Операционное исчисление и решение ОДУ

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Вторая теорема разложения
Первая теорема разложения
Решение линейных уравнений операционным методом
Формула Дюамеля и импульсная характеристика
Операционный метод для линейных систем

теорема

Вторая теорема разложения

Формулировка

Пусть $F(p) = \dfrac{A(p)}{B(p)}$ — правильная рациональная дробь ( $\deg A < \deg B$ ) с полюсами $p_1, \dots, p_s$ . Тогда её оригинал равен

f(t) = \sum_{k=1}^s\operatorname*{res}_{p=p_k}\bigl[F(p)e^{pt}\bigr].

В частности, если все полюсы простые,

f(t) = \sum_{k=1}^s\frac{A(p_k)}{B'(p_k)}e^{p_kt}.

Доказательство

Развернуть

Разложим $F$ на простейшие дроби: $F = \sum_k\sum_{j=1}^{m_k}\frac{c_{kj}}{(p - p_k)^j}$ . По таблице изображений $\frac{1}{(p - p_k)^j}\risingdotseq\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j - 1)!}$ . По единственности оригинала (теорема обращения) $f = \sum c_{kj}\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j - 1)!}$ .

С другой стороны, вычислим вычеты. Вблизи $p_k$ : $e^{pt} = e^{p_kt}\sum_{l\ge 0}\frac{t^l(p - p_k)^l}{l!}$ , и коэффициент при $(p - p_k)^{-1}$ в произведении $\frac{c_{kj}}{(p - p_k)^j}e^{pt}$ равен $c_{kj}\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j-1)!}$ . Остальные простейшие дроби голоморфны в $p_k$ и вычетов там не дают. Суммы совпадают. Формула для простых полюсов — формула вычета $\varphi/\psi'$ . $\blacksquare$

теорема

Первая теорема разложения

Формулировка

Пусть изображение $F(p)$ голоморфно в окрестности $\infty$ и $F(\infty) = 0$ , то есть

F(p) = \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{p^{n+1}},\qquad|p| > R.

Тогда оригинал — целая функция

f(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{n!}t^n\quad(t\ge 0).

Доказательство

Развернуть

По неравенствам Коши для коэффициентов ряда Лорана в окрестности $\infty$ (при $|p| = R_1 > R$ ) имеем $|c_n|\le MR_1^{n+1}$ , где $M = \max_{|p| = R_1}|F(p)|$ . Тогда ряд $\sum\frac{c_n}{n!}t^n$ сходится при всех $t$ , и $|f(t)|\le MR_1e^{R_1t}$ — оригинал.

Почленно применим преобразование Лапласа: $\frac{c_nt^n}{n!}\risingdotseq\frac{c_n}{p^{n+1}}$ . При $\operatorname{Re}p > R_1$ ряд $\sum\frac{|c_n|t^n}{n!}e^{-\operatorname{Re}p\,t}$ мажорируется интегрируемой функцией $MR_1e^{-(\operatorname{Re}p - R_1)t}$ , поэтому почленное интегрирование законно, и изображение $f$ равно $F$ . $\blacksquare$

теорема

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Пусть $L(D)y = y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = f(t)$ , где $f$ — оригинал, и заданы начальные условия $y^{(k)}(0) = y_k$ . Тогда решение задачи Коши (при $t\ge 0$ ) является оригиналом, а его изображение

Y(p) = \frac{F(p) + Q(p)}{L(p)},\qquad Q(p) = \sum_{k=1}^n a_{n-k}\sum_{j=0}^{k-1}p^{k-1-j}y_j\quad(a_0 = 1).

Доказательство

Развернуть

Решение — сумма решения однородного уравнения с данными начальными условиями и решения неоднородного с нулевыми данными. Первое — квазимногочлен (ФСР уравнения с постоянными коэффициентами), то есть оригинал. Второе по формуле Коши равно $\int_0^tK(t - s)f(s)\,ds$ , где $K$ — квазимногочлен, и тоже растёт не быстрее экспоненты. Значит, $y$ и (как решения той же природы) все производные до порядка $n$ — оригиналы.

