Основные теоремы дифференциального исчисления

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа о конечных приращениях
Теорема Коши об обобщённых конечных приращениях
Следствия теоремы Лагранжа
Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

теорема

Теорема Ферма

Формулировка

Пусть $c$ — точка локального экстремума функции $f$ (в частности, $c$ — внутренняя точка области определения) и в точке $c$ существует производная $f'(c)$ (конечная или бесконечная определённого знака). Тогда

f'(c) = 0.

Геометрический смысл: если в точке локального экстремума существует касательная к графику, не параллельная оси $Oy$ , то она горизонтальна (параллельна оси $Ox$ ).

Замечание. Условие « $c$ — внутренняя точка» существенно: функция $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ принимает наибольшее значение в точке $1$ , но $f'_-(1) = 1\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $c$ — точка локального максимума (для минимума рассуждение аналогично или сводится к $-f$ ). Тогда существует $\delta > 0$ такое, что $f(c + h)\le f(c)$ при $|h| < \delta$ , т.е. $f(c + h) - f(c)\le 0$ .

Отсюда для разностного отношения получаем

\frac{f(c + h) - f(c)}{h}\le 0\ \ \text{при}\ 0 < h < \delta,\qquad \frac{f(c + h) - f(c)}{h}\ge 0\ \ \text{при}\ -\delta < h < 0.

Так как производная $f'(c)$ существует, по теореме о связи производной с односторонними производными существуют и односторонние производные, причём $f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)$ .

Покажем, что $f'(c)$ конечна. Если бы $f'(c) = +\infty$ , то разностное отношение было бы положительным при всех достаточно малых $h > 0$ , а если бы $f'(c) = -\infty$ , — отрицательным при всех достаточно малых по модулю $h < 0$ ; оба случая противоречат полученным неравенствам.

Итак, $f'(c)$ — число. Переходя к пределу в неравенствах для разностного отношения (предельный переход в неравенстве), получаем $f'_+(c)\le 0$ и $f'_-(c)\ge 0$ . Значит, $0\le f'_-(c) = f'(c) = f'_+(c)\le 0$ , т.е. $f'(c) = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Ролля

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , дифференцируема на интервале $(a, b)$ (допускается и бесконечная производная определённого знака) и $f(a) = f(b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f'(c) = 0.

(О корнях производной.) Если функция $f$ дифференцируема на промежутке $I$ , то между любыми двумя корнями $f$ на $I$ лежит корень $f'$ . Следовательно, если $f'$ имеет на $I$ не более $k$ различных корней, то $f$ имеет на $I$ не более $k + 1$ различных корней.

Геометрический смысл: если концы гладкой дуги графика находятся на одной высоте, то на дуге есть точка, в которой касательная горизонтальна.

Замечание. Каждое условие существенно: для $f(x) = |x|$ на $[-1, 1]$ нарушена дифференцируемость в точке $0$ ; для $f(x) = x$ при $x\in[0, 1)$ , $f(1) = 0$ нарушена непрерывность в точке $1$ ; для $f(x) = x$ на $[0, 1]$ нарушено условие $f(a) = f(b)$ . Во всех трёх случаях $f'$ на $(a, b)$ в нуль не обращается.

Доказательство

Развернуть

По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений: существуют точки $x_1, x_2\in[a, b]$ , для которых $f(x_1) = M = \max\limits_{[a, b]}f$ , $f(x_2) = m = \min\limits_{[a, b]}f$ .

Если $M = m$ , то $f$ постоянна на $[a, b]$ , и $f'(c) = 0$ в любой точке $c\in(a, b)$ .

Пусть $M > m$ . Так как $f(a) = f(b)$ , значения $M$ и $m$ не могут оба достигаться только на концах отрезка: иначе $M$ и $m$ были бы равны одному и тому же числу $f(a) = f(b)$ . Значит, хотя бы одна из точек $x_1, x_2$ (обозначим её $c$ ) лежит в интервале $(a, b)$ .

Точка $c$ — внутренняя точка отрезка, и $f(c)$ — наибольшее (или наименьшее) значение $f$ на $[a, b]$ , поэтому $c$ — точка локального экстремума. Производная $f'(c)$ существует по условию, и по теореме Ферма $f'(c) = 0$ . Это доказывает п. 1.

Для п. 2 пусть $x' < x''$ — корни $f$ на $I$ . На отрезке $[x', x'']\subset I$ функция $f$ непрерывна (как дифференцируемая) и дифференцируема, $f(x') = f(x'') = 0$ ; по п. 1 найдётся $\xi\in(x', x'')$ с $f'(\xi) = 0$ .

Если бы $f$ имела $k + 2$ различных корня $x_0 < x_1 < \ldots < x_{k + 1}$ , то в каждом из $k + 1$ попарно непересекающихся интервалов $(x_{i}, x_{i + 1})$ нашёлся бы корень $f'$ , т.е. $f'$ имела бы не менее $k + 1$ различных корней — противоречие. $\blacksquare$

теорема

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Если положить $a = x_0$ , $b = x_0 + \Delta x$ (допускается и $\Delta x < 0$ ), то получится формула конечных приращений

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta\Delta x)\,\Delta x,\qquad 0 < \theta < 1.

В отличие от приближённого равенства $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ она точна, но содержит неизвестную промежуточную точку.

Геометрический смысл: отношение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ графика; на дуге $AB$ есть точка $(c, f(c))$ , в которой касательная параллельна хорде $AB$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим вспомогательную функцию — разность между $f$ и линейной функцией, график которой есть хорда $AB$ :

\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Функция $\varphi$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ как разность таких функций, причём

\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Непосредственно проверяется, что $\varphi(a) = 0$ и $\varphi(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0$ .

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , что равносильно доказываемому равенству.

Формула конечных приращений получается применением доказанного к отрезку с концами $x_0$ и $x_0 + \Delta x$ : точка $c$ , лежащая строго между ними, записывается в виде $c = x_0 + \theta\Delta x$ с $\theta\in(0, 1)$ (равенство симметрично относительно перестановки концов, поэтому годится и $\Delta x < 0$ ). $\blacksquare$

теорема

Теорема Коши об обобщённых конечных приращениях

Формулировка

Пусть функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a, b]$ , дифференцируемы на интервале $(a, b)$ и $g'(x)\ne 0$ для всех $x\in(a, b)$ . Тогда $g(b)\ne g(a)$ и существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

Частный случай $g(x) = x$ — теорема Лагранжа.

Геометрический смысл: для кривой, заданной параметрически $x = g(t)$ , $y = f(t)$ , $t\in[a, b]$ , левая часть — угловой коэффициент хорды, соединяющей концы кривой, а правая — угловой коэффициент касательной в точке, отвечающей $t = c$ ; на кривой есть точка, где касательная параллельна хорде.

Замечание. Теорему нельзя получить, применив теорему Лагранжа отдельно к числителю и знаменателю: при этом получились бы, вообще говоря, разные точки $c_1$ и $c_2$ .

Доказательство

Развернуть

Если бы $g(b) = g(a)$ , то по теореме Ролля нашлась бы точка из $(a, b)$ , в которой $g' = 0$ , что противоречит условию. Следовательно, $g(b)\ne g(a)$ , и число

\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

определено.

Рассмотрим функцию $\varphi(x) = f(x) - \lambda g(x)$ . Она непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , причём $\varphi'(x) = f'(x) - \lambda g'(x)$ .

Проверим равенство значений на концах:

\varphi(b) - \varphi(a) = f(b) - f(a) - \lambda\bigl(g(b) - g(a)\bigr) = 0.

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \lambda g'(c)$ . Поскольку $g'(c)\ne 0$ , получаем $\lambda = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ . $\blacksquare$

следствие

Следствия теоремы Лагранжа

Формулировка

Пусть $I$ — промежуток (любого типа), функции $f$ и $g$ непрерывны на $I$ и дифференцируемы во всех его внутренних точках.

Если $f'(x) = 0$ во всех внутренних точках $I$ , то $f$ постоянна на $I$ .
Если $f'(x) = g'(x)$ во всех внутренних точках $I$ , то $f(x) - g(x) = C = \mathrm{const}$ на $I$ .
Если $|f'(x)|\le L$ во всех внутренних точках $I$ , то

|f(x_1) - f(x_2)|\le L|x_1 - x_2|\qquad\forall x_1, x_2\in I,

т.е. $f$ удовлетворяет на $I$ условию Липшица и, следовательно, равномерно непрерывна на $I$ . 4. (Предел производной.) Пусть $f$ непрерывна на $[a, a + \delta)$ , дифференцируема на $(a, a + \delta)$ и существует $\lim\limits_{x\to a+0}f'(x) = A$ (конечный или бесконечный). Тогда существует $f'_+(a) = A$ . Аналогично для левой производной; если $f$ непрерывна в точке $a$ , дифференцируема в её проколотой окрестности и $\lim\limits_{x\to a}f'(x) = A$ , то $f'(a) = A$ .

Замечание. В п. 1 существенно, что $I$ — промежуток: функция, равная $0$ на $(-1, 0)$ и $1$ на $(0, 1)$ , имеет нулевую производную во всех точках своей области определения, но не постоянна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x_1, x_2\in I$ , $x_1 < x_2$ . Тогда $[x_1, x_2]\subset I$ , все точки интервала $(x_1, x_2)$ внутренние для $I$ , $f$ непрерывна на $[x_1, x_2]$ и дифференцируема на $(x_1, x_2)$ . По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\qquad c\in(x_1, x_2).

П. 1: если $f'\equiv 0$ во внутренних точках, то $f'(c) = 0$ и $f(x_2) = f(x_1)$ для любых $x_1, x_2\in I$ , т.е. $f$ постоянна.

П. 2: функция $h = f - g$ непрерывна на $I$ и по правилу дифференцирования разности $h' = f' - g' = 0$ во внутренних точках; по п. 1 $h = \mathrm{const}$ .

П. 3: из формулы Лагранжа $|f(x_2) - f(x_1)| = |f'(c)|\,|x_2 - x_1|\le L|x_2 - x_1|$ . По достаточному условию равномерной непрерывности функция, удовлетворяющая условию Липшица, равномерно непрерывна.

П. 4, случай конечного $A$ : возьмём $\varepsilon > 0$ и выберем $\delta_1\in(0, \delta]$ так, что $|f'(t) - A| < \varepsilon$ при $a < t < a + \delta_1$ . Для $x\in(a, a + \delta_1)$ по теореме Лагранжа на $[a, x]$

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(c_x),\qquad c_x\in(a, x)\subset(a, a + \delta_1),

поэтому $\left|\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - A\right| = |f'(c_x) - A| < \varepsilon$ . Это и означает $f'_+(a) = A$ .

