Конформные отображения. Лемма Шварца

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение
Принцип соответствия границ
Лемма Шварца
Автоморфизмы единичного круга
Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы
Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

теорема

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение

Формулировка

Если функция $f$ голоморфна и однолистна в области $D$ , то $G = f(D)$ — область, $f$ конформно отображает $D$ на $G$ , обратное отображение голоморфно, и в каждой точке $D$ отображение конформно (сохраняет углы и имеет постоянное растяжение).

Доказательство

Развернуть

$G$ — область по принципу сохранения области. По критерию локальной однолистности $f'\ne 0$ в $D$ , а обратная функция голоморфна. По критерию конформности в точке ( $f'(z)\ne 0$ ) отображение конформно в каждой точке. $\blacksquare$

теорема

Принцип соответствия границ

Формулировка

Пусть $D$ и $G$ — жордановы области, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ и взаимно однозначно отображает $\partial D$ на $\partial G$ с сохранением ориентации. Тогда $f$ конформно отображает $D$ на $G$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $w_0\notin\partial G$ . Число корней уравнения $f(z) = w_0$ в $D$ по принципу аргумента равно $\frac1{2\pi}\Delta_{\partial D}\arg(f(z) - w_0)$ , то есть индексу кривой $f(\partial D) = \partial G$ (проходимой один раз в положительном направлении) относительно $w_0$ . Этот индекс равен $1$ при $w_0\in G$ и $0$ при $w_0$ вне $\overline G$ .

Значит, каждое значение из $G$ принимается в $D$ ровно один раз, а значения вне $\overline G$ не принимаются. Значения на $\partial G$ в $D$ тоже не принимаются: иначе по принципу сохранения области образ окрестности такой точки содержал бы точки вне $\overline G$ . Итак, $f$ — взаимно однозначное отображение $D$ на $G$ . $\blacksquare$

теорема

Лемма Шварца

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , $|f(z)| < 1$ и $f(0) = 0$ . Тогда

|f(z)|\le|z|\quad(|z| < 1),\qquad|f'(0)|\le 1.

Если хотя бы в одной точке $z_0\ne 0$ выполнено $|f(z_0)| = |z_0|$ или $|f'(0)| = 1$ , то $f(z) = e^{i\theta}z$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $g(z) = f(z)/z$ имеет в нуле устранимую особенность ( $f(0) = 0$ ), и $g(0) = f'(0)$ . При $|z| = r < 1$ имеем $|g(z)|\le\frac1r$ , и по принципу максимума $|g|\le\frac1r$ в круге $|z|\le r$ . Устремляя $r\to 1$ , получаем $|g|\le 1$ , то есть $|f(z)|\le|z|$ и $|f'(0)|\le 1$ .

Если $|g(z_0)| = 1$ во внутренней точке, то $|g|$ достигает максимума внутри, и по принципу максимума $g\equiv e^{i\theta}$ . $\blacksquare$

теорема

Автоморфизмы единичного круга

Формулировка

Все автоморфизмы круга $|z| < 1$ задаются формулой

w = e^{i\theta}\frac{z - a}{1 - \bar az},\qquad|a| < 1,\ \theta\in\mathbb R.

Доказательство

Развернуть

Функция $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ дробно-линейна. При $|z| = 1$ имеем $|1 - \bar az| = |\bar z - \bar a| = |z - a|$ , так что окружность переходит в себя. Точка $a$ переходит в $0$ , поэтому круг переходит в круг (по принципу соответствия границ или по связности). Значит, указанные функции — автоморфизмы.

Пусть $f$ — автоморфизм, $f(a) = 0$ . Тогда $g = f\circ\varphi_a^{-1}$ — автоморфизм с $g(0) = 0$ . По лемме Шварца $|g(z)|\le|z|$ , а для обратного автоморфизма $|g^{-1}(w)|\le|w|$ , то есть $|z|\le|g(z)|$ . Значит, $|g(z)| = |z|$ и $g(z) = e^{i\theta}z$ , откуда $f = e^{i\theta}\varphi_a$ . $\blacksquare$

теорема

Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы

Формулировка

$\operatorname{Aut}\{\operatorname{Im}z > 0\}$ — дробно-линейные функции $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ с $a, b, c, d\in\mathbb R$ , $ad - bc > 0$ .
$\operatorname{Aut}\mathbb C$ — линейные функции $w = az + b$ , $a\ne 0$ .
$\operatorname{Aut}\overline{\mathbb C}$ — все дробно-линейные функции.

