Ряды Лорана

Прогресс изучения0 из 3

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы3

Область сходимости ряда Лорана
Разложение голоморфной функции в ряд Лорана
Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

теорема

Область сходимости ряда Лорана

Формулировка

Пусть $R$ — радиус сходимости правильной части, а $r = \overline{\lim}\sqrt[n]{|c_{-n}|}$ . Если $r < R$ , то ряд Лорана сходится абсолютно в кольце $r < |z - a| < R$ , равномерно на каждом компакте внутри кольца, а его сумма голоморфна в кольце. Вне замыкания кольца ряд расходится.

Доказательство

Развернуть

Правильная часть — степенной ряд, сходящийся при $|z - a| < R$ и расходящийся при $|z - a| > R$ . Главная часть — степенной ряд $\sum c_{-n}\zeta^n$ относительно $\zeta = \frac1{z - a}$ . По формуле Коши–Адамара он сходится при $|\zeta| < 1/r$ , то есть при $|z - a| > r$ , и расходится при $|z - a| < r$ .

Равномерная сходимость на компактах кольца следует из теоремы Абеля для обеих частей. Члены ряда голоморфны в кольце, поэтому по теореме Вейерштрасса сумма голоморфна. $\blacksquare$

теорема

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в кольце $V = \{r < |z - a| < R\}$ , представляется в нём сходящимся рядом Лорана

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad r < \rho < R.

Разложение единственно: если ряд Лорана сходится к $f$ в $V$ , то его коэффициенты даются этими формулами.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r < \rho_1 < |z - a| < \rho_2 < R$ . По формуле Коши для кольца $\rho_1 < |\zeta - a| < \rho_2$ :

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_2}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z} - \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_1}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z}.

В первом интеграле, как в доказательстве теоремы Тейлора, $\frac1{\zeta - z} = \sum_{n\ge 0}\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}$ . Во втором $|\zeta - a| < |z - a|$ , и

-\frac1{\zeta - z} = \frac1{(z - a)\left(1 - \frac{\zeta - a}{z - a}\right)} = \sum_{n\ge 1}\frac{(\zeta - a)^{n-1}}{(z - a)^n}.

Оба ряда сходятся равномерно по $\zeta$ на соответствующих окружностях; почленное интегрирование даёт правильную и главную части с указанными коэффициентами. По теореме Коши для кольца интегралы $\oint\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}$ не зависят от $\rho$ .

Единственность: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ в $V$ , умножим равенство на $(z - a)^{-k-1}$ и проинтегрируем по окружности $|z - a| = \rho$ . Ряд сходится равномерно на окружности, а по основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = k$ , равный $2\pi ic_k$ . $\blacksquare$

следствие

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Формулировка

Если $f$ голоморфна в кольце $r < |z - a| < R$ и $M(\rho) = \max_{|z - a| = \rho}|f(z)|$ , то при всех целых $n$ и $r < \rho < R$

|c_n|\le\frac{M(\rho)}{\rho^n}.

Доказательство

Развернуть

По формуле для коэффициентов и оценке интеграла

|c_n|\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{M(\rho)}{\rho^{n+1}}\cdot 2\pi\rho = \frac{M(\rho)}{\rho^n}.\qquad\blacksquare

Разложения одной функции в разных кольцах

Условие

Разложить функцию $f(z) = \dfrac1{(z - 1)(z - 2)}$ в ряд Лорана по степеням $z$ в областях а) $|z| < 1$ ; б) $1 < |z| < 2$ ; в) $|z| > 2$ .

Решение

Развернуть

$f = \frac1{z - 2} - \frac1{z - 1}$ .

а) $f = \sum_{n\ge 0}\left(1 - \frac1{2^{n+1}}\right)z^n$ (ряд Тейлора).

б) $\frac1{z - 2} = -\frac12\cdot\frac1{1 - z/2} = -\sum_{n\ge 0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ ; $-\frac1{z - 1} = -\frac1z\cdot\frac1{1 - 1/z} = -\sum_{n\ge 1}\frac1{z^n}$ . Итого

f = -\sum_{n\ge 1}\frac1{z^n} - \sum_{n\ge 0}\frac{z^n}{2^{n+1}}.