Применим к уравнению преобразование Лапласа. По теореме о дифференцировании оригинала

y^{(k)}\risingdotseq p^kY - p^{k-1}y_0 - \dots - y_{k-1}.

Подставляя, получаем $L(p)Y - Q(p) = F(p)$ , где $Q$ собирает все слагаемые с начальными данными. $\blacksquare$

следствие

Формула Дюамеля и импульсная характеристика

Формулировка

Пусть $g(t)$ — оригинал функции $\dfrac1{L(p)}$ (импульсная характеристика; это функция Коши $K(t, 0)$ уравнения). Тогда решение уравнения $L(D)y = f$ с нулевыми начальными условиями равно

y = g*f = \int_0^tg(t - \tau)f(\tau)\,d\tau.

Если $y_1$ — решение с правой частью $\eta(t)$ и нулевыми данными (переходная характеристика), то $y(t) = \dfrac{d}{dt}\displaystyle\int_0^ty_1(t - \tau)f(\tau)\,d\tau$ (формула Дюамеля).

Доказательство

Развернуть

При нулевых данных $Q = 0$ , и $Y = \frac1{L(p)}F(p)$ . По теореме о свёртке $y = g*f$ .

Для переходной характеристики $Y_1 = \frac1{pL(p)}$ , так что $Y = pY_1F$ . Функция $y_1*f$ имеет изображение $Y_1F$ и обращается в нуль при $t = 0$ . По теореме о дифференцировании оригинала $(y_1*f)'\risingdotseq pY_1F = Y$ . $\blacksquare$

теорема

Операционный метод для линейных систем

Формулировка

Для системы $x' = Ax + b(t)$ , $x(0) = x^0$ , с постоянной матрицей $A$ и вектором-оригиналом $b$ изображение решения равно

X(p) = (pE - A)^{-1}\bigl(x^0 + B(p)\bigr).

В частности, $e^{tA}\risingdotseq(pE - A)^{-1}$ (резольвента матрицы $A$ ).

Доказательство

Развернуть

Решение — оригинал (оно выражается через $e^{tA}$ формулой Коши, а элементы $e^{tA}$ — квазимногочлены). По теореме о дифференцировании оригинала $x'\risingdotseq pX - x^0$ , и система переходит в $pX - x^0 = AX + B$ , то есть $(pE - A)X = x^0 + B$ . При $\operatorname{Re}p$ , больших модулей собственных значений, матрица $pE - A$ обратима.

Для $b = 0$ решение $x = e^{tA}x^0$ , откуда $e^{tA}x^0\risingdotseq(pE - A)^{-1}x^0$ для всех $x^0$ . $\blacksquare$

Задача Коши для y'' + y = 1

Условие

Решить задачу Коши $y'' + y = 1$ , $y(0) = y'(0) = 0$ операционным методом.

Решение

Развернуть

$(p^2 + 1)Y = \frac1p$ , $Y = \frac1{p(p^2 + 1)} = \frac1p - \frac p{p^2 + 1}$ . Ответ: $y = 1 - \cos t$ .

Простые полюсы и вторая теорема разложения

Условие

Решить задачу Коши $y'' - 3y' + 2y = e^{3t}$ , $y(0) = y'(0) = 0$ .

Решение

Развернуть

$(p^2 - 3p + 2)Y = \frac1{p - 3}$ , $Y = \frac1{(p - 1)(p - 2)(p - 3)}$ . Вычеты $Ye^{pt}$ в простых полюсах:

p = 1:\ \frac{e^t}{(-1)(-2)} = \frac{e^t}2;\qquad p = 2:\ \frac{e^{2t}}{1\cdot(-1)} = -e^{2t};\qquad p = 3:\ \frac{e^{3t}}{2\cdot 1} = \frac{e^{3t}}2.

Ответ: $y = \frac12e^t - e^{2t} + \frac12e^{3t}$ .

Резонанс операционным методом

Условие

Решить задачу Коши $y'' + y = \sin t$ , $y(0) = y'(0) = 0$ .

