Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Теорема о логарифмическом вычете
Обобщённая формула логарифмического вычета
Принцип аргумента
Теорема Руше
Число корней многочлена

теорема

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а $f$ мероморфна в окрестности $\overline D$ и не имеет нулей и полюсов на $\partial D$ . Тогда

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N - P,

где $N$ и $P$ — числа нулей и полюсов $f$ в $D$ , считаемых с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули и полюсы изолированы, поэтому в $\overline D$ их конечное число. Особые точки $f'/f$ в $D$ — только нули и полюсы $f$ .

Если $a$ — нуль порядка $m$ , то $f = (z - a)^mg$ , $g(a)\ne 0$ , и

\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g,

где $g'/g$ голоморфна вблизи $a$ . Поэтому $\operatorname*{res}_af'/f = m$ .

Если $a$ — полюс порядка $p$ , то $f = (z - a)^{-p}h$ , $h(a)\ne 0$ , и аналогично $\operatorname*{res}_af'/f = -p$ .

По теореме Коши о вычетах интеграл равен $2\pi i(N - P)$ . $\blacksquare$

следствие

Обобщённая формула логарифмического вычета

Формулировка

Если, кроме условий теоремы о логарифмическом вычете, функция $\varphi$ голоморфна в окрестности $\overline D$ , то

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\varphi(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = \sum_k\varphi(a_k) - \sum_j\varphi(b_j),

где $a_k$ — нули, $b_j$ — полюсы $f$ в $D$ , каждый повторён столько раз, какова его кратность.

Доказательство

Развернуть

В нуле порядка $m$ : $\varphi\frac{f'}f = \frac{m\varphi(z)}{z - a} + \varphi\frac{g'}g$ , и вычет равен $m\varphi(a)$ . В полюсе порядка $p$ вычет равен $-p\varphi(b)$ . Остаётся применить теорему Коши о вычетах. $\blacksquare$

теорема

Принцип аргумента

Формулировка

В условиях теоремы о логарифмическом вычете

N - P = \frac1{2\pi}\Delta_{\partial D}\arg f(z),

где $\Delta_{\partial D}\arg f$ — суммарное приращение аргумента $f(z)$ при обходе положительно ориентированной границы. Для жордановой области $D$ это индекс пути $f(\partial D)$ относительно точки $0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — одна из замкнутых компонент границы, $w(t) = f(\gamma(t))\ne 0$ . Возьмём непрерывную ветвь $\theta(t)$ аргумента $w(t)$ ; тогда $\Lambda(t) = \ln|w(t)| + i\theta(t)$ — непрерывная ветвь логарифма вдоль пути, кусочно-гладкая, и

\Lambda'(t) = \frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{f'(\gamma(t))\gamma'(t)}{f(\gamma(t))}.

(Это проверяется дифференцированием равенства $e^{\Lambda(t)} = w(t)$ .) Поэтому

\oint_\gamma\frac{f'}f\,dz = \Lambda(\beta) - \Lambda(\alpha) = \bigl[\ln|w|\bigr]_\alpha^\beta + i\Delta_\gamma\arg f = i\Delta_\gamma\arg f,

так как путь замкнут. Суммируя по компонентам границы и применяя теорему о логарифмическом вычете, получаем формулу. $\blacksquare$

теорема

Теорема Руше

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, функции $f$ и $g$ голоморфны в окрестности $\overline D$ , и на $\partial D$ выполнено неравенство

|g(z)| < |f(z)|.

Тогда $f$ и $f + g$ имеют в $D$ одинаковое число нулей (с учётом кратности).

Доказательство

Развернуть

На $\partial D$ имеем $|f| > |g|\ge 0$ и $|f + g|\ge|f| - |g| > 0$ , так что ни $f$ , ни $f + g$ не обращаются в нуль на границе. На границе

f + g = f\cdot\left(1 + \frac gf\right),\qquad\left|\frac gf\right| < 1.