в) $\frac1{z - 2} = \sum_{n\ge 1}\frac{2^{n-1}}{z^n}$ , $-\frac1{z - 1} = -\sum_{n\ge 1}\frac1{z^n}$ . Итого

f = \sum_{n\ge 2}\frac{2^{n-1} - 1}{z^n}.

Ряды Лорана с бесконечной главной частью

Условие

Разложить в ряд Лорана в кольце $0 < |z| < \infty$ функции $e^{1/z}$ и $z^2\sin\dfrac1z$ .

Решение

Развернуть

Подставляем $\frac1z$ в ряды Тейлора экспоненты и синуса:

e^{1/z} = \sum_{n\ge 0}\frac1{n!z^n},\qquad z^2\sin\frac1z = \sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^kz^{1 - 2k}}{(2k + 1)!} = z - \frac1{6z} + \frac1{120z^3} - \dots

По единственности разложения это и есть ряды Лорана.

Разложение в окрестности особой точки

Условие

Разложить $f(z) = \dfrac1{z(z - 1)}$ в ряд Лорана в кольце $0 < |z - 1| < 1$ .

Решение

Развернуть

$\frac1z = \frac1{1 + (z - 1)} = \sum_{n\ge 0}(-1)^n(z - 1)^n$ при $|z - 1| < 1$ . Тогда

f = \frac1{z - 1}\sum_{n\ge 0}(-1)^n(z - 1)^n = \frac1{z - 1} - 1 + (z - 1) - (z - 1)^2 + \dots

Коэффициенты ряда Лорана через интеграл

Условие

Пусть $f$ голоморфна в кольце $0 < |z| < 1$ и $|f(z)|\le\dfrac{C}{|z|^{1/2}}$ . Доказать, что все коэффициенты $c_n$ с $n < 0$ равны нулю.

Решение

Развернуть

По неравенствам Коши $|c_n|\le\frac{C\rho^{-1/2}}{\rho^n} = C\rho^{-n - 1/2}$ . При $n\le -1$ показатель $-n - \frac12\ge\frac12 > 0$ , и при $\rho\to 0$ правая часть стремится к нулю. Значит, $c_n = 0$ при $n < 0$ , то есть главная часть отсутствует (особая точка $0$ устранима).

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Ряд Лорана

Рядом Лорана с центром $a$ называется ряд

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n = \sum_{n=1}^\infty\frac{c_{-n}}{(z - a)^n} + \sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n.

Первая сумма называется главной частью, вторая — правильной частью. Ряд Лорана сходится в точке, если сходятся обе части; его сумма — сумма сумм частей.

Степенной ряд. Радиус и круг сходимости

Степенным рядом с центром $a$ называется ряд

\sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n.

Радиусом сходимости называется число $R\in[0, +\infty]$ , такое что ряд сходится при $|z - a| < R$ и расходится при $|z - a| > R$ . Круг $|z - a| < R$ называется кругом сходимости.

Ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$ — степенной ряд $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n$ .

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда

Формулировка

Если степенной ряд $\sum c_n(z - a)^n$ сходится в точке $z_0$ , то он сходится абсолютно в круге $|z - a| < |z_0 - a|$ и равномерно в любом меньшем замкнутом круге.
Следовательно, существует радиус сходимости $R$ : множество сходимости состоит из круга $|z - a| < R$ и, возможно, некоторых точек окружности $|z - a| = R$ . Внутри круга сходимости ряд сходится абсолютно и равномерно на компактах.

Доказательство

Развернуть

Из сходимости ряда в $z_0$ члены $c_n(z_0 - a)^n\to 0$ и ограничены: $|c_n||z_0 - a|^n\le M$ . Пусть $|z - a|\le\rho < |z_0 - a|$ , $q = \frac\rho{|z_0 - a|} < 1$ . Тогда

|c_n(z - a)^n|\le Mq^n,

и по признаку Вейерштрасса ряд сходится абсолютно и равномерно в круге $|z - a|\le\rho$ .

