Монотонность и экстремумы функции

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Необходимые и достаточные условия монотонности
Доказательство неравенств с помощью производной
Необходимое условие локального экстремума
Достаточное условие экстремума по первой производной
Достаточное условие экстремума по второй производной
Достаточное условие экстремума по n-й производной
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

теорема

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во всех его внутренних точках (множество внутренних точек обозначим $\mathring X$ ).

$f$ не убывает на $X$ тогда и только тогда, когда

f'(x)\ge 0\quad\text{для всех } x\in\mathring X;

аналогично $f$ не возрастает на $X$ $\iff$ $f'(x)\le 0$ на $\mathring X$ . 2. Если $f'(x) > 0$ на $\mathring X$ , то $f$ строго возрастает на $X$ (если $f' < 0$ — строго убывает). Обратное неверно: $f(x) = x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , но $f'(0) = 0$ . 3. (Критерий строгой монотонности.) $f$ строго возрастает на $X$ тогда и только тогда, когда $f'(x)\ge 0$ на $\mathring X$ и $f'$ не обращается тождественно в нуль ни на каком интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость в пункте 1. Пусть $f$ не убывает на $X$ и $x\in\mathring X$ . Для всех достаточно малых $h\ne 0$ точка $x + h\in X$ , и разностное отношение $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\ge 0$ : при $h > 0$ числитель неотрицателен, при $h < 0$ неположителен. Переходя к пределу в неравенстве при $h\to 0$ , получаем $f'(x)\ge 0$ .

Достаточность в пунктах 1 и 2. Пусть $x_1, x_2\in X$ , $x_1 < x_2$ . На отрезке $[x_1, x_2]$ функция $f$ непрерывна, а на $(x_1, x_2)\subset\mathring X$ дифференцируема. По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\quad c\in(x_1, x_2).

Если $f'\ge 0$ на $\mathring X$ , то $f(x_2)\ge f(x_1)$ ; если $f' > 0$ , то $f(x_2) > f(x_1)$ . Случай невозрастания получается заменой $f$ на $-f$ .

Необходимость в пункте 3. Если $f$ строго возрастает, то по пункту 1 $f'\ge 0$ на $\mathring X$ . Если бы $f'\equiv 0$ на некотором интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ , то по следствию теоремы Лагранжа $f$ была бы постоянной на $(\alpha, \beta)$ , что противоречит строгому возрастанию.

Достаточность в пункте 3. По пункту 1 $f$ не убывает. Пусть $f$ не является строго возрастающей: $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1 < x_2$ . Тогда для $x\in[x_1, x_2]$ из монотонности $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) = f(x_1)$ , т. е. $f$ постоянна на $[x_1, x_2]$ и $f'\equiv 0$ на $(x_1, x_2)$ — противоречие с условием. $\blacksquare$

лемма

Доказательство неравенств с помощью производной

Формулировка

Пусть функции $f$ и $g$ непрерывны на $[a, b)$ (где $b\le+\infty$ ), дифференцируемы на $(a, b)$ и

f(a)\ge g(a),\qquad f'(x) > g'(x)\quad\text{при } x\in(a, b).

Тогда $f(x) > g(x)$ при всех $x\in(a, b)$ . Если вместо строгого неравенства для производных выполнено $f'(x)\ge g'(x)$ , то $f(x)\ge g(x)$ на $[a, b)$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим $h = f - g$ . Она непрерывна на промежутке $[a, b)$ , дифференцируема в его внутренних точках и $h'(x) = f'(x) - g'(x) > 0$ на $(a, b)$ .

По достаточному условию строгой монотонности $h$ строго возрастает на $[a, b)$ . Поэтому при $x\in(a, b)$

h(x) > h(a) = f(a) - g(a)\ge 0,

т. е. $f(x) > g(x)$ .

Если $h'\ge 0$ , то $h$ не убывает на $[a, b)$ по критерию монотонности, и $h(x)\ge h(a)\ge 0$ . $\blacksquare$

теорема

Необходимое условие локального экстремума

Формулировка

Если $a$ — точка локального экстремума функции $f$ (функция определена в окрестности $a$ ), то $a$ — критическая точка $f$ : либо

f'(a) = 0,

либо конечная производная $f'(a)$ не существует. Более того, бесконечной производной определённого знака ( $f'(a) = +\infty$ или $f'(a) = -\infty$ ) в точке экстремума быть не может; производная $f'(a) = \infty$ без определённого знака возможна: $f(x) = \sqrt{|x|}$ имеет в точке $0$ минимум и $f'(0) = \infty$ .

Условие не является достаточным: для $f(x) = x^3$ и $f(x) = \sqrt[3]x$ точка $0$ критическая, но экстремумом не является.

Доказательство

Развернуть

Если конечная производная $f'(a)$ существует, то, поскольку $a$ — внутренняя точка экстремума, по теореме Ферма $f'(a) = 0$ . Иначе конечной производной нет. В обоих случаях $a$ — критическая точка.

Пусть, например, $a$ — точка локального максимума: $f(a + h)\le f(a)$ при $|h| < \delta$ . Тогда $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\le 0$ при $0 < h < \delta$ и $\ge 0$ при $-\delta < h < 0$ . Если бы $f'(a) = +\infty$ , то правые разностные отношения были бы положительны при малых $h > 0$ ; если бы $f'(a) = -\infty$ , то левые разностные отношения были бы отрицательны при малых $h < 0$ . Оба случая невозможны. Для минимума рассуждение аналогично.

Для $f(x) = x^3$ : $f'(0) = 0$ , но $f(x) < 0 = f(0) < f(y)$ при $x < 0 < y$ . Для $\sqrt[3]x$ производная в нуле бесконечна, и функция строго возрастает. Для $f(x) = \sqrt{|x|}$ имеем $f(x)\ge 0 = f(0)$ (минимум), а $\left|\frac{f(h) - f(0)}{h}\right| = \frac{1}{\sqrt{|h|}}\to+\infty$ при $h\to 0$ , т. е. $f'(0) = \infty$ ; при этом правое и левое разностные отношения имеют разные знаки, что согласуется с доказанным. $\blacksquare$

теорема

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ и дифференцируема в проколотой окрестности $(a - \delta, a)\cup(a, a + \delta)$ .

Если $f'(x) > 0$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f'(x) < 0$ при $x\in(a, a + \delta)$ (производная меняет знак с « $+$ » на « $-$ »), то $a$ — точка строгого локального максимума.
Если $f' < 0$ на $(a - \delta, a)$ и $f' > 0$ на $(a, a + \delta)$ (смена знака с « $-$ » на « $+$ »), то $a$ — точка строгого локального минимума.
Если $f'$ имеет один и тот же знак на $(a - \delta, a)$ и на $(a, a + \delta)$ , то экстремума в точке $a$ нет.

Доказательство

Развернуть

Функция $f$ дифференцируема, а значит, непрерывна на $(a - \delta, a)$ и непрерывна в точке $a$ ; поэтому для любого $x\in(a - \delta, a)$ она непрерывна на $[x, a]$ и дифференцируема на $(x, a)$ . Аналогично для $x\in(a, a+\delta)$ и отрезка $[a, x]$ .

Пункт 1. Для $x\in(a - \delta, a)$ по теореме Лагранжа

f(a) - f(x) = f'(c)(a - x) > 0,\quad c\in(x, a),

так как $f'(c) > 0$ . Для $x\in(a, a + \delta)$ :

f(x) - f(a) = f'(c)(x - a) < 0,\quad c\in(a, x).

