Дифференцируемость. Условия Коши–Римана

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Условия Коши–Римана
Свойства комплексной производной
Производная по направлению. Геометрический смысл производной
Критерий конформности в точке
Восстановление голоморфной функции по вещественной части

теорема

Условия Коши–Римана

Формулировка

Функция $f = u + iv$ $\mathbb C$ -дифференцируема в точке $z_0 = x_0 + iy_0$ тогда и только тогда, когда она $\mathbb R$ -дифференцируема в $z_0$ и выполнены условия Коши–Римана

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\qquad\left(\text{то есть } \frac{\partial f}{\partial\bar z} = 0\right).

При этом $f'(z_0) = u_x + iv_x = v_y - iu_y = \frac{\partial f}{\partial z}$ .

Доказательство

Развернуть

Если $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема, то $f(z_0 + h) - f(z_0) = Ah + o(h)$ . Отделяя вещественную и мнимую части ( $A = \alpha + i\beta$ , $h = \Delta x + i\Delta y$ ), получаем

\Delta u = \alpha\Delta x - \beta\Delta y + o(|h|),\qquad\Delta v = \beta\Delta x + \alpha\Delta y + o(|h|).

Значит, $u$ , $v$ дифференцируемы, $u_x = \alpha = v_y$ , $u_y = -\beta = -v_x$ .

Обратно, если $f$ $\mathbb R$ -дифференцируема, то $f(z_0 + h) - f(z_0) = ah + b\bar h + o(h)$ с $b = \frac12(f_x + if_y) = \frac12(u_x - v_y) + \frac i2(v_x + u_y)$ . Условия Коши–Римана означают $b = 0$ , и тогда $f(z_0 + h) - f(z_0) = ah + o(h)$ , то есть $f'(z_0) = a = \frac12(f_x - if_y) = u_x + iv_x$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства комплексной производной

Формулировка

Если $f$ и $g$ дифференцируемы в $z_0$ , то $f\pm g$ , $fg$ и (при $g(z_0)\ne 0$ ) $f/g$ дифференцируемы в $z_0$ , и производные вычисляются по обычным формулам.
Если $f$ дифференцируема в $z_0$ , а $g$ — в точке $w_0 = f(z_0)$ , то $(g\circ f)'(z_0) = g'(w_0)f'(z_0)$ .
Если $f$ непрерывна и взаимно однозначна в окрестности $z_0$ , дифференцируема в $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$ , то обратная функция дифференцируема в $w_0 = f(z_0)$ и $(f^{-1})'(w_0) = 1/f'(z_0)$ .

В частности, многочлены — целые функции, $(z^n)' = nz^{n-1}$ , а рациональные функции голоморфны вне нулей знаменателя.

Доказательство

Развернуть

Доказательства дословно повторяют вещественный случай, так как используют лишь арифметику пределов разностных отношений. Например, для произведения

\frac{f(z_0 + h)g(z_0 + h) - f(z_0)g(z_0)}{h} = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}hg(z_0 + h) + f(z_0)\frac{g(z_0 + h) - g(z_0)}h,

и $g$ непрерывна в $z_0$ как дифференцируемая функция.

Для обратной функции: если $w = f(z)$ , $w\to w_0$ , то по непрерывности обратной функции (взаимно однозначное непрерывное отображение открытого множества плоскости имеет непрерывное обратное) $z\to z_0$ , и

\frac{f^{-1}(w) - f^{-1}(w_0)}{w - w_0} = \frac{z - z_0}{f(z) - f(z_0)}\to\frac1{f'(z_0)}.\qquad\blacksquare

теорема

Производная по направлению. Геометрический смысл производной

Формулировка

Пусть $f$ $\mathbb R$ -дифференцируема в $z_0$ . Производная по направлению $e^{i\varphi}$

\frac{\partial f}{\partial e^{i\varphi}}(z_0) = \lim_{t\to+0}\frac{f(z_0 + te^{i\varphi}) - f(z_0)}{te^{i\varphi}} = \frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial\bar z}e^{-2i\varphi}

не зависит от $\varphi$ тогда и только тогда, когда $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема в $z_0$ .

