Основные элементарные функции

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Группа дробно-линейных отображений
Круговое свойство дробно-линейной функции
Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии
Свойства показательной и тригонометрических функций
Регулярные ветви логарифма и степени
Свойства функции Жуковского

теорема

Группа дробно-линейных отображений

Формулировка

Дробно-линейная функция взаимно однозначно отображает $\overline{\mathbb C}$ на себя; обратная к ней и композиция двух дробно-линейных функций — снова дробно-линейные. Композиции отвечает произведение матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ .
Любая дробно-линейная функция — композиция сдвигов $z\mapsto z + b$ , растяжений с поворотом $z\mapsto az$ и инверсии $z\mapsto 1/z$ .
Дробно-линейная функция конформна во всех точках $\mathbb C$ , кроме полюса $-d/c$ : $w' = \dfrac{ad - bc}{(cz + d)^2}\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Уравнение $w = \frac{az + b}{cz + d}$ однозначно разрешимо: $z = \frac{dw - b}{-cw + a}$ (определитель тот же, $ad - bc\ne 0$ ), с учётом соглашений о точках $\infty$ и $-d/c$ . Подстановка одной дробно-линейной функции в другую даёт дробь, коэффициенты которой — элементы произведения матриц; её определитель — произведение определителей, ненулевой.
При $c = 0$ : $w = \frac adz + \frac bd$ . При $c\ne 0$ :

w = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d},

то есть композиция $z\mapsto cz + d$ , $\zeta\mapsto 1/\zeta$ , умножения на $\frac{bc - ad}c$ и сдвига на $\frac ac$ .

Производная вычисляется по правилу дифференцирования частного и не обращается в нуль. По критерию конформности функция конформна. $\blacksquare$

теорема

Круговое свойство дробно-линейной функции

Формулировка

Дробно-линейная функция переводит любую окружность или прямую в окружность или прямую (прямые считаются окружностями на $\overline{\mathbb C}$ , проходящими через $\infty$ ).

Доказательство

Развернуть

По теореме о группе дробно-линейных отображений достаточно проверить свойство для сдвигов, растяжений с поворотом и инверсии. Для первых двух оно очевидно.

Окружности и прямые задаются уравнениями $A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D = 0$ (прямые — при $A = 0$ ). В комплексной записи это $Az\bar z + \bar\beta z + \beta\bar z + D = 0$ , $\beta = \frac{B + iC}{2}$ . Подставим $z = 1/w$ и умножим на $w\bar w$ :

A + \bar\beta\bar w + \beta w + Dw\bar w = 0,

то есть $D(u^2 + v^2) + Bu - Cv + A = 0$ — снова окружность или прямая. $\blacksquare$

теорема

Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии

Формулировка

Двойное отношение инвариантно относительно дробно-линейных отображений: $(w, w_1, w_2, w_3) = (z, z_1, z_2, z_3)$ , если $w = L(z)$ , $w_k = L(z_k)$ .
Для любых двух троек различных точек $z_1, z_2, z_3$ и $w_1, w_2, w_3$ существует единственная дробно-линейная функция с $L(z_k) = w_k$ ; она находится из равенства двойных отношений.
Точки, симметричные относительно окружности (или прямой), переходят в точки, симметричные относительно образа этой окружности.

Доказательство

Развернуть

Для сдвигов и растяжений инвариантность очевидна. Для $w = 1/z$ :

\frac{1/z - 1/z_1}{1/z - 1/z_2} = \frac{z_2(z_1 - z)}{z_1(z_2 - z)},

и в двойном отношении множители $z_2/z_1$ сокращаются. По теореме о группе достаточно этих трёх случаев.

