Формула Тейлора

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Формула Тейлора для многочленов
Лемма о функции с нулевыми производными в точке
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Единственность разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано
Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде
Остаточный член в формах Лагранжа и Коши

теорема

Формула Тейлора для многочленов

Формулировка

Всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ при любом $a\in\mathbb R$ раскладывается по степеням $x - a$ , причём коэффициенты разложения однозначно определяются производными $P$ в точке $a$ :

P(x) = \sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k.

Иначе говоря, для многочлена степени $n$ остаточный член $R_n$ формулы Тейлора тождественно равен нулю. 2. Если $Q(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ , то $Q^{(k)}(a) = k!\,c_k$ при $0\le k\le n$ и $Q^{(k)}\equiv 0$ при $k > n$ . В частности, многочлен Тейлора $P_n$ функции $f$ удовлетворяет условиям $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ , $k = 0, \ldots, n$ .

Доказательство

Развернуть

Существование разложения. Запишем $P(x) = \sum_{j=0}^nb_jx^j$ и подставим $x = a + (x - a)$ . По формуле бинома Ньютона

x^j = \bigl(a + (x - a)\bigr)^j = \sum_{m=0}^jC_j^ma^{j - m}(x - a)^m,

и после приведения подобных $P(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ с некоторыми числами $c_m$ (причём $c_n = b_n\ne 0$ ).

Производные степеней. По формуле для производных высших порядков степенной функции (и правилу дифференцирования сложной функции с линейной внутренней функцией)

\bigl((x - a)^m\bigr)^{(k)} = \begin{cases}\dfrac{m!}{(m - k)!}(x - a)^{m - k}, & k\le m,\\[2mm] 0, & k > m.\end{cases}

Вычисление коэффициентов. Дифференцируя сумму $Q(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ почленно $k$ раз (производная суммы равна сумме производных) и подставляя $x = a$ , получаем, что все слагаемые с $m > k$ обращаются в нуль (содержат множитель $(x - a)^{m - k}$ ), слагаемые с $m < k$ — тождественный нуль, а слагаемое с $m = k$ даёт $k!\,c_k$ . Итак, $Q^{(k)}(a) = k!\,c_k$ , т.е. $c_k = \frac{Q^{(k)}(a)}{k!}$ ; при $k > n$ все слагаемые дают нуль. Это доказывает п. 2.

Применяя п. 2 к разложению $P(x) = \sum c_m(x - a)^m$ , получаем $c_k = \frac{P^{(k)}(a)}{k!}$ , что доказывает формулу п. 1 и однозначность коэффициентов. Применяя п. 2 к $P_n(x) = \sum\frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x - a)^m$ , находим $P_n^{(k)}(a) = k!\cdot\frac{f^{(k)}(a)}{k!} = f^{(k)}(a)$ . $\blacksquare$

лемма

Лемма о функции с нулевыми производными в точке

Формулировка

Пусть функция $\varphi$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ ( $n\ge 1$ ) и

\varphi(a) = \varphi'(a) = \ldots = \varphi^{(n)}(a) = 0.

Тогда

\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)\qquad\text{при } x\to a.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . База $n = 1$ : так как $\varphi(a) = 0$ и $\varphi'(a) = 0$ , по определению производной

\frac{\varphi(x)}{x - a} = \frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{x - a}\to\varphi'(a) = 0,

т.е. $\varphi(x) = o(x - a)$ .

Индукционный переход. Пусть утверждение верно для $n - 1\ge 1$ (для любой функции), и $\varphi$ удовлетворяет условиям с номером $n$ . Так как $\varphi^{(n)}(a)$ существует, производная $\varphi'$ определена в некоторой окрестности $U$ точки $a$ , $(n - 1)$ раз дифференцируема в точке $a$ , и $\varphi'(a) = (\varphi')'(a) = \ldots = (\varphi')^{(n - 1)}(a) = 0$ . По предположению индукции $\varphi'(t) = o\bigl((t - a)^{n - 1}\bigr)$ : для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ (с $(a - \delta, a + \delta)\subset U$ ) такое, что

|\varphi'(t)|\le\varepsilon|t - a|^{n - 1}\qquad\text{при } 0 < |t - a| < \delta.

Пусть $0 < |x - a| < \delta$ . Функция $\varphi$ дифференцируема (а значит, и непрерывна) на отрезке с концами $a$ и $x$ , и по теореме Лагранжа

\varphi(x) = \varphi(x) - \varphi(a) = \varphi'(c)(x - a),

где $c$ лежит строго между $a$ и $x$ , так что $0 < |c - a| < |x - a| < \delta$ .

Следовательно,

|\varphi(x)| = |\varphi'(c)|\,|x - a|\le\varepsilon|c - a|^{n - 1}|x - a|\le\varepsilon|x - a|^n.

В силу произвольности $\varepsilon$ это означает $\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Формулировка

Пусть функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ . Тогда при $x\to a$

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr),

т.е. остаточный член $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ есть $o\bigl((x - a)^n\bigr)$ (остаточный член в форме Пеано).

В терминах приращений ( $h = x - a = dx$ , $d^kf(a) = f^{(k)}(a)\,dx^k$ ):

f(a + h) - f(a) = df(a) + \frac{d^2f(a)}{2!} + \ldots + \frac{d^nf(a)}{n!} + o(h^n),\qquad h\to 0.

При $n = 1$ это определение дифференцируемости: $\Delta f = f'(a)h + o(h)$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим $\varphi(x) = R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ . Многочлен $P_n$ бесконечно дифференцируем, поэтому $\varphi$ , как разность, $n$ раз дифференцируема в точке $a$ , и $\varphi^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) - P_n^{(k)}(a)$ .

По формуле Тейлора для многочленов (п. 2) $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ при $k = 0, 1, \ldots, n$ . Следовательно,

\varphi(a) = \varphi'(a) = \ldots = \varphi^{(n)}(a) = 0.

По лемме о функции с нулевыми производными в точке $\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ при $x\to a$ , т.е. $R_n(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ , что и требовалось. Запись в дифференциалах получается подстановкой $x = a + h$ и $f^{(k)}(a)h^k = d^kf(a)$ . $\blacksquare$

теорема

Единственность разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано

Формулировка

Если при $x\to a$

\sum_{k=0}^nc_k(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr) = \sum_{k=0}^nd_k(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr),

то $c_k = d_k$ при всех $k = 0, 1, \ldots, n$ . Иначе говоря, если функция представима в виде $f(x) = \sum_{k=0}^nc_k(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr)$ , то коэффициенты $c_k$ определены однозначно. 2. Если, кроме того, $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ , то

c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!},\qquad k = 0, 1, \ldots, n,

т.е. любое такое представление является формулой Тейлора.

Замечание. Без предположения о $n$ -кратной дифференцируемости п. 2 неверен при $n\ge 2$ : функция может иметь разложение вида $f(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ , не имея второй производной в точке $a$ (пример — функция $x^3D(x)$ , где $D$ — функция Дирихле, при $a = 0$ , $n = 2$ ). При $n = 1$ существование разложения $f(x) = c_0 + c_1(x - a) + o(x - a)$ равносильно дифференцируемости $f$ в точке $a$ (если ещё $f(a) = c_0$ ).

Доказательство

Развернуть

П. 1. Вычитая, получаем (по правилам действий с «о малым» разность двух $o\bigl((x - a)^n\bigr)$ есть $o\bigl((x - a)^n\bigr)$ )

\sum_{k=0}^ne_k(x - a)^k = o\bigl((x - a)^n\bigr),\qquad e_k = c_k - d_k.

Предположим, что не все $e_k$ равны нулю, и пусть $m$ — наименьший номер с $e_m\ne 0$ .

Тогда $\sum_{k=m}^ne_k(x - a)^k = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ . Разделим обе части на $(x - a)^m$ при $x\ne a$ :

e_m + \sum_{k=m + 1}^ne_k(x - a)^{k - m} = \frac{o\bigl((x - a)^n\bigr)}{(x - a)^m} = o\bigl((x - a)^{n - m}\bigr).

Перейдём к пределу при $x\to a$ . Левая часть стремится к $e_m$ (все слагаемые суммы содержат положительные степени $x - a$ ), а правая — к нулю, так как $n - m\ge 0$ и $o\bigl((x - a)^{n - m}\bigr) = (x - a)^{n - m}\cdot\alpha(x)$ , $\alpha(x)\to 0$ . По единственности предела $e_m = 0$ — противоречие. Значит, $c_k = d_k$ для всех $k$ .

П. 2. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано $f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr)$ . Сравнивая с данным разложением, по п. 1 получаем $c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде

Формулировка

Пусть $x\ne a$ и $\Delta$ — отрезок с концами $a$ и $x$ . Пусть функция $f$ имеет на $\Delta$ непрерывные производные до порядка $n$ включительно (в концах — односторонние), а во внутренних точках $\Delta$ — производную $f^{(n + 1)}$ . Пусть функция $\varphi$ непрерывна на $\Delta$ , дифференцируема во внутренних точках $\Delta$ и $\varphi'(t)\ne 0$ при $t$ строго между $a$ и $x$ . Тогда существует точка $c$ , лежащая строго между $a$ и $x$ , такая, что

R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = \frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{\varphi'(c)\,n!}\,f^{(n + 1)}(c)\,(x - c)^n.

