Интегральная формула Коши и её следствия

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Интегральная формула Коши
Теорема о среднем
Голоморфность интеграла типа Коши
Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируемость
Теорема Мореры

теорема

Интегральная формула Коши

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ . Тогда для любой точки $z\in D$

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta,

а для $z\notin\overline D$ этот интеграл равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $z\in D$ . Выкинем из $D$ круг $|\zeta - z|\le r$ , лежащий в $D$ . В оставшейся допустимой области функция $\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области

\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta.

Правая часть равна

f(z)\oint_{|\zeta - z| = r}\frac{d\zeta}{\zeta - z} + \oint_{|\zeta - z| = r}\frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z}\,d\zeta = 2\pi if(z) + I_r,

где $|I_r|\le\max_{|\zeta - z| = r}|f(\zeta) - f(z)|\cdot\frac1r\cdot 2\pi r\to 0$ при $r\to 0$ . Левая часть от $r$ не зависит, поэтому $I_r = 0$ , и формула доказана.

При $z\notin\overline D$ подынтегральная функция голоморфна в окрестности $\overline D$ , и интеграл равен нулю по теореме Коши. $\blacksquare$

следствие

Теорема о среднем

Формулировка

Если $f$ голоморфна в окрестности замкнутого круга $|z - z_0|\le r$ , то её значение в центре равно среднему по окружности:

f(z_0) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f\left(z_0 + re^{it}\right)dt.

Доказательство

Развернуть

По формуле Коши при $\zeta = z_0 + re^{it}$ , $d\zeta = ire^{it}\,dt$ :

f(z_0) = \frac1{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0 + re^{it})}{re^{it}}\,ire^{it}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0 + re^{it})\,dt.\qquad\blacksquare

теорема

Голоморфность интеграла типа Коши

Формулировка

Интеграл типа Коши $F$ голоморфен в $\mathbb C\setminus\gamma^*$ и имеет там производные всех порядков:

F^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}\,d\zeta.

Доказательство

Развернуть

Пусть $z_0\notin\gamma^*$ , $d = \operatorname{dist}(z_0, \gamma^*)$ , и $|h| < d/2$ . Тогда

\frac{F(z_0 + h) - F(z_0)}h = \frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{\varphi(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - z_0 - h)(\zeta - z_0)}.

Подынтегральная функция при $h\to 0$ сходится равномерно на $\gamma^*$ к $\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta - z_0)^2}$ :

\left|\frac1{(\zeta - z_0 - h)(\zeta - z_0)} - \frac1{(\zeta - z_0)^2}\right| = \frac{|h|}{|\zeta - z_0 - h||\zeta - z_0|^2}\le\frac{2|h|}{d^3}.

По свойству интеграла (предельный переход при равномерной сходимости) получаем формулу при $n = 1$ .

Общий случай — по индукции: если формула верна для $n$ , то так же оценивается разностное отношение для $\frac1{(\zeta - z)^{n+1}}$ , производная которого по $z$ равна $\frac{n+1}{(\zeta - z)^{n+2}}$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируемость

Формулировка

Голоморфная в области $D$ функция имеет в $D$ производные всех порядков, и все они голоморфны. Если $D$ — допустимая область и $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ , то при $z\in D$

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}\,d\zeta.

В частности, вещественная и мнимая части голоморфной функции бесконечно дифференцируемы и гармоничны.

Доказательство

Развернуть

По формуле Коши $f$ совпадает в $D$ с интегралом типа Коши с плотностью $f|_{\partial D}$ . По теореме о голоморфности интеграла типа Коши он бесконечно дифференцируем, и производные даются указанной формулой.

Для произвольной области $D$ каждая точка имеет окрестность-круг, замыкание которого лежит в $D$ , и к кругу применимо сказанное. Частные производные $u$ , $v$ выражаются через комплексные производные ( $f' = u_x + iv_x = v_y - iu_y$ ), поэтому $u, v\in C^\infty$ . Тогда из условий Коши–Римана следует их гармоничность. $\blacksquare$

теорема

Теорема Мореры

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна в области $D$ и интеграл от неё по границе любого треугольника, лежащего в $D$ вместе с внутренностью, равен нулю, то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём круг $K\subset D$ с центром $z_0$ и положим $F(z) = \int_{[z_0, z]}f(\zeta)\,d\zeta$ , $z\in K$ . По условию для треугольника с вершинами $z_0, z, z + h$ получаем $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f$ . Как в доказательстве теоремы Коши, отсюда $F' = f$ в $K$ , то есть $F$ голоморфна.