Значения $1 + g/f$ лежат в правой полуплоскости, поэтому приращение их аргумента вдоль каждой замкнутой компоненты границы равно нулю. Значит, $\Delta_{\partial D}\arg(f + g) = \Delta_{\partial D}\arg f$ , и по принципу аргумента (у голоморфных функций нет полюсов) числа нулей совпадают. $\blacksquare$

следствие

Число корней многочлена

Формулировка

Многочлен $P(z) = a_nz^n + \dots + a_0$ , $a_n\ne 0$ , имеет в $\mathbb C$ ровно $n$ корней с учётом кратности. Все они лежат в круге $|z| < R$ для любого $R$ , при котором $|a_n|R^n > |a_{n-1}|R^{n-1} + \dots + |a_0|$ .

Доказательство

Развернуть

Положим $f = a_nz^n$ , $g = P - f$ . На окружности $|z| = R$ при указанном $R$ выполнено $|g|\le|a_{n-1}|R^{n-1} + \dots + |a_0| < |f|$ . По теореме Руше $P = f + g$ имеет в круге столько же нулей, сколько $a_nz^n$ , то есть $n$ . Вне круга нулей нет: при $|z| = \rho\ge R$ имеем $|P|\ge|a_n|\rho^n - \sum_{k<n}|a_k|\rho^k > 0$ , так как $\sum_{k<n}|a_k|\rho^{k - n}$ убывает по $\rho$ . $\blacksquare$

Число корней в круге и в кольце

Условие

Сколько корней уравнения $z^4 - 5z + 1 = 0$ лежит в круге $|z| < 1$ и в кольце $1 < |z| < 2$ ?

Решение

Развернуть

На $|z| = 1$ : $f = -5z$ , $g = z^4 + 1$ , $|g|\le 2 < 5 = |f|$ . В круге $|z| < 1$ один корень (как у $-5z$ ).

На $|z| = 2$ : $f = z^4$ , $g = -5z + 1$ , $|g|\le 11 < 16 = |f|$ . В круге $|z| < 2$ четыре корня.

На окружности $|z| = 1$ корней нет (там $|z^4 - 5z + 1|\ge 5 - 2 > 0$ ). Поэтому в кольце $1 < |z| < 2$ лежат три корня.

Корни многочлена седьмой степени в единичном круге

Условие

Сколько корней уравнения $z^7 - 2z^5 + 6z^3 - z + 1 = 0$ лежит в круге $|z| < 1$ ?

Решение

Развернуть

$f = 6z^3$ , $g = z^7 - 2z^5 - z + 1$ . На $|z| = 1$ : $|g|\le 1 + 2 + 1 + 1 = 5 < 6 = |f|$ . Корней в круге столько же, сколько у $6z^3$ , — три.

Логарифмический вычет тангенса

Условие

Вычислить $\displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{(\operatorname{tg}z)'}{\operatorname{tg}z}\,dz$ .

Решение

Развернуть

В круге $|z| < 2$ нули $\operatorname{tg}z$ : только $z = 0$ (следующие $\pm\pi$ вне круга), простой; $N = 1$ . Полюсы: $\pm\frac\pi2$ ( $\frac\pi2\approx 1{,}57 < 2$ ), простые; $P = 2$ . На окружности нулей и полюсов нет.

Ответ: $2\pi i(N - P) = -2\pi i$ .

Проверка: $\frac{(\operatorname{tg}z)'}{\operatorname{tg}z} = \frac2{\sin 2z}$ , вычеты в точках $0$ , $\pm\frac\pi2$ равны $1, -1, -1$ .

Единственный корень трансцендентного уравнения

Условие

Доказать, что при $\lambda > 1$ уравнение $ze^{\lambda - z} = 1$ имеет в круге $|z| < 1$ ровно один корень, и этот корень вещественный.

Решение

Развернуть

$f = ze^{\lambda - z}$ , $g = -1$ . На $|z| = 1$ : $|f| = e^{\lambda - \operatorname{Re}z}\ge e^{\lambda - 1} > 1 = |g|$ . По теореме Руше уравнение $f + g = 0$ имеет в круге столько корней, сколько $f$ , то есть один ( $z = 0$ ).

Функция $\varphi(x) = xe^{\lambda - x} - 1$ на $[0, 1]$ непрерывна, $\varphi(0) = -1 < 0$ , $\varphi(1) = e^{\lambda - 1} - 1 > 0$ . Значит, на $(0, 1)$ есть вещественный корень, и он — единственный корень в круге.

