Преобразование Лапласа

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Существование и аналитичность изображения
Изображения основных функций
Линейность, подобие, смещение и запаздывание
Дифференцирование оригинала и изображения
Интегрирование оригинала и изображения
Теорема о свёртке (теорема Бореля)
Теорема обращения. Формула Римана–Меллина

теорема

Существование и аналитичность изображения

Формулировка

Если $f$ — оригинал с показателем роста $s_0$ , то интеграл Лапласа сходится абсолютно в полуплоскости $\operatorname{Re}p > s_0$ , а изображение $F(p)$ голоморфно в ней, причём

F'(p) = -\int_0^{+\infty}tf(t)e^{-pt}\,dt.

Кроме того, $F(p)\to 0$ при $\operatorname{Re}p\to+\infty$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $s_0 < s_1 < s$ , $|f(t)|\le Me^{s_1t}$ , и $\operatorname{Re}p\ge s$ . Тогда $|f(t)e^{-pt}|\le Me^{-(s - s_1)t}$ — интегрируемая мажоранта. Поэтому интеграл сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости $\operatorname{Re}p\ge s$ .

Функции $F_N(p) = \int_0^Nf(t)e^{-pt}\,dt$ — целые (их можно дифференцировать под знаком интеграла по $p$ , подынтегральная функция голоморфна по $p$ и непрерывна по совокупности на промежутках непрерывности $f$ ). $F_N\rightrightarrows F$ при $\operatorname{Re}p\ge s$ , поэтому по теореме Вейерштрасса (её доказательство дословно переносится на последовательности) $F$ голоморфна, и $F_N'\to F'$ , что даёт формулу для $F'$ .

Наконец, $|F(p)|\le\int_0^\infty Me^{-(\operatorname{Re}p - s_1)t}\,dt = \frac M{\operatorname{Re}p - s_1}\to 0$ . $\blacksquare$

лемма

Изображения основных функций

Формулировка

\eta(t)\risingdotseq\frac1p,\qquad e^{\lambda t}\risingdotseq\frac1{p - \lambda},\qquad t^n\risingdotseq\frac{n!}{p^{n+1}},\qquad t^ne^{\lambda t}\risingdotseq\frac{n!}{(p - \lambda)^{n+1}},

\sin\omega t\risingdotseq\frac\omega{p^2 + \omega^2},\qquad\cos\omega t\risingdotseq\frac p{p^2 + \omega^2},\qquad\operatorname{sh}\omega t\risingdotseq\frac\omega{p^2 - \omega^2},\qquad\operatorname{ch}\omega t\risingdotseq\frac p{p^2 - \omega^2}.

Доказательство

Развернуть

При $\operatorname{Re}p > \operatorname{Re}\lambda$ : $\int_0^\infty e^{(\lambda - p)t}\,dt = \frac1{p - \lambda}$ ; при $\lambda = 0$ получаем изображение $\eta$ .

Дифференцируя $n$ раз по $p$ по теореме об аналитичности изображения (каждое дифференцирование умножает оригинал на $-t$ ): $(-1)^n\frac{d^n}{dp^n}\frac1{p - \lambda} = \frac{n!}{(p - \lambda)^{n+1}}$ .

Тригонометрические и гиперболические функции — линейные комбинации экспонент, например $\sin\omega t = \frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}\risingdotseq\frac1{2i}\left(\frac1{p - i\omega} - \frac1{p + i\omega}\right) = \frac\omega{p^2 + \omega^2}$ . $\blacksquare$

теорема

Линейность, подобие, смещение и запаздывание

Формулировка

Пусть $f\risingdotseq F$ , $g\risingdotseq G$ . Тогда:

(линейность) $\alpha f + \beta g\risingdotseq\alpha F + \beta G$ ;
(подобие) $f(at)\risingdotseq\frac1aF\left(\frac pa\right)$ , $a > 0$ ;
(смещение) $e^{\lambda t}f(t)\risingdotseq F(p - \lambda)$ ;
(запаздывание) $\eta(t - \tau)f(t - \tau)\risingdotseq e^{-p\tau}F(p)$ , $\tau > 0$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность интеграла.
Замена $s = at$ : $\int_0^\infty f(at)e^{-pt}\,dt = \frac1a\int_0^\infty f(s)e^{-(p/a)s}\,ds$ .
$\int_0^\infty e^{\lambda t}f(t)e^{-pt}\,dt = \int_0^\infty f(t)e^{-(p - \lambda)t}\,dt$ .
Подынтегральная функция равна нулю при $t < \tau$ ; замена $s = t - \tau$ даёт $\int_0^\infty f(s)e^{-p(s + \tau)}\,ds = e^{-p\tau}F(p)$ . $\blacksquare$

теорема

Дифференцирование оригинала и изображения

Формулировка

Если $f$ непрерывна на $[0, \infty)$ и $f'$ — оригинал, то

f'(t)\risingdotseq pF(p) - f(0).