По теореме о бесконечной дифференцируемости производная голоморфной функции голоморфна. Значит, $f = F'$ голоморфна в $K$ , а так как круг произволен, — во всей $D$ . $\blacksquare$

Интеграл по формуле Коши

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{e^z}{z - 1}\,dz$ .

Решение

Развернуть

$f(z) = e^z$ голоморфна, точка $1$ лежит внутри окружности. По формуле Коши интеграл равен $2\pi if(1) = 2\pi ie$ .

Интеграл от 1/(z² + 1) по разным окружностям

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint\frac{dz}{z^2 + 1}$ по окружностям а) $|z - i| = 1$ ; б) $|z| = 2$ .

Решение

Развернуть

а) Внутри лежит только точка $i$ . $\frac1{z^2 + 1} = \frac{1/(z + i)}{z - i}$ , и по формуле Коши с $f = \frac1{z + i}$ интеграл равен $2\pi i\cdot\frac1{2i} = \pi$ .

б) Внутри обе точки $\pm i$ . По теореме Коши для допустимой области интеграл равен сумме интегралов по малым окружностям вокруг $i$ и $-i$ : $\pi + 2\pi i\cdot\frac1{-2i} = \pi - \pi = 0$ .

Интеграл по формуле для производных

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 1}\frac{\cos z}{z^3}\,dz$ и $\displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{e^{2z}}{(z - 1)^4}\,dz$ .

Решение

Развернуть

По формуле $\oint\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z)$ :

$n = 2$ , $f = \cos z$ : $\frac{2\pi i}{2}(-\cos 0) = -\pi i$ .
$n = 3$ , $f = e^{2z}$ , $f''' = 8e^{2z}$ : $\frac{2\pi i}{6}\cdot 8e^2 = \frac{8\pi ie^2}3$ .

Интеграл с двумя особыми точками внутри контура

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 3}\frac{e^z}{z(z - 2)}\,dz$ .

Решение

Развернуть

$\frac1{z(z - 2)} = \frac12\left(\frac1{z - 2} - \frac1z\right)$ . По формуле Коши

\oint\frac{e^z}{z - 2}dz = 2\pi ie^2,\qquad\oint\frac{e^z}zdz = 2\pi i.

Ответ: $\frac12\cdot 2\pi i(e^2 - 1) = \pi i(e^2 - 1)$ .

Вычисление вещественного интеграла по теореме о среднем

Условие

Вычислить $\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{\cos t}\cos(\sin t)\,dt$ .

Решение

Развернуть

$e^{e^{it}} = e^{\cos t}\bigl(\cos(\sin t) + i\sin(\sin t)\bigr)$ . По теореме о среднем для $f = e^z$ , $z_0 = 0$ , $r = 1$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{e^{it}}\,dt = e^0 = 1.

Вещественная часть даёт $\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{\cos t}\cos(\sin t)\,dt = 2\pi$ (а интеграл от мнимой части равен нулю).

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Интеграл типа Коши

Пусть $\gamma$ — кусочно-гладкий путь, а $\varphi$ непрерывна на $\gamma^*$ . Функция

F(z) = \frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta,\qquad z\notin\gamma^*,

называется интегралом типа Коши с плотностью $\varphi$ . Если $\gamma = \partial D$ и $\varphi = f|_{\partial D}$ для голоморфной функции $f$ , интеграл называется интегралом Коши.

Допустимая область и её ориентированная граница

По теореме Жордана замкнутая жорданова кривая $\Gamma$ разбивает плоскость на две области: ограниченную (внутренность, жорданова область) и неограниченную; $\Gamma$ — их общая граница.

Ограниченная область $D$ называется допустимой, если её граница состоит из конечного числа попарно непересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.

Положительно ориентированной границей $\partial D$ допустимой области называется граница, обходимая так, что область остаётся слева: внешняя граница — против часовой стрелки, внутренние — по часовой.