Если $f'(z_0)\ne 0$ , то при отображении $w = f(z)$ касательные векторы всех гладких кривых, выходящих из $z_0$ , поворачиваются на угол $\arg f'(z_0)$ и растягиваются в $|f'(z_0)|$ раз.

Доказательство

Развернуть

Из $f(z_0 + h) - f(z_0) = ah + b\bar h + o(h)$ при $h = te^{i\varphi}$ получаем

\frac{f(z_0 + te^{i\varphi}) - f(z_0)}{te^{i\varphi}} = a + be^{-2i\varphi} + o(1).

Предел не зависит от $\varphi$ тогда и только тогда, когда $b = 0$ , то есть выполнены условия Коши–Римана.

Если $z = \gamma(t)$ — гладкая кривая, $\gamma(t_0) = z_0$ , то образ $f(\gamma(t))$ имеет касательный вектор $f'(z_0)\gamma'(t_0)$ (правило дифференцирования сложной функции). Умножение на $f'(z_0) = |f'(z_0)|e^{i\arg f'(z_0)}$ — поворот на $\arg f'(z_0)$ и растяжение в $|f'(z_0)|$ раз. $\blacksquare$

теорема

Критерий конформности в точке

Формулировка

Пусть $f$ $\mathbb R$ -дифференцируема в точке $z_0$ и её якобиан в $z_0$ отличен от нуля. Отображение $w = f(z)$ конформно в $z_0$ тогда и только тогда, когда $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема в $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$ . Якобиан отображения равен

J_f = |f_z|^2 - |f_{\bar z}|^2,

и для голоморфной функции $J_f = |f'|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Якобиан: $J = u_xv_y - u_yv_x$ . Подставляя $f_z = \frac12(u_x + v_y) + \frac i2(v_x - u_y)$ и $f_{\bar z} = \frac12(u_x - v_y) + \frac i2(v_x + u_y)$ , получаем $|f_z|^2 - |f_{\bar z}|^2 = u_xv_y - u_yv_x$ .

Достаточность следует из теоремы о геометрическом смысле производной: все направления поворачиваются на один и тот же угол, а растяжение равно $|f'(z_0)|$ .

Необходимость. Дифференциал $L(h) = ah + b\bar h$ переводит направление $e^{i\varphi}$ в $L(e^{i\varphi}) = e^{i\varphi}(a + be^{-2i\varphi})$ . Сохранение углов с направлением отсчёта означает, что $\arg L(e^{i\varphi}) - \varphi = \arg(a + be^{-2i\varphi})$ не зависит от $\varphi$ . Но при $b\ne 0$ точка $a + be^{-2i\varphi}$ пробегает окружность радиуса $|b| > 0$ , а окружность не лежит на одном луче. Значит, $b = 0$ , $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема, и $f'(z_0) = a\ne 0$ , так как $J = |a|^2\ne 0$ . $\blacksquare$

теорема

Восстановление голоморфной функции по вещественной части

Формулировка

Если $f = u + iv$ голоморфна в области $D$ и $u, v\in C^2(D)$ , то $u$ и $v$ гармоничны: $\Delta u = \Delta v = 0$ . (Позже будет доказано, что голоморфные функции бесконечно дифференцируемы, так что условие $C^2$ выполняется всегда.)
Если $u\in C^2(D)$ гармонична в односвязной области $D$ , то существует голоморфная в $D$ функция $f$ с $\operatorname{Re}f = u$ ; она определена с точностью до слагаемого $iC$ , $C\in\mathbb R$ , и

v(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)}-u_y\,dx + u_x\,dy + C.

Доказательство

Развернуть

Из условий Коши–Римана $u_{xx} = v_{yx}$ , $u_{yy} = -v_{xy}$ ; при $v\in C^2$ смешанные производные равны, и $\Delta u = 0$ . Аналогично для $v$ .
Форма $-u_y\,dx + u_x\,dy$ замкнута: $\frac{\partial(-u_y)}{\partial y} = -u_{yy} = u_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x}$ . В односвязной области криволинейный интеграл замкнутой формы не зависит от пути и задаёт функцию $v$ с $v_x = -u_y$ , $v_y = u_x$ . Это условия Коши–Римана для $f = u + iv$ , а $u, v\in C^1$ , так что $f$ голоморфна. Если $f_1$ , $f_2$ — две такие функции, то $\operatorname{Re}(f_1 - f_2) = 0$ , и по условиям Коши–Римана мнимая часть разности постоянна. $\blacksquare$

Проверка условий Коши–Римана

Условие

В каких точках дифференцируемы функции а) $f = \bar z$ ; б) $f = z^2$ ; в) $f = |z|^2$ ; г) $f = z\operatorname{Re}z$ ? Где они голоморфны?

