих окружностях; почленное интегрирование даёт правильную и главную части с указанными коэффициентами. По теореме Коши для кольца интегралы $\oint\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}$ не зависят от $\rho$ .

Единственность: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ в $V$ , умножим равенство на $(z - a)^{-k-1}$ и проинтегрируем по окружности $|z - a| = \rho$ . Ряд сходится равномерно на окружности, а по основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = k$ , равный $2\pi ic_k$ . $\blacksquare$

Область сходимости ряда Лорана

Формулировка

Пусть $R$ — радиус сходимости правильной части, а $r = \overline{\lim}\sqrt[n]{|c_{-n}|}$ . Если $r < R$ , то ряд Лорана сходится абсолютно в кольце $r < |z - a| < R$ , равномерно на каждом компакте внутри кольца, а его сумма голоморфна в кольце. Вне замыкания кольца ряд расходится.

Доказательство

Развернуть

Правильная часть — степенной ряд, сходящийся при $|z - a| < R$ и расходящийся при $|z - a| > R$ . Главная часть — степенной ряд $\sum c_{-n}\zeta^n$ относительно $\zeta = \frac1{z - a}$ . По формуле Коши–Адамара он сходится при $|\zeta| < 1/r$ , то есть при $|z - a| > r$ , и расходится при $|z - a| < r$ .

Равномерная сходимость на компактах кольца следует из теоремы Абеля для обеих частей. Члены ряда голоморфны в кольце, поэтому по теореме Вейерштрасса сумма голоморфна. $\blacksquare$

Теорема Мореры

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна в области $D$ и интеграл от неё по границе любого треугольника, лежащего в $D$ вместе с внутренностью, равен нулю, то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём круг $K\subset D$ с центром $z_0$ и положим $F(z) = \int_{[z_0, z]}f(\zeta)\,d\zeta$ , $z\in K$ . По условию для треугольника с вершинами $z_0, z, z + h$ получаем $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f$ . Как в доказательстве теоремы Коши, отсюда $F' = f$ в $K$ , то есть $F$ голоморфна.

По теореме о бесконечной дифференцируемости производная голоморфной функции голоморфна. Значит, $f = F'$ голоморфна в $K$ , а так как круг произволен, — во всей $D$ . $\blacksquare$

Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируемость

Формулировка

Голоморфная в области $D$ функция имеет в $D$ производные всех порядков, и все они голоморфны. Если $D$ — допустимая область и $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ , то при $z\in D$

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}\,d\zeta.

В частности, вещественная и мнимая части голоморфной функции бесконечно дифференцируемы и гармоничны.

Доказательство

Развернуть

По формуле Коши $f$ совпадает в $D$ с интегралом типа Коши с плотностью $f|_{\partial D}$ . По теореме о голоморфности интеграла типа Коши он бесконечно дифференцируем, и производные даются указанной формулой.

Для произвольной области $D$ каждая точка имеет окрестность-круг, замыкание которого лежит в $D$ , и к кругу применимо сказанное. Частные производные $u$ , $v$ выражаются через комплексные производные ( $f' = u_x + iv_x = v_y - iu_y$ ), поэтому $u, v\in C^\infty$ . Тогда из условий Коши–Римана следует их гармоничность. $\blacksquare$

Лемма Гурса

Формулировка

Если $f$ голоморфна в области $D$ , а замкнутый треугольник $\Delta$ (вместе с внутренностью) лежит в $D$ , то

\oint_{\partial\Delta}f(z)\,dz = 0.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\left|\oint_{\partial\Delta}f\right| = M$ . Разделим $\Delta$ средними линиями на четыре треугольника; интеграл по $\partial\Delta$ равен сумме интегралов по их границам (внутренние стороны проходятся дважды в разных направлениях). Хотя бы для одного из них, $\Delta_1$ , интеграл по модулю не меньше $M/4$ . Повторяя, получаем вложенные треугольники $\Delta_n$ с

\left|\oint_{\partial\Delta_n}f\right|\ge\frac M{4^n},\qquad L(\partial\Delta_n) = \frac{L}{2^n},\qquad\operatorname{diam}\Delta_n\le\frac{L}{2^n},

где $L$ — периметр $\Delta$ . Пусть $z_0$ — общая точка всех $\Delta_n$ . В ней $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \varepsilon(z)(z - z_0)$ , $\varepsilon(z)\to 0$ .

