Интеграл по пути. Теорема Коши

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Свойства интеграла вдоль пути
Основной интеграл по окружности
Лемма Гурса
Теорема Коши для односвязной области
Существование первообразной. Формула Ньютона–Лейбница
Интегральная теорема Коши для допустимой области

теорема

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Интеграл линеен по $f$ и не зависит от выбора параметризации пути (при возрастающей замене параметра).
$\int_{\gamma^-}f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$ ; если путь $\gamma$ составлен из $\gamma_1$ и $\gamma_2$ , то интегралы складываются.
Оценка:

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le\int_\gamma|f(z)|\,|dz|\le\max_{\gamma^*}|f|\cdot L(\gamma),

где $L(\gamma) = \int_\alpha^\beta|\gamma'(t)|\,dt$ — длина пути. 4. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma^*$ , то $\int_\gamma f_n\,dz\to\int_\gamma f\,dz$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2. Свойства следуют из свойств определённого интеграла от комплекснозначной функции вещественного переменного и формулы замены переменной: при $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , имеем $f(\gamma(\varphi(s)))\gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)\,ds = f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . Для противоположного пути замена убывающая, и знак меняется.

Для интеграла $I = \int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ от комплекснозначной функции возьмём $\theta = \arg I$ . Тогда

|I| = \operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}I\right) = \int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}g\right)dt\le\int_\alpha^\beta|g|\,dt.

При $g = f(\gamma)\gamma'$ получаем первое неравенство, второе очевидно.

Следует из п. 3: $\left|\int(f_n - f)\right|\le\max|f_n - f|\cdot L(\gamma)\to 0$ . $\blacksquare$

лемма

Основной интеграл по окружности

Формулировка

Для окружности $|z - a| = r$ , обходимой один раз против часовой стрелки, и целого $n$

\oint_{|z - a| = r}(z - a)^n\,dz = \begin{cases}2\pi i, & n = -1,\\ 0, & n\ne -1.\end{cases}

Доказательство

Развернуть

$z = a + re^{it}$ , $dz = ire^{it}\,dt$ :

\int_0^{2\pi}r^ne^{int}\cdot ire^{it}\,dt = ir^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}\,dt.

При $n = -1$ интеграл равен $2\pi i$ . При $n\ne -1$ первообразная $\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}$ — $2\pi$ -периодическая, и интеграл равен нулю. $\blacksquare$

лемма

Лемма Гурса

Формулировка

Если $f$ голоморфна в области $D$ , а замкнутый треугольник $\Delta$ (вместе с внутренностью) лежит в $D$ , то

\oint_{\partial\Delta}f(z)\,dz = 0.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\left|\oint_{\partial\Delta}f\right| = M$ . Разделим $\Delta$ средними линиями на четыре треугольника; интеграл по $\partial\Delta$ равен сумме интегралов по их границам (внутренние стороны проходятся дважды в разных направлениях). Хотя бы для одного из них, $\Delta_1$ , интеграл по модулю не меньше $M/4$ . Повторяя, получаем вложенные треугольники $\Delta_n$ с

\left|\oint_{\partial\Delta_n}f\right|\ge\frac M{4^n},\qquad L(\partial\Delta_n) = \frac{L}{2^n},\qquad\operatorname{diam}\Delta_n\le\frac{L}{2^n},

где $L$ — периметр $\Delta$ . Пусть $z_0$ — общая точка всех $\Delta_n$ . В ней $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \varepsilon(z)(z - z_0)$ , $\varepsilon(z)\to 0$ .

Интегралы от $f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)$ по замкнутому пути равны нулю: у этой функции есть первообразная-многочлен, а интеграл от производной по замкнутому пути равен нулю по формуле Ньютона–Лейбница для $F(\gamma(t))$ . Поэтому

\frac M{4^n}\le\left|\oint_{\partial\Delta_n}\varepsilon(z)(z - z_0)\,dz\right|\le\max_{\Delta_n}|\varepsilon|\cdot\frac L{2^n}\cdot\frac L{2^n},

то есть $M\le L^2\max_{\Delta_n}|\varepsilon|\to 0$ . Значит, $M = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Коши для односвязной области

Формулировка

Если функция $f$ голоморфна в односвязной области $D$ , то для любого замкнутого кусочно-гладкого пути $\gamma$ в $D$

\oint_\gamma f(z)\,dz = 0.