Функция $z\mapsto(z, z_1, z_2, z_3)$ — дробно-линейная, переводящая $z_1, z_2, z_3$ в $0, \infty, 1$ . Композиция её с обратной к аналогичной функции для $w_k$ даёт требуемое отображение. Если $L_1$ , $L_2$ — два таких отображения, то $L_2^{-1}L_1$ имеет три неподвижные точки. Уравнение $\frac{az + b}{cz + d} = z$ — квадратное (или линейное), и при трёх корнях отображение тождественно.
Точки $z$ , $z^*$ симметричны относительно окружности $\Gamma$ тогда и только тогда, когда любая окружность (прямая), проходящая через $z$ и $z^*$ , ортогональна $\Gamma$ . Дробно-линейная функция переводит окружности в окружности (круговое свойство) и сохраняет углы (конформность), поэтому сохраняет и это свойство. $\blacksquare$

теорема

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

$e^z$ — целая функция, $(e^z)' = e^z$ , $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$ , $e^z\ne 0$ , $|e^z| = e^x$ , $\operatorname{Arg}e^z = y + 2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; функция периодична с периодом $2\pi i$ .
$e^z$ однолистна в любой горизонтальной полосе ширины $2\pi$ ; полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ она конформно отображает на верхнюю полуплоскость, а полосу $0 < \operatorname{Im}z < 2\pi$ — на $\mathbb C\setminus[0, +\infty)$ .
$\cos z$ , $\sin z$ — целые функции, $(\sin z)' = \cos z$ , $(\cos z)' = -\sin z$ , $\cos^2z + \sin^2z = 1$ , $\cos iz = \operatorname{ch}z$ , $\sin iz = i\operatorname{sh}z$ . Они периодичны с периодом $2\pi$ ; нули $\sin z$ — только числа $\pi k$ , нули $\cos z$ — только числа $\frac\pi2 + \pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; они не ограничены в $\mathbb C$ .

Доказательство

Развернуть

$u = e^x\cos y$ , $v = e^x\sin y$ удовлетворяют условиям Коши–Римана, и $(e^z)' = u_x + iv_x = e^z$ . Формула сложения следует из формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. $|e^z| = e^x > 0$ , и $e^{z + 2\pi i} = e^z$ .
$e^{z_1} = e^{z_2}$ равносильно $z_1 - z_2 = 2\pi ik$ , поэтому в полосе ширины $2\pi$ (без одной граничной прямой) функция однолистна. Прямая $y = c$ переходит в луч $\arg w = c$ , отрезок $x = c$ , $0 < y < \pi$ — в полуокружность $|w| = e^c$ в верхней полуплоскости. Значит, полоса $0 < y < \pi$ переходит в верхнюю полуплоскость; аналогично для полосы ширины $2\pi$ .
Голоморфность и формулы производных следуют из свойств экспоненты. $\cos^2z + \sin^2z = \frac{(e^{iz} + e^{-iz})^2 - (e^{iz} - e^{-iz})^2}{4} = 1$ . Уравнение $\sin z = 0$ равносильно $e^{2iz} = 1$ , то есть $2iz = 2\pi ik$ , $z = \pi k$ . Нули $\cos z$ получаются из тождества $\cos z = \sin\left(z + \frac\pi2\right)$ . Неограниченность: $|\cos(iy)| = \operatorname{ch}y\to\infty$ . $\blacksquare$

теорема

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

В области $D = \mathbb C\setminus l$ , где $l$ — луч, выходящий из нуля, логарифм имеет бесконечно много регулярных ветвей; они отличаются на $2\pi ik$ , и для каждой $(\ln z)' = \frac1z$ .
Степень $z^\alpha = e^{\alpha\ln z}$ в той же области имеет регулярные ветви, $(z^\alpha)' = \alpha\frac{z^\alpha}z$ . При $\alpha = \frac1n$ ветвей ровно $n$ , они отличаются множителями $e^{2\pi ik/n}$ .
В области, содержащей замкнутый путь с ненулевым индексом относительно нуля (например, в кольце $1 < |z| < 2$ ), регулярной ветви логарифма не существует.

