Принцип максимума модуля. Сохранение области. Теорема Гурвица

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Принцип сохранения области
Принцип максимума модуля
Принцип минимума модуля и принцип максимума для вещественной части
Критерий локальной однолистности
Теорема Гурвица и её следствия

теорема

Принцип сохранения области

Формулировка

Если $f$ голоморфна и не постоянна в области $D$ , то $f(D)$ — область. Более точно: если $f(a) = w_0$ и $a$ — нуль порядка $m$ функции $f - w_0$ , то существуют $r > 0$ и $\delta > 0$ такие, что при $|w - w_0| < \delta$ уравнение $f(z) = w$ имеет в круге $|z - a| < r$ ровно $m$ корней с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули $f - w_0$ изолированы, поэтому есть круг $|z - a|\le r$ , лежащий в $D$ , в котором $a$ — единственный нуль $f - w_0$ . Пусть $\delta = \min_{|z - a| = r}|f(z) - w_0| > 0$ . При $|w - w_0| < \delta$ запишем $f - w = (f - w_0) + (w_0 - w)$ ; на окружности $|w_0 - w| < \delta\le|f - w_0|$ . По теореме Руше $f - w$ имеет в круге столько же нулей, сколько $f - w_0$ , то есть $m\ge 1$ .

Значит, круг $|w - w_0| < \delta$ лежит в $f(D)$ , и $f(D)$ открыто. Связность: образ связного множества при непрерывном отображении связен (образ ломаной — путь). $\blacksquare$

теорема

Принцип максимума модуля

Формулировка

Если $f$ голоморфна и не постоянна в области $D$ , то $|f|$ не имеет в $D$ локальных максимумов.
Если, кроме того, $D$ ограничена и $f$ непрерывна в $\overline D$ , то

\max_{\overline D}|f| = \max_{\partial D}|f|,

и в точках $D$ значение $|f|$ строго меньше этого максимума.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|f|$ имеет локальный максимум в $a\in D$ . По принципу сохранения области образ любой окрестности $a$ содержит круг с центром $f(a)$ , а в нём есть точки с модулем больше $|f(a)|$ . Противоречие.
Непрерывная функция $|f|$ достигает максимума на компакте $\overline D$ . По п. 1 точка максимума не может лежать в $D$ , значит, она на $\partial D$ . $\blacksquare$

следствие

Принцип минимума модуля и принцип максимума для вещественной части

Формулировка

Если $f$ голоморфна, не постоянна и не обращается в нуль в области $D$ , то $|f|$ не имеет в $D$ локальных минимумов.
Вещественная часть непостоянной голоморфной функции (то есть гармоническая функция) не имеет в области ни локальных максимумов, ни локальных минимумов.

Доказательство

Развернуть

Применяем принцип максимума модуля к голоморфной функции $1/f$ .
По принципу сохранения области образ окрестности точки $a$ содержит круг с центром $f(a)$ , а в нём есть точки с большей и с меньшей вещественной частью. $\blacksquare$

теорема

Критерий локальной однолистности

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в точке $a$ , локально однолистна в $a$ тогда и только тогда, когда $f'(a)\ne 0$ . Если $f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0$ , $f^{(m)}(a)\ne 0$ ( $m\ge 2$ ), то в окрестности $a$ отображение $f$ является $m$ -листным: каждое значение $w\ne f(a)$ , близкое к $f(a)$ , принимается ровно в $m$ различных точках.

Если $f$ однолистна в области $D$ , то $f'\ne 0$ в $D$ , а обратная функция $f^{-1}$ голоморфна в $f(D)$ .

Доказательство

Развернуть

Порядок нуля $f - f(a)$ в точке $a$ равен $m$ — номеру первой ненулевой производной. По принципу сохранения области при $w$ , близких к $f(a)$ , уравнение $f(z) = w$ имеет $m$ корней с учётом кратности в малой окрестности $a$ . При $w\ne f(a)$ все они простые: $f'$ не имеет нулей в проколотой окрестности $a$ (нули $f'$ изолированы). Значит, при $m = 1$ функция локально однолистна, а при $m\ge 2$ каждое близкое значение принимается в $m$ различных точках.