Более общо, если $f, \dots, f^{(n-1)}$ непрерывны при $t\ge 0$ , а $f^{(n)}$ — оригинал, то

f^{(n)}(t)\risingdotseq p^nF(p) - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0).

$(-t)^nf(t)\risingdotseq F^{(n)}(p)$ .

Доказательство

Развернуть

Интегрируем по частям (на каждом промежутке гладкости; $f$ непрерывна, поэтому внеинтегральные члены в точках разрыва $f'$ сокращаются):

\int_0^Nf'(t)e^{-pt}\,dt = f(N)e^{-pN} - f(0) + p\int_0^Nf(t)e^{-pt}\,dt.

При $\operatorname{Re}p$ больше показателя роста $f$ имеем $f(N)e^{-pN}\to 0$ . (Если $f'$ — оригинал, то $f(t) = f(0) + \int_0^tf'$ тоже имеет экспоненциальный рост.) Общая формула получается по индукции.

Это формула для $F'$ из теоремы об аналитичности изображения, применённая $n$ раз. $\blacksquare$

теорема

Интегрирование оригинала и изображения

Формулировка

$\displaystyle\int_0^tf(\tau)\,d\tau\risingdotseq\frac{F(p)}p$ .
Если $\frac{f(t)}t$ — оригинал, то $\displaystyle\frac{f(t)}t\risingdotseq\int_p^\infty F(q)\,dq$ (интеграл по лучу, параллельному вещественной оси).

Доказательство

Развернуть

$g(t) = \int_0^tf$ непрерывна, $g(0) = 0$ , $g' = f$ (в точках непрерывности). По теореме о дифференцировании оригинала $F = pG - 0$ .
Пусть $\frac{f}t\risingdotseq\Phi$ . По дифференцированию изображения $-\Phi'(p) = F(p)$ . Так как $\Phi(p)\to 0$ при $\operatorname{Re}p\to+\infty$ , получаем $\Phi(p) = \int_p^\infty F(q)\,dq$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о свёртке (теорема Бореля)

Формулировка

Если $f\risingdotseq F$ , $g\risingdotseq G$ , то

(f*g)(t)\risingdotseq F(p)G(p).

Доказательство

Развернуть

При $\operatorname{Re}p$ , большем показателей роста $f$ и $g$ , двойной интеграл сходится абсолютно, и можно менять порядок интегрирования:

\int_0^\infty e^{-pt}\int_0^tf(\tau)g(t - \tau)\,d\tau\,dt = \int_0^\infty f(\tau)\int_\tau^\infty g(t - \tau)e^{-pt}\,dt\,d\tau.

Во внутреннем интеграле замена $s = t - \tau$ даёт $e^{-p\tau}G(p)$ , и результат равен $G(p)\int_0^\infty f(\tau)e^{-p\tau}\,d\tau = F(p)G(p)$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема обращения. Формула Римана–Меллина

Формулировка

Пусть $f$ — оригинал с показателем роста $s_0$ , кусочно-гладкий на каждом отрезке $[0, T]$ , и $f\risingdotseq F$ . Тогда при любом $s > s_0$ в каждой точке непрерывности $t > 0$

f(t) = \frac1{2\pi i}\operatorname{v.p.}\int_{s - i\infty}^{s + i\infty}F(p)e^{pt}\,dp,

а в точках разрыва интеграл равен $\frac12\bigl(f(t - 0) + f(t + 0)\bigr)$ .

Следствие: кусочно-гладкий оригинал однозначно (с точностью до значений в точках разрыва) определяется своим изображением. (Единственность верна и для любых оригиналов, но это требует другого доказательства.)