Доказательство

Развернуть

В $D$ существует непрерывная ветвь аргумента $\arg z$ (со значениями в интервале длины $2\pi$ ). Функция $f(z) = \ln|z| + i\arg z$ непрерывна и $e^{f(z)} = z$ . Она взаимно однозначна (обратна экспоненте на полосе), и по теореме о производной обратной функции $f'(z) = \frac1{e^{f(z)}} = \frac1z$ . Две ветви $f_1, f_2$ удовлетворяют $e^{f_1 - f_2} = 1$ , то есть $f_1 - f_2\in 2\pi i\mathbb Z$ — непрерывная функция с дискретными значениями, постоянная в области.
$z^\alpha$ — композиция голоморфных функций. $(e^{\alpha\ln z})' = e^{\alpha\ln z}\cdot\frac\alpha z$ . При $\alpha = \frac1n$ замена ветви логарифма умножает корень на $e^{2\pi ik/n}$ ; различных значений $n$ .
Если $f$ — непрерывная ветвь логарифма, то $\operatorname{Im}f$ — непрерывная ветвь аргумента вдоль любого пути в области. Для замкнутого пути её приращение равно нулю, а должно быть $2\pi\operatorname{ind}_\gamma(0)\ne 0$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства функции Жуковского

Формулировка

$J(z_1) = J(z_2)$ тогда и только тогда, когда $z_1 = z_2$ или $z_1z_2 = 1$ . Поэтому $J$ однолистна в круге $|z| < 1$ и во внешности $|z| > 1$ .
$J$ конформно отображает круг $|z| < 1$ (и внешность $|z| > 1$ ) на $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ . Окружности $|z| = r\ne 1$ переходят в эллипсы с фокусами $\pm1$ и полуосями $\frac12\left(r + \frac1r\right)$ , $\frac12\left|r - \frac1r\right|$ ; единичная окружность — в отрезок $[-1, 1]$ , пройденный дважды.
Обратная функция $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$ имеет в $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ две регулярные ветви, произведение которых равно $1$ .

Доказательство

Развернуть

$J(z_1) - J(z_2) = \frac12(z_1 - z_2)\left(1 - \frac1{z_1z_2}\right)$ .
При $z = re^{it}$ :

J(z) = \frac12\left(r + \frac1r\right)\cos t + \frac i2\left(r - \frac1r\right)\sin t,

что при $r\ne 1$ — параметризация эллипса с полуосями $a$ , $b$ , где $a^2 - b^2 = 1$ , то есть с фокусами $\pm1$ . При $r = 1$ получаем $\cos t\in[-1, 1]$ . Так как $J$ однолистна в круге, $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})\ne 0$ там, а эллипсы при $r\to 0$ заполняют всё $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ (и $J(0) = \infty$ ), образ круга — $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ .

Уравнение $w = \frac12(z + z^{-1})$ равносильно $z^2 - 2wz + 1 = 0$ , корни $z_{1,2} = w\pm\sqrt{w^2 - 1}$ , $z_1z_2 = 1$ . В $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ функция $\sqrt{w^2 - 1}$ имеет регулярные ветви: это ветви обратных отображений к однолистным отображениям из п. 2, голоморфные по теореме о производной обратной функции. $\blacksquare$

Отображение полуплоскости на круг

Условие

Найти все дробно-линейные отображения верхней полуплоскости $\operatorname{Im}z > 0$ на единичный круг $|w| < 1$ , переводящие точку $i$ в $0$ .

Решение

Развернуть

Точка $-i$ симметрична $i$ относительно вещественной оси, поэтому её образ симметричен нулю относительно единичной окружности, то есть равен $\infty$ . Значит,

w = k\,\frac{z - i}{z + i}.

Вещественная ось должна перейти в $|w| = 1$ ; при $z\in\mathbb R$ имеем $\left|\frac{z - i}{z + i}\right| = 1$ , откуда $|k| = 1$ .

Ответ: $w = e^{i\theta}\dfrac{z - i}{z + i}$ , $\theta\in\mathbb R$ .

Дробно-линейная функция по трём точкам

Условие

Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки $0, 1, \infty$ в точки $1, \infty, i$ соответственно.

Решение

Развернуть

Ищем $w = \frac{az + b}{cz + d}$ . Из $w(\infty) = i$ : $a = ic$ . Из $w(1) = \infty$ : $c + d = 0$ . Из $w(0) = 1$ : $b = d$ . Положим $c = 1$ : $d = -1$ , $b = -1$ , $a = i$ .

Ответ: $w = \dfrac{iz - 1}{z - 1}$ .

Значения логарифма и степени

Условие

Найти все значения $\operatorname{Ln}(-1)$ , $\operatorname{Ln}(1 + i)$ , $i^i$ .