Итак, $f(x) < f(a)$ при всех $x\ne a$ из окрестности — строгий максимум.

Пункт 2 получается применением пункта 1 к функции $-f$ .

Пункт 3. Пусть $f' > 0$ с обеих сторон. Те же оценки дают $f(x) < f(a)$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f(x) > f(a)$ при $x\in(a, a+\delta)$ , так что в любой окрестности $a$ есть значения как меньше, так и больше $f(a)$ ; экстремума нет. Случай $f' < 0$ аналогичен. $\blacksquare$

теорема

Достаточное условие экстремума по второй производной

Формулировка

Пусть функция $f$ дважды дифференцируема в точке $a$ и

f'(a) = 0.

Если $f''(a) > 0$ , то $a$ — точка строгого локального минимума; если $f''(a) < 0$ — точка строгого локального максимума. При $f''(a) = 0$ вывод сделать нельзя (функции $x^3$ , $x^4$ , $-x^4$ в точке $0$ ).

Доказательство

Развернуть

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано порядка $2$ с учётом $f'(a) = 0$

f(x) - f(a) = \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2 + o((x - a)^2) = (x - a)^2\left(\frac{f''(a)}{2} + \alpha(x)\right),

где $\alpha(x)\to 0$ при $x\to a$ .

Выражение в скобках стремится к $\frac{f''(a)}{2}\ne 0$ , поэтому по теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, оно имеет знак $f''(a)$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ .

Так как $(x - a)^2 > 0$ при $x\ne a$ , в этой окрестности разность $f(x) - f(a)$ имеет знак $f''(a)$ : при $f''(a) > 0$ имеем $f(x) > f(a)$ (строгий минимум), при $f''(a) < 0$ имеем $f(x) < f(a)$ (строгий максимум).

Для $x^3$ , $x^4$ , $-x^4$ в нуле $f' = f'' = 0$ , а в нуле соответственно нет экстремума, минимум и максимум. $\blacksquare$

теорема

Достаточное условие экстремума по n-й производной

Формулировка

Пусть $n\ge 2$ , функция $f$ дифференцируема $n$ раз в точке $a$ ,

f'(a) = f''(a) = \ldots = f^{(n-1)}(a) = 0,\qquad f^{(n)}(a)\ne 0.

Если $n$ чётно, то $a$ — точка строгого локального экстремума: минимума при $f^{(n)}(a) > 0$ и максимума при $f^{(n)}(a) < 0$ .
Если $n$ нечётно, то экстремума в точке $a$ нет.

Доказательство

Развернуть

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано порядка $n$ , учитывая равенство нулю производных до порядка $n - 1$ ,

f(x) - f(a) = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o((x-a)^n) = (x - a)^n\left(\frac{f^{(n)}(a)}{n!} + \alpha(x)\right),\quad\alpha(x)\to 0.

По теореме о знакопостоянстве найдётся $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x - a| < \delta$ скобка имеет знак числа $f^{(n)}(a)$ .

Если $n$ чётно, то $(x - a)^n > 0$ при $x\ne a$ , и знак $f(x) - f(a)$ в проколотой $\delta$ -окрестности совпадает со знаком $f^{(n)}(a)$ : при $f^{(n)}(a) > 0$ это строгий минимум, при $f^{(n)}(a) < 0$ — строгий максимум.

Если $n$ нечётно, то $(x - a)^n$ меняет знак при переходе через $a$ , следовательно, и $f(x) - f(a)$ принимает в любой окрестности точки $a$ значения обоих знаков; экстремума нет. $\blacksquare$

теорема

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ . Тогда она достигает на $[a, b]$ наибольшего и наименьшего значений, и каждое из них достигается либо на конце отрезка, либо в критической точке $f$ из интервала $(a, b)$ .
Алгоритм. Если критических точек в $(a, b)$ конечное число $x_1, \ldots, x_k$ , то

\max_{[a, b]}f = \max\{f(a), f(x_1), \ldots, f(x_k), f(b)\},\qquad \min_{[a, b]}f = \min\{f(a), f(x_1), \ldots, f(x_k), f(b)\}.

Если функция $f$ непрерывна на произвольном промежутке $X$ и имеет во внутренних точках $X$ единственную точку локального экстремума $x_0$ , являющуюся точкой строгого локального максимума (минимума), то $f(x_0)$ — наибольшее (наименьшее) значение $f$ на $X$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По второй теореме Вейерштрасса существуют $c, d\in[a, b]$ , в которых $f(c) = \max_{[a,b]}f$ , $f(d) = \min_{[a,b]}f$ . Если $c\in(a, b)$ , то $c$ — внутренняя точка и $f(c)\ge f(x)$ для всех $x$ из некоторой окрестности $c$ , т. е. $c$ — точка локального максимума; по необходимому условию экстремума $c$ — критическая точка. Иначе $c$ — конец отрезка. Для $d$ аналогично.

Пункт 2. По пункту 1 наибольшее значение есть одно из чисел $f(a), f(x_1), \ldots, f(x_k), f(b)$ , и оно не меньше любого из них (все они — значения функции на $[a, b]$ ); значит, оно равно их максимуму. Для минимума аналогично.

Пункт 3. Пусть $x_0$ — точка строгого локального максимума и предположим, что $f(x_1)\ge f(x_0)$ для некоторого $x_1\in X$ , $x_1\ne x_0$ ; пусть для определённости $x_1 > x_0$ . На отрезке $[x_0, x_1]$ функция $f$ по теореме Вейерштрасса достигает наименьшего значения $m$ в некоторой точке $\xi$ .

Так как $x_0$ — точка строгого максимума, найдутся точки $x\in(x_0, x_1)$ сколь угодно близко к $x_0$ с $f(x) < f(x_0)\le f(x_1)$ ; поэтому $m < f(x_0)$ и $m < f(x_1)$ , и $\xi\in(x_0, x_1)$ . Тогда $\xi$ — внутренняя точка $X$ и точка локального минимума $f$ , отличная от $x_0$ , — противоречие с единственностью точки экстремума. Значит, $f(x) < f(x_0)$ при всех $x\ne x_0$ . Случай минимума сводится к рассмотрению $-f$ . $\blacksquare$

Промежутки монотонности и экстремумы многочлена

Условие

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ .

Решение

Развернуть

Функция дифференцируема на $\mathbb R$ :

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3).

Критические точки — стационарные точки $x = -1$ и $x = 3$ .

Знаки производной: $f' > 0$ на $(-\infty, -1)$ и на $(3, +\infty)$ , $f' < 0$ на $(-1, 3)$ . По достаточному условию строгой монотонности $f$ строго возрастает на $(-\infty, -1]$ и на $[3, +\infty)$ и строго убывает на $[-1, 3]$ .

По достаточному условию экстремума по первой производной в точке $x = -1$ (смена знака с « $+$ » на « $-$ ») — строгий локальный максимум, $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ ; в точке $x = 3$ (смена с « $-$ » на « $+$ ») — строгий локальный минимум, $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ .

Ответ: возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$ , убывает на $[-1, 3]$ ; $f_{\max} = f(-1) = 10$ , $f_{\min} = f(3) = -22$ .