Интегралы от $f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)$ по замкнутому пути равны нулю: у этой функции есть первообразная-многочлен, а интеграл от производной по замкнутому пути равен нулю по формуле Ньютона–Лейбница для $F(\gamma(t))$ . Поэтому

\frac M{4^n}\le\left|\oint_{\partial\Delta_n}\varepsilon(z)(z - z_0)\,dz\right|\le\max_{\Delta_n}|\varepsilon|\cdot\frac L{2^n}\cdot\frac L{2^n},

то есть $M\le L^2\max_{\Delta_n}|\varepsilon|\to 0$ . Значит, $M = 0$ . $\blacksquare$

Существование и аналитичность изображения

Формулировка

Если $f$ — оригинал с показателем роста $s_0$ , то интеграл Лапласа сходится абсолютно в полуплоскости $\operatorname{Re}p > s_0$ , а изображение $F(p)$ голоморфно в ней, причём

F'(p) = -\int_0^{+\infty}tf(t)e^{-pt}\,dt.

Кроме того, $F(p)\to 0$ при $\operatorname{Re}p\to+\infty$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $s_0 < s_1 < s$ , $|f(t)|\le Me^{s_1t}$ , и $\operatorname{Re}p\ge s$ . Тогда $|f(t)e^{-pt}|\le Me^{-(s - s_1)t}$ — интегрируемая мажоранта. Поэтому интеграл сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости $\operatorname{Re}p\ge s$ .

Функции $F_N(p) = \int_0^Nf(t)e^{-pt}\,dt$ — целые (их можно дифференцировать под знаком интеграла по $p$ , подынтегральная функция голоморфна по $p$ и непрерывна по совокупности на промежутках непрерывности $f$ ). $F_N\rightrightarrows F$ при $\operatorname{Re}p\ge s$ , поэтому по теореме Вейерштрасса (её доказательство дословно переносится на последовательности) $F$ голоморфна, и $F_N'\to F'$ , что даёт формулу для $F'$ .

Наконец, $|F(p)|\le\int_0^\infty Me^{-(\operatorname{Re}p - s_1)t}\,dt = \frac M{\operatorname{Re}p - s_1}\to 0$ . $\blacksquare$

Теорема Гурвица и её следствия

Формулировка

Пусть функции $f_n$ голоморфны в области $D$ и сходятся к $f$ равномерно внутри $D$ , причём $f\not\equiv 0$ . Тогда:

если круг $\overline K\subset D$ и $f\ne 0$ на $\partial K$ , то при всех достаточно больших $n$ функции $f_n$ и $f$ имеют в $K$ одинаковое число нулей;
если все $f_n$ не имеют нулей в $D$ , то и $f$ не имеет нулей в $D$ ;
если все $f_n$ однолистны в $D$ , а $f$ не постоянна, то $f$ однолистна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Вейерштрасса $f_n'\to f'$ равномерно на $\partial K$ . Так как $|f|\ge\delta > 0$ на $\partial K$ , при больших $n$ имеем $|f_n|\ge\delta/2$ там, и $\frac{f_n'}{f_n}\rightrightarrows\frac{f'}f$ на $\partial K$ . Логарифмические вычеты — целые числа, сходящиеся к логарифмическому вычету $f$ , — при больших $n$ совпадают с ним. По теореме о логарифмическом вычете совпадают и числа нулей.
Если $f(a) = 0$ , возьмём круг $K$ с центром $a$ , на границе которого $f\ne 0$ (нули изолированы). По п. 1 при больших $n$ функция $f_n$ имеет в $K$ хотя бы один нуль — противоречие.
Пусть $f(z_1) = f(z_2) = w$ , $z_1\ne z_2$ . Функции $f_n - f_n(z_2)$ в $D\setminus\{z_2\}$ не имеют нулей (однолистность) и сходятся к $f - w$ , которая не тождественный нуль. По п. 2 (в области $D\setminus\{z_2\}$ ) $f - w$ не имеет там нулей, но $f(z_1) = w$ — противоречие. $\blacksquare$

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Если $a$ — простой полюс, то $\operatorname*{res}_{z=a}f = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ .
Если $f = \dfrac\varphi\psi$ , где $\varphi$ , $\psi$ голоморфны в окрестности $a$ , $\varphi(a)\ne 0$ , $\psi(a) = 0$ , $\psi'(a)\ne 0$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.

Если $a$ — полюс порядка не выше $m$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac1{(m - 1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigl[(z - a)^mf(z)\bigr].