(Полное доказательство приводится для звёздных областей; общий случай — без доказательства.)

Доказательство

Развернуть

Проведём доказательство для области, звёздной относительно точки $z_0$ (вместе с каждой точкой содержащей отрезок $[z_0, z]$ ); например, для круга или выпуклой области.

Положим $F(z) = \int_{[z_0, z]}f(\zeta)\,d\zeta$ . Для $z + h\in D$ , близкого к $z$ , треугольник с вершинами $z_0, z, z + h$ лежит в $D$ , и по лемме Гурса $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f(\zeta)\,d\zeta$ . Тогда

\left|\frac{F(z + h) - F(z)}h - f(z)\right| = \left|\frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(\zeta) - f(z)\bigr)\,d\zeta\right|\le\max_{[z, z + h]}|f(\zeta) - f(z)|\to 0.

Значит, $F' = f$ . Для замкнутого пути $\int_\gamma f\,dz = \int_\alpha^\beta\frac{d}{dt}F(\gamma(t))\,dt = F(\gamma(\beta)) - F(\gamma(\alpha)) = 0$ .

Для произвольной односвязной области мы приводим лишь схему: путь покрывается конечным числом кругов, лежащих в $D$ , в каждом из которых по доказанному есть первообразная; используя односвязность, эти первообразные можно согласовать и получить первообразную $f$ во всей $D$ , откуда интеграл по замкнутому пути равен нулю. Полное доказательство общего случая мы опускаем (см., например, Шабат, «Введение в комплексный анализ», гл. II). $\blacksquare$

теорема

Существование первообразной. Формула Ньютона–Лейбница

Формулировка

Если $F$ — первообразная непрерывной функции $f$ в области $D$ , то для любого кусочно-гладкого пути $\gamma$ в $D$ из $z_1$ в $z_2$

\int_\gamma f(z)\,dz = F(z_2) - F(z_1).

Голоморфная в односвязной области $D$ функция имеет первообразную $F(z) = \int_{z_0}^zf(\zeta)\,d\zeta$ , где интеграл не зависит от пути в $D$ . Любые две первообразные отличаются на постоянную.

Доказательство

Развернуть

$\frac{d}{dt}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t) = f(\gamma(t))\gamma'(t)$ на каждом гладком участке. Интегрируя и суммируя по участкам, получаем формулу.
Независимость от пути: разность интегралов по двум путям из $z_0$ в $z$ — интеграл по замкнутому пути, равный нулю по теореме Коши. Производная $F$ находится так же, как в доказательстве теоремы Коши: $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f$ , откуда $F' = f$ .

Если $F_1' = F_2'$ , то $(F_1 - F_2)' = 0$ . По условиям Коши–Римана частные производные вещественной и мнимой частей равны нулю, и разность постоянна в связной области. $\blacksquare$

теорема

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в некоторой окрестности $\overline D$ (или голоморфна в $D$ и непрерывна в $\overline D$ ). Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 0,

где $\partial D$ — положительно ориентированная граница. В частности, если $D$ ограничена внешним контуром $\Gamma_0$ и внутренними $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$ , то

\oint_{\Gamma_0}f\,dz = \sum_{k=1}^m\oint_{\Gamma_k}f\,dz,

где все контуры обходятся против часовой стрелки.

Доказательство

Развернуть

Проведём конечное число непересекающихся гладких разрезов, соединяющих внутренние контуры друг с другом и с внешним, так чтобы область разбилась на односвязные части $D_1, \dots, D_s$ . Каждая часть лежит в односвязной подобласти окрестности $\overline D$ , где $f$ голоморфна. По теореме Коши для односвязной области интеграл по границе каждой части равен нулю.

Сложим эти интегралы. Каждый разрез проходится дважды в противоположных направлениях, и интегралы по нему сокращаются. Остаётся интеграл по $\partial D$ с положительной ориентацией. Второе равенство — запись первого с учётом того, что внутренние контуры в $\partial D$ проходятся по часовой стрелке.

Случай функции, голоморфной в $D$ и непрерывной в $\overline D$ , сводится к доказанному предельным переходом по областям, приближающим $D$ изнутри; это рассуждение технически сложно, и мы приводим его без доказательства. В дальнейшем используется только случай функции, голоморфной в окрестности $\overline D$ . $\blacksquare$

Интеграл, зависящий от пути

Условие

Вычислить $\int_\gamma\operatorname{Re}z\,dz$ : а) по отрезку от $0$ до $1 + i$ ; б) по ломаной $0\to 1\to 1 + i$ . Вычислить также $\oint_{|z| = r}\bar z\,dz$ .