Число корней в четверти плоскости по принципу аргумента

Условие

Сколько корней многочлена $P(z) = z^4 + z + 1$ лежит в первой четверти?

Решение

Развернуть

Рассмотрим границу четверти круга $\{|z| < R,\ 0 < \arg z < \frac\pi2\}$ при большом $R$ . На осях корней нет: $P(x) > 0$ при $x\ge 0$ , $\operatorname{Re}P(iy) = y^4 + 1 > 0$ .

Отрезок $[0, R]$ : $P(x) > 0$ , приращение аргумента $0$ .
Дуга $z = Re^{it}$ , $t\in[0, \frac\pi2]$ : $P = z^4(1 + O(R^{-3}))$ , приращение $4\cdot\frac\pi2 + o(1) = 2\pi + o(1)$ .
Отрезок от $iR$ до $0$ : $P(iy) = y^4 + 1 + iy$ , вещественная часть положительна, значения лежат в правой полуплоскости. В начале ( $y = R$ ) и в конце ( $y = 0$ ) аргумент близок к $0$ и равен $0$ соответственно, поэтому приращение $o(1)$ .

Суммарное приращение — $2\pi$ (оно кратно $2\pi$ , а слагаемые $o(1)$ исчезают). В первой четверти один корень. (Так как коэффициенты вещественны, $\overline{P(\bar z)} = P(z)$ , поэтому ещё один корень — в четвёртой четверти, а два оставшихся — в левой полуплоскости.)

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Логарифмическая производная и логарифмический вычет

Логарифмической производной функции $f$ называется $\dfrac{f'(z)}{f(z)} = (\ln f)'$ . Логарифмическим вычетом $f$ относительно допустимой области $D$ (если на $\partial D$ нет нулей и полюсов $f$ ) называется

\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz.

Логарифмическим вычетом в точке $a$ называется $\operatorname*{res}_{z=a}\dfrac{f'}{f}$ .

Нуль голоморфной функции и его порядок

Точка $a$ называется нулём голоморфной функции $f$ , если $f(a) = 0$ . Нуль имеет порядок (кратность) $m$ , если

f(a) = f'(a) = \dots = f^{(m-1)}(a) = 0,\qquad f^{(m)}(a)\ne 0.

Нуль порядка $1$ называется простым.

Говорят, что $f$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\infty$ , если функция $f(1/\zeta)$ имеет нуль порядка $m$ в точке $\zeta = 0$ .

Изолированная особая точка и её типы

Точка $a\in\mathbb C$ называется изолированной особой точкой однозначного характера функции $f$ , если $f$ голоморфна в проколотой окрестности $0 < |z - a| < r$ , но не определена или не голоморфна в самой точке $a$ . Особая точка называется:

устранимой, если существует конечный предел $\lim_{z\to a}f(z)$ ;
полюсом, если $\lim_{z\to a}f(z) = \infty$ ;
существенно особой, если предела (конечного или бесконечного) нет.

Порядком полюса называется порядок нуля функции $1/f$ в точке $a$ (с доопределением $1/f(a) = 0$ ).

Функция, все особые точки которой в области $D$ — полюсы, называется мероморфной в $D$ .

Приращение аргумента вдоль пути. Индекс пути

Пусть путь $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ не проходит через точку $a$ . Непрерывной ветвью аргумента вдоль $\gamma$ называется непрерывная функция $\theta(t)$ , такая что $\theta(t)$ — одно из значений $\operatorname{Arg}(\gamma(t) - a)$ при каждом $t$ .

Приращением аргумента вдоль пути называется число

\Delta_\gamma\operatorname{arg}(z - a) = \theta(\beta) - \theta(\alpha).

Для замкнутого пути число

\operatorname{ind}_\gamma(a) = \frac1{2\pi}\Delta_\gamma\operatorname{arg}(z - a)

называется индексом пути $\gamma$ относительно точки $a$ (порядком точки относительно пути): это число оборотов пути вокруг $a$ .

Допустимая область и её ориентированная граница

По теореме Жордана замкнутая жорданова кривая $\Gamma$ разбивает плоскость на две области: ограниченную (внутренность, жорданова область) и неограниченную; $\Gamma$ — их общая граница.

Ограниченная область $D$ называется допустимой, если её граница состоит из конечного числа попарно непересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.