Положим $R = \sup\{|z - a|:\ \text{ряд сходится в } z\}$ . По п. 1 ряд сходится абсолютно при $|z - a| < R$ . При $|z - a| > R$ он расходится по определению $R$ . Каждый компакт внутри круга лежит в замкнутом круге радиуса $\rho < R$ . $\blacksquare$

Формула Коши–Адамара

Формулировка

Радиус сходимости степенного ряда $\sum c_n(z - a)^n$ равен

R = \frac1{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}}

(с соглашениями $1/0 = \infty$ , $1/\infty = 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Пусть $\ell = \overline{\lim}\sqrt[n]{|c_n|}$ и $|z - a| = \rho$ . По радикальному признаку Коши ряд $\sum|c_n|\rho^n$ сходится, если $\overline{\lim}\sqrt[n]{|c_n|\rho^n} = \ell\rho < 1$ . Если же $\ell\rho > 1$ , то $|c_n|\rho^n > 1$ для бесконечного числа $n$ , члены не стремятся к нулю, и ряд расходится. Значит, ряд сходится при $\rho < 1/\ell$ и расходится при $\rho > 1/\ell$ , то есть $R = 1/\ell$ . $\blacksquare$

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Если ряд $\sum f_n(z)$ из голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно внутри $D$ , то его сумма $f$ голоморфна в $D$ , и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз: $\sum f_n^{(k)}$ сходится к $f^{(k)}$ равномерно внутри $D$ .

Доказательство

Развернуть

Сумма непрерывна. Для любого замкнутого треугольника $\Delta$ , лежащего в $D$ вместе с внутренностью, по лемме Гурса $\oint_{\partial\Delta}f_n = 0$ ; так как на компакте $\partial\Delta$ ряд сходится равномерно, почленное интегрирование даёт $\oint_{\partial\Delta}f = 0$ . По теореме Мореры $f$ голоморфна.

Пусть замкнутый круг $|z - z_0|\le 2r$ лежит в $D$ . При $|z - z_0|\le r$ по формуле Коши для производных

f^{(k)}(z) - \sum_{n\le N}f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\oint_{|\zeta - z_0| = 2r}\frac{f(\zeta) - S_N(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,d\zeta,

где $S_N = \sum_{n\le N}f_n$ , и модуль не превосходит $\frac{k!\cdot 2r}{r^{k+1}}\max_{|\zeta - z_0| = 2r}|f - S_N|\to 0$ . Компакт покрывается конечным числом таких кругов. $\blacksquare$

Интегральная формула Коши

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ . Тогда для любой точки $z\in D$

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta,

а для $z\notin\overline D$ этот интеграл равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $z\in D$ . Выкинем из $D$ круг $|\zeta - z|\le r$ , лежащий в $D$ . В оставшейся допустимой области функция $\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области

\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta.

Правая часть равна

f(z)\oint_{|\zeta - z| = r}\frac{d\zeta}{\zeta - z} + \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z}\,d\zeta = 2\pi if(z) + I_r,

где $|I_r|\le\max_{|\zeta - z| = r}|f(\zeta) - f(z)|\cdot\frac1r\cdot 2\pi r\to 0$ при $r\to 0$ . Левая часть от $r$ не зависит, поэтому $I_r = 0$ , и формула доказана.

При $z\notin\overline D$ подынтегральная функция голоморфна в окрестности $\overline D$ , и интеграл равен нулю по теореме Коши. $\blacksquare$

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса

Формулировка

(Критерий Коши.) Ряд $\sum w_n$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ , такое что $\left|\sum_{k=n}^mw_k\right| < \varepsilon$ при $m\ge n > N$ . Абсолютно сходящийся ряд сходится.
(Признак Вейерштрасса.) Если $|f_n(z)|\le a_n$ на $E$ и $\sum a_n < \infty$ , то ряд $\sum f_n$ сходится абсолютно и равномерно на $E$ .
Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна, и вдоль кусочно-гладкого пути, лежащего в $E$ , ряд можно интегрировать почленно.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb C$ с метрикой $|z - w|$ — полное пространство (это $\mathbb R^2$ ), поэтому сходимость частичных сумм равносильна их фундаментальности. Из $\left|\sum_n^mw_k\right|\le\sum_n^m|w_k|$ следует, что абсолютно сходящийся ряд удовлетворяет критерию Коши.
$\sup_E\left|\sum_{k=n}^mf_k\right|\le\sum_{k=n}^ma_k$ , и равномерный критерий Коши выполнен.
Непрерывность равномерного предела непрерывных функций доказывается так же, как в вещественном анализе. Почленное интегрирование следует из свойства интеграла вдоль пути: равномерная сходимость частичных сумм позволяет переходить к пределу под знаком интеграла. $\blacksquare$

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

$\operatorname*{res}_{z=a}f = c_{-1}$ — коэффициент при $(z - a)^{-1}$ ряда Лорана в проколотой окрестности $a$ .
$\operatorname*{res}_{z=\infty}f = -c_{-1}$ — коэффициент при $z^{-1}$ ряда Лорана в окрестности $\infty$ , взятый с минусом.