Решение

Развернуть

$Y = \frac1{(p^2 + 1)^2}$ . Из $\frac{2p}{(p^2 + 1)^2}\risingdotseq t\sin t$ и $\frac{p^2 - 1}{(p^2 + 1)^2} = -\frac{d}{dp}\frac p{p^2 + 1}\risingdotseq t\cos t$ получаем

\frac1{(p^2 + 1)^2} = \frac12\left(\frac1{p^2 + 1} - \frac{p^2 - 1}{(p^2 + 1)^2}\right)\risingdotseq\frac12(\sin t - t\cos t).

Ответ: $y = \frac12(\sin t - t\cos t)$ — амплитуда растёт линейно (резонанс).

Система уравнений операционным методом

Условие

Решить систему $x' = 2x + y$ , $y' = 3x + 4y$ , $x(0) = 1$ , $y(0) = 0$ .

Решение

Развернуть

$(p - 2)X - Y = 1$ , $-3X + (p - 4)Y = 0$ . Из второго $Y = \frac{3X}{p - 4}$ , и

X = \frac{p - 4}{(p - 1)(p - 5)},\qquad Y = \frac3{(p - 1)(p - 5)}.

Вычеты: $X$ : $\frac{-3}{-4}e^t + \frac14e^{5t}$ ; $Y$ : $\frac3{-4}e^t + \frac34e^{5t}$ .

Ответ: $x = \frac34e^t + \frac14e^{5t}$ , $y = \frac34(e^{5t} - e^t)$ .

Правая часть с запаздыванием

Условие

Решить задачу $y' + y = \eta(t - 1)$ , $y(0) = 0$ .

Решение

Развернуть

$(p + 1)Y = \frac{e^{-p}}p$ , $Y = e^{-p}\left(\frac1p - \frac1{p + 1}\right)$ . По теореме запаздывания

y(t) = \eta(t - 1)\left(1 - e^{-(t - 1)}\right).

До момента $t = 1$ решение равно нулю, затем экспоненциально выходит на значение $1$ .

Оригинал по первой теореме разложения

Условие

Найти оригинал изображения $F(p) = \dfrac1pe^{-1/p}$ .

Решение

Развернуть

$F$ голоморфна при $|p| > 0$ , $F(\infty) = 0$ , и

F(p) = \sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^n}{n!\,p^{n+1}}.

По первой теореме разложения

f(t) = \sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^nt^n}{(n!)^2}.

Это функция Бесселя $J_0(2\sqrt t)$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Операционный метод решения задачи Коши

Операционный метод решения задачи Коши для линейного уравнения (или системы) с постоянными коэффициентами состоит в следующем:

к обеим частям уравнения применяется преобразование Лапласа, производные заменяются по теореме о дифференцировании оригинала с учётом начальных условий;
получается алгебраическое (операторное) уравнение для изображения $Y(p)$ искомого решения;
решение $y(t)$ восстанавливается по найденному изображению.

Для уравнения $L(D)y = f$ с характеристическим многочленом $L(p)$ операторное уравнение имеет вид $L(p)Y(p) = F(p) + Q(p)$ , где многочлен $Q$ определяется начальными данными.

Преобразование Лапласа. Изображение

Преобразованием Лапласа оригинала $f$ называется функция комплексного переменного

F(p) = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\,dt.

$F$ называется изображением $f$ ; пишут $f(t)\risingdotseq F(p)$ или $F = \mathcal L[f]$ .

Вычет функции в изолированной особой точке

Пусть $a\in\mathbb C$ — изолированная особая точка однозначного характера функции $f$ . Вычетом $f$ в точке $a$ называется число

\operatorname*{res}_{z=a}f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|z - a| = \rho}f(z)\,dz,

где окружность обходится против часовой стрелки, а $\rho$ настолько мало, что в круге $0 < |z - a|\le\rho$ нет других особых точек. По теореме Коши для кольца интеграл не зависит от $\rho$ .

Бесконечность как особая точка

Точка $\infty$ называется изолированной особой точкой функции $f$ , если $f$ голоморфна в области $R < |z| < \infty$ . Тип особенности (устранимая, полюс порядка $m$ , существенно особая) определяется так же, по пределу при $z\to\infty$ , или, что то же, по типу особенности функции $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ в точке $\zeta = 0$ .