Если $f$ однолистна в $D$ , то по доказанному $f'\ne 0$ . Обратная функция непрерывна (так как $f$ открыто по принципу сохранения области), и по теореме о производной обратной функции голоморфна. $\blacksquare$

теорема

Теорема Гурвица и её следствия

Формулировка

Пусть функции $f_n$ голоморфны в области $D$ и сходятся к $f$ равномерно внутри $D$ , причём $f\not\equiv 0$ . Тогда:

если круг $\overline K\subset D$ и $f\ne 0$ на $\partial K$ , то при всех достаточно больших $n$ функции $f_n$ и $f$ имеют в $K$ одинаковое число нулей;
если все $f_n$ не имеют нулей в $D$ , то и $f$ не имеет нулей в $D$ ;
если все $f_n$ однолистны в $D$ , а $f$ не постоянна, то $f$ однолистна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Вейерштрасса $f_n'\to f'$ равномерно на $\partial K$ . Так как $|f|\ge\delta > 0$ на $\partial K$ , при больших $n$ имеем $|f_n|\ge\delta/2$ там, и $\frac{f_n'}{f_n}\rightrightarrows\frac{f'}f$ на $\partial K$ . Логарифмические вычеты — целые числа, сходящиеся к логарифмическому вычету $f$ , — при больших $n$ совпадают с ним. По теореме о логарифмическом вычете совпадают и числа нулей.
Если $f(a) = 0$ , возьмём круг $K$ с центром $a$ , на границе которого $f\ne 0$ (нули изолированы). По п. 1 при больших $n$ функция $f_n$ имеет в $K$ хотя бы один нуль — противоречие.
Пусть $f(z_1) = f(z_2) = w$ , $z_1\ne z_2$ . Функции $f_n - f_n(z_2)$ в $D\setminus\{z_2\}$ не имеют нулей (однолистность) и сходятся к $f - w$ , которая не тождественный нуль. По п. 2 (в области $D\setminus\{z_2\}$ ) $f - w$ не имеет там нулей, но $f(z_1) = w$ — противоречие. $\blacksquare$

Максимум модуля на круге

Условие

Найти максимум и минимум $|e^z|$ и максимум $|z^2 + 1|$ на замкнутом круге $|z|\le 1$ .

Решение

Развернуть

$|e^z| = e^x$ . По принципам максимума и минимума экстремумы достигаются на окружности: $\max = e$ при $z = 1$ , $\min = e^{-1}$ при $z = -1$ ( $e^z\ne 0$ ).

$|z^2 + 1|\le|z|^2 + 1 = 2$ , равенство при $z = \pm1$ . Максимум равен $2$ . Минимум $|z^2 + 1|$ равен $0$ и достигается в точках $\pm i$ , лежащих на окружности. Принцип минимума к этой функции неприменим, так как она имеет нули в замкнутом круге.

Функция с постоянным модулем на окружности

Условие

Функция $f$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , непрерывна в $|z|\le 1$ , $|f| = 1$ на окружности $|z| = 1$ и не имеет нулей в круге. Доказать, что $f$ постоянна.

Решение

Развернуть

По принципу максимума $|f|\le 1$ в круге. Функция $1/f$ голоморфна в круге, непрерывна в замыкании и по модулю равна $1$ на окружности, поэтому $|1/f|\le 1$ , то есть $|f|\ge 1$ . Значит, $|f|\equiv 1$ в круге, максимум модуля достигается во внутренней точке, и по принципу максимума $f$ постоянна.

Без условия отсутствия нулей утверждение неверно: $f = z$ .

Точки, где нарушается локальная однолистность

Условие

В каких точках функция $f = z^3 - 3z$ не является локально однолистной? Какова её «листность» вблизи этих точек?

Решение

Развернуть

$f' = 3z^2 - 3 = 0$ при $z = \pm1$ . $f''(\pm1) = \pm6\ne 0$ , поэтому вблизи $z = \pm1$ отображение двулистно: каждое близкое к $f(\pm1) = \mp2$ значение принимается в двух точках. Во всех остальных точках $f$ локально однолистна.

Нули предела последовательности функций

Условие

Многочлены $f_n(z) = \left(1 + \frac zn\right)^n$ сходятся к $e^z$ равномерно на компактах. Согласуется ли это с теоремой Гурвица, если у каждого $f_n$ есть нуль?