Решение

Развернуть

а) $u = x$ , $v = -y$ : $u_x = 1\ne v_y = -1$ — нигде не дифференцируема.

б) $u = x^2 - y^2$ , $v = 2xy$ : $u_x = 2x = v_y$ , $u_y = -2y = -v_x$ — целая функция, $f' = 2z$ .

в) $u = x^2 + y^2$ , $v = 0$ : $u_x = 2x = 0$ , $u_y = 2y = 0$ — дифференцируема только в точке $0$ , нигде не голоморфна.

г) $f = x^2 + ixy$ : $u_x = 2x$ , $v_y = x$ , $u_y = 0$ , $v_x = y$ . Условия: $2x = x$ , $0 = -y$ , то есть только $z = 0$ . Нигде не голоморфна.

Восстановление голоморфной функции

Условие

Найти голоморфную функцию $f$ с $\operatorname{Re}f = x^2 - y^2 + x$ и $f(0) = 0$ .

Решение

Развернуть

$\Delta u = 2 - 2 = 0$ . Из $v_y = u_x = 2x + 1$ получаем $v = 2xy + y + \varphi(x)$ , а из $v_x = -u_y = 2y$ : $2y + \varphi'(x) = 2y$ , $\varphi = C$ . Условие $f(0) = 0$ даёт $C = 0$ .

$f = x^2 - y^2 + x + i(2xy + y) = z^2 + z$ .

Функция, дифференцируемая на прямой

Условие

Где дифференцируема функция $f = x^2 + iy^2$ ? Найти её производную там.

Решение

Развернуть

$u_x = 2x$ , $v_y = 2y$ , $u_y = 0$ , $v_x = 0$ . Второе условие выполнено всегда, первое — при $x = y$ . Функция $\mathbb R$ -дифференцируема всюду, поэтому $\mathbb C$ -дифференцируема ровно на прямой $y = x$ , причём $f' = u_x + iv_x = 2x$ . Ни в одной точке она не голоморфна: у точки прямой нет окрестности, где выполнялись бы условия.

Растяжение и поворот при отображении w = z²

Условие

Найти коэффициент растяжения и угол поворота отображения $w = z^2$ в точке $z_0 = 1 + i$ . Какая часть плоскости при этом отображении растягивается, а какая сжимается?

Решение

Развернуть

$w' = 2z$ , $w'(1 + i) = 2 + 2i$ : растяжение $|2 + 2i| = 2\sqrt2$ , поворот $\arg(2 + 2i) = \frac\pi4$ .

Растяжение $|2z| > 1$ при $|z| > \frac12$ , сжатие — при $|z| < \frac12$ . В точке $0$ производная равна нулю, и конформность нарушается: углы с вершиной в нуле удваиваются.

Сопряжённая гармоническая функция для eˣcos y

Условие

Проверить, что $u = e^x\cos y$ гармонична, найти голоморфную $f$ с $\operatorname{Re}f = u$ , $f(0) = 1$ , и доказать, что $f' = f$ .

Решение

Развернуть

$u_{xx} = e^x\cos y$ , $u_{yy} = -e^x\cos y$ , сумма равна нулю. $v_y = u_x = e^x\cos y$ даёт $v = e^x\sin y + \varphi(x)$ , а $v_x = -u_y = e^x\sin y$ даёт $\varphi = C$ . Из $f(0) = 1$ находим $C = 0$ :

f = e^x(\cos y + i\sin y).

$f' = u_x + iv_x = e^x\cos y + ie^x\sin y = f$ . Эта функция — комплексная экспонента $e^z$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

R- и C-дифференцируемость. Производные Виртингера

Пусть функция $f = u + iv$ определена в окрестности точки $z_0$ .

