Множества. Действительные числа

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Свойства операций над множествами
Свойства модуля. Неравенство треугольника
Существование точной верхней грани
Критерий точной верхней грани
Принцип вложенных отрезков (Коши–Кантора)
Принцип Архимеда
Следствия из принципа Архимеда

теорема

Свойства операций над множествами

Формулировка

Для любых множеств $A$ , $B$ , $C$ , $X$ и семейства $\{A_\alpha\}_{\alpha\in I}$ :

(коммутативность) $A\cup B = B\cup A$ , $A\cap B = B\cap A$ ;
(ассоциативность) $(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$ , $(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)$ ;
(дистрибутивность)

A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C),\qquad A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C);

(законы де Моргана)

X\setminus(A\cup B) = (X\setminus A)\cap(X\setminus B),\qquad X\setminus(A\cap B) = (X\setminus A)\cup(X\setminus B),

и для семейств

X\setminus\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha = \bigcap_{\alpha\in I}(X\setminus A_\alpha),\qquad X\setminus\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha = \bigcup_{\alpha\in I}(X\setminus A_\alpha).

Доказательство

Развернуть

Для фиксированного $x$ обозначим высказывания $a$ : « $x\in A$ », $b$ : « $x\in B$ », $c$ : « $x\in C$ ». По определению операций $x\in A\cup B\iff a\lor b$ , $x\in A\cap B\iff a\land b$ , $x\in X\setminus A\iff(x\in X)\land\lnot a$ . Равенство множеств означает, что для любого $x$ высказывания « $x$ принадлежит левой части» и « $x$ принадлежит правой части» равносильны. Поэтому каждое тождество сводится к равносильности логических формул.

Пункты 1, 2 следуют из того, что формулы $a\lor b$ и $b\lor a$ , $(a\lor b)\lor c$ и $a\lor(b\lor c)$ (и аналогичные для $\land$ ) имеют одинаковые таблицы истинности: дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, конъюнкция — если истинны все, независимо от порядка и расстановки скобок.

Пункт 3. Докажем $a\land(b\lor c)\equiv(a\land b)\lor(a\land c)$ . Если $a$ ложно, обе части ложны. Если $a$ истинно, левая часть равносильна $b\lor c$ , правая — тоже $b\lor c$ . Аналогично $a\lor(b\land c)\equiv(a\lor b)\land(a\lor c)$ : при истинном $a$ обе части истинны, при ложном обе равносильны $b\land c$ .

Пункт 4. По закону де Моргана $\lnot(a\lor b)\equiv\lnot a\land\lnot b$ , поэтому

x\in X\setminus(A\cup B)\iff x\in X\land\lnot a\land\lnot b\iff(x\in X\land\lnot a)\land(x\in X\land\lnot b)\iff x\in(X\setminus A)\cap(X\setminus B).

Второе равенство аналогично следует из $\lnot(a\land b)\equiv\lnot a\lor\lnot b$ .

Для семейств используем отрицание кванторов: $x\notin\bigcup A_\alpha\iff\lnot(\exists\alpha\ x\in A_\alpha)\iff\forall\alpha\ x\notin A_\alpha$ , откуда $x\in X\setminus\bigcup A_\alpha\iff\forall\alpha\ (x\in X\setminus A_\alpha)$ . Аналогично $x\notin\bigcap A_\alpha\iff\exists\alpha\ x\notin A_\alpha$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства модуля. Неравенство треугольника

Формулировка

Для любых $a, b, x\in\mathbb R$ и $c\ge 0$ , $\varepsilon > 0$ :

$|a|\ge 0$ , причём $|a| = 0\iff a = 0$ ; $|-a| = |a|$ ; $-|a|\le a\le|a|$ ;
$|x|\le c\iff -c\le x\le c$ ; в частности,

|x - a| < \varepsilon\iff a - \varepsilon < x < a + \varepsilon\iff x\in U_\varepsilon(a);

$|ab| = |a|\,|b|$ ;
(неравенство треугольника)

|a + b|\le|a| + |b|,\qquad\bigl||a| - |b|\bigr|\le|a - b|.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Если $a\ge 0$ , то $|a| = a\ge 0$ , $-a\le 0$ , $|-a| = a$ и $-|a| = -a\le a = |a|$ . Если $a < 0$ , то $|a| = -a > 0$ , $-a > 0$ , $|-a| = -a$ и $-|a| = a < -a = |a|$ . Равенство $|a| = 0$ в обоих случаях возможно лишь при $a = 0$ .

Пункт 2. Пусть $|x|\le c$ . Если $x\ge 0$ , то $x = |x|\le c$ и $x\ge 0\ge -c$ . Если $x < 0$ , то $-x\le c$ , т. е. $x\ge -c$ , и $x < 0\le c$ . Обратно, пусть $-c\le x\le c$ : при $x\ge 0$ имеем $|x| = x\le c$ , при $x < 0$ имеем $|x| = -x\le c$ . Для строгого неравенства рассуждение то же; применяя его к $x - a$ , получаем $|x - a| < \varepsilon\iff -\varepsilon < x - a < \varepsilon$ .

Пункт 3. Если $a$ , $b$ одного знака (оба $\ge 0$ или оба $< 0$ ), то $ab\ge 0$ и $|ab| = ab = |a||b|$ (при обоих отрицательных $|a||b| = (-a)(-b) = ab$ ). Если, скажем, $a\ge 0 > b$ , то $ab\le 0$ и $|ab| = -ab = a(-b) = |a||b|$ .

Пункт 4. По пункту 1 $-|a|\le a\le|a|$ и $-|b|\le b\le|b|$ . Складывая, получаем $-(|a| + |b|)\le a + b\le|a| + |b|$ , что по пункту 2 означает $|a + b|\le|a| + |b|$ .

Для второго неравенства запишем $a = (a - b) + b$ : $|a|\le|a - b| + |b|$ , т. е. $|a| - |b|\le|a - b|$ . Меняя ролями $a$ и $b$ : $|b| - |a|\le|b - a| = |a - b|$ . Итак, $-|a - b|\le|a| - |b|\le|a - b|$ , и по пункту 2 $\bigl||a| - |b|\bigr|\le|a - b|$ . $\blacksquare$

теорема

Существование точной верхней грани

Формулировка

Всякое непустое ограниченное сверху множество $E\subset\mathbb R$ имеет точную верхнюю грань $\sup E\in\mathbb R$ , и притом единственную.
Всякое непустое ограниченное снизу множество $E\subset\mathbb R$ имеет точную нижнюю грань $\inf E\in\mathbb R$ , и притом единственную.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Пусть $B$ — множество всех верхних границ $E$ . Оно непусто, так как $E$ ограничено сверху; $E$ непусто по условию. По определению верхней границы

\forall x\in E\ \ \forall y\in B\quad x\le y.

По аксиоме полноты существует $c\in\mathbb R$ , такое что $x\le c\le y$ для всех $x\in E$ , $y\in B$ .

Неравенство $x\le c$ при всех $x\in E$ означает, что $c$ — верхняя граница $E$ , т. е. $c\in B$ . Неравенство $c\le y$ при всех $y\in B$ означает, что $c$ не больше любой верхней границы. Следовательно, $c$ — наименьшая верхняя граница: $c = \sup E$ .

Единственность: если $c$ и $c'$ — наименьшие верхние границы, то каждая из них — верхняя граница, и по минимальности $c\le c'$ и $c'\le c$ , т. е. $c = c'$ .

Пункт 2. Пусть $A$ — множество всех нижних границ $E$ ; $A\ne\varnothing$ и $y\le x$ для всех $y\in A$ , $x\in E$ . По аксиоме полноты существует $c$ с $y\le c\le x$ для всех $y\in A$ , $x\in E$ . Тогда $c$ — нижняя граница $E$ , не меньшая любой нижней границы, т. е. $c = \inf E$ ; единственность — как в пункте 1. $\blacksquare$

теорема

Критерий точной верхней грани

Формулировка

Пусть $E\subset\mathbb R$ , $E\ne\varnothing$ , $M\in\mathbb R$ . Тогда $M = \sup E$ в том и только в том случае, когда

\bigl(\forall x\in E\ \ x\le M\bigr)\ \land\ \bigl(\forall\varepsilon > 0\ \ \exists x\in E:\ x > M - \varepsilon\bigr).

Аналогично, $m = \inf E$ тогда и только тогда, когда

\bigl(\forall x\in E\ \ x\ge m\bigr)\ \land\ \bigl(\forall\varepsilon > 0\ \ \exists x\in E:\ x < m + \varepsilon\bigr).

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $M = \sup E$ . Тогда $M$ — верхняя граница, т. е. выполнено первое условие. Пусть $\varepsilon > 0$ ; так как $M - \varepsilon < M$ , число $M - \varepsilon$ не может быть верхней границей (иначе $M\le M - \varepsilon$ ). По правилу построения отрицания « $M - \varepsilon$ не является верхней границей» означает: $\exists x\in E:\ x > M - \varepsilon$ .

Достаточность. Пусть выполнены оба условия. По первому $M$ — верхняя граница $E$ . Пусть $M'$ — произвольная верхняя граница, и допустим, что $M' < M$ . Положим $\varepsilon = M - M' > 0$ . По второму условию найдётся $x\in E$ с $x > M - \varepsilon = M'$ , что противоречит тому, что $M'$ — верхняя граница. Значит, $M'\ge M$ для любой верхней границы, и $M = \sup E$ .

Для точной нижней грани рассуждение симметрично. Если $m = \inf E$ и $\varepsilon > 0$ , то $m + \varepsilon > m$ не является нижней границей (иначе $m + \varepsilon\le m$ ), т. е. $\exists x\in E:\ x < m + \varepsilon$ . Обратно, если выполнены оба условия и $m' > m$ — нижняя граница, то при $\varepsilon = m' - m$ найдётся $x\in E$ с $x < m'$ — противоречие; значит, $m$ — наибольшая нижняя граница. $\blacksquare$

теорема

Принцип вложенных отрезков (Коши–Кантора)

Формулировка

Пусть $[a_n, b_n]$ , $n\in\mathbb N$ , — последовательность вложенных отрезков:

[a_1, b_1]\supset[a_2, b_2]\supset\ldots\supset[a_n, b_n]\supset[a_{n+1}, b_{n+1}]\supset\ldots

Тогда:

существует точка, принадлежащая всем отрезкам: $\bigcap_{n=1}^\infty[a_n, b_n]\ne\varnothing$ ;
если, кроме того, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся отрезок $[a_n, b_n]$ длины $b_n - a_n < \varepsilon$ , то общая точка единственна.

Доказательство

Развернуть

Из вложенности $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subset[a_n, b_n]$ следует $a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n$ . Индукцией по $k$ отсюда получаем $a_n\le a_k$ и $b_k\le b_n$ при $n\le k$ .

Покажем, что $a_n\le b_m$ при любых $n, m\in\mathbb N$ . Пусть $k = \max(n, m)$ ; тогда

a_n\le a_k\le b_k\le b_m.

Множества $A = \{a_n:\ n\in\mathbb N\}$ и $B = \{b_m:\ m\in\mathbb N\}$ непусты, и каждый элемент $A$ не больше каждого элемента $B$ . По аксиоме полноты существует $c$ с $a_n\le c\le b_m$ при всех $n, m$ . В частности, $a_n\le c\le b_n$ , т. е. $c\in[a_n, b_n]$ при всех $n$ . Пункт 1 доказан.

Пункт 2. Допустим противное: две различные общие точки $c < c'$ . Так как $c, c'\in[a_n, b_n]$ , то $a_n\le c < c'\le b_n$ и $b_n - a_n\ge c' - c$ при всех $n$ . Взяв $\varepsilon = c' - c > 0$ , получаем противоречие с условием существования отрезка длины меньше $\varepsilon$ . $\blacksquare$

теорема

Принцип Архимеда

Формулировка

Множество натуральных чисел $\mathbb N$ не ограничено сверху.
Для любого $a\in\mathbb R$ и любого $b > 0$ существует $n\in\mathbb N$ , такое что

nb > a.

Утверждения 1 и 2 равносильны.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Допустим противное: $\mathbb N$ ограничено сверху. Так как $\mathbb N\ne\varnothing$ , по теореме о существовании точной верхней грани существует $s = \sup\mathbb N\in\mathbb R$ .

По критерию точной верхней грани (с $\varepsilon = 1$ ) найдётся $n\in\mathbb N$ с $n > s - 1$ . Тогда $n + 1 > s$ , причём $n + 1\in\mathbb N$ , так как $\mathbb N$ индуктивно. Это противоречит тому, что $s$ — верхняя граница $\mathbb N$ .

Пункт 2. Так как $\mathbb N$ не ограничено сверху, число $\frac ab$ не является его верхней границей: существует $n\in\mathbb N$ с $n > \frac ab$ . Умножая на $b > 0$ , получаем $nb > a$ .