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^n$ , то $(z - a)^mf = \sum_{k\ge 0}c_{k - m}(z - a)^k$ — сумма степенного ряда, коэффициент которого при $(z - a)^{m-1}$ равен $c_{-1}$ . По формуле коэффициентов ряда Тейлора он равен $\frac1{(m - 1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - a)^mf]$ в точке $a$ , то есть пределу.
Частный случай п. 3 при $m = 1$ .
Полюс простой (по описанию полюсов), и

(z - a)\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{\varphi(z)}{\frac{\psi(z) - \psi(a)}{z - a}}\to\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.\qquad\blacksquare

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — устранимая особая точка;
главная часть ряда Лорана в точке $a$ равна нулю;
$f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $a$ .

При этом, доопределив $f(a) = \lim_{z\to a}f(z)$ , получаем функцию, голоморфную в окрестности $a$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ : функция, имеющая конечный предел, ограничена вблизи $a$ .

$3\Rightarrow 2$ : если $|f|\le M$ , то по неравенствам Коши для ряда Лорана $|c_{-n}|\le M\rho^n\to 0$ при $\rho\to 0$ , $n\ge 1$ .

$2\Rightarrow 1$ : если главная часть равна нулю, то $f(z) = \sum_{n\ge 0}c_n(z - a)^n$ в проколотой окрестности, и правая часть — сумма степенного ряда, голоморфная и в самой точке $a$ . Поэтому $\lim_{z\to a}f(z) = c_0$ , и доопределение $f(a) = c_0$ даёт голоморфную функцию. $\blacksquare$

Интегральная формула Коши

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ . Тогда для любой точки $z\in D$

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta,

а для $z\notin\overline D$ этот интеграл равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $z\in D$ . Выкинем из $D$ круг $|\zeta - z|\le r$ , лежащий в $D$ . В оставшейся допустимой области функция $\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области

\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta.

Правая часть равна

f(z)\oint_{|\zeta - z| = r}\frac{d\zeta}{\zeta - z} + \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z}\,d\zeta = 2\pi if(z) + I_r,

где $|I_r|\le\max_{|\zeta - z| = r}|f(\zeta) - f(z)|\cdot\frac1r\cdot 2\pi r\to 0$ при $r\to 0$ . Левая часть от $r$ не зависит, поэтому $I_r = 0$ , и формула доказана.

При $z\notin\overline D$ подынтегральная функция голоморфна в окрестности $\overline D$ , и интеграл равен нулю по теореме Коши. $\blacksquare$

Особая точка на окружности сходимости

Формулировка

На окружности сходимости степенного ряда с конечным положительным радиусом сходимости лежит хотя бы одна особая точка его суммы. Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора голоморфной функции равен расстоянию от центра до ближайшей особой точки её аналитического продолжения.

Доказательство

Развернуть

Пусть $K = \{|z - a| < R\}$ и все точки окружности $|z - a| = R$ правильные. Каждая точка $\zeta$ имеет круг $K_\zeta$ , в котором определено продолжение $g_\zeta$ . По компактности окружность покрывается конечным числом таких кругов. Если два круга $K_{\zeta}$ , $K_{\zeta'}$ пересекаются, то их пересечение (с непустой связной частью внутри $K$ ) даёт $g_\zeta = f = g_{\zeta'}$ на общей части с $K$ , а по теореме единственности — на всём пересечении (оно связно для двух кругов).

Значит, $f$ и функции $g_\zeta$ склеиваются в функцию, голоморфную в круге $|z - a| < R + \delta$ при некотором $\delta > 0$ . По теореме Тейлора её ряд — тот же ряд — сходится в большем круге, что противоречит определению радиуса сходимости. $\blacksquare$

Теорема Римана

Формулировка

Всякая односвязная область $D\subset\overline{\mathbb C}$ , граница которой содержит более одной точки, конформно эквивалентна единичному кругу. Для любой точки $z_0\in D$ (конечной) существует единственное конформное отображение $f$ области $D$ на круг $|w| < 1$ с нормировкой

f(z_0) = 0,\qquad f'(z_0) > 0.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится с обсуждением, существование — без доказательства. Обсудим условия и докажем единственность.

Условие на границу существенно. Если граница пуста ( $D = \overline{\mathbb C}$ ), область компактна, а круг — нет. Если граница — одна точка, то $D$ дробно-линейным отображением переводится в $\mathbb C$ , а конформного отображения $\mathbb C$ на круг нет по теореме Лиувилля (это была бы ограниченная непостоянная целая функция).

Единственность. Пусть $f_1$ , $f_2$ — два нормированных отображения. Тогда $g = f_2\circ f_1^{-1}$ — автоморфизм круга с $g(0) = 0$ , $g'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ . По теореме об автоморфизмах круга $g(w) = e^{i\theta}w$ , и $g'(0) > 0$ даёт $\theta = 0$ , то есть $f_1 = f_2$ .