Экстремумы функции с точкой недифференцируемости

Условие

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции $f(x) = x^{2/3}(x - 5) = \sqrt[3]{x^2}\,(x - 5)$ .

Решение

Развернуть

Функция непрерывна на $\mathbb R$ , $f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3}$ . При $x\ne 0$

f'(x) = \frac53x^{2/3} - \frac{10}{3}x^{-1/3} = \frac{5(x - 2)}{3\sqrt[3]{x}}.

В точке $x = 0$ конечной производной нет: $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h - 5}{\sqrt[3]h}$ стремится к $+\infty$ при $h\to 0-$ и к $-\infty$ при $h\to 0+$ . Критические точки: $x = 0$ (производная не существует) и $x = 2$ (стационарная).

Знаки $f'$ : при $x < 0$ числитель и знаменатель отрицательны, $f' > 0$ ; при $0 < x < 2$ $f' < 0$ ; при $x > 2$ $f' > 0$ . По критерию монотонности $f$ возрастает на $(-\infty, 0]$ , убывает на $[0, 2]$ , возрастает на $[2, +\infty)$ .

По достаточному условию экстремума по первой производной (оно требует лишь непрерывности в самой точке): $x = 0$ — точка строгого максимума, $f(0) = 0$ ; $x = 2$ — точка строгого минимума, $f(2) = \sqrt[3]4\cdot(-3) = -3\sqrt[3]4\approx -4{,}762$ .

Ответ: возрастает на $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$ , убывает на $[0, 2]$ ; $f_{\max} = f(0) = 0$ , $f_{\min} = f(2) = -3\sqrt[3]{4}$ .

Экстремум по производным высших порядков

Условие

Исследовать на экстремум в точке $x = 0$ функции:

\text{а)}\ f(x) = e^x + e^{-x} + 2\cos x;\qquad \text{б)}\ g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6};\qquad \text{в)}\ h(x) = x\sin x.

Решение

Развернуть

а) Вычисляем производные: $f'(x) = e^x - e^{-x} - 2\sin x$ , $f''(x) = e^x + e^{-x} - 2\cos x$ , $f'''(x) = e^x - e^{-x} + 2\sin x$ , $f^{(4)}(x) = e^x + e^{-x} + 2\cos x$ . В нуле $f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$ , $f^{(4)}(0) = 4 > 0$ . Порядок первой ненулевой производной чётный, поэтому по достаточному условию по $n$ -й производной $x = 0$ — точка строгого минимума, $f(0) = 4$ . (Согласуется с разложением $f(x) = 4 + \frac{x^4}{6} + o(x^4)$ .)

б) $g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ , $g''(x) = -\sin x + x$ , $g'''(x) = 1 - \cos x$ , $g^{(4)}(x) = \sin x$ , $g^{(5)}(x) = \cos x$ . В нуле $g' = g'' = g''' = g^{(4)} = 0$ , $g^{(5)}(0) = 1\ne 0$ . Порядок $5$ нечётный — экстремума нет. (По формуле Маклорена для синуса $g(x) = \frac{x^5}{120} + o(x^6)$ меняет знак.)

в) $h'(x) = \sin x + x\cos x$ , $h'(0) = 0$ ; $h''(x) = 2\cos x - x\sin x$ , $h''(0) = 2 > 0$ . По достаточному условию по второй производной $x = 0$ — точка строгого минимума, $h(0) = 0$ .

Ответ: а) строгий минимум, $f(0) = 4$ ; б) экстремума нет; в) строгий минимум, $h(0) = 0$ .

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

\text{а)}\ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\ \text{ на } \left[-2, \tfrac52\right];\qquad \text{б)}\ g(x) = x - 2\ln x\ \text{ на } \left[\tfrac1e, e\right].

Решение

Развернуть

Обе функции непрерывны на соответствующих отрезках, поэтому наибольшее и наименьшее значения существуют и достигаются на концах или в критических точках внутри отрезка.

а) $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$ ; критические точки $x = -1$ и $x = 2$ лежат в $\left(-2, \frac52\right)$ . Значения:

f(-2) = -16 - 12 + 24 + 1 = -3,\quad f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8,

f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19,\quad f\left(\tfrac52\right) = \tfrac{125}{4} - \tfrac{75}{4} - 30 + 1 = -16{,}5.

Наибольшее из них $8$ , наименьшее $-19$ .

б) $g'(x) = 1 - \frac2x = \frac{x - 2}{x}$ ; единственная критическая точка $x = 2\in\left(\frac1e, e\right)$ (так как $e\approx 2{,}718 > 2$ ). Значения:

g\left(\tfrac1e\right) = \tfrac1e + 2\approx 2{,}368,\quad g(2) = 2 - 2\ln 2\approx 0{,}614,\quad g(e) = e - 2\approx 0{,}718.

Ответ: а) $\max f = f(-1) = 8$ , $\min f = f(2) = -19$ ; б) $\max g = g\left(\frac1e\right) = 2 + \frac1e$ , $\min g = g(2) = 2 - 2\ln 2$ .

Неравенство tg x > x + x³/3

Условие

Доказать, что при $0 < x < \frac\pi2$

\operatorname{tg}x > x + \frac{x^3}{3}.

Решение

Развернуть

Сначала докажем, что $\operatorname{tg}x > x$ на $\left(0, \frac\pi2\right)$ . Функция $u(x) = \operatorname{tg}x - x$ непрерывна на $\left[0, \frac\pi2\right)$ , $u(0) = 0$ и

u'(x) = \frac{1}{\cos^2x} - 1 = \operatorname{tg}^2x > 0\quad\text{при } 0 < x < \frac\pi2.

По лемме о доказательстве неравенств с помощью производной $u(x) > 0$ , т. е. $\operatorname{tg}x > x$ .

Теперь рассмотрим $f(x) = \operatorname{tg}x$ и $g(x) = x + \frac{x^3}{3}$ на $\left[0, \frac\pi2\right)$ : $f(0) = g(0) = 0$ и

f'(x) - g'(x) = \operatorname{tg}^2x - x^2 = (\operatorname{tg}x - x)(\operatorname{tg}x + x) > 0,

так как оба множителя положительны. По той же лемме $f(x) > g(x)$ при $0 < x < \frac\pi2$ .

Ответ: неравенство доказано. (Оно согласуется с разложением $\operatorname{tg}x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^6)$ .)

Цилиндр наименьшей полной поверхности

Условие

Из всех цилиндрических банок (с дном и крышкой) данного объёма $V$ найти ту, у которой полная поверхность наименьшая.

Решение

Развернуть

Пусть $r$ — радиус основания, $h$ — высота. Тогда $V = \pi r^2h$ , $h = \frac{V}{\pi r^2}$ , и полная поверхность как функция $r\in(0, +\infty)$ :

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}.

Производная

S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = \frac{2(2\pi r^3 - V)}{r^2}

обращается в нуль в единственной точке $r_0 = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ ; $S' < 0$ при $0 < r < r_0$ и $S' > 0$ при $r > r_0$ .

По критерию монотонности $S$ строго убывает на $(0, r_0]$ и строго возрастает на $[r_0, +\infty)$ , поэтому $S(r) > S(r_0)$ при всех $r\ne r_0$ : $r_0$ — точка наименьшего значения на $(0, +\infty)$ .