Доказательство

Развернуть

Положим $p = s + i\omega$ и $\varphi(t) = f(t)e^{-st}$ . Тогда $F(s + i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)e^{-i\omega t}\,dt$ — преобразование Фурье функции $\varphi$ , которая абсолютно интегрируема (так как $s > s_0$ ) и кусочно-гладка. По теореме об интеграле Фурье (из курса математического анализа)

\varphi(t) = \frac1{2\pi}\operatorname{v.p.}\int_{-\infty}^{\infty}F(s + i\omega)e^{i\omega t}\,d\omega

в точках непрерывности (и полусумма односторонних пределов в точках разрыва). Умножая на $e^{st}$ и переходя к переменной $p = s + i\omega$ , $dp = i\,d\omega$ , получаем формулу.

Единственность: если два оригинала имеют одно изображение, то по формуле они совпадают во всех точках непрерывности. $\blacksquare$

Изображения по свойствам преобразования

Условие

Найти изображения функций а) $e^{-2t}\cos 3t$ ; б) $t\sin t$ ; в) $\sin^2t$ .

Решение

Развернуть

а) По теореме смещения: $\dfrac{p + 2}{(p + 2)^2 + 9}$ .

б) По дифференцированию изображения: $t\sin t\risingdotseq-\frac{d}{dp}\frac1{p^2 + 1} = \dfrac{2p}{(p^2 + 1)^2}$ .

в) $\sin^2t = \frac12 - \frac12\cos 2t\risingdotseq\dfrac1{2p} - \dfrac p{2(p^2 + 4)} = \dfrac2{p(p^2 + 4)}$ .

Изображение ступенчатой функции

Условие

Найти изображение функции $f(t) = 1$ при $0\le t < 2$ , $f(t) = 0$ при $t\ge 2$ .

Решение

Развернуть

$f(t) = \eta(t) - \eta(t - 2)$ . По теореме запаздывания

F(p) = \frac1p - \frac{e^{-2p}}p = \frac{1 - e^{-2p}}p.

Восстановление оригинала по рациональному изображению

Условие

Найти оригинал изображения $F(p) = \dfrac1{p^2(p + 1)}$ двумя способами: разложением на простейшие дроби и по теореме о свёртке.

Решение

Развернуть

$\frac1{p^2(p + 1)} = \frac1{p^2} - \frac1p + \frac1{p + 1}$ , откуда $f = t - 1 + e^{-t}$ .
$\frac1{p^2}\risingdotseq t$ , $\frac1{p + 1}\risingdotseq e^{-t}$ :

f = \int_0^t\tau e^{-(t - \tau)}\,d\tau = e^{-t}\left[(\tau - 1)e^\tau\right]_0^t = t - 1 + e^{-t}.

Интеграл Дирихле через преобразование Лапласа

Условие

Найти изображение функции $\dfrac{\sin t}t$ и с его помощью вычислить $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin t}t\,dt$ .

Решение

Развернуть

По теореме об интегрировании изображения

\frac{\sin t}t\risingdotseq\int_p^\infty\frac{dq}{q^2 + 1} = \frac\pi2 - \operatorname{arctg}p.

Переходя к пределу при $p\to+0$ (это законно: так как интеграл $\int_0^\infty\frac{\sin t}t\,dt$ сходится, по признаку Абеля интеграл $\int_0^\infty\frac{\sin t}te^{-pt}\,dt$ сходится равномерно по $p\in[0, +\infty)$ и потому непрерывен в точке $p = 0$ ), получаем $\int_0^\infty\frac{\sin t}t\,dt = \frac\pi2$ — тот же ответ, что и при вычислении с помощью вычетов.

Изображение периодического оригинала

Условие

Доказать, что для $T$ -периодического оригинала ( $f(t + T) = f(t)$ при $t\ge 0$ )

F(p) = \frac{1}{1 - e^{-pT}}\int_0^Tf(t)e^{-pt}\,dt,

и найти изображение «меандра» $f(t) = 1$ на $[0, 1)$ , $f(t) = -1$ на $[1, 2)$ , продолженного с периодом $2$ .

Решение

Развернуть

$\int_0^\infty = \sum_{k\ge 0}\int_{kT}^{(k+1)T}$ ; в $k$ -м интеграле замена $t = s + kT$ даёт $e^{-pkT}\int_0^Tf(s)e^{-ps}\,ds$ . Сумма геометрической прогрессии $\sum e^{-pkT} = \frac1{1 - e^{-pT}}$ при $\operatorname{Re}p > 0$ .