Решение

Развернуть

$\operatorname{Ln}(-1) = \ln 1 + i(\pi + 2\pi k) = (2k + 1)\pi i$ .

$\operatorname{Ln}(1 + i) = \ln\sqrt2 + i\left(\frac\pi4 + 2\pi k\right)$ .

$i^i = e^{i\operatorname{Ln}i} = e^{i\cdot i(\pi/2 + 2\pi k)} = e^{-\pi/2 - 2\pi k}$ , $k\in\mathbb Z$ — все значения вещественные.

Уравнение cos z = 2

Условие

Решить уравнение $\cos z = 2$ .

Решение

Развернуть

$\frac{e^{iz} + e^{-iz}}2 = 2$ ; при $t = e^{iz}$ : $t^2 - 4t + 1 = 0$ , $t = 2\pm\sqrt3$ . Тогда $iz = \operatorname{Ln}(2\pm\sqrt3) = \ln(2\pm\sqrt3) + 2\pi ki$ . Так как $\ln(2 - \sqrt3) = -\ln(2 + \sqrt3)$ ,

z = 2\pi k\pm i\ln(2 + \sqrt3),\qquad k\in\mathbb Z.

Проверка: $\cos(i\ln(2 + \sqrt3)) = \operatorname{ch}\ln(2 + \sqrt3) = \frac{(2 + \sqrt3) + (2 - \sqrt3)}2 = 2$ .

Образ окружности при отображении Жуковского

Условие

Найти образ окружности $|z| = 2$ при отображении $w = \frac12\left(z + \frac1z\right)$ .

Решение

Развернуть

$z = 2e^{it}$ : $w = \frac54\cos t + \frac34i\sin t$ — эллипс

\frac{u^2}{(5/4)^2} + \frac{v^2}{(3/4)^2} = 1

с фокусами $\pm1$ ( $\frac{25}{16} - \frac9{16} = 1$ ).

Образ полуполосы при показательном отображении

Условие

Найти образ полуполосы $\{x < 0,\ 0 < y < \pi\}$ при отображении $w = e^z$ .

Решение

Развернуть

$|w| = e^x < 1$ , $\arg w = y\in(0, \pi)$ . Прямая $y = c$ переходит в луч $\arg w = c$ , а условие $x < 0$ оставляет часть луча внутри единичного круга.

Образ — верхняя половина единичного круга: $\{|w| < 1,\ \operatorname{Im}w > 0\}$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Дробно-линейная функция

Дробно-линейной функцией называется функция

w = \frac{az + b}{cz + d},\qquad ad - bc\ne 0.

Она доопределяется на $\overline{\mathbb C}$ : при $c\ne 0$ полагают $w(-d/c) = \infty$ , $w(\infty) = a/c$ ; при $c = 0$ — $w(\infty) = \infty$ .

Двойным (ангармоническим) отношением четырёх различных точек называется

(z, z_1, z_2, z_3) = \frac{z - z_1}{z - z_2}:\frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}

(с естественным предельным смыслом, если одна из точек равна $\infty$ ).

Показательная, тригонометрические и гиперболические функции

Показательная функция:

e^z = e^x(\cos y + i\sin y),\qquad z = x + iy.

Тригонометрические и гиперболические функции:

\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}2,\quad\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i},\quad\operatorname{ch}z = \frac{e^z + e^{-z}}2,\quad\operatorname{sh}z = \frac{e^z - e^{-z}}2,

$\operatorname{tg}z = \sin z/\cos z$ , $\operatorname{ctg}z = \cos z/\sin z$ .

Целая степенная функция: $w = z^n$ , $n\in\mathbb N$ .

Функция Жуковского

Функцией Жуковского называется функция

w = J(z) = \frac12\left(z + \frac1z\right),

голоморфная в $\mathbb C\setminus\{0\}$ , с $J(0) = J(\infty) = \infty$ .

Многозначные функции и их ветви. Логарифм

Логарифмом числа $z\ne 0$ называется любое решение $w$ уравнения $e^w = z$ . Множество всех логарифмов

\operatorname{Ln}z = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.