При этом $h_0 = \frac{V}{\pi r_0^2} = \frac{2\pi r_0^3}{\pi r_0^2} = 2r_0$ , т. е. высота равна диаметру основания, и

S_{\min} = 2\pi r_0^2 + 4\pi r_0^2 = 6\pi r_0^2 = 3\sqrt[3]{2\pi V^2}.

Ответ: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ , $h = 2r$ (осевое сечение — квадрат); $S_{\min} = 3\sqrt[3]{2\pi V^2}$ .

Контрпримеры к условиям монотонности и экстремума

Условие

а) Пусть $f(x) = x + 2x^2\sin\frac1x$ при $x\ne 0$ , $f(0) = 0$ . Доказать, что $f'(0) = 1 > 0$ , но $f$ не является возрастающей ни на какой окрестности нуля.

б) Пусть $g(x) = x^2\left(2 + \sin\frac1x\right)$ при $x\ne 0$ , $g(0) = 0$ . Доказать, что $0$ — точка строгого минимума $g$ , но $g'$ не сохраняет знак ни на каком интервале $(0, \delta)$ (т. е. достаточное условие по первой производной не является необходимым).

Решение

Развернуть

а) В нуле

f'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{h + 2h^2\sin\frac1h}{h} = 1 + \lim_{h\to 0}2h\sin\frac1h = 1,

так как $|2h\sin\frac1h|\le 2|h|$ . При $x\ne 0$

f'(x) = 1 + 4x\sin\frac1x - 2\cos\frac1x.

В точках $x_k = \frac1{2\pi k}$ , $k\in\mathbb N$ , имеем $\sin\frac1{x_k} = 0$ , $\cos\frac1{x_k} = 1$ и $f'(x_k) = -1 < 0$ . Если бы $f$ не убывала на некотором интервале $(-\delta, \delta)$ , то по критерию монотонности было бы $f'\ge 0$ на нём, но $x_k\in(-\delta, \delta)$ при больших $k$ — противоречие. Значит, условие $f'(a) > 0$ в одной точке не гарантирует монотонности в окрестности (причина — разрывность $f'$ в нуле).

б) При $x\ne 0$ имеем $2 + \sin\frac1x\ge 1$ , поэтому $g(x)\ge x^2 > 0 = g(0)$ : строгий минимум. При $x\ne 0$

g'(x) = 2x\left(2 + \sin\frac1x\right) - \cos\frac1x.

В точках $x_k = \frac1{2\pi k}$ : $g'(x_k) = 4x_k - 1 < 0$ при $k\ge 1$ ; в точках $y_k = \frac{1}{(2k+1)\pi}$ : $g'(y_k) = 4y_k + 1 > 0$ . Обе последовательности стремятся к $0$ справа, поэтому на любом $(0, \delta)$ производная принимает значения обоих знаков. Таким образом, смена знака производной в смысле достаточного условия по первой производной не обязательна для строгого экстремума.

Ответ: утверждения доказаны.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Стационарные и критические точки

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ . Точка $a$ называется стационарной точкой функции $f$ , если

f'(a) = 0.

Точка $a$ называется критической точкой функции $f$ (точкой, подозрительной на экстремум), если либо $f'(a) = 0$ , либо конечная производная $f'(a)$ не существует.

Примеры: для $f(x) = x^3$ точка $0$ стационарная; для $f(x) = |x|$ и $f(x) = \sqrt[3]{x}$ точка $0$ критическая, но не стационарная (у $|x|$ нет производной, у $\sqrt[3]x$ производная бесконечна).

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Пусть $f\colon X\to\mathbb R$ , $X\subset\mathbb R$ .

Ограниченность. Функция $f$ ограничена сверху на $X$ , если $\exists M\ \forall x\in X\ \ f(x)\le M$ ; ограничена снизу, если $\exists m\ \forall x\in X\ \ f(x)\ge m$ ; ограничена, если

\exists C > 0\ \ \forall x\in X\quad|f(x)|\le C.

Иначе говоря, $f$ ограничена (сверху, снизу) на $X$ , если таково множество $f(X)$ . Обозначают $\sup_Xf = \sup f(X)$ , $\inf_Xf = \inf f(X)$ .

Монотонность. Функция $f$ называется неубывающей на $X$ , если

\forall x_1, x_2\in X\ \ \bigl(x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\bigr),

и (строго) возрастающей, если $x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Аналогично определяются невозрастающие ( $f(x_1)\ge f(x_2)$ ) и (строго) убывающие ( $f(x_1) > f(x_2)$ ) функции. Все они называются монотонными, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. (В литературе встречается и другая терминология: «возрастающая» в смысле «неубывающая».)

Чётность. Множество $X$ симметрично относительно нуля, если $x\in X\Rightarrow -x\in X$ . Функция $f$ , заданная на симметричном $X$ , называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ , и нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ при всех $x\in X$ .

Периодичность. Число $T\ne 0$ называется периодом функции $f$ , если для любого $x\in X$

x\pm T\in X\quad\text{и}\quad f(x + T) = f(x).

Функция, имеющая период, называется периодической. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом.

Производная функции в точке

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(a)$ точки $a$ . Для $\Delta x\ne 0$ с $a + \Delta x\in U(a)$ положим

\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)

— приращение функции, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ .

Производной функции $f$ в точке $a$ называется конечный предел

f'(a) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a},

если он существует. Обозначения: $f'(a)$ , $y'(a)$ , $\dfrac{df}{dx}(a)$ .

Если этот предел равен $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ , говорят, что $f$ имеет в точке $a$ бесконечную производную ( $f'(a) = +\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ соответственно).

Если $f$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $X$ , то говорят, что $f$ имеет производную на множестве $X$ ; функция $x\mapsto f'(x)$ , $x\in X$ , называется производной функцией (или просто производной) функции $f$ . Для отрезка $[a, b]$ в концах используются односторонние производные. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Примеры: для $f(x)\equiv c$ имеем $\Delta y = 0$ , $f'(x) = 0$ ; для $f(x) = x$ имеем $\Delta y = \Delta x$ , $f'(x) = 1$ . Механический смысл: если $s = s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ , то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$ .

Локальный экстремум

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ . Точка $x_0\in X$ называется внутренней точкой множества $X$ , если некоторая её окрестность целиком содержится в $X$ : $\exists\,\delta > 0:\ (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset X$ .

Внутренняя точка $x_0$ множества $X$ называется точкой локального максимума функции $f$ , если

\exists\,\delta > 0:\quad (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset X\ \ \text{и}\ \ f(x)\le f(x_0)\quad\forall x\in(x_0 - \delta, x_0 + \delta),

и точкой строгого локального максимума, если при этом $f(x) < f(x_0)$ для всех $x\in(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ , $x\ne x_0$ .

Аналогично определяются точка локального минимума ( $f(x)\ge f(x_0)$ ) и точка строгого локального минимума ( $f(x) > f(x_0)$ при $x\ne x_0$ ).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения $f(x_0)$ в них — локальными максимумами и минимумами (экстремумами) функции.

Замечание. Слово «локальный» подчёркивает, что $f(x_0)$ сравнивается со значениями функции лишь в малой окрестности $x_0$ : локальный максимум может быть меньше локального минимума. Наибольшее значение функции на отрезке, достигнутое во внутренней точке, является локальным максимумом; если же оно достигается на конце отрезка, то этот конец по определению точкой локального экстремума не является (он не внутренний).