В частности, вычет в устранимой особой точке $a\in\mathbb C$ равен нулю, а вычет в устранимой точке $\infty$ может быть ненулевым.

Доказательство

Развернуть

Ряд Лорана сходится равномерно на окружности $|z - a| = \rho$ , и его можно почленно интегрировать. По основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = -1$ : $\oint c_{-1}(z - a)^{-1}\,dz = 2\pi ic_{-1}$ . Для $\infty$ рассуждение то же, с учётом знака в определении.

Пример ненулевого вычета в устранимой точке $\infty$ : $f = \frac1z$ , $\operatorname*{res}_\infty f = -1$ . $\blacksquare$

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — устранимая особая точка;
главная часть ряда Лорана в точке $a$ равна нулю;
$f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $a$ .

При этом, доопределив $f(a) = \lim_{z\to a}f(z)$ , получаем функцию, голоморфную в окрестности $a$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ : функция, имеющая конечный предел, ограничена вблизи $a$ .

$3\Rightarrow 2$ : если $|f|\le M$ , то по неравенствам Коши для ряда Лорана $|c_{-n}|\le M\rho^n\to 0$ при $\rho\to 0$ , $n\ge 1$ .

$2\Rightarrow 1$ : если главная часть равна нулю, то $f(z) = \sum_{n\ge 0}c_n(z - a)^n$ в проколотой окрестности, и правая часть — сумма степенного ряда, голоморфная и в самой точке $a$ . Поэтому $\lim_{z\to a}f(z) = c_0$ , и доопределение $f(a) = c_0$ даёт голоморфную функцию. $\blacksquare$

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Интеграл линеен по $f$ и не зависит от выбора параметризации пути (при возрастающей замене параметра).
$\int_{\gamma^-}f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$ ; если путь $\gamma$ составлен из $\gamma_1$ и $\gamma_2$ , то интегралы складываются.
Оценка:

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le\int_\gamma|f(z)|\,|dz|\le\max_{\gamma^*}|f|\cdot L(\gamma),

где $L(\gamma) = \int_\alpha^\beta|\gamma'(t)|\,dt$ — длина пути. 4. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma^*$ , то $\int_\gamma f_n\,dz\to\int_\gamma f\,dz$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2. Свойства следуют из свойств определённого интеграла от комплекснозначной функции вещественного переменного и формулы замены переменной: при $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , имеем $f(\gamma(\varphi(s)))\gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)\,ds = f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . Для противоположного пути замена убывающая, и знак меняется.

Для интеграла $I = \int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ от комплекснозначной функции возьмём $\theta = \arg I$ . Тогда

|I| = \operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}I\right) = \int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}g\right)dt\le\int_\alpha^\beta|g|\,dt.

При $g = f(\gamma)\gamma'$ получаем первое неравенство, второе очевидно.

Следует из п. 3: $\left|\int(f_n - f)\right|\le\max|f_n - f|\cdot L(\gamma)\to 0$ . $\blacksquare$

Ряды Лорана

Область сходимости ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Доказательство

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Разложения одной функции в разных кольцах

Условие

Решение

Ряды Лорана с бесконечной главной частью

Условие

Решение

Разложение в окрестности особой точки

Условие

Решение

Коэффициенты ряда Лорана через интеграл

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Ряд Лорана

Степенной ряд. Радиус и круг сходимости

Голоморфная функция

Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда

Формулировка

Доказательство

Формула Коши–Адамара

Формулировка

Доказательство

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Доказательство

Интегральная формула Коши

Формулировка

Доказательство

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса

Формулировка

Доказательство

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Доказательство

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Доказательство