Равносильность: пункт 2 выведен из пункта 1; обратно, при $b = 1$ пункт 2 даёт для любого $a$ натуральное $n > a$ , т. е. $\mathbb N$ не ограничено сверху. $\blacksquare$

следствие

Следствия из принципа Архимеда

Формулировка

Для любого $\varepsilon > 0$ существует $n\in\mathbb N$ , такое что $\frac1n < \varepsilon$ ; тогда и $\frac1m < \varepsilon$ при всех $m\ge n$ .
(Целая часть.) Для любого $x\in\mathbb R$ существует единственное целое $k$ , такое что

k\le x < k + 1;

оно называется целой частью числа $x$ и обозначается $[x]$ . 3. (Плотность $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ .) Для любых $a < b$ существует $r\in\mathbb Q$ с $a < r < b$ . Следовательно, в любом интервале бесконечно много рациональных чисел.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По принципу Архимеда (с $a = 1$ , $b = \varepsilon$ ) найдётся $n$ с $n\varepsilon > 1$ , т. е. $\frac1n < \varepsilon$ . При $m\ge n$ имеем $\frac1m\le\frac1n < \varepsilon$ .

Пункт 2, существование. Рассмотрим $E = \{k\in\mathbb Z:\ k\le x\}$ . По принципу Архимеда найдётся $n\in\mathbb N$ с $n > -x$ ; тогда $-n\in\mathbb Z$ и $-n < x$ , так что $E\ne\varnothing$ . Множество $E$ ограничено сверху числом $x$ , поэтому существует $s = \sup E$ .

По критерию точной верхней грани (с $\varepsilon = 1$ ) найдётся $k\in E$ с $k > s - 1$ . Тогда $k + 1 > s$ , и так как $k + 1\in\mathbb Z$ , а все элементы $E$ не превосходят $s$ , то $k + 1\notin E$ , т. е. $k + 1 > x$ . Вместе с $k\le x$ (так как $k\in E$ ) получаем $k\le x < k + 1$ .

Единственность. Если $k\le x < k + 1$ и $k'\le x < k' + 1$ , то $k' < k + 1$ и $k < k' + 1$ , т. е. $-1 < k - k' < 1$ . Единственное целое число с модулем меньше $1$ — нуль, поэтому $k = k'$ .

Пункт 3. По пункту 1 выберем $n\in\mathbb N$ с $\frac1n < b - a$ , т. е. $nb - na > 1$ . Положим $m = [na] + 1\in\mathbb Z$ . По определению целой части $m - 1\le na < m$ , поэтому

a < \frac mn,\qquad m\le na + 1 < nb,\ \text{ т. е. }\ \frac mn < b.

Число $r = \frac mn$ рационально и лежит в $(a, b)$ .

Бесконечность. Если бы в $(a, b)$ было лишь конечное число рациональных чисел (по доказанному — хотя бы одно), то среди них нашлось бы наименьшее $r_1$ ; но в интервале $(a, r_1)$ по доказанному есть рациональное число, меньшее $r_1$ , — противоречие. $\blacksquare$

Тождества с множествами

Условие

а) Доказать, что $A\setminus(B\setminus C) = (A\setminus B)\cup(A\cap C)$ .

б) Доказать, что $A\times(B\cup C) = (A\times B)\cup(A\times C)$ .

в) Верно ли, что $(A\setminus B)\cup B = A$ для любых множеств $A$ , $B$ ?

Решение

Развернуть

а) Пусть $a$ , $b$ , $c$ — высказывания « $x\in A$ », « $x\in B$ », « $x\in C$ ». Тогда $x\in B\setminus C\iff b\land\lnot c$ , и по закону де Моргана

x\in A\setminus(B\setminus C)\iff a\land\lnot(b\land\lnot c)\iff a\land(\lnot b\lor c).

По дистрибутивности это равносильно $(a\land\lnot b)\lor(a\land c)$ , т. е. $x\in(A\setminus B)\cup(A\cap C)$ .

б) $(x, y)\in A\times(B\cup C)\iff x\in A\land(y\in B\lor y\in C)\iff(x\in A\land y\in B)\lor(x\in A\land y\in C)\iff(x, y)\in(A\times B)\cup(A\times C)$ — снова по дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции.

в) Нет. Имеем $x\in(A\setminus B)\cup B\iff(a\land\lnot b)\lor b\iff(a\lor b)\land(\lnot b\lor b)\iff a\lor b$ , т. е. $(A\setminus B)\cup B = A\cup B$ . Это равно $A$ лишь при $B\subset A$ . Контрпример: $A = \{1\}$ , $B = \{2\}$ : $(A\setminus B)\cup B = \{1, 2\}\ne A$ .

Ответ: а), б) доказано; в) неверно, $(A\setminus B)\cup B = A\cup B$ .

Точные грани числовых множеств

Условие

Найти $\sup E$ , $\inf E$ и выяснить, принадлежат ли они множеству $E$ :

а) $E = \bigl\{\frac{n-1}{n+1}:\ n\in\mathbb N\bigr\}$ ;

б) $E = \bigl\{\frac1n + (-1)^n:\ n\in\mathbb N\bigr\}$ .

Решение

Развернуть

а) Запишем $x_n = \frac{n-1}{n+1} = 1 - \frac2{n+1}$ . Так как $\frac2{n+1} > 0$ и $\frac2{n+1}\le 1$ , имеем $0\le x_n < 1$ , причём $x_1 = 0$ . Значит, $\min E = 0 = \inf E$ .

Покажем, что $\sup E = 1$ , по критерию точной верхней грани. Число $1$ — верхняя граница. Пусть $\varepsilon > 0$ ; по следствию из принципа Архимеда найдётся $n$ с $\frac1n < \frac\varepsilon2$ , тогда $\frac2{n+1} < \frac2n < \varepsilon$ и $x_n > 1 - \varepsilon$ . Итак, $\sup E = 1\notin E$ .

б) При чётном $n = 2m$ : $x_n = 1 + \frac1n\in\bigl(1, \frac32\bigr]$ , наибольшее значение $\frac32$ при $n = 2$ . При нечётном $n$ : $x_n = \frac1n - 1\in(-1, 0]$ , наибольшее значение $0$ при $n = 1$ . Поэтому $\max E = \frac32 = \sup E$ .

Все $x_n > -1$ , т. е. $-1$ — нижняя граница. Пусть $\varepsilon > 0$ ; выберем $k\in\mathbb N$ с $\frac1k < \varepsilon$ и положим $n = 2k + 1$ (нечётное, $n > k$ ). Тогда $x_n = \frac1n - 1 < -1 + \varepsilon$ . По критерию точной нижней грани $\inf E = -1$ , причём $-1\notin E$ (все элементы больше $-1$ ).

Ответ: а) $\inf E = \min E = 0$ , $\sup E = 1\notin E$ ; б) $\sup E = \max E = \frac32$ , $\inf E = -1\notin E$ .

Существование числа √2

Условие

Пусть $E = \{x\in\mathbb R:\ x > 0,\ x^2 < 2\}$ . Доказать, что $s = \sup E$ существует и $s^2 = 2$ . Вывести отсюда, что существует иррациональное действительное число.

Решение

Развернуть

Множество $E$ непусто ( $1\in E$ ) и ограничено сверху числом $2$ : если $x\ge 2$ , то $x^2\ge 4 > 2$ . По теореме о существовании точной верхней грани существует $s = \sup E$ , причём $1\le s\le 2$ .

Допустим, что $s^2 < 2$ . Возьмём $h = \min\bigl(\frac12, \frac{2 - s^2}5\bigr)\in(0, 1)$ . Так как $h^2 < h$ и $2s + 1\le 5$ ,

(s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2 < s^2 + h(2s + 1)\le s^2 + 5h\le 2.

Значит, $s + h\in E$ и $s + h > s$ — противоречие с тем, что $s$ — верхняя граница $E$ .

Допустим, что $s^2 > 2$ . Возьмём $h = \min\bigl(\frac12, \frac{s^2 - 2}4\bigr)\in(0, 1)$ ; тогда $s - h > 0$ и

(s - h)^2 = s^2 - 2sh + h^2 > s^2 - 2sh\ge s^2 - 4h\ge 2.

Для любого $x\in E$ имеем $x^2 < 2 < (s - h)^2$ , и так как $x > 0$ , $s - h > 0$ , отсюда $x < s - h$ (если бы $x\ge s - h > 0$ , то $x^2\ge(s - h)^2$ ). Итак, $s - h$ — верхняя граница $E$ , меньшая $s$ , — противоречие с определением точной верхней грани.

Остаётся $s^2 = 2$ . По теореме о методе от противного (пример с $\sqrt2$ ) рационального числа с квадратом $2$ не существует, поэтому $s = \sqrt2$ иррационально. Тем самым аксиома полноты действительно выделяет $\mathbb R$ среди упорядоченных полей: в $\mathbb Q$ такого числа нет.

Ответ: $\sup E = \sqrt2$ , где $(\sqrt2)^2 = 2$ ; $\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ .

Плотность иррациональных чисел

Условие

Доказать, что между любыми двумя действительными числами $a < b$ найдётся иррациональное число, а значит, бесконечно много иррациональных чисел. (Существование иррационального числа $\sqrt2 > 0$ с $(\sqrt2)^2 = 2$ считать известным.)

Решение

Развернуть

По следствию из принципа Архимеда о плотности $\mathbb Q$ найдётся рациональное $r$ с $a - \sqrt2 < r < b - \sqrt2$ . Тогда число $x = r + \sqrt2$ удовлетворяет $a < x < b$ .

Докажем от противного, что $x$ иррационально. Если $x = q\in\mathbb Q$ , то $\sqrt2 = q - r\in\mathbb Q$ , так как разность рациональных чисел рациональна. Это противоречит иррациональности $\sqrt2$ .

Бесконечность. Если бы иррациональных чисел в $(a, b)$ было конечное число, то среди них было бы наименьшее $x_1$ ; но в интервале $(a, x_1)$ по доказанному есть иррациональное число, меньшее $x_1$ , — противоречие.

Ответ: доказано; например, подходит $x = r + \sqrt2$ с рациональным $r\in(a - \sqrt2, b - \sqrt2)$ .

Существенность условий принципа вложенных отрезков

Условие

а) Найти $\bigcap_{n=1}^\infty\bigl[-\frac1n, \frac1n\bigr]$ .

б) Доказать, что система вложенных интервалов $\bigl(0, \frac1n\bigr)$ имеет пустое пересечение.

в) Доказать, что система вложенных замкнутых лучей $[n, +\infty)$ имеет пустое пересечение.

Какие условия принципа вложенных отрезков нарушены в б) и в)?

Решение

Развернуть

а) Отрезки вложены, $0$ принадлежит всем, а длины $\frac2n$ становятся меньше любого $\varepsilon > 0$ (по следствию из принципа Архимеда найдётся $n$ с $\frac1n < \frac\varepsilon2$ ). По принципу вложенных отрезков общая точка единственна: пересечение равно $\{0\}$ .

б) Интервалы вложены: $\bigl(0, \frac1{n+1}\bigr)\subset\bigl(0, \frac1n\bigr)$ . Пусть $x$ принадлежит всем. Тогда $x > 0$ , и по следствию из принципа Архимеда найдётся $n$ с $\frac1n < x$ , т. е. $x\notin\bigl(0, \frac1n\bigr)$ — противоречие. Пересечение пусто. Нарушено условие: промежутки не являются отрезками (не содержат концов).

в) Лучи вложены: $[n + 1, +\infty)\subset[n, +\infty)$ . Если $x\ge n$ при всех $n\in\mathbb N$ , то $\mathbb N$ ограничено сверху числом $x$ , что противоречит принципу Архимеда. Пересечение пусто. Нарушено условие: промежутки неограниченны (не являются отрезками).

Ответ: а) $\{0\}$ ; б), в) пересечения пусты; в б) промежутки не замкнуты, в в) — не ограничены.

Точная верхняя грань суммы множеств

Условие

Пусть $A$ , $B$ — непустые ограниченные сверху множества, $A + B = \{a + b:\ a\in A,\ b\in B\}$ , $-A = \{-a:\ a\in A\}$ . Доказать:

а) $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ ;

б) если $A$ ограничено снизу, то $\sup(-A) = -\inf A$ .

Решение

Развернуть

а) По теореме о существовании точной верхней грани существуют $\alpha = \sup A$ и $\beta = \sup B$ . Проверим для $S = \alpha + \beta$ условия критерия точной верхней грани.

Для любых $a\in A$ , $b\in B$ : $a\le\alpha$ , $b\le\beta$ , поэтому $a + b\le S$ , т. е. $S$ — верхняя граница $A + B$ .

Пусть $\varepsilon > 0$ . По критерию для $A$ и $B$ найдутся $a\in A$ с $a > \alpha - \frac\varepsilon2$ и $b\in B$ с $b > \beta - \frac\varepsilon2$ . Тогда $a + b\in A + B$ и $a + b > S - \varepsilon$ . По критерию $\sup(A + B) = S$ .

б) Пусть $m = \inf A$ (существует по теореме о существовании точных граней). Для $y = -a\in -A$ : $a\ge m$ , значит, $y\le -m$ , т. е. $-m$ — верхняя граница $-A$ . Для $\varepsilon > 0$ по критерию точной нижней грани найдётся $a\in A$ с $a < m + \varepsilon$ , тогда $-a\in -A$ и $-a > -m - \varepsilon$ . По критерию $\sup(-A) = -m$ .

Ответ: доказано.