Главной частью ряда Лорана функции $f$ в окрестности $\infty$ (в области $|z| > R$ ) называется сумма членов с положительными степенями $z$ .

Функция-оригинал

Оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественного переменного, такая что:

$f(t) = 0$ при $t < 0$ ;
на любом отрезке $[0, T]$ функция $f$ кусочно-непрерывна (имеет конечное число разрывов первого рода);
$f$ растёт не быстрее экспоненты: $|f(t)|\le Me^{s_0t}$ при всех $t\ge 0$ для некоторых $M$ , $s_0$ .

Нижняя грань таких $s_0$ называется показателем роста оригинала.

Простейший оригинал — функция Хевисайда $\eta(t) = 1$ при $t\ge 0$ , $\eta(t) = 0$ при $t < 0$ . Записывая оригиналы формулами ( $\sin t$ , $e^{\lambda t}$ и т. п.), подразумевают умножение на $\eta(t)$ .

Свёртка оригиналов

Свёрткой оригиналов $f$ и $g$ называется функция

(f*g)(t) = \int_0^tf(\tau)g(t - \tau)\,d\tau,\qquad t\ge 0,

и $(f*g)(t) = 0$ при $t < 0$ . Свёртка коммутативна, ассоциативна и является оригиналом.

Изображения основных функций

Формулировка

\eta(t)\risingdotseq\frac1p,\qquad e^{\lambda t}\risingdotseq\frac1{p - \lambda},\qquad t^n\risingdotseq\frac{n!}{p^{n+1}},\qquad t^ne^{\lambda t}\risingdotseq\frac{n!}{(p - \lambda)^{n+1}},

\sin\omega t\risingdotseq\frac\omega{p^2 + \omega^2},\qquad\cos\omega t\risingdotseq\frac p{p^2 + \omega^2},\qquad\operatorname{sh}\omega t\risingdotseq\frac\omega{p^2 - \omega^2},\qquad\operatorname{ch}\omega t\risingdotseq\frac p{p^2 - \omega^2}.

Доказательство

Развернуть

При $\operatorname{Re}p > \operatorname{Re}\lambda$ : $\int_0^\infty e^{(\lambda - p)t}\,dt = \frac1{p - \lambda}$ ; при $\lambda = 0$ получаем изображение $\eta$ .

Дифференцируя $n$ раз по $p$ по теореме об аналитичности изображения (каждое дифференцирование умножает оригинал на $-t$ ): $(-1)^n\frac{d^n}{dp^n}\frac1{p - \lambda} = \frac{n!}{(p - \lambda)^{n+1}}$ .

Тригонометрические и гиперболические функции — линейные комбинации экспонент, например $\sin\omega t = \frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}\risingdotseq\frac1{2i}\left(\frac1{p - i\omega} - \frac1{p + i\omega}\right) = \frac\omega{p^2 + \omega^2}$ . $\blacksquare$

Теорема обращения. Формула Римана–Меллина

Формулировка

Пусть $f$ — оригинал с показателем роста $s_0$ , кусочно-гладкий на каждом отрезке $[0, T]$ , и $f\risingdotseq F$ . Тогда при любом $s > s_0$ в каждой точке непрерывности $t > 0$

f(t) = \frac1{2\pi i}\operatorname{v.p.}\int_{s - i\infty}^{s + i\infty}F(p)e^{pt}\,dp,

а в точках разрыва интеграл равен $\frac12\bigl(f(t - 0) + f(t + 0)\bigr)$ .

Следствие: кусочно-гладкий оригинал однозначно (с точностью до значений в точках разрыва) определяется своим изображением. (Единственность верна и для любых оригиналов, но это требует другого доказательства.)