Пример. Для $f(x) = |x|$ на $\mathbb R$ точка $x_0 = 0$ — точка строгого локального минимума; для $f(x) = \operatorname{sign}^2 x$ каждая точка $x\ne 0$ является точкой нестрогого локального максимума и минимума одновременно.

Производные высших порядков

Пусть функция $f$ имеет производную $f'$ в некоторой окрестности точки $x$ . Если функция $f'$ имеет производную в точке $x$ , то она называется второй производной функции $f$ в точке $x$ :

f''(x) = (f')'(x).

По индукции: если $f^{(n-1)}$ определена в окрестности точки $x$ и имеет производную в точке $x$ , то

f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)

— производная $n$ -го порядка ( $n$ -я производная); $f^{(0)} = f$ . Обозначения: $y''$ , $y^{(n)}$ , $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ .

Функция, имеющая конечную $n$ -ю производную в точке $x$ (на интервале $X$ ), называется $n$ раз дифференцируемой в точке $x$ (на $X$ ).

Через $C^n(X)$ обозначается класс функций, $n$ раз дифференцируемых на промежутке $X$ , у которых $f^{(n)}$ непрерывна на $X$ (на концах промежутка — односторонние производные); $C^0(X)$ — непрерывные функции, $C^\infty(X) = \bigcap_n C^n(X)$ — бесконечно дифференцируемые.

Механический смысл: если $s(t)$ — закон движения, то $s''(t)$ — ускорение.

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ , $E\subset X$ , $E\ne\varnothing$ , и $f(E) = \{f(x):\ x\in E\}$ — множество её значений на $E$ . Точной верхней гранью функции $f$ на $E$ называется точная верхняя грань множества её значений:

\sup_{x\in E} f(x) = \sup f(E),\qquad \inf_{x\in E} f(x) = \inf f(E)

(точная нижняя грань функции). Если $f$ не ограничена сверху (снизу) на $E$ , то по соглашению $\sup_E f = +\infty$ ( $\inf_E f = -\infty$ ).

Число $M$ называется наибольшим значением (максимумом) функции $f$ на $E$ , если

\exists x_0\in E:\ f(x_0) = M\qquad\text{и}\qquad \forall x\in E\ \ f(x)\le M;

пишут $M = \max\limits_{x\in E} f(x)$ . Аналогично определяется наименьшее значение $m = \min\limits_{x\in E} f(x)$ : $f(x_1) = m$ для некоторого $x_1\in E$ и $f(x)\ge m$ при всех $x\in E$ .

Говорят, что функция достигает на $E$ своей точной верхней (нижней) грани, если $\sup_E f\in f(E)$ (соответственно $\inf_E f\in f(E)$ ); в этом случае точная грань совпадает с наибольшим (наименьшим) значением.

По критерию точной верхней грани $M = \sup_E f$ (конечное) тогда и только тогда, когда

\forall x\in E\ \ f(x)\le M\qquad\text{и}\qquad \forall\varepsilon>0\ \exists x\in E:\ f(x) > M - \varepsilon.

Пример: для $f(x) = x^2$ на $E = (-1, 1)$ имеем $\inf_E f = \min_E f = f(0) = 0$ , а $\sup_E f = 1$ не достигается: наибольшего значения на $E$ нет.

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Если положить $a = x_0$ , $b = x_0 + \Delta x$ (допускается и $\Delta x < 0$ ), то получится формула конечных приращений

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta\Delta x)\,\Delta x,\qquad 0 < \theta < 1.

В отличие от приближённого равенства $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ она точна, но содержит неизвестную промежуточную точку.

Геометрический смысл: отношение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ графика; на дуге $AB$ есть точка $(c, f(c))$ , в которой касательная параллельна хорде $AB$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим вспомогательную функцию — разность между $f$ и линейной функцией, график которой есть хорда $AB$ :

\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Функция $\varphi$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ как разность таких функций, причём

\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Непосредственно проверяется, что $\varphi(a) = 0$ и $\varphi(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0$ .

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , что равносильно доказываемому равенству.

Формула конечных приращений получается применением доказанного к отрезку с концами $x_0$ и $x_0 + \Delta x$ : точка $c$ , лежащая строго между ними, записывается в виде $c = x_0 + \theta\Delta x$ с $\theta\in(0, 1)$ (равенство симметрично относительно перестановки концов, поэтому годится и $\Delta x < 0$ ). $\blacksquare$

Следствия теоремы Лагранжа

Формулировка

Пусть $I$ — промежуток (любого типа), функции $f$ и $g$ непрерывны на $I$ и дифференцируемы во всех его внутренних точках.

Если $f'(x) = 0$ во всех внутренних точках $I$ , то $f$ постоянна на $I$ .
Если $f'(x) = g'(x)$ во всех внутренних точках $I$ , то $f(x) - g(x) = C = \mathrm{const}$ на $I$ .
Если $|f'(x)|\le L$ во всех внутренних точках $I$ , то

|f(x_1) - f(x_2)|\le L|x_1 - x_2|\qquad\forall x_1, x_2\in I,

т.е. $f$ удовлетворяет на $I$ условию Липшица и, следовательно, равномерно непрерывна на $I$ . 4. (Предел производной.) Пусть $f$ непрерывна на $[a, a + \delta)$ , дифференцируема на $(a, a + \delta)$ и существует $\lim\limits_{x\to a+0}f'(x) = A$ (конечный или бесконечный). Тогда существует $f'_+(a) = A$ . Аналогично для левой производной; если $f$ непрерывна в точке $a$ , дифференцируема в её проколотой окрестности и $\lim\limits_{x\to a}f'(x) = A$ , то $f'(a) = A$ .

Замечание. В п. 1 существенно, что $I$ — промежуток: функция, равная $0$ на $(-1, 0)$ и $1$ на $(0, 1)$ , имеет нулевую производную во всех точках своей области определения, но не постоянна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x_1, x_2\in I$ , $x_1 < x_2$ . Тогда $[x_1, x_2]\subset I$ , все точки интервала $(x_1, x_2)$ внутренние для $I$ , $f$ непрерывна на $[x_1, x_2]$ и дифференцируема на $(x_1, x_2)$ . По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\qquad c\in(x_1, x_2).

П. 1: если $f'\equiv 0$ во внутренних точках, то $f'(c) = 0$ и $f(x_2) = f(x_1)$ для любых $x_1, x_2\in I$ , т.е. $f$ постоянна.

П. 2: функция $h = f - g$ непрерывна на $I$ и по правилу дифференцирования разности $h' = f' - g' = 0$ во внутренних точках; по п. 1 $h = \mathrm{const}$ .

П. 3: из формулы Лагранжа $|f(x_2) - f(x_1)| = |f'(c)|\,|x_2 - x_1|\le L|x_2 - x_1|$ . По достаточному условию равномерной непрерывности функция, удовлетворяющая условию Липшица, равномерно непрерывна.

П. 4, случай конечного $A$ : возьмём $\varepsilon > 0$ и выберем $\delta_1\in(0, \delta]$ так, что $|f'(t) - A| < \varepsilon$ при $a < t < a + \delta_1$ . Для $x\in(a, a + \delta_1)$ по теореме Лагранжа на $[a, x]$

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(c_x),\qquad c_x\in(a, x)\subset(a, a + \delta_1),

поэтому $\left|\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - A\right| = |f'(c_x) - A| < \varepsilon$ . Это и означает $f'_+(a) = A$ .