Неравенства с модулем и окрестности

Условие

а) Решить неравенство $|x - 1| + |x + 2| < 5$ и записать множество решений как окрестность некоторой точки.

б) Доказать: если $x, y\in U_{\varepsilon/2}(a)$ , то $|x - y| < \varepsilon$ .

Решение

Развернуть

а) Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулем сохраняют знак.

При $x\ge 1$ : $(x - 1) + (x + 2) = 2x + 1 < 5$ , т. е. $x < 2$ ; получаем $[1, 2)$ .

При $-2\le x < 1$ : $(1 - x) + (x + 2) = 3 < 5$ — верно при всех таких $x$ ; получаем $[-2, 1)$ .

При $x < -2$ : $(1 - x) - (x + 2) = -2x - 1 < 5$ , т. е. $x > -3$ ; получаем $(-3, -2)$ .

Объединение: $(-3, 2)$ . Это интервал с центром $-\frac12$ и полудлиной $\frac52$ , т. е. $U_{5/2}\bigl(-\frac12\bigr)$ .

б) По свойству модуля $x\in U_{\varepsilon/2}(a)\iff|x - a| < \frac\varepsilon2$ . По неравенству треугольника

|x - y| = |(x - a) + (a - y)|\le|x - a| + |y - a| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.

Ответ: а) $x\in(-3, 2) = U_{5/2}\bigl(-\frac12\bigr)$ ; б) доказано.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Множества и операции над ними

Множество — совокупность объектов (элементов), рассматриваемая как единое целое; понятие множества первично и не определяется. Запись $a\in A$ означает, что $a$ — элемент множества $A$ , запись $a\notin A$ — что не элемент. Множество задают перечислением элементов $\{a, b, c\}$ или характеристическим свойством $\{x\in X:\ P(x)\}$ .

Множество $A$ называется подмножеством множества $B$ ( $A\subset B$ ), если каждый элемент $A$ принадлежит $B$ :

A\subset B\iff\forall x\ (x\in A\Rightarrow x\in B).

Множества равны ( $A = B$ ), если $A\subset B$ и $B\subset A$ . Пустое множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента; оно является подмножеством любого множества.

Операции над множествами:

A\cup B = \{x:\ x\in A\lor x\in B\},\qquad A\cap B = \{x:\ x\in A\land x\in B\},\qquad A\setminus B = \{x:\ x\in A\land x\notin B\}.

Это объединение, пересечение и разность множеств. Если все рассматриваемые множества лежат в одном (универсальном) множестве $X$ , то дополнением множества $A\subset X$ называется $\overline A = X\setminus A$ .

Для семейства множеств $\{A_\alpha\}_{\alpha\in I}$ :

\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha = \{x:\ \exists\alpha\in I\ \ x\in A_\alpha\},\qquad\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha = \{x:\ \forall\alpha\in I\ \ x\in A_\alpha\}.

Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называется множество упорядоченных пар

A\times B = \{(a, b):\ a\in A,\ b\in B\};

пары $(a, b)$ и $(a', b')$ равны тогда и только тогда, когда $a = a'$ и $b = b'$ . Например, $\mathbb R\times\mathbb R = \mathbb R^2$ — координатная плоскость.

Аксиоматика множества действительных чисел

Множеством действительных чисел называется множество $\mathbb R$ с операциями сложения $a + b$ и умножения $a\cdot b$ и отношением порядка $a\le b$ , удовлетворяющими следующим аксиомам (для любых $a, b, c\in\mathbb R$ ).

I. Аксиомы поля.

$a + b = b + a$ ; $\ (a + b) + c = a + (b + c)$ .
Существует $0\in\mathbb R$ : $a + 0 = a$ ; для каждого $a$ существует $-a$ : $a + (-a) = 0$ .
$ab = ba$ ; $\ (ab)c = a(bc)$ .
Существует $1\in\mathbb R$ , $1\ne 0$ : $a\cdot1 = a$ ; для каждого $a\ne 0$ существует $a^{-1}$ : $a\cdot a^{-1} = 1$ .
$(a + b)c = ac + bc$ .

II. Аксиомы порядка.

$a\le a$ ; если $a\le b$ и $b\le a$ , то $a = b$ ; если $a\le b$ и $b\le c$ , то $a\le c$ .
Для любых $a, b$ верно $a\le b$ или $b\le a$ .

III. Связь порядка с операциями.

Если $a\le b$ , то $a + c\le b + c$ .
Если $0\le a$ и $0\le b$ , то $0\le ab$ .

IV. Аксиома полноты (непрерывности). Если $A$ , $B$ — непустые подмножества $\mathbb R$ и $a\le b$ для любых $a\in A$ , $b\in B$ , то существует $c\in\mathbb R$ , разделяющее $A$ и $B$ :

\forall a\in A\ \ \forall b\in B\quad a\le c\le b.

Элементы $\mathbb R$ называются действительными числами. Запись $a < b$ означает $a\le b$ и $a\ne b$ . Из аксиом I–III выводятся все обычные правила арифметики и действий с неравенствами (почленное сложение неравенств, изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, $0 < 1$ , $a^2\ge 0$ и т. п.).

Замечание. Аксиомам I–III удовлетворяет и множество рациональных чисел $\mathbb Q$ , но аксиома полноты в $\mathbb Q$ не выполняется: множества $A = \{r\in\mathbb Q:\ r > 0,\ r^2 < 2\}$ и $B = \{r\in\mathbb Q:\ r > 0,\ r^2 > 2\}$ нельзя разделить рациональным числом: можно показать, что разделяющее число $c$ обязано удовлетворять $c^2 = 2$ , а рационального числа с квадратом $2$ нет.

Натуральные, целые и рациональные числа в R

Множество $M\subset\mathbb R$ называется индуктивным, если $1\in M$ и из $x\in M$ следует $x + 1\in M$ . Множеством натуральных чисел $\mathbb N$ называется пересечение всех индуктивных подмножеств $\mathbb R$ , т. е. наименьшее индуктивное множество.

Целые числа: $\mathbb Z = \mathbb N\cup\{0\}\cup\{-n:\ n\in\mathbb N\}$ . Рациональные числа:

\mathbb Q = \Bigl\{\frac pq:\ p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N\Bigr\}.

Числа из $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ называются иррациональными.

Замечания. Из определения $\mathbb N$ сразу следует принцип индукции: если $M\subset\mathbb N$ индуктивно, то $M = \mathbb N$ . С его помощью доказываются известные свойства: сумма и произведение натуральных чисел натуральны; $n\ge 1$ для всех $n\in\mathbb N$ ; между $n$ и $n + 1$ нет натуральных чисел; всякое непустое подмножество $\mathbb N$ имеет наименьший элемент; $\mathbb Z$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, и единственное целое число $k$ с $|k| < 1$ — это $k = 0$ ; $\mathbb Q$ — поле.

Модуль действительного числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется число

|a| = \begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a < 0.\end{cases}

Число $|a - b|$ называется расстоянием между точками $a$ и $b$ числовой прямой.

Промежутки. Окрестности конечной точки и бесконечности

Пусть $a, b\in\mathbb R$ , $a < b$ . Промежутками называются множества:

отрезок $[a, b] = \{x:\ a\le x\le b\}$ (допускается и $a = b$ );
интервал $(a, b) = \{x:\ a < x < b\}$ ;
полуинтервалы $[a, b) = \{x:\ a\le x < b\}$ и $(a, b] = \{x:\ a < x\le b\}$ ;
бесконечные промежутки $(a, +\infty) = \{x:\ x > a\}$ , $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb R$ .

Число $b - a$ — длина конечного промежутка.

Расширенная числовая прямая $\overline{\mathbb R} = \mathbb R\cup\{-\infty, +\infty\}$ , где по определению $-\infty < x < +\infty$ для всех $x\in\mathbb R$ .

$\varepsilon$ -окрестностью точки $a\in\mathbb R$ ( $\varepsilon > 0$ ) называется интервал

U_\varepsilon(a) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon) = \{x:\ |x - a| < \varepsilon\},

проколотой $\varepsilon$ -окрестностью — множество $\mathring U_\varepsilon(a) = U_\varepsilon(a)\setminus\{a\} = \{x:\ 0 < |x - a| < \varepsilon\}$ . Правая и левая полуокрестности: $U^+_\varepsilon(a) = [a, a + \varepsilon)$ , $U^-_\varepsilon(a) = (a - \varepsilon, a]$ .

Окрестности бесконечно удалённых точек ( $\varepsilon > 0$ ):

U_\varepsilon(+\infty) = \Bigl(\frac1\varepsilon, +\infty\Bigr),\qquad U_\varepsilon(-\infty) = \Bigl(-\infty, -\frac1\varepsilon\Bigr),\qquad U_\varepsilon(\infty) = \Bigl\{x:\ |x| > \frac1\varepsilon\Bigr\}.

Эквивалентно, окрестность $+\infty$ — любой луч $(M, +\infty)$ , окрестность $\infty$ (бесконечности без знака) — множество $\{x:\ |x| > M\}$ . Проколотые окрестности бесконечностей совпадают с самими окрестностями.

Ограниченные и неограниченные множества

Множество $E\subset\mathbb R$ называется ограниченным сверху, если существует число $M$ (верхняя граница множества $E$ ), такое что

\forall x\in E\quad x\le M,

и ограниченным снизу, если существует $m$ (нижняя граница) с $x\ge m$ для всех $x\in E$ . Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным; это равносильно условию

\exists C > 0\ \ \forall x\in E\quad |x|\le C.

Множество не ограничено сверху, если $\forall M\in\mathbb R\ \exists x\in E:\ x > M$ .

Элемент $x_0\in E$ , являющийся верхней границей $E$ , называется максимумом (наибольшим элементом) $E$ : $x_0 = \max E$ ; аналогично определяется минимум $\min E$ . Например, $\max[0, 1] = 1$ , а полуинтервал $[0, 1)$ максимума не имеет: для любого $x\in[0, 1)$ число $\frac{x + 1}2\in[0, 1)$ больше $x$ .

Точные верхняя и нижняя грани множества

Точной верхней гранью (супремумом) множества $E\subset\mathbb R$ называется наименьшая из его верхних границ, т. е. число $M = \sup E$ , такое что

$M$ — верхняя граница $E$ : $\forall x\in E\ \ x\le M$ ;
любая верхняя граница $M'$ множества $E$ удовлетворяет $M'\ge M$ , т. е.

\forall M' < M\ \ \exists x\in E:\ \ x > M'.

Точной нижней гранью (инфимумом) $\inf E$ называется наибольшая из нижних границ $E$ .

Точная грань единственна: если $M_1$ , $M_2$ — две наименьшие верхние границы, то $M_1\le M_2$ и $M_2\le M_1$ . Если у $E$ есть максимум, то $\sup E = \max E$ ; но $\sup E$ может не принадлежать $E$ : $\sup[0, 1) = 1$ .

Соглашение: если $E$ не ограничено сверху, полагают $\sup E = +\infty$ ; если не ограничено снизу — $\inf E = -\infty$ .

Высказывания и логические операции

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Значения истинности обозначают И (истина, $1$ ) и Л (ложь, $0$ ). Например, « $2 < 3$ » — истинное высказывание, « $7$ делится на $2$ » — ложное; « $x > 1$ » высказыванием не является (его истинность зависит от $x$ ).

Из высказываний $A$ , $B$ с помощью логических операций строятся новые высказывания:

отрицание $\lnot A$ («не $A$ ») истинно тогда и только тогда, когда $A$ ложно;
конъюнкция $A\land B$ (« $A$ и $B$ ») истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания;
дизъюнкция $A\lor B$ (« $A$ или $B$ ») ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания;
импликация $A\Rightarrow B$ («если $A$ , то $B$ », «из $A$ следует $B$ ») ложна только в случае, когда $A$ истинно, а $B$ ложно;
эквиваленция $A\Leftrightarrow B$ (« $A$ тогда и только тогда, когда $B$ ») истинна тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ имеют одинаковые значения истинности.

Определения операций сводятся в таблицу истинности:

$A$	$B$	$\lnot A$	$A\land B$	$A\lor B$	$A\Rightarrow B$	$A\Leftrightarrow B$
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Два составных высказывания (формулы) $F$ и $G$ , построенные из одних и тех же высказываний $A, B,\dots$ , называются равносильными ( $F\equiv G$ ), если при любых значениях истинности $A, B,\dots$ они принимают одинаковые значения. Формула, истинная при любых значениях входящих в неё высказываний, называется тождественно истинной (тавтологией).

Замечание. Импликация $A\Rightarrow B$ с ложной посылкой $A$ истинна независимо от $B$ : например, «если $2\cdot2 = 5$ , то $1 = 0$ » — истинное высказывание.

Отрицание высказываний: законы де Моргана

Формулировка

Для любых высказываний $A$ , $B$ справедливы равносильности:

$\lnot(\lnot A)\equiv A$ (закон двойного отрицания);
законы де Моргана:

\lnot(A\land B)\equiv\lnot A\lor\lnot B,\qquad \lnot(A\lor B)\equiv\lnot A\land\lnot B;

выражение импликации и эквиваленции:

(A\Rightarrow B)\equiv(\lnot A\lor B),\qquad (A\Leftrightarrow B)\equiv(A\Rightarrow B)\land(B\Rightarrow A);

отрицание импликации:

\lnot(A\Rightarrow B)\equiv A\land\lnot B.