Идея доказательства существования: среди однолистных отображений $f$ области $D$ в круг с $f(z_0) = 0$ выбирается функция с наибольшим $|f'(z_0)|$ (существует по принципу компактности Монтеля и теореме Гурвица). Если бы она не была отображением «на», с помощью квадратного корня и автоморфизмов круга её можно было бы улучшить. $\blacksquare$

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Пусть $f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$ — ряд Лорана в области $|z| > R$ . Точка $\infty$ :

устранимая $\iff$ $c_n = 0$ при всех $n > 0$ ;
полюс порядка $m\ge 1$ $\iff$ $c_m\ne 0$ и $c_n = 0$ при $n > m$ ;
существенно особая $\iff$ бесконечно много $c_n\ne 0$ с $n > 0$ .

Следствия: целая функция с полюсом порядка $m$ в бесконечности — многочлен степени $m$ ; целая функция с устранимой особенностью в бесконечности постоянна.

Доказательство

Развернуть

Функция $g(\zeta) = f(1/\zeta) = \sum c_n\zeta^{-n}$ имеет в точке $\zeta = 0$ главную часть $\sum_{n>0}c_n\zeta^{-n}$ , и тип особенности $g$ в нуле определяется описаниями устранимых точек, полюсов и существенно особых точек.

Целая функция разлагается в ряд Тейлора $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ во всей плоскости, и это же её ряд Лорана в окрестности $\infty$ . Полюс порядка $m$ означает $c_n = 0$ при $n > m$ , то есть $f$ — многочлен степени $m$ . Устранимая особенность — $f\equiv c_0$ ; это также следует из теоремы Лиувилля, так как такая функция ограничена. $\blacksquare$

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ мероморфна в окрестности $\overline D$ и не имеет нулей и полюсов на $\partial D$ . Тогда

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N - P,

где $N$ и $P$ — числа нулей и полюсов $f$ в $D$ , считаемых с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули и полюсы изолированы, поэтому в $\overline D$ их конечное число. Особые точки $f'/f$ в $D$ — только нули и полюсы $f$ .

Если $a$ — нуль порядка $m$ , то $f = (z - a)^mg$ , $g(a)\ne 0$ , и

\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g,

где $g'/g$ голоморфна вблизи $a$ . Поэтому $\operatorname*{res}_af'/f = m$ .

Если $a$ — полюс порядка $p$ , то $f = (z - a)^{-p}h$ , $h(a)\ne 0$ , и аналогично $\operatorname*{res}_af'/f = -p$ .

По теореме Коши о вычетах интеграл равен $2\pi i(N - P)$ . $\blacksquare$

Принцип сохранения области

Формулировка

Если $f$ голоморфна и не постоянна в области $D$ , то $f(D)$ — область. Более точно: если $f(a) = w_0$ и $a$ — нуль порядка $m$ функции $f - w_0$ , то существуют $r > 0$ и $\delta > 0$ такие, что при $|w - w_0| < \delta$ уравнение $f(z) = w$ имеет в круге $|z - a| < r$ ровно $m$ корней с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули $f - w_0$ изолированы, поэтому есть круг $|z - a|\le r$ , лежащий в $D$ , в котором $a$ — единственный нуль $f - w_0$ . Пусть $\delta = \min_{|z - a| = r}|f(z) - w_0| > 0$ . При $|w - w_0| < \delta$ запишем $f - w = (f - w_0) + (w_0 - w)$ ; на окружности $|w_0 - w| < \delta\le|f - w_0|$ . По теореме Руше $f - w$ имеет в круге столько же нулей, сколько $f - w_0$ , то есть $m\ge 1$ .

Значит, круг $|w - w_0| < \delta$ лежит в $f(D)$ , и $f(D)$ открыто. Связность: образ связного множества при непрерывном отображении связен (образ ломаной — путь). $\blacksquare$

Описание полюсов

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — полюс порядка $m$ ;
$f(z) = \dfrac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h$ голоморфна в окрестности $a$ и $h(a)\ne 0$ ;
главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, и старший из них — $\dfrac{c_{-m}}{(z - a)^m}$ , $c_{-m}\ne 0$ .