Решение

Развернуть

Нуль $f_n$ — точка $z = -n$ , уходящая на бесконечность. В любой ограниченной области $D$ при $n > \sup_D|z|$ функции $f_n$ нулей не имеют, и по теореме Гурвица предел $e^z$ нулей в $D$ не имеет. Противоречия нет.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Однолистная и локально однолистная функция

Функция $f$ , голоморфная в области $D$ , называется однолистной в $D$ , если она взаимно однозначна на $D$ : $f(z_1)\ne f(z_2)$ при $z_1\ne z_2$ .

$f$ называется локально однолистной в точке $a$ , если она однолистна в некоторой окрестности $a$ . В этом случае у неё есть (локальная) обратная функция в окрестности $f(a)$ .

Область. Граница. Односвязность

Множество $D\subset\mathbb C$ называется областью, если оно открыто и связно (любые две его точки соединяются ломаной, лежащей в $D$ ).

Граница $\partial D$ — множество точек, в любой окрестности которых есть точки как из $D$ , так и не из $D$ . Множество $\overline D = D\cup\partial D$ называется замкнутой областью.

Область $D\subset\mathbb C$ называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в $D$ , её внутренность также лежит в $D$ . Например, круг и полуплоскость односвязны, а кольцо $1 < |z| < 2$ и проколотый круг — нет.

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Нуль голоморфной функции и его порядок

Точка $a$ называется нулём голоморфной функции $f$ , если $f(a) = 0$ . Нуль имеет порядок (кратность) $m$ , если

f(a) = f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0,\qquad f^{(m)}(a)\ne 0.

Нуль порядка $1$ называется простым.

Говорят, что $f$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\infty$ , если функция $f(1/\zeta)$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\zeta = 0$ .

Последовательности и ряды комплексных чисел и функций

Последовательность $z_n$ сходится к $z$ , если $|z_n - z|\to 0$ ; это равносильно сходимости $\operatorname{Re}z_n\to\operatorname{Re}z$ и $\operatorname{Im}z_n\to\operatorname{Im}z$ .

Ряд $\sum_{n=0}^\infty w_n$ сходится, если сходится последовательность частичных сумм $S_N = \sum_{n\le N}w_n$ ; сумма ряда — предел $S_N$ . Ряд сходится абсолютно, если сходится $\sum|w_n|$ .

Функциональный ряд $\sum f_n(z)$ сходится равномерно на множестве $E$ , если $\sup_{z\in E}\left|\sum_{n>N}f_n(z)\right|\to 0$ при $N\to\infty$ . Ряд сходится равномерно внутри области $D$ , если он сходится равномерно на каждом компакте $K\subset D$ .

Теорема Руше

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, функции $f$ и $g$ голоморфны в окрестности $\overline D$ , и на $\partial D$ выполнено неравенство

|g(z)| < |f(z)|.

Тогда $f$ и $f + g$ имеют в $D$ одинаковое число нулей (с учётом кратности).

Доказательство

Развернуть

На $\partial D$ имеем $|f| > |g|\ge 0$ и $|f + g|\ge|f| - |g| > 0$ , так что ни $f$ , ни $f + g$ не обращаются в нуль на границе. На границе

f + g = f\cdot\left(1 + \frac gf\right),\qquad\left|\frac gf\right| < 1.

Значения $1 + g/f$ лежат в правой полуплоскости, поэтому приращение их аргумента вдоль каждой замкнутой компоненты границы равно нулю. Значит, $\Delta_{\partial D}\arg(f + g) = \Delta_{\partial D}\arg f$ , и по принципу аргумента (у голоморфных функций нет полюсов) числа нулей совпадают. $\blacksquare$

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в области $D$ и не равна тождественно нулю. Тогда каждый её нуль $a$ имеет конечный порядок $m$ , $f(z) = (z - a)^mg(z)$ с голоморфной $g$ , $g(a)\ne 0$ , и у нуля есть проколотая окрестность, в которой $f\ne 0$ (нули изолированы).

Доказательство

Развернуть

Пусть $E$ — множество точек $D$ , в которых все производные $f$ (включая $f$ ) равны нулю. Оно замкнуто в $D$ (по непрерывности производных). Оно открыто: если $z_0\in E$ , то ряд Тейлора в круге с центром $z_0$ нулевой, и $f\equiv 0$ в этом круге. Так как $D$ связна и $f\not\equiv 0$ , множество $E$ пусто.