Положительно ориентированной границей $\partial D$ допустимой области называется граница, обходимая так, что область остаётся слева: внешняя граница — против часовой стрелки, внутренние — по часовой.

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Пусть $D$ — допустимая область, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ всюду, кроме конечного числа точек $a_1, \dots, a_n\in D$ . Тогда

\oint_{\partial D}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname*{res}_{z=a_k}f(z).

Доказательство

Развернуть

Выкинем из $D$ малые непересекающиеся замкнутые круги с центрами $a_k$ . В оставшейся допустимой области $f$ голоморфна. По теореме Коши для допустимой области интеграл по внешней границе равен сумме интегралов по окружностям вокруг $a_k$ , обходимым против часовой стрелки. По определению каждый из них равен $2\pi i\operatorname*{res}_{a_k}f$ . $\blacksquare$

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Пусть $f$ голоморфна в области $D$ и не равна тождественно нулю. Тогда каждый её нуль $a$ имеет конечный порядок $m$ , $f(z) = (z - a)^mg(z)$ с голоморфной $g$ , $g(a)\ne 0$ , и у нуля есть проколотая окрестность, в которой $f\ne 0$ (нули изолированы).

Доказательство

Развернуть

Пусть $E$ — множество точек $D$ , в которых все производные $f$ (включая $f$ ) равны нулю. Оно замкнуто в $D$ (по непрерывности производных). Оно открыто: если $z_0\in E$ , то ряд Тейлора в круге с центром $z_0$ нулевой, и $f\equiv 0$ в этом круге. Так как $D$ связна и $f\not\equiv 0$ , множество $E$ пусто.

Значит, в нуле $a$ некоторая производная не равна нулю, и порядок $m$ конечен. В круге с центром $a$

f(z) = \sum_{n\ge m}c_n(z - a)^n = (z - a)^m\sum_{k\ge 0}c_{m+k}(z - a)^k = (z - a)^mg(z),

где $g$ голоморфна как сумма степенного ряда и $g(a) = c_m\ne 0$ . Вне круга $g(z) = f(z)/(z - a)^m$ . По непрерывности $g\ne 0$ вблизи $a$ , поэтому и $f\ne 0$ в проколотой окрестности. $\blacksquare$

Описание полюсов

Формулировка

Для изолированной особой точки $a$ следующие условия равносильны:

$a$ — полюс порядка $m$ ;
$f(z) = \dfrac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h$ голоморфна в окрестности $a$ и $h(a)\ne 0$ ;
главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, и старший из них — $\dfrac{c_{-m}}{(z - a)^m}$ , $c_{-m}\ne 0$ .

Если $f = \varphi/\psi$ , где $\varphi(a)\ne 0$ , а $\psi$ имеет в $a$ нуль порядка $m$ , то $a$ — полюс порядка $m$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 2$ : функция $g = 1/f$ вблизи $a$ ограничена (так как $f\to\infty$ ), её особая точка устранима, и доопределённая $g(a) = 0$ имеет нуль порядка $m$ . По теореме о нулях $g = (z - a)^mg_1$ , $g_1(a)\ne 0$ . Тогда $f = \frac{h}{(z - a)^m}$ с $h = 1/g_1$ .

$2\Rightarrow 3$ : разложим $h$ в ряд Тейлора $h = \sum_{k\ge 0}b_k(z - a)^k$ , $b_0 = h(a)\ne 0$ , и разделим на $(z - a)^m$ . По единственности ряда Лорана главная часть равна $\sum_{k<m}b_k(z - a)^{k - m}$ , её старший член — $\frac{b_0}{(z - a)^m}$ .

$3\Rightarrow 1$ : $f = \frac{h(z)}{(z - a)^m}$ , где $h = \sum_{n\ge -m}c_n(z - a)^{n + m}$ голоморфна и $h(a) = c_{-m}\ne 0$ . Тогда $f\to\infty$ , а $1/f = \frac{(z - a)^m}{h}$ имеет нуль порядка $m$ .