Если $A = +\infty$ (или $-\infty$ , $\infty$ ), рассуждение то же с заменой $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ на соответствующую окрестность бесконечности: из $f'(t)\in U(A)$ при $t\in(a, a + \delta_1)$ следует, что разностное отношение $f'(c_x)$ лежит в $U(A)$ при $x\in(a, a + \delta_1)$ .

Для левой производной рассуждение симметрично. В двустороннем случае получаем $f'_-(a) = f'_+(a) = A$ , и по теореме о связи производной с односторонними производными $f'(a) = A$ . $\blacksquare$

Предельный переход в неравенстве

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , существует $\delta_0 > 0$ такое, что

f(x)\le g(x)\quad\forall x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X,

и существуют конечные пределы $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ , $\lim\limits_{x\to a}g(x) = B$ . Тогда $A\le B$ .

В частности, если $f(x)\ge c$ в проколотой окрестности $a$ , то $A\ge c$ . Строгое неравенство при предельном переходе может не сохраниться: $|x| > 0$ при $x\ne 0$ , но $\lim\limits_{x\to 0}|x| = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Предположим противное: $A > B$ . По теореме об арифметических операциях над пределами $g(x) - f(x)\to B - A < 0$ при $x\to a$ .

По теореме о знакопостоянстве найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $g(x) - f(x) < 0$ для всех $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ .

Пусть $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ . Так как $a$ — предельная точка $X$ , существует $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Для этой точки одновременно $f(x)\le g(x)$ и $g(x) < f(x)$ — противоречие. Значит, $A\le B$ .

Частный случай получается при $g$ — постоянной: $c\le f(x)$ влечёт $c\le A$ . $\blacksquare$

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Пусть функция $f$ (как правило, элементарная) такова, что $f$ , $f'$ и $f''$ непрерывны на своих областях определения, а точек, где $f'$ или $f''$ обращаются в нуль или не существуют, конечное число на каждом отрезке, содержащемся в $D(f)$ . (Даже для элементарной функции второе условие может нарушаться: например, $|x| + |x - 1| = 1$ на $[0, 1]$ , и все точки $(0, 1)$ стационарны.) Следующая последовательность шагов позволяет описать все промежутки монотонности и выпуклости, экстремумы, перегибы и асимптоты графика:

Найти область определения $D(f)$ , точки разрыва и односторонние пределы на границе $D(f)$ .
Выяснить чётность, нечётность, периодичность (график симметричен относительно оси $Oy$ , начала координат или повторяется со сдвигом; исследование можно вести на части области).
Найти точки пересечения с осями и промежутки знакопостоянства $f$ : на каждом промежутке $D(f)$ между соседними нулями знак $f$ постоянен.
Найти асимптоты: вертикальные — только в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ ; наклонные при $x\to\pm\infty$ — по формулам $k = \lim\frac{f(x)}x$ , $b = \lim(f(x) - kx)$ .
Найти $f'$ , критические точки и промежутки знакопостоянства $f'$ ; на них $f$ строго монотонна; экстремумы — в критических точках, где $f'$ меняет знак (или по знаку $f''$ в стационарной точке).
Найти $f''$ , точки, где $f''$ равна нулю или не существует, промежутки знакопостоянства $f''$ ; на них $f$ строго выпукла вниз ( $f'' > 0$ ) или вверх ( $f'' < 0$ ); точки перегиба — те из найденных точек, где $f''$ меняет знак и существует касательная.
Свести результаты в таблицу, найти множество значений и построить эскиз графика по найденным точкам, промежуткам и асимптотам.

Доказательство

Развернуть

Пункты 1–2 (область определения, симметрия) состоят в вычислении и не требуют обоснования; отметим лишь, что для чётной (нечётной) функции график симметричен относительно оси $Oy$ (начала координат), поскольку вместе с точкой $(x, f(x))$ ему принадлежит точка $(-x, f(x))$ (соответственно $(-x, -f(x))$ ).

Пункт 3 (знакопостоянство). Пусть $I\subset D(f)$ — промежуток, на котором $f$ непрерывна и не обращается в нуль. Если бы $f(x_1)f(x_2) < 0$ для $x_1, x_2\in I$ , то по теореме Больцано–Коши $f$ обратилась бы в нуль между ними. Значит, знак $f$ на $I$ постоянен, и его достаточно определить в одной точке.

Пункт 4 (асимптоты). Если $f$ непрерывна в точке $a$ , то $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ конечен, и прямая $x = a$ не является вертикальной асимптотой; поэтому вертикальные асимптоты могут быть лишь в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ . Элементарные функции непрерывны в своей области определения, так что кандидатов немного. Наклонные асимптоты находятся по теореме о наклонной асимптоте, которая даёт и необходимое, и достаточное условие.

Пункт 5 (монотонность и экстремумы). Между соседними критическими точками (и точками разрыва) производная $f'$ непрерывна и не обращается в нуль, поэтому, как в пункте 3, по теореме Больцано–Коши сохраняет знак. По достаточному условию строгой монотонности $f$ строго монотонна на каждом таком промежутке (включая его концы, где $f$ непрерывна). По необходимому условию экстремума экстремумы могут быть только в критических точках; по достаточному условию по первой производной экстремум есть там, где $f'$ меняет знак, и его нет, где знак сохраняется; в стационарной точке можно также использовать достаточное условие по второй производной.

Пункт 6 (выпуклость и перегибы). Аналогично $f''$ сохраняет знак между соседними точками, где она равна нулю или не существует. По условию выпуклости дважды дифференцируемой функции на промежутках с $f'' > 0$ функция строго выпукла вниз, с $f'' < 0$ — строго выпукла вверх. По необходимому условию точки перегиба перегиб возможен лишь там, где $f''$ равна нулю или не существует, а по достаточному условию он есть там, где $f''$ меняет знак и касательная существует.

Пункт 7 (сводка). Найденные промежутки покрывают всю область определения, поэтому таблица полностью описывает характер монотонности и выпуклости на $D(f)$ ; множество значений на каждом промежутке строгой монотонности непрерывной функции есть промежуток между её значениями (пределами) на концах. Эскиз строится по этим данным. $\blacksquare$

Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дважды дифференцируема во внутренних точках $X$ . Тогда

$f$ выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f''(x)\ge 0$ при всех внутренних $x\in X$ ; $f$ выпукла вверх $\iff$ $f''\le 0$ ;
(достаточное условие строгой выпуклости) если $f''(x) > 0$ во всех внутренних точках $X$ , то $f$ строго выпукла вниз на $X$ ; если $f'' < 0$ — строго выпукла вверх.

Обратное к пункту 2 неверно: $f(x) = x^4$ строго выпукла вниз на $\mathbb R$ , но $f''(0) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathring X$ — множество внутренних точек $X$ ; это интервал, на котором $f'$ дифференцируема (и, значит, непрерывна).

По критерию монотонности, применённому к функции $f'$ на интервале $\mathring X$ , $f'$ не убывает на $\mathring X$ тогда и только тогда, когда $(f')' = f''\ge 0$ на $\mathring X$ .

По условию выпуклости по первой производной $f$ выпукла вниз на $X$ тогда и только тогда, когда $f'$ не убывает на $\mathring X$ . Объединяя, получаем пункт 1.

Если $f'' > 0$ на $\mathring X$ , то по достаточному условию строгой монотонности $f'$ строго возрастает на $\mathring X$ , и по тому же условию по первой производной $f$ строго выпукла вниз на $X$ .