Решение

Развернуть

а) $z = (1 + i)t$ , $t\in[0, 1]$ : $\int_0^1t(1 + i)\,dt = \frac{1 + i}2$ .

б) На $[0, 1]$ : $z = x$ , $\int_0^1x\,dx = \frac12$ . На $[1, 1 + i]$ : $z = 1 + iy$ , $\operatorname{Re}z = 1$ , $\int_0^1i\,dy = i$ . Итого $\frac12 + i$ .

Результаты различны: функция $\operatorname{Re}z$ не голоморфна, и интеграл зависит от пути.

$z = re^{it}$ : $\oint\bar z\,dz = \int_0^{2\pi}re^{-it}\cdot ire^{it}\,dt = 2\pi ir^2$ .

Интеграл через первообразную

Условие

Вычислить $\int_\gamma ze^z\,dz$ по любому пути из $0$ в $i$ .

Решение

Развернуть

$ze^z$ — целая функция с первообразной $(z - 1)e^z$ (проверка дифференцированием). Интеграл не зависит от пути:

\int_0^ize^z\,dz = (i - 1)e^i + 1 = 1 - \cos 1 - \sin 1 + i(\cos 1 - \sin 1).

Оценка интеграла по большой окружности

Условие

Доказать, что $\displaystyle\oint_{|z| = R}\frac{dz}{z^2 + 1}\to 0$ при $R\to\infty$ , и оценить модуль интеграла при $R = 2$ .

Решение

Развернуть

На окружности $|z^2 + 1|\ge|z|^2 - 1 = R^2 - 1$ . По оценке интеграла

\left|\oint_{|z| = R}\frac{dz}{z^2 + 1}\right|\le\frac{2\pi R}{R^2 - 1}\to 0.

При $R = 2$ оценка даёт $\frac{4\pi}3$ . На самом деле при $R > 1$ интеграл равен нулю: это следует из интегральной формулы Коши (см. задачу об интеграле $\oint\frac{dz}{z^2+1}$ по окружности $|z| = 2$ ).

Интегралы от 1/(z(z − 1)) по окружностям

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint\frac{dz}{z(z - 1)}$ по окружностям а) $|z| = \frac12$ ; б) $|z| = 2$ ; в) $|z - 1| = \frac12$ .

Решение

Развернуть

$\frac1{z(z - 1)} = \frac1{z - 1} - \frac1z$ .

а) $\frac1{z - 1}$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , её интеграл равен нулю по теореме Коши. По основному интегралу $\oint\frac{dz}z = 2\pi i$ . Итого $-2\pi i$ .

б) Оба интеграла равны $2\pi i$ (основной интеграл; для $\frac1{z - 1}$ по теореме Коши для допустимой области окружность $|z| = 2$ можно заменить на $|z - 1| = 1$ ). Итого $0$ .

в) Аналогично а): $2\pi i - 0 = 2\pi i$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Интеграл от функции комплексного переменного вдоль пути

Пусть $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — кусочно-гладкий путь, а функция $f$ непрерывна на $\gamma^*$ . Интегралом от $f$ вдоль $\gamma$ называется

\int_\gamma f(z)\,dz = \int_\alpha^\beta f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.

При $f = u + iv$ , $dz = dx + i\,dy$ он выражается через криволинейные интегралы второго рода:

\int_\gamma f\,dz = \int_\gamma u\,dx - v\,dy + i\int_\gamma v\,dx + u\,dy.

Интеграл по замкнутому пути часто обозначают $\oint_\gamma$ .

Допустимая область и её ориентированная граница

По теореме Жордана замкнутая жорданова кривая $\Gamma$ разбивает плоскость на две области: ограниченную (внутренность, жорданова область) и неограниченную; $\Gamma$ — их общая граница.

Ограниченная область $D$ называется допустимой, если её граница состоит из конечного числа попарно непересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.

Положительно ориентированной границей $\partial D$ допустимой области называется граница, обходимая так, что область остаётся слева: внешняя граница — против часовой стрелки, внутренние — по часовой.

Комплексная первообразная

Функция $F$ , голоморфная в области $D$ , называется первообразной функции $f$ в $D$ , если $F'(z) = f(z)$ при всех $z\in D$ .