Для меандра: $\int_0^2fe^{-pt}\,dt = \frac{1 - e^{-p}}p - \frac{e^{-p} - e^{-2p}}p = \frac{(1 - e^{-p})^2}p$ . Тогда

F(p) = \frac{(1 - e^{-p})^2}{p(1 - e^{-2p})} = \frac{1 - e^{-p}}{p(1 + e^{-p})} = \frac1p\operatorname{th}\frac p2.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Функция-оригинал

Оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественного переменного, такая что:

$f(t) = 0$ при $t < 0$ ;
на любом отрезке $[0, T]$ функция $f$ кусочно-непрерывна (имеет конечное число разрывов первого рода);
$f$ растёт не быстрее экспоненты: $|f(t)|\le Me^{s_0t}$ при всех $t\ge 0$ для некоторых $M$ , $s_0$ .

Нижняя грань таких $s_0$ называется показателем роста оригинала.

Простейший оригинал — функция Хевисайда $\eta(t) = 1$ при $t\ge 0$ , $\eta(t) = 0$ при $t < 0$ . Записывая оригиналы формулами ( $\sin t$ , $e^{\lambda t}$ и т. п.), подразумевают умножение на $\eta(t)$ .

Преобразование Лапласа. Изображение

Преобразованием Лапласа оригинала $f$ называется функция комплексного переменного

F(p) = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\,dt.

$F$ называется изображением $f$ ; пишут $f(t)\risingdotseq F(p)$ или $F = \mathcal L[f]$ .

Свёртка оригиналов

Свёрткой оригиналов $f$ и $g$ называется функция

(f*g)(t) = \int_0^tf(\tau)g(t - \tau)\,d\tau,\qquad t\ge 0,

и $(f*g)(t) = 0$ при $t < 0$ . Свёртка коммутативна, ассоциативна и является оригиналом.

Несобственный интеграл и его главное значение

Несобственный интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, если существуют конечные пределы $\lim_{A\to+\infty}\int_0^Af$ и $\lim_{B\to+\infty}\int_{-B}^0f$ .

Главным значением (в смысле Коши) называется предел

\operatorname{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^Rf(x)\,dx.

Для функции с особенностью в точке $c$ главное значение определяется как $\lim_{\varepsilon\to+0}\left(\int_{-\infty}^{c-\varepsilon} + \int_{c+\varepsilon}^{+\infty}\right)$ . Если несобственный интеграл сходится, он совпадает с главным значением.

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Если ряд $\sum f_n(z)$ из голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно внутри $D$ , то его сумма $f$ голоморфна в $D$ , и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз: $\sum f_n^{(k)}$ сходится к $f^{(k)}$ равномерно внутри $D$ .

Доказательство

Развернуть

Сумма непрерывна. Для любого замкнутого треугольника $\Delta$ , лежащего в $D$ вместе с внутренностью, по лемме Гурса $\oint_{\partial\Delta}f_n = 0$ ; так как на компакте $\partial\Delta$ ряд сходится равномерно, почленное интегрирование даёт $\oint_{\partial\Delta}f = 0$ . По теореме Мореры $f$ голоморфна.

Пусть замкнутый круг $|z - z_0|\le 2r$ лежит в $D$ . При $|z - z_0|\le r$ по формуле Коши для производных

f^{(k)}(z) - \sum_{n\le N}f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\oint_{|\zeta - z_0| = 2r}\frac{f(\zeta) - S_N(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,d\zeta,

где $S_N = \sum_{n\le N}f_n$ , и модуль не превосходит $\frac{k!\cdot 2r}{r^{k+1}}\max_{|\zeta - z_0| = 2r}|f - S_N|\to 0$ . Компакт покрывается конечным числом таких кругов. $\blacksquare$

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Интеграл линеен по $f$ и не зависит от выбора параметризации пути (при возрастающей замене параметра).
$\int_{\gamma^-}f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$ ; если путь $\gamma$ составлен из $\gamma_1$ и $\gamma_2$ , то интегралы складываются.
Оценка:

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le\int_\gamma|f(z)|\,|dz|\le\max_{\gamma^*}|f|\cdot L(\gamma),

где $L(\gamma) = \int_\alpha^\beta|\gamma'(t)|\,dt$ — длина пути. 4. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma^*$ , то $\int_\gamma f_n\,dz\to\int_\gamma f\,dz$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2. Свойства следуют из свойств определённого интеграла от комплекснозначной функции вещественного переменного и формулы замены переменной: при $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , имеем $f(\gamma(\varphi(s)))\gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)\,ds = f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . Для противоположного пути замена убывающая, и знак меняется.