Если $A = +\infty$ (или $-\infty$ , $\infty$ ), рассуждение то же с заменой $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ на соответствующую окрестность бесконечности: из $f'(t)\in U(A)$ при $t\in(a, a + \delta_1)$ следует, что разностное отношение $f'(c_x)$ лежит в $U(A)$ при $x\in(a, a + \delta_1)$ .

Для левой производной рассуждение симметрично. В двустороннем случае получаем $f'_-(a) = f'_+(a) = A$ , и по теореме о связи производной с односторонними производными $f'(a) = A$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Формулировка

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a, b]$ (в концах — односторонние производные $f'(a) = f'_+(a)$ , $f'(b) = f'_-(b)$ ). Тогда для любого числа $C$ , лежащего строго между $f'(a)$ и $f'(b)$ , существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f'(c) = C.

Следствие. Производная, существующая во всех точках промежутка, не может иметь на нём разрывов первого рода (скачков и устранимых разрывов): если в точке $x_0$ существует односторонний предел $f'(x_0 + 0)$ (или $f'(x_0 - 0)$ ), то он равен $f'(x_0)$ .

Замечание. Непрерывность $f'$ здесь не предполагается: например, $f(x) = x^2\sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , имеет разрывную в нуле производную, и тем не менее теорема Дарбу для неё верна.

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f'(a) < C < f'(b)$ (противоположный случай сводится к этому заменой $f$ на $-f$ и $C$ на $-C$ ). Рассмотрим $g(x) = f(x) - Cx$ . Она дифференцируема на $[a, b]$ , и

g'(a) = f'(a) - C < 0,\qquad g'(b) = f'(b) - C > 0.

Функция $g$ непрерывна на $[a, b]$ (дифференцируемая функция непрерывна), поэтому по второй теореме Вейерштрасса она достигает наименьшего значения в некоторой точке $c\in[a, b]$ .

Покажем, что $c\ne a$ . Так как $\lim\limits_{x\to a+0}\frac{g(x) - g(a)}{x - a} = g'(a) < 0$ , по теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, это отношение отрицательно при $x\in(a, a + \eta)$ для некоторого $\eta > 0$ ; при таких $x$ имеем $x - a > 0$ , значит, $g(x) < g(a)$ , и $a$ — не точка минимума.

Аналогично $c\ne b$ : так как $\lim\limits_{x\to b-0}\frac{g(x) - g(b)}{x - b} = g'(b) > 0$ , при $x$ , близких к $b$ слева, отношение положительно, а $x - b < 0$ , т.е. $g(x) < g(b)$ .

Итак, $c\in(a, b)$ — внутренняя точка, в которой $g$ принимает наименьшее на $[a, b]$ значение, т.е. точка локального минимума, и $g'(c)$ существует. По теореме Ферма $g'(c) = f'(c) - C = 0$ , т.е. $f'(c) = C$ .

Следствие. Пусть $f'(x_0 + 0) = L$ существует. Тогда $f$ непрерывна на $[x_0, x_0 + \delta)$ (дифференцируемая функция непрерывна) и дифференцируема на $(x_0, x_0 + \delta)$ , и по п. 4 следствий теоремы Лагранжа $f'_+(x_0) = L$ ; так как $f'(x_0)$ существует, $f'(x_0) = f'_+(x_0) = L$ , и разрыва в точке $x_0$ нет. Для $f'(x_0 - 0)$ — аналогично. (Можно рассуждать и по теореме Дарбу: если бы $L\ne f'(x_0)$ , то при $x_1 > x_0$ , близком к $x_0$ , значение $f'(x_1)$ было бы ближе к $L$ , чем середина $M$ отрезка между $f'(x_0)$ и $L$ , а по доказанному $f'$ принимала бы на $(x_0, x_1)$ значение $M$ — вопреки тому, что все значения $f'$ на $(x_0, x_1)$ ближе к $L$ , чем $M$ .) $\blacksquare$

Проверка условий теоремы Ролля

Условие

Проверить, выполнены ли условия теоремы Ролля, и если да, найти все точки $c$ , о которых говорится в теореме:

а) $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на $[1, 3]$ ;

б) $f(x) = x^3 - x$ на $[-1, 1]$ ;

в) $f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}$ на $[-1, 1]$ .

Решение

Развернуть

а) Многочлен непрерывен и дифференцируем на $\mathbb R$ ; $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$ . Условия теоремы Ролля выполнены. Из $f'(x) = 2x - 4 = 0$ находим $c = 2\in(1, 3)$ .

б) Многочлен непрерывен и дифференцируем; $f(-1) = -1 + 1 = 0$ , $f(1) = 0$ . Условия выполнены. Уравнение $f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$ даёт $x = \pm\frac1{\sqrt3}$ ; обе точки лежат в $(-1, 1)$ , так что $c_{1,2} = \pm\frac1{\sqrt3}$ .

в) Функция непрерывна на $[-1, 1]$ и $f(-1) = f(1) = 0$ . При $x\ne 0$

f'(x) = -\frac23x^{-1/3} = -\frac{2}{3\sqrt[3]x}\ne 0.

В точке $x = 0$ конечной производной нет, а односторонние производные бесконечны разных знаков: $f'_\pm(0) = \lim\limits_{h\to 0\pm}\frac{-\sqrt[3]{h^2}}{h} = \mp\infty$ . Значит, $f$ не дифференцируема на $(-1, 1)$ (нет производной ни конечной, ни бесконечной определённого знака в точке $0$ ), условие теоремы Ролля нарушено. Заключение теоремы тоже не выполняется: $f'$ нигде на $(-1, 1)$ не обращается в нуль (график имеет в точке $(0, 1)$ «острие»). Противоречия с теоремой нет.

Ответ: а) $c = 2$ ; б) $c = \pm\frac1{\sqrt3}$ ; в) условия не выполнены (нет производной в точке $0$ ), и точки $c$ не существует.

Нахождение промежуточной точки в теореме Лагранжа

Условие

Для заданных функций и отрезков проверить условия теоремы Лагранжа и найти точку $c$ из формулы $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ :

а) $f(x) = x^3$ на $[-1, 2]$ ;

б) $f(x) = \ln x$ на $[1, e]$ ;

в) $f(x) = \operatorname{arctg}x$ на $[0, 1]$ ;

г) $f(x) = x^2$ на произвольном отрезке $[a, b]$ (дать геометрическое истолкование).

Решение

Развернуть

Во всех случаях функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, так что условия теоремы Лагранжа выполнены.

а) $\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{8 + 1}{3} = 3$ . Уравнение $3c^2 = 3$ даёт $c = \pm1$ , но $c = -1$ — конец отрезка, а не точка интервала $(-1, 2)$ . Подходит только $c = 1$ .

б) $\frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac1{e - 1}$ , а $f'(c) = \frac1c$ . Отсюда $c = e - 1\approx 1{,}718\in(1, e)$ .

в) $\frac{\operatorname{arctg}1 - \operatorname{arctg}0}{1} = \frac\pi4$ , $f'(c) = \frac1{1 + c^2}$ . Из $\frac1{1 + c^2} = \frac\pi4$ получаем $c^2 = \frac4\pi - 1$ , $c = \sqrt{\frac4\pi - 1}\approx 0{,}523\in(0, 1)$ (отрицательный корень не лежит в $(0, 1)$ ).

г) $\frac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b = 2c$ , откуда $c = \frac{a + b}2$ . Геометрически: касательная к параболе $y = x^2$ , параллельная хорде, проведена в точке, абсцисса которой — середина проекции хорды на ось $Ox$ .

Ответ: а) $c = 1$ ; б) $c = e - 1$ ; в) $c = \sqrt{4/\pi - 1}\approx 0{,}523$ ; г) $c = \frac{a + b}2$ .

Теорема Коши — проверка условий и контрпример

Условие

Пусть $f(x) = x^2$ , $g(x) = x^3$ .

а) Проверить условия теоремы Коши на отрезке $[1, 2]$ и найти точку $c$ .

б) Показать, что на отрезке $[-1, 1]$ заключение теоремы Коши для этих функций неверно. Какое условие теоремы нарушено?

Решение

Развернуть

а) Обе функции непрерывны и дифференцируемы на $\mathbb R$ , $g'(x) = 3x^2\ne 0$ на $(1, 2)$ — условия теоремы Коши выполнены. Имеем

\frac{f(2) - f(1)}{g(2) - g(1)} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac37,\qquad \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{3c^2} = \frac2{3c}.

Из $\frac2{3c} = \frac37$ находим $c = \frac{14}9\approx 1{,}56\in(1, 2)$ .

б) Здесь $g(1) - g(-1) = 2\ne 0$ и

\frac{f(1) - f(-1)}{g(1) - g(-1)} = \frac{1 - 1}{2} = 0.

Но при $c\ne 0$ отношение $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac2{3c}\ne 0$ , а при $c = 0$ оно не определено ( $f'(0) = g'(0) = 0$ ). Значит, точки $c\in(-1, 1)$ с требуемым свойством нет. Нарушено условие $g'(x)\ne 0$ на $(-1, 1)$ : $g'(0) = 0$ . Отметим, что при этом даже $g(1)\ne g(-1)$ , так что условие $g'\ne 0$ нельзя заменить более слабым условием $g(b)\ne g(a)$ .

Геометрически: кривая $x = t^3$ , $y = t^2$ — это $y = x^{2/3}$ , имеющая в начале координат острие; хорда, соединяющая точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ , горизонтальна, а горизонтальных касательных у кривой нет.

Ответ: а) $c = \frac{14}9$ ; б) точки $c$ нет, нарушено условие $g'(x)\ne 0$ (в точке $x = 0$ ).

Неравенства Липшица для синуса, арктангенса и тангенса

Условие

Доказать неравенства:

а) $|\sin x - \sin y|\le|x - y|$ для всех $x, y\in\mathbb R$ ;

б) $|\operatorname{arctg}x - \operatorname{arctg}y|\le|x - y|$ для всех $x, y\in\mathbb R$ ;

в) $|\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}y|\ge|x - y|$ для всех $x, y\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ .

Решение

Развернуть

При $x = y$ все неравенства обращаются в равенства. Пусть $x\ne y$ ; во всех трёх случаях функция дифференцируема на отрезке с концами $x$ , $y$ (в случае в) — потому что этот отрезок лежит в $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ ), и по теореме Лагранжа найдётся точка $c$ между $x$ и $y$ такая, что $\varphi(x) - \varphi(y) = \varphi'(c)(x - y)$ .

а) Для $\varphi = \sin$ : $|\sin x - \sin y| = |\cos c|\,|x - y|\le|x - y|$ , так как $|\cos c|\le 1$ .