Доказательство

Развернуть

Положим $p = s + i\omega$ и $\varphi(t) = f(t)e^{-st}$ . Тогда $F(s + i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)e^{-i\omega t}\,dt$ — преобразование Фурье функции $\varphi$ , которая абсолютно интегрируема (так как $s > s_0$ ) и кусочно-гладка. По теореме об интеграле Фурье (из курса математического анализа)

\varphi(t) = \frac1{2\pi}\operatorname{v.p.}\int_{-\infty}^{\infty}F(s + i\omega)e^{i\omega t}\,d\omega

в точках непрерывности (и полусумма односторонних пределов в точках разрыва). Умножая на $e^{st}$ и переходя к переменной $p = s + i\omega$ , $dp = i\,d\omega$ , получаем формулу.

Единственность: если два оригинала имеют одно изображение, то по формуле они совпадают во всех точках непрерывности. $\blacksquare$

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Если $a$ — простой полюс, то $\operatorname*{res}_{z=a}f = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ .
Если $f = \dfrac\varphi\psi$ , где $\varphi$ , $\psi$ голоморфны в окрестности $a$ , $\varphi(a)\ne 0$ , $\psi(a) = 0$ , $\psi'(a)\ne 0$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.

Если $a$ — полюс порядка не выше $m$ , то

\operatorname*{res}_{z=a}f = \frac1{(m - 1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigl[(z - a)^mf(z)\bigr].

Доказательство

Развернуть

Если $f = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^n$ , то $(z - a)^mf = \sum_{k\ge 0}c_{k - m}(z - a)^k$ — сумма степенного ряда, коэффициент которого при $(z - a)^{m-1}$ равен $c_{-1}$ . По формуле коэффициентов ряда Тейлора он равен $\frac1{(m - 1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - a)^mf]$ в точке $a$ , то есть пределу.
Частный случай п. 3 при $m = 1$ .
Полюс простой (по описанию полюсов), и

(z - a)\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{\varphi(z)}{\frac{\psi(z) - \psi(a)}{z - a}}\to\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.\qquad\blacksquare

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Пусть $f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$ — ряд Лорана в области $|z| > R$ . Точка $\infty$ :

устранимая $\iff$ $c_n = 0$ при всех $n > 0$ ;
полюс порядка $m\ge 1$ $\iff$ $c_m\ne 0$ и $c_n = 0$ при $n > m$ ;
существенно особая $\iff$ бесконечно много $c_n\ne 0$ с $n > 0$ .

Следствия: целая функция с полюсом порядка $m$ в бесконечности — многочлен степени $m$ ; целая функция с устранимой особенностью в бесконечности постоянна.

Доказательство

Развернуть

Функция $g(\zeta) = f(1/\zeta) = \sum c_n\zeta^{-n}$ имеет в точке $\zeta = 0$ главную часть $\sum_{n>0}c_n\zeta^{-n}$ , и тип особенности $g$ в нуле определяется описаниями устранимых точек, полюсов и существенно особых точек.

Целая функция разлагается в ряд Тейлора $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ во всей плоскости, и это же её ряд Лорана в окрестности $\infty$ . Полюс порядка $m$ означает $c_n = 0$ при $n > m$ , то есть $f$ — многочлен степени $m$ . Устранимая особенность — $f\equiv c_0$ ; это также следует из теоремы Лиувилля, так как такая функция ограничена. $\blacksquare$

Дифференцирование оригинала и изображения

Формулировка

Если $f$ непрерывна на $[0, \infty)$ и $f'$ — оригинал, то

f'(t)\risingdotseq pF(p) - f(0).

Более общо, если $f, \dots, f^{(n-1)}$ непрерывны при $t\ge 0$ , а $f^{(n)}$ — оригинал, то

f^{(n)}(t)\risingdotseq p^nF(p) - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0).

$(-t)^nf(t)\risingdotseq F^{(n)}(p)$ .

Доказательство

Развернуть

Интегрируем по частям (на каждом промежутке гладкости; $f$ непрерывна, поэтому внеинтегральные члены в точках разрыва $f'$ сокращаются):

\int_0^Nf'(t)e^{-pt}\,dt = f(N)e^{-pN} - f(0) + p\int_0^Nf(t)e^{-pt}\,dt.