Для интеграла $I = \int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ от комплекснозначной функции возьмём $\theta = \arg I$ . Тогда

|I| = \operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}I\right) = \int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}g\right)dt\le\int_\alpha^\beta|g|\,dt.

При $g = f(\gamma)\gamma'$ получаем первое неравенство, второе очевидно.

Следует из п. 3: $\left|\int(f_n - f)\right|\le\max|f_n - f|\cdot L(\gamma)\to 0$ . $\blacksquare$

Первая теорема разложения

Формулировка

Пусть изображение $F(p)$ голоморфно в окрестности $\infty$ и $F(\infty) = 0$ , то есть

F(p) = \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{p^{n+1}},\qquad|p| > R.

Тогда оригинал — целая функция

f(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{n!}t^n\quad(t\ge 0).

Доказательство

Развернуть

По неравенствам Коши для коэффициентов ряда Лорана в окрестности $\infty$ (при $|p| = R_1 > R$ ) имеем $|c_n|\le MR_1^{n+1}$ , где $M = \max_{|p| = R_1}|F(p)|$ . Тогда ряд $\sum\frac{c_n}{n!}t^n$ сходится при всех $t$ , и $|f(t)|\le MR_1e^{R_1t}$ — оригинал.

Почленно применим преобразование Лапласа: $\frac{c_nt^n}{n!}\risingdotseq\frac{c_n}{p^{n+1}}$ . При $\operatorname{Re}p > R_1$ ряд $\sum\frac{|c_n|t^n}{n!}e^{-\operatorname{Re}p\,t}$ мажорируется интегрируемой функцией $MR_1e^{-(\operatorname{Re}p - R_1)t}$ , поэтому почленное интегрирование законно, и изображение $f$ равно $F$ . $\blacksquare$

Вторая теорема разложения

Формулировка

Пусть $F(p) = \dfrac{A(p)}{B(p)}$ — правильная рациональная дробь ( $\deg A < \deg B$ ) с полюсами $p_1, \dots, p_s$ . Тогда её оригинал равен

f(t) = \sum_{k=1}^s\operatorname*{res}_{p=p_k}\bigl[F(p)e^{pt}\bigr].

В частности, если все полюсы простые,

f(t) = \sum_{k=1}^s\frac{A(p_k)}{B'(p_k)}e^{p_kt}.

Доказательство

Развернуть

Разложим $F$ на простейшие дроби: $F = \sum_k\sum_{j=1}^{m_k}\frac{c_{kj}}{(p - p_k)^j}$ . По таблице изображений $\frac{1}{(p - p_k)^j}\risingdotseq\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j - 1)!}$ . По единственности оригинала (теорема обращения) $f = \sum c_{kj}\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j - 1)!}$ .

С другой стороны, вычислим вычеты. Вблизи $p_k$ : $e^{pt} = e^{p_kt}\sum_{l\ge 0}\frac{t^l(p - p_k)^l}{l!}$ , и коэффициент при $(p - p_k)^{-1}$ в произведении $\frac{c_{kj}}{(p - p_k)^j}e^{pt}$ равен $c_{kj}\frac{t^{j-1}e^{p_kt}}{(j-1)!}$ . Остальные простейшие дроби голоморфны в $p_k$ и вычетов там не дают. Суммы совпадают. Формула для простых полюсов — формула вычета $\varphi/\psi'$ . $\blacksquare$

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Пусть $L(D)y = y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_ny = f(t)$ , где $f$ — оригинал, и заданы начальные условия $y^{(k)}(0) = y_k$ . Тогда решение задачи Коши (при $t\ge 0$ ) является оригиналом, а его изображение

Y(p) = \frac{F(p) + Q(p)}{L(p)},\qquad Q(p) = \sum_{k=1}^n a_{n-k}\sum_{j=0}^{k-1}p^{k-1-j}y_j\quad(a_0 = 1).