б) Для $\varphi = \operatorname{arctg}$ : $|\operatorname{arctg}x - \operatorname{arctg}y| = \frac{|x - y|}{1 + c^2}\le|x - y|$ .

в) Для $\varphi = \operatorname{tg}$ : $|\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}y| = \frac{|x - y|}{\cos^2c}\ge|x - y|$ , так как $0 < \cos^2c\le 1$ .

Замечание. Неравенства а) и б) означают, что $\sin$ и $\operatorname{arctg}$ удовлетворяют на $\mathbb R$ условию Липшица с константой $1$ и, следовательно, равномерно непрерывны на $\mathbb R$ . Неравенство в) показывает, что $\operatorname{tg}$ «растягивает» расстояния; при $y = 0$ получаем $|\operatorname{tg}x|\ge|x|$ .

Ответ: неравенства доказаны.

Двусторонние оценки логарифма и арктангенса

Условие

Доказать неравенства:

а) $\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x$ при $x > 0$ ;

б) $\ln(1 + x) < x$ при $-1 < x < 0$ (так что $\ln(1 + x) < x$ при всех $x > -1$ , $x\ne 0$ );

в) $\frac{x}{1 + x^2} < \operatorname{arctg}x < x$ при $x > 0$ .

С помощью а) оценить $\ln 1{,}1$ .

Решение

Развернуть

а) Функция $\ln(1 + t)$ непрерывна на $[0, x]$ и дифференцируема на $(0, x)$ , её производная $\frac1{1 + t}$ . По теореме Лагранжа

\ln(1 + x) = \ln(1 + x) - \ln 1 = \frac{x}{1 + c},\qquad 0 < c < x.

Так как $1 < 1 + c < 1 + x$ , имеем $\frac{x}{1 + x} < \frac{x}{1 + c} < x$ , что и требовалось.

б) При $-1 < x < 0$ теорема Лагранжа на отрезке $[x, 0]$ даёт $\ln(1 + x) = \frac{x}{1 + c}$ , $x < c < 0$ . Здесь $0 < 1 + c < 1$ , поэтому $\frac1{1 + c} > 1$ , а так как $x < 0$ , то $\frac{x}{1 + c} < x$ .

в) Для $\operatorname{arctg}$ на $[0, x]$ : $\operatorname{arctg}x = \frac{x}{1 + c^2}$ , $0 < c < x$ . Из $1 < 1 + c^2 < 1 + x^2$ получаем $\frac{x}{1 + x^2} < \operatorname{arctg}x < x$ .

Оценка: при $x = 0{,}1$ из а) $\frac1{11} < \ln 1{,}1 < 0{,}1$ , т.е. $0{,}0909 < \ln 1{,}1 < 0{,}1$ (точное значение $\ln 1{,}1 = 0{,}0953\ldots$ ).

Ответ: неравенства доказаны; $0{,}0909 < \ln 1{,}1 < 0{,}1$ .

Число корней уравнения и теорема Ролля

Условие

а) Не вычисляя производной функции $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ , доказать, что уравнение $f'(x) = 0$ имеет ровно три действительных корня, и указать интервалы, в которых они лежат.

б) Доказать, что при любом $c\in\mathbb R$ уравнение $x^3 - 3x + c = 0$ не может иметь двух различных корней на отрезке $[0, 1]$ .

в) Доказать, что многочлен $P_n(x) = \bigl((x^2 - 1)^n\bigr)^{(n)}$ имеет ровно $n$ различных действительных корней, и все они лежат в интервале $(-1, 1)$ .

Решение

Развернуть

а) Многочлен $f$ дифференцируем на $\mathbb R$ и обращается в нуль в точках $1, 2, 3, 4$ . По теореме Ролля на каждом из отрезков $[1, 2]$ , $[2, 3]$ , $[3, 4]$ найдётся корень $f'$ , лежащий внутри отрезка: $\xi_1\in(1, 2)$ , $\xi_2\in(2, 3)$ , $\xi_3\in(3, 4)$ . Интервалы не пересекаются, поэтому корни различны. С другой стороны, $f$ — многочлен степени $4$ , а $f'$ — многочлен степени $3$ и имеет не более трёх корней. Значит, корней ровно три.

б) Пусть $p(x) = x^3 - 3x + c$ имеет два корня $0\le x_1 < x_2\le 1$ . По теореме Ролля найдётся $\xi\in(x_1, x_2)\subset(0, 1)$ , для которого $p'(\xi) = 3\xi^2 - 3 = 0$ , т.е. $\xi = \pm 1$ . Но $\pm1\notin(0, 1)$ — противоречие.

в) Положим $Q(x) = (x^2 - 1)^n = (x - 1)^n(x + 1)^n$ . При $0\le k\le n - 1$ по формуле Лейбница

Q^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^kC_k^j\bigl((x - 1)^n\bigr)^{(j)}\bigl((x + 1)^n\bigr)^{(k - j)},

и каждое слагаемое содержит множитель $(x - 1)^{n - j}$ с $n - j\ge n - k\ge 1$ ; поэтому $Q^{(k)}(1) = 0$ . Аналогично (меняя ролями множители) $Q^{(k)}(-1) = 0$ .

Докажем индукцией по $k = 0, 1, \ldots, n$ , что $Q^{(k)}$ имеет в интервале $(-1, 1)$ не менее $k$ различных корней. При $k = 0$ утверждение тривиально.

Пусть оно верно для некоторого $k\le n - 1$ . Тогда $Q^{(k)}$ обращается в нуль в точках $-1$ , $1$ и ещё по крайней мере в $k$ точках интервала $(-1, 1)$ , т.е. не менее чем в $k + 2$ точках $t_0 = -1 < t_1 < \ldots < t_{k + 1} = 1$ . По теореме Ролля в каждом из $k + 1$ попарно непересекающихся интервалов $(t_i, t_{i + 1})$ лежит корень $Q^{(k + 1)}$ . Итак, $Q^{(k + 1)}$ имеет не менее $k + 1$ различных корней в $(-1, 1)$ .

При $k = n$ получаем: $P_n = Q^{(n)}$ имеет не менее $n$ различных корней в $(-1, 1)$ . Но $Q$ — многочлен степени $2n$ со старшим членом $x^{2n}$ , поэтому $P_n$ — многочлен степени ровно $n$ (старший коэффициент $\frac{(2n)!}{n!}\ne 0$ ), и корней у него не больше $n$ . Следовательно, $P_n$ имеет ровно $n$ различных действительных корней, и все они лежат в $(-1, 1)$ .

Ответ: а) три корня, по одному в $(1, 2)$ , $(2, 3)$ , $(3, 4)$ ; б), в) доказано.

Доказательство тождества через постоянство функции

Условие

Доказать, что

2\operatorname{arctg}x + \arcsin\frac{2x}{1 + x^2} = \pi\qquad\text{при } x\ge 1.

Решение

Развернуть

Рассмотрим $F(x) = 2\operatorname{arctg}x + \arcsin u(x)$ , $u(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ . Так как $|u(x)|\le 1$ при всех $x$ (это равносильно $(1 - |x|)^2\ge 0$ ), функция $F$ определена и непрерывна на $\mathbb R$ .

Найдём $u'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$ и

\sqrt{1 - u^2} = \frac{\sqrt{(1 + x^2)^2 - 4x^2}}{1 + x^2} = \frac{|1 - x^2|}{1 + x^2}.

При $x > 1$ имеем $|u| < 1$ , и по правилу дифференцирования сложной функции и таблице производных

\bigl(\arcsin u\bigr)' = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}\cdot\frac{1 + x^2}{x^2 - 1} = -\frac{2}{1 + x^2}.

Поэтому $F'(x) = \frac2{1 + x^2} - \frac2{1 + x^2} = 0$ при $x > 1$ .

Функция $F$ непрерывна на промежутке $[1, +\infty)$ и имеет нулевую производную во всех его внутренних точках, поэтому по следствию теоремы Лагранжа она постоянна на нём:

F(x) = F(1) = 2\cdot\frac\pi4 + \arcsin 1 = \frac\pi2 + \frac\pi2 = \pi.

Замечание. При $|x| < 1$ производная $(\arcsin u)' = +\frac2{1 + x^2}$ , и тождество неверно: например, $F(0) = 0$ . В точке $x = 1$ функция $\arcsin u(x)$ не дифференцируема — именно поэтому важно, что следствие требует дифференцируемости лишь во внутренних точках промежутка.

Ответ: тождество доказано.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Локальный экстремум

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ . Точка $x_0\in X$ называется внутренней точкой множества $X$ , если некоторая её окрестность целиком содержится в $X$ : $\exists\,\delta > 0:\ (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset X$ .

Внутренняя точка $x_0$ множества $X$ называется точкой локального максимума функции $f$ , если

\exists\,\delta > 0:\quad (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset X\ \ \text{и}\ \ f(x)\le f(x_0)\quad\forall x\in(x_0 - \delta, x_0 + \delta),

и точкой строгого локального максимума, если при этом $f(x) < f(x_0)$ для всех $x\in(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ , $x\ne x_0$ .

Аналогично определяются точка локального минимума ( $f(x)\ge f(x_0)$ ) и точка строгого локального минимума ( $f(x) > f(x_0)$ при $x\ne x_0$ ).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения $f(x_0)$ в них — локальными максимумами и минимумами (экстремумами) функции.

Замечание. Слово «локальный» подчёркивает, что $f(x_0)$ сравнивается со значениями функции лишь в малой окрестности $x_0$ : локальный максимум может быть меньше локального минимума. Наибольшее значение функции на отрезке, достигнутое во внутренней точке, является локальным максимумом; если же оно достигается на конце отрезка, то этот конец по определению точкой локального экстремума не является (он не внутренний).

Пример. Для $f(x) = |x|$ на $\mathbb R$ точка $x_0 = 0$ — точка строгого локального минимума; для $f(x) = \operatorname{sign}^2 x$ каждая точка $x\ne 0$ является точкой нестрогого локального максимума и минимума одновременно.

Производная функции в точке

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(a)$ точки $a$ . Для $\Delta x\ne 0$ с $a + \Delta x\in U(a)$ положим

\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)

— приращение функции, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ .

Производной функции $f$ в точке $a$ называется конечный предел

f'(a) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a},

если он существует. Обозначения: $f'(a)$ , $y'(a)$ , $\dfrac{df}{dx}(a)$ .

Если этот предел равен $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ , говорят, что $f$ имеет в точке $a$ бесконечную производную ( $f'(a) = +\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ соответственно).