Для $x^4$ : $f'(x) = 4x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , поэтому $x^4$ строго выпукла вниз, хотя $f''(0) = 0$ . Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

Теорема Ферма

Формулировка

Пусть $c$ — точка локального экстремума функции $f$ (в частности, $c$ — внутренняя точка области определения) и в точке $c$ существует производная $f'(c)$ (конечная или бесконечная определённого знака). Тогда

f'(c) = 0.

Геометрический смысл: если в точке локального экстремума существует касательная к графику, не параллельная оси $Oy$ , то она горизонтальна (параллельна оси $Ox$ ).

Замечание. Условие « $c$ — внутренняя точка» существенно: функция $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ принимает наибольшее значение в точке $1$ , но $f'_-(1) = 1\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $c$ — точка локального максимума (для минимума рассуждение аналогично или сводится к $-f$ ). Тогда существует $\delta > 0$ такое, что $f(c + h)\le f(c)$ при $|h| < \delta$ , т.е. $f(c + h) - f(c)\le 0$ .

Отсюда для разностного отношения получаем

\frac{f(c + h) - f(c)}{h}\le 0\ \ \text{при}\ 0 < h < \delta,\qquad \frac{f(c + h) - f(c)}{h}\ge 0\ \ \text{при}\ -\delta < h < 0.

Так как производная $f'(c)$ существует, по теореме о связи производной с односторонними производными существуют и односторонние производные, причём $f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)$ .

Покажем, что $f'(c)$ конечна. Если бы $f'(c) = +\infty$ , то разностное отношение было бы положительным при всех достаточно малых $h > 0$ , а если бы $f'(c) = -\infty$ , — отрицательным при всех достаточно малых по модулю $h < 0$ ; оба случая противоречат полученным неравенствам.

Итак, $f'(c)$ — число. Переходя к пределу в неравенствах для разностного отношения (предельный переход в неравенстве), получаем $f'_+(c)\le 0$ и $f'_-(c)\ge 0$ . Значит, $0\le f'_-(c) = f'(c) = f'_+(c)\le 0$ , т.е. $f'(c) = 0$ . $\blacksquare$

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , то она непрерывна в точке $a$ .

Обратное неверно: функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $0$ , но не дифференцируема в ней.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,\qquad \alpha(\Delta x)\to 0.

При $\Delta x\to 0$ оба слагаемых стремятся к нулю, поэтому $\Delta y\to 0$ . По определению непрерывности через приращения (равносильному остальным по теореме об эквивалентности определений непрерывности) $f$ непрерывна в точке $a$ .

Контрпример. Функция $|x|$ непрерывна в нуле: $\big||\Delta x| - 0\big| = |\Delta x|\to 0$ . Но $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ , и по теореме о существовании производной и односторонних производных $f'(0)$ не существует; значит, $|x|$ не дифференцируема в нуле. $\blacksquare$

Замечания

Из бесконечной производной непрерывность не следует: $\operatorname{sign}x$ разрывна в нуле, но $f'(0) = +\infty$ . 2) Существуют функции, непрерывные на всей прямой и не дифференцируемые ни в одной точке (пример Вейерштрасса).

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Формулировка

Пусть функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ . Тогда при $x\to a$

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr),

т.е. остаточный член $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ есть $o\bigl((x - a)^n\bigr)$ (остаточный член в форме Пеано).

В терминах приращений ( $h = x - a = dx$ , $d^kf(a) = f^{(k)}(a)\,dx^k$ ):

f(a + h) - f(a) = df(a) + \frac{d^2f(a)}{2!} + \ldots + \frac{d^nf(a)}{n!} + o(h^n),\qquad h\to 0.

При $n = 1$ это определение дифференцируемости: $\Delta f = f'(a)h + o(h)$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим $\varphi(x) = R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ . Многочлен $P_n$ бесконечно дифференцируем, поэтому $\varphi$ , как разность, $n$ раз дифференцируема в точке $a$ , и $\varphi^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) - P_n^{(k)}(a)$ .

По формуле Тейлора для многочленов (п. 2) $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ при $k = 0, 1, \ldots, n$ . Следовательно,

\varphi(a) = \varphi'(a) = \ldots = \varphi^{(n)}(a) = 0.

По лемме о функции с нулевыми производными в точке $\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ при $x\to a$ , т.е. $R_n(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ , что и требовалось. Запись в дифференциалах получается подстановкой $x = a + h$ и $f^{(k)}(a)h^k = d^kf(a)$ . $\blacksquare$

Знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ и $c\in\mathbb R$ .

Если $A > c$ (здесь $A\in\mathbb R$ или $A = +\infty$ ), то существует $\delta > 0$ такое, что $f(x) > c$ для всех $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Аналогично, если $A < c$ ( $A\in\mathbb R$ или $A = -\infty$ ), то $f(x) < c$ в некоторой проколотой окрестности.
В частности, если $0 < A < +\infty$ , то в некоторой проколотой окрестности

f(x) > \frac A2 > 0,

а если $A\in\mathbb R$ , $A\ne 0$ , то в некоторой проколотой окрестности $|f(x)| > \frac{|A|}2$ ; в частности, $f(x)$ сохраняет знак числа $A$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $A\in\mathbb R$ , $A > c$ . Возьмём $\varepsilon = A - c > 0$ ; найдётся $\delta > 0$ с $|f(x) - A| < A - c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ , откуда $f(x) > A - (A - c) = c$ . Если $A = +\infty$ , то по определению бесконечного предела для числа $M = c$ найдётся $\delta > 0$ с $f(x) > c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Случай $A < c$ получается заменой $f$ на $-f$ , $c$ на $-c$ .
Для $0 < A < +\infty$ применим п. 1 с $c = \frac A2 < A$ . Для конечного $A\ne 0$ возьмём $\varepsilon = \frac{|A|}2$ : при $|f(x) - A| < \frac{|A|}2$ имеем

|f(x)|\ge |A| - |f(x) - A| > \frac{|A|}2,

а также $f(x)$ лежит в интервале $\left(A - \frac{|A|}2, A + \frac{|A|}2\right)$ , не содержащем нуля, и потому имеет тот же знак, что $A$ . $\blacksquare$

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , то она достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней: существуют $x_1, x_2\in[a, b]$ такие, что

f(x_1) = \inf_{[a, b]} f = \min_{[a, b]} f,\qquad f(x_2) = \sup_{[a, b]} f = \max_{[a, b]} f.

Для интервала утверждение неверно: функция $f(x) = x$ непрерывна и ограничена на $(0, 1)$ , но не достигает ни $\sup = 1$ , ни $\inf = 0$ . Неверно оно и для разрывной функции на отрезке.

Доказательство

Развернуть

По первой теореме Вейерштрасса $f$ ограничена на $[a, b]$ , поэтому множество $f([a, b])$ непусто и ограничено, и по теореме о существовании точной грани существует конечное $M = \sup_{[a, b]} f$ . При этом $f(x)\le M$ для всех $x\in[a, b]$ .

Предположим, что $M$ не достигается: $f(x) < M$ при всех $x\in[a, b]$ . Тогда функция

g(x) = \frac1{M - f(x)}

определена, положительна и непрерывна на $[a, b]$ как частное непрерывных функций с ненулевым знаменателем.