Доказательство

Развернуть

Решение — сумма решения однородного уравнения с данными начальными условиями и решения неоднородного с нулевыми данными. Первое — квазимногочлен (ФСР уравнения с постоянными коэффициентами), то есть оригинал. Второе по формуле Коши равно $\int_0^tK(t - s)f(s)\,ds$ , где $K$ — квазимногочлен, и тоже растёт не быстрее экспоненты. Значит, $y$ и (как решения той же природы) все производные до порядка $n$ — оригиналы.

Применим к уравнению преобразование Лапласа. По теореме о дифференцировании оригинала

y^{(k)}\risingdotseq p^kY - p^{k-1}y_0 - \dots - y_{k-1}.

Подставляя, получаем $L(p)Y - Q(p) = F(p)$ , где $Q$ собирает все слагаемые с начальными данными. $\blacksquare$

Операционный метод для линейных систем

Формулировка

Для системы $x' = Ax + b(t)$ , $x(0) = x^0$ , с постоянной матрицей $A$ и вектором-оригиналом $b$ изображение решения равно

X(p) = (pE - A)^{-1}\bigl(x^0 + B(p)\bigr).

В частности, $e^{tA}\risingdotseq(pE - A)^{-1}$ (резольвента матрицы $A$ ).

Доказательство

Развернуть

Решение — оригинал (оно выражается через $e^{tA}$ формулой Коши, а элементы $e^{tA}$ — квазимногочлены). По теореме о дифференцировании оригинала $x'\risingdotseq pX - x^0$ , и система переходит в $pX - x^0 = AX + B$ , то есть $(pE - A)X = x^0 + B$ . При $\operatorname{Re}p$ , больших модулей собственных значений, матрица $pE - A$ обратима.

Для $b = 0$ решение $x = e^{tA}x^0$ , откуда $e^{tA}x^0\risingdotseq(pE - A)^{-1}x^0$ для всех $x^0$ . $\blacksquare$

Формула Дюамеля и импульсная характеристика

Формулировка

Пусть $g(t)$ — оригинал функции $\dfrac1{L(p)}$ (импульсная характеристика; это функция Коши $K(t, 0)$ уравнения). Тогда решение уравнения $L(D)y = f$ с нулевыми начальными условиями равно

y = g*f = \int_0^tg(t - \tau)f(\tau)\,d\tau.

Если $y_1$ — решение с правой частью $\eta(t)$ и нулевыми данными (переходная характеристика), то $y(t) = \dfrac{d}{dt}\displaystyle\int_0^ty_1(t - \tau)f(\tau)\,d\tau$ (формула Дюамеля).

Доказательство

Развернуть

При нулевых данных $Q = 0$ , и $Y = \frac1{L(p)}F(p)$ . По теореме о свёртке $y = g*f$ .

Для переходной характеристики $Y_1 = \frac1{pL(p)}$ , так что $Y = pY_1F$ . Функция $y_1*f$ имеет изображение $Y_1F$ и обращается в нуль при $t = 0$ . По теореме о дифференцировании оригинала $(y_1*f)'\risingdotseq pY_1F = Y$ . $\blacksquare$

Преобразование Лапласа

Существование и аналитичность изображения

Формулировка

Доказательство

Изображения основных функций

Формулировка

Доказательство

Линейность, подобие, смещение и запаздывание

Формулировка

Доказательство

Дифференцирование оригинала и изображения

Формулировка

Доказательство

Интегрирование оригинала и изображения

Формулировка

Доказательство

Теорема о свёртке (теорема Бореля)

Формулировка

Доказательство

Теорема обращения. Формула Римана–Меллина

Формулировка

Доказательство

Изображения по свойствам преобразования

Условие

Решение

Изображение ступенчатой функции

Условие

Решение

Восстановление оригинала по рациональному изображению

Условие

Решение

Интеграл Дирихле через преобразование Лапласа

Условие

Решение

Изображение периодического оригинала

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Функция-оригинал

Преобразование Лапласа. Изображение

Свёртка оригиналов

Несобственный интеграл и его главное значение

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Доказательство

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Первая теорема разложения

Формулировка

Доказательство

Вторая теорема разложения

Формулировка

Доказательство

Решение линейных уравнений операционным методом

Формулировка

Доказательство

Операционный метод для линейных систем

Формулировка

Доказательство

Формула Дюамеля и импульсная характеристика

Формулировка

Доказательство