$f$ называется $\mathbb R$ -дифференцируемой в $z_0$ , если $u$ и $v$ дифференцируемы как функции двух вещественных переменных. Это равносильно представлению

f(z_0 + h) - f(z_0) = ah + b\bar h + o(h),\qquad h\to 0,

где $a = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac12(f_x - if_y)$ , $b = \frac{\partial f}{\partial\bar z} = \frac12(f_x + if_y)$ — производные Виртингера.

$f$ называется $\mathbb C$ -дифференцируемой в $z_0$ , если существует предел

f'(z_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h},

то есть $f(z_0 + h) - f(z_0) = f'(z_0)h + o(h)$ . Число $f'(z_0)$ называется комплексной производной.

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Конформность отображения в точке

Отображение $w = f(z)$ , определённое в окрестности точки $z_0$ , называется конформным в точке $z_0$ , если оно:

сохраняет углы между гладкими кривыми, выходящими из $z_0$ , — и по величине, и по направлению отсчёта;
обладает свойством постоянства растяжения: предел $\lim_{z\to z_0}\frac{|f(z) - f(z_0)|}{|z - z_0|}$ существует, конечен и положителен.

Отображение называется конформным в области, если оно взаимно однозначно и конформно в каждой её точке.

Область. Граница. Односвязность

Множество $D\subset\mathbb C$ называется областью, если оно открыто и связно (любые две его точки соединяются ломаной, лежащей в $D$ ).

Граница $\partial D$ — множество точек, в любой окрестности которых есть точки как из $D$ , так и не из $D$ . Множество $\overline D = D\cup\partial D$ называется замкнутой областью.

Область $D\subset\mathbb C$ называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в $D$ , её внутренность также лежит в $D$ . Например, круг и полуплоскость односвязны, а кольцо $1 < |z| < 2$ и проколотый круг — нет.

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

$e^z$ — целая функция, $(e^z)' = e^z$ , $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$ , $e^z\ne 0$ , $|e^z| = e^x$ , $\operatorname{Arg}e^z = y + 2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; функция периодична с периодом $2\pi i$ .
$e^z$ однолистна в любой горизонтальной полосе ширины $2\pi$ ; полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ она конформно отображает на верхнюю полуплоскость, а полосу $0 < \operatorname{Im}z < 2\pi$ — на $\mathbb C\setminus[0, +\infty)$ .
$\cos z$ , $\sin z$ — целые функции, $(\sin z)' = \cos z$ , $(\cos z)' = -\sin z$ , $\cos^2z + \sin^2z = 1$ , $\cos iz = \operatorname{ch}z$ , $\sin iz = i\operatorname{sh}z$ . Они периодичны с периодом $2\pi$ ; нули $\sin z$ — только числа $\pi k$ , нули $\cos z$ — только числа $\frac\pi2 + \pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; они не ограничены в $\mathbb C$ .

Доказательство

Развернуть

$u = e^x\cos y$ , $v = e^x\sin y$ удовлетворяют условиям Коши–Римана, и $(e^z)' = u_x + iv_x = e^z$ . Формула сложения следует из формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. $|e^z| = e^x > 0$ , и $e^{z + 2\pi i} = e^z$ .
$e^{z_1} = e^{z_2}$ равносильно $z_1 - z_2 = 2\pi ik$ , поэтому в полосе ширины $2\pi$ (без одной граничной прямой) функция однолистна. Прямая $y = c$ переходит в луч $\arg w = c$ , отрезок $x = c$ , $0 < y < \pi$ — в полуокружность $|w| = e^c$ в верхней полуплоскости. Значит, полоса $0 < y < \pi$ переходит в верхнюю полуплоскость; аналогично для полосы ширины $2\pi$ .
Голоморфность и формулы производных следуют из свойств экспоненты. $\cos^2z + \sin^2z = \frac{(e^{iz} + e^{-iz})^2 - (e^{iz} - e^{-iz})^2}{4} = 1$ . Уравнение $\sin z = 0$ равносильно $e^{2iz} = 1$ , то есть $2iz = 2\pi ik$ , $z = \pi k$ . Нули $\cos z$ получаются из тождества $\cos z = \sin\left(z + \frac\pi2\right)$ . Неограниченность: $|\cos(iy)| = \operatorname{ch}y\to\infty$ . $\blacksquare$