Путь и кривая

Путём называется непрерывное отображение $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ . Точки $\gamma(\alpha)$ и $\gamma(\beta)$ — начало и конец пути, множество $\gamma^* = \gamma([\alpha, \beta])$ — его носитель.

Путь называется:

замкнутым, если $\gamma(\alpha) = \gamma(\beta)$ ;
жордановым (простым), если $\gamma(t_1)\ne\gamma(t_2)$ при $t_1\ne t_2$ (для замкнутого пути — за исключением концов);
гладким, если $\gamma\in C^1$ и $\gamma'(t)\ne 0$ ; кусочно-гладким, если отрезок разбивается на конечное число частей, на которых путь гладкий.

Пути, отличающиеся возрастающей заменой параметра, считаются эквивалентными; класс эквивалентных путей называется (ориентированной) кривой. Путь $\gamma^-(t) = \gamma(\alpha + \beta - t)$ называется противоположным.

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Область. Граница. Односвязность

Множество $D\subset\mathbb C$ называется областью, если оно открыто и связно (любые две его точки соединяются ломаной, лежащей в $D$ ).

Граница $\partial D$ — множество точек, в любой окрестности которых есть точки как из $D$ , так и не из $D$ . Множество $\overline D = D\cup\partial D$ называется замкнутой областью.

Область $D\subset\mathbb C$ называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в $D$ , её внутренность также лежит в $D$ . Например, круг и полуплоскость односвязны, а кольцо $1 < |z| < 2$ и проколотый круг — нет.

Интегральная формула Коши

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ . Тогда для любой точки $z\in D$

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta,

а для $z\notin\overline D$ этот интеграл равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $z\in D$ . Выкинем из $D$ круг $|\zeta - z|\le r$ , лежащий в $D$ . В оставшейся допустимой области функция $\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области

\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta.

Правая часть равна

f(z)\oint_{|\zeta - z| = r}\frac{d\zeta}{\zeta - z} + \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z}\,d\zeta = 2\pi if(z) + I_r,

где $|I_r|\le\max_{|\zeta - z| = r}|f(\zeta) - f(z)|\cdot\frac1r\cdot 2\pi r\to 0$ при $r\to 0$ . Левая часть от $r$ не зависит, поэтому $I_r = 0$ , и формула доказана.

При $z\notin\overline D$ подынтегральная функция голоморфна в окрестности $\overline D$ , и интеграл равен нулю по теореме Коши. $\blacksquare$

Голоморфность интеграла типа Коши

Формулировка

Интеграл типа Коши $F$ голоморфен в $\mathbb C\setminus\gamma^*$ и имеет там производные всех порядков:

F^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}\,d\zeta.

Доказательство

Развернуть

Пусть $z_0\notin\gamma^*$ , $d = \operatorname{dist}(z_0, \gamma^*)$ , и $|h| < d/2$ . Тогда

\frac{F(z_0 + h) - F(z_0)}h = \frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{\varphi(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - z_0 - h)(\zeta - z_0)}.

Подынтегральная функция при $h\to 0$ сходится равномерно на $\gamma^*$ к $\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta - z_0)^2}$ :

\left|\frac1{(\zeta - z_0 - h)(\zeta - z_0)} - \frac1{(\zeta - z_0)^2}\right| = \frac{|h|}{|\zeta - z_0 - h||\zeta - z_0|^2}\le\frac{2|h|}{d^3}.

По свойству интеграла (предельный переход при равномерной сходимости) получаем формулу при $n = 1$ .

Общий случай — по индукции: если формула верна для $n$ , то так же оценивается разностное отношение для $\frac1{(\zeta - z)^{n+1}}$ , производная которого по $z$ равна $\frac{n+1}{(\zeta - z)^{n+2}}$ . $\blacksquare$

Существование и аналитичность изображения

Формулировка

Если $f$ — оригинал с показателем роста $s_0$ , то интеграл Лапласа сходится абсолютно в полуплоскости $\operatorname{Re}p > s_0$ , а изображение $F(p)$ голоморфно в ней, причём

F'(p) = -\int_0^{+\infty}tf(t)e^{-pt}\,dt.