Если $f = \varphi/\psi$ , где $\varphi(a)\ne 0$ , а $\psi$ имеет в $a$ нуль порядка $m$ , то $a$ — полюс порядка $m$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 2$ : функция $g = 1/f$ вблизи $a$ ограничена (так как $f\to\infty$ ), её особая точка устранима, и доопределённая $g(a) = 0$ имеет нуль порядка $m$ . По теореме о нулях $g = (z - a)^mg_1$ , $g_1(a)\ne 0$ . Тогда $f = \frac{h}{(z - a)^m}$ с $h = 1/g_1$ .

$2\Rightarrow 3$ : разложим $h$ в ряд Тейлора $h = \sum_{k\ge 0}b_k(z - a)^k$ , $b_0 = h(a)\ne 0$ , и разделим на $(z - a)^m$ . По единственности ряда Лорана главная часть равна $\sum_{k<m}b_k(z - a)^{k - m}$ , её старший член — $\frac{b_0}{(z - a)^m}$ .

$3\Rightarrow 1$ : $f = \frac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^{n + m}$ голоморфна и $h(a) = c_{-m}\ne 0$ . Тогда $f\to\infty$ , а $1/f = \frac{(z - a)^m}{h}$ имеет нуль порядка $m$ .

Последнее утверждение: $\psi = (z - a)^m\psi_1$ , $\psi_1(a)\ne 0$ , и $f = \frac{\varphi/\psi_1}{(z - a)^m}$ с $\frac{\varphi(a)}{\psi_1(a)}\ne 0$ . $\blacksquare$

Принцип сохранения соотношений

Формулировка

Пусть $F(w_1, \dots, w_k)$ — многочлен (или целая функция $k$ переменных, заданная степенным рядом), а функции $f_1, \dots, f_k$ голоморфны в области $D$ , содержащей интервал $I$ вещественной оси. Если $F(f_1(x), \dots, f_k(x)) = 0$ при $x\in I$ , то $F(f_1(z), \dots, f_k(z))\equiv 0$ в $D$ .

Например, все тождества между элементарными функциями, верные на вещественной оси ( $\sin^2x + \cos^2x = 1$ , $e^{x + y} = e^xe^y$ ), остаются верными для комплексных значений.

Доказательство

Развернуть

Функция $h(z) = F(f_1(z), \dots, f_k(z))$ голоморфна в $D$ и равна нулю на интервале $I$ , имеющем предельные точки в $D$ . По теореме единственности $h\equiv 0$ .

Для тождества $e^{z + w} = e^ze^w$ применим принцип дважды: при фиксированном вещественном $w$ обе части — целые функции $z$ , совпадающие на вещественной оси, поэтому равенство верно при всех $z$ и вещественных $w$ . Затем при фиксированном $z$ — то же по $w$ . $\blacksquare$

Единственность аналитического продолжения

Формулировка

Если функция $f$ , голоморфная в области $D_1$ , допускает аналитическое продолжение в область $D_2\supset D_1$ , то это продолжение единственно. Более общо, непосредственное продолжение элемента по фиксированной цепочке кругов определено однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $g_1$ и $g_2$ — два продолжения в $D_2$ , то они голоморфны в области $D_2$ и совпадают на непустом открытом множестве $D_1$ . По теореме единственности $g_1\equiv g_2$ .

Для цепочки: на каждом шаге функция $f_{j+1}$ в круге $K_{j+1}$ однозначно определяется своими значениями на непустом открытом множестве $K_j\cap K_{j+1}$ , где она равна $f_j$ . $\blacksquare$

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса

Формулировка

Доказательство

Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда

Формулировка

Доказательство

Формула Коши–Адамара

Формулировка

Доказательство

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Доказательство

Голоморфность суммы степенного ряда

Формулировка

Доказательство

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора

Формулировка

Доказательство

Неравенства Коши

Формулировка

Доказательство

Теорема Лиувилля

Формулировка

Доказательство

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Доказательство

Теорема единственности

Формулировка

Доказательство

Радиусы сходимости степенных рядов

Условие

Решение

Разложение рациональных функций в ряд Тейлора

Условие

Решение

Целая функция полиномиального роста

Условие

Решение

Порядок нуля

Условие

Решение

Применение теоремы единственности

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Последовательности и ряды комплексных чисел и функций

Степенной ряд. Радиус и круг сходимости

Нуль голоморфной функции и его порядок

Голоморфная функция

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Доказательство

Область сходимости ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Теорема Мореры

Формулировка

Доказательство

Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируемость

Формулировка

Доказательство

Лемма Гурса

Формулировка

Доказательство

Существование и аналитичность изображения

Формулировка

Доказательство

Теорема Гурвица и её следствия

Формулировка

Доказательство

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Доказательство

Описание устранимых особых точек