Аналитическое продолжение

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Единственность аналитического продолжения
Особая точка на окружности сходимости
Пример естественной границы
Принцип сохранения соотношений
Продолжение вдоль путей и теорема о монодромии

теорема

Единственность аналитического продолжения

Формулировка

Если функция $f$ , голоморфная в области $D_1$ , допускает аналитическое продолжение в область $D_2\supset D_1$ , то это продолжение единственно. Более общо, непосредственное продолжение элемента по фиксированной цепочке кругов определено однозначно.

Доказательство

Развернуть

Если $g_1$ и $g_2$ — два продолжения в $D_2$ , то они голоморфны в области $D_2$ и совпадают на непустом открытом множестве $D_1$ . По теореме единственности $g_1\equiv g_2$ .

Для цепочки: на каждом шаге функция $f_{j+1}$ в круге $K_{j+1}$ однозначно определяется своими значениями на непустом открытом множестве $K_j\cap K_{j+1}$ , где она равна $f_j$ . $\blacksquare$

теорема

Особая точка на окружности сходимости

Формулировка

На окружности сходимости степенного ряда с конечным положительным радиусом сходимости лежит хотя бы одна особая точка его суммы. Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора голоморфной функции равен расстоянию от центра до ближайшей особой точки её аналитического продолжения.

Доказательство

Развернуть

Пусть $K = \{|z - a| < R\}$ и все точки окружности $|z - a| = R$ правильные. Каждая точка $\zeta$ имеет круг $K_\zeta$ , в котором определено продолжение $g_\zeta$ . По компактности окружность покрывается конечным числом таких кругов. Если два круга $K_{\zeta}$ , $K_{\zeta'}$ пересекаются, то их пересечение (с непустой связной частью внутри $K$ ) даёт $g_\zeta = f = g_{\zeta'}$ на общей части с $K$ , а по теореме единственности — на всём пересечении (оно связно для двух кругов).

Значит, $f$ и функции $g_\zeta$ склеиваются в функцию, голоморфную в круге $|z - a| < R + \delta$ при некотором $\delta > 0$ . По теореме Тейлора её ряд — тот же ряд — сходится в большем круге, что противоречит определению радиуса сходимости. $\blacksquare$

теорема

Пример естественной границы

Формулировка

Функция $f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{2^n}$ голоморфна в круге $|z| < 1$ , и единичная окружность — её естественная граница: аналитически продолжить $f$ ни через одну точку окружности нельзя.

Доказательство

Развернуть

Радиус сходимости равен $1$ . Пусть $\zeta = e^{2\pi ik/2^m}$ — корень степени $2^m$ из единицы. При $n\ge m$ имеем $\zeta^{2^n} = 1$ , поэтому при $z = r\zeta$ , $0 < r < 1$ ,

f(r\zeta) = \sum_{n<m}(r\zeta)^{2^n} + \sum_{n\ge m}r^{2^n}\to\infty\quad(r\to 1).

Если бы $\zeta$ была правильной точкой, $f$ была бы ограничена вблизи $\zeta$ внутри круга. Значит, все такие $\zeta$ особые. Они всюду плотны на окружности, а множество особых точек замкнуто (множество правильных точек открыто: если $\zeta$ — правильная точка и $(K', g)$ — соответствующий элемент, то правильны и все точки окружности, лежащие в $K'$ , — в качестве продолжения в них можно взять разложение $g$ в круге с центром в такой точке, лежащем в $K'$ ). Поэтому особые все точки окружности. $\blacksquare$

следствие

Принцип сохранения соотношений

Формулировка

Пусть $F(w_1, \dots, w_k)$ — многочлен (или целая функция $k$ переменных, заданная степенным рядом), а функции $f_1, \dots, f_k$ голоморфны в области $D$ , содержащей интервал $I$ вещественной оси. Если $F(f_1(x), \dots, f_k(x)) = 0$ при $x\in I$ , то $F(f_1(z), \dots, f_k(z))\equiv 0$ в $D$ .

Например, все тождества между элементарными функциями, верные на вещественной оси ( $\sin^2x + \cos^2x = 1$ , $e^{x + y} = e^xe^y$ ), остаются верными для комплексных значений.

Доказательство

Развернуть

Функция $h(z) = F(f_1(z), \dots, f_k(z))$ голоморфна в $D$ и равна нулю на интервале $I$ , имеющем предельные точки в $D$ . По теореме единственности $h\equiv 0$ .