Регулярной (однозначной голоморфной) ветвью многозначной функции в области $D$ называется голоморфная в $D$ функция, значение которой в каждой точке — одно из значений многозначной функции. Главная ветвь логарифма в $\mathbb C\setminus(-\infty, 0]$ : $\ln z = \ln|z| + i\arg z$ , $\arg z\in(-\pi, \pi)$ .

Через логарифм определяются:

общая степень $z^\alpha = e^{\alpha\operatorname{Ln}z}$ (в частности, корень $\sqrt[n]z = z^{1/n}$ );
обратные тригонометрические функции, например $\operatorname{Arccos}w = -i\operatorname{Ln}\left(w + \sqrt{w^2 - 1}\right)$ ;
функция, обратная функции Жуковского: $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$ .

Расширенная комплексная плоскость

Расширенной комплексной плоскостью называется множество $\overline{\mathbb C} = \mathbb C\cup\{\infty\}$ , полученное добавлением к $\mathbb C$ одной бесконечно удалённой точки $\infty$ .

Окрестностью точки $\infty$ называется множество $\{|z| > R\}\cup\{\infty\}$ . Соответственно $z_n\to\infty$ , если $|z_n|\to+\infty$ .

Арифметические операции с $\infty$ определяются частично: $z\pm\infty = \infty$ при $z\ne\infty$ , $z\cdot\infty = \infty$ и $z/0 = \infty$ при $z\ne 0$ , $z/\infty = 0$ при $z\ne\infty$ . Выражения $\infty\pm\infty$ , $0\cdot\infty$ , $0/0$ , $\infty/\infty$ не определены.

Конформность отображения в точке

Отображение $w = f(z)$ , определённое в окрестности точки $z_0$ , называется конформным в точке $z_0$ , если оно:

сохраняет углы между гладкими кривыми, выходящими из $z_0$ , — и по величине, и по направлению отсчёта;
обладает свойством постоянства растяжения: предел $\lim_{z\to z_0}\frac{|f(z) - f(z_0)|}{|z - z_0|}$ существует, конечен и положителен.

Отображение называется конформным в области, если оно взаимно однозначно и конформно в каждой её точке.

Свойства комплексной производной

Формулировка

Если $f$ и $g$ дифференцируемы в $z_0$ , то $f\pm g$ , $fg$ и (при $g(z_0)\ne 0$ ) $f/g$ дифференцируемы в $z_0$ , и производные вычисляются по обычным формулам.
Если $f$ дифференцируема в $z_0$ , а $g$ — в точке $w_0 = f(z_0)$ , то $(g\circ f)'(z_0) = g'(w_0)f'(z_0)$ .
Если $f$ непрерывна и взаимно однозначна в окрестности $z_0$ , дифференцируема в $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$ , то обратная функция дифференцируема в $w_0 = f(z_0)$ и $(f^{-1})'(w_0) = 1/f'(z_0)$ .

В частности, многочлены — целые функции, $(z^n)' = nz^{n-1}$ , а рациональные функции голоморфны вне нулей знаменателя.

Доказательство

Развернуть

Доказательства дословно повторяют вещественный случай, так как используют лишь арифметику пределов разностных отношений. Например, для произведения

\frac{f(z_0 + h)g(z_0 + h) - f(z_0)g(z_0)}{h} = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}hg(z_0 + h) + f(z_0)\frac{g(z_0 + h) - g(z_0)}h,

и $g$ непрерывна в $z_0$ как дифференцируемая функция.

Для обратной функции: если $w = f(z)$ , $w\to w_0$ , то по непрерывности обратной функции (взаимно однозначное непрерывное отображение открытого множества плоскости имеет непрерывное обратное) $z\to z_0$ , и

\frac{f^{-1}(w) - f^{-1}(w_0)}{w - w_0} = \frac{z - z_0}{f(z) - f(z_0)}\to\frac1{f'(z_0)}.\qquad\blacksquare

Критерий конформности в точке

Формулировка

Пусть $f$ $\mathbb R$ -дифференцируема в точке $z_0$ и её якобиан в $z_0$ отличен от нуля. Отображение $w = f(z)$ конформно в $z_0$ тогда и только тогда, когда $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема в $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$ . Якобиан отображения равен

J_f = |f_z|^2 - |f_{\bar z}|^2,

и для голоморфной функции $J_f = |f'|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Якобиан: $J = u_xv_y - u_yv_x$ . Подставляя $f_z = \frac12(u_x + v_y) + \frac i2(v_x - u_y)$ и $f_{\bar z} = \frac12(u_x - v_y) + \frac i2(v_x + u_y)$ , получаем $|f_z|^2 - |f_{\bar z}|^2 = u_xv_y - u_yv_x$ .