Если $f$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $X$ , то говорят, что $f$ имеет производную на множестве $X$ ; функция $x\mapsto f'(x)$ , $x\in X$ , называется производной функцией (или просто производной) функции $f$ . Для отрезка $[a, b]$ в концах используются односторонние производные. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Примеры: для $f(x)\equiv c$ имеем $\Delta y = 0$ , $f'(x) = 0$ ; для $f(x) = x$ имеем $\Delta y = \Delta x$ , $f'(x) = 1$ . Механический смысл: если $s = s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ , то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$ .

Односторонние производные

Пусть $f$ определена на полуинтервале $[a, a + \delta)$ , $\delta > 0$ . Правой производной функции $f$ в точке $a$ называется предел

f'_+(a) = \lim_{\Delta x\to +0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}.

Аналогично, если $f$ определена на $(a - \delta, a]$ , левой производной называется

f'_-(a) = \lim_{\Delta x\to -0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}.

Если предел конечен, односторонняя производная называется конечной; допускаются и бесконечные односторонние производные ( $\pm\infty$ ).

Пример: для $f(x) = |x|$ при $\Delta x > 0$ отношение $\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$ , при $\Delta x < 0$ оно равно $-1$ , поэтому $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ .

Функция называется дифференцируемой на отрезке $[a, b]$ (имеющей производную на отрезке), если она имеет конечную производную в каждой точке интервала $(a, b)$ , конечную правую производную в точке $a$ и конечную левую производную в точке $b$ .

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ , $E\subset X$ , $E\ne\varnothing$ , и $f(E) = \{f(x):\ x\in E\}$ — множество её значений на $E$ . Точной верхней гранью функции $f$ на $E$ называется точная верхняя грань множества её значений:

\sup_{x\in E} f(x) = \sup f(E),\qquad \inf_{x\in E} f(x) = \inf f(E)

(точная нижняя грань функции). Если $f$ не ограничена сверху (снизу) на $E$ , то по соглашению $\sup_E f = +\infty$ ( $\inf_E f = -\infty$ ).

Число $M$ называется наибольшим значением (максимумом) функции $f$ на $E$ , если

\exists x_0\in E:\ f(x_0) = M\qquad\text{и}\qquad \forall x\in E\ \ f(x)\le M;

пишут $M = \max\limits_{x\in E} f(x)$ . Аналогично определяется наименьшее значение $m = \min\limits_{x\in E} f(x)$ : $f(x_1) = m$ для некоторого $x_1\in E$ и $f(x)\ge m$ при всех $x\in E$ .

Говорят, что функция достигает на $E$ своей точной верхней (нижней) грани, если $\sup_E f\in f(E)$ (соответственно $\inf_E f\in f(E)$ ); в этом случае точная грань совпадает с наибольшим (наименьшим) значением.

По критерию точной верхней грани $M = \sup_E f$ (конечное) тогда и только тогда, когда

\forall x\in E\ \ f(x)\le M\qquad\text{и}\qquad \forall\varepsilon>0\ \exists x\in E:\ f(x) > M - \varepsilon.

Пример: для $f(x) = x^2$ на $E = (-1, 1)$ имеем $\inf_E f = \min_E f = f(0) = 0$ , а $\sup_E f = 1$ не достигается: наибольшего значения на $E$ нет.

Касательная и нормаль к графику функции

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ и непрерывна в ней, $M_0 = (a, f(a))$ , $M = (a + \Delta x, f(a + \Delta x))$ , $\Delta x\ne 0$ — точки графика. Прямая $M_0M$ называется секущей; её угловой коэффициент и угол наклона к оси $Ox$ равны

k(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right).

При $\Delta x\to 0$ точка $M$ стремится к $M_0$ по графику (в силу непрерывности $f$ в точке $a$ ).

Наклонной касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ называется прямая, проходящая через $M_0$ под углом $\varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ к оси $Ox$ , где

\varphi_0 = \lim_{\Delta x\to 0}\varphi(\Delta x),

т. е. предельное положение секущей $M_0M$ при $M\to M_0$ .

Если $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ при $\Delta x\to 0$ , то предельным положением секущей считается прямая $x = a$ ; она называется вертикальной касательной.

Если предел угла $\varphi(\Delta x)$ берётся лишь при $\Delta x\to -0$ (при $\Delta x\to +0$ ), получаем левую (правую) наклонную касательную (полукасательную).

Нормалью к графику в точке $M_0$ называется прямая, проходящая через $M_0$ перпендикулярно касательной.

Функции, заданные параметрически и неявно

Пусть функции $\varphi$ и $\psi$ определены на интервале $T$ , причём $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ . Тогда $X = \varphi(T)$ — интервал и существует обратная функция $t = \varphi^{-1}(x)$ , $x\in X$ . Функция

y = \psi\big(\varphi^{-1}(x)\big),\qquad x\in X,

называется заданной параметрически уравнениями

x = \varphi(t),\quad y = \psi(t),\quad t\in T.

Примеры: верхняя полуокружность $x = R\cos t$ , $y = R\sin t$ , $t\in(0, \pi)$ ; арка циклоиды $x = a(t - \sin t)$ , $y = a(1 - \cos t)$ , $t\in(0, 2\pi)$ .

Пусть $F(x, y)$ — функция двух переменных, определённая на некотором множестве плоскости. Функция $y = y(x)$ , определённая на промежутке $X$ , называется заданной неявно уравнением $F(x, y) = 0$ , если

F\big(x, y(x)\big) = 0\quad\text{для всех } x\in X.

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 1$ неявно задаёт на $[-1, 1]$ функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ и $y = -\sqrt{1 - x^2}$ (и бесконечно много разрывных). Поэтому обычно дополнительно требуют, чтобы $y(x)$ была непрерывна (дифференцируема) и проходила через заданную точку $(x_0, y_0)$ . Условия существования такой функции изучаются в теории функций нескольких переменных.

Равномерная непрерывность

Функция $f$ , определённая на множестве $X$ , называется равномерно непрерывной на $X$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x', x''\in X:\ |x' - x''| < \delta\ \Rightarrow\ |f(x') - f(x'')| < \varepsilon.

Отрицание: $f$ не является равномерно непрерывной на $X$ , если

\exists\varepsilon_0 > 0\ \forall\delta > 0\ \exists x', x''\in X:\ |x' - x''| < \delta,\ \ |f(x') - f(x'')|\ge\varepsilon_0.

Сравним с непрерывностью на $X$ : $\forall x_0\in X\ \forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\ |x - x_0| < \delta\Rightarrow|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ . Здесь $\delta$ зависит от $\varepsilon$ и от точки $x_0$ , а при равномерной непрерывности одно $\delta = \delta(\varepsilon)$ годится сразу для всех точек множества — кванторы $\forall x_0$ и $\exists\delta$ переставлены.

Пример: $f(x) = kx + b$ ( $k\ne 0$ ) равномерно непрерывна на $\mathbb R$ : $|f(x') - f(x'')| = |k||x' - x''| < \varepsilon$ при $\delta = \frac\varepsilon{|k|}$ .

Существование производной и односторонние производные

Формулировка

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ . Производная $f'(a)$ (конечная или равная $+\infty$ , $-\infty$ ) существует тогда и только тогда, когда существуют обе односторонние производные и

f'_-(a) = f'_+(a);

при этом $f'(a) = f'_-(a) = f'_+(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим разностное отношение $g(\Delta x) = \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ , определённое в проколотой окрестности точки $\Delta x = 0$ . По определению $f'(a) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}g(\Delta x)$ , $f'_\pm(a) = \lim\limits_{\Delta x\to\pm 0}g(\Delta x)$ .

По теореме о связи двустороннего предела с односторонними предел $g$ при $\Delta x\to 0$ существует и равен $A$ (конечному или $\pm\infty$ ) тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела $g(-0)$ и $g(+0)$ и оба равны $A$ . Переходя к обозначениям производных, получаем утверждение теоремы. $\blacksquare$

Замечание

Функция $|x|$ в точке $0$ имеет $f'_-(0) = -1\ne 1 = f'_+(0)$ , поэтому производной в нуле не имеет.

Предельный переход в неравенстве

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , существует $\delta_0 > 0$ такое, что

f(x)\le g(x)\quad\forall x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X,

и существуют конечные пределы $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ , $\lim\limits_{x\to a}g(x) = B$ . Тогда $A\le B$ .

В частности, если $f(x)\ge c$ в проколотой окрестности $a$ , то $A\ge c$ . Строгое неравенство при предельном переходе может не сохраниться: $|x| > 0$ при $x\ne 0$ , но $\lim\limits_{x\to 0}|x| = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Предположим противное: $A > B$ . По теореме об арифметических операциях над пределами $g(x) - f(x)\to B - A < 0$ при $x\to a$ .

По теореме о знакопостоянстве найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $g(x) - f(x) < 0$ для всех $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ .

Пусть $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ . Так как $a$ — предельная точка $X$ , существует $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Для этой точки одновременно $f(x)\le g(x)$ и $g(x) < f(x)$ — противоречие. Значит, $A\le B$ .

Частный случай получается при $g$ — постоянной: $c\le f(x)$ влечёт $c\le A$ . $\blacksquare$

Необходимое условие точки перегиба

Формулировка

Если $a$ — точка перегиба функции $f$ и функция $f$ дважды дифференцируема в точке $a$ (в частности, если $f''$ существует в окрестности $a$ и непрерывна в $a$ ), то

f''(a) = 0.

Следовательно, точками перегиба могут быть лишь точки, в которых $f''$ равна нулю или не существует.

Доказательство

Развернуть

Так как $f''(a)$ существует, функция $f'$ определена (конечна) в некоторой окрестности $(a - \delta, a + \delta)$ точки $a$ ; уменьшив $\delta$ , можно считать, что на $(a - \delta, a]$ функция выпукла вниз, а на $[a, a + \delta)$ — вверх (противоположный случай сводится к этому заменой $f$ на $-f$ ).

Пусть $x_1\in(a - \delta, a)$ . По лемме о трёх хордах для выпуклой вниз на $(a - \delta, a]$ функции при любом $x\in(x_1, a)$

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}\le\frac{f(a) - f(x_1)}{a - x_1}\le\frac{f(a) - f(x)}{a - x}.

Переходя к пределу при $x\to x_1+$ в левом неравенстве и при $x\to a-$ в правом (производные в точках $x_1$ и $a$ существуют), получаем $f'(x_1)\le\frac{f(a) - f(x_1)}{a - x_1}\le f'(a)$ — так же, как в доказательстве необходимости условия выпуклости по первой производной. Аналогично для $x_2\in(a, a + \delta)$ из выпуклости вверх на $[a, a + \delta)$ получаем $f'(a)\ge f'(x_2)$ .

Значит, $f'(x)\le f'(a)$ при всех $x\in(a - \delta, a + \delta)$ , т. е. $a$ — точка локального максимума функции $f'$ .