Значит, в нуле $a$ некоторая производная не равна нулю, и порядок $m$ конечен. В круге с центром $a$

f(z) = \sum_{n\ge m}c_n(z - a)^n = (z - a)^m\sum_{k\ge 0}c_{m+k}(z - a)^k = (z - a)^mg(z),

где $g$ голоморфна как сумма степенного ряда и $g(a) = c_m\ne 0$ . Вне круга $g(z) = f(z)/(z - a)^m$ . По непрерывности $g\ne 0$ вблизи $a$ , поэтому и $f\ne 0$ в проколотой окрестности. $\blacksquare$

Принцип соответствия границ

Формулировка

Пусть $D$ и $G$ — жордановы области, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ и взаимно однозначно отображает $\partial D$ на $\partial G$ с сохранением ориентации. Тогда $f$ конформно отображает $D$ на $G$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $w_0\notin\partial G$ . Число корней уравнения $f(z) = w_0$ в $D$ по принципу аргумента равно $\frac1{2\pi}\Delta_{\partial D}\arg(f(z) - w_0)$ , то есть индексу кривой $f(\partial D) = \partial G$ (проходимой один раз в положительном направлении) относительно $w_0$ . Этот индекс равен $1$ при $w_0\in G$ и $0$ при $w_0$ вне $\overline G$ .

Значит, каждое значение из $G$ принимается в $D$ ровно один раз, а значения вне $\overline G$ не принимаются. Значения на $\partial G$ в $D$ тоже не принимаются: иначе по принципу сохранения области образ окрестности такой точки содержал бы точки вне $\overline G$ . Итак, $f$ — взаимно однозначное отображение $D$ на $G$ . $\blacksquare$

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение

Формулировка

Если функция $f$ голоморфна и однолистна в области $D$ , то $G = f(D)$ — область, $f$ конформно отображает $D$ на $G$ , обратное отображение голоморфно, и в каждой точке $D$ отображение конформно (сохраняет углы и имеет постоянное растяжение).

Доказательство

Развернуть

$G$ — область по принципу сохранения области. По критерию локальной однолистности $f'\ne 0$ в $D$ , а обратная функция голоморфна. По критерию конформности в точке ( $f'(z)\ne 0$ ) отображение конформно в каждой точке. $\blacksquare$

Лемма Шварца

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , $|f(z)| < 1$ и $f(0) = 0$ . Тогда

|f(z)|\le|z|\quad(|z| < 1),\qquad|f'(0)|\le 1.

Если хотя бы в одной точке $z_0\ne 0$ выполнено $|f(z_0)| = |z_0|$ или $|f'(0)| = 1$ , то $f(z) = e^{i\theta}z$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $g(z) = f(z)/z$ имеет в нуле устранимую особенность ( $f(0) = 0$ ), и $g(0) = f'(0)$ . При $|z| = r < 1$ имеем $|g(z)|\le\frac1r$ , и по принципу максимума $|g|\le\frac1r$ в круге $|z|\le r$ . Устремляя $r\to 1$ , получаем $|g|\le 1$ , то есть $|f(z)|\le|z|$ и $|f'(0)|\le 1$ .

Если $|g(z_0)| = 1$ во внутренней точке, то $|g|$ достигает максимума внутри, и по принципу максимума $g\equiv e^{i\theta}$ . $\blacksquare$

Свойства комплексной производной

Формулировка

Если $f$ и $g$ дифференцируемы в $z_0$ , то $f\pm g$ , $fg$ и (при $g(z_0)\ne 0$ ) $f/g$ дифференцируемы в $z_0$ , и производные вычисляются по обычным формулам.
Если $f$ дифференцируема в $z_0$ , а $g$ — в точке $w_0 = f(z_0)$ , то $(g\circ f)'(z_0) = g'(w_0)f'(z_0)$ .
Если $f$ непрерывна и взаимно однозначна в окрестности $z_0$ , дифференцируема в $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$ , то обратная функция дифференцируема в $w_0 = f(z_0)$ и $(f^{-1})'(w_0) = 1/f'(z_0)$ .

В частности, многочлены — целые функции, $(z^n)' = nz^{n-1}$ , а рациональные функции голоморфны вне нулей знаменателя.