Голоморфная функция

Функция $f$ называется голоморфной (регулярной, аналитической) в открытом множестве $D$ , если она $\mathbb C$ -дифференцируема в каждой точке $D$ . Функция голоморфна в точке $z_0$ , если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки.

Функция, голоморфная во всей плоскости $\mathbb C$ , называется целой.

Функция голоморфна в точке $\infty$ , если функция $g(\zeta) = f(1/\zeta)$ голоморфна в точке $\zeta = 0$ (при $g(0) = \lim_{z\to\infty}f(z)$ ).

Комплексная первообразная

Функция $F$ , голоморфная в области $D$ , называется первообразной функции $f$ в $D$ , если $F'(z) = f(z)$ при всех $z\in D$ .

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ голоморфна в некоторой окрестности $\overline D$ (или голоморфна в $D$ и непрерывна в $\overline D$ ). Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 0,

где $\partial D$ — положительно ориентированная граница. В частности, если $D$ ограничена внешним контуром $\Gamma_0$ и внутренними $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$ , то

\oint_{\Gamma_0}f\,dz = \sum_{k=1}^m\oint_{\Gamma_k}f\,dz,

где все контуры обходятся против часовой стрелки.

Доказательство

Развернуть

Проведём конечное число непересекающихся гладких разрезов, соединяющих внутренние контуры друг с другом и с внешним, так чтобы область разбилась на односвязные части $D_1, \dots, D_s$ . Каждая часть лежит в односвязной подобласти окрестности $\overline D$ , где $f$ голоморфна. По теореме Коши для односвязной области интеграл по границе каждой части равен нулю.

Сложим эти интегралы. Каждый разрез проходится дважды в противоположных направлениях, и интегралы по нему сокращаются. Остаётся интеграл по $\partial D$ с положительной ориентацией. Второе равенство — запись первого с учётом того, что внутренние контуры в $\partial D$ проходятся по часовой стрелке.

Случай функции, голоморфной в $D$ и непрерывной в $\overline D$ , сводится к доказанному предельным переходом по областям, приближающим $D$ изнутри; это рассуждение технически сложно, и мы приводим его без доказательства. В дальнейшем используется только случай функции, голоморфной в окрестности $\overline D$ . $\blacksquare$

Основной интеграл по окружности

Формулировка

Для окружности $|z - a| = r$ , обходимой один раз против часовой стрелки, и целого $n$

\oint_{|z - a| = r}(z - a)^n\,dz = \begin{cases}2\pi i, & n = -1,\\ 0, & n\ne -1.\end{cases}

Доказательство

Развернуть

$z = a + re^{it}$ , $dz = ire^{it}\,dt$ :

\int_0^{2\pi}r^ne^{int}\cdot ire^{it}\,dt = ir^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}\,dt.

При $n = -1$ интеграл равен $2\pi i$ . При $n\ne -1$ первообразная $\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}$ — $2\pi$ -периодическая, и интеграл равен нулю. $\blacksquare$

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Интеграл линеен по $f$ и не зависит от выбора параметризации пути (при возрастающей замене параметра).
$\int_{\gamma^-}f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$ ; если путь $\gamma$ составлен из $\gamma_1$ и $\gamma_2$ , то интегралы складываются.
Оценка:

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le\int_\gamma|f(z)|\,|dz|\le\max_{\gamma^*}|f|\cdot L(\gamma),

где $L(\gamma) = \int_\alpha^\beta|\gamma'(t)|\,dt$ — длина пути. 4. Если $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma^*$ , то $\int_\gamma f_n\,dz\to\int_\gamma f\,dz$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2. Свойства следуют из свойств определённого интеграла от комплекснозначной функции вещественного переменного и формулы замены переменной: при $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , имеем $f(\gamma(\varphi(s)))\gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)\,ds = f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . Для противоположного пути замена убывающая, и знак меняется.

Для интеграла $I = \int_\alpha^\beta g(t)\,dt$ от комплекснозначной функции возьмём $\theta = \arg I$ . Тогда

|I| = \operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}I\right) = \int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}g\right)dt\le\int_\alpha^\beta|g|\,dt.