Для тождества $e^{z + w} = e^ze^w$ применим принцип дважды: при фиксированном вещественном $w$ обе части — целые функции $z$ , совпадающие на вещественной оси, поэтому равенство верно при всех $z$ и вещественных $w$ . Затем при фиксированном $z$ — то же по $w$ . $\blacksquare$

теорема

Продолжение вдоль путей и теорема о монодромии

Формулировка

Результат продолжения элемента вдоль пути (если оно возможно) не зависит от выбора цепочки кругов, покрывающих путь.
(Теорема о монодромии.) Если элемент с центром в $z_0$ можно продолжить вдоль любого пути, лежащего в односвязной области $D$ , то результат продолжения в любую точку не зависит от пути, и продолжения образуют однозначную голоморфную в $D$ функцию.

Доказательство

Развернуть

Для двух цепочек, покрывающих путь, можно построить общую «измельчённую» цепочку. На каждом шаге продолжение определено однозначно (единственность продолжения), так что результаты совпадают.
Приведём идею. Пусть $\gamma_0$ и $\gamma_1$ — два пути из $z_0$ в $z$ . В односвязной области они гомотопны: существует непрерывное семейство путей $\gamma_s$ , $s\in[0, 1]$ , с теми же концами. Для близких $s$ и $s'$ пути $\gamma_s$ , $\gamma_{s'}$ покрываются одной цепочкой кругов, поэтому результаты продолжения вдоль них совпадают. По компактности $[0, 1]$ результаты продолжения вдоль $\gamma_0$ и $\gamma_1$ одинаковы. Однозначная функция голоморфна, так как в окрестности каждой точки она совпадает с суммой степенного ряда. $\blacksquare$

Продолжение геометрической прогрессии

Условие

Показать, что функция $f_2(z) = \sum_{n\ge 0}\frac{(z + 1)^n}{2^{n+1}}$ , $|z + 1| < 2$ , — непосредственное аналитическое продолжение функции $f_1(z) = \sum_{n\ge 0}z^n$ , $|z| < 1$ . Найти их общее продолжение на $\mathbb C\setminus\{1\}$ .

Решение

Развернуть

$f_1 = \frac1{1 - z}$ при $|z| < 1$ . $f_2 = \frac1{2}\cdot\frac1{1 - (z + 1)/2} = \frac1{1 - z}$ при $|z + 1| < 2$ . Круги пересекаются, на пересечении обе функции равны $\frac1{1 - z}$ . Значит, $f_2$ — непосредственное продолжение $f_1$ .

Общее продолжение — $\frac1{1 - z}$ , голоморфная в $\mathbb C\setminus\{1\}$ ; по теореме единственности оно единственно. Круг сходимости $f_2$ больше круга $f_1$ , но тоже ограничен особой точкой $z = 1$ .

Продолжение логарифма и корня вдоль окружности

Условие

Элемент главной ветви $\ln z$ (и $\sqrt z$ ) в окрестности точки $1$ продолжается вдоль окружности $|z| = 1$ против часовой стрелки. Какой элемент получится по возвращении в точку $1$ ? Почему это не противоречит теореме о монодромии?

Решение

Развернуть

Вдоль окружности $\ln z = \ln|z| + i\arg z$ , где непрерывная ветвь аргумента возрастает на $2\pi$ . По возвращении получаем элемент $\ln z + 2\pi i$ .

$\sqrt z = e^{\frac12\ln z}$ переходит в $e^{\frac12(\ln z + 2\pi i)} = -\sqrt z$ .

Теорема о монодромии требует продолжимости вдоль всех путей в односвязной области. Окружность охватывает точку $0$ , через которую продолжение невозможно. Область $\mathbb C\setminus\{0\}$ , где продолжения возможны, не односвязна.

Радиус сходимости ряда Тейлора и комплексные особенности

Условие

Почему ряд Тейлора функции $\frac1{1 + x^2}$ в нуле сходится только при $|x| < 1$ , хотя функция бесконечно дифференцируема на всей прямой? Найти радиус сходимости ряда Тейлора функции $\frac1{1 + z^2}$ с центром в точке $a = 1$ .

Решение

Развернуть

Функция $\frac1{1 + z^2}$ имеет особые точки $\pm i$ (полюсы). Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию до ближайшей особой точки: для центра $0$ это $|i| = 1$ . На вещественной оси особенностей нет, но они «видны» из комплексной плоскости.