По первой теореме Вейерштрасса $g$ ограничена: $0 < g(x)\le K$ на $[a, b]$ при некотором $K > 0$ . Отсюда $M - f(x)\ge\frac1K$ , т. е. $f(x)\le M - \frac1K$ для всех $x\in[a, b]$ . Это противоречит критерию точной верхней грани (при $\varepsilon = \frac1K$ должна найтись точка с $f(x) > M - \varepsilon$ ). Значит, $M = f(x_2)$ для некоторого $x_2\in[a, b]$ .

Для точной нижней грани применим доказанное к непрерывной функции $-f$ : $\sup(-f) = -\inf f$ достигается в некоторой точке $x_1$ , т. е. $f(x_1) = \inf_{[a, b]} f$ .

Для $f(x) = x$ на $(0, 1)$ : $0 < f(x) < 1$ , и для любого $\varepsilon\in(0, 1)$ значения $f(1 - \frac\varepsilon2) > 1 - \varepsilon$ и $f(\frac\varepsilon2) < \varepsilon$ , так что $\sup = 1$ , $\inf = 0$ , но $f(x)\ne 0$ , $f(x)\ne 1$ . Для разрывной функции на $[0, 1]$ , равной $x$ при $x < 1$ и $0$ при $x = 1$ , точная верхняя грань $1$ также не достигается. $\blacksquare$

Формула Маклорена для e^x

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + o(x^n).

Для любых $x\in\mathbb R$ и $n\in\mathbb N$ найдётся $\theta\in(0, 1)$ такое, что

e^x = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}\,x^{n+1}.

Оценка остатка: если $|x|\le a$ , то

\left|e^x - \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right|\le \frac{e^{a}a^{n+1}}{(n+1)!}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0,

поэтому $e^x = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ при каждом $x\in\mathbb R$ . 4. Приближённое вычисление $e$ : для любого $n\in\mathbb N$

0 < e - \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} < \frac{3}{(n+1)!}.

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = e^x$ бесконечно дифференцируема на $\mathbb R$ , и по формуле для производных высших порядков $f^{(k)}(x) = e^x$ , поэтому $f^{(k)}(0) = 1$ при всех $k\ge 0$ . Значит, многочлен Маклорена порядка $n$ равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ .

Пункт 1 есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в точке $a = 0$ , применённая к $n$ раз дифференцируемой в нуле функции $e^x$ .

Пункт 2 есть формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа: $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$ , где $c$ лежит между $0$ и $x$ ; записывая $c = \theta x$ , $\theta\in(0, 1)$ , получаем $f^{(n+1)}(c) = e^{\theta x}$ (при $x = 0$ формула тривиальна).

Для пункта 3 заметим, что при $|x|\le a$ имеем $\theta x\le |x|\le a$ , откуда $e^{\theta x}\le e^a$ и $|R_n(x)|\le\frac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}$ . Покажем, что $\frac{a^m}{m!}\to 0$ при $m\to\infty$ . Выберем натуральное $N > 2a$ . При $m > N$

0 < \frac{a^m}{m!} = \frac{a^N}{N!}\cdot\frac{a}{N+1}\cdots\frac{a}{m}\le\frac{a^N}{N!}\left(\frac12\right)^{m-N},

и правая часть стремится к нулю; по теореме о трёх последовательностях $\frac{a^m}{m!}\to 0$ . Значит, $R_n(x)\to 0$ при $n\to\infty$ , и частичные суммы сходятся к $e^x$ .

Для пункта 4 положим $x = 1$ в пункте 2: $e - \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} = \frac{e^\theta}{(n+1)!}$ , $\theta\in(0, 1)$ . Так как $1 < e^\theta < e < 3$ (свойство числа $e$ ), получаем $0 < e - \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} < \frac{3}{(n+1)!}$ . $\blacksquare$

Формулы Маклорена для sin x и cos x

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ при $x\to 0$

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}),

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}).

Для любого $x\in\mathbb R$ найдутся $\theta_1, \theta_2\in(0, 1)$ такие, что

\sin x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + (-1)^{n+1}\cos(\theta_1 x)\,\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!},

\cos x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + (-1)^{n+1}\cos(\theta_2 x)\,\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}.

Оценки погрешности: при всех $x\in\mathbb R$

\left|\sin x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!},\qquad \left|\cos x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}.

Доказательство

Развернуть

По формулам для производных высших порядков $(\sin x)^{(m)} = \sin\left(x + \frac{\pi m}{2}\right)$ , $(\cos x)^{(m)} = \cos\left(x + \frac{\pi m}{2}\right)$ . Поэтому $(\sin x)^{(m)}\big|_{x=0} = \sin\frac{\pi m}{2}$ равно $0$ при чётном $m$ и $(-1)^k$ при $m = 2k + 1$ ; аналогично $(\cos x)^{(m)}\big|_{x=0} = \cos\frac{\pi m}2$ равно $0$ при нечётном $m$ и $(-1)^k$ при $m = 2k$ .

Следовательно, многочлен Маклорена синуса порядка $2n + 2$ совпадает с многочленом порядка $2n+1$ (коэффициент при $x^{2n+2}$ равен нулю) и равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ . Формула Тейлора с остатком в форме Пеано порядка $2n + 2$ даёт первую формулу пункта 1 с остатком $o(x^{2n+2})$ . Аналогично многочлен Маклорена косинуса порядка $2n+1$ равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ , и формула Пеано порядка $2n+1$ даёт вторую формулу.

Для пункта 2 запишем остаток в форме Лагранжа. Для синуса (порядок $2n+2$ ): $R(x) = \frac{\sin^{(2n+3)}(c)}{(2n+3)!}x^{2n+3}$ , $c = \theta_1 x$ , и

\sin^{(2n+3)}(c) = \sin\left(c + \frac{3\pi}{2} + \pi n\right) = (-1)^n\sin\left(c + \frac{3\pi}2\right) = (-1)^{n+1}\cos c.

Для косинуса (порядок $2n+1$ ): $R(x) = \frac{\cos^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ , $c = \theta_2 x$ , и $\cos^{(2n+2)}(c) = \cos(c + \pi(n+1)) = (-1)^{n+1}\cos c$ .

Пункт 3 следует из пункта 2, так как $|\cos(\theta x)|\le 1$ . $\blacksquare$

Монотонность и экстремумы функции

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Доказательство

Доказательство неравенств с помощью производной

Формулировка

Доказательство

Необходимое условие локального экстремума

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие экстремума по второй производной

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие экстремума по n-й производной

Формулировка

Доказательство

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Формулировка

Доказательство

Промежутки монотонности и экстремумы многочлена

Условие

Решение

Экстремумы функции с точкой недифференцируемости

Условие

Решение

Экстремум по производным высших порядков

Условие

Решение

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Условие

Решение

Неравенство tg x > x + x³/3

Условие

Решение

Цилиндр наименьшей полной поверхности

Условие

Решение

Контрпримеры к условиям монотонности и экстремума

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Стационарные и критические точки

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Производная функции в точке

Локальный экстремум

Производные высших порядков

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Доказательство

Следствия теоремы Лагранжа

Формулировка

Доказательство

Предельный переход в неравенстве

Формулировка

Доказательство

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Доказательство

Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство

Теорема Ферма

Формулировка

Доказательство

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство

Замечания

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Формулировка

Доказательство

Знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел

Формулировка

Доказательство

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)