Последнее утверждение: $\psi = (z - a)^m\psi_1$ , $\psi_1(a)\ne 0$ , и $f = \frac{\varphi/\psi_1}{(z - a)^m}$ с $\frac{\varphi(a)}{\psi_1(a)}\ne 0$ . $\blacksquare$

Теорема Гурвица и её следствия

Формулировка

Пусть функции $f_n$ голоморфны в области $D$ и сходятся к $f$ равномерно внутри $D$ , причём $f\not\equiv 0$ . Тогда:

если круг $\overline K\subset D$ и $f\ne 0$ на $\partial K$ , то при всех достаточно больших $n$ функции $f_n$ и $f$ имеют в $K$ одинаковое число нулей;
если все $f_n$ не имеют нулей в $D$ , то и $f$ не имеет нулей в $D$ ;
если все $f_n$ однолистны в $D$ , а $f$ не постоянна, то $f$ однолистна в $D$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Вейерштрасса $f_n'\to f'$ равномерно на $\partial K$ . Так как $|f|\ge\delta > 0$ на $\partial K$ , при больших $n$ имеем $|f_n|\ge\delta/2$ там, и $\frac{f_n'}{f_n}\rightrightarrows\frac{f'}f$ на $\partial K$ . Логарифмические вычеты — целые числа, сходящиеся к логарифмическому вычету $f$ , — при больших $n$ совпадают с ним. По теореме о логарифмическом вычете совпадают и числа нулей.
Если $f(a) = 0$ , возьмём круг $K$ с центром $a$ , на границе которого $f\ne 0$ (нули изолированы). По п. 1 при больших $n$ функция $f_n$ имеет в $K$ хотя бы один нуль — противоречие.
Пусть $f(z_1) = f(z_2) = w$ , $z_1\ne z_2$ . Функции $f_n - f_n(z_2)$ в $D\setminus\{z_2\}$ не имеют нулей (однолистность) и сходятся к $f - w$ , которая не тождественный нуль. По п. 2 (в области $D\setminus\{z_2\}$ ) $f - w$ не имеет там нулей, но $f(z_1) = w$ — противоречие. $\blacksquare$

Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути

Формулировка

Если путь $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ не проходит через точку $a$ , то непрерывная ветвь $\theta(t)$ аргумента $\gamma(t) - a$ существует и определена однозначно с точностью до слагаемого $2\pi k$ . Поэтому приращение аргумента вдоль пути и индекс замкнутого пути определены корректно, а индекс — целое число.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\delta = \min_t|\gamma(t) - a| > 0$ . По равномерной непрерывности $\gamma$ разобьём отрезок точками $\alpha = t_0 < t_1 < \dots < t_m = \beta$ так, чтобы на каждом $[t_{k-1}, t_k]$ было $|\gamma(t) - \gamma(t_{k-1})| < \delta$ . Тогда $\gamma(t) - a$ лежит в круге с центром $\gamma(t_{k-1}) - a$ , не содержащем нуля. В таком круге аргумент имеет непрерывную ветвь (круг лежит в открытой полуплоскости, граница которой проходит через нуль, и значения аргумента можно выбрать в интервале длины $\pi$ с центром $\arg(\gamma(t_{k-1}) - a)$ ). Склеивая ветви на соседних отрезках (подбирая на каждом следующем отрезке слагаемое $2\pi k$ так, чтобы значения совпали в точке $t_{k-1}$ ), получаем непрерывную ветвь на всём $[\alpha, \beta]$ .

Если $\theta_1$ , $\theta_2$ — две непрерывные ветви, то $\theta_1 - \theta_2$ непрерывна и принимает значения в $2\pi\mathbb Z$ . Значит, она постоянна. Поэтому разность $\theta(\beta) - \theta(\alpha)$ от выбора ветви не зависит. Для замкнутого пути $\gamma(\beta) = \gamma(\alpha)$ , и эта разность кратна $2\pi$ . $\blacksquare$

Принцип соответствия границ

Формулировка

Пусть $D$ и $G$ — жордановы области, а функция $f$ голоморфна в окрестности $\overline D$ и взаимно однозначно отображает $\partial D$ на $\partial G$ с сохранением ориентации. Тогда $f$ конформно отображает $D$ на $G$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $w_0\notin\partial G$ . Число корней уравнения $f(z) = w_0$ в $D$ по принципу аргумента равно $\frac1{2\pi}\Delta_{\partial D}\arg(f(z) - w_0)$ , то есть индексу кривой $f(\partial D) = \partial G$ (проходимой один раз в положительном направлении) относительно $w_0$ . Этот индекс равен $1$ при $w_0\in G$ и $0$ при $w_0$ вне $\overline G$ .