Функция $f'$ дифференцируема в точке $a$ , поэтому по теореме Ферма $(f')'(a) = f''(a) = 0$ . $\blacksquare$

Необходимое условие локального экстремума

Формулировка

Если $a$ — точка локального экстремума функции $f$ (функция определена в окрестности $a$ ), то $a$ — критическая точка $f$ : либо

f'(a) = 0,

либо конечная производная $f'(a)$ не существует. Более того, бесконечной производной определённого знака ( $f'(a) = +\infty$ или $f'(a) = -\infty$ ) в точке экстремума быть не может; производная $f'(a) = \infty$ без определённого знака возможна: $f(x) = \sqrt{|x|}$ имеет в точке $0$ минимум и $f'(0) = \infty$ .

Условие не является достаточным: для $f(x) = x^3$ и $f(x) = \sqrt[3]x$ точка $0$ критическая, но экстремумом не является.

Доказательство

Развернуть

Если конечная производная $f'(a)$ существует, то, поскольку $a$ — внутренняя точка экстремума, по теореме Ферма $f'(a) = 0$ . Иначе конечной производной нет. В обоих случаях $a$ — критическая точка.

Пусть, например, $a$ — точка локального максимума: $f(a + h)\le f(a)$ при $|h| < \delta$ . Тогда $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\le 0$ при $0 < h < \delta$ и $\ge 0$ при $-\delta < h < 0$ . Если бы $f'(a) = +\infty$ , то правые разностные отношения были бы положительны при малых $h > 0$ ; если бы $f'(a) = -\infty$ , то левые разностные отношения были бы отрицательны при малых $h < 0$ . Оба случая невозможны. Для минимума рассуждение аналогично.

Для $f(x) = x^3$ : $f'(0) = 0$ , но $f(x) < 0 = f(0) < f(y)$ при $x < 0 < y$ . Для $\sqrt[3]x$ производная в нуле бесконечна, и функция строго возрастает. Для $f(x) = \sqrt{|x|}$ имеем $f(x)\ge 0 = f(0)$ (минимум), а $\left|\frac{f(h) - f(0)}{h}\right| = \frac{1}{\sqrt{|h|}}\to+\infty$ при $h\to 0$ , т. е. $f'(0) = \infty$ ; при этом правое и левое разностные отношения имеют разные знаки, что согласуется с доказанным. $\blacksquare$

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , то она достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней: существуют $x_1, x_2\in[a, b]$ такие, что

f(x_1) = \inf_{[a, b]} f = \min_{[a, b]} f,\qquad f(x_2) = \sup_{[a, b]} f = \max_{[a, b]} f.

Для интервала утверждение неверно: функция $f(x) = x$ непрерывна и ограничена на $(0, 1)$ , но не достигает ни $\sup = 1$ , ни $\inf = 0$ . Неверно оно и для разрывной функции на отрезке.

Доказательство

Развернуть

По первой теореме Вейерштрасса $f$ ограничена на $[a, b]$ , поэтому множество $f([a, b])$ непусто и ограничено, и по теореме о существовании точной грани существует конечное $M = \sup_{[a, b]} f$ . При этом $f(x)\le M$ для всех $x\in[a, b]$ .

Предположим, что $M$ не достигается: $f(x) < M$ при всех $x\in[a, b]$ . Тогда функция

g(x) = \frac1{M - f(x)}

определена, положительна и непрерывна на $[a, b]$ как частное непрерывных функций с ненулевым знаменателем.

По первой теореме Вейерштрасса $g$ ограничена: $0 < g(x)\le K$ на $[a, b]$ при некотором $K > 0$ . Отсюда $M - f(x)\ge\frac1K$ , т. е. $f(x)\le M - \frac1K$ для всех $x\in[a, b]$ . Это противоречит критерию точной верхней грани (при $\varepsilon = \frac1K$ должна найтись точка с $f(x) > M - \varepsilon$ ). Значит, $M = f(x_2)$ для некоторого $x_2\in[a, b]$ .

Для точной нижней грани применим доказанное к непрерывной функции $-f$ : $\sup(-f) = -\inf f$ достигается в некоторой точке $x_1$ , т. е. $f(x_1) = \inf_{[a, b]} f$ .

Для $f(x) = x$ на $(0, 1)$ : $0 < f(x) < 1$ , и для любого $\varepsilon\in(0, 1)$ значения $f(1 - \frac\varepsilon2) > 1 - \varepsilon$ и $f(\frac\varepsilon2) < \varepsilon$ , так что $\sup = 1$ , $\inf = 0$ , но $f(x)\ne 0$ , $f(x)\ne 1$ . Для разрывной функции на $[0, 1]$ , равной $x$ при $x < 1$ и $0$ при $x = 1$ , точная верхняя грань $1$ также не достигается. $\blacksquare$

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ . Тогда функции $u\pm v$ , $uv$ , а при $v(x)\ne 0$ и $\frac uv$ дифференцируемы в точке $x$ и

(u\pm v)' = u'\pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)$ , $\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)$ ; по условию $\frac{\Delta u}{\Delta x}\to u'(x)$ , $\frac{\Delta v}{\Delta x}\to v'(x)$ , а по теореме о непрерывности дифференцируемой функции $v(x + \Delta x)\to v(x)$ при $\Delta x\to 0$ .

Сумма и разность: $\frac{\Delta(u\pm v)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\pm\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)\pm v'(x)$ по теореме об арифметических операциях над пределами.

Произведение: прибавляя и вычитая $u(x)v(x + \Delta x)$ , получаем

\Delta(uv) = u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x) = \Delta u\cdot v(x + \Delta x) + u(x)\,\Delta v,

откуда

\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\,v(x + \Delta x) + u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Частное: так как $v$ непрерывна в точке $x$ и $v(x)\ne 0$ , по локальным свойствам непрерывных функций $v\ne 0$ в некоторой окрестности точки $x$ , так что $\frac uv$ определена в этой окрестности. Далее

\Delta\left(\frac uv\right) = \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{v(x)v(x + \Delta x)} = \frac{\Delta u\cdot v(x) - u(x)\,\Delta v}{v(x)v(x + \Delta x)}.

Разделив на $\Delta x$ и перейдя к пределу (знаменатель стремится к $v^2(x)\ne 0$ ), получим $\left(\frac uv\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ . Во всех трёх случаях производная конечна, т. е. функции дифференцируемы. $\blacksquare$

Условие выпуклости по первой производной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во внутренних точках $X$ (их множество обозначим $\mathring X$ ). Тогда:

$f$ выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f'$ не убывает на $\mathring X$ ;
$f$ строго выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f'$ строго возрастает на $\mathring X$ .

Аналогично выпуклость вверх (строгая) равносильна невозрастанию (строгому убыванию) $f'$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $f$ выпукла вниз, $x_1, x_2\in\mathring X$ , $x_1 < x_2$ . По лемме о трёх хордах для любого $x\in(x_1, x_2)$

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}\le\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\le\frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}.

Переходя к пределу в левом неравенстве при $x\to x_1+$ , получаем $f'(x_1)\le\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ ; в правом при $x\to x_2-$ получаем $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\le f'(x_2)$ . Значит, $f'(x_1)\le f'(x_2)$ .

В случае строгой выпуклости возьмём $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и точки $t\in(x_1, x)$ , $s\in(x, x_2)$ . По строгой лемме, применённой к тройкам $x_1 < t < x$ и $x < s < x_2$ , и к тройке $x_1 < x < x_2$ :

\frac{f(t) - f(x_1)}{t - x_1} < \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} < \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} < \frac{f(x_2) - f(s)}{x_2 - s}.

Предельный переход при $t\to x_1+$ , $s\to x_2-$ даёт $f'(x_1)\le\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} < \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}\le f'(x_2)$ , т. е. $f'(x_1) < f'(x_2)$ .

Достаточность. Пусть $f'$ не убывает на $\mathring X$ , и $x_1 < x < x_2$ — точки $X$ . Функция $f$ непрерывна на $[x_1, x]$ и $[x, x_2]$ и дифференцируема внутри них, поэтому по теореме Лагранжа

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} = f'(c_1),\qquad\frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} = f'(c_2),\qquad x_1 < c_1 < x < c_2 < x_2.

Так как $c_1, c_2\in\mathring X$ и $c_1 < c_2$ , имеем $f'(c_1)\le f'(c_2)$ (при строгом возрастании $f'$ — строгое неравенство). Обозначим $A = \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}$ , $B = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ , $C = \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$ ; доказано $A\le C$ . Средняя дробь есть взвешенное среднее крайних:

B = \frac{(x - x_1)A + (x_2 - x)C}{x_2 - x_1},

так как $(x - x_1)A + (x_2 - x)C = (f(x) - f(x_1)) + (f(x_2) - f(x)) = f(x_2) - f(x_1)$ . Поэтому $A\le B\le C$ (при $A < C$ — строгие неравенства), т. е. выполнены неравенства леммы о трёх хордах. По лемме $f$ выпукла вниз (строго). Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

Связь выпуклости с положением касательной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во внутренних точках $X$ . Тогда $f$ выпукла вниз на $X$ тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже любой своей касательной, проведённой во внутренней точке:

f(x)\ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\quad\text{для всех } x\in X \text{ и всех внутренних } x_0\in X.

Строгая выпуклость вниз равносильна строгому неравенству при $x\ne x_0$ (график лежит выше касательной, касаясь её в одной точке). Для выпуклости вверх — график лежит не выше касательных.

Доказательство

Развернуть

Прямая $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ — касательная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$ по геометрическому смыслу производной.

Необходимость. Пусть $f$ выпукла вниз; тогда по условию выпуклости по первой производной $f'$ не убывает на множестве внутренних точек. Пусть $x\in X$ , $x\ne x_0$ . По теореме Лагранжа

f(x) - f(x_0) = f'(c)(x - x_0),\quad c \text{ строго между } x_0 \text{ и } x.

Если $x > x_0$ , то $c > x_0$ , $f'(c)\ge f'(x_0)$ и $f'(c)(x - x_0)\ge f'(x_0)(x - x_0)$ . Если $x < x_0$ , то $f'(c)\le f'(x_0)$ , а $x - x_0 < 0$ , и снова $f'(c)(x - x_0)\ge f'(x_0)(x - x_0)$ . В обоих случаях $f(x)\ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ; при строгой выпуклости $f'$ строго возрастает, и неравенства строгие.

Достаточность. Пусть $x_1 < x_2$ — внутренние точки $X$ . Запишем неравенство для касательной в точке $x_1$ при $x = x_2$ и для касательной в точке $x_2$ при $x = x_1$ :

f(x_2)\ge f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1),\qquad f(x_1)\ge f(x_2) + f'(x_2)(x_1 - x_2).