Доказательство

Развернуть

Доказательства дословно повторяют вещественный случай, так как используют лишь арифметику пределов разностных отношений. Например, для произведения

\frac{f(z_0 + h)g(z_0 + h) - f(z_0)g(z_0)}{h} = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}hg(z_0 + h) + f(z_0)\frac{g(z_0 + h) - g(z_0)}h,

и $g$ непрерывна в $z_0$ как дифференцируемая функция.

Для обратной функции: если $w = f(z)$ , $w\to w_0$ , то по непрерывности обратной функции (взаимно однозначное непрерывное отображение открытого множества плоскости имеет непрерывное обратное) $z\to z_0$ , и

\frac{f^{-1}(w) - f^{-1}(w_0)}{w - w_0} = \frac{z - z_0}{f(z) - f(z_0)}\to\frac1{f'(z_0)}.\qquad\blacksquare

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ мероморфна в окрестности $\overline D$ и не имеет нулей и полюсов на $\partial D$ . Тогда

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N - P,

где $N$ и $P$ — числа нулей и полюсов $f$ в $D$ , считаемых с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули и полюсы изолированы, поэтому в $\overline D$ их конечное число. Особые точки $f'/f$ в $D$ — только нули и полюсы $f$ .

Если $a$ — нуль порядка $m$ , то $f = (z - a)^mg$ , $g(a)\ne 0$ , и

\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g,

где $g'/g$ голоморфна вблизи $a$ . Поэтому $\operatorname*{res}_af'/f = m$ .

Если $a$ — полюс порядка $p$ , то $f = (z - a)^{-p}h$ , $h(a)\ne 0$ , и аналогично $\operatorname*{res}_af'/f = -p$ .

По теореме Коши о вычетах интеграл равен $2\pi i(N - P)$ . $\blacksquare$

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Если ряд $\sum f_n(z)$ из голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно внутри $D$ , то его сумма $f$ голоморфна в $D$ , и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз: $\sum f_n^{(k)}$ сходится к $f^{(k)}$ равномерно внутри $D$ .

Доказательство

Развернуть

Сумма непрерывна. Для любого замкнутого треугольника $\Delta$ , лежащего в $D$ вместе с внутренностью, по лемме Гурса $\oint_{\partial\Delta}f_n = 0$ ; так как на компакте $\partial\Delta$ ряд сходится равномерно, почленное интегрирование даёт $\oint_{\partial\Delta}f = 0$ . По теореме Мореры $f$ голоморфна.

Пусть замкнутый круг $|z - z_0|\le 2r$ лежит в $D$ . При $|z - z_0|\le r$ по формуле Коши для производных

f^{(k)}(z) - \sum_{n\le N}f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\oint_{|\zeta - z_0| = 2r}\frac{f(\zeta) - S_N(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,d\zeta,

где $S_N = \sum_{n\le N}f_n$ , и модуль не превосходит $\frac{k!\cdot 2r}{r^{k+1}}\max_{|\zeta - z_0| = 2r}|f - S_N|\to 0$ . Компакт покрывается конечным числом таких кругов. $\blacksquare$

Принцип максимума модуля. Сохранение области. Теорема Гурвица

Принцип сохранения области

Формулировка

Доказательство

Принцип максимума модуля

Формулировка

Доказательство

Принцип минимума модуля и принцип максимума для вещественной части

Формулировка

Доказательство

Критерий локальной однолистности

Формулировка

Доказательство

Теорема Гурвица и её следствия

Формулировка

Доказательство

Максимум модуля на круге

Условие

Решение

Функция с постоянным модулем на окружности

Условие

Решение

Точки, где нарушается локальная однолистность

Условие

Решение

Нули предела последовательности функций

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Однолистная и локально однолистная функция

Область. Граница. Односвязность

Голоморфная функция

Нуль голоморфной функции и его порядок

Последовательности и ряды комплексных чисел и функций

Теорема Руше

Формулировка

Доказательство

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Доказательство

Принцип соответствия границ

Формулировка

Доказательство

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение

Формулировка

Доказательство

Лемма Шварца

Формулировка

Доказательство

Свойства комплексной производной

Формулировка

Доказательство

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Доказательство

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Доказательство