Достаточность следует из теоремы о геометрическом смысле производной: все направления поворачиваются на один и тот же угол, а растяжение равно $|f'(z_0)|$ .

Необходимость. Дифференциал $L(h) = ah + b\bar h$ переводит направление $e^{i\varphi}$ в $L(e^{i\varphi}) = e^{i\varphi}(a + be^{-2i\varphi})$ . Сохранение углов с направлением отсчёта означает, что $\arg L(e^{i\varphi}) - \varphi = \arg(a + be^{-2i\varphi})$ не зависит от $\varphi$ . Но при $b\ne 0$ точка $a + be^{-2i\varphi}$ пробегает окружность радиуса $|b| > 0$ , а окружность не лежит на одном луче. Значит, $b = 0$ , $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема, и $f'(z_0) = a\ne 0$ , так как $J = |a|^2\ne 0$ . $\blacksquare$

Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы

Формулировка

$\operatorname{Aut}\{\operatorname{Im}z > 0\}$ — дробно-линейные функции $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ с $a, b, c, d\in\mathbb R$ , $ad - bc > 0$ .
$\operatorname{Aut}\mathbb C$ — линейные функции $w = az + b$ , $a\ne 0$ .
$\operatorname{Aut}\overline{\mathbb C}$ — все дробно-линейные функции.

Доказательство

Развернуть

Отображение Кэли $\kappa(z) = \frac{z - i}{z + i}$ переводит полуплоскость в круг (точки $\mathbb R$ равноудалены от $\pm i$ , а $i\mapsto 0$ ), поэтому $\operatorname{Aut}H = \kappa^{-1}\circ\operatorname{Aut}\mathbb D\circ\kappa$ — дробно-линейные функции, сохраняющие полуплоскость. Такая функция переводит $\mathbb R\cup\{\infty\}$ в себя и потому может быть записана с вещественными коэффициентами (три вещественные точки переходят в вещественные). Условие $\operatorname{Im}w(i) > 0$ даёт $ad - bc > 0$ , так как $\operatorname{Im}\frac{ai + b}{ci + d} = \frac{ad - bc}{c^2 + d^2}$ .
Автоморфизм $f$ плоскости — однолистная целая функция. Точка $\infty$ не может быть существенно особой: по теореме Сохоцкого значения $f$ вблизи $\infty$ приближали бы значение $f(0)$ , которое уже принимается в окрестности нуля, что противоречит однолистности (по принципу сохранения области). Не может она быть и устранимой (иначе $f$ постоянна). Значит, это полюс, $f$ — многочлен, а однолистный многочлен имеет степень $1$ .
Если $f\in\operatorname{Aut}\overline{\mathbb C}$ , возьмём дробно-линейную $L$ с $L(f(\infty)) = \infty$ . Тогда $L\circ f$ — автоморфизм, сохраняющий $\infty$ , его ограничение на $\mathbb C$ — автоморфизм плоскости, то есть линейная функция. Значит, $f$ дробно-линейна. $\blacksquare$

Автоморфизмы единичного круга

Формулировка

Все автоморфизмы круга $|z| < 1$ задаются формулой

w = e^{i\theta}\frac{z - a}{1 - \bar az},\qquad|a| < 1,\ \theta\in\mathbb R.

Доказательство

Развернуть

Функция $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ дробно-линейна. При $|z| = 1$ имеем $|1 - \bar az| = |\bar z - \bar a| = |z - a|$ , так что окружность переходит в себя. Точка $a$ переходит в $0$ , поэтому круг переходит в круг (по принципу соответствия границ или по связности). Значит, указанные функции — автоморфизмы.