Это остаточный член в общей форме (форме Шлёмильха–Роша). Точку $c$ можно записать как $c = a + \theta(x - a)$ , $0 < \theta < 1$ .

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $x$ и рассмотрим как функцию переменной $t\in\Delta$

F(t) = f(x) - \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k,

т.е. остаток формулы Тейлора с центром $t$ , вычисленный в точке $x$ . Функция $F$ непрерывна на $\Delta$ (производные $f^{(k)}$ , $k\le n$ , непрерывны на $\Delta$ ) и дифференцируема во внутренних точках $\Delta$ (там существуют $f^{(k + 1)}$ , $k\le n$ ).

Значения на концах: $F(x) = f(x) - f(x) = 0$ (при $t = x$ все слагаемые с $k\ge 1$ равны нулю), $F(a) = R_n(x)$ .

Производная. Дифференцируя произведения, при $k\ge 1$ получаем

\left(\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k\right)' = \frac{f^{(k + 1)}(t)}{k!}(x - t)^k - \frac{f^{(k)}(t)}{(k - 1)!}(x - t)^{k - 1},

а при $k = 0$ производная равна $f'(t)$ . При суммировании по $k = 0, \ldots, n$ слагаемые попарно сокращаются («телескопическая» сумма), и остаётся только $\frac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n$ . Значит,

F'(t) = -\frac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n.

Применим к функциям $F$ и $\varphi$ на отрезке $\Delta$ теорему Коши (её равенство симметрично относительно перестановки концов, так что порядок $a$ и $x$ не важен): $\varphi(x)\ne\varphi(a)$ и найдётся $c$ строго между $a$ и $x$ с

\frac{F(x) - F(a)}{\varphi(x) - \varphi(a)} = \frac{F'(c)}{\varphi'(c)},\qquad\text{т.е.}\qquad \frac{-R_n(x)}{\varphi(x) - \varphi(a)} = -\frac{f^{(n + 1)}(c)(x - c)^n}{n!\,\varphi'(c)}.

Умножая на $-(\varphi(x) - \varphi(a))$ , получаем требуемую формулу. $\blacksquare$

следствие

Остаточный член в формах Лагранжа и Коши

Формулировка

Пусть выполнены условия теоремы об остаточном члене в общем виде для функции $f$ (непрерывные $f, f', \ldots, f^{(n)}$ на отрезке с концами $a$ , $x$ и существование $f^{(n + 1)}$ между ними). Тогда найдётся точка $c$ строго между $a$ и $x$ такая, что

(форма Лагранжа)

R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n + 1};

(форма Коши; точка $c$ , вообще говоря, другая)

R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(c)}{n!}(x - c)^n(x - a) = \frac{f^{(n + 1)}\bigl(a + \theta(x - a)\bigr)}{n!}(1 - \theta)^n(x - a)^{n + 1},\quad 0 < \theta < 1.

В частности, при $a = 0$ — формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!}x^{n + 1},\qquad 0 < \theta < 1.

Если $|f^{(n + 1)}|\le M$ между $a$ и $x$ , то $|R_n(x)|\le\frac{M|x - a|^{n + 1}}{(n + 1)!}$ . При $n = 0$ форма Лагранжа даёт теорему Лагранжа $f(x) - f(a) = f'(c)(x - a)$ .

Доказательство

Развернуть

Форма Лагранжа. Возьмём $\varphi(t) = (x - t)^{n + 1}$ . Она непрерывна, дифференцируема, $\varphi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n\ne 0$ при $t$ строго между $a$ и $x$ . Имеем $\varphi(x) - \varphi(a) = -(x - a)^{n + 1}$ , и по общей формуле

R_n(x) = \frac{-(x - a)^{n + 1}}{-(n + 1)(x - c)^n\,n!}f^{(n + 1)}(c)(x - c)^n = \frac{f^{(n + 1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n + 1}.

Форма Коши. Возьмём $\varphi(t) = t - a$ : $\varphi'(t) = 1\ne 0$ , $\varphi(x) - \varphi(a) = x - a$ , и общая формула даёт

R_n(x) = \frac{x - a}{n!}f^{(n + 1)}(c)(x - c)^n.

Подставляя $c = a + \theta(x - a)$ , получаем $x - c = (1 - \theta)(x - a)$ , откуда вторая запись.

Формула Маклорена — случай $a = 0$ , $c = \theta x$ . Оценка остатка следует из формы Лагранжа: $|R_n(x)| = \frac{|f^{(n + 1)}(c)|}{(n + 1)!}|x - a|^{n + 1}\le\frac{M|x - a|^{n + 1}}{(n + 1)!}$ . $\blacksquare$

Разложение многочлена по степеням (x − a)

Условие

Разложить многочлен $P(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + x + 2$ по степеням $x - 2$ .

Решение

Развернуть

По формуле Тейлора для многочленов $P(x) = \sum_{k=0}^4\frac{P^{(k)}(2)}{k!}(x - 2)^k$ . Вычисляем производные:

P'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 10x + 1,\quad P''(x) = 12x^2 - 30x + 10,\quad P'''(x) = 24x - 30,\quad P^{(4)}(x) = 24.

В точке $x = 2$ :

P(2) = 16 - 40 + 20 + 2 + 2 = 0,\quad P'(2) = 32 - 60 + 20 + 1 = -7,

P''(2) = 48 - 60 + 10 = -2,\quad P'''(2) = 48 - 30 = 18,\quad P^{(4)}(2) = 24.

Коэффициенты: $c_0 = 0$ , $c_1 = -7$ , $c_2 = \frac{-2}{2} = -1$ , $c_3 = \frac{18}{6} = 3$ , $c_4 = \frac{24}{24} = 1$ .

Проверка (например, при $x = 0$ ): $(-2)^4 + 3(-2)^3 - (-2)^2 - 7(-2) = 16 - 24 - 4 + 14 = 2 = P(0)$ .

Ответ: $P(x) = (x - 2)^4 + 3(x - 2)^3 - (x - 2)^2 - 7(x - 2)$ .

Формула Тейлора для 1/x в точке a = 1

Условие

Написать формулу Тейлора порядка $n$ для функции $f(x) = \frac1x$ в точке $a = 1$ с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Проверить результат, найдя остаточный член точно.

Решение

Развернуть

По формуле для производных высших порядков степенной функции $f^{(k)}(x) = (x^{-1})^{(k)} = (-1)^k\,k!\,x^{-k - 1}$ . Поэтому $\frac{f^{(k)}(1)}{k!} = (-1)^k$ и

\frac1x = 1 - (x - 1) + (x - 1)^2 - \ldots + (-1)^n(x - 1)^n + R_n(x).

Функция бесконечно дифференцируема при $x > 0$ , поэтому по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано $R_n(x) = o\bigl((x - 1)^n\bigr)$ при $x\to 1$ .

Остаток в форме Лагранжа (при $x > 0$ , $c$ между $1$ и $x$ ):

R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(c)}{(n + 1)!}(x - 1)^{n + 1} = \frac{(-1)^{n + 1}(x - 1)^{n + 1}}{c^{n + 2}}.

Проверка. Положим $t = x - 1$ . По формуле суммы геометрической прогрессии $\sum_{k=0}^n(-t)^k = \frac{1 - (-t)^{n + 1}}{1 + t}$ , откуда

R_n(x) = \frac1{1 + t} - \sum_{k=0}^n(-t)^k = \frac{(-t)^{n + 1}}{1 + t} = \frac{(-1)^{n + 1}(x - 1)^{n + 1}}{x}.

Это действительно $o\bigl((x - 1)^n\bigr)$ , и совпадает с формой Лагранжа при $c^{n + 2} = x$ , т.е. $c = x^{1/(n + 2)}$ — точка, лежащая между $1$ и $x$ .

Ответ: $\frac1x = \sum_{k=0}^n(-1)^k(x - 1)^k + R_n(x)$ , $R_n(x) = o\bigl((x - 1)^n\bigr)$ , $R_n(x) = \frac{(-1)^{n + 1}(x - 1)^{n + 1}}{c^{n + 2}}$ ( $c$ между $1$ и $x$ ); точно $R_n(x) = \frac{(-1)^{n + 1}(x - 1)^{n + 1}}{x}$ .

Приближённое вычисление корня с оценкой погрешности

Условие

Написать формулу Тейлора порядка $3$ для $f(x) = \sqrt x$ в точке $a = 1$ с остатком в форме Пеано. С её помощью вычислить приближённо $\sqrt{1{,}1}$ и оценить погрешность, используя остаток в форме Лагранжа.

Решение

Развернуть

Производные: $f'(x) = \frac12x^{-1/2}$ , $f''(x) = -\frac14x^{-3/2}$ , $f'''(x) = \frac38x^{-5/2}$ , $f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}x^{-7/2}$ . В точке $1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = \frac12$ , $\frac{f''(1)}{2!} = -\frac18$ , $\frac{f'''(1)}{3!} = \frac{3/8}{6} = \frac1{16}$ . Поэтому

\sqrt x = 1 + \frac{x - 1}2 - \frac{(x - 1)^2}8 + \frac{(x - 1)^3}{16} + o\bigl((x - 1)^3\bigr),\qquad x\to 1.