При $g = f(\gamma)\gamma'$ получаем первое неравенство, второе очевидно.

Следует из п. 3: $\left|\int(f_n - f)\right|\le\max|f_n - f|\cdot L(\gamma)\to 0$ . $\blacksquare$

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Функция $f$ , голоморфная в кольце $V = \{r < |z - a| < R\}$ , представляется в нём сходящимся рядом Лорана

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad r < \rho < R.

Разложение единственно: если ряд Лорана сходится к $f$ в $V$ , то его коэффициенты даются этими формулами.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r < \rho_1 < |z - a| < \rho_2 < R$ . По формуле Коши для кольца $\rho_1 < |\zeta - a| < \rho_2$ :

f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_2}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z} - \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho_1}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta - z}.

В первом интеграле, как в доказательстве теоремы Тейлора, $\frac1{\zeta - z} = \sum_{n\ge 0}\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}$ . Во втором $|\zeta - a| < |z - a|$ , и

-\frac1{\zeta - z} = \frac1{(z - a)\left(1 - \frac{\zeta - a}{z - a}\right)} = \sum_{n\ge 1}\frac{(\zeta - a)^{n-1}}{(z - a)^n}.

Оба ряда сходятся равномерно по $\zeta$ на соответствующих окружностях; почленное интегрирование даёт правильную и главную части с указанными коэффициентами. По теореме Коши для кольца интегралы $\oint\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}$ не зависят от $\rho$ .

Единственность: если $f = \sum c_n(z - a)^n$ в $V$ , умножим равенство на $(z - a)^{-k-1}$ и проинтегрируем по окружности $|z - a| = \rho$ . Ряд сходится равномерно на окружности, а по основному интегралу ненулевым остаётся только член с $n = k$ , равный $2\pi ic_k$ . $\blacksquare$

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора

Формулировка

Если $f$ голоморфна в круге $|z - a| < R$ , то в этом круге она представляется сходящимся рядом Тейлора

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad 0 < \rho < R.

В частности, радиус сходимости ряда Тейлора не меньше расстояния от $a$ до границы области голоморфности.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|z - a| < \rho < R$ . По формуле Коши $f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$ . Разложим ядро в геометрическую прогрессию:

\frac1{\zeta - z} = \frac1{(\zeta - a)\left(1 - \frac{z - a}{\zeta - a}\right)} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}.

При фиксированном $z$ ряд сходится равномерно по $\zeta$ на окружности, так как $\left|\frac{z - a}{\zeta - a}\right| = \frac{|z - a|}\rho < 1$ (признак Вейерштрасса). После умножения на ограниченную $f(\zeta)$ его можно почленно интегрировать, что даёт ряд с указанными коэффициентами. По формуле Коши для производных $c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ ; поэтому коэффициенты не зависят от $\rho$ , и разложение верно во всём круге. $\blacksquare$

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Если ряд $\sum f_n(z)$ из голоморфных в области $D$ функций сходится равномерно внутри $D$ , то его сумма $f$ голоморфна в $D$ , и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз: $\sum f_n^{(k)}$ сходится к $f^{(k)}$ равномерно внутри $D$ .

Доказательство

Развернуть

Сумма непрерывна. Для любого замкнутого треугольника $\Delta$ , лежащего в $D$ вместе с внутренностью, по лемме Гурса $\oint_{\partial\Delta}f_n = 0$ ; так как на компакте $\partial\Delta$ ряд сходится равномерно, почленное интегрирование даёт $\oint_{\partial\Delta}f = 0$ . По теореме Мореры $f$ голоморфна.

Пусть замкнутый круг $|z - z_0|\le 2r$ лежит в $D$ . При $|z - z_0|\le r$ по формуле Коши для производных

f^{(k)}(z) - \sum_{n\le N}f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\oint_{|\zeta - z_0| = 2r}\frac{f(\zeta) - S_N(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,d\zeta,

где $S_N = \sum_{n\le N}f_n$ , и модуль не превосходит $\frac{k!\cdot 2r}{r^{k+1}}\max_{|\zeta - z_0| = 2r}|f - S_N|\to 0$ . Компакт покрывается конечным числом таких кругов. $\blacksquare$

Теорема Коши для односвязной области

Формулировка

Если функция $f$ голоморфна в односвязной области $D$ , то для любого замкнутого кусочно-гладкого пути $\gamma$ в $D$

\oint_\gamma f(z)\,dz = 0.