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

В области $D = \mathbb C\setminus l$ , где $l$ — луч, выходящий из нуля, логарифм имеет бесконечно много регулярных ветвей; они отличаются на $2\pi ik$ , и для каждой $(\ln z)' = \frac1z$ .
Степень $z^\alpha = e^{\alpha\ln z}$ в той же области имеет регулярные ветви, $(z^\alpha)' = \alpha\frac{z^\alpha}z$ . При $\alpha = \frac1n$ ветвей ровно $n$ , они отличаются множителями $e^{2\pi ik/n}$ .
В области, содержащей замкнутый путь с ненулевым индексом относительно нуля (например, в кольце $1 < |z| < 2$ ), регулярной ветви логарифма не существует.

Доказательство

Развернуть

В $D$ существует непрерывная ветвь аргумента $\arg z$ (со значениями в интервале длины $2\pi$ ). Функция $f(z) = \ln|z| + i\arg z$ непрерывна и $e^{f(z)} = z$ . Она взаимно однозначна (обратна экспоненте на полосе), и по теореме о производной обратной функции $f'(z) = \frac1{e^{f(z)}} = \frac1z$ . Две ветви $f_1, f_2$ удовлетворяют $e^{f_1 - f_2} = 1$ , то есть $f_1 - f_2\in 2\pi i\mathbb Z$ — непрерывная функция с дискретными значениями, постоянная в области.
$z^\alpha$ — композиция голоморфных функций. $(e^{\alpha\ln z})' = e^{\alpha\ln z}\cdot\frac\alpha z$ . При $\alpha = \frac1n$ замена ветви логарифма умножает корень на $e^{2\pi ik/n}$ ; различных значений $n$ .
Если $f$ — непрерывная ветвь логарифма, то $\operatorname{Im}f$ — непрерывная ветвь аргумента вдоль любого пути в области. Для замкнутого пути её приращение равно нулю, а должно быть $2\pi\operatorname{ind}_\gamma(0)\ne 0$ . $\blacksquare$

Группа дробно-линейных отображений

Формулировка

Дробно-линейная функция взаимно однозначно отображает $\overline{\mathbb C}$ на себя; обратная к ней и композиция двух дробно-линейных функций — снова дробно-линейные. Композиции отвечает произведение матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ .
Любая дробно-линейная функция — композиция сдвигов $z\mapsto z + b$ , растяжений с поворотом $z\mapsto az$ и инверсии $z\mapsto 1/z$ .
Дробно-линейная функция конформна во всех точках $\mathbb C$ , кроме полюса $-d/c$ : $w' = \dfrac{ad - bc}{(cz + d)^2}\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Уравнение $w = \frac{az + b}{cz + d}$ однозначно разрешимо: $z = \frac{dw - b}{-cw + a}$ (определитель тот же, $ad - bc\ne 0$ ), с учётом соглашений о точках $\infty$ и $-d/c$ . Подстановка одной дробно-линейной функции в другую даёт дробь, коэффициенты которой — элементы произведения матриц; её определитель — произведение определителей, ненулевой.
При $c = 0$ : $w = \frac adz + \frac bd$ . При $c\ne 0$ :

w = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d},

то есть композиция $z\mapsto cz + d$ , $\zeta\mapsto 1/\zeta$ , умножения на $\frac{bc - ad}c$ и сдвига на $\frac ac$ .

Производная вычисляется по правилу дифференцирования частного и не обращается в нуль. По критерию конформности функция конформна. $\blacksquare$

Свойства функции Жуковского

Формулировка

$J(z_1) = J(z_2)$ тогда и только тогда, когда $z_1 = z_2$ или $z_1z_2 = 1$ . Поэтому $J$ однолистна в круге $|z| < 1$ и во внешности $|z| > 1$ .
$J$ конформно отображает круг $|z| < 1$ (и внешность $|z| > 1$ ) на $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ . Окружности $|z| = r\ne 1$ переходят в эллипсы с фокусами $\pm1$ и полуосями $\frac12\left(r + \frac1r\right)$ , $\frac12\left|r - \frac1r\right|$ ; единичная окружность — в отрезок $[-1, 1]$ , пройденный дважды.
Обратная функция $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$ имеет в $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ две регулярные ветви, произведение которых равно $1$ .