Складывая, получаем $0\ge(x_2 - x_1)(f'(x_1) - f'(x_2))$ , т. е. $f'(x_1)\le f'(x_2)$ (при строгих неравенствах — $f'(x_1) < f'(x_2)$ ). Значит, $f'$ не убывает (строго возрастает), и по условию выпуклости по первой производной $f$ выпукла вниз (строго). $\blacksquare$

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ и дифференцируема в проколотой окрестности $(a - \delta, a)\cup(a, a + \delta)$ .

Если $f'(x) > 0$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f'(x) < 0$ при $x\in(a, a + \delta)$ (производная меняет знак с « $+$ » на « $-$ »), то $a$ — точка строгого локального максимума.
Если $f' < 0$ на $(a - \delta, a)$ и $f' > 0$ на $(a, a + \delta)$ (смена знака с « $-$ » на « $+$ »), то $a$ — точка строгого локального минимума.
Если $f'$ имеет один и тот же знак на $(a - \delta, a)$ и на $(a, a + \delta)$ , то экстремума в точке $a$ нет.

Доказательство

Развернуть

Функция $f$ дифференцируема, а значит, непрерывна на $(a - \delta, a)$ и непрерывна в точке $a$ ; поэтому для любого $x\in(a - \delta, a)$ она непрерывна на $[x, a]$ и дифференцируема на $(x, a)$ . Аналогично для $x\in(a, a+\delta)$ и отрезка $[a, x]$ .

Пункт 1. Для $x\in(a - \delta, a)$ по теореме Лагранжа

f(a) - f(x) = f'(c)(a - x) > 0,\quad c\in(x, a),

так как $f'(c) > 0$ . Для $x\in(a, a + \delta)$ :

f(x) - f(a) = f'(c)(x - a) < 0,\quad c\in(a, x).

Итак, $f(x) < f(a)$ при всех $x\ne a$ из окрестности — строгий максимум.

Пункт 2 получается применением пункта 1 к функции $-f$ .

Пункт 3. Пусть $f' > 0$ с обеих сторон. Те же оценки дают $f(x) < f(a)$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f(x) > f(a)$ при $x\in(a, a+\delta)$ , так что в любой окрестности $a$ есть значения как меньше, так и больше $f(a)$ ; экстремума нет. Случай $f' < 0$ аналогичен. $\blacksquare$

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во всех его внутренних точках (множество внутренних точек обозначим $\mathring X$ ).

$f$ не убывает на $X$ тогда и только тогда, когда

f'(x)\ge 0\quad\text{для всех } x\in\mathring X;

аналогично $f$ не возрастает на $X$ $\iff$ $f'(x)\le 0$ на $\mathring X$ . 2. Если $f'(x) > 0$ на $\mathring X$ , то $f$ строго возрастает на $X$ (если $f' < 0$ — строго убывает). Обратное неверно: $f(x) = x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , но $f'(0) = 0$ . 3. (Критерий строгой монотонности.) $f$ строго возрастает на $X$ тогда и только тогда, когда $f'(x)\ge 0$ на $\mathring X$ и $f'$ не обращается тождественно в нуль ни на каком интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость в пункте 1. Пусть $f$ не убывает на $X$ и $x\in\mathring X$ . Для всех достаточно малых $h\ne 0$ точка $x + h\in X$ , и разностное отношение $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\ge 0$ : при $h > 0$ числитель неотрицателен, при $h < 0$ неположителен. Переходя к пределу в неравенстве при $h\to 0$ , получаем $f'(x)\ge 0$ .

Достаточность в пунктах 1 и 2. Пусть $x_1, x_2\in X$ , $x_1 < x_2$ . На отрезке $[x_1, x_2]$ функция $f$ непрерывна, а на $(x_1, x_2)\subset\mathring X$ дифференцируема. По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\quad c\in(x_1, x_2).

Если $f'\ge 0$ на $\mathring X$ , то $f(x_2)\ge f(x_1)$ ; если $f' > 0$ , то $f(x_2) > f(x_1)$ . Случай невозрастания получается заменой $f$ на $-f$ .

Необходимость в пункте 3. Если $f$ строго возрастает, то по пункту 1 $f'\ge 0$ на $\mathring X$ . Если бы $f'\equiv 0$ на некотором интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ , то по следствию теоремы Лагранжа $f$ была бы постоянной на $(\alpha, \beta)$ , что противоречит строгому возрастанию.

Достаточность в пункте 3. По пункту 1 $f$ не убывает. Пусть $f$ не является строго возрастающей: $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1 < x_2$ . Тогда для $x\in[x_1, x_2]$ из монотонности $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) = f(x_1)$ , т. е. $f$ постоянна на $[x_1, x_2]$ и $f'\equiv 0$ на $(x_1, x_2)$ — противоречие с условием. $\blacksquare$

Лемма о функции с нулевыми производными в точке

Формулировка

Пусть функция $\varphi$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ ( $n\ge 1$ ) и

\varphi(a) = \varphi'(a) = \ldots = \varphi^{(n)}(a) = 0.

Тогда

\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)\qquad\text{при } x\to a.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . База $n = 1$ : так как $\varphi(a) = 0$ и $\varphi'(a) = 0$ , по определению производной

\frac{\varphi(x)}{x - a} = \frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{x - a}\to\varphi'(a) = 0,

т.е. $\varphi(x) = o(x - a)$ .

Индукционный переход. Пусть утверждение верно для $n - 1\ge 1$ (для любой функции), и $\varphi$ удовлетворяет условиям с номером $n$ . Так как $\varphi^{(n)}(a)$ существует, производная $\varphi'$ определена в некоторой окрестности $U$ точки $a$ , $(n - 1)$ раз дифференцируема в точке $a$ , и $\varphi'(a) = (\varphi')'(a) = \ldots = (\varphi')^{(n - 1)}(a) = 0$ . По предположению индукции $\varphi'(t) = o\bigl((t - a)^{n - 1}\bigr)$ : для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ (с $(a - \delta, a + \delta)\subset U$ ) такое, что

|\varphi'(t)|\le\varepsilon|t - a|^{n - 1}\qquad\text{при } 0 < |t - a| < \delta.

Пусть $0 < |x - a| < \delta$ . Функция $\varphi$ дифференцируема (а значит, и непрерывна) на отрезке с концами $a$ и $x$ , и по теореме Лагранжа

\varphi(x) = \varphi(x) - \varphi(a) = \varphi'(c)(x - a),

где $c$ лежит строго между $a$ и $x$ , так что $0 < |c - a| < |x - a| < \delta$ .

Следовательно,

|\varphi(x)| = |\varphi'(c)|\,|x - a|\le\varepsilon|c - a|^{n - 1}|x - a|\le\varepsilon|x - a|^n.

В силу произвольности $\varepsilon$ это означает $\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ . $\blacksquare$

Теорема Бернулли–Лопиталя для неопределённости [∞/∞]

Формулировка

Пусть $a\in\mathbb R$ или $a = \pm\infty$ , и в некоторой проколотой (или односторонней) окрестности $\mathring U(a)$ :

функции $f$ и $g$ дифференцируемы, причём $g'(x)\ne 0$ ;
$\lim\limits_{x\to a}g(x) = \infty$ (обычно и $f(x)\to\infty$ , но это не требуется);
существует предел $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A$ , где $A\in\mathbb R$ , или $A = +\infty$ , или $A = -\infty$ .

Тогда

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A.

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим случай $x\to a + 0$ , $a\in\mathbb R$ , условия выполнены на $(a, a + \delta)$ . Остальные случаи ( $x\to a - 0$ , $x\to a$ , $x\to\pm\infty$ , $x\to\infty$ ) сводятся к этому так же, как в теореме Бернулли–Лопиталя для неопределённости $\left[\frac00\right]$ : через односторонние пределы и заменой $x = 1/t$ (условие $g\to\infty$ при замене сохраняется).

Основное тождество. Зафиксируем $\eta\in(a, a + \delta)$ . Для любого $x\in(a, \eta)$ функции $f$ , $g$ удовлетворяют на $[x, \eta]$ условиям теоремы Коши, поэтому $g(x)\ne g(\eta)$ и

Q(x) := \frac{f(x) - f(\eta)}{g(x) - g(\eta)} = \frac{f'(c)}{g'(c)},\qquad c = c(x)\in(x, \eta).

Так как $g(x)\to\infty$ , при $x$ , близких к $a$ , $g(x)\ne 0$ , и непосредственно проверяется равенство

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(\eta)}{g(x)} + \Bigl(1 - \frac{g(\eta)}{g(x)}\Bigr)Q(x).

(Действительно, $\bigl(1 - \frac{g(\eta)}{g(x)}\bigr)Q(x) = \frac{g(x) - g(\eta)}{g(x)}\cdot\frac{f(x) - f(\eta)}{g(x) - g(\eta)} = \frac{f(x) - f(\eta)}{g(x)}$ .) При фиксированном $\eta$ и $x\to a + 0$ величины $\frac{f(\eta)}{g(x)}$ и $\frac{g(\eta)}{g(x)}$ бесконечно малы, так как $\frac1{g(x)}$ — бесконечно малая (связь бесконечно больших и бесконечно малых).

Конечный $A$ . Пусть $0 < \varepsilon < 1$ . Выберем $\eta\in(a, a + \delta)$ так, чтобы $\left|\frac{f'(t)}{g'(t)} - A\right| < \varepsilon$ при $t\in(a, \eta)$ . Тогда для всех $x\in(a, \eta)$ , поскольку $c(x)\in(a, \eta)$ , имеем $|Q(x) - A| < \varepsilon$ и $|Q(x)| < |A| + 1$ .

При этом $\eta$ найдём $\delta_1\in(0, \eta - a)$ так, что при $x\in(a, a + \delta_1)$ выполнено $g(x)\ne 0$ , $\left|\frac{f(\eta)}{g(x)}\right| < \varepsilon$ , $\left|\frac{g(\eta)}{g(x)}\right| < \varepsilon$ . Из основного тождества при таких $x$

\left|\frac{f(x)}{g(x)} - A\right|\le\left|\frac{f(\eta)}{g(x)}\right| + |Q(x) - A| + \left|\frac{g(\eta)}{g(x)}\right||Q(x)| < \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon(|A| + 1) = (|A| + 3)\varepsilon.

В силу произвольности $\varepsilon$ это означает $\frac{f(x)}{g(x)}\to A$ .