Для центра $1$ : $|1 - i| = \sqrt2$ , так что $R = \sqrt2$ .

Продолжение функции, заданной интегралом

Условие

Функция $f(z) = \int_0^\infty e^{-zt}\,dt$ определена при $\operatorname{Re}z > 0$ . Найти её аналитическое продолжение. Как аналогично продолжить $g(z) = \int_0^\infty te^{-zt}\,dt$ ?

Решение

Развернуть

При $\operatorname{Re}z > 0$ интеграл равен $\frac1z$ . Функция $\frac1z$ голоморфна в $\mathbb C\setminus\{0\}$ и совпадает с $f$ в полуплоскости, поэтому она — единственное аналитическое продолжение $f$ . Интеграл при $\operatorname{Re}z\le 0$ расходится, а продолжение существует.

Аналогично $g(z) = \frac1{z^2}$ при $\operatorname{Re}z > 0$ (это $-f'$ ), и продолжение — $\frac1{z^2}$ на $\mathbb C\setminus\{0\}$ .

Естественная граница лакунарного ряда

Условие

Доказать, что единичная окружность — естественная граница функции $f(z) = \sum_{n\ge 1}z^{n!}$ .

Решение

Развернуть

Пусть $\zeta = e^{2\pi ip/q}$ — корень из единицы. При $n\ge q$ число $n!$ делится на $q$ , и $\zeta^{n!} = 1$ . Поэтому

f(r\zeta) = \sum_{n<q}(r\zeta)^{n!} + \sum_{n\ge q}r^{n!}\to\infty\quad(r\to 1 - 0),

так что каждая точка $\zeta$ — особая. Корни из единицы всюду плотны на окружности, а множество особых точек замкнуто. Значит, все точки окружности особые.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Аналитическое продолжение

Пусть $f_1$ голоморфна в области $D_1$ , а $f_2$ — в области $D_2$ , причём $D_1\cap D_2\ne\varnothing$ и $f_1 = f_2$ на некоторой связной компоненте $D_1\cap D_2$ . Тогда $f_2$ называется непосредственным аналитическим продолжением $f_1$ в область $D_2$ .

Если $D_1\subset D_2$ , говорят просто об аналитическом продолжении $f_1$ в более широкую область.

Элементы Вейерштрасса. Аналитическая функция

Элементом (Вейерштрасса) называется пара $(K, f)$ , где $K$ — круг, а $f$ — сумма степенного ряда, сходящегося в $K$ .

Элементы $(K_0, f_0)$ и $(K_n, f_n)$ связаны продолжением по цепочке, если существуют элементы $(K_1, f_1), \dots, (K_{n-1}, f_{n-1})$ , такие что каждый следующий — непосредственное продолжение предыдущего ( $K_j\cap K_{j+1}\ne\varnothing$ , $f_j = f_{j+1}$ на пересечении). Продолжение вдоль пути $\gamma$ — продолжение по цепочке кругов с центрами на $\gamma$ , покрывающих путь.

Полной аналитической функцией, порождённой элементом, называется совокупность всех элементов, получаемых из него продолжением по всевозможным цепочкам. Она может быть многозначной (например, $\operatorname{Ln}z$ , $\sqrt z$ ).

Правильные и особые точки аналитической функции

Пусть $(K, f)$ — элемент, $K = \{|z - a| < R\}$ — круг сходимости его ряда, $\zeta\in\partial K$ . Точка $\zeta$ называется правильной (регулярной), если существует элемент $(K', g)$ с центром в $\zeta$ , являющийся непосредственным продолжением $(K, f)$ . Иначе $\zeta$ — особая точка элемента на окружности сходимости.

Если все точки окружности сходимости особые, она называется естественной границей функции.

Область. Граница. Односвязность

Множество $D\subset\mathbb C$ называется областью, если оно открыто и связно (любые две его точки соединяются ломаной, лежащей в $D$ ).

Граница $\partial D$ — множество точек, в любой окрестности которых есть точки как из $D$ , так и не из $D$ . Множество $\overline D = D\cup\partial D$ называется замкнутой областью.

Область $D\subset\mathbb C$ называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в $D$ , её внутренность также лежит в $D$ . Например, круг и полуплоскость односвязны, а кольцо $1 < |z| < 2$ и проколотый круг — нет.