Пусть $f$ — автоморфизм, $f(a) = 0$ . Тогда $g = f\circ\varphi_a^{-1}$ — автоморфизм с $g(0) = 0$ . По лемме Шварца $|g(z)|\le|z|$ , а для обратного автоморфизма $|g^{-1}(w)|\le|w|$ , то есть $|z|\le|g(z)|$ . Значит, $|g(z)| = |z|$ и $g(z) = e^{i\theta}z$ , откуда $f = e^{i\theta}\varphi_a$ . $\blacksquare$

Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

Формулировка

Степень $w = z^{\pi/\alpha}$ (ветвь, для которой $z^{\pi/\alpha} = r^{\pi/\alpha}e^{i\pi\varphi/\alpha}$ при $z = re^{i\varphi}$ , $0 < \varphi < \alpha$ ) конформно отображает угол $0 < \arg z < \alpha$ , $0 < \alpha\le 2\pi$ , на верхнюю полуплоскость.
$w = e^z$ конформно отображает полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ на верхнюю полуплоскость; $w = \ln z$ — обратное отображение.
$w = \dfrac{z - i}{z + i}$ (отображение Кэли) конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг.
Функция Жуковского конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка $[-1, 1]$ , а верхнюю половину единичного круга — на нижнюю полуплоскость.
Дробно-линейная функция, переводящая точку пересечения двух окружностей в $\infty$ , отображает «двуугольник» (луночку) на угол.

Доказательство

Развернуть

При $z = re^{i\varphi}$ имеем $w = r^{\pi/\alpha}e^{i\pi\varphi/\alpha}$ : луч $\arg z = \varphi$ переходит в луч $\arg w = \frac{\pi\varphi}\alpha\in(0, \pi)$ , функция однолистна в угле и голоморфна (ветвь степени из теоремы о ветвях).
Доказано в теореме о свойствах показательной функции; обратное к однолистному голоморфному отображению голоморфно.
Точки вещественной оси равноудалены от $i$ и $-i$ , поэтому переходят в $|w| = 1$ , а $i\mapsto 0$ .
Утверждение о внешности круга доказано в теореме о функции Жуковского. При $z = re^{it}$ имеем $\operatorname{Im}J = \frac12\left(r - \frac1r\right)\sin t$ . Поэтому при $r < 1$ верхний полукруг переходит в нижнюю полуплоскость, нижний — в верхнюю, а интервалы $(0, 1)$ и $(-1, 0)$ — в $(1, +\infty)$ и $(-\infty, -1)$ . Так как $J$ однолистно отображает круг на $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ , верхний полукруг отображается на всю нижнюю полуплоскость.
Окружности, проходящие через точку, переходящую в $\infty$ , переходят в прямые, пересекающиеся под тем же углом (конформность), и область между дугами — в угол. $\blacksquare$

Принцип симметрии Римана–Шварца

Формулировка

Пусть область $D$ лежит в верхней полуплоскости, её граница содержит интервал $l$ вещественной оси, функция $f$ голоморфна в $D$ , непрерывна в $D\cup l$ и вещественна на $l$ . Тогда функция

F(z) = \begin{cases}f(z), & z\in D\cup l,\\ \overline{f(\bar z)}, & z\in D^*,\end{cases}

голоморфна в $D\cup l\cup D^*$ , где $D^*$ — область, симметричная $D$ относительно $\mathbb R$ .

Общая форма: пусть область $D$ лежит по одну сторону от окружности (прямой), содержащей дугу $\gamma\subset\partial D$ , функция $f$ голоморфна в $D$ , непрерывна в $D\cup\gamma$ и переводит $\gamma$ в дугу окружности (прямой) $\Gamma$ . Тогда $f$ продолжается до функции, мероморфной в $D\cup\gamma\cup D^*$ , где $D^*$ — область, симметричная $D$ относительно $\gamma$ , причём точки, симметричные относительно $\gamma$ , переходят в точки, симметричные относительно $\Gamma$ .