При $x = 1{,}1$ :

\sqrt{1{,}1}\approx 1 + 0{,}05 - 0{,}00125 + 0{,}0000625 = 1{,}0488125.

Оценка. По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа при некотором $c\in(1;\ 1{,}1)$

R_3(1{,}1) = \frac{f^{(4)}(c)}{4!}(0{,}1)^4 = -\frac{15}{16\cdot 24}\,c^{-7/2}\cdot 10^{-4}.

Так как $c > 1$ , $c^{-7/2} < 1$ и $|R_3| < \frac{15}{384}\cdot 10^{-4}\approx 3{,}9\cdot 10^{-6}$ . Кроме того, $R_3 < 0$ , т.е. приближение даёт значение с избытком. (Действительно, $\sqrt{1{,}1} = 1{,}0488088\ldots$ , погрешность $\approx 3{,}7\cdot 10^{-6}$ .)

Ответ: $\sqrt x = 1 + \frac{x - 1}2 - \frac{(x - 1)^2}8 + \frac{(x - 1)^3}{16} + o\bigl((x - 1)^3\bigr)$ ; $\sqrt{1{,}1}\approx 1{,}04881$ с погрешностью меньше $4\cdot 10^{-6}$ (с избытком).

Многочлен Маклорена сложной функции

Условие

Написать формулу Маклорена порядка $3$ с остатком в форме Пеано для функции $f(x) = e^{2x - x^2}$ , вычислив производные. Проверить результат другим способом.

Решение

Развернуть

Положим $g(x) = 2x - x^2$ , $g' = 2 - 2x$ , $g'' = -2$ . По правилу дифференцирования сложной функции $f' = g'f = (2 - 2x)f$ . Далее

f'' = -2f + (2 - 2x)f' = \bigl((2 - 2x)^2 - 2\bigr)f,

f''' = -4(2 - 2x)f + \bigl((2 - 2x)^2 - 2\bigr)(2 - 2x)f.

При $x = 0$ : $f(0) = 1$ , $f'(0) = 2$ , $f''(0) = 4 - 2 = 2$ , $f'''(0) = -8 + 2\cdot 2 = -4$ . Отсюда

e^{2x - x^2} = 1 + 2x + \frac{2}{2!}x^2 - \frac{4}{3!}x^3 + o(x^3) = 1 + 2x + x^2 - \frac23x^3 + o(x^3).

Проверка. Для $e^u$ по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано $e^u = 1 + u + \frac{u^2}2 + \frac{u^3}6 + o(u^3)$ при $u\to 0$ . Подставим $u = 2x - x^2$ ; так как $u\sim 2x$ , имеем $o(u^3) = o(x^3)$ , а

u = 2x - x^2,\quad u^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4,\quad u^3 = 8x^3 + o(x^3).

Собирая члены до $x^3$ :

1 + (2x - x^2) + (2x^2 - 2x^3) + \frac43x^3 + o(x^3) = 1 + 2x + x^2 - \frac23x^3 + o(x^3).

По теореме о единственности разложения с остатком в форме Пеано коэффициенты обязаны совпасть с найденными через производные — что и наблюдается.

Ответ: $e^{2x - x^2} = 1 + 2x + x^2 - \frac23x^3 + o(x^3)$ .

Вычисление производных высокого порядка с помощью единственности разложения

Условие

Для $f(x) = \frac{x^2}{1 + x^3}$ найти $f^{(5)}(0)$ , $f^{(8)}(0)$ , $f^{(9)}(0)$ , $f^{(10)}(0)$ .

Решение

Развернуть

Функция рациональна, знаменатель не обращается в нуль при $|x| < 1$ , поэтому $f$ бесконечно дифференцируема в окрестности нуля.

Из формулы суммы геометрической прогрессии $\frac1{1 + t} = 1 - t + t^2 - \frac{t^3}{1 + t}$ при $t = x^3$ получаем точное равенство

f(x) = x^2 - x^5 + x^8 - \frac{x^{11}}{1 + x^3}.

Последнее слагаемое есть $o(x^{10})$ при $x\to 0$ , так как $\frac{x^{11}}{(1 + x^3)x^{10}} = \frac{x}{1 + x^3}\to 0$ . Итак,

f(x) = x^2 - x^5 + x^8 + o(x^{10}).

Так как $f$ $10$ раз дифференцируема в нуле, по теореме о единственности разложения с остатком в форме Пеано это и есть формула Маклорена порядка $10$ , т.е. $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ равно коэффициенту при $x^k$ . Значит,

f^{(5)}(0) = -5! = -120,\quad f^{(8)}(0) = 8! = 40320,\quad f^{(9)}(0) = 0,\quad f^{(10)}(0) = 0.

(Вычислять эти производные непосредственно было бы крайне трудоёмко.)

Ответ: $f^{(5)}(0) = -120$ , $f^{(8)}(0) = 40320$ , $f^{(9)}(0) = f^{(10)}(0) = 0$ .

Разложение с остатком Пеано без второй производной

Условие

Пусть $D(x)$ — функция Дирихле ( $D(x) = 1$ при рациональных $x$ , $D(x) = 0$ при иррациональных) и $f(x) = x^3D(x)$ . Показать, что

f(x) = 0 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 + o(x^2),\qquad x\to 0,

но $f''(0)$ не существует. Почему это не противоречит теореме о единственности разложения по формуле Тейлора?

Решение

Развернуть

Так как $0\le D(x)\le 1$ , имеем $\left|\frac{f(x)}{x^2}\right| = |x|D(x)\le|x|\to 0$ , т.е. $f(x) = o(x^2)$ — это разложение с коэффициентами $c_0 = c_1 = c_2 = 0$ .

Первая производная в нуле существует: $\frac{f(h) - f(0)}{h} = h^2D(h)\to 0$ , так что $f'(0) = 0$ .

Однако при любом $x_0\ne 0$ функция $f$ разрывна в точке $x_0$ : по последовательностям рациональных и иррациональных точек $x_n\to x_0$ (плотность $\mathbb Q$ и иррациональных чисел в $\mathbb R$ ) значения $f$ стремятся к $x_0^3\ne 0$ и к $0$ соответственно. Так как дифференцируемая в точке функция непрерывна в ней, $f$ не дифференцируема ни в одной точке $x_0\ne 0$ . Значит, $f'$ определена только в точке $0$ , а не в её окрестности, и $f''(0)$ не существует.

Противоречия нет: теорема о единственности утверждает, что коэффициенты разложения определены однозначно (здесь все они нули), а равенство $c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ — лишь при условии $n$ -кратной дифференцируемости $f$ в точке. Здесь $n = 2$ , а $f$ лишь один раз дифференцируема в нуле; для $k = 0, 1$ равенства $c_0 = f(0) = 0$ , $c_1 = f'(0) = 0$ выполнены.

Ответ: $f(x) = o(x^2)$ при $x\to 0$ , $f'(0) = 0$ , но $f'$ не существует ни в одной точке $x\ne 0$ , поэтому $f''(0)$ не существует.

Промежуточная точка в формуле Лагранжа стремится к середине

Условие

Пусть $f$ дифференцируема в окрестности точки $a$ , существует $f''(a)\ne 0$ , и для малых $h\ne 0$ число $\theta = \theta(h)\in(0, 1)$ выбрано так, что (по теореме Лагранжа)

f(a + h) - f(a) = h f'(a + \theta h).

Доказать, что $\lim\limits_{h\to 0}\theta(h) = \frac12$ . Проверить на примере $f(x) = e^x$ , $a = 0$ .

Решение

Развернуть

По формуле Тейлора с остатком в форме Пеано ( $n = 2$ ):

f(a + h) - f(a) = f'(a)h + \frac{f''(a)}2h^2 + o(h^2).

С другой стороны, $f'$ дифференцируема в точке $a$ , поэтому $f'(a + s) = f'(a) + f''(a)s + \alpha(s)s$ , где $\alpha(s)\to 0$ при $s\to 0$ . Подставим $s = \theta h$ : так как $0 < |\theta h| < |h|$ , то $\theta h\to 0$ , $\theta h\ne 0$ , и $\left|\frac{\alpha(\theta h)\theta h}{h}\right|\le|\alpha(\theta h)|\to 0$ , т.е. $\alpha(\theta h)\theta h = o(h)$ . Значит,

hf'(a + \theta h) = f'(a)h + f''(a)\theta h^2 + o(h^2).

Приравнивая правые части и сокращая $f'(a)h$ , получаем $\frac{f''(a)}2h^2 + o(h^2) = f''(a)\theta h^2 + o(h^2)$ . Разделив на $f''(a)h^2$ :

\theta(h) = \frac12 + \frac{o(h^2)}{f''(a)h^2}\to\frac12\qquad(h\to 0).