Доказательство

Развернуть

Равносильность формул означает совпадение их значений при всех четырёх наборах значений $A$ , $B$ , поэтому пункты 1–3 проверяются по таблице истинности.

Закон двойного отрицания: если $A$ истинно, то $\lnot A$ ложно и $\lnot(\lnot A)$ истинно; если $A$ ложно, то $\lnot A$ истинно и $\lnot(\lnot A)$ ложно.

Законы де Моргана. Составим таблицу:

$A$	$B$	$\lnot(A\land B)$	$\lnot A\lor\lnot B$	$\lnot(A\lor B)$	$\lnot A\land\lnot B$
И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	И	Л	Л
Л	И	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И

Третий и четвёртый столбцы совпадают, пятый и шестой тоже.

Выражение импликации и эквиваленции:

$A$	$B$	$A\Rightarrow B$	$\lnot A\lor B$	$B\Rightarrow A$	$(A\Rightarrow B)\land(B\Rightarrow A)$	$A\Leftrightarrow B$
И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И

Столбцы $A\Rightarrow B$ и $\lnot A\lor B$ совпадают; последние два столбца тоже совпадают.

Отрицание импликации выводится из доказанного: по пункту 3, второму закону де Моргана и закону двойного отрицания

\lnot(A\Rightarrow B)\equiv\lnot(\lnot A\lor B)\equiv\lnot(\lnot A)\land\lnot B\equiv A\land\lnot B. \qquad\blacksquare

Построение отрицания высказываний с кванторами

Формулировка

Пусть $P(x)$ — предикат на множестве $X$ . Тогда

Отрицание квантора всеобщности:

\lnot\bigl(\forall x\in X\ \ P(x)\bigr)\equiv\exists x\in X:\ \lnot P(x).

Отрицание квантора существования:

\lnot\bigl(\exists x\in X:\ P(x)\bigr)\equiv\forall x\in X\ \ \lnot P(x).

(Правило построения отрицания.) Чтобы построить отрицание высказывания вида $Q_1x_1\,Q_2x_2\ldots Q_kx_k\ P(x_1,\dots,x_k)$ , где каждое $Q_i$ — квантор $\forall$ или $\exists$ (возможно, с ограничением вида $x_i\in X_i$ , $\varepsilon > 0$ , $n\ge N$ ), нужно заменить каждый квантор $\forall$ на $\exists$ и каждый $\exists$ на $\forall$ , сохранив порядок кванторов и их ограничения, а предикат $P$ заменить его отрицанием (которое затем упрощается по законам де Моргана).

Примеры. Отрицание ограниченности множества $E$ : $\forall C > 0\ \exists x\in E:\ |x| > C$ . Отрицание того, что $a = \lim a_n$ :

\exists\varepsilon > 0\ \ \forall N\in\mathbb N\ \ \exists n\ge N:\ \ |a_n - a|\ge\varepsilon.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Левая часть истинна $\iff$ высказывание $\forall x\in X\ P(x)$ ложно $\iff$ не для каждого $x\in X$ верно $P(x)$ $\iff$ найдётся $x\in X$ , для которого $P(x)$ ложно, т. е. $\lnot P(x)$ истинно $\iff$ истинна правая часть.

Пункт 2. Применим пункт 1 к предикату $\lnot P(x)$ и закон двойного отрицания: $\lnot(\forall x\ \lnot P(x))\equiv\exists x\ \lnot\lnot P(x)\equiv\exists x\ P(x)$ . Взяв отрицание обеих частей, получаем $\forall x\ \lnot P(x)\equiv\lnot(\exists x\ P(x))$ .

Ограничения кванторов сохраняются. Действительно, $\forall\varepsilon > 0\ R(\varepsilon)$ означает $\forall\varepsilon\ (\varepsilon > 0\Rightarrow R(\varepsilon))$ ; по пункту 1 и формуле отрицания импликации

\lnot\forall\varepsilon\ (\varepsilon > 0\Rightarrow R(\varepsilon))\equiv\exists\varepsilon\ \lnot(\varepsilon > 0\Rightarrow R(\varepsilon))\equiv\exists\varepsilon\ (\varepsilon > 0\land\lnot R(\varepsilon)),

т. е. $\exists\varepsilon > 0:\ \lnot R(\varepsilon)$ . Аналогично, по пункту 2 и закону де Моргана $\lnot\exists\varepsilon\ (\varepsilon > 0\land R)\equiv\forall\varepsilon\ (\lnot(\varepsilon > 0)\lor\lnot R)\equiv\forall\varepsilon\ (\varepsilon > 0\Rightarrow\lnot R)$ , т. е. $\forall\varepsilon > 0\ \lnot R(\varepsilon)$ .

Пункт 3 докажем индукцией по числу кванторов $k$ . При $k = 1$ это пункты 1, 2 (с учётом сохранения ограничений). Пусть правило верно для $k - 1$ кванторов. Обозначим $R(x_1) = Q_2x_2\ldots Q_kx_k\ P$ . По пункту 1 или 2 $\lnot(Q_1x_1\ R(x_1))\equiv\overline{Q_1}x_1\ \lnot R(x_1)$ , где $\overline{Q_1}$ — противоположный квантор. По предположению индукции $\lnot R(x_1)\equiv\overline{Q_2}x_2\ldots\overline{Q_k}x_k\ \lnot P$ , что и даёт требуемое.

Примеры получаются по правилу: ограниченность $\exists C > 0\ \forall x\in E\ |x|\le C$ переходит в $\forall C > 0\ \exists x\in E\ \lnot(|x|\le C)$ , т. е. $|x| > C$ ; определение предела $\forall\varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n\ge N\ |a_n - a| < \varepsilon$ — в $\exists\varepsilon > 0\ \forall N\ \exists n\ge N\ |a_n - a|\ge\varepsilon$ . $\blacksquare$

Свойства образа и прообраза множества

Формулировка

Пусть $f\colon X\to Y$ , $A, A_1, A_2\subset X$ , $B, B_1, B_2\subset Y$ . Тогда:

прообраз сохраняет операции:

f^{-1}(B_1\cup B_2) = f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2),\quad f^{-1}(B_1\cap B_2) = f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2),\quad f^{-1}(Y\setminus B) = X\setminus f^{-1}(B);

$f(A_1\cup A_2) = f(A_1)\cup f(A_2)$ и $f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)$ , причём для инъективного $f$ имеет место равенство;
$A\subset f^{-1}(f(A))$ (равенство для инъективного $f$ ) и $f(f^{-1}(B))\subset B$ (равенство для сюръективного $f$ ).

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По определению прообраза $x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)\iff f(x)\in B_1\cup B_2\iff f(x)\in B_1\lor f(x)\in B_2\iff x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$ . Для пересечения рассуждение то же с заменой $\lor$ на $\land$ . Для дополнения: при $x\in X$ имеем $x\in f^{-1}(Y\setminus B)\iff f(x)\notin B\iff x\notin f^{-1}(B)$ .

Пункт 2, объединение: $y\in f(A_1\cup A_2)\iff\exists x\in A_1\cup A_2:\ f(x) = y\iff(\exists x\in A_1:\ f(x) = y)\lor(\exists x\in A_2:\ f(x) = y)\iff y\in f(A_1)\cup f(A_2)$ .

Пересечение: если $y = f(x)$ , $x\in A_1\cap A_2$ , то $y\in f(A_1)$ и $y\in f(A_2)$ . Пусть $f$ инъективно и $y\in f(A_1)\cap f(A_2)$ : $y = f(x_1) = f(x_2)$ , $x_1\in A_1$ , $x_2\in A_2$ . По инъективности $x_1 = x_2\in A_1\cap A_2$ , поэтому $y\in f(A_1\cap A_2)$ .

Пункт 3. Если $x\in A$ , то $f(x)\in f(A)$ , т. е. $x\in f^{-1}(f(A))$ . Пусть $f$ инъективно и $x\in f^{-1}(f(A))$ ; тогда $f(x) = f(a)$ для некоторого $a\in A$ , и $x = a\in A$ .

Если $y\in f(f^{-1}(B))$ , то $y = f(x)$ с $x\in f^{-1}(B)$ , т. е. $y = f(x)\in B$ . Пусть $f$ сюръективно и $y\in B$ ; найдётся $x$ с $f(x) = y\in B$ , тогда $x\in f^{-1}(B)$ и $y\in f(f^{-1}(B))$ . $\blacksquare$

Арифметические операции с пределами последовательностей

Формулировка

Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a$ , $\lim\limits_{n\to\infty}y_n = b$ , где $a, b\in\mathbb R$ . Тогда

$\lim\limits_{n\to\infty}(x_n\pm y_n) = a\pm b$ ;
$\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n = ab$ ; в частности, $\lim\limits_{n\to\infty}cx_n = ca$ для любой постоянной $c$ и $\lim\limits_{n\to\infty}x_n^k = a^k$ , $k\in\mathbb N$ ;
если $b\ne 0$ и $y_n\ne 0$ при всех $n$ , то

\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac ab.

Доказательство

Развернуть

По свойству бесконечно малых последовательностей запишем $x_n = a + \alpha_n$ , $y_n = b + \beta_n$ , где $\alpha_n\to 0$ , $\beta_n\to 0$ . Достаточно показать, что разность между выражением и предполагаемым пределом — бесконечно малая.

$(x_n\pm y_n) - (a\pm b) = \alpha_n\pm\beta_n$ — бесконечно малая как сумма (разность) бесконечно малых.
Имеем

x_ny_n - ab = a\beta_n + b\alpha_n + \alpha_n\beta_n.

Каждое слагаемое — произведение бесконечно малой на ограниченную (постоянную или бесконечно малую, которая ограничена как сходящаяся последовательность), т. е. бесконечно малая; сумма трёх бесконечно малых — бесконечно малая. Частные случаи: $y_n = c$ и индукция по $k$ .

Сначала покажем, что $\frac1{y_n}$ ограничена начиная с некоторого номера. Для $\varepsilon = \frac{|b|}2 > 0$ найдётся $N$ с $|y_n - b| < \frac{|b|}2$ при $n > N$ ; тогда

|y_n|\ge|b| - |y_n - b| > \frac{|b|}2,\qquad\left|\frac1{y_n}\right| < \frac2{|b|}\quad(n > N).

Теперь

\frac{x_n}{y_n} - \frac ab = \frac{bx_n - ay_n}{by_n} = (b\alpha_n - a\beta_n)\cdot\frac1{by_n}.

Первый множитель — бесконечно малая (по п. 1 и п. 2), второй по модулю меньше $\frac2{b^2}$ при $n > N$ . Произведение бесконечно малой на последовательность, ограниченную при $n > N$ , — бесконечно малая (в доказательстве свойства достаточно рассматривать $n > N$ , так как конечное число членов не влияет на предел). Значит, $\frac{x_n}{y_n}\to\frac ab$ . $\blacksquare$

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Формулировка

Числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится (имеет конечный предел) тогда и только тогда, когда она фундаментальна:

\exists\lim_{n\to\infty}x_n\in\mathbb R\iff\forall\varepsilon > 0\ \ \exists N\ \ \forall n, m > N:\ |x_n - x_m| < \varepsilon.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $x_n\to a$ , $\varepsilon > 0$ . Найдётся $N$ с $|x_n - a| < \frac\varepsilon2$ при $n > N$ . Тогда при $n, m > N$

|x_n - x_m|\le|x_n - a| + |a - x_m| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.

Достаточность. Фундаментальная последовательность ограничена: при $\varepsilon = 1$ найдётся $N_1$ с $|x_n - x_m| < 1$ при $n, m > N_1$ ; в частности $|x_n|\le|x_{N_1+1}| + 1$ при $n > N_1$ , и $|x_n|\le\max\{|x_1|, \ldots, |x_{N_1}|, |x_{N_1+1}| + 1\}$ для всех $n$ .

По принципу Больцано–Вейерштрасса существует подпоследовательность $x_{n_k}\to a\in\mathbb R$ .

Покажем, что $x_n\to a$ . Пусть $\varepsilon > 0$ . По условию Коши найдётся $N$ с $|x_n - x_m| < \frac\varepsilon2$ при $n, m > N$ , а по сходимости подпоследовательности — номер $K$ с $|x_{n_k} - a| < \frac\varepsilon2$ при $k > K$ . Возьмём $n > N$ и какое-нибудь $k > \max(K, N)$ ; тогда $n_k\ge k > N$ , и

|x_n - a|\le|x_n - x_{n_k}| + |x_{n_k} - a| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.

Итак, $x_n\to a$ .

Замечание. В множестве $\mathbb Q$ аналог критерия неверен: десятичные приближения $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ \ldots$ числа $\sqrt2$ фундаментальны, но не имеют рационального предела. Критерий Коши выражает полноту $\mathbb R$ . $\blacksquare$

Ограниченность сходящейся последовательности

Формулировка

Всякая сходящаяся последовательность ограничена: если $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a\in\mathbb R$ , то

\exists C > 0\ \ \forall n\in\mathbb N:\ |x_n|\le C.