Случай $A = +\infty$ . Пусть $E > 0$ . Выберем $\eta$ так, что $\frac{f'(t)}{g'(t)} > 2(E + 1)$ при $t\in(a, \eta)$ ; тогда $Q(x) > 2(E + 1)$ при $x\in(a, \eta)$ . Затем выберем $\delta_1$ так, что при $x\in(a, a + \delta_1)$ выполнено $\left|\frac{f(\eta)}{g(x)}\right| < 1$ и $\left|\frac{g(\eta)}{g(x)}\right| < \frac12$ . Тогда $1 - \frac{g(\eta)}{g(x)} > \frac12$ и

\frac{f(x)}{g(x)} > -1 + \frac12\cdot 2(E + 1) = E.

Значит, $\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty$ . Случай $A = -\infty$ сводится к предыдущему заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

Теорема Бернулли–Лопиталя для неопределённости [0/0]

Формулировка

Пусть $a\in\mathbb R$ или $a = \pm\infty$ , и в некоторой проколотой (или односторонней) окрестности $\mathring U(a)$ точки $a$ :

функции $f$ и $g$ дифференцируемы, причём $g'(x)\ne 0$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x) = \lim\limits_{x\to a}g(x) = 0$ ;
существует (конечный или бесконечный) предел $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A$ .

Тогда $g(x)\ne 0$ в $\mathring U(a)$ , существует предел отношения функций и

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A.

Замечания. 1) Если $\frac{f'}{g'}$ снова даёт неопределённость $\left[\frac00\right]$ и $f'$ , $g'$ удовлетворяют условиям теоремы, правило можно применить повторно. 2) Теорема даёт лишь достаточное условие: из существования $\lim\frac fg$ не следует существование $\lim\frac{f'}{g'}$ .

Доказательство

Развернуть

Случай $x\to a + 0$ , $a\in\mathbb R$ . Пусть условия выполнены на $(a, a + \delta)$ . Доопределим $f(a) = g(a) = 0$ ; тогда по условию 2 функции $f$ , $g$ непрерывны на $[a, a + \delta)$ , а на $(a, a + \delta)$ дифференцируемы (и потому непрерывны).

Для любого $x\in(a, a + \delta)$ функции $f$ , $g$ на отрезке $[a, x]$ удовлетворяют условиям теоремы Коши ( $g'\ne 0$ на $(a, x)$ ). Поэтому $g(x) = g(x) - g(a)\ne 0$ и найдётся $c = c(x)\in(a, x)$ такое, что

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

Пусть $V$ — произвольная окрестность $A$ (конечного или бесконечного). По условию 3 существует $\delta_1\in(0, \delta]$ такое, что $\frac{f'(t)}{g'(t)}\in V$ для всех $t\in(a, a + \delta_1)$ . Если $x\in(a, a + \delta_1)$ , то $c(x)\in(a, x)\subset(a, a + \delta_1)$ , следовательно, $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}\in V$ . Это и означает, что $\frac{f(x)}{g(x)}\to A$ при $x\to a + 0$ .

Случай $x\to a - 0$ разбирается так же (отрезок $[x, a]$ ), а двусторонний предел при $x\to a$ получается из совпадения односторонних по теореме о связи двустороннего предела с односторонними.

Случай $x\to+\infty$ . Пусть условия выполнены на $(M, +\infty)$ , $M > 0$ . Положим $F(t) = f(1/t)$ , $G(t) = g(1/t)$ при $t\in(0, 1/M)$ . По теореме о пределе сложной функции ( $1/t\to+\infty$ при $t\to 0 + 0$ ) $F(t)\to 0$ , $G(t)\to 0$ . По правилу дифференцирования сложной функции

F'(t) = -\frac{1}{t^2}f'\Bigl(\frac1t\Bigr),\qquad G'(t) = -\frac{1}{t^2}g'\Bigl(\frac1t\Bigr)\ne 0,\qquad \frac{F'(t)}{G'(t)} = \frac{f'(1/t)}{g'(1/t)}\to A\ \ (t\to 0 + 0).

По уже доказанному $\frac{F(t)}{G(t)}\to A$ при $t\to 0 + 0$ . Снова по теореме о пределе сложной функции ( $1/x\to 0 + 0$ и $1/x\ne 0$ при $x\to+\infty$ ) получаем $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F(1/x)}{G(1/x)}\to A$ .

Случай $x\to-\infty$ аналогичен, а случай $x\to\infty$ следует из двух предыдущих, так как окрестность $\infty$ есть объединение окрестностей $+\infty$ и $-\infty$ . $\blacksquare$

Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде

Формулировка

Пусть $x\ne a$ и $\Delta$ — отрезок с концами $a$ и $x$ . Пусть функция $f$ имеет на $\Delta$ непрерывные производные до порядка $n$ включительно (в концах — односторонние), а во внутренних точках $\Delta$ — производную $f^{(n + 1)}$ . Пусть функция $\varphi$ непрерывна на $\Delta$ , дифференцируема во внутренних точках $\Delta$ и $\varphi'(t)\ne 0$ при $t$ строго между $a$ и $x$ . Тогда существует точка $c$ , лежащая строго между $a$ и $x$ , такая, что

R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = \frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{\varphi'(c)\,n!}\,f^{(n + 1)}(c)\,(x - c)^n.

Это остаточный член в общей форме (форме Шлёмильха–Роша). Точку $c$ можно записать как $c = a + \theta(x - a)$ , $0 < \theta < 1$ .

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $x$ и рассмотрим как функцию переменной $t\in\Delta$

F(t) = f(x) - \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k,

т.е. остаток формулы Тейлора с центром $t$ , вычисленный в точке $x$ . Функция $F$ непрерывна на $\Delta$ (производные $f^{(k)}$ , $k\le n$ , непрерывны на $\Delta$ ) и дифференцируема во внутренних точках $\Delta$ (там существуют $f^{(k + 1)}$ , $k\le n$ ).

Значения на концах: $F(x) = f(x) - f(x) = 0$ (при $t = x$ все слагаемые с $k\ge 1$ равны нулю), $F(a) = R_n(x)$ .

Производная. Дифференцируя произведения, при $k\ge 1$ получаем

\left(\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k\right)' = \frac{f^{(k + 1)}(t)}{k!}(x - t)^k - \frac{f^{(k)}(t)}{(k - 1)!}(x - t)^{k - 1},

а при $k = 0$ производная равна $f'(t)$ . При суммировании по $k = 0, \ldots, n$ слагаемые попарно сокращаются («телескопическая» сумма), и остаётся только $\frac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n$ . Значит,

F'(t) = -\frac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n.

Применим к функциям $F$ и $\varphi$ на отрезке $\Delta$ теорему Коши (её равенство симметрично относительно перестановки концов, так что порядок $a$ и $x$ не важен): $\varphi(x)\ne\varphi(a)$ и найдётся $c$ строго между $a$ и $x$ с

\frac{F(x) - F(a)}{\varphi(x) - \varphi(a)} = \frac{F'(c)}{\varphi'(c)},\qquad\text{т.е.}\qquad \frac{-R_n(x)}{\varphi(x) - \varphi(a)} = -\frac{f^{(n + 1)}(c)(x - c)^n}{n!\,\varphi'(c)}.

Умножая на $-(\varphi(x) - \varphi(a))$ , получаем требуемую формулу. $\blacksquare$

Достаточное условие равномерной непрерывности

Формулировка

Если функция $f$ удовлетворяет на множестве $X$ условию Липшица

|f(x') - f(x'')|\le L|x' - x''|\qquad\forall x', x''\in X,

то $f$ равномерно непрерывна на $X$ . 2. Более общо, равномерно непрерывна на $X$ любая функция, удовлетворяющая на $X$ условию Гёльдера $|f(x') - f(x'')|\le L|x' - x''|^\alpha$ , $0 < \alpha\le 1$ . 3. Примеры: $\sin x$ и $\cos x$ равномерно непрерывны на $\mathbb R$ ; функция $\sqrt x$ удовлетворяет на $[0, +\infty)$ неравенству

|\sqrt{x'} - \sqrt{x''}|\le\sqrt{|x' - x''|}

и потому равномерно непрерывна на $[0, +\infty)$ , хотя условию Липшица на $[0, 1]$ не удовлетворяет.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1 — частный случай пункта 2 при $\alpha = 1$ ; докажем пункт 2. Если $L = 0$ , то $f$ постоянна, и годится любое $\delta$ . Пусть $L > 0$ и $\varepsilon > 0$ . Положим

\delta = \Bigl(\frac\varepsilon L\Bigr)^{1/\alpha}.

Тогда при $x', x''\in X$ , $|x' - x''| < \delta$ , получаем $|f(x') - f(x'')|\le L|x' - x''|^\alpha < L\delta^\alpha = \varepsilon$ . Поскольку $\delta$ зависит только от $\varepsilon$ , функция равномерно непрерывна.

Пример $\sin$ , $\cos$ : при доказательстве теоремы о непрерывности основных элементарных функций установлено, что $|\sin x' - \sin x''|\le|x' - x''|$ и $|\cos x' - \cos x''|\le|x' - x''|$ , т. е. выполнено условие Липшица с $L = 1$ .

Пример $\sqrt x$ : пусть $x'\ge x''\ge 0$ . Неравенство $\sqrt{x'} - \sqrt{x''}\le\sqrt{x' - x''}$ равносильно (обе части неотрицательны) неравенству $\sqrt{x'}\le\sqrt{x''} + \sqrt{x' - x''}$ , а после возведения в квадрат — неравенству $x'\le x'' + 2\sqrt{x''(x' - x'')} + x' - x''$ , т. е. $0\le 2\sqrt{x''(x' - x'')}$ , которое верно. Значит, выполнено условие Гёльдера порядка $\frac12$ с $L = 1$ , и $\sqrt x$ равномерно непрерывна на $[0, +\infty)$ (подходит $\delta = \varepsilon^2$ ). Условие Липшица на $[0, 1]$ нарушено: при $x' = x > 0$ , $x'' = 0$ отношение $\frac{\sqrt x}{x} = \frac1{\sqrt x}$ неограниченно растёт при $x\to+0$ . $\blacksquare$

Знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ и $c\in\mathbb R$ .