При $\operatorname{Re}p$ больше показателя роста $f$ имеем $f(N)e^{-pN}\to 0$ . (Если $f'$ — оригинал, то $f(t) = f(0) + \int_0^tf'$ тоже имеет экспоненциальный рост.) Общая формула получается по индукции.

Это формула для $F'$ из теоремы об аналитичности изображения, применённая $n$ раз. $\blacksquare$

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Пусть $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ — различные корни характеристического многочлена $L(\lambda)$ кратностей $k_1, \dots, k_s$ , $k_1 + \dots + k_s = n$ . Тогда $n$ функций

x^je^{\lambda_ix},\qquad i = 1, \dots, s,\quad j = 0, \dots, k_i - 1,

образуют ФСР уравнения $L(D)y = 0$ (в классе комплекснозначных функций). В частности, при простых корнях ФСР — $e^{\lambda_1x}, \dots, e^{\lambda_nx}$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda$ — корень кратности $k$ . Тогда $L(\lambda + \mu) = \mu^kM(\mu)$ для некоторого многочлена $M$ . Это тождество многочленов от $\mu$ влечёт операторное тождество $L(D + \lambda) = M(D)D^k$ : операторы с постоянными коэффициентами перемножаются как многочлены. По формуле сдвига

L(D)\bigl(x^je^{\lambda x}\bigr) = e^{\lambda x}M(D)D^kx^j = 0\quad\text{при } j < k.

Итак, все $n$ функций — решения. По лемме о квазимногочленах они линейно независимы, а $n$ независимых решений образуют ФСР. $\blacksquare$

Представление решения через функцию Коши

Формулировка

Пусть $K(x, s)$ — функция Коши уравнения $L[y] = 0$ . Тогда функция

y(x) = \int_{x_0}^xK(x, s)f(s)\,ds

— решение уравнения $L[y] = f$ с нулевыми начальными условиями $y(x_0) = \dots = y^{(n-1)}(x_0) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Воспользуемся правилом дифференцирования интеграла, зависящего от параметра и с переменным верхним пределом:

\frac{d}{dx}\int_{x_0}^xg(x, s)\,ds = g(x, x) + \int_{x_0}^xg_x(x, s)\,ds.

Применяя его последовательно и учитывая, что по определению $K^{(j)}_x(x, x) = 0$ при $j\le n-2$ , получаем при $j\le n-1$

y^{(j)}(x) = \int_{x_0}^xK^{(j)}_x(x, s)f(s)\,ds,

и все $y^{(j)}(x_0) = 0$ . На последнем шаге $K^{(n-1)}_x(x, x) = 1$ , так что

y^{(n)}(x) = f(x) + \int_{x_0}^xK^{(n)}_x(x, s)f(s)\,ds.

Следовательно, $L[y] = f(x) + \int_{x_0}^xL_x[K(x, s)]f(s)\,ds = f(x)$ . $\blacksquare$

Теорема о свёртке (теорема Бореля)

Формулировка

Если $f\risingdotseq F$ , $g\risingdotseq G$ , то

(f*g)(t)\risingdotseq F(p)G(p).

Доказательство

Развернуть

При $\operatorname{Re}p$ , большем показателей роста $f$ и $g$ , двойной интеграл сходится абсолютно, и можно менять порядок интегрирования:

\int_0^\infty e^{-pt}\int_0^tf(\tau)g(t - \tau)\,d\tau\,dt = \int_0^\infty f(\tau)\int_\tau^\infty g(t - \tau)e^{-pt}\,dt\,d\tau.

Во внутреннем интеграле замена $s = t - \tau$ даёт $e^{-p\tau}G(p)$ , и результат равен $G(p)\int_0^\infty f(\tau)e^{-p\tau}\,d\tau = F(p)G(p)$ . $\blacksquare$

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

$\dfrac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}$ , и $e^{tA}$ — фундаментальная матрица системы $x' = Ax$ , нормированная при $t = 0$ . Решение задачи Коши: $x(t) = e^{(t - t_0)A}x^0$ .
$e^{(t + s)A} = e^{tA}e^{sA}$ , $\bigl(e^{tA}\bigr)^{-1} = e^{-tA}$ .
Если $AB = BA$ , то $e^{A + B} = e^Ae^B$ .
$e^{tTJT^{-1}} = Te^{tJ}T^{-1}$ для любой невырожденной $T$ .