Пример. Для $f(x) = e^x$ , $a = 0$ : $e^h - 1 = he^{\theta h}$ , откуда $\theta(h) = \frac1h\ln\frac{e^h - 1}h$ . Так как $\frac{e^h - 1}h = 1 + \frac h2 + o(h)$ , а $\ln(1 + t) = t + o(t)$ , получаем $\theta(h) = \frac1h\left(\frac h2 + o(h)\right)\to\frac12$ . Численно: $\theta(0{,}1)\approx 0{,}5042$ , $\theta(0{,}01)\approx 0{,}50042$ .

Ответ: $\theta(h)\to\frac12$ ; для $e^x$ в нуле $\theta(h) = \frac1h\ln\frac{e^h - 1}h\to\frac12$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Многочлен Тейлора. Остаточный член

Пусть функция $f$ имеет в точке $a$ производные до порядка $n$ включительно (т.е. $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ ; при $n\ge 2$ это предполагает, что $f^{(n - 1)}$ существует в окрестности $a$ ). Многочлен

P_n(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n

называется многочленом Тейлора порядка $n$ функции $f$ в точке $a$ (по степеням $x - a$ ). Его степень не превосходит $n$ ; среди многочленов степени не выше $n$ он однозначно характеризуется условиями

P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a),\qquad k = 0, 1, \ldots, n.

Разность $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ называется остаточным членом формулы Тейлора, а равенство

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R_n(x)

— формулой Тейлора порядка $n$ функции $f$ в точке $a$ .

При $a = 0$ многочлен Тейлора называют многочленом Маклорена, а формулу

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x)

— формулой Маклорена.

Пример. Для $f(x) = e^x$ , $a = 0$ : $f^{(k)}(0) = 1$ и $P_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!}$ . При $n = 1$ многочлен Тейлора $f(a) + f'(a)(x - a)$ — это линейная функция, графиком которой служит касательная.

Производные высших порядков

Пусть функция $f$ имеет производную $f'$ в некоторой окрестности точки $x$ . Если функция $f'$ имеет производную в точке $x$ , то она называется второй производной функции $f$ в точке $x$ :

f''(x) = (f')'(x).

По индукции: если $f^{(n-1)}$ определена в окрестности точки $x$ и имеет производную в точке $x$ , то

f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)

— производная $n$ -го порядка ( $n$ -я производная); $f^{(0)} = f$ . Обозначения: $y''$ , $y^{(n)}$ , $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ .

Функция, имеющая конечную $n$ -ю производную в точке $x$ (на интервале $X$ ), называется $n$ раз дифференцируемой в точке $x$ (на $X$ ).

Через $C^n(X)$ обозначается класс функций, $n$ раз дифференцируемых на промежутке $X$ , у которых $f^{(n)}$ непрерывна на $X$ (на концах промежутка — односторонние производные); $C^0(X)$ — непрерывные функции, $C^\infty(X) = \bigcap_n C^n(X)$ — бесконечно дифференцируемые.

Механический смысл: если $s(t)$ — закон движения, то $s''(t)$ — ускорение.

Сравнение бесконечно малых. Символ «о малое»

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — бесконечно малые функции при $x\to a$ ( $a$ — конечная точка или один из символов $\pm\infty$ , $\infty$ ), причём $\beta(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ .

Если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0,

то $\alpha$ называется бесконечно малой более высокого порядка, чем $\beta$ (а $\beta$ — бесконечно малой более низкого порядка, чем $\alpha$ ), и пишут $\alpha = o(\beta)$ при $x\to a$ (« $\alpha$ есть о малое от $\beta$ »).

Если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c,\qquad c\ne 0,\ c\in\mathbb R,

то $\alpha$ и $\beta$ называются бесконечно малыми одного порядка.

Если $\alpha$ и $\beta^k$ ( $k > 0$ ) — бесконечно малые одного порядка, то говорят, что $\alpha$ имеет порядок малости $k$ относительно $\beta$ (при нецелом $k$ предполагается $\beta > 0$ ). Обычно в качестве эталонной бесконечно малой берут $\beta = x - a$ при конечном $a$ и $\beta = \frac1x$ при $a = \infty$ .
Если предел $\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ не существует (ни конечный, ни бесконечный), то $\alpha$ и $\beta$ называются несравнимыми бесконечно малыми. Например, $\alpha = x\sin\frac1x$ и $\beta = x$ несравнимы при $x\to 0$ .

Общее определение символа $o$ , не требующее условия $\beta\ne 0$ : $\alpha = o(\beta)$ при $x\to a$ , если в некоторой проколотой окрестности точки $a$

\alpha(x) = \varepsilon(x)\beta(x),\qquad \lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0.

При $\beta\ne 0$ это равносильно условию $\frac\alpha\beta\to 0$ . Запись $o(\beta)$ обозначает любую функцию из класса функций, обладающих этим свойством, поэтому равенства с $o$ читаются только слева направо: $x^3 = o(x^2)$ при $x\to 0$ , но запись $o(x^2) = x^3$ бессмысленна.

О большое: $\alpha = O(\beta)$ при $x\to a$ , если существуют $C > 0$ и проколотая окрестность точки $a$ , в которой

|\alpha(x)|\le C|\beta(x)|.

Если $\alpha$ и $\beta$ одного порядка, то $\alpha = O(\beta)$ и $\beta = O(\alpha)$ ; запись $\alpha = O(1)$ означает локальную ограниченность $\alpha$ .

Производная функции в точке

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(a)$ точки $a$ . Для $\Delta x\ne 0$ с $a + \Delta x\in U(a)$ положим

\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)

— приращение функции, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ .

Производной функции $f$ в точке $a$ называется конечный предел

f'(a) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a},

если он существует. Обозначения: $f'(a)$ , $y'(a)$ , $\dfrac{df}{dx}(a)$ .

Если этот предел равен $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ , говорят, что $f$ имеет в точке $a$ бесконечную производную ( $f'(a) = +\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ соответственно).

Если $f$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $X$ , то говорят, что $f$ имеет производную на множестве $X$ ; функция $x\mapsto f'(x)$ , $x\in X$ , называется производной функцией (или просто производной) функции $f$ . Для отрезка $[a, b]$ в концах используются односторонние производные. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Примеры: для $f(x)\equiv c$ имеем $\Delta y = 0$ , $f'(x) = 0$ ; для $f(x) = x$ имеем $\Delta y = \Delta x$ , $f'(x) = 1$ . Механический смысл: если $s = s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ , то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$ .

Дифференциалы высших порядков

Пусть $x$ — независимая переменная и $f$ дважды дифференцируема. Первый дифференциал $dy = f'(x)\,dx$ при фиксированном $dx$ (одном и том же для всех $x$ ) есть функция от $x$ . Вторым дифференциалом называется дифференциал от первого, вычисленный при том же $dx$ :

d^2y = d(dy) = d\big(f'(x)\,dx\big) = \big(f'(x)\,dx\big)'dx = f''(x)\,dx^2,

где $dx^2 = (dx)^2$ . По индукции дифференциал $n$ -го порядка $d^ny = d\left(d^{n-1}y\right)$ .

Для независимой переменной $d^2x = d(dx) = 0$ , так как $dx$ — постоянная.

Если аргумент $x$ сам является функцией $x = \varphi(t)$ некоторой независимой переменной $t$ , то все дифференциалы вычисляются по $t$ (при фиксированном $dt$ ), и $d^2x = \varphi''(t)\,dt^2$ , вообще говоря, не равен нулю.

Бином Ньютона

Формулировка

Для целых $1\le k\le n$ справедливо равенство

C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k.

Для любых чисел $a$ , $b$ и любого $n\in\mathbb N$ (при соглашении $a^0 = b^0 = 1$ )

(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k\,a^{n-k}b^k = a^n + C_n^1a^{n-1}b + \ldots + C_n^{n-1}ab^{n-1} + b^n.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Приведём к общему знаменателю, используя $k! = k\,(k-1)!$ и $(n - k + 1)! = (n - k + 1)(n - k)!$ :

\frac{n!}{k!\,(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k+1)!} = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\Bigl(\frac1k + \frac1{n - k + 1}\Bigr) = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\cdot\frac{n + 1}{k\,(n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k!\,(n + 1 - k)!}.

Пункт 2 докажем индукцией по $n$ . База $n = 1$ : $C_1^0a + C_1^1b = a + b$ .

Шаг. Пусть формула верна для $n$ . Умножим её на $a + b$ :

(a + b)^{n+1} = \sum_{k=0}^nC_n^ka^{n+1-k}b^k + \sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^{k+1}.

Во второй сумме сделаем замену индекса $j = k + 1$ : она равна $\sum_{j=1}^{n+1}C_n^{j-1}a^{n+1-j}b^j$ .

Выделим в первой сумме слагаемое с $k = 0$ , во второй — с $j = n + 1$ , и объединим остальные:

(a + b)^{n+1} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n\bigl(C_n^k + C_n^{k-1}\bigr)a^{n+1-k}b^k + b^{n+1}.