Значит, каждое значение из $G$ принимается в $D$ ровно один раз, а значения вне $\overline G$ не принимаются. Значения на $\partial G$ в $D$ тоже не принимаются: иначе по принципу сохранения области образ окрестности такой точки содержал бы точки вне $\overline G$ . Итак, $f$ — взаимно однозначное отображение $D$ на $G$ . $\blacksquare$

Лемма о близких путях («собака на поводке»)

Формулировка

Пусть $\gamma_0$ , $\gamma_1\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ — замкнутые пути и

|\gamma_1(t) - \gamma_0(t)| < |\gamma_0(t) - a|\qquad\text{при всех } t.

Тогда $a\notin\gamma_1^*$ и $\operatorname{ind}_{\gamma_1}(a) = \operatorname{ind}_{\gamma_0}(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Из условия $\gamma_1(t)\ne a$ . Положим

w(t) = \frac{\gamma_1(t) - a}{\gamma_0(t) - a} = 1 + \frac{\gamma_1(t) - \gamma_0(t)}{\gamma_0(t) - a},\qquad |w(t) - 1| < 1.

Путь $w$ замкнут и лежит в правой полуплоскости, поэтому его индекс относительно нуля равен нулю. Так как непрерывная ветвь $\arg(\gamma_1 - a)$ равна сумме ветвей $\arg(\gamma_0 - a)$ и $\arg w$ , приращения аргументов совпадают. $\blacksquare$

Принцип сохранения области

Формулировка

Если $f$ голоморфна и не постоянна в области $D$ , то $f(D)$ — область. Более точно: если $f(a) = w_0$ и $a$ — нуль порядка $m$ функции $f - w_0$ , то существуют $r > 0$ и $\delta > 0$ такие, что при $|w - w_0| < \delta$ уравнение $f(z) = w$ имеет в круге $|z - a| < r$ ровно $m$ корней с учётом кратности.

Доказательство

Развернуть

Нули $f - w_0$ изолированы, поэтому есть круг $|z - a|\le r$ , лежащий в $D$ , в котором $a$ — единственный нуль $f - w_0$ . Пусть $\delta = \min_{|z - a| = r}|f(z) - w_0| > 0$ . При $|w - w_0| < \delta$ запишем $f - w = (f - w_0) + (w_0 - w)$ ; на окружности $|w_0 - w| < \delta\le|f - w_0|$ . По теореме Руше $f - w$ имеет в круге столько же нулей, сколько $f - w_0$ , то есть $m\ge 1$ .

Значит, круг $|w - w_0| < \delta$ лежит в $f(D)$ , и $f(D)$ открыто. Связность: образ связного множества при непрерывном отображении связен (образ ломаной — путь). $\blacksquare$

Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше

Теорема о логарифмическом вычете

Формулировка

Доказательство

Обобщённая формула логарифмического вычета

Формулировка

Доказательство

Принцип аргумента

Формулировка

Доказательство

Теорема Руше

Формулировка

Доказательство

Число корней многочлена

Формулировка

Доказательство

Число корней в круге и в кольце

Условие

Решение

Корни многочлена седьмой степени в единичном круге

Условие

Решение

Логарифмический вычет тангенса

Условие

Решение

Единственный корень трансцендентного уравнения

Условие

Решение

Число корней в четверти плоскости по принципу аргумента

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Логарифмическая производная и логарифмический вычет

Нуль голоморфной функции и его порядок

Изолированная особая точка и её типы

Приращение аргумента вдоль пути. Индекс пути

Допустимая область и её ориентированная граница

Теорема Коши о вычетах

Формулировка

Доказательство

Изолированность нулей голоморфной функции

Формулировка

Доказательство

Описание полюсов

Формулировка

Доказательство

Теорема Гурвица и её следствия

Формулировка

Доказательство

Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Принцип соответствия границ

Формулировка

Доказательство

Лемма о близких путях («собака на поводке»)

Формулировка

Доказательство

Принцип сохранения области

Формулировка

Доказательство