Доказательство

Развернуть

Ряд $\sum t^kA^k/k!$ и ряд из производных $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)!$ сходятся равномерно на любом отрезке $|t|\le T$ (мажоранта $\sum T^k\|A\|^k/k!$ ). Поэтому ряд можно дифференцировать почленно: $(e^{tA})' = Ae^{tA}$ . Каждый столбец — решение, $e^{0A} = E$ .
Обе части как функции $t$ удовлетворяют уравнению $X' = AX$ и при $t = 0$ равны $e^{sA}$ . По единственности решения задачи Коши (применённой к каждому столбцу) они совпадают. При $s = -t$ получаем обратную матрицу.
Если $B$ коммутирует с $A$ , то она коммутирует со всеми степенями $A$ , а значит, с $e^{tA}$ . Тогда

\bigl(e^{tA}e^{tB}\bigr)' = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)e^{tA}e^{tB},

и $e^{tA}e^{tB}$ , $e^{t(A + B)}$ решают одну задачу Коши с начальным значением $E$ . При $t = 1$ получаем утверждение.

$(TJT^{-1})^k = TJ^kT^{-1}$ ; подставляем в ряд. $\blacksquare$

Линейность, подобие, смещение и запаздывание

Формулировка

Пусть $f\risingdotseq F$ , $g\risingdotseq G$ . Тогда:

(линейность) $\alpha f + \beta g\risingdotseq\alpha F + \beta G$ ;
(подобие) $f(at)\risingdotseq\frac1aF\left(\frac pa\right)$ , $a > 0$ ;
(смещение) $e^{\lambda t}f(t)\risingdotseq F(p - \lambda)$ ;
(запаздывание) $\eta(t - \tau)f(t - \tau)\risingdotseq e^{-p\tau}F(p)$ , $\tau > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность интеграла.
Замена $s = at$ : $\int_0^\infty f(at)e^{-pt}\,dt = \frac1a\int_0^\infty f(s)e^{-(p/a)s}\,ds$ .
$\int_0^\infty e^{\lambda t}f(t)e^{-pt}\,dt = \int_0^\infty f(t)e^{-(p - \lambda)t}\,dt$ .
Подынтегральная функция равна нулю при $t < \tau$ ; замена $s = t - \tau$ даёт $\int_0^\infty f(s)e^{-p(s + \tau)}\,ds = e^{-p\tau}F(p)$ . $\blacksquare$

Операционное исчисление и решение ОДУ

Вторая теорема разложения

Формулировка

Доказательство

Первая теорема разложения

Формулировка

Доказательство

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Доказательство

Формула Дюамеля и импульсная характеристика

Формулировка

Доказательство

Операционный метод для линейных систем

Формулировка

Доказательство

Задача Коши для y'' + y = 1

Условие

Решение

Простые полюсы и вторая теорема разложения

Условие

Решение

Резонанс операционным методом

Условие

Решение

Система уравнений операционным методом

Условие

Решение

Правая часть с запаздыванием

Условие

Решение

Оригинал по первой теореме разложения

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Операционный метод решения задачи Коши

Преобразование Лапласа. Изображение

Вычет функции в изолированной особой точке

Бесконечность как особая точка

Функция-оригинал

Свёртка оригиналов

Изображения основных функций

Формулировка

Доказательство

Теорема обращения. Формула Римана–Меллина

Формулировка

Доказательство

Формулы для вычисления вычетов в полюсах

Формулировка

Доказательство

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Доказательство

Дифференцирование оригинала и изображения

Формулировка

Доказательство

ФСР уравнения с постоянными коэффициентами

Формулировка

Доказательство

Представление решения через функцию Коши

Формулировка

Доказательство

Теорема о свёртке (теорема Бореля)

Формулировка

Доказательство

Свойства матричной экспоненты

Формулировка

Доказательство

Линейность, подобие, смещение и запаздывание

Формулировка

Доказательство