По пункту 1 $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$ , а $C_{n+1}^0 = C_{n+1}^{n+1} = 1$ , поэтому $(a + b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k$ . По принципу математической индукции формула верна при всех $n\in\mathbb N$ . $\blacksquare$

Производные высших порядков основных функций

Формулировка

Для всех $n\in\mathbb N$ :

если $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $kx + b$ , то $\big(f(kx + b)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx + b)$ ;
$(x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)\,x^{\alpha - n}$ при $x > 0$ (при $\alpha\in\mathbb Z$ — при всех $x\ne 0$ ); при $\alpha = m\in\mathbb N$ : $(x^m)^{(n)} = \frac{m!}{(m - n)!}x^{m - n}$ при $n\le m$ и $(x^m)^{(n)} = 0$ при $n > m$ ;
$(a^x)^{(n)} = a^x\ln^na$ , $(e^x)^{(n)} = e^x$ ;
$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ , $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ ;
$\big((1 + x)^\alpha\big)^{(n)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(1 + x)^{\alpha - n}$ , $x > -1$ ; в частности,

\left(\frac1{1 + x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}{(1 + x)^{n+1}};

при $x > -1$

\big(\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n}.

Доказательство

Развернуть

Все формулы доказываются индукцией по $n$ ; база $n = 1$ в каждом случае берётся из таблицы производных и теоремы о производной сложной функции, а шаг состоит в дифференцировании формулы для $n$ .

Пункт 1. По теореме о производной сложной функции $\big(f(kx + b)\big)' = kf'(kx + b)$ . Если $\big(f(kx + b)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx + b)$ (в окрестности точки), то, дифференцируя ещё раз тем же правилом, получаем $k^n\cdot kf^{(n+1)}(kx + b) = k^{n+1}f^{(n+1)}(kx + b)$ .

Пункт 2. $\left(\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)x^{\alpha - n}\right)' = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(\alpha - n)x^{\alpha - n - 1}$ . При $\alpha = m\in\mathbb N$ коэффициент равен $\frac{m!}{(m - n)!}$ при $n\le m$ ; при $n = m$ производная — постоянная $m!$ , и все следующие производные равны нулю.

Пункт 3. $\left(a^x\ln^na\right)' = a^x\ln^{n+1}a$ .

Пункт 4. $(\sin x)' = \cos x = \sin\left(x + \frac\pi2\right)$ . Если $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ , то по пункту 1 (с $k = 1$ ) $(\sin x)^{(n+1)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}2\right) = \sin\left(x + \frac{\pi(n + 1)}2\right)$ . Аналогично $\left(\cos\left(x + \frac{\pi n}2\right)\right)' = -\sin\left(x + \frac{\pi n}2\right) = \cos\left(x + \frac{\pi(n + 1)}2\right)$ .

Пункт 5 следует из пунктов 1 и 2 с $k = 1$ , $b = 1$ . При $\alpha = -1$ : $(-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^nn!$ .

Пункт 6. $\big(\ln(1 + x)\big)' = (1 + x)^{-1}$ , поэтому по пункту 5 при $n\ge 2$

\big(\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \left((1 + x)^{-1}\right)^{(n-1)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n};

при $n = 1$ формула также верна. $\blacksquare$

Производная сложной функции

Формулировка

Пусть функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $a$ и дифференцируема в точке $a$ , а функция $z = g(y)$ определена в окрестности $V$ точки $b = f(a)$ и дифференцируема в точке $b$ . Тогда сложная функция $h = g\circ f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ , дифференцируема в точке $a$ и

h'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a),\qquad\text{т. е.}\quad \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о непрерывности дифференцируемой функции $f$ непрерывна в точке $a$ , поэтому найдётся окрестность $U$ точки $a$ , для которой $f(U)\subset V$ ; на $U$ определена функция $h(x) = g(f(x))$ .

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной (пункт 2) для $g$ в точке $b$ : при всех $\Delta y$ с $b + \Delta y\in V$

g(b + \Delta y) - g(b) = g'(b)\,\Delta y + \beta(\Delta y)\,\Delta y,

где $\beta(0) = 0$ и $\beta$ непрерывна в нуле. Важно, что формула верна и при $\Delta y = 0$ .

Пусть $\Delta x\ne 0$ , $a + \Delta x\in U$ , $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ (возможно, $\Delta y = 0$ ). Тогда $h(a + \Delta x) - h(a) = g(b + \Delta y) - g(b)$ , и после деления на $\Delta x$ :

\frac{h(a + \Delta x) - h(a)}{\Delta x} = g'(b)\,\frac{\Delta y}{\Delta x} + \beta(\Delta y)\,\frac{\Delta y}{\Delta x}.

При $\Delta x\to 0$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)$ ; функция $\Delta x\mapsto\Delta y$ непрерывна в нуле и равна там нулю, а $\beta$ непрерывна в нуле и $\beta(0) = 0$ , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции $\beta(\Delta y(\Delta x))\to 0$ . По теореме об арифметических операциях с пределами правая часть стремится к $g'(b)f'(a)$ . Следовательно, $h'(a) = g'(f(a))f'(a)$ — конечна, т. е. $h$ дифференцируема в точке $a$ . $\blacksquare$

Замечание

Приём с функцией $\beta$ , доопределённой нулём, нужен потому, что $\Delta y$ может обращаться в нуль при сколь угодно малых $\Delta x\ne 0$ (например, для $f(x) = x^2\sin\frac1x$ при $a = 0$ ), и делить на $\Delta y$ нельзя.

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ . Тогда функции $u\pm v$ , $uv$ , а при $v(x)\ne 0$ и $\frac uv$ дифференцируемы в точке $x$ и

(u\pm v)' = u'\pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)$ , $\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)$ ; по условию $\frac{\Delta u}{\Delta x}\to u'(x)$ , $\frac{\Delta v}{\Delta x}\to v'(x)$ , а по теореме о непрерывности дифференцируемой функции $v(x + \Delta x)\to v(x)$ при $\Delta x\to 0$ .

Сумма и разность: $\frac{\Delta(u\pm v)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\pm\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)\pm v'(x)$ по теореме об арифметических операциях над пределами.

Произведение: прибавляя и вычитая $u(x)v(x + \Delta x)$ , получаем

\Delta(uv) = u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x) = \Delta u\cdot v(x + \Delta x) + u(x)\,\Delta v,

откуда

\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\,v(x + \Delta x) + u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Частное: так как $v$ непрерывна в точке $x$ и $v(x)\ne 0$ , по локальным свойствам непрерывных функций $v\ne 0$ в некоторой окрестности точки $x$ , так что $\frac uv$ определена в этой окрестности. Далее

\Delta\left(\frac uv\right) = \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{v(x)v(x + \Delta x)} = \frac{\Delta u\cdot v(x) - u(x)\,\Delta v}{v(x)v(x + \Delta x)}.

Разделив на $\Delta x$ и перейдя к пределу (знаменатель стремится к $v^2(x)\ne 0$ ), получим $\left(\frac uv\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ . Во всех трёх случаях производная конечна, т. е. функции дифференцируемы. $\blacksquare$

Формула Маклорена для (1+x)^α

Формулировка

Пусть $\alpha\in\mathbb R$ . Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}C_\alpha^k x^k + o(x^n),

где $C_\alpha^0 = 1$ и

C_\alpha^k = \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}{k!},\quad k\ge 1,

— обобщённые биномиальные коэффициенты. В частности,

\frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k + o(x^n),\qquad \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n}x^k + o(x^n),

\sqrt{1+x} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3).

Если $\alpha = m\in\mathbb N$ и $n\ge m$ , то $o(x^n)$ отсутствует и формула превращается в бином Ньютона.

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = (1+x)^\alpha$ бесконечно дифференцируема на $(-1, +\infty)$ , и по формуле для производных высших порядков

f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k},\qquad f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1).

Значит, коэффициенты многочлена Маклорена равны $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = C_\alpha^k$ , и общая формула есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при $a = 0$ .

Частные случаи. При $\alpha = -1$ : $C_{-1}^k = \frac{(-1)(-2)\ldots(-k)}{k!} = (-1)^k$ , что даёт разложение $\frac1{1+x}$ ; замена $x$ на $-x$ даёт разложение $\frac1{1-x}$ (так как $o((-x)^n) = o(x^n)$ ). При $\alpha = \frac12$ :

C_{1/2}^1 = \frac12,\quad C_{1/2}^2 = \frac{\frac12\cdot\left(-\frac12\right)}{2} = -\frac18,\quad C_{1/2}^3 = \frac{\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\left(-\frac32\right)}{6} = \frac1{16}.

Если $\alpha = m\in\mathbb N$ , то $C_m^k = 0$ при $k > m$ (в произведении есть множитель $m - m = 0$ ), а $(1+x)^m$ — многочлен степени $m$ ; по формуле Тейлора для многочленов он точно равен $\sum_{k=0}^{m}C_m^k x^k$ , и остаток равен нулю. $\blacksquare$

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Если положить $a = x_0$ , $b = x_0 + \Delta x$ (допускается и $\Delta x < 0$ ), то получится формула конечных приращений

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta\Delta x)\,\Delta x,\qquad 0 < \theta < 1.

В отличие от приближённого равенства $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ она точна, но содержит неизвестную промежуточную точку.