Доказательство

Развернуть

$J(z_1) - J(z_2) = \frac12(z_1 - z_2)\left(1 - \frac1{z_1z_2}\right)$ .
При $z = re^{it}$ :

J(z) = \frac12\left(r + \frac1r\right)\cos t + \frac i2\left(r - \frac1r\right)\sin t,

что при $r\ne 1$ — параметризация эллипса с полуосями $a$ , $b$ , где $a^2 - b^2 = 1$ , то есть с фокусами $\pm1$ . При $r = 1$ получаем $\cos t\in[-1, 1]$ . Так как $J$ однолистна в круге, $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})\ne 0$ там, а эллипсы при $r\to 0$ заполняют всё $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ (и $J(0) = \infty$ ), образ круга — $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ .

Уравнение $w = \frac12(z + z^{-1})$ равносильно $z^2 - 2wz + 1 = 0$ , корни $z_{1,2} = w\pm\sqrt{w^2 - 1}$ , $z_1z_2 = 1$ . В $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ функция $\sqrt{w^2 - 1}$ имеет регулярные ветви: это ветви обратных отображений к однолистным отображениям из п. 2, голоморфные по теореме о производной обратной функции. $\blacksquare$

Критерий локальной однолистности

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в точке $a$ , локально однолистна в $a$ тогда и только тогда, когда $f'(a)\ne 0$ . Если $f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0$ , $f^{(m)}(a)\ne 0$ ( $m\ge 2$ ), то в окрестности $a$ отображение $f$ является $m$ -листным: каждое значение $w\ne f(a)$ , близкое к $f(a)$ , принимается ровно в $m$ различных точках.

Если $f$ однолистна в области $D$ , то $f'\ne 0$ в $D$ , а обратная функция $f^{-1}$ голоморфна в $f(D)$ .

Доказательство

Развернуть

Порядок нуля $f - f(a)$ в точке $a$ равен $m$ — номеру первой ненулевой производной. По принципу сохранения области при $w$ , близких к $f(a)$ , уравнение $f(z) = w$ имеет $m$ корней с учётом кратности в малой окрестности $a$ . При $w\ne f(a)$ все они простые: $f'$ не имеет нулей в проколотой окрестности $a$ (нули $f'$ изолированы). Значит, при $m = 1$ функция локально однолистна, а при $m\ge 2$ каждое близкое значение принимается в $m$ различных точках.

Если $f$ однолистна в $D$ , то по доказанному $f'\ne 0$ . Обратная функция непрерывна (так как $f$ открыто по принципу сохранения области), и по теореме о производной обратной функции голоморфна. $\blacksquare$

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение

Формулировка

Если функция $f$ голоморфна и однолистна в области $D$ , то $G = f(D)$ — область, $f$ конформно отображает $D$ на $G$ , обратное отображение голоморфно, и в каждой точке $D$ отображение конформно (сохраняет углы и имеет постоянное растяжение).

Доказательство

Развернуть

$G$ — область по принципу сохранения области. По критерию локальной однолистности $f'\ne 0$ в $D$ , а обратная функция голоморфна. По критерию конформности в точке ( $f'(z)\ne 0$ ) отображение конформно в каждой точке. $\blacksquare$

Дифференцируемость. Условия Коши–Римана

Условия Коши–Римана

Формулировка

Доказательство

Свойства комплексной производной

Формулировка

Доказательство

Производная по направлению. Геометрический смысл производной

Формулировка

Доказательство

Критерий конформности в точке

Формулировка

Доказательство

Восстановление голоморфной функции по вещественной части

Формулировка

Доказательство

Проверка условий Коши–Римана

Условие

Решение

Восстановление голоморфной функции

Условие

Решение

Функция, дифференцируемая на прямой

Условие

Решение

Растяжение и поворот при отображении w = z²

Условие

Решение

Сопряжённая гармоническая функция для eˣcos y

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

R- и C-дифференцируемость. Производные Виртингера

Голоморфная функция

Конформность отображения в точке

Область. Граница. Односвязность

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

Доказательство

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

Доказательство

Группа дробно-линейных отображений

Формулировка

Доказательство

Свойства функции Жуковского

Формулировка

Доказательство

Критерий локальной однолистности

Формулировка

Доказательство

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение

Формулировка

Доказательство