Обратное неверно: последовательность $(-1)^n$ ограничена, но расходится.

Доказательство

Развернуть

Возьмём в определении предела $\varepsilon = 1$ : найдётся $N$ такое, что $|x_n - a| < 1$ при всех $n > N$ . Тогда при $n > N$

|x_n| = |(x_n - a) + a|\le|x_n - a| + |a| < 1 + |a|.

Членов с номерами $n\le N$ конечное число, поэтому можно положить

C = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |a|\}.

Тогда $|x_n|\le C$ при $n\le N$ по выбору $C$ и $|x_n| < 1 + |a|\le C$ при $n > N$ , т. е. $|x_n|\le C$ для всех $n$ .

Для обратного утверждения достаточно примера $(-1)^n$ : он ограничен ( $|x_n| = 1$ ), но расходится, так как два соседних члена $1$ и $-1$ не могут одновременно лежать в интервале длины $2\varepsilon < 2$ . $\blacksquare$

Свойства бесконечно малых последовательностей

Формулировка

Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей — бесконечно малые.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. В частности, произведение двух бесконечно малых и произведение бесконечно малой на постоянную — бесконечно малые.
$x_n\to a\in\mathbb R$ тогда и только тогда, когда $\alpha_n = x_n - a$ — бесконечно малая, т. е.

x_n = a + \alpha_n,\quad \alpha_n\to 0.

Если $\{x_n\}$ бесконечно большая и $x_n\ne 0$ при всех $n$ , то $\left\{\frac1{x_n}\right\}$ бесконечно малая; если $\{\alpha_n\}$ бесконечно малая и $\alpha_n\ne 0$ при всех $n$ , то $\left\{\frac1{\alpha_n}\right\}$ бесконечно большая.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\alpha_n\to 0$ , $\beta_n\to 0$ , $\varepsilon > 0$ . Найдутся $N_1$ и $N_2$ такие, что $|\alpha_n| < \frac\varepsilon2$ при $n > N_1$ и $|\beta_n| < \frac\varepsilon2$ при $n > N_2$ . Тогда при $n > \max(N_1, N_2)$

|\alpha_n\pm\beta_n|\le|\alpha_n| + |\beta_n| < \varepsilon.

Пусть $|y_n|\le C$ при всех $n$ ( $C > 0$ ), $\alpha_n\to 0$ . Для $\varepsilon > 0$ найдём $N$ такое, что $|\alpha_n| < \frac\varepsilon C$ при $n > N$ . Тогда $|\alpha_ny_n|\le C|\alpha_n| < \varepsilon$ при $n > N$ . Бесконечно малая последовательность сходится и потому ограничена по теореме об ограниченности сходящейся последовательности; постоянная последовательность ограничена. Это даёт частные случаи.
Условие $|x_n - a| < \varepsilon$ совпадает с условием $|\alpha_n - 0| < \varepsilon$ для $\alpha_n = x_n - a$ , поэтому определения $x_n\to a$ и $\alpha_n\to 0$ дословно совпадают.
Пусть $|x_n|\to+\infty$ и $\varepsilon > 0$ . Положим $E = \frac1\varepsilon$ ; найдётся $N$ такое, что $|x_n| > E$ при $n > N$ , откуда $\left|\frac1{x_n}\right| < \frac1E = \varepsilon$ . Обратно, пусть $\alpha_n\to 0$ , $\alpha_n\ne 0$ , и $E > 0$ . Для $\varepsilon = \frac1E$ найдётся $N$ такое, что $0 < |\alpha_n| < \varepsilon$ при $n > N$ , и тогда $\left|\frac1{\alpha_n}\right| > \frac1\varepsilon = E$ . $\blacksquare$

Теорема о промежуточных значениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , $f(a) = A$ , $f(b) = B$ , $A\ne B$ . Тогда для любого числа $C$ , лежащего строго между $A$ и $B$ , существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(c) = C.

Если функция $f$ непрерывна на промежутке $I$ (любого типа), то множество её значений $f(I)$ — также промежуток (возможно, вырожденный в точку).

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим функцию $g(x) = f(x) - C$ . Она непрерывна на $[a, b]$ как разность непрерывных функций. Так как $C$ лежит строго между $A$ и $B$ , числа $g(a) = A - C$ и $g(b) = B - C$ имеют разные знаки: $g(a)\, g(b) < 0$ . По теореме Больцано–Коши существует $c\in(a, b)$ с $g(c) = 0$ , т. е. $f(c) = C$ .
Сначала заметим, что непустое множество $E\subset\mathbb R$ , обладающее свойством

\forall y_1, y_2\in E,\ y_1 < y_2:\quad [y_1, y_2]\subset E,

является промежутком или точкой. Действительно, пусть $m = \inf E$ , $M = \sup E$ (конечные или бесконечные). Если $m < y < M$ , то $y$ не является верхней границей $E$ , и найдётся $y_2\in E$ с $y_2 > y$ ; аналогично (по критерию точной нижней грани или по неограниченности снизу) найдётся $y_1\in E$ с $y_1 < y$ . По свойству $y\in[y_1, y_2]\subset E$ . Значит, $(m, M)\subset E\subset[m, M]$ , т. е. $E$ — промежуток с концами $m$ и $M$ (концы принадлежат или не принадлежат $E$ ); при $m = M$ множество $E$ — точка.

Проверим это свойство для $E = f(I)$ . Пусть $y_1 = f(x_1) < y_2 = f(x_2)$ , $x_1, x_2\in I$ . Тогда $x_1\ne x_2$ , и отрезок $\Delta$ с концами $x_1, x_2$ лежит в промежутке $I$ ; функция $f$ непрерывна на $\Delta$ . По п. 1, применённому к $f$ на $\Delta$ , каждое $y\in(y_1, y_2)$ принимается в некоторой точке $\Delta$ , а значения $y_1, y_2$ принимаются в концах. Итак, $[y_1, y_2]\subset f(I)$ , и $f(I)$ — промежуток. $\blacksquare$

Односторонние пределы монотонной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ не убывает на промежутке $I$ , $x_0\in I$ .

Если $x_0$ — не левый конец $I$ , то существует конечный предел слева

f(x_0 - 0) = \sup_{x\in I,\ x < x_0} f(x)\le f(x_0).

Если $x_0$ — не правый конец $I$ , то существует конечный предел справа

f(x_0 + 0) = \inf_{x\in I,\ x > x_0} f(x)\ge f(x_0).

Если $x, y\in I$ , $x < y$ , и указанные пределы существуют, то $f(x + 0)\le f(y - 0)$ .

Для невозрастающей функции справедливы аналогичные утверждения с обратными неравенствами (и с заменой $\sup$ на $\inf$ ).

Доказательство

Развернуть

Так как $I$ — промежуток и $x_0$ — не его левый конец, множество $E = \{f(x):\ x\in I,\ x < x_0\}$ непусто; по монотонности оно ограничено сверху числом $f(x_0)$ . По теореме о существовании точной грани существует $s = \sup E$ , причём $s\le f(x_0)$ , так как $f(x_0)$ — верхняя граница $E$ .

Пусть $\varepsilon > 0$ . По критерию точной верхней грани найдётся $x_1\in I$ , $x_1 < x_0$ , с $f(x_1) > s - \varepsilon$ . Положим $\delta = x_0 - x_1 > 0$ . Если $x_0 - \delta < x < x_0$ , то $x_1 < x < x_0$ , поэтому $x\in I$ (промежуток вместе с двумя точками содержит отрезок между ними) и по монотонности

s - \varepsilon < f(x_1)\le f(x)\le s.

Значит, $|f(x) - s| < \varepsilon$ для всех $x\in(x_0 - \delta, x_0)$ , т. е. $f(x_0 - 0) = s$ .

Доказывается так же: множество $\{f(x):\ x\in I,\ x > x_0\}$ непусто и ограничено снизу числом $f(x_0)$ ; его точная нижняя грань $i\ge f(x_0)$ , и по критерию точной нижней грани для $\varepsilon > 0$ найдётся $x_2 > x_0$ с $f(x_2) < i + \varepsilon$ , откуда $i\le f(x) < i + \varepsilon$ при $x_0 < x < x_2$ .
Возьмём любую точку $t\in(x, y)$ ; она лежит в $I$ . По п. 2 $f(x + 0)$ — точная нижняя грань значений справа от $x$ , поэтому $f(x + 0)\le f(t)$ ; по п. 1 $f(y - 0)$ — точная верхняя грань значений слева от $y$ , поэтому $f(t)\le f(y - 0)$ . Итак, $f(x + 0)\le f(y - 0)$ .

Для невозрастающей $f$ применим доказанное к неубывающей функции $-f$ . $\blacksquare$

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , то она достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней: существуют $x_1, x_2\in[a, b]$ такие, что

f(x_1) = \inf_{[a, b]} f = \min_{[a, b]} f,\qquad f(x_2) = \sup_{[a, b]} f = \max_{[a, b]} f.

Для интервала утверждение неверно: функция $f(x) = x$ непрерывна и ограничена на $(0, 1)$ , но не достигает ни $\sup = 1$ , ни $\inf = 0$ . Неверно оно и для разрывной функции на отрезке.

Доказательство

Развернуть

По первой теореме Вейерштрасса $f$ ограничена на $[a, b]$ , поэтому множество $f([a, b])$ непусто и ограничено, и по теореме о существовании точной грани существует конечное $M = \sup_{[a, b]} f$ . При этом $f(x)\le M$ для всех $x\in[a, b]$ .

Предположим, что $M$ не достигается: $f(x) < M$ при всех $x\in[a, b]$ . Тогда функция

g(x) = \frac1{M - f(x)}

определена, положительна и непрерывна на $[a, b]$ как частное непрерывных функций с ненулевым знаменателем.

По первой теореме Вейерштрасса $g$ ограничена: $0 < g(x)\le K$ на $[a, b]$ при некотором $K > 0$ . Отсюда $M - f(x)\ge\frac1K$ , т. е. $f(x)\le M - \frac1K$ для всех $x\in[a, b]$ . Это противоречит критерию точной верхней грани (при $\varepsilon = \frac1K$ должна найтись точка с $f(x) > M - \varepsilon$ ). Значит, $M = f(x_2)$ для некоторого $x_2\in[a, b]$ .

Для точной нижней грани применим доказанное к непрерывной функции $-f$ : $\sup(-f) = -\inf f$ достигается в некоторой точке $x_1$ , т. е. $f(x_1) = \inf_{[a, b]} f$ .

Для $f(x) = x$ на $(0, 1)$ : $0 < f(x) < 1$ , и для любого $\varepsilon\in(0, 1)$ значения $f(1 - \frac\varepsilon2) > 1 - \varepsilon$ и $f(\frac\varepsilon2) < \varepsilon$ , так что $\sup = 1$ , $\inf = 0$ , но $f(x)\ne 0$ , $f(x)\ne 1$ . Для разрывной функции на $[0, 1]$ , равной $x$ при $x < 1$ и $0$ при $x = 1$ , точная верхняя грань $1$ также не достигается. $\blacksquare$

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной функции

Формулировка

Пусть $-\infty\le a < b\le +\infty$ , и функция $f$ не убывает на интервале $(a, b)$ . Тогда:

если $f$ ограничена сверху на $(a, b)$ , то существует конечный предел

\lim_{x\to b - 0}f(x) = \sup_{(a, b)}f ;

если $f$ не ограничена сверху, то $\lim\limits_{x\to b - 0}f(x) = +\infty$ ; 2. если $f$ ограничена снизу на $(a, b)$ , то $\lim\limits_{x\to a + 0}f(x) = \inf\limits_{(a, b)}f$ ; иначе $\lim\limits_{x\to a + 0}f(x) = -\infty$ .

(При $b = +\infty$ запись $x\to b - 0$ означает $x\to +\infty$ , при $a = -\infty$ запись $x\to a + 0$ означает $x\to -\infty$ .) Для невозрастающей функции верны аналогичные утверждения с заменой $\sup$ на $\inf$ и наоборот.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f$ ограничена сверху. Множество значений $\{f(x):\ x\in(a, b)\}$ непусто и ограничено сверху, поэтому по теореме о существовании точной верхней грани существует $M = \sup\limits_{(a, b)}f\in\mathbb R$ .

Пусть дано $\varepsilon > 0$ . По критерию точной верхней грани найдётся $x_\varepsilon\in(a, b)$ с $f(x_\varepsilon) > M - \varepsilon$ . Для всех $x\in(x_\varepsilon, b)$ в силу монотонности и определения $\sup$

M - \varepsilon < f(x_\varepsilon)\le f(x)\le M < M + \varepsilon .

Если $b$ конечно, это означает $|f(x) - M| < \varepsilon$ при $b - \delta < x < b$ , где $\delta = b - x_\varepsilon > 0$ ; если $b = +\infty$ — то же при $x > \Delta = x_\varepsilon$ . Значит, $\lim\limits_{x\to b - 0}f(x) = M$ .

Если $f$ не ограничена сверху, то для любого $K$ найдётся $x_K\in(a, b)$ с $f(x_K) > K$ , и по монотонности $f(x)\ge f(x_K) > K$ при всех $x\in(x_K, b)$ . Это и означает $f(x)\to +\infty$ при $x\to b - 0$ .