Геометрический смысл: отношение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ графика; на дуге $AB$ есть точка $(c, f(c))$ , в которой касательная параллельна хорде $AB$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим вспомогательную функцию — разность между $f$ и линейной функцией, график которой есть хорда $AB$ :

\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Функция $\varphi$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ как разность таких функций, причём

\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Непосредственно проверяется, что $\varphi(a) = 0$ и $\varphi(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0$ .

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , что равносильно доказываемому равенству.

Формула конечных приращений получается применением доказанного к отрезку с концами $x_0$ и $x_0 + \Delta x$ : точка $c$ , лежащая строго между ними, записывается в виде $c = x_0 + \theta\Delta x$ с $\theta\in(0, 1)$ (равенство симметрично относительно перестановки концов, поэтому годится и $\Delta x < 0$ ). $\blacksquare$

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , то она непрерывна в точке $a$ .

Обратное неверно: функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $0$ , но не дифференцируема в ней.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,\qquad \alpha(\Delta x)\to 0.

При $\Delta x\to 0$ оба слагаемых стремятся к нулю, поэтому $\Delta y\to 0$ . По определению непрерывности через приращения (равносильному остальным по теореме об эквивалентности определений непрерывности) $f$ непрерывна в точке $a$ .

Контрпример. Функция $|x|$ непрерывна в нуле: $\big||\Delta x| - 0\big| = |\Delta x|\to 0$ . Но $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ , и по теореме о существовании производной и односторонних производных $f'(0)$ не существует; значит, $|x|$ не дифференцируема в нуле. $\blacksquare$

Замечания

Из бесконечной производной непрерывность не следует: $\operatorname{sign}x$ разрывна в нуле, но $f'(0) = +\infty$ . 2) Существуют функции, непрерывные на всей прямой и не дифференцируемые ни в одной точке (пример Вейерштрасса).

Формула Маклорена для e^x

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + o(x^n).

Для любых $x\in\mathbb R$ и $n\in\mathbb N$ найдётся $\theta\in(0, 1)$ такое, что

e^x = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}\,x^{n+1}.

Оценка остатка: если $|x|\le a$ , то

\left|e^x - \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right|\le \frac{e^{a}a^{n+1}}{(n+1)!}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0,

поэтому $e^x = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ при каждом $x\in\mathbb R$ . 4. Приближённое вычисление $e$ : для любого $n\in\mathbb N$

0 < e - \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} < \frac{3}{(n+1)!}.

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = e^x$ бесконечно дифференцируема на $\mathbb R$ , и по формуле для производных высших порядков $f^{(k)}(x) = e^x$ , поэтому $f^{(k)}(0) = 1$ при всех $k\ge 0$ . Значит, многочлен Маклорена порядка $n$ равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ .

Пункт 1 есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в точке $a = 0$ , применённая к $n$ раз дифференцируемой в нуле функции $e^x$ .

Пункт 2 есть формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа: $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$ , где $c$ лежит между $0$ и $x$ ; записывая $c = \theta x$ , $\theta\in(0, 1)$ , получаем $f^{(n+1)}(c) = e^{\theta x}$ (при $x = 0$ формула тривиальна).

Для пункта 3 заметим, что при $|x|\le a$ имеем $\theta x\le |x|\le a$ , откуда $e^{\theta x}\le e^a$ и $|R_n(x)|\le\frac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}$ . Покажем, что $\frac{a^m}{m!}\to 0$ при $m\to\infty$ . Выберем натуральное $N > 2a$ . При $m > N$

0 < \frac{a^m}{m!} = \frac{a^N}{N!}\cdot\frac{a}{N+1}\cdots\frac{a}{m}\le\frac{a^N}{N!}\left(\frac12\right)^{m-N},

и правая часть стремится к нулю; по теореме о трёх последовательностях $\frac{a^m}{m!}\to 0$ . Значит, $R_n(x)\to 0$ при $n\to\infty$ , и частичные суммы сходятся к $e^x$ .

Для пункта 4 положим $x = 1$ в пункте 2: $e - \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} = \frac{e^\theta}{(n+1)!}$ , $\theta\in(0, 1)$ . Так как $1 < e^\theta < e < 3$ (свойство числа $e$ ), получаем $0 < e - \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} < \frac{3}{(n+1)!}$ . $\blacksquare$

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Формулировка

Пусть $x\to 0$ , $n\in\mathbb N$ ; для многочлена $S$ через $T_n[S]$ обозначим сумму его членов степени не выше $n$ .

(Арифметика разложений.) Если $f(x) = P(x) + o(x^n)$ , $g(x) = Q(x) + o(x^n)$ , где $P, Q$ — многочлены, то

f(x)\pm g(x) = P(x)\pm Q(x) + o(x^n),\qquad f(x)g(x) = T_n[PQ](x) + o(x^n).

(Разложение сложной функции.) Если $g(u) = \sum_{k=0}^{n}b_k u^k + o(u^n)$ при $u\to 0$ , $g(0) = b_0$ , и $\varphi(x) = P(x) + o(x^n)$ , где $P$ — многочлен с $P(0) = 0$ , то

g(\varphi(x)) = T_n\Big[\sum_{k=0}^{n}b_k P^k\Big](x) + o(x^n).

(Выделение главной части.) Если $f(x) = cx^m + o(x^m)$ , $g(x) = dx^m + o(x^m)$ , $c, d\ne 0$ , то $f(x)\sim cx^m$ , $g(x)\sim dx^m$ и $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac cd$ .
(Разложения тангенса и арктангенса.)

\operatorname{tg}x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^6),\qquad \operatorname{arctg}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^6).

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Сумма: $o(x^n)\pm o(x^n) = o(x^n)$ по правилам действий с «о малым». Произведение:

fg = PQ + P\cdot o(x^n) + Q\cdot o(x^n) + o(x^n)\cdot o(x^n).

Многочлены $P, Q$ ограничены в окрестности нуля, поэтому $P\cdot o(x^n) = o(x^n)$ , $Q\cdot o(x^n) = o(x^n)$ , а $o(x^n)o(x^n) = o(x^{2n}) = o(x^n)$ . Наконец, члены $PQ$ степени $m > n$ имеют вид $cx^m = o(x^n)$ , так что $PQ = T_n[PQ] + o(x^n)$ .

Пункт 2. Запишем $g(u) = \sum_{k=0}^{n}b_k u^k + u^n\varepsilon(u)$ , где $\varepsilon(u)\to 0$ при $u\to 0$ ; положим $\varepsilon(0) = 0$ , тогда $\varepsilon$ непрерывна в нуле. Так как $P(0) = 0$ , имеем $P(x) = O(x)$ , и $\varphi(x) = O(x)$ , $\varphi(x)\to 0$ . Поэтому $\varepsilon(\varphi(x))\to 0$ и $\varphi(x)^n\varepsilon(\varphi(x)) = O(x^n)\cdot o(1) = o(x^n)$ . По пункту 1, применённому $k$ раз, $\varphi(x)^k = (P(x) + o(x^n))^k = T_n[P^k](x) + o(x^n)$ . Складывая с коэффициентами $b_k$ , получаем утверждение.

Пункт 3. Из $f = cx^m + o(x^m) = cx^m + o(cx^m)$ по критерию эквивалентности $f\sim cx^m$ ; аналогично $g\sim dx^m$ . По теореме о замене эквивалентными в частном $\lim\frac fg = \lim\frac{cx^m}{dx^m} = \frac cd$ .

Пункт 4, тангенс. По формуле Маклорена для косинуса $1 - \cos x = u(x)$ , $u(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^5)$ . По формуле для $(1+x)^{-1}$ (с заменой $x\to -u$ ) $\frac1{1-u} = 1 + u + u^2 + \ldots + u^5 + o(u^5)$ ; по пункту 2 (члены $u^3, u^4, u^5$ имеют порядок не ниже $x^6$ )

\frac1{\cos x} = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{4} + o(x^5) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5).

Умножая на $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$ по пункту 1:

\operatorname{tg}x = x + \left(\frac12 - \frac16\right)x^3 + \left(\frac5{24} - \frac1{12} + \frac1{120}\right)x^5 + o(x^5) = x + \frac{x^3}3 + \frac{2x^5}{15} + o(x^5).

Функция $\operatorname{tg}$ бесконечно дифференцируема в окрестности нуля и нечётна; производные нечётной функции чётных порядков — нечётные функции, поэтому они обращаются в нуль в точке $0$ . Значит, многочлен Маклорена $\operatorname{tg}$ порядка $6$ не содержит $x^6$ , а его коэффициенты при $x, x^3, x^5$ по единственности разложения совпадают с найденными; формула Пеано порядка $6$ даёт остаток $o(x^6)$ .

Пункт 4, арктангенс. Сначала докажем: если $f$ дифференцируема $n+1$ раз в точке $0$ и $f'(x) = \sum_{k=0}^{n}a_kx^k + o(x^n)$ , то $f(x) = f(0) + \sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1} + o(x^{n+1})$ . Действительно, $f'$ дифференцируема $n$ раз в нуле, и по единственности разложения $a_k = \frac{(f')^{(k)}(0)}{k!} = \frac{f^{(k+1)}(0)}{k!}$ , т. е. $\frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!} = \frac{a_k}{k+1}$ ; остаётся записать формулу Пеано порядка $n+1$ для $f$ .