Теорема единственности

Формулировка

Если функции $f$ и $g$ голоморфны в области $D$ и совпадают на множестве, имеющем предельную точку в $D$ , то $f\equiv g$ в $D$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $h = f - g$ голоморфна, и её нули имеют предельную точку $a\in D$ . По непрерывности $h(a) = 0$ , и этот нуль не изолирован. По теореме об изолированности нулей это возможно только при $h\equiv 0$ . $\blacksquare$

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора

Формулировка

Если $f$ голоморфна в круге $|z - a| < R$ , то в этом круге она представляется сходящимся рядом Тейлора

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n(z - a)^n,\qquad c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta,\quad 0 < \rho < R.

В частности, радиус сходимости ряда Тейлора не меньше расстояния от $a$ до границы области голоморфности.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|z - a| < \rho < R$ . По формуле Коши $f(z) = \frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$ . Разложим ядро в геометрическую прогрессию:

\frac1{\zeta - z} = \frac1{(\zeta - a)\left(1 - \frac{z - a}{\zeta - a}\right)} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}}.

При фиксированном $z$ ряд сходится равномерно по $\zeta$ на окружности, так как $\left|\frac{z - a}{\zeta - a}\right| = \frac{|z - a|}\rho < 1$ (признак Вейерштрасса). После умножения на ограниченную $f(\zeta)$ его можно почленно интегрировать, что даёт ряд с указанными коэффициентами. По формуле Коши для производных $c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ ; поэтому коэффициенты не зависят от $\rho$ , и разложение верно во всём круге. $\blacksquare$

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

В области $D = \mathbb C\setminus l$ , где $l$ — луч, выходящий из нуля, логарифм имеет бесконечно много регулярных ветвей; они отличаются на $2\pi ik$ , и для каждой $(\ln z)' = \frac1z$ .
Степень $z^\alpha = e^{\alpha\ln z}$ в той же области имеет регулярные ветви, $(z^\alpha)' = \alpha\frac{z^\alpha}z$ . При $\alpha = \frac1n$ ветвей ровно $n$ , они отличаются множителями $e^{2\pi ik/n}$ .
В области, содержащей замкнутый путь с ненулевым индексом относительно нуля (например, в кольце $1 < |z| < 2$ ), регулярной ветви логарифма не существует.

Доказательство

Развернуть

В $D$ существует непрерывная ветвь аргумента $\arg z$ (со значениями в интервале длины $2\pi$ ). Функция $f(z) = \ln|z| + i\arg z$ непрерывна и $e^{f(z)} = z$ . Она взаимно однозначна (обратна экспоненте на полосе), и по теореме о производной обратной функции $f'(z) = \frac1{e^{f(z)}} = \frac1z$ . Две ветви $f_1, f_2$ удовлетворяют $e^{f_1 - f_2} = 1$ , то есть $f_1 - f_2\in 2\pi i\mathbb Z$ — непрерывная функция с дискретными значениями, постоянная в области.
$z^\alpha$ — композиция голоморфных функций. $(e^{\alpha\ln z})' = e^{\alpha\ln z}\cdot\frac\alpha z$ . При $\alpha = \frac1n$ замена ветви логарифма умножает корень на $e^{2\pi ik/n}$ ; различных значений $n$ .
Если $f$ — непрерывная ветвь логарифма, то $\operatorname{Im}f$ — непрерывная ветвь аргумента вдоль любого пути в области. Для замкнутого пути её приращение равно нулю, а должно быть $2\pi\operatorname{ind}_\gamma(0)\ne 0$ . $\blacksquare$

Аналитическое продолжение

Единственность аналитического продолжения

Формулировка

Доказательство

Особая точка на окружности сходимости

Формулировка

Доказательство

Пример естественной границы

Формулировка

Доказательство

Принцип сохранения соотношений

Формулировка

Доказательство

Продолжение вдоль путей и теорема о монодромии

Формулировка

Доказательство

Продолжение геометрической прогрессии

Условие

Решение

Продолжение логарифма и корня вдоль окружности

Условие

Решение

Радиус сходимости ряда Тейлора и комплексные особенности

Условие

Решение

Продолжение функции, заданной интегралом

Условие

Решение

Естественная граница лакунарного ряда

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Аналитическое продолжение

Элементы Вейерштрасса. Аналитическая функция

Правильные и особые точки аналитической функции

Область. Граница. Односвязность

Теорема единственности

Формулировка

Доказательство

Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора

Формулировка

Доказательство

Регулярные ветви логарифма и степени

Формулировка

Доказательство