Доказательство

Развернуть

В $D^*$ функция $\overline{f(\bar z)}$ голоморфна: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ вблизи $a\in D$ , то $\overline{f(\bar z)} = \sum\bar c_n(z - \bar a)^n$ вблизи $\bar a$ . На $l$ обе формулы дают одно значение, так как $f$ вещественна там: $\overline{f(x)} = f(x)$ . Значит, $F$ непрерывна в $D\cup l\cup D^*$ , и по лемме о склейке голоморфна.
Дробно-линейные отображения $\lambda$ , $\mu$ переводят $\gamma$ и $\Gamma$ в интервалы вещественной оси и сохраняют симметрию. Функция $\mu\circ f\circ\lambda^{-1}$ вещественна на интервале, и по п. 1 продолжается отражением (если $\mu\circ f$ принимает значение $\infty$ , рассуждение проводится локально вблизи $\gamma$ , где $\mu\circ f$ конечна). Возвращаясь к исходным координатам, получаем утверждение. $\blacksquare$

Условия Коши–Римана

Формулировка

Функция $f = u + iv$ $\mathbb C$ -дифференцируема в точке $z_0 = x_0 + iy_0$ тогда и только тогда, когда она $\mathbb R$ -дифференцируема в $z_0$ и выполнены условия Коши–Римана

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\qquad\left(\text{то есть } \frac{\partial f}{\partial\bar z} = 0\right).

При этом $f'(z_0) = u_x + iv_x = v_y - iu_y = \frac{\partial f}{\partial z}$ .

Доказательство

Развернуть

Если $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема, то $f(z_0 + h) - f(z_0) = Ah + o(h)$ . Отделяя вещественную и мнимую части ( $A = \alpha + i\beta$ , $h = \Delta x + i\Delta y$ ), получаем

\Delta u = \alpha\Delta x - \beta\Delta y + o(|h|),\qquad\Delta v = \beta\Delta x + \alpha\Delta y + o(|h|).

Значит, $u$ , $v$ дифференцируемы, $u_x = \alpha = v_y$ , $u_y = -\beta = -v_x$ .

Обратно, если $f$ $\mathbb R$ -дифференцируема, то $f(z_0 + h) - f(z_0) = ah + b\bar h + o(h)$ с $b = \frac12(f_x + if_y) = \frac12(u_x - v_y) + \frac i2(v_x + u_y)$ . Условия Коши–Римана означают $b = 0$ , и тогда $f(z_0 + h) - f(z_0) = ah + o(h)$ , то есть $f'(z_0) = a = \frac12(f_x - if_y) = u_x + iv_x$ . $\blacksquare$

Умножение и деление в тригонометрической форме

Формулировка

Если $z_k = r_k(\cos\varphi_k + i\sin\varphi_k)$ , то

z_1z_2 = r_1r_2\big(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big),\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big).

При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются: $e^{i\varphi_1}e^{i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$ .

Доказательство

Развернуть

Перемножаем по определению:

(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) = (\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2) + i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2 + \cos\varphi_1\sin\varphi_2)

и применяем формулы косинуса и синуса суммы. Формула для частного проверяется умножением её правой части на $z_2$ . $\blacksquare$

Основные элементарные функции

Группа дробно-линейных отображений

Формулировка

Доказательство

Круговое свойство дробно-линейной функции

Формулировка

Доказательство

Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии

Формулировка

Доказательство

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

Доказательство

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

Доказательство

Свойства функции Жуковского

Формулировка

Доказательство

Отображение полуплоскости на круг

Условие

Решение

Дробно-линейная функция по трём точкам

Условие

Решение

Значения логарифма и степени

Условие

Решение

Уравнение cos z = 2

Условие

Решение

Образ окружности при отображении Жуковского

Условие

Решение

Образ полуполосы при показательном отображении

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Дробно-линейная функция

Показательная, тригонометрические и гиперболические функции

Функция Жуковского

Многозначные функции и их ветви. Логарифм

Расширенная комплексная плоскость

Конформность отображения в точке

Свойства комплексной производной

Формулировка

Доказательство

Критерий конформности в точке

Формулировка

Доказательство

Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы

Формулировка

Доказательство

Автоморфизмы единичного круга

Формулировка

Доказательство

Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

Формулировка

Доказательство

Принцип симметрии Римана–Шварца

Формулировка

Доказательство

Условия Коши–Римана

Формулировка

Доказательство

Умножение и деление в тригонометрической форме

Формулировка

Доказательство