Для $\operatorname{arctg}$ имеем $(\operatorname{arctg}x)' = \frac1{1+x^2}$ ; по пункту 2 с $u = x^2$ и $\frac1{1+u} = 1 - u + u^2 - u^3 + o(u^3)$ получаем $\frac1{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 + o(x^5)$ . Применяя доказанное утверждение при $n = 5$ ( $\operatorname{arctg}$ бесконечно дифференцируем, $\operatorname{arctg}0 = 0$ ), находим $\operatorname{arctg}x = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 + o(x^6)$ . $\blacksquare$

Формула Маклорена для ln(1+x)

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o(x^n) = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k} + o(x^n).

Для $x > -1$ остаток в форме Лагранжа имеет вид

R_n(x) = \frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}},\quad c \text{ между } 0 \text{ и } x;

в частности, при $0\le x\le 1$ справедлива оценка $|R_n(x)|\le\frac{x^{n+1}}{n+1}\le\frac1{n+1}$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = \ln(1+x)$ бесконечно дифференцируема на $(-1, +\infty)$ , $f(0) = 0$ , и по формуле для производных высших порядков

f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k},\qquad f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}(k-1)!.

Поэтому коэффициенты многочлена Маклорена равны $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!} = \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ , и пункт 1 есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при $a = 0$ .

Для пункта 2 применим формулу Маклорена с остатком в форме Лагранжа:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1} = \frac{(-1)^n n!}{(1+c)^{n+1}(n+1)!}x^{n+1} = \frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}}.

Если $0\le x\le 1$ , то $c\ge 0$ , $(1+c)^{n+1}\ge 1$ , и $|R_n(x)|\le\frac{x^{n+1}}{n+1}\le\frac{1}{n+1}$ . $\blacksquare$

Формулы Маклорена для sin x и cos x

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ при $x\to 0$

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}),

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}).

Для любого $x\in\mathbb R$ найдутся $\theta_1, \theta_2\in(0, 1)$ такие, что

\sin x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + (-1)^{n+1}\cos(\theta_1 x)\,\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!},

\cos x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + (-1)^{n+1}\cos(\theta_2 x)\,\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}.

Оценки погрешности: при всех $x\in\mathbb R$

\left|\sin x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!},\qquad \left|\cos x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}.

Доказательство

Развернуть

По формулам для производных высших порядков $(\sin x)^{(m)} = \sin\left(x + \frac{\pi m}{2}\right)$ , $(\cos x)^{(m)} = \cos\left(x + \frac{\pi m}{2}\right)$ . Поэтому $(\sin x)^{(m)}\big|_{x=0} = \sin\frac{\pi m}{2}$ равно $0$ при чётном $m$ и $(-1)^k$ при $m = 2k + 1$ ; аналогично $(\cos x)^{(m)}\big|_{x=0} = \cos\frac{\pi m}2$ равно $0$ при нечётном $m$ и $(-1)^k$ при $m = 2k$ .

Следовательно, многочлен Маклорена синуса порядка $2n + 2$ совпадает с многочленом порядка $2n+1$ (коэффициент при $x^{2n+2}$ равен нулю) и равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ . Формула Тейлора с остатком в форме Пеано порядка $2n + 2$ даёт первую формулу пункта 1 с остатком $o(x^{2n+2})$ . Аналогично многочлен Маклорена косинуса порядка $2n+1$ равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ , и формула Пеано порядка $2n+1$ даёт вторую формулу.

Для пункта 2 запишем остаток в форме Лагранжа. Для синуса (порядок $2n+2$ ): $R(x) = \frac{\sin^{(2n+3)}(c)}{(2n+3)!}x^{2n+3}$ , $c = \theta_1 x$ , и

\sin^{(2n+3)}(c) = \sin\left(c + \frac{3\pi}{2} + \pi n\right) = (-1)^n\sin\left(c + \frac{3\pi}2\right) = (-1)^{n+1}\cos c.

Для косинуса (порядок $2n+1$ ): $R(x) = \frac{\cos^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ , $c = \theta_2 x$ , и $\cos^{(2n+2)}(c) = \cos(c + \pi(n+1)) = (-1)^{n+1}\cos c$ .

Пункт 3 следует из пункта 2, так как $|\cos(\theta x)|\le 1$ . $\blacksquare$

Достаточное условие экстремума по n-й производной

Формулировка

Пусть $n\ge 2$ , функция $f$ дифференцируема $n$ раз в точке $a$ ,

f'(a) = f''(a) = \ldots = f^{(n-1)}(a) = 0,\qquad f^{(n)}(a)\ne 0.

Если $n$ чётно, то $a$ — точка строгого локального экстремума: минимума при $f^{(n)}(a) > 0$ и максимума при $f^{(n)}(a) < 0$ .
Если $n$ нечётно, то экстремума в точке $a$ нет.

Доказательство

Развернуть

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано порядка $n$ , учитывая равенство нулю производных до порядка $n - 1$ ,

f(x) - f(a) = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o((x-a)^n) = (x - a)^n\left(\frac{f^{(n)}(a)}{n!} + \alpha(x)\right),\quad\alpha(x)\to 0.

По теореме о знакопостоянстве найдётся $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x - a| < \delta$ скобка имеет знак числа $f^{(n)}(a)$ .

Если $n$ чётно, то $(x - a)^n > 0$ при $x\ne a$ , и знак $f(x) - f(a)$ в проколотой $\delta$ -окрестности совпадает со знаком $f^{(n)}(a)$ : при $f^{(n)}(a) > 0$ это строгий минимум, при $f^{(n)}(a) < 0$ — строгий максимум.

Если $n$ нечётно, то $(x - a)^n$ меняет знак при переходе через $a$ , следовательно, и $f(x) - f(a)$ принимает в любой окрестности точки $a$ значения обоих знаков; экстремума нет. $\blacksquare$

Достаточное условие экстремума по второй производной

Формулировка

Пусть функция $f$ дважды дифференцируема в точке $a$ и

f'(a) = 0.

Если $f''(a) > 0$ , то $a$ — точка строгого локального минимума; если $f''(a) < 0$ — точка строгого локального максимума. При $f''(a) = 0$ вывод сделать нельзя (функции $x^3$ , $x^4$ , $-x^4$ в точке $0$ ).

Доказательство

Развернуть

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано порядка $2$ с учётом $f'(a) = 0$

f(x) - f(a) = \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2 + o((x - a)^2) = (x - a)^2\left(\frac{f''(a)}{2} + \alpha(x)\right),

где $\alpha(x)\to 0$ при $x\to a$ .

Выражение в скобках стремится к $\frac{f''(a)}{2}\ne 0$ , поэтому по теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, оно имеет знак $f''(a)$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ .

Так как $(x - a)^2 > 0$ при $x\ne a$ , в этой окрестности разность $f(x) - f(a)$ имеет знак $f''(a)$ : при $f''(a) > 0$ имеем $f(x) > f(a)$ (строгий минимум), при $f''(a) < 0$ имеем $f(x) < f(a)$ (строгий максимум).

Для $x^3$ , $x^4$ , $-x^4$ в нуле $f' = f'' = 0$ , а в нуле соответственно нет экстремума, минимум и максимум. $\blacksquare$

Правила действий с «о малым»

Формулировка

Пусть все функции рассматриваются при $x\to a$ , а равенства понимаются слева направо (любая функция класса, стоящего слева, принадлежит классу, стоящему справа). Тогда:

$o(\alpha)\pm o(\alpha) = o(\alpha)$ ;
$C\cdot o(\alpha) = o(\alpha)$ для любой постоянной $C$ ; более общо, $f\cdot o(\alpha) = o(\alpha)$ , если $f$ локально ограничена в проколотой окрестности $a$ ;
$o(\alpha)\cdot o(\beta) = o(\alpha\beta)$ ;
$\alpha\cdot o(\beta) = o(\alpha\beta)$ ;
$o(o(\alpha)) = o(\alpha)$ ;
$o(\alpha + o(\alpha)) = o(\alpha)$ ;
при $x\to 0$ и $n, m\in\mathbb N$ , $n\le m$ :

x^m = o(x^n)\ (n < m),\qquad o(x^m) = o(x^n),\qquad o(x^n) + o(x^m) = o(x^{n}),

т. е. $o(x^n) + o(x^m) = o\big(x^{\min(n, m)}\big)$ .

Доказательство

Развернуть

Используем общее определение: $\gamma = o(\alpha)$ , если в проколотой окрестности точки $a$ выполнено $\gamma = \varepsilon\alpha$ , где $\varepsilon(x)\to 0$ . Всюду ниже $\varepsilon, \varepsilon_1, \varepsilon_2$ — бесконечно малые при $x\to a$ ; при пересечении двух проколотых окрестностей снова получаем проколотую окрестность.