Доказательство

Развернуть

Отображение Кэли $\kappa(z) = \frac{z - i}{z + i}$ переводит полуплоскость в круг (точки $\mathbb R$ равноудалены от $\pm i$ , а $i\mapsto 0$ ), поэтому $\operatorname{Aut}H = \kappa^{-1}\circ\operatorname{Aut}\mathbb D\circ\kappa$ — дробно-линейные функции, сохраняющие полуплоскость. Такая функция переводит $\mathbb R\cup\{\infty\}$ в себя и потому может быть записана с вещественными коэффициентами (три вещественные точки переходят в вещественные). Условие $\operatorname{Im}w(i) > 0$ даёт $ad - bc > 0$ , так как $\operatorname{Im}\frac{ai + b}{ci + d} = \frac{ad - bc}{c^2 + d^2}$ .
Автоморфизм $f$ плоскости — однолистная целая функция. Точка $\infty$ не может быть существенно особой: по теореме Сохоцкого значения $f$ вблизи $\infty$ приближали бы значение $f(0)$ , которое уже принимается в окрестности нуля, что противоречит однолистности (по принципу сохранения области). Не может она быть и устранимой (иначе $f$ постоянна). Значит, это полюс, $f$ — многочлен, а однолистный многочлен имеет степень $1$ .
Если $f\in\operatorname{Aut}\overline{\mathbb C}$ , возьмём дробно-линейную $L$ с $L(f(\infty)) = \infty$ . Тогда $L\circ f$ — автоморфизм, сохраняющий $\infty$ , его ограничение на $\mathbb C$ — автоморфизм плоскости, то есть линейная функция. Значит, $f$ дробно-линейна. $\blacksquare$

теорема

Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

Формулировка

Степень $w = z^{\pi/\alpha}$ (ветвь, для которой $z^{\pi/\alpha} = r^{\pi/\alpha}e^{i\pi\varphi/\alpha}$ при $z = re^{i\varphi}$ , $0 < \varphi < \alpha$ ) конформно отображает угол $0 < \arg z < \alpha$ , $0 < \alpha\le 2\pi$ , на верхнюю полуплоскость.
$w = e^z$ конформно отображает полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ на верхнюю полуплоскость; $w = \ln z$ — обратное отображение.
$w = \dfrac{z - i}{z + i}$ (отображение Кэли) конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг.
Функция Жуковского конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка $[-1, 1]$ , а верхнюю половину единичного круга — на нижнюю полуплоскость.
Дробно-линейная функция, переводящая точку пересечения двух окружностей в $\infty$ , отображает «двуугольник» (луночку) на угол.

Доказательство

Развернуть

При $z = re^{i\varphi}$ имеем $w = r^{\pi/\alpha}e^{i\pi\varphi/\alpha}$ : луч $\arg z = \varphi$ переходит в луч $\arg w = \frac{\pi\varphi}\alpha\in(0, \pi)$ , функция однолистна в угле и голоморфна (ветвь степени из теоремы о ветвях).
Доказано в теореме о свойствах показательной функции; обратное к однолистному голоморфному отображению голоморфно.
Точки вещественной оси равноудалены от $i$ и $-i$ , поэтому переходят в $|w| = 1$ , а $i\mapsto 0$ .
Утверждение о внешности круга доказано в теореме о функции Жуковского. При $z = re^{it}$ имеем $\operatorname{Im}J = \frac12\left(r - \frac1r\right)\sin t$ . Поэтому при $r < 1$ верхний полукруг переходит в нижнюю полуплоскость, нижний — в верхнюю, а интервалы $(0, 1)$ и $(-1, 0)$ — в $(1, +\infty)$ и $(-\infty, -1)$ . Так как $J$ однолистно отображает круг на $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ , верхний полукруг отображается на всю нижнюю полуплоскость.
Окружности, проходящие через точку, переходящую в $\infty$ , переходят в прямые, пересекающиеся под тем же углом (конформность), и область между дугами — в угол. $\blacksquare$

Отображение угла на круг

Условие

Отобразить угол $0 < \arg z < \frac\pi4$ на единичный круг.

Решение

Развернуть

$\zeta = z^4$ переводит угол в верхнюю полуплоскость, а отображение Кэли — полуплоскость в круг:

w = \frac{z^4 - i}{z^4 + i}.

Отображение полосы на круг

Условие

Отобразить полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ на единичный круг так, чтобы точка $\frac{\pi i}2$ перешла в $0$ .

Решение

Развернуть

$\zeta = e^z$ переводит полосу в верхнюю полуплоскость, причём $\frac{\pi i}2\mapsto i$ . Отображение Кэли переводит $i$ в $0$ :

w = \frac{e^z - i}{e^z + i}.

Оценка по лемме Шварца

Условие

Функция $f$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , $|f| < 1$ и $f\left(\frac12\right) = 0$ . Оценить $|f(0)|$ .

Решение

Развернуть

Автоморфизм $\varphi(z) = \frac{z + 1/2}{1 + z/2}$ переводит $0$ в $\frac12$ , а $\varphi^{-1}(w) = \frac{w - 1/2}{1 - w/2}$ . Функция $g = f\circ\varphi$ удовлетворяет условиям леммы Шварца, так что $|g(\zeta)|\le|\zeta|$ . Тогда

|f(0)| = \left|g\bigl(\varphi^{-1}(0)\bigr)\right|\le|\varphi^{-1}(0)| = \frac12.

Оценка точна: для $f(z) = \frac{z - 1/2}{1 - z/2}$ имеем $|f(0)| = \frac12$ .

Автоморфизм круга с заданными условиями

Условие

Найти автоморфизм круга $|z| < 1$ , переводящий $\frac12$ в $0$ и имеющий в этой точке положительную производную.

Решение

Развернуть

$w = e^{i\theta}\frac{z - 1/2}{1 - z/2}$ , $w'\left(\frac12\right) = e^{i\theta}\frac{1 - 1/4}{(1 - 1/4)^2} = \frac43e^{i\theta}$ . Положительность требует $\theta = 0$ :

w = \frac{2z - 1}{2 - z}.

Отображение полукруга на полуплоскость

Условие

Отобразить верхнюю половину единичного круга на верхнюю полуплоскость.

Решение

Развернуть

$\zeta = \frac{1 + z}{1 - z}$ переводит круг в правую полуплоскость: $-1\mapsto 0$ , $1\mapsto\infty$ , $i\mapsto i$ . Диаметр $(-1, 1)$ переходит в положительную полуось, верхняя полуокружность — в положительную мнимую полуось. Значит, полукруг переходит в первую четверть. Возведение в квадрат даёт верхнюю полуплоскость:

w = \left(\frac{1 + z}{1 - z}\right)^2.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Конформное отображение области. Автоморфизмы

Конформным отображением области $D\subset\overline{\mathbb C}$ на область $G$ называется взаимно однозначное отображение $D$ на $G$ , голоморфное в $D$ (если $\infty\in D$ или $f$ принимает значение $\infty$ , голоморфность понимается в локальных координатах $1/z$ и $1/w$ соответственно). Области называются конформно эквивалентными, если существует конформное отображение одной на другую.

Автоморфизмом области $D$ называется конформное отображение $D$ на себя. Автоморфизмы образуют группу $\operatorname{Aut}D$ относительно композиции.

Однолистная и локально однолистная функция

Функция $f$ , голоморфная в области $D$ , называется однолистной в $D$ , если она взаимно однозначна на $D$ : $f(z_1)\ne f(z_2)$ при $z_1\ne z_2$ .

$f$ называется локально однолистной в точке $a$ , если она однолистна в некоторой окрестности $a$ . В этом случае у неё есть (локальная) обратная функция в окрестности $f(a)$ .

Конформность отображения в точке

Отображение $w = f(z)$ , определённое в окрестности точки $z_0$ , называется конформным в точке $z_0$ , если оно:

сохраняет углы между гладкими кривыми, выходящими из $z_0$ , — и по величине, и по направлению отсчёта;
обладает свойством постоянства растяжения: предел $\lim_{z\to z_0}\frac{|f(z) - f(z_0)|}{|z - z_0|}$ существует, конечен и положителен.

Отображение называется конформным в области, если оно взаимно однозначно и конформно в каждой её точке.

Допустимая область и её ориентированная граница

По теореме Жордана замкнутая жорданова кривая $\Gamma$ разбивает плоскость на две области: ограниченную (внутренность, жорданова область) и неограниченную; $\Gamma$ — их общая граница.

Ограниченная область $D$ называется допустимой, если её граница состоит из конечного числа попарно непересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.

Положительно ориентированной границей $\partial D$ допустимой области называется граница, обходимая так, что область остаётся слева: внешняя граница — против часовой стрелки, внутренние — по часовой.

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Дробно-линейная функция

Дробно-линейной функцией называется функция

w = \frac{az + b}{cz + d},\qquad ad - bc\ne 0.

Она доопределяется на $\overline{\mathbb C}$ : при $c\ne 0$ полагают $w(-d/c) = \infty$ , $w(\infty) = a/c$ ; при $c = 0$ — $w(\infty) = \infty$ .

Двойным (ангармоническим) отношением четырёх различных точек называется

(z, z_1, z_2, z_3) = \frac{z - z_1}{z - z_2}:\frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}

(с естественным предельным смыслом, если одна из точек равна $\infty$ ).

Многозначные функции и их ветви. Логарифм

Логарифмом числа $z\ne 0$ называется любое решение $w$ уравнения $e^w = z$ . Множество всех логарифмов

\operatorname{Ln}z = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.

Регулярной (однозначной голоморфной) ветвью многозначной функции в области $D$ называется голоморфная в $D$ функция, значение которой в каждой точке — одно из значений многозначной функции. Главная ветвь логарифма в $\mathbb C\setminus(-\infty, 0]$ : $\ln z = \ln|z| + i\arg z$ , $\arg z\in(-\pi, \pi)$ .

Через логарифм определяются:

общая степень $z^\alpha = e^{\alpha\operatorname{Ln}z}$ (в частности, корень $\sqrt[n]z = z^{1/n}$ );
обратные тригонометрические функции, например $\operatorname{Arccos}w = -i\operatorname{Ln}\left(w + \sqrt{w^2 - 1}\right)$ ;
функция, обратная функции Жуковского: $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$ .

Критерий локальной однолистности

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в точке $a$ , локально однолистна в $a$ тогда и только тогда, когда $f'(a)\ne 0$ . Если $f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0$ , $f^{(m)}(a)\ne 0$ ( $m\ge 2$ ), то в окрестности $a$ отображение $f$ является $m$ -листным: каждое значение $w\ne f(a)$ , близкое к $f(a)$ , принимается ровно в $m$ различных точках.

Если $f$ однолистна в области $D$ , то $f'\ne 0$ в $D$ , а обратная функция $f^{-1}$ голоморфна в $f(D)$ .

Доказательство

Развернуть

Порядок нуля $f - f(a)$ в точке $a$ равен $m$ — номеру первой ненулевой производной. По принципу сохранения области при $w$ , близких к $f(a)$ , уравнение $f(z) = w$ имеет $m$ корней с учётом кратности в малой окрестности $a$ . При $w\ne f(a)$ все они простые: $f'$ не имеет нулей в проколотой окрестности $a$ (нули $f'$ изолированы). Значит, при $m = 1$ функция локально однолистна, а при $m\ge 2$ каждое близкое значение принимается в $m$ различных точках.

Если $f$ однолистна в $D$ , то по доказанному $f'\ne 0$ . Обратная функция непрерывна (так как $f$ открыто по принципу сохранения области), и по теореме о производной обратной функции голоморфна. $\blacksquare$

Принцип сохранения области

Формулировка

Если $f$ голоморфна и не постоянна в области $D$ , то $f(D)$ — область. Более точно: если $f(a) = w_0$ и $a$ — нуль порядка $m$ функции $f - w_0$ , то существуют $r > 0$ и $\delta > 0$ такие, что при $|w - w_0| < \delta$ уравнение $f(z) = w$ имеет в круге $|z - a| < r$ ровно $m$ корней с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули $f - w_0$ изолированы, поэтому есть круг $|z - a|\le r$ , лежащий в $D$ , в котором $a$ — единственный нуль $f - w_0$ . Пусть $\delta = \min_{|z - a| = r}|f(z) - w_0| > 0$ . При $|w - w_0| < \delta$ запишем $f - w = (f - w_0) + (w_0 - w)$ ; на окружности $|w_0 - w| < \delta\le|f - w_0|$ . По теореме Руше $f - w$ имеет в круге столько же нулей, сколько $f - w_0$ , то есть $m\ge 1$ .

Значит, круг $|w - w_0| < \delta$ лежит в $f(D)$ , и $f(D)$ открыто. Связность: образ связного множества при непрерывном отображении связен (образ ломаной — путь). $\blacksquare$

Критерий конформности в точке

Формулировка

Пусть $f$ $\mathbb R$ -дифференцируема в точке $z_0$ и её якобиан в $z_0$ отличен от нуля. Отображение $w = f(z)$ конформно в $z_0$ тогда и только тогда, когда $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема в $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$ . Якобиан отображения равен

J_f = |f_z|^2 - |f_{\bar z}|^2,

и для голоморфной функции $J_f = |f'|^2$ .

Доказательство

Развернуть

Якобиан: $J = u_xv_y - u_yv_x$ . Подставляя $f_z = \frac12(u_x + v_y) + \frac i2(v_x - u_y)$ и $f_{\bar z} = \frac12(u_x - v_y) + \frac i2(v_x + u_y)$ , получаем $|f_z|^2 - |f_{\bar z}|^2 = u_xv_y - u_yv_x$ .

Достаточность следует из теоремы о геометрическом смысле производной: все направления поворачиваются на один и тот же угол, а растяжение равно $|f'(z_0)|$ .

Необходимость. Дифференциал $L(h) = ah + b\bar h$ переводит направление $e^{i\varphi}$ в $L(e^{i\varphi}) = e^{i\varphi}(a + be^{-2i\varphi})$ . Сохранение углов с направлением отсчёта означает, что $\arg L(e^{i\varphi}) - \varphi = \arg(a + be^{-2i\varphi})$ не зависит от $\varphi$ . Но при $b\ne 0$ точка $a + be^{-2i\varphi}$ пробегает окружность радиуса $|b| > 0$ , а окружность не лежит на одном луче. Значит, $b = 0$ , $f$ $\mathbb C$ -дифференцируема, и $f'(z_0) = a\ne 0$ , так как $J = |a|^2\ne 0$ . $\blacksquare$

Принцип аргумента

Формулировка

В условиях теоремы о логарифмическом вычете

N - P = \frac1{2\pi}\Delta_{\partial D}\arg f(z),

где $\Delta_{\partial D}\arg f$ — суммарное приращение аргумента $f(z)$ при обходе положительно ориентированной границы. Для жордановой области $D$ это индекс пути $f(\partial D)$ относительно точки $0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — одна из замкнутых компонент границы, $w(t) = f(\gamma(t))\ne 0$ . Возьмём непрерывную ветвь $\theta(t)$ аргумента $w(t)$ ; тогда $\Lambda(t) = \ln|w(t)| + i\theta(t)$ — непрерывная ветвь логарифма вдоль пути, кусочно-гладкая, и

\Lambda'(t) = \frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{f'(\gamma(t))\gamma'(t)}{f(\gamma(t))}.

(Это проверяется дифференцированием равенства $e^{\Lambda(t)} = w(t)$ .) Поэтому

\oint_\gamma\frac{f'}f\,dz = \Lambda(\beta) - \Lambda(\alpha) = \bigl[\ln|w|\bigr]_\alpha^\beta + i\Delta_\gamma\arg f = i\Delta_\gamma\arg f,

так как путь замкнут. Суммируя по компонентам границы и применяя теорему о логарифмическом вычете, получаем формулу. $\blacksquare$

Принцип максимума модуля

Формулировка

Если $f$ голоморфна и не постоянна в области $D$ , то $|f|$ не имеет в $D$ локальных максимумов.
Если, кроме того, $D$ ограничена и $f$ непрерывна в $\overline D$ , то

\max_{\overline D}|f| = \max_{\partial D}|f|,

и в точках $D$ значение $|f|$ строго меньше этого максимума.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|f|$ имеет локальный максимум в $a\in D$ . По принципу сохранения области образ любой окрестности $a$ содержит круг с центром $f(a)$ , а в нём есть точки с модулем больше $|f(a)|$ . Противоречие.
Непрерывная функция $|f|$ достигает максимума на компакте $\overline D$ . По п. 1 точка максимума не может лежать в $D$ , значит, она на $\partial D$ . $\blacksquare$

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — устранимая особая точка;
главная часть ряда Лорана в точке $a$ равна нулю;
$f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $a$ .

При этом, доопределив $f(a) = \lim_{z\to a}f(z)$ , получаем функцию, голоморфную в окрестности $a$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ : функция, имеющая конечный предел, ограничена вблизи $a$ .

$3\Rightarrow 2$ : если $|f|\le M$ , то по неравенствам Коши для ряда Лорана $|c_{-n}|\le M\rho^n\to 0$ при $\rho\to 0$ , $n\ge 1$ .

$2\Rightarrow 1$ : если главная часть равна нулю, то $f(z) = \sum_{n\ge 0}c_n(z - a)^n$ в проколотой окрестности, и правая часть — сумма степенного ряда, голоморфная и в самой точке $a$ . Поэтому $\lim_{z\to a}f(z) = c_0$ , и доопределение $f(a) = c_0$ даёт голоморфную функцию. $\blacksquare$

Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии

Формулировка

Двойное отношение инвариантно относительно дробно-линейных отображений: $(w, w_1, w_2, w_3) = (z, z_1, z_2, z_3)$ , если $w = L(z)$ , $w_k = L(z_k)$ .
Для любых двух троек различных точек $z_1, z_2, z_3$ и $w_1, w_2, w_3$ существует единственная дробно-линейная функция с $L(z_k) = w_k$ ; она находится из равенства двойных отношений.
Точки, симметричные относительно окружности (или прямой), переходят в точки, симметричные относительно образа этой окружности.

Доказательство

Развернуть

Для сдвигов и растяжений инвариантность очевидна. Для $w = 1/z$ :

\frac{1/z - 1/z_1}{1/z - 1/z_2} = \frac{z_2(z_1 - z)}{z_1(z_2 - z)},

и в двойном отношении множители $z_2/z_1$ сокращаются. По теореме о группе достаточно этих трёх случаев.

Функция $z\mapsto(z, z_1, z_2, z_3)$ — дробно-линейная, переводящая $z_1, z_2, z_3$ в $0, \infty, 1$ . Композиция её с обратной к аналогичной функции для $w_k$ даёт требуемое отображение. Если $L_1$ , $L_2$ — два таких отображения, то $L_2^{-1}L_1$ имеет три неподвижные точки. Уравнение $\frac{az + b}{cz + d} = z$ — квадратное (или линейное), и при трёх корнях отображение тождественно.
Точки $z$ , $z^*$ симметричны относительно окружности $\Gamma$ тогда и только тогда, когда любая окружность (прямая), проходящая через $z$ и $z^*$ , ортогональна $\Gamma$ . Дробно-линейная функция переводит окружности в окружности (круговое свойство) и сохраняет углы (конформность), поэтому сохраняет и это свойство. $\blacksquare$

Теорема Римана

Формулировка

Всякая односвязная область $D\subset\overline{\mathbb C}$ , граница которой содержит более одной точки, конформно эквивалентна единичному кругу. Для любой точки $z_0\in D$ (конечной) существует единственное конформное отображение $f$ области $D$ на круг $|w| < 1$ с нормировкой

f(z_0) = 0,\qquad f'(z_0) > 0.

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится с обсуждением, существование — без доказательства. Обсудим условия и докажем единственность.

Условие на границу существенно. Если граница пуста ( $D = \overline{\mathbb C}$ ), область компактна, а круг — нет. Если граница — одна точка, то $D$ дробно-линейным отображением переводится в $\mathbb C$ , а конформного отображения $\mathbb C$ на круг нет по теореме Лиувилля (это была бы ограниченная непостоянная целая функция).

Единственность. Пусть $f_1$ , $f_2$ — два нормированных отображения. Тогда $g = f_2\circ f_1^{-1}$ — автоморфизм круга с $g(0) = 0$ , $g'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ . По теореме об автоморфизмах круга $g(w) = e^{i\theta}w$ , и $g'(0) > 0$ даёт $\theta = 0$ , то есть $f_1 = f_2$ .

Идея доказательства существования: среди однолистных отображений $f$ области $D$ в круг с $f(z_0) = 0$ выбирается функция с наибольшим $|f'(z_0)|$ (существует по принципу компактности Монтеля и теореме Гурвица). Если бы она не была отображением «на», с помощью квадратного корня и автоморфизмов круга её можно было бы улучшить. $\blacksquare$

Теорема Сохоцкого

Формулировка

Изолированная особая точка $a$ — существенно особая тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много ненулевых членов.

Теорема Сохоцкого. Если $a$ — существенно особая точка функции $f$ , то для любого $A\in\overline{\mathbb C}$ существует последовательность $z_n\to a$ , для которой $f(z_n)\to A$ .

Доказательство

Развернуть

Первое утверждение следует из описаний устранимых точек (главная часть нулевая) и полюсов (главная часть конечна и ненулевая), так как эти три случая исчерпывают возможности.

Теорема Сохоцкого. Для $A = \infty$ : если бы $f$ была ограничена вблизи $a$ , точка была бы устранимой. Значит, $f$ не ограничена, и есть $z_n\to a$ с $f(z_n)\to\infty$ .

Пусть $A\in\mathbb C$ и, от противного, $|f(z) - A|\ge\delta > 0$ в некоторой проколотой окрестности. Тогда $g = \frac1{f - A}$ голоморфна и ограничена там, и $a$ — устранимая точка $g$ . Если $g(a)\ne 0$ , то $f = A + \frac1g$ имеет конечный предел в $a$ . Если $g(a) = 0$ , то $f\to\infty$ . В обоих случаях $a$ не существенно особая — противоречие. $\blacksquare$

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Пусть $f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$ — ряд Лорана в области $|z| > R$ . Точка $\infty$ :

устранимая $\iff$ $c_n = 0$ при всех $n > 0$ ;
полюс порядка $m\ge 1$ $\iff$ $c_m\ne 0$ и $c_n = 0$ при $n > m$ ;
существенно особая $\iff$ бесконечно много $c_n\ne 0$ с $n > 0$ .

Следствия: целая функция с полюсом порядка $m$ в бесконечности — многочлен степени $m$ ; целая функция с устранимой особенностью в бесконечности постоянна.

Доказательство

Развернуть

Функция $g(\zeta) = f(1/\zeta) = \sum c_n\zeta^{-n}$ имеет в точке $\zeta = 0$ главную часть $\sum_{n>0}c_n\zeta^{-n}$ , и тип особенности $g$ в нуле определяется описаниями устранимых точек, полюсов и существенно особых точек.

Целая функция разлагается в ряд Тейлора $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ во всей плоскости, и это же её ряд Лорана в окрестности $\infty$ . Полюс порядка $m$ означает $c_n = 0$ при $n > m$ , то есть $f$ — многочлен степени $m$ . Устранимая особенность — $f\equiv c_0$ ; это также следует из теоремы Лиувилля, так как такая функция ограничена. $\blacksquare$

Группа дробно-линейных отображений

Формулировка

Дробно-линейная функция взаимно однозначно отображает $\overline{\mathbb C}$ на себя; обратная к ней и композиция двух дробно-линейных функций — снова дробно-линейные. Композиции отвечает произведение матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ .
Любая дробно-линейная функция — композиция сдвигов $z\mapsto z + b$ , растяжений с поворотом $z\mapsto az$ и инверсии $z\mapsto 1/z$ .
Дробно-линейная функция конформна во всех точках $\mathbb C$ , кроме полюса $-d/c$ : $w' = \dfrac{ad - bc}{(cz + d)^2}\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Уравнение $w = \frac{az + b}{cz + d}$ однозначно разрешимо: $z = \frac{dw - b}{-cw + a}$ (определитель тот же, $ad - bc\ne 0$ ), с учётом соглашений о точках $\infty$ и $-d/c$ . Подстановка одной дробно-линейной функции в другую даёт дробь, коэффициенты которой — элементы произведения матриц; её определитель — произведение определителей, ненулевой.
При $c = 0$ : $w = \frac adz + \frac bd$ . При $c\ne 0$ :

w = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d},

то есть композиция $z\mapsto cz + d$ , $\zeta\mapsto 1/\zeta$ , умножения на $\frac{bc - ad}c$ и сдвига на $\frac ac$ .

Производная вычисляется по правилу дифференцирования частного и не обращается в нуль. По критерию конформности функция конформна. $\blacksquare$

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

$e^z$ — целая функция, $(e^z)' = e^z$ , $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$ , $e^z\ne 0$ , $|e^z| = e^x$ , $\operatorname{Arg}e^z = y + 2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; функция периодична с периодом $2\pi i$ .
$e^z$ однолистна в любой горизонтальной полосе ширины $2\pi$ ; полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ она конформно отображает на верхнюю полуплоскость, а полосу $0 < \operatorname{Im}z < 2\pi$ — на $\mathbb C\setminus[0, +\infty)$ .
$\cos z$ , $\sin z$ — целые функции, $(\sin z)' = \cos z$ , $(\cos z)' = -\sin z$ , $\cos^2z + \sin^2z = 1$ , $\cos iz = \operatorname{ch}z$ , $\sin iz = i\operatorname{sh}z$ . Они периодичны с периодом $2\pi$ ; нули $\sin z$ — только числа $\pi k$ , нули $\cos z$ — только числа $\frac\pi2 + \pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; они не ограничены в $\mathbb C$ .

Доказательство

Развернуть

$u = e^x\cos y$ , $v = e^x\sin y$ удовлетворяют условиям Коши–Римана, и $(e^z)' = u_x + iv_x = e^z$ . Формула сложения следует из формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. $|e^z| = e^x > 0$ , и $e^{z + 2\pi i} = e^z$ .
$e^{z_1} = e^{z_2}$ равносильно $z_1 - z_2 = 2\pi ik$ , поэтому в полосе ширины $2\pi$ (без одной граничной прямой) функция однолистна. Прямая $y = c$ переходит в луч $\arg w = c$ , отрезок $x = c$ , $0 < y < \pi$ — в полуокружность $|w| = e^c$ в верхней полуплоскости. Значит, полоса $0 < y < \pi$ переходит в верхнюю полуплоскость; аналогично для полосы ширины $2\pi$ .
Голоморфность и формулы производных следуют из свойств экспоненты. $\cos^2z + \sin^2z = \frac{(e^{iz} + e^{-iz})^2 - (e^{iz} - e^{-iz})^2}{4} = 1$ . Уравнение $\sin z = 0$ равносильно $e^{2iz} = 1$ , то есть $2iz = 2\pi ik$ , $z = \pi k$ . Нули $\cos z$ получаются из тождества $\cos z = \sin\left(z + \frac\pi2\right)$ . Неограниченность: $|\cos(iy)| = \operatorname{ch}y\to\infty$ . $\blacksquare$

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

В области $D = \mathbb C\setminus l$ , где $l$ — луч, выходящий из нуля, логарифм имеет бесконечно много регулярных ветвей; они отличаются на $2\pi ik$ , и для каждой $(\ln z)' = \frac1z$ .
Степень $z^\alpha = e^{\alpha\ln z}$ в той же области имеет регулярные ветви, $(z^\alpha)' = \alpha\frac{z^\alpha}z$ . При $\alpha = \frac1n$ ветвей ровно $n$ , они отличаются множителями $e^{2\pi ik/n}$ .
В области, содержащей замкнутый путь с ненулевым индексом относительно нуля (например, в кольце $1 < |z| < 2$ ), регулярной ветви логарифма не существует.

Доказательство

Развернуть

В $D$ существует непрерывная ветвь аргумента $\arg z$ (со значениями в интервале длины $2\pi$ ). Функция $f(z) = \ln|z| + i\arg z$ непрерывна и $e^{f(z)} = z$ . Она взаимно однозначна (обратна экспоненте на полосе), и по теореме о производной обратной функции $f'(z) = \frac1{e^{f(z)}} = \frac1z$ . Две ветви $f_1, f_2$ удовлетворяют $e^{f_1 - f_2} = 1$ , то есть $f_1 - f_2\in 2\pi i\mathbb Z$ — непрерывная функция с дискретными значениями, постоянная в области.
$z^\alpha$ — композиция голоморфных функций. $(e^{\alpha\ln z})' = e^{\alpha\ln z}\cdot\frac\alpha z$ . При $\alpha = \frac1n$ замена ветви логарифма умножает корень на $e^{2\pi ik/n}$ ; различных значений $n$ .
Если $f$ — непрерывная ветвь логарифма, то $\operatorname{Im}f$ — непрерывная ветвь аргумента вдоль любого пути в области. Для замкнутого пути её приращение равно нулю, а должно быть $2\pi\operatorname{ind}_\gamma(0)\ne 0$ . $\blacksquare$

Свойства функции Жуковского

Формулировка

$J(z_1) = J(z_2)$ тогда и только тогда, когда $z_1 = z_2$ или $z_1z_2 = 1$ . Поэтому $J$ однолистна в круге $|z| < 1$ и во внешности $|z| > 1$ .
$J$ конформно отображает круг $|z| < 1$ (и внешность $|z| > 1$ ) на $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ . Окружности $|z| = r\ne 1$ переходят в эллипсы с фокусами $\pm1$ и полуосями $\frac12\left(r + \frac1r\right)$ , $\frac12\left|r - \frac1r\right|$ ; единичная окружность — в отрезок $[-1, 1]$ , пройденный дважды.
Обратная функция $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$ имеет в $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ две регулярные ветви, произведение которых равно $1$ .

Доказательство

Развернуть

$J(z_1) - J(z_2) = \frac12(z_1 - z_2)\left(1 - \frac1{z_1z_2}\right)$ .
При $z = re^{it}$ :

J(z) = \frac12\left(r + \frac1r\right)\cos t + \frac i2\left(r - \frac1r\right)\sin t,

что при $r\ne 1$ — параметризация эллипса с полуосями $a$ , $b$ , где $a^2 - b^2 = 1$ , то есть с фокусами $\pm1$ . При $r = 1$ получаем $\cos t\in[-1, 1]$ . Так как $J$ однолистна в круге, $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})\ne 0$ там, а эллипсы при $r\to 0$ заполняют всё $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ (и $J(0) = \infty$ ), образ круга — $\overline{\mathbb C}\setminus[-1, 1]$ .

Уравнение $w = \frac12(z + z^{-1})$ равносильно $z^2 - 2wz + 1 = 0$ , корни $z_{1,2} = w\pm\sqrt{w^2 - 1}$ , $z_1z_2 = 1$ . В $\mathbb C\setminus[-1, 1]$ функция $\sqrt{w^2 - 1}$ имеет регулярные ветви: это ветви обратных отображений к однолистным отображениям из п. 2, голоморфные по теореме о производной обратной функции. $\blacksquare$

Круговое свойство дробно-линейной функции

Формулировка

Дробно-линейная функция переводит любую окружность или прямую в окружность или прямую (прямые считаются окружностями на $\overline{\mathbb C}$ , проходящими через $\infty$ ).

Доказательство

Развернуть

По теореме о группе дробно-линейных отображений достаточно проверить свойство для сдвигов, растяжений с поворотом и инверсии. Для первых двух оно очевидно.

Окружности и прямые задаются уравнениями $A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D = 0$ (прямые — при $A = 0$ ). В комплексной записи это $Az\bar z + \bar\beta z + \beta\bar z + D = 0$ , $\beta = \frac{B + iC}{2}$ . Подставим $z = 1/w$ и умножим на $w\bar w$ :

A + \bar\beta\bar w + \beta w + Dw\bar w = 0,

то есть $D(u^2 + v^2) + Bu - Cv + A = 0$ — снова окружность или прямая. $\blacksquare$

Конформные отображения. Лемма Шварца

Однолистная голоморфная функция задаёт конформное отображение

Формулировка

Доказательство

Принцип соответствия границ

Формулировка

Доказательство

Лемма Шварца

Формулировка

Доказательство

Автоморфизмы единичного круга

Формулировка

Доказательство

Автоморфизмы полуплоскости, плоскости и сферы

Формулировка

Доказательство

Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями

Формулировка

Доказательство

Отображение угла на круг

Условие

Решение

Отображение полосы на круг

Условие

Решение

Оценка по лемме Шварца

Условие

Решение

Автоморфизм круга с заданными условиями

Условие

Решение

Отображение полукруга на полуплоскость

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Конформное отображение области. Автоморфизмы

Однолистная и локально однолистная функция

Конформность отображения в точке

Допустимая область и её ориентированная граница

Голоморфная функция

Дробно-линейная функция

Многозначные функции и их ветви. Логарифм

Критерий локальной однолистности

Формулировка

Доказательство

Принцип сохранения области

Формулировка

Доказательство

Критерий конформности в точке

Формулировка

Доказательство

Принцип аргумента

Формулировка

Доказательство

Принцип максимума модуля

Формулировка

Доказательство

Описание устранимых особых точек

Формулировка

Доказательство

Дробно-линейная функция по трём точкам. Сохранение симметрии

Формулировка

Доказательство

Теорема Римана

Формулировка

Доказательство

Теорема Сохоцкого

Формулировка

Доказательство

Классификация особенности в бесконечности

Формулировка

Доказательство

Группа дробно-линейных отображений

Формулировка

Доказательство

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

Доказательство

Регулярные ветви логарифма и степени