(Полное доказательство приводится для звёздных областей; общий случай — без доказательства.)

Доказательство

Развернуть

Проведём доказательство для области, звёздной относительно точки $z_0$ (вместе с каждой точкой содержащей отрезок $[z_0, z]$ ); например, для круга или выпуклой области.

Положим $F(z) = \int_{[z_0, z]}f(\zeta)\,d\zeta$ . Для $z + h\in D$ , близкого к $z$ , треугольник с вершинами $z_0, z, z + h$ лежит в $D$ , и по лемме Гурса $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z + h]}f(\zeta)\,d\zeta$ . Тогда

\left|\frac{F(z + h) - F(z)}h - f(z)\right| = \left|\frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(\zeta) - f(z)\bigr)\,d\zeta\right|\le\max_{[z, z + h]}|f(\zeta) - f(z)|\to 0.

Значит, $F' = f$ . Для замкнутого пути $\int_\gamma f\,dz = \int_\alpha^\beta\frac{d}{dt}F(\gamma(t))\,dt = F(\gamma(\beta)) - F(\gamma(\alpha)) = 0$ .

Для произвольной односвязной области мы приводим лишь схему: путь покрывается конечным числом кругов, лежащих в $D$ , в каждом из которых по доказанному есть первообразная; используя односвязность, эти первообразные можно согласовать и получить первообразную $f$ во всей $D$ , откуда интеграл по замкнутому пути равен нулю. Полное доказательство общего случая мы опускаем (см., например, Шабат, «Введение в комплексный анализ», гл. II). $\blacksquare$

Голоморфность при склейке областей через отрезок

Формулировка

Пусть области $D_1$ и $D_2$ не пересекаются и примыкают друг к другу по интервалу $l$ (так что $D = D_1\cup l\cup D_2$ — область). Если $f$ непрерывна в $D$ и голоморфна в $D_1$ и $D_2$ , то $f$ голоморфна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Голоморфность — локальное свойство, поэтому достаточно проверить её в малом круге $U$ с центром в точке $l$ , для которого $U\setminus l$ состоит из двух полукругов, лежащих в $D_1$ и $D_2$ . По теореме Мореры достаточно проверить, что интеграл по границе любого треугольника $\Delta\subset U$ равен нулю. Если $\Delta$ не пересекает $l$ , это лемма Гурса. Если пересекает, то $l$ делит его на треугольник и четырёхугольник (или два треугольника), лежащие по разные стороны от $l$ . Интеграл по $\partial\Delta$ равен сумме интегралов по их границам.

Для каждой части интеграл по её границе — предел интегралов по границам многоугольников, отодвинутых от $l$ на расстояние $\varepsilon$ внутрь $D_1$ (соответственно $D_2$ ). Эти интегралы равны нулю по лемме Гурса, а предельный переход законен по равномерной непрерывности $f$ на компакте. $\blacksquare$

Интегральная формула Коши и её следствия

Интегральная формула Коши

Формулировка

Доказательство

Теорема о среднем

Формулировка

Доказательство

Голоморфность интеграла типа Коши

Формулировка

Доказательство

Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируемость

Формулировка

Доказательство

Теорема Мореры

Формулировка

Доказательство

Интеграл по формуле Коши

Условие

Решение

Интеграл от 1/(z² + 1) по разным окружностям

Условие

Решение

Интеграл по формуле для производных

Условие

Решение

Интеграл с двумя особыми точками внутри контура

Условие

Решение

Вычисление вещественного интеграла по теореме о среднем

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Интеграл типа Коши

Допустимая область и её ориентированная граница

Голоморфная функция

Комплексная первообразная

Интегральная теорема Коши для допустимой области

Формулировка

Доказательство

Основной интеграл по окружности

Формулировка

Доказательство

Свойства интеграла вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана

Формулировка

Доказательство

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора

Формулировка

Доказательство

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши для односвязной области

Формулировка

Доказательство

Голоморфность при склейке областей через отрезок

Формулировка

Доказательство