Если $\gamma_1 = \varepsilon_1\alpha$ , $\gamma_2 = \varepsilon_2\alpha$ , то $\gamma_1\pm\gamma_2 = (\varepsilon_1\pm\varepsilon_2)\alpha$ , а $\varepsilon_1\pm\varepsilon_2$ — бесконечно малая как сумма бесконечно малых. Значит, $\gamma_1\pm\gamma_2 = o(\alpha)$ .
Если $\gamma = \varepsilon\alpha$ и $|f|\le M$ в проколотой окрестности, то $f\gamma = (f\varepsilon)\alpha$ , а $f\varepsilon$ — бесконечно малая как произведение бесконечно малой на ограниченную функцию (свойства бесконечно малых). Постоянная $C$ — частный случай ограниченной функции.
Если $\gamma_1 = \varepsilon_1\alpha$ , $\gamma_2 = \varepsilon_2\beta$ , то $\gamma_1\gamma_2 = (\varepsilon_1\varepsilon_2)\,\alpha\beta$ , и $\varepsilon_1\varepsilon_2\to 0$ как произведение бесконечно малых.
Если $\gamma = \varepsilon\beta$ , то $\alpha\gamma = \varepsilon\cdot(\alpha\beta) = o(\alpha\beta)$ .
Если $\gamma = \varepsilon_1\delta$ , $\delta = \varepsilon_2\alpha$ , то $\gamma = (\varepsilon_1\varepsilon_2)\alpha = o(\alpha)$ .
Если $\gamma = \varepsilon_1(\alpha + \varepsilon_2\alpha) = \varepsilon_1(1 + \varepsilon_2)\alpha$ , то по теореме о пределе произведения $\varepsilon_1(1 + \varepsilon_2)\to 0\cdot 1 = 0$ , т. е. $\gamma = o(\alpha)$ .
Пусть $n < m$ . Тогда $x^m = x^{m - n}\cdot x^n$ , и $x^{m - n}\to 0$ при $x\to 0$ , т. е. $x^m = o(x^n)$ . Далее, если $\gamma = \varepsilon x^m$ , то $\gamma = (\varepsilon x^{m - n})x^n$ и $\varepsilon x^{m - n}\to 0$ ; следовательно, $o(x^m) = o(x^n)$ (при $n = m$ это тривиально). Наконец, по доказанному и по правилу 1

o(x^n) + o(x^m) = o(x^n) + o(x^n) = o(x^n). \ \blacksquare

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , и

\lim_{x\to a}f(x) = A\in\mathbb R,\qquad \lim_{x\to a}g(x) = B\in\mathbb R .

Тогда:

$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x)) = A\pm B$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x) = AB$ , в частности $\lim\limits_{x\to a}cf(x) = cA$ ;
если $B\ne 0$ , то $g(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и на множестве $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB .

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $f = A + \alpha$ , $g = B + \beta$ , где $\alpha, \beta$ — б.м. при $x\to a$ . Каждое утверждение сведём к тому, что соответствующая разность является б.м., и снова применим ту же теорему.

$(f\pm g) - (A\pm B) = \alpha\pm\beta$ — б.м. как сумма б.м. (произведение $\beta$ на постоянную $-1$ — б.м.).
$fg - AB = (A + \alpha)(B + \beta) - AB = A\beta + B\alpha + \alpha\beta$ . Слагаемые $A\beta$ , $B\alpha$ — б.м. как произведения б.м. на постоянные, $\alpha\beta$ — б.м. как произведение б.м. По свойству суммы б.м. $fg - AB$ — б.м. При $g\equiv c$ получаем $cf\to cA$ .
По теореме о знакопостоянстве существует $\delta_0 > 0$ такое, что $|g(x)| > \frac{|B|}2 > 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Точка $a$ остаётся предельной для множества $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (любая меньшая проколотая окрестность содержит его точки). На этом множестве

\frac fg - \frac AB = \frac{Bf - Ag}{Bg} = \frac{B(A + \alpha) - A(B + \beta)}{Bg} = (B\alpha - A\beta)\cdot\frac1{Bg} .

Множитель $B\alpha - A\beta$ — б.м. по пп. 1, 2 свойств б.м., а $\left|\frac1{Bg(x)}\right| < \frac2{B^2}$ , т. е. $\frac1{Bg}$ локально ограничена. По свойству произведения б.м. на локально ограниченную функцию разность $\frac fg - \frac AB$ — б.м., и $\frac fg\to\frac AB$ . $\blacksquare$

Единственность предела функции

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\overline{\mathbb R}$ — предельная точка $X$ . Если $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ и $\lim\limits_{x\to a}f(x) = B$ , где $A, B\in\mathbb R\cup\{-\infty, +\infty\}$ , то $A = B$ .

Доказательство

Развернуть

Предположим, что $A\ne B$ . Покажем, что у различных элементов $A, B$ расширенной прямой есть непересекающиеся окрестности $U_\varepsilon(A)$ , $U_\varepsilon(B)$ . Если $A, B$ конечны, годится $\varepsilon = \frac{|A - B|}2$ . Если $A$ конечно, а $B = +\infty$ , возьмём $\varepsilon$ так, что $\varepsilon < 1$ и $\frac1\varepsilon > |A| + 1$ : тогда $U_\varepsilon(A)\subset(-\infty, |A| + 1)$ и $U_\varepsilon(+\infty) = (\frac1\varepsilon, +\infty)\subset(|A| + 1, +\infty)$ . Случай $B = -\infty$ симметричен, а при $A = -\infty$ , $B = +\infty$ годится $\varepsilon = 1$ .

По определению предела найдутся $\delta_1, \delta_2 > 0$ такие, что $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ и $f(x)\in U_\varepsilon(B)$ при $x\in\dot U_{\delta_2}(a)\cap X$ .

Пусть $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ . Так как $a$ — предельная точка $X$ , в проколотой окрестности $\dot U_\delta(a)$ есть точка $x\in X$ . Для неё одновременно $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ и $f(x)\in U_\varepsilon(B)$ , что невозможно, так как эти окрестности не пересекаются. Противоречие показывает, что $A = B$ . $\blacksquare$

Теорема Коши об обобщённых конечных приращениях

Формулировка

Пусть функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a, b]$ , дифференцируемы на интервале $(a, b)$ и $g'(x)\ne 0$ для всех $x\in(a, b)$ . Тогда $g(b)\ne g(a)$ и существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

Частный случай $g(x) = x$ — теорема Лагранжа.

Геометрический смысл: для кривой, заданной параметрически $x = g(t)$ , $y = f(t)$ , $t\in[a, b]$ , левая часть — угловой коэффициент хорды, соединяющей концы кривой, а правая — угловой коэффициент касательной в точке, отвечающей $t = c$ ; на кривой есть точка, где касательная параллельна хорде.

Замечание. Теорему нельзя получить, применив теорему Лагранжа отдельно к числителю и знаменателю: при этом получились бы, вообще говоря, разные точки $c_1$ и $c_2$ .

Доказательство

Развернуть

Если бы $g(b) = g(a)$ , то по теореме Ролля нашлась бы точка из $(a, b)$ , в которой $g' = 0$ , что противоречит условию. Следовательно, $g(b)\ne g(a)$ , и число

\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

определено.

Рассмотрим функцию $\varphi(x) = f(x) - \lambda g(x)$ . Она непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , причём $\varphi'(x) = f'(x) - \lambda g'(x)$ .

Проверим равенство значений на концах:

\varphi(b) - \varphi(a) = f(b) - f(a) - \lambda\bigl(g(b) - g(a)\bigr) = 0.

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \lambda g'(c)$ . Поскольку $g'(c)\ne 0$ , получаем $\lambda = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ . $\blacksquare$

Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов

Формулировка

Доказательство

Лемма о функции с нулевыми производными в точке

Формулировка

Доказательство

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Формулировка

Доказательство

Единственность разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано

Формулировка

Доказательство

Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде

Формулировка

Доказательство

Остаточный член в формах Лагранжа и Коши

Формулировка

Доказательство

Разложение многочлена по степеням (x − a)

Условие

Решение

Формула Тейлора для 1/x в точке a = 1

Условие

Решение

Приближённое вычисление корня с оценкой погрешности

Условие

Решение

Многочлен Маклорена сложной функции

Условие

Решение

Вычисление производных высокого порядка с помощью единственности разложения

Условие

Решение

Разложение с остатком Пеано без второй производной

Условие

Решение

Промежуточная точка в формуле Лагранжа стремится к середине

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Многочлен Тейлора. Остаточный член

Производные высших порядков

Сравнение бесконечно малых. Символ «о малое»

Производная функции в точке

Дифференциалы высших порядков

Бином Ньютона

Формулировка

Доказательство

Производные высших порядков основных функций

Формулировка

Доказательство

Производная сложной функции

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Доказательство

Формула Маклорена для (1+x)^α

Формулировка

Доказательство

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Доказательство

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство

Замечания

Формула Маклорена для e^x

Формулировка

Доказательство

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Формулировка

Доказательство

Формула Маклорена для ln(1+x)

Формулировка

Доказательство

Формулы Маклорена для sin x и cos x