Кроме того, $F(p)\to 0$ при $\operatorname{Re}p\to+\infty$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $s_0 < s_1 < s$ , $|f(t)|\le Me^{s_1t}$ , и $\operatorname{Re}p\ge s$ . Тогда $|f(t)e^{-pt}|\le Me^{-(s - s_1)t}$ — интегрируемая мажоранта. Поэтому интеграл сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости $\operatorname{Re}p\ge s$ .

Функции $F_N(p) = \int_0^Nf(t)e^{-pt}\,dt$ — целые (их можно дифференцировать под знаком интеграла по $p$ , подынтегральная функция голоморфна по $p$ и непрерывна по совокупности на промежутках непрерывности $f$ ). $F_N\rightrightarrows F$ при $\operatorname{Re}p\ge s$ , поэтому по теореме Вейерштрасса (её доказательство дословно переносится на последовательности) $F$ голоморфна, и $F_N'\to F'$ , что даёт формулу для $F'$ .

Наконец, $|F(p)|\le\int_0^\infty Me^{-(\operatorname{Re}p - s_1)t}\,dt = \frac M{\operatorname{Re}p - s_1}\to 0$ . $\blacksquare$

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Формулировка

Если $f$ голоморфна в кольце $r < |z - a| < R$ и $M(\rho) = \max_{|z - a| = \rho}|f(z)|$ , то при всех целых $n$ и $r < \rho < R$

|c_n|\le\frac{M(\rho)}{\rho^n}.

Доказательство

Развернуть

По формуле для коэффициентов и оценке интеграла

|c_n|\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{M(\rho)}{\rho^{n+1}}\cdot 2\pi\rho = \frac{M(\rho)}{\rho^n}.\qquad\blacksquare

Неравенства Коши

Формулировка

Если $f$ голоморфна в окрестности круга $|z - a|\le r$ и $M(r) = \max_{|z - a| = r}|f(z)|$ , то коэффициенты её ряда Тейлора удовлетворяют неравенствам

|c_n| = \frac{|f^{(n)}(a)|}{n!}\le\frac{M(r)}{r^n}.

Доказательство

Развернуть

По формуле для коэффициентов и оценке интеграла

|c_n| = \left|\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta\right|\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{M(r)}{r^{n+1}}\cdot 2\pi r = \frac{M(r)}{r^n}.\qquad\blacksquare

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса

Формулировка

(Критерий Коши.) Ряд $\sum w_n$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ , такое что $\left|\sum_{k=n}^mw_k\right| < \varepsilon$ при $m\ge n > N$ . Абсолютно сходящийся ряд сходится.
(Признак Вейерштрасса.) Если $|f_n(z)|\le a_n$ на $E$ и $\sum a_n < \infty$ , то ряд $\sum f_n$ сходится абсолютно и равномерно на $E$ .
Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна, и вдоль кусочно-гладкого пути, лежащего в $E$ , ряд можно интегрировать почленно.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb C$ с метрикой $|z - w|$ — полное пространство (это $\mathbb R^2$ ), поэтому сходимость частичных сумм равносильна их фундаментальности. Из $\left|\sum_n^mw_k\right|\le\sum_n^m|w_k|$ следует, что абсолютно сходящийся ряд удовлетворяет критерию Коши.
$\sup_E\left|\sum_{k=n}^mf_k\right|\le\sum_{k=n}^ma_k$ , и равномерный критерий Коши выполнен.
Непрерывность равномерного предела непрерывных функций доказывается так же, как в вещественном анализе. Почленное интегрирование следует из свойства интеграла вдоль пути: равномерная сходимость частичных сумм позволяет переходить к пределу под знаком интеграла. $\blacksquare$

Лемма об интеграле по большой дуге

Формулировка

Пусть $C_R$ — дуга окружности $|z| = R$ (например, верхняя полуокружность), и $\max_{z\in C_R}|zf(z)|\to 0$ при $R\to\infty$ . Тогда

\int_{C_R}f(z)\,dz\to 0\quad(R\to\infty).

В частности, это верно для рациональной функции $f = P/Q$ при $\deg Q\ge\deg P + 2$ .

Доказательство

Развернуть

$\left|\int_{C_R}f\,dz\right|\le\max_{C_R}|f|\cdot 2\pi R = 2\pi\max_{C_R}|zf(z)|\to 0$ (длина дуги не больше $2\pi R$ ). Для рациональной функции с $\deg Q\ge\deg P + 2$ имеем $|zf(z)| = O(1/|z|)$ . $\blacksquare$

Лемма Жордана

Формулировка

Пусть функция $g$ непрерывна на верхних полуокружностях $C_R = \{|z| = R,\ \operatorname{Im}z\ge 0\}$ и $M(R) = \max_{C_R}|g|\to 0$ при $R\to\infty$ . Тогда при любом $\lambda > 0$

\int_{C_R}g(z)e^{i\lambda z}\,dz\to 0\quad(R\to\infty).

Доказательство

Развернуть

$z = Re^{it}$ , $t\in[0, \pi]$ : $|e^{i\lambda z}| = e^{-\lambda R\sin t}$ , $|dz| = R\,dt$ . Поэтому

\left|\int_{C_R}ge^{i\lambda z}\,dz\right|\le M(R)R\int_0^\pi e^{-\lambda R\sin t}\,dt = 2M(R)R\int_0^{\pi/2}e^{-\lambda R\sin t}\,dt.

На $[0, \frac\pi2]$ выполнено неравенство Жордана $\sin t\ge\frac{2t}\pi$ (синус вогнут). Тогда

\int_0^{\pi/2}e^{-\lambda R\sin t}\,dt\le\int_0^{\pi/2}e^{-2\lambda Rt/\pi}\,dt < \frac\pi{2\lambda R},

и весь интеграл по модулю меньше $\frac{\pi M(R)}\lambda\to 0$ . $\blacksquare$

Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

Формулировка

Пусть $a$ — простой полюс функции $f$ , а $\gamma_\varepsilon$ — дуга окружности $|z - a| = \varepsilon$ с угловой мерой $\alpha$ , проходимая против часовой стрелки. Тогда

\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_\varepsilon}f(z)\,dz = i\alpha\operatorname*{res}_{z=a}f.

В частности, для полуокружности ( $\alpha = \pi$ ), проходимой по часовой стрелке, предел равен $-\pi i\operatorname*{res}_af$ .

Доказательство

Развернуть

$f(z) = \frac{c_{-1}}{z - a} + h(z)$ , где $h$ голоморфна вблизи $a$ и ограничена. Тогда $\left|\int_{\gamma_\varepsilon}h\right|\le\max|h|\cdot\alpha\varepsilon\to 0$ . При $z = a + \varepsilon e^{it}$ , $t\in[t_0, t_0 + \alpha]$ :

\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{c_{-1}\,dz}{z - a} = c_{-1}\int_{t_0}^{t_0 + \alpha}i\,dt = i\alpha c_{-1}.\qquad\blacksquare

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

$\operatorname*{res}_{z=a}f = c_{-1}$ — коэффициент при $(z - a)^{-1}$ ряда Лорана в проколотой окрестности $a$ .
$\operatorname*{res}_{z=\infty}f = -c_{-1}$ — коэффициент при $z^{-1}$ ряда Лорана в окрестности $\infty$ , взятый с минусом.

В частности, вычет в устранимой особой точке $a\in\mathbb C$ равен нулю, а вычет в устранимой точке $\infty$ может быть ненулевым.

Доказательство

Развернуть

Ряд Лорана сходится равномерно на окружности $|z - a| = \rho$ , и его можно почленно интегрировать. По основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = -1$ : $\oint c_{-1}(z - a)^{-1}\,dz = 2\pi ic_{-1}$ . Для $\infty$ рассуждение то же, с учётом знака в определении.

Пример ненулевого вычета в устранимой точке $\infty$ : $f = \frac1z$ , $\operatorname*{res}_\infty f = -1$ . $\blacksquare$

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Если ряд $\sum f_n(z)$ из голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно внутри $D$ , то его сумма $f$ голоморфна в $D$ , и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз: $\sum f_n^{(k)}$ сходится к $f^{(k)}$ равномерно внутри $D$ .

Доказательство

Развернуть

Сумма непрерывна. Для любого замкнутого треугольника $\Delta$ , лежащего в $D$ вместе с внутренностью, по лемме Гурса $\oint_{\partial\Delta}f_n = 0$ ; так как на компакте $\partial\Delta$ ряд сходится равномерно, почленное интегрирование даёт $\oint_{\partial\Delta}f = 0$ . По теореме Мореры $f$ голоморфна.