Если $A > c$ (здесь $A\in\mathbb R$ или $A = +\infty$ ), то существует $\delta > 0$ такое, что $f(x) > c$ для всех $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Аналогично, если $A < c$ ( $A\in\mathbb R$ или $A = -\infty$ ), то $f(x) < c$ в некоторой проколотой окрестности.
В частности, если $0 < A < +\infty$ , то в некоторой проколотой окрестности

f(x) > \frac A2 > 0,

а если $A\in\mathbb R$ , $A\ne 0$ , то в некоторой проколотой окрестности $|f(x)| > \frac{|A|}2$ ; в частности, $f(x)$ сохраняет знак числа $A$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $A\in\mathbb R$ , $A > c$ . Возьмём $\varepsilon = A - c > 0$ ; найдётся $\delta > 0$ с $|f(x) - A| < A - c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ , откуда $f(x) > A - (A - c) = c$ . Если $A = +\infty$ , то по определению бесконечного предела для числа $M = c$ найдётся $\delta > 0$ с $f(x) > c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Случай $A < c$ получается заменой $f$ на $-f$ , $c$ на $-c$ .
Для $0 < A < +\infty$ применим п. 1 с $c = \frac A2 < A$ . Для конечного $A\ne 0$ возьмём $\varepsilon = \frac{|A|}2$ : при $|f(x) - A| < \frac{|A|}2$ имеем

|f(x)|\ge |A| - |f(x) - A| > \frac{|A|}2,

а также $f(x)$ лежит в интервале $\left(A - \frac{|A|}2, A + \frac{|A|}2\right)$ , не содержащем нуля, и потому имеет тот же знак, что $A$ . $\blacksquare$

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , то она непрерывна в точке $a$ .

Обратное неверно: функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $0$ , но не дифференцируема в ней.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,\qquad \alpha(\Delta x)\to 0.

При $\Delta x\to 0$ оба слагаемых стремятся к нулю, поэтому $\Delta y\to 0$ . По определению непрерывности через приращения (равносильному остальным по теореме об эквивалентности определений непрерывности) $f$ непрерывна в точке $a$ .

Контрпример. Функция $|x|$ непрерывна в нуле: $\big||\Delta x| - 0\big| = |\Delta x|\to 0$ . Но $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ , и по теореме о существовании производной и односторонних производных $f'(0)$ не существует; значит, $|x|$ не дифференцируема в нуле. $\blacksquare$

Замечания

Из бесконечной производной непрерывность не следует: $\operatorname{sign}x$ разрывна в нуле, но $f'(0) = +\infty$ . 2) Существуют функции, непрерывные на всей прямой и не дифференцируемые ни в одной точке (пример Вейерштрасса).

Формула Лейбница

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ $n$ раз дифференцируемы в точке $x$ , $\alpha, \beta\in\mathbb R$ . Тогда:

$(\alpha u + \beta v)^{(n)} = \alpha u^{(n)} + \beta v^{(n)}$ ;
произведение $uv$ $n$ раз дифференцируемо в точке $x$ и

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)},\qquad u^{(0)} = u,\ v^{(0)} = v.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1 получается индукцией по $n$ из линейности первой производной.

Пункт 2 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ это правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ .

Пусть формула верна для всех пар функций, $n$ раз дифференцируемых в точке, и пусть $u$ , $v$ $(n + 1)$ раз дифференцируемы в точке $x$ . Тогда $u^{(n)}$ , $v^{(n)}$ существуют в некоторой окрестности $U$ точки $x$ , т. е. $u$ и $v$ $n$ раз дифференцируемы в каждой точке $U$ , и по предположению индукции на $U$

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}.

Каждый множитель $u^{(n-k)}$ , $v^{(k)}$ ( $0\le k\le n$ ) дифференцируем в точке $x$ , поэтому по правилу произведения и линейности

(uv)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k+1)}v^{(k)} + \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k+1)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n+1-k)}v^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1}C_n^{k-1}\,u^{(n+1-k)}v^{(k)}

(во второй сумме индекс сдвинут: $k + 1\to k$ ).

Выделим слагаемое с $k = 0$ из первой суммы ( $u^{(n+1)}v$ ) и с $k = n + 1$ из второй ( $uv^{(n+1)}$ ); при $1\le k\le n$ коэффициенты складываются: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$ (свойство биномиальных коэффициентов). Так как $C_{n+1}^0 = C_{n+1}^{n+1} = 1$ , получаем

(uv)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^k\,u^{(n+1-k)}v^{(k)}.

По принципу математической индукции формула верна при всех $n$ . $\blacksquare$

Замечание

Формула Лейбница устроена как бином Ньютона $(a + b)^n$ с заменой степеней $a^{n-k}b^k$ на производные $u^{(n-k)}v^{(k)}$ . Особенно удобна, когда один из множителей — многочлен: тогда в сумме лишь несколько ненулевых слагаемых.

Производные основных элементарных функций

Формулировка

В каждой точке области определения (с указанными ограничениями) справедливы формулы:

$(C)' = 0$ ; $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ при $x > 0$ , $\alpha\in\mathbb R$ (при $\alpha\in\mathbb N$ — при всех $x$ , при целых $\alpha < 0$ — при $x\ne 0$ ; если $\alpha = \frac pq$ с нечётным $q$ , то и при $x < 0$ );
$(a^x)' = a^x\ln a$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), $(e^x)' = e^x$ ;
$(\log_ax)' = \frac1{x\ln a}$ , $(\ln x)' = \frac1x$ ( $x > 0$ ); $(\ln|x|)' = \frac1x$ ( $x\ne 0$ );
$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg}x)' = \frac1{\cos^2x}$ ( $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ ), $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac1{\sin^2x}$ ( $x\ne\pi k$ );
$(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ , $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ ( $|x| < 1$ ); $(\operatorname{arctg}x)' = \frac1{1 + x^2}$ , $(\operatorname{arcctg}x)' = -\frac1{1 + x^2}$ ;
$(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \operatorname{sh}x$ , $(\operatorname{th}x)' = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ ( $x\ne 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Степенная функция при $x > 0$ . Положим $t = \frac{\Delta x}{x}$ ; тогда $t\to 0$ , $t\ne 0$ при $\Delta x\to 0$ , $\Delta x\ne 0$ , и

\frac{(x + \Delta x)^\alpha - x^\alpha}{\Delta x} = x^{\alpha - 1}\cdot\frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t}\to\alpha x^{\alpha - 1}

по следствию второго замечательного предела $\frac{(1 + t)^\mu - 1}{t}\to\mu$ и теореме о пределе сложной функции. Для $\alpha\in\mathbb N$ при всех $x$ и для целых $\alpha < 0$ при $x\ne 0$ формула доказана в следствиях правил дифференцирования; постоянная имеет нулевое приращение. Если $\alpha = \frac pq$ , $q$ нечётно, $x < 0$ , то $x^\alpha = (-1)^p(-x)^\alpha$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(x^\alpha)' = (-1)^{p+1}\alpha(-x)^{\alpha - 1}$ ; так как $q$ нечётно, $x^{\alpha - 1} = x^{(p - q)/q} = (-1)^{p - q}(-x)^{\alpha - 1} = (-1)^{p + 1}(-x)^{\alpha - 1}$ , т. е. снова $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ .

Показательная функция: $\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} = a^x\cdot\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\to a^x\ln a$ по следствию второго замечательного предела; при $a = e$ получаем $e^x$ .

Логарифм, $x > 0$ : при $t = \frac{\Delta x}{x}$

\frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_ax}{\Delta x} = \frac1x\cdot\frac{\ln(1 + t)}{t\ln a}\to\frac1{x\ln a},

так как $\frac{\ln(1 + t)}{t}\to 1$ . При $x < 0$ : $\ln|x| = \ln(-x)$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(\ln(-x))' = \frac1{-x}\cdot(-1) = \frac1x$ .

Синус и косинус: по формулам разности

\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\cos\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to\cos x,

\frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = -\frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\sin\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to-\sin x

по первому замечательному пределу и непрерывности $\sin$ , $\cos$ .

Тангенс и котангенс — по правилу дифференцирования частного: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2x} = \frac1{\cos^2x}$ , $(\operatorname{ctg}x)' = \frac{-\sin^2x - \cos^2x}{\sin^2x} = -\frac1{\sin^2x}$ .

Обратные тригонометрические функции — по теореме о производной обратной функции. Функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает на $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ ; при $|x| < 1$ точка $y = \arcsin x$ внутренняя и $(\sin y)' = \cos y > 0$ , поэтому $(\arcsin x)' = \frac1{\cos y} = \frac1{\sqrt{1 - \sin^2y}} = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \arccos x\in(0, \pi)$ : $(\cos y)' = -\sin y < 0$ , $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$ , откуда $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \operatorname{arctg}x\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ : $(\operatorname{arctg}x)' = \cos^2y = \frac1{1 + \operatorname{tg}^2y} = \frac1{1 + x^2}$ . Для $y = \operatorname{arcctg}x\in(0, \pi)$ : $(\operatorname{arcctg}x)' = -\sin^2y = -\frac1{1 + \operatorname{ctg}^2y} = -\frac1{1 + x^2}$ .

Гиперболические функции. По правилу дифференцирования сложной функции $(e^{-x})' = -e^{-x}$ , поэтому $(\operatorname{sh}x)' = \frac{e^x + e^{-x}}2 = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \frac{e^x - e^{-x}}2 = \operatorname{sh}x$ . По правилу частного и тождеству $\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x = 1$ : $(\operatorname{th}x)' = \frac{\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x}{\operatorname{ch}^2x} = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = \frac{\operatorname{sh}^2x - \operatorname{ch}^2x}{\operatorname{sh}^2x} = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ . $\blacksquare$

Производная сложной функции

Формулировка

Пусть функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $a$ и дифференцируема в точке $a$ , а функция $z = g(y)$ определена в окрестности $V$ точки $b = f(a)$ и дифференцируема в точке $b$ . Тогда сложная функция $h = g\circ f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ , дифференцируема в точке $a$ и

h'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a),\qquad\text{т. е.}\quad \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о непрерывности дифференцируемой функции $f$ непрерывна в точке $a$ , поэтому найдётся окрестность $U$ точки $a$ , для которой $f(U)\subset V$ ; на $U$ определена функция $h(x) = g(f(x))$ .

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной (пункт 2) для $g$ в точке $b$ : при всех $\Delta y$ с $b + \Delta y\in V$

g(b + \Delta y) - g(b) = g'(b)\,\Delta y + \beta(\Delta y)\,\Delta y,

где $\beta(0) = 0$ и $\beta$ непрерывна в нуле. Важно, что формула верна и при $\Delta y = 0$ .

Пусть $\Delta x\ne 0$ , $a + \Delta x\in U$ , $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ (возможно, $\Delta y = 0$ ). Тогда $h(a + \Delta x) - h(a) = g(b + \Delta y) - g(b)$ , и после деления на $\Delta x$ :

\frac{h(a + \Delta x) - h(a)}{\Delta x} = g'(b)\,\frac{\Delta y}{\Delta x} + \beta(\Delta y)\,\frac{\Delta y}{\Delta x}.

При $\Delta x\to 0$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)$ ; функция $\Delta x\mapsto\Delta y$ непрерывна в нуле и равна там нулю, а $\beta$ непрерывна в нуле и $\beta(0) = