Комплексная плоскость. Сфера Римана. Пути и индекс

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Формулы стереографической проекции. Круговое свойство
Хордальная метрика и компактность расширенной плоскости
Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути
Свойства индекса пути относительно точки
Лемма о близких путях («собака на поводке»)

теорема

Формулы стереографической проекции. Круговое свойство

Формулировка

Точке $z = u + iv\in\mathbb C$ соответствует точка сферы

x_1 = \frac{2u}{1 + |z|^2},\qquad x_2 = \frac{2v}{1 + |z|^2},\qquad x_3 = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1},

и обратно $z = \dfrac{x_1 + ix_2}{1 - x_3}$ . Стереографическая проекция — взаимно однозначное соответствие между $S$ и $\overline{\mathbb C}$ .

Окружностям на сфере соответствуют окружности и прямые на плоскости (прямые — окружностям, проходящим через $N$ ), и обратно.

Доказательство

Развернуть

Точки луча $NP$ имеют вид $N + s(P - N)$ . Пересечение с плоскостью $x_3 = 0$ получается при $s = \frac1{1 - x_3}$ , что даёт $z = \frac{x_1 + ix_2}{1 - x_3}$ . Обратно, прямая через $N$ и $(u, v, 0)$ пересекает сферу ещё в одной точке. Подставляя $(su, sv, 1 - s)$ в уравнение сферы, получаем $s^2|z|^2 + (1 - s)^2 = 1$ , откуда $s = \frac{2}{1 + |z|^2}$ , и формулы следуют. При $|z|\to\infty$ точка стремится к $N$ .
Окружность на сфере — пересечение сферы с плоскостью $Ax_1 + Bx_2 + Cx_3 = D$ . Подставляя формулы и умножая на $1 + |z|^2$ , получаем

(C - D)(u^2 + v^2) + 2Au + 2Bv - (C + D) = 0.

Это окружность при $C\ne D$ и прямая при $C = D$ , то есть когда плоскость проходит через $N$ . Обратно, любое уравнение окружности или прямой приводится к такому виду. $\blacksquare$

теорема

Хордальная метрика и компактность расширенной плоскости

Формулировка

Хордальное расстояние вычисляется по формулам

k(z, w) = \frac{2|z - w|}{\sqrt{(1 + |z|^2)(1 + |w|^2)}},\qquad k(z, \infty) = \frac2{\sqrt{1 + |z|^2}}.

Оно является метрикой на $\overline{\mathbb C}$ ; сходимость $z_n\to z$ в этой метрике для конечных $z$ равносильна обычной, а $k(z_n, \infty)\to 0$ равносильно $|z_n|\to\infty$ . Пространство $(\overline{\mathbb C}, k)$ компактно.

Доказательство

Развернуть

Для точек $P, Q$ единичной сферы $|P - Q|^2 = 2 - 2(P, Q)$ . Подставляя координаты из формул стереографической проекции, после упрощения получаем

|P - Q|^2 = \frac{4|z - w|^2}{(1 + |z|^2)(1 + |w|^2)}.

Для $Q = N$ имеем $|P - N|^2 = 2 - 2x_3 = \frac4{1 + |z|^2}$ .

Метрика — расстояние в $\mathbb R^3$ , перенесённое взаимно однозначным отображением, поэтому аксиомы метрики выполнены. На ограниченных множествах знаменатель ограничен сверху и снизу, так что $k$ эквивалентна $|z - w|$ . Формула для $k(z, \infty)$ даёт утверждение о сходимости к $\infty$ . Компактность: сфера — ограниченное замкнутое подмножество $\mathbb R^3$ , а $\overline{\mathbb C}$ ей изометрична. $\blacksquare$

лемма

Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути

Формулировка

Если путь $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ не проходит через точку $a$ , то непрерывная ветвь $\theta(t)$ аргумента $\gamma(t) - a$ существует и определена однозначно с точностью до слагаемого $2\pi k$ . Поэтому приращение аргумента вдоль пути и индекс замкнутого пути определены корректно, а индекс — целое число.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\delta = \min_t|\gamma(t) - a| > 0$ . По равномерной непрерывности $\gamma$ разобьём отрезок точками $\alpha = t_0 < t_1 < \dots < t_m = \beta$ так, чтобы на каждом $[t_{k-1}, t_k]$ было $|\gamma(t) - \gamma(t_{k-1})| < \delta$ . Тогда $\gamma(t) - a$ лежит в круге с центром $\gamma(t_{k-1}) - a$ , не содержащем нуля. В таком круге аргумент имеет непрерывную ветвь (круг лежит в открытой полуплоскости, граница которой проходит через нуль, и значения аргумента можно выбрать в интервале длины $\pi$ с центром $\arg(\gamma(t_{k-1}) - a)$ ). Склеивая ветви на соседних отрезках (подбирая на каждом следующем отрезке слагаемое $2\pi k$ так, чтобы значения совпали в точке $t_{k-1}$ ), получаем непрерывную ветвь на всём $[\alpha, \beta]$ .

Если $\theta_1$ , $\theta_2$ — две непрерывные ветви, то $\theta_1 - \theta_2$ непрерывна и принимает значения в $2\pi\mathbb Z$ . Значит, она постоянна. Поэтому разность $\theta(\beta) - \theta(\alpha)$ от выбора ветви не зависит. Для замкнутого пути $\gamma(\beta) = \gamma(\alpha)$ , и эта разность кратна $2\pi$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства индекса пути относительно точки

Формулировка

Пусть $\gamma$ — замкнутый путь. Тогда:

$\operatorname{ind}_\gamma(a)$ постоянен на каждой связной компоненте множества $\mathbb C\setminus\gamma^*$ ;
на неограниченной компоненте $\operatorname{ind}_\gamma(a) = 0$ ;
$\operatorname{ind}_{\gamma^-}(a) = -\operatorname{ind}_\gamma(a)$ , а для пути, составленного из замкнутых путей $\gamma_1$ , $\gamma_2$ с общим началом, индексы складываются;
для окружности $z = z_0 + re^{it}$ , $t\in[0, 2\pi]$ : $\operatorname{ind} = 1$ при $|a - z_0| < r$ и $0$ при $|a - z_0| > r$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $a\notin\gamma^*$ , $\delta = \operatorname{dist}(a, \gamma^*)$ и $|b - a| < \delta$ . Функция $w(t) = \frac{\gamma(t) - b}{\gamma(t) - a} = 1 + \frac{a - b}{\gamma(t) - a}$ удовлетворяет $|w(t) - 1| < 1$ , то есть лежит в правой полуплоскости. Вдоль замкнутого пути её аргумент имеет нулевое приращение (ветвь $\arg w\in(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ непрерывна). Так как $\arg(\gamma - b) = \arg(\gamma - a) + \arg w$ , индексы относительно $a$ и $b$ совпадают. Значит, индекс локально постоянен, а локально постоянная функция на связном множестве постоянна.
Если $|a| > \max|\gamma|$ достаточно велик, носитель лежит в круге, не содержащем $a$ , и весь «виден» из $a$ под углом меньше $\pi$ . Приращение аргумента непрерывной ветви по замкнутому пути тогда равно нулю.
Противоположный путь меняет знак приращения. Приращения вдоль последовательно пройденных путей складываются.
При $a = z_0$ : $\theta(t) = t$ , и $\operatorname{ind} = 1$ . Внутренность круга связна, поэтому по п. 1 индекс равен $1$ во всём круге. Внешность круга — неограниченная компонента, там индекс равен нулю. $\blacksquare$

лемма

Лемма о близких путях («собака на поводке»)

Формулировка

Пусть $\gamma_0$ , $\gamma_1\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — замкнутые пути и

|\gamma_1(t) - \gamma_0(t)| < |\gamma_0(t) - a|\qquad\text{при всех } t.

Тогда $a\notin\gamma_1^*$ и $\operatorname{ind}_{\gamma_1}(a) = \operatorname{ind}_{\gamma_0}(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Из условия $\gamma_1(t)\ne a$ . Положим

w(t) = \frac{\gamma_1(t) - a}{\gamma_0(t) - a} = 1 + \frac{\gamma_1(t) - \gamma_0(t)}{\gamma_0(t) - a},\qquad |w(t) - 1| < 1.

Путь $w$ замкнут и лежит в правой полуплоскости, поэтому его индекс относительно нуля равен нулю. Так как непрерывная ветвь $\arg(\gamma_1 - a)$ равна сумме ветвей $\arg(\gamma_0 - a)$ и $\arg w$ , приращения аргументов совпадают. $\blacksquare$

Образ точки на сфере Римана

Условие

Найти точку сферы Римана, соответствующую числу $z = 1 + i$ , и точку плоскости, соответствующую точке $\left(0, \frac35, \frac45\right)$ сферы.

Решение

Развернуть

$|z|^2 = 2$ : $x_1 = \frac{2}{3}$ , $x_2 = \frac23$ , $x_3 = \frac13$ .

Обратно: $z = \dfrac{0 + \frac35i}{1 - \frac45} = 3i$ . Проверка: $|3i|^2 = 9$ , $x_3 = \frac{8}{10} = \frac45$ , $x_2 = \frac{6}{10} = \frac35$ .

Образ окружности сферы на плоскости

Условие

Найти образы на плоскости окружностей сферы Римана, высекаемых плоскостями а) $x_3 = 0$ ; б) $x_1 = x_3$ ; в) $x_2 = 0$ .

Решение

Развернуть

Используем уравнение $(C - D)(u^2 + v^2) + 2Au + 2Bv - (C + D) = 0$ .

а) $C = 1$ , $A = B = D = 0$ : $u^2 + v^2 = 1$ — единичная окружность (образ экватора).

б) $A = 1$ , $C = -1$ , $B = D = 0$ : $-(u^2 + v^2) + 2u + 1 = 0$ , то есть $(u - 1)^2 + v^2 = 2$ — окружность с центром $1$ радиуса $\sqrt2$ .

в) $B = 1$ , остальные нули: $v = 0$ — вещественная ось (плоскость проходит через $N$ ).

Хордальные расстояния

Условие

Найти хордальные расстояния $k(0, \infty)$ , $k(1, -1)$ , $k(1, i)$ , $k(z, -1/\bar z)$ .

Решение

Развернуть

$k(0, \infty) = \frac2{\sqrt1} = 2$ — диаметр сферы (южный и северный полюсы).

$k(1, -1) = \frac{2\cdot 2}{\sqrt{2\cdot 2}} = 2$ : точки $\pm1$ диаметрально противоположны.

$k(1, i) = \frac{2|1 - i|}{\sqrt{2\cdot 2}} = \sqrt2$ .

$k(z, -1/\bar z)$ : $|z + 1/\bar z| = \frac{|z|^2 + 1}{|z|}$ , а $1 + |1/\bar z|^2 = \frac{|z|^2 + 1}{|z|^2}$ . Тогда

k = \frac{2(|z|^2 + 1)/|z|}{\sqrt{(1 + |z|^2)^2/|z|^2}} = 2,

то есть точки $z$ и $-1/\bar z$ всегда диаметрально противоположны на сфере.

Индекс путей

Условие

Найти индексы путей относительно указанных точек:

а) $\gamma(t) = e^{2it}$ , $t\in[0, 2\pi]$ , относительно $0$ и $2$ ;

б) эллипс $\gamma(t) = \cos t + 2i\sin t$ , $t\in[0, 2\pi]$ , относительно $0$ ;

в) $\gamma(t) = e^{it} + \frac12e^{5it}$ , $t\in[0, 2\pi]$ , относительно $0$ .

Решение

Развернуть

а) Непрерывная ветвь аргумента $\theta = 2t$ , приращение $4\pi$ : $\operatorname{ind}_\gamma(0) = 2$ . Точка $2$ лежит в неограниченной компоненте: индекс $0$ .

б) По лемме о близких путях сравним с окружностью $\gamma_0 = \frac32e^{it}$ : $|\gamma - \gamma_0| = \left|-\frac12\cos t + \frac i2\sin t\right| = \frac12 < \frac32 = |\gamma_0|$ . Индекс равен $1$ .

в) $\gamma_0 = e^{it}$ : $|\gamma - \gamma_0| = \frac12 < 1 = |\gamma_0|$ , поэтому $\operatorname{ind}_\gamma(0) = 1$ .

Приращение аргумента вдоль путей

Условие

Найти: а) $\Delta\arg z$ вдоль отрезка от $1$ до $i$ ; б) $\Delta\arg z$ вдоль верхней полуокружности $|z| = 1$ от $1$ до $-1$ ; в) $\Delta\arg(z^2 - 1)$ вдоль окружности $|z| = 2$ , пройденной один раз против часовой стрелки.

Решение

Развернуть

а) Отрезок лежит в первой четверти, где ветвь $\arg z\in(0, \frac\pi2)$ непрерывна: $\Delta = \frac\pi2 - 0 = \frac\pi2$ .

б) $z = e^{it}$ , $t\in[0, \pi]$ : $\Delta = \pi$ .

в) $\arg(z^2 - 1) = \arg(z - 1) + \arg(z + 1)$ (для непрерывных ветвей). Точки $\pm1$ лежат внутри окружности, и каждое слагаемое даёт $2\pi$ . Итого $4\pi$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Расширенная комплексная плоскость

Расширенной комплексной плоскостью называется множество $\overline{\mathbb C} = \mathbb C\cup\{\infty\}$ , полученное добавлением к $\mathbb C$ одной бесконечно удалённой точки $\infty$ .

Окрестностью точки $\infty$ называется множество $\{|z| > R\}\cup\{\infty\}$ . Соответственно $z_n\to\infty$ , если $|z_n|\to+\infty$ .

Арифметические операции с $\infty$ определяются частично: $z\pm\infty = \infty$ при $z\ne\infty$ , $z\cdot\infty = \infty$ и $z/0 = \infty$ при $z\ne 0$ , $z/\infty = 0$ при $z\ne\infty$ . Выражения $\infty\pm\infty$ , $0\cdot\infty$ , $0/0$ , $\infty/\infty$ не определены.

Сфера Римана. Стереографическая проекция

Отождествим $\mathbb C$ с плоскостью $x_3 = 0$ пространства $\mathbb R^3$ ( $z = x_1 + ix_2$ ) и рассмотрим единичную сферу

S = \{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\}

с «северным полюсом» $N = (0, 0, 1)$ . Стереографической проекцией называется отображение, которое каждой точке $P\in S\setminus\{N\}$ ставит в соответствие точку пересечения луча $NP$ с плоскостью $x_3 = 0$ , а полюсу $N$ — точку $\infty$ . Сфера $S$ с этим соответствием называется сферой Римана.

Хордальным расстоянием $k(z, w)$ между точками $\overline{\mathbb C}$ называется евклидово расстояние между их образами на сфере.

Область. Граница. Односвязность

Множество $D\subset\mathbb C$ называется областью, если оно открыто и связно (любые две его точки соединяются ломаной, лежащей в $D$ ).

Граница $\partial D$ — множество точек, в любой окрестности которых есть точки как из $D$ , так и не из $D$ . Множество $\overline D = D\cup\partial D$ называется замкнутой областью.

Область $D\subset\mathbb C$ называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в $D$ , её внутренность также лежит в $D$ . Например, круг и полуплоскость односвязны, а кольцо $1 < |z| < 2$ и проколотый круг — нет.

Путь и кривая

Путём называется непрерывное отображение $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ . Точки $\gamma(\alpha)$ и $\gamma(\beta)$ — начало и конец пути, множество $\gamma^* = \gamma([\alpha, \beta])$ — его носитель.

Путь называется:

замкнутым, если $\gamma(\alpha) = \gamma(\beta)$ ;
жордановым (простым), если $\gamma(t_1)\ne\gamma(t_2)$ при $t_1\ne t_2$ (для замкнутого пути — за исключением концов);
гладким, если $\gamma\in C^1$ и $\gamma'(t)\ne 0$ ; кусочно-гладким, если отрезок разбивается на конечное число частей, на которых путь гладкий.

Пути, отличающиеся возрастающей заменой параметра, считаются эквивалентными; класс эквивалентных путей называется (ориентированной) кривой. Путь $\gamma^-(t) = \gamma(\alpha + \beta - t)$ называется противоположным.

Приращение аргумента вдоль пути. Индекс пути

Пусть путь $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ не проходит через точку $a$ . Непрерывной ветвью аргумента вдоль $\gamma$ называется непрерывная функция $\theta(t)$ , такая что $\theta(t)$ — одно из значений $\operatorname{Arg}(\gamma(t) - a)$ при каждом $t$ .

Приращением аргумента вдоль пути называется число

\Delta_\gamma\operatorname{arg}(z - a) = \theta(\beta) - \theta(\alpha).

Для замкнутого пути число

\operatorname{ind}_\gamma(a) = \frac1{2\pi}\Delta_\gamma\operatorname{arg}(z - a)

называется индексом пути $\gamma$ относительно точки $a$ (порядком точки относительно пути): это число оборотов пути вокруг $a$ .

Комплексное число. Алгебраическая форма

Комплексным числом называется выражение $z = x + iy$ , где $x, y\in\mathbb R$ , а $i$ — мнимая единица, $i^2 = -1$ . Числа $x = \operatorname{Re} z$ и $y = \operatorname{Im} z$ — действительная и мнимая части. Числа $z_1, z_2$ равны, если $\operatorname{Re}z_1 = \operatorname{Re}z_2$ и $\operatorname{Im}z_1 = \operatorname{Im}z_2$ .

Операции:

(x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1+y_2),

(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1).

Множество комплексных чисел обозначают $\mathbb C$ . Числу $x + iy$ соответствует точка $(x,y)$ (или её радиус-вектор) комплексной плоскости.

Аргумент. Тригонометрическая и показательная формы

Аргументом числа $z \ne 0$ называется любое число $\varphi$ такое, что

\cos\varphi = \frac{x}{|z|},\qquad \sin\varphi = \frac{y}{|z|}.

Аргумент определён с точностью до $2\pi k$ . Его главное значение $\arg z\in(-\pi, \pi]$ .

Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ , $r = |z|$ . С обозначением (формула Эйлера) $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ получаем показательную форму $z = re^{i\varphi}$ .

Свойства арифметических операций над комплексными числами

Формулировка

Сложение и умножение комплексных чисел коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистрибутивности. $0$ и $1$ — нейтральные элементы. Каждое $z\ne0$ имеет обратное

z^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2},\qquad\text{и}\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}\quad(z_2\ne0).

Таким образом, $\mathbb C$ — поле.

Доказательство

Развернуть

Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность проверяются непосредственно по формулам операций и сводятся к свойствам вещественных чисел. Далее,

z\bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 + i(-xy + yx) = |z|^2,

поэтому $z\cdot\frac{\bar z}{|z|^2} = 1$ при $z\ne0$ . Деление определяется как умножение на обратное. $\blacksquare$

Умножение и деление в тригонометрической форме

Формулировка

Если $z_k = r_k(\cos\varphi_k + i\sin\varphi_k)$ , то

z_1z_2 = r_1r_2\big(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big),\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big).

При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются: $e^{i\varphi_1}e^{i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$ .

Доказательство

Развернуть

Перемножаем по определению:

(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) = (\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2) + i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2 + \cos\varphi_1\sin\varphi_2)

и применяем формулы косинуса и синуса суммы. Формула для частного проверяется умножением её правой части на $z_2$ . $\blacksquare$

Принцип аргумента

Формулировка

В условиях теоремы о логарифмическом вычете

N - P = \frac1{2\pi}\Delta_{\partial D}\arg f(z),

где $\Delta_{\partial D}\arg f$ — суммарное приращение аргумента $f(z)$ при обходе положительно ориентированной границы. Для жордановой области $D$ это индекс пути $f(\partial D)$ относительно точки $0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — одна из замкнутых компонент границы, $w(t) = f(\gamma(t))\ne 0$ . Возьмём непрерывную ветвь $\theta(t)$ аргумента $w(t)$ ; тогда $\Lambda(t) = \ln|w(t)| + i\theta(t)$ — непрерывная ветвь логарифма вдоль пути, кусочно-гладкая, и

\Lambda'(t) = \frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{f'(\gamma(t))\gamma'(t)}{f(\gamma(t))}.

(Это проверяется дифференцированием равенства $e^{\Lambda(t)} = w(t)$ .) Поэтому

\oint_\gamma\frac{f'}f\,dz = \Lambda(\beta) - \Lambda(\alpha) = \bigl[\ln|w|\bigr]_\alpha^\beta + i\Delta_\gamma\arg f = i\Delta_\gamma\arg f,

так как путь замкнут. Суммируя по компонентам границы и применяя теорему о логарифмическом вычете, получаем формулу. $\blacksquare$

Теорема Руше

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, функции $f$ и $g$ голоморфны в окрестности $\overline D$ , и на $\partial D$ выполнено неравенство

|g(z)| < |f(z)|.

Тогда $f$ и $f + g$ имеют в $D$ одинаковое число нулей (с учётом кратности).

Доказательство

Развернуть

На $\partial D$ имеем $|f| > |g|\ge 0$ и $|f + g|\ge|f| - |g| > 0$ , так что ни $f$ , ни $f + g$ не обращаются в нуль на границе. На границе

f + g = f\cdot\left(1 + \frac gf\right),\qquad\left|\frac gf\right| < 1.

Значения $1 + g/f$ лежат в правой полуплоскости, поэтому приращение их аргумента вдоль каждой замкнутой компоненты границы равно нулю. Значит, $\Delta_{\partial D}\arg(f + g) = \Delta_{\partial D}\arg f$ , и по принципу аргумента (у голоморфных функций нет полюсов) числа нулей совпадают. $\blacksquare$

Комплексная плоскость. Сфера Римана. Пути и индекс

Формулы стереографической проекции. Круговое свойство

Формулировка

Доказательство

Хордальная метрика и компактность расширенной плоскости

Формулировка

Доказательство

Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Свойства индекса пути относительно точки

Формулировка

Доказательство

Лемма о близких путях («собака на поводке»)

Формулировка

Доказательство

Образ точки на сфере Римана

Условие

Решение

Образ окружности сферы на плоскости

Условие

Решение

Хордальные расстояния

Условие

Решение

Индекс путей

Условие

Решение

Приращение аргумента вдоль путей

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Расширенная комплексная плоскость

Сфера Римана. Стереографическая проекция

Область. Граница. Односвязность

Путь и кривая

Приращение аргумента вдоль пути. Индекс пути

Комплексное число. Алгебраическая форма

Аргумент. Тригонометрическая и показательная формы

Свойства арифметических операций над комплексными числами

Формулировка

Доказательство

Умножение и деление в тригонометрической форме

Формулировка

Доказательство

Принцип аргумента

Формулировка

Доказательство

Теорема Руше

Формулировка

Доказательство