Пусть замкнутый круг $|z - z_0|\le 2r$ лежит в $D$ . При $|z - z_0|\le r$ по формуле Коши для производных

f^{(k)}(z) - \sum_{n\le N}f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\oint_{|\zeta - z_0| = 2r}\frac{f(\zeta) - S_N(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,d\zeta,

где $S_N = \sum_{n\le N}f_n$ , и модуль не превосходит $\frac{k!\cdot 2r}{r^{k+1}}\max_{|\zeta - z_0| = 2r}|f - S_N|\to 0$ . Компакт покрывается конечным числом таких кругов. $\blacksquare$

Голоморфность при склейке областей через отрезок

Формулировка

Пусть области $D_1$ и $D_2$ не пересекаются и примыкают друг к другу по интервалу $l$ (так что $D = D_1\cup l\cup D_2$ — область). Если $f$ непрерывна в $D$ и голоморфна в $D_1$ и $D_2$ , то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Голоморфность — локальное свойство, поэтому достаточно проверить её в малом круге $U$ с центром в точке $l$ , для которого $U\setminus l$ состоит из двух полукругов, лежащих в $D_1$ и $D_2$ . По теореме Мореры достаточно проверить, что интеграл по границе любого треугольника $\Delta\subset U$ равен нулю. Если $\Delta$ не пересекает $l$ , это лемма Гурса. Если пересекает, то $l$ делит его на треугольник и четырёхугольник (или два треугольника), лежащие по разные стороны от $l$ . Интеграл по $\partial\Delta$ равен сумме интегралов по их границам.

Для каждой части интеграл по её границе — предел интегралов по границам многоугольников, отодвинутых от $l$ на расстояние $\varepsilon$ внутрь $D_1$ (соответственно $D_2$ ). Эти интегралы равны нулю по лемме Гурса, а предельный переход законен по равномерной непрерывности $f$ на компакте. $\blacksquare$

Теорема Мореры

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна в области $D$ и интеграл от неё по границе любого треугольника, лежащего в $D$ вместе с внутренностью, равен нулю, то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём круг $K\subset D$ с центром $z_0$ и положим $F(z) = \int_{[z_0, z]}f(\zeta)\,d\zeta$ , $z\in K$ . По условию для треугольника с вершинами $z_0, z, z + h$ получаем $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f$ . Как в доказательстве теоремы Коши, отсюда $F' = f$ в $K$ , то есть $F$ голоморфна.

По теореме о бесконечной дифференцируемости производная голоморфной функции голоморфна. Значит, $f = F'$ голоморфна в $K$ , а так как круг произволен, — во всей $D$ . $\blacksquare$

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ всюду, кроме конечного числа точек $a_1, \dots, a_n\in D$ . Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname*{res}_{z=a_k}f(z).

Доказательство

Развернуть

Выкинем из $D$ малые непересекающиеся замкнутые круги с центрами $a_k$ . В оставшейся допустимой области $f$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области интеграл по внешней границе равен сумме интегралов по окружностям вокруг $a_k$ , обходимым против часовой стрелки. По определению каждый из них равен $2\pi i\operatorname*{res}_{a_k}f$ . $\blacksquare$

Интеграл по пути. Теорема Коши

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Основной интеграл по окружности

Формулировка

Доказательство

Лемма Гурса

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши для односвязной области

Формулировка

Доказательство

Существование первообразной. Формула Ньютона–Лейбница

Формулировка

Доказательство

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Доказательство

Интеграл, зависящий от пути

Условие

Решение

Интеграл через первообразную

Условие

Решение

Оценка интеграла по большой окружности

Условие

Решение

Интегралы от 1/(z(z − 1)) по окружностям

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Интеграл от функции комплексного переменного вдоль пути

Допустимая область и её ориентированная граница

Комплексная первообразная

Путь и кривая

Голоморфная функция

Область. Граница. Односвязность

Интегральная формула Коши

Формулировка

Доказательство

Голоморфность интеграла типа Коши

Формулировка

Доказательство

Существование и аналитичность изображения

Формулировка

Доказательство

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Неравенства Коши

Формулировка

Доказательство

Свойства рядов. Признак Вейерштрасса

Формулировка

Доказательство

Лемма об интеграле по большой дуге

Формулировка

Доказательство

Лемма Жордана

Формулировка

Доказательство

Лемма о малой дуге вокруг простого полюса

Формулировка

Доказательство

Вычет как коэффициент ряда Лорана

Формулировка

Доказательство

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Доказательство

Голоморфность при склейке областей через отрезок

Формулировка

Доказательство

Теорема Мореры

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши о вычетах

Формулировка