Доказательство аналогично: если $m = \inf\limits_{(a, b)}f$ конечно, то по критерию нижней грани найдётся $x_\varepsilon$ с $f(x_\varepsilon) < m + \varepsilon$ , и при $x\in(a, x_\varepsilon)$ имеем $m\le f(x)\le f(x_\varepsilon) < m + \varepsilon$ . Неограниченный снизу случай — как выше.

Для невозрастающей $f$ функция $-f$ не убывает, и достаточно применить пп. 1, 2 к $-f$ , учитывая, что $\sup(-f) = -\inf f$ . $\blacksquare$

Существование верхнего и нижнего пределов

Формулировка

Пусть последовательность $\{x_n\}$ ограничена. Положим

M_n = \sup_{k\ge n}x_k,\qquad m_n = \inf_{k\ge n}x_k.

Последовательность $\{M_n\}$ не возрастает, $\{m_n\}$ не убывает, обе ограничены, поэтому существуют конечные пределы $L = \lim M_n$ , $l = \lim m_n$ , и $l\le L$ .
$L$ и $l$ — частичные пределы $\{x_n\}$ , и любой частичный предел $c$ удовлетворяет $l\le c\le L$ . Тем самым

\varlimsup_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}x_k,\qquad\varliminf_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}x_k.

$\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда $\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n = \varliminf\limits_{n\to\infty}x_n$ ; общее значение и есть предел.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|x_n|\le C$ . Множество $\{x_k : k\ge n\}$ непусто и ограничено, поэтому $M_n$ и $m_n$ существуют по теореме о существовании точных граней, и $-C\le m_n\le M_n\le C$ . При переходе от $n$ к $n + 1$ множество $\{x_k : k\ge n\}$ уменьшается, поэтому $M_{n+1}\le M_n$ и $m_{n+1}\ge m_n$ . По теореме Вейерштрасса существуют $L = \lim M_n = \inf M_n$ и $l = \lim m_n$ , а $l\le L$ — по предельному переходу в неравенстве $m_n\le M_n$ .
Покажем, что $L$ — частичный предел, проверив условие «в каждой окрестности бесконечно много номеров». Пусть $\varepsilon > 0$ и $N\in\mathbb N$ . Так как $M_n\downarrow L$ , найдётся $n_0 > N$ с $L\le M_{n_0} < L + \varepsilon$ . По критерию точной верхней грани существует $k\ge n_0$ с $x_k > M_{n_0} - \varepsilon\ge L - \varepsilon$ ; кроме того, $x_k\le M_{n_0} < L + \varepsilon$ . Итак, для любого $N$ найдётся $k > N$ с $|x_k - L| < \varepsilon$ , т. е. номеров с $x_k\in U_\varepsilon(L)$ бесконечно много, и по теореме о подпоследовательностях $L$ — частичный предел. Для $l$ рассуждение симметрично.

Пусть $c$ — частичный предел, $x_{n_j}\to c$ . Так как $m_{n_j}\le x_{n_j}\le M_{n_j}$ , а $M_{n_j}\to L$ и $m_{n_j}\to l$ как подпоследовательности сходящихся последовательностей, предельный переход в неравенствах даёт $l\le c\le L$ .

Если $x_n\to a$ , то по теореме о подпоследовательностях все частичные пределы равны $a$ , в частности $L = l = a$ . Обратно, если $L = l = a$ , то из $m_n\le x_n\le M_n$ и $m_n\to a$ , $M_n\to a$ по теореме о трёх последовательностях $x_n\to a$ . $\blacksquare$

Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности

Формулировка

Если последовательность $\{x_n\}$ не убывает и ограничена сверху, то она сходится и

\lim_{n\to\infty}x_n = \sup_{n\in\mathbb N}x_n.

Если $\{x_n\}$ не возрастает и ограничена снизу, то она сходится и $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \inf\limits_{n\in\mathbb N}x_n$ . 2. Если $\{x_n\}$ не убывает и не ограничена сверху, то $x_n\to+\infty$ ; если не возрастает и не ограничена снизу, то $x_n\to-\infty$ . 3. Следовательно, монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.

Доказательство

Развернуть

Множество значений $\{x_n : n\in\mathbb N\}$ непусто и ограничено сверху, поэтому по теореме о существовании точной верхней грани существует $M = \sup x_n$ . По критерию точной верхней грани $x_n\le M$ при всех $n$ и для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$ с $x_N > M - \varepsilon$ .

В силу монотонности при $n > N$

M - \varepsilon < x_N\le x_n\le M < M + \varepsilon,

т. е. $|x_n - M| < \varepsilon$ . Значит, $x_n\to M$ . Для невозрастающей ограниченной снизу последовательности рассуждение то же с $m = \inf x_n$ : найдётся $x_N < m + \varepsilon$ , и при $n > N$ имеем $m\le x_n\le x_N < m + \varepsilon$ .

Если $\{x_n\}$ не убывает и не ограничена сверху, то для любого $E > 0$ найдётся $N$ с $x_N > E$ , и при $n > N$ получаем $x_n\ge x_N > E$ , т. е. $x_n\to+\infty$ . Случай невозрастающей последовательности аналогичен.
Монотонная ограниченная последовательность сходится по п. 1; обратно, всякая сходящаяся последовательность ограничена по теореме об ограниченности сходящейся последовательности. $\blacksquare$

Принцип математической индукции

Формулировка

Пусть $\mathbb N = \{1, 2, 3,\dots\}$ и выполнен принцип наименьшего элемента: всякое непустое подмножество $\mathbb N$ имеет наименьший элемент (основное свойство натуральных чисел; при аксиоматическом построении $\mathbb R$ оно выводится из определения $\mathbb N$ как наименьшего индуктивного множества). Пусть $P(n)$ — предикат на $\mathbb N$ .

(Принцип индукции.) Если $P(1)$ истинно (база) и для любого $n\in\mathbb N$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ (шаг), то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ :

\Bigl(P(1)\land\forall n\in\mathbb N\ \bigl(P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr)\Bigr)\Rightarrow\forall n\in\mathbb N\ \ P(n).

(Индукция с базой $n_0$ .) Пусть $n_0\in\mathbb Z$ и $P(n)$ — предикат на множестве целых $n\ge n_0$ . Если $P(n_0)$ истинно и для любого целого $n\ge n_0$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех целых $n\ge n_0$ .
(Полная индукция.) Если $P(1)$ истинно и для любого $n\in\mathbb N$ из истинности $P(1),\dots,P(n)$ следует истинность $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Рассуждаем от противного. Пусть множество $M = \{n\in\mathbb N:\ P(n)\ \text{ложно}\}$ непусто. По принципу наименьшего элемента в $M$ есть наименьший элемент $m$ .

Так как $P(1)$ истинно, $m\ne 1$ , поэтому $m\ge 2$ и $m - 1\in\mathbb N$ . Поскольку $m - 1 < m$ и $m$ — наименьший элемент $M$ , имеем $m - 1\notin M$ , т. е. $P(m - 1)$ истинно.

По условию шага из $P(m-1)$ следует $P(m)$ , т. е. $P(m)$ истинно, что противоречит $m\in M$ . Значит, $M = \varnothing$ , и $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Пункт 2. Положим $Q(k) = P(n_0 + k - 1)$ , $k\in\mathbb N$ . Тогда $Q(1) = P(n_0)$ истинно, а при любом $k\in\mathbb N$ число $n = n_0 + k - 1\ge n_0$ , и из $Q(k) = P(n)$ следует $P(n + 1) = Q(k+1)$ . По пункту 1 $Q(k)$ истинно при всех $k$ . Любое целое $n\ge n_0$ имеет вид $n_0 + k - 1$ с $k = n - n_0 + 1\in\mathbb N$ , поэтому $P(n)$ истинно.

Пункт 3. Положим $Q(n) = P(1)\land P(2)\land\ldots\land P(n)$ . Тогда $Q(1) = P(1)$ истинно. Если $Q(n)$ истинно, то по условию истинно $P(n+1)$ , а значит, и $Q(n+1) = Q(n)\land P(n+1)$ . По пункту 1 $Q(n)$ истинно при всех $n$ , откуда истинно и каждое $P(n)$ . $\blacksquare$

Метод доказательства от противного

Формулировка

Пусть $L$ — ложное высказывание (например, $C\land\lnot C$ ).

Если истинна импликация $(A\land\lnot B)\Rightarrow L$ , то истинна импликация $A\Rightarrow B$ .
В частности, если истинна импликация $\lnot B\Rightarrow L$ , то $B$ истинно.
(Пример.) Не существует рационального числа $r$ , для которого $r^2 = 2$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Так как $L$ ложно, для любого $X$ имеем $X\lor L\equiv X$ . По формуле $(X\Rightarrow Y)\equiv(\lnot X\lor Y)$

\bigl((A\land\lnot B)\Rightarrow L\bigr)\equiv\lnot(A\land\lnot B)\lor L\equiv\lnot(A\land\lnot B).

По формуле отрицания импликации $A\land\lnot B\equiv\lnot(A\Rightarrow B)$ , поэтому $\lnot(A\land\lnot B)\equiv\lnot\lnot(A\Rightarrow B)\equiv(A\Rightarrow B)$ . Итак, $\bigl((A\land\lnot B)\Rightarrow L\bigr)\equiv(A\Rightarrow B)$ .

Пункт 2. Аналогично $(\lnot B\Rightarrow L)\equiv\lnot\lnot B\lor L\equiv B$ .

Пункт 3. Предварительно заметим: если целое $p$ нечётно, $p = 2m + 1$ , то $p^2 = 2(2m^2 + 2m) + 1$ нечётно. По теореме о связи прямой и обратной противоположной теорем отсюда следует: если $p^2$ чётно, то $p$ чётно.

Предположим противное: $r^2 = 2$ при некотором $r\in\mathbb Q$ . Запишем $r = \frac pq$ несократимой дробью, $p\in\mathbb Z$ , $q\in\mathbb N$ . Тогда $p^2 = 2q^2$ , значит, $p^2$ чётно, и по доказанному $p$ чётно: $p = 2m$ .

Подставляя, получаем $4m^2 = 2q^2$ , т. е. $q^2 = 2m^2$ , откуда $q^2$ чётно и $q$ чётно. Числа $p$ и $q$ оба чётны, что противоречит несократимости дроби $\frac pq$ . По пункту 2 предположение ложно, и рационального $r$ с $r^2 = 2$ не существует. $\blacksquare$

Теорема Больцано–Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на его концах принимает значения разных знаков:

f(a)\cdot f(b) < 0.

Тогда существует точка $c\in(a, b)$ , в которой

f(c) = 0.

Доказательство

Развернуть

Для определённости пусть $f(a) < 0 < f(b)$ (иначе рассмотрим функцию $-f$ , которая непрерывна и имеет те же нули). Построим последовательность вложенных отрезков методом деления пополам. Положим $[a_0, b_0] = [a, b]$ . Пусть построен отрезок $[a_n, b_n]$ , для которого $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ . Обозначим $m_n = \frac{a_n + b_n}2$ . Если $f(m_n) = 0$ , то $c = m_n$ — искомая точка (она лежит в $(a, b)$ ), и доказательство окончено. Если $f(m_n) > 0$ , положим $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, m_n]$ , если $f(m_n) < 0$ — положим $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [m_n, b_n]$ . В обоих случаях снова $f(a_{n+1}) < 0 < f(b_{n+1})$ .

Если процесс не оборвался, получена система вложенных отрезков $[a_0, b_0]\supset[a_1, b_1]\supset\ldots$ с длинами

b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}\le\frac{b - a}{n}

при $n\ge 1$ (так как $2^n\ge n$ ). По следствию из принципа Архимеда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $n$ с $\frac{b - a}n < \varepsilon$ , т. е. длины отрезков становятся меньше любого $\varepsilon$ . По принципу вложенных отрезков существует единственная точка $c$ , принадлежащая всем отрезкам $[a_n, b_n]$ ; ясно, что $c\in[a, b]$ .

Так как $a_n\le c\le b_n$ , то $|a_n - c|\le b_n - a_n\le\frac{b - a}n$ и $|b_n - c|\le\frac{b - a}n$ , откуда $a_n\to c$ и $b_n\to c$ . Все $a_n, b_n$ лежат в $[a, b]$ , а $f$ непрерывна в точке $c$ (как функция на $[a, b]$ ), поэтому по определению непрерывности по Гейне

f(a_n)\to f(c),\qquad f(b_n)\to f(c).

Переходя к пределу в неравенствах $f(a_n) < 0$ и $f(b_n) > 0$ , по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем $f(c)\le 0$ и $f(c)\ge 0$ , т. е. $f(c) = 0$ . Наконец, $c\ne a$ и $c\ne b$ , так как $f(a)\ne 0$ и $f(b)\ne 0$ ; значит, $c\in(a, b)$ .

Замечание. Метод даёт приближённое значение корня: середина отрезка $[a_n, b_n]$ отличается от некоторого корня не более чем на $\frac{b - a}{2^{n+1}}$ . $\blacksquare$

Несчётность множества действительных чисел

Формулировка

Отрезок $[0, 1]$ несчётен.
Множество $\mathbb R$ несчётно.
Множество иррациональных чисел $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ несчётно.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Отрезок $[0, 1]$ бесконечен: он содержит попарно различные числа $\frac1n$ , $n\in\mathbb N$ . Допустим противное: $[0, 1]$ счётен, $[0, 1] = \{x_1, x_2,\dots\}$ .

Разделим $[0, 1]$ на три равных отрезка $[0, \frac13]$ , $[\frac13, \frac23]$ , $[\frac23, 1]$ . Точка $x_1$ принадлежит не более чем двум из них, поэтому найдётся отрезок $I_1$ , не содержащий $x_1$ .

Пусть уже построен отрезок $I_n$ длины $3^{-n}$ . Разделим его на три равных отрезка; хотя бы один из них не содержит $x_{n+1}$ — обозначим его $I_{n+1}$ . Получаем систему вложенных отрезков $I_1\supset I_2\supset\ldots$ , причём $x_n\notin I_n$ при всех $n$ .

По принципу вложенных отрезков существует точка $c\in\bigcap_nI_n\subset[0, 1]$ . По предположению $c = x_m$ при некотором $m$ . Но $x_m\notin I_m$ , тогда как $c\in I_m$ , — противоречие. Значит, $[0, 1]$ несчётен.

Пункт 2. Если бы $\mathbb R$ было счётно, то его бесконечное подмножество $[0, 1]$ было бы счётно по теореме о свойствах счётных множеств, что противоречит пункту 1.

Пункт 3. Если бы $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ было не более чем счётно, то $\mathbb R = \mathbb Q\cup(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$ было бы объединением двух не более чем счётных множеств, одно из которых ( $\mathbb Q$ ) бесконечно, т. е. счётным множеством по теореме о свойствах счётных множеств. Это противоречит пункту 2. $\blacksquare$

Принцип Больцано–Вейерштрасса

Формулировка

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность; иначе говоря, ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел.
Всякое бесконечное ограниченное множество $X\subset\mathbb R$ имеет хотя бы одну конечную предельную точку.
Из всякой последовательности, не ограниченной сверху, можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к $+\infty$ (из не ограниченной снизу — к $-\infty$ ). В частности, из неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|x_n|\le C$ при всех $n$ , $[a_0, b_0] = [-C, C]$ ; этот отрезок содержит $x_n$ при всех $n$ . Разделим его пополам. Хотя бы одна из половин содержит $x_n$ для бесконечного множества номеров $n$ (иначе обе половины содержали бы члены лишь с конечным числом номеров, а всех номеров бесконечно много). Обозначим такую половину (левую, если подходят обе) $[a_1, b_1]$ .

Продолжая, получим систему вложенных отрезков $[a_k, b_k]$ длины $b_k - a_k = \frac{2C}{2^k}$ , каждый из которых содержит $x_n$ для бесконечного множества номеров. По принципу вложенных отрезков существует точка $c$ , принадлежащая всем $[a_k, b_k]$ .

Выберем номер $n_1$ с $x_{n_1}\in[a_1, b_1]$ , затем $n_2 > n_1$ с $x_{n_2}\in[a_2, b_2]$ , и вообще $n_k > n_{k-1}$ с $x_{n_k}\in[a_k, b_k]$ — это возможно, так как подходящих номеров бесконечно много. Получаем подпоследовательность, для которой, поскольку $x_{n_k}$ и $c$ лежат в $[a_k, b_k]$ ,

0\le|x_{n_k} - c|\le b_k - a_k = 2C\left(\frac12\right)^k.

По лемме об основных пределах $\left(\frac12\right)^k\to 0$ , и по теореме о трёх последовательностях $x_{n_k}\to c$ .

Так как $X$ бесконечно, можно по индукции выбрать попарно различные точки $x_n\in X$ (множество $X\setminus\{x_1, \ldots, x_{n-1}\}$ непусто). Последовательность $\{x_n\}$ ограничена, и по п. 1 существует подпоследовательность $x_{n_k}\to c\in\mathbb R$ . Её члены попарно различны, поэтому по теореме о предельной точке множества как пределе последовательности $c$ — предельная точка $X$ .
Пусть $\{x_n\}$ не ограничена сверху. Тогда для любых $M$ и $N$ найдётся $n > N$ с $x_n > M$ : иначе $x_n\le\max(M, x_1, \ldots, x_N)$ при всех $n$ . Выберем $n_1$ с $x_{n_1} > 1$ и далее $n_k > n_{k-1}$ с $x_{n_k} > k$ . Для $E > 0$ при $k > E$ имеем $x_{n_k} > k > E$ , т. е. $x_{n_k}\to+\infty$ . Случай неограниченности снизу аналогичен. Неограниченная последовательность не ограничена сверху или снизу, и построенная подпоследовательность стремится к $+\infty$ или к $-\infty$ , а значит, бесконечно большая. $\blacksquare$

Точки разрыва монотонной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ монотонна на промежутке $I$ . Тогда:

каждая точка разрыва $f$ является точкой разрыва первого рода: во внутренней точке это скачок, а в принадлежащем $I$ конце промежутка соответствующий односторонний предел конечен (но отличен от $f(x_0)$ ); при этом для неубывающей $f$ во внутренней точке разрыва $x_0$

f(x_0 - 0)\le f(x_0)\le f(x_0 + 0),\qquad f(x_0 - 0) < f(x_0 + 0);

множество точек разрыва $f$ не более чем счётно.

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f$ не убывает (иначе рассмотрим $-f$ : у неё те же точки разрыва). Возьмём внутреннюю точку $x_0$ промежутка $I$ . По лемме об односторонних пределах монотонной функции существуют конечные $f(x_0 - 0)$ и $f(x_0 + 0)$ , и $f(x_0 - 0)\le f(x_0)\le f(x_0 + 0)$ . Если $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$ , то оба односторонних предела равны $f(x_0)$ , и по теореме о связи непрерывности с односторонней непрерывностью $f$ непрерывна в $x_0$ . Значит, в точке разрыва $f(x_0 - 0) < f(x_0 + 0)$ : оба односторонних предела конечны и различны — это скачок, т. е. разрыв первого рода (устранимого разрыва быть не может).

Если $x_0$ — конец промежутка, принадлежащий $I$ , например левый, то непрерывность в $x_0$ на $I$ означает непрерывность справа. По той же лемме существует конечный $f(x_0 + 0)\ge f(x_0)$ , и разрыв возможен только при $f(x_0) < f(x_0 + 0)$ : односторонний предел конечен, но не равен $f(x_0)$ — разрыв первого рода в широком смысле (по классификации, проводимой по одностороннему пределу, — устранимый, но не второго рода). Аналогично для правого конца.

Для доказательства п. 2 обозначим через $D$ множество внутренних точек разрыва. Каждой точке $x\in D$ сопоставим непустой интервал

J_x = \bigl(f(x - 0),\ f(x + 0)\bigr).

При $x < y$ , $x, y\in D$ , по лемме $f(x + 0)\le f(y - 0)$ , поэтому интервалы $J_x$ и $J_y$ не пересекаются.

По следствию из принципа Архимеда (плотность $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ ) в каждом интервале $J_x$ найдётся рациональное число; выберем одно из них и обозначим $r(x)$ . Так как интервалы попарно не пересекаются, отображение $r: D\to\mathbb Q$ инъективно, и $D$ равномощно множеству $r(D)\subset\mathbb Q$ .

Множество $\mathbb Q$ счётно, а всякое подмножество счётного множества конечно или счётно (бесконечное подмножество счётного множества счётно). Поэтому $D$ не более чем счётно. Добавление к $D$ не более чем двух концов промежутка не меняет этого вывода. $\blacksquare$

Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\overline{\mathbb R}$ — предельная точка $X$ , $A\in\overline{\mathbb R}$ . Тогда $A$ является пределом $f$ при $x\to a$ по Коши тогда и только тогда, когда $A$ является пределом $f$ при $x\to a$ по Гейне.

Доказательство

Развернуть

Будем пользоваться языком окрестностей: $x_n\to a$ означает, что $\forall\delta > 0\ \exists N\ \forall n > N$ : $x_n\in U_\delta(a)$ ; это охватывает и конечные, и бесконечные $a$ .

Коши $\Rightarrow$ Гейне. Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ по Коши, и $(x_n)$ — последовательность с $x_n\in X$ , $x_n\ne a$ , $x_n\to a$ . Возьмём $\varepsilon > 0$ и по определению Коши найдём $\delta > 0$ с $f(\dot U_\delta(a)\cap X)\subset U_\varepsilon(A)$ . Так как $x_n\to a$ , существует $N$ такое, что $x_n\in U_\delta(a)$ при $n > N$ ; поскольку $x_n\ne a$ и $x_n\in X$ , имеем $x_n\in\dot U_\delta(a)\cap X$ , откуда $f(x_n)\in U_\varepsilon(A)$ при $n > N$ . Значит, $f(x_n)\to A$ .

Гейне $\Rightarrow$ Коши. Докажем от противного. Пусть $A$ — предел по Гейне, но не по Коши. Построив отрицание определения Коши, получим:

\exists\varepsilon_0 > 0\ \forall\delta > 0\ \exists x\in\dot U_\delta(a)\cap X:\quad f(x)\notin U_{\varepsilon_0}(A).

Применим это при $\delta = \frac1n$ , $n\in\mathbb N$ : найдутся точки $x_n\in\dot U_{1/n}(a)\cap X$ с $f(x_n)\notin U_{\varepsilon_0}(A)$ . По построению $x_n\in X$ и $x_n\ne a$ .

Проверим, что $x_n\to a$ . Пусть дано $\delta > 0$ ; по следствию принципа Архимеда найдётся $N$ с $\frac1N < \delta$ . Окрестности $U_\eta(a)$ вложены друг в друга при уменьшении $\eta$ (для конечного $a$ это интервалы $(a - \eta, a + \eta)$ , для $a = +\infty$ — лучи $(\frac1\eta, +\infty)$ , и т. д.), поэтому при $n > N$ имеем $x_n\in U_{1/n}(a)\subset U_\delta(a)$ .

Итак, $(x_n)$ удовлетворяет условиям определения Гейне, но $f(x_n)\notin U_{\varepsilon_0}(A)$ ни при каком $n$ , т. е. $f(x_n)\not\to A$ . Это противоречит тому, что $A$ — предел по Гейне. Значит, $A$ — предел и по Коши. $\blacksquare$

Второй замечательный предел

Формулировка

\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e,\qquad \lim_{t\to 0}(1 + t)^{1/t} = e .

(Первая функция определена при $x\in(-\infty, -1)\cup(0, +\infty)$ , вторая — при $t\in(-1, 0)\cup(0, +\infty)$ .)

Доказательство

Развернуть

Вспомогательные последовательности. По теореме о числе $e$ имеем $c_n = \left(1 + \frac1n\right)^n\to e$ . Тогда по теореме об арифметических операциях с пределами последовательностей

a_n = \left(1 + \frac1n\right)^{n + 1} = c_n\left(1 + \frac1n\right)\to e,\qquad b_n = \left(1 + \frac1{n + 1}\right)^n = \frac{c_{n + 1}}{1 + \frac1{n + 1}}\to e

(последовательность $c_{n + 1}$ имеет тот же предел, что и $c_n$ ).

Неравенство с целой частью. Пусть $x\ge 1$ и $n = [x]\in\mathbb N$ (целая часть существует по следствию принципа Архимеда), так что $n\le x < n + 1$ . Тогда $1 + \frac1{n + 1} < 1 + \frac1x\le 1 + \frac1n$ . Степенная функция $s^x$ ( $x > 0$ ) возрастает по основанию $s > 0$ , а показательная $s^y$ при $s > 1$ возрастает по показателю $y$ , поэтому

b_n = \left(1 + \frac1{n + 1}\right)^n\le\left(1 + \frac1{n + 1}\right)^x < \left(1 + \frac1x\right)^x\le\left(1 + \frac1n\right)^x < \left(1 + \frac1n\right)^{n + 1} = a_n .

Предел при $x\to +\infty$ . Пусть дано $\varepsilon > 0$ . Найдётся $N\in\mathbb N$ такое, что $|a_n - e| < \varepsilon$ и $|b_n - e| < \varepsilon$ при всех $n\ge N$ . Если $x > N$ , то $n = [x]\ge N$ , и из неравенства выше

e - \varepsilon < b_n < \left(1 + \frac1x\right)^x < a_n < e + \varepsilon .

Значит, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e$ .

Предел при $x\to -\infty$ . Пусть $x < -1$ и $z = -x - 1 > 0$ . Тогда $1 + \frac1x = \frac{x + 1}x = \frac z{z + 1}$ , и

\left(1 + \frac1x\right)^x = \left(\frac{z + 1}z\right)^{z + 1} = \left(1 + \frac1z\right)^z\left(1 + \frac1z\right) = \varphi(z).

По доказанному и теореме о пределе произведения $\varphi(z)\to e\cdot 1 = e$ при $z\to +\infty$ . Функция $z(x) = -x - 1\to +\infty$ при $x\to -\infty$ , и по теореме о пределе сложной функции (предельное значение $+\infty$ бесконечно, условие (а) выполнено) $\left(1 + \frac1x\right)^x\to e$ при $x\to -\infty$ .

Предел при $x\to\infty$ . Для $\varepsilon > 0$ найдём $\Delta_1$ и $\Delta_2$ такие, что $\left|\left(1 + \frac1x\right)^x - e\right| < \varepsilon$ при $x > \Delta_1$ и при $x < -\Delta_2$ . При $|x| > \max\{\Delta_1, \Delta_2\}$ неравенство выполнено для всех $x$ из области определения.

Предел при $t\to 0$ . Имеем $(1 + t)^{1/t} = \left(1 + \frac1x\right)^x$ при $x = \frac1t$ . При $t\to 0 + 0$ функция $x = \frac1t\to +\infty$ , а при $t\to 0 - 0$ (где $-1 < t < 0$ ) $x = \frac1t\to -\infty$ , причём $x < -1$ . По теореме о пределе сложной функции оба односторонних предела $(1 + t)^{1/t}$ при $t\to 0$ равны $e$ , и по теореме о связи двустороннего предела с односторонними $\lim\limits_{t\to 0}(1 + t)^{1/t} = e$ . $\blacksquare$

Предельная точка множества как предел последовательности

Формулировка

Пусть $X\subset\mathbb R$ , $a\in\mathbb R$ . Следующие условия равносильны:

$a$ — предельная точка множества $X$ ;
в любой окрестности точки $a$ содержится бесконечно много точек множества $X$ ;
существует последовательность $\{x_n\}$ попарно различных точек $X$ такая, что $x_n\to a$ ;
существует последовательность $\{x_n\}$ точек $X$ такая, что $x_n\ne a$ при всех $n$ и $x_n\to a$ .

Аналогично, $+\infty$ — предельная точка $X$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $x_n\in X$ , $x_n\to+\infty$ (и тогда её можно выбрать строго возрастающей).

Доказательство

Развернуть

1 ⇒ 3. Построим $x_n$ по индукции. По определению найдётся $x_1\in X$ с $0 < |x_1 - a| < 1$ . Если $x_1, \ldots, x_{n-1}$ построены, положим $\delta_n = \min\left(\frac1n, |x_{n-1} - a|\right) > 0$ и выберем $x_n\in X$ с $0 < |x_n - a| < \delta_n$ . Тогда расстояния $|x_n - a|$ строго убывают, так что точки $x_n$ попарно различны, и $|x_n - a| < \frac1n$ . Для $\varepsilon > 0$ по следствию из принципа Архимеда найдётся $N$ с $\frac1N < \varepsilon$ , и при $n > N$ получаем $|x_n - a| < \frac1n < \varepsilon$ . Итак, $x_n\to a$ .

3 ⇒ 2. Пусть $U$ — окрестность $a$ . Все $x_n$ с $n > N$ при некотором $N$ лежат в $U$ , а они попарно различны; значит, в $U$ бесконечно много точек $X$ .

2 ⇒ 1. В окрестности $U_\delta(a)$ бесконечно много точек $X$ , поэтому среди них есть точка, отличная от $a$ , т. е. $\mathring U_\delta(a)\cap X\ne\varnothing$ для любого $\delta > 0$ .

Наконец, 3 ⇒ 4: среди попарно различных $x_n$ не более одного равно $a$ , его можно выбросить. 4 ⇒ 1: для $\delta > 0$ при больших $n$ имеем $0 < |x_n - a| < \delta$ , т. е. $x_n\in\mathring U_\delta(a)\cap X$ .

Случай $+\infty$ . Если $+\infty$ — предельная точка $X$ , то $X$ не ограничено сверху; выберем $x_1\in X$ с $x_1 > 1$ и далее $x_n\in X$ с $x_n > \max(n, x_{n-1})$ . Получим строго возрастающую последовательность с $x_n > n$ , т. е. $x_n\to+\infty$ . Обратно, если $x_n\in X$ , $x_n\to+\infty$ , то для любого $M$ найдётся $x_n > M$ , т. е. окрестность $(M, +\infty)$ содержит точки $X$ . $\blacksquare$

Подпоследовательности сходящейся последовательности

Формулировка

Если $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a$ ( $a$ конечное или $\pm\infty$ ), то любая подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ имеет тот же предел $a$ . В частности, сходящаяся последовательность имеет единственный частичный предел, а последовательность с двумя различными частичными пределами расходится.
Точка $a$ (конечная или $\pm\infty$ ) является частичным пределом $\{x_n\}$ тогда и только тогда, когда в любой окрестности $U(a)$ лежат члены $x_n$ с бесконечным множеством номеров $n$ .
Ограниченная последовательность сходится к $a$ тогда и только тогда, когда каждый её частичный предел равен $a$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $U(a)$ — окрестность, и $x_n\in U(a)$ при $n > N$ . Так как $n_k\ge k$ , при $k > N$ имеем $n_k > N$ и $x_{n_k}\in U(a)$ . Значит, $x_{n_k}\to a$ . Если бы сходящаяся к $a$ последовательность имела частичный предел $b\ne a$ , то некоторая подпоследовательность стремилась бы и к $a$ , и к $b$ , что противоречит единственности предела.
Если $x_{n_k}\to a$ , то для любой окрестности $U(a)$ все $x_{n_k}$ с $k > K$ лежат в $U(a)$ , а номера $n_k$ попарно различны — их бесконечно много. Обратно, пусть условие выполнено. Для конечного $a$ положим $U_k = (a - \frac1k, a + \frac1k)$ , для $a = +\infty$ — $U_k = (k, +\infty)$ , для $a = -\infty$ — $U_k = (-\infty, -k)$ . Выберем $n_1$ с $x_{n_1}\in U_1$ и далее $n_k > n_{k-1}$ с $x_{n_k}\in U_k$ (номеров с $x_n\in U_k$ бесконечно много, поэтому есть и больший $n_{k-1}$ ). Для конечного $a$ имеем $|x_{n_k} - a| < \frac1k$ , откуда по следствию из принципа Архимеда $x_{n_k}\to a$ ; для $a = \pm\infty$ получаем $x_{n_k} > k$ (соответственно $x_{n_k} < -k$ ), т. е. $x_{n_k}\to\pm\infty$ .
Необходимость следует из п. 1. Достаточность: пусть $\{x_n\}$ ограничена, все её частичные пределы равны $a$ , но $x_n\not\to a$ . Тогда найдётся $\varepsilon_0 > 0$ такое, что $|x_n - a|\ge\varepsilon_0$ для бесконечного множества номеров; выписывая эти члены в порядке возрастания номеров, получим подпоследовательность $\{x_{m_j}\}$ с $|x_{m_j} - a|\ge\varepsilon_0$ .

Она ограничена, и по принципу Больцано–Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{m_{j_i}}\to b$ ; это и подпоследовательность $\{x_n\}$ , так что $b$ — частичный предел и по условию $b = a$ . Но если бы $b$ лежало в интервале $(a - \varepsilon_0, a + \varepsilon_0)$ , то по теореме о сохранении знака (предельный переход в неравенствах) члены $x_{m_{j_i}}$ с большими номерами тоже лежали бы в нём; значит, $|b - a|\ge\varepsilon_0$ , т. е. $b\ne a$ . Противоречие.

Ограниченность в п. 3 существенна: у $x_n = n$ при нечётных $n$ и $x_n = 0$ при чётных единственный конечный частичный предел $0$ , но последовательность расходится. $\blacksquare$

Основные пределы последовательностей

Формулировка

Если $|q| < 1$ , то $q^n\to 0$ ; если $|q| > 1$ , то $q^n\to\infty$ (при $q > 1$ — к $+\infty$ ).
Если $a > 0$ , то

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a = 1.

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n = 1$ .
Если $a > 1$ и $k\in\mathbb N$ , то

\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n} = 0.

Для любого $a\in\mathbb R$

\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|q| > 1$ , $|q| = 1 + h$ , $h > 0$ . По неравенству Бернулли $|q|^n = (1 + h)^n\ge 1 + nh > nh$ . Для $E > 0$ по следствию из принципа Архимеда найдётся $N > \frac Eh$ , и при $n > N$ имеем $|q^n| > nh > E$ . Итак, $q^n\to\infty$ (при $q > 1$ члены положительны, поэтому $q^n\to+\infty$ ). Если $0 < |q| < 1$ , то $\left|\frac1q\right| > 1$ , и $\frac1{q^n}\to\infty$ , откуда $q^n\to 0$ по свойству связи бесконечно малых и бесконечно больших. При $q = 0$ утверждение тривиально.
Пусть $a > 1$ . Тогда $\sqrt[n]a > 1$ ; положим $\sqrt[n]a = 1 + h_n$ , $h_n > 0$ . По неравенству Бернулли $a = (1 + h_n)^n\ge 1 + nh_n$ , откуда $0 < h_n\le\frac{a - 1}n$ . Так как $\frac{a - 1}n\to 0$ , по теореме о трёх последовательностях $h_n\to 0$ , т. е. $\sqrt[n]a\to 1$ . При $a = 1$ всё тривиально. Если $0 < a < 1$ , то $b = \frac1a > 1$ и $\sqrt[n]b = 1 + h_n$ с $h_n\to 0$ ; тогда

0 < 1 - \sqrt[n]a = 1 - \frac1{1 + h_n} = \frac{h_n}{1 + h_n} < h_n,

и снова $\sqrt[n]a\to 1$ по теореме о трёх последовательностях.

При $n\ge 2$ положим $\sqrt[n]n = 1 + h_n$ , $h_n\ge 0$ . По формуле бинома Ньютона, оставляя из неотрицательных слагаемых лишь одно,

n = (1 + h_n)^n\ge C_n^2h_n^2 = \frac{n(n - 1)}2h_n^2,

откуда $0\le h_n\le\sqrt{\frac2{n - 1}}$ . Для $\varepsilon > 0$ при $n > 1 + \frac2{\varepsilon^2}$ получаем $\sqrt{\frac2{n - 1}} < \varepsilon$ ; значит, $h_n\to 0$ и $\sqrt[n]n\to 1$ .

Пусть $a = 1 + h$ , $h > 0$ , и $n\ge 2k + 2$ . По формуле бинома $a^n\ge C_n^{k+1}h^{k+1}$ . При $j\le k$ имеем $n - j\ge n - k\ge\frac n2$ , поэтому

C_n^{k+1} = \frac{n(n - 1)\cdots(n - k)}{(k + 1)!}\ge\frac{n^{k+1}}{2^{k+1}(k + 1)!}.

Следовательно,

0 < \frac{n^k}{a^n}\le\frac{2^{k+1}(k + 1)!}{h^{k+1}}\cdot\frac1n.

Справа — постоянная, умноженная на бесконечно малую $\frac1n$ , т. е. бесконечно малая; по теореме о трёх последовательностях $\frac{n^k}{a^n}\to 0$ .

При $a = 0$ утверждение очевидно; пусть $a\ne 0$ . Зафиксируем натуральное $m\ge 2|a|$ и положим $q = \frac{|a|}{m + 1} < \frac12$ . При $n > m$

\frac{|a|^n}{n!} = \frac{|a|^m}{m!}\cdot\frac{|a|}{m + 1}\cdots\frac{|a|}n\le\frac{|a|^m}{m!}q^{n - m} = \frac{|a|^m}{m!\,q^m}\,q^n.

Правая часть — постоянная, умноженная на бесконечно малую $q^n$ (п. 1), т. е. бесконечно малая. По теореме о трёх последовательностях $\frac{|a|^n}{n!}\to 0$ , а значит, и $\frac{a^n}{n!}\to 0$ (модули совпадают). $\blacksquare$

Множества. Действительные числа

Свойства операций над множествами

Формулировка

Доказательство

Свойства модуля. Неравенство треугольника

Формулировка

Доказательство

Существование точной верхней грани

Формулировка

Доказательство

Критерий точной верхней грани

Формулировка

Доказательство

Принцип вложенных отрезков (Коши–Кантора)

Формулировка

Доказательство

Принцип Архимеда

Формулировка

Доказательство

Следствия из принципа Архимеда

Формулировка

Доказательство

Тождества с множествами

Условие

Решение

Точные грани числовых множеств

Условие

Решение

Существование числа √2

Условие

Решение

Плотность иррациональных чисел

Условие

Решение

Существенность условий принципа вложенных отрезков

Условие

Решение

Точная верхняя грань суммы множеств

Условие

Решение

Неравенства с модулем и окрестности

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Множества и операции над ними

Аксиоматика множества действительных чисел

Натуральные, целые и рациональные числа в R

Модуль действительного числа

Промежутки. Окрестности конечной точки и бесконечности

Ограниченные и неограниченные множества

Точные верхняя и нижняя грани множества

Высказывания и логические операции

Отрицание высказываний: законы де Моргана

Формулировка

Доказательство

Построение отрицания высказываний с кванторами

Формулировка

Доказательство

Свойства образа и прообраза множества

Формулировка

Доказательство

Арифметические операции с пределами последовательностей

Формулировка

Доказательство

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Формулировка

Доказательство

Ограниченность сходящейся последовательности

Формулировка

Доказательство

Свойства бесконечно малых последовательностей

Формулировка

Доказательство

Теорема о промежуточных значениях

Формулировка

Доказательство

Односторонние пределы монотонной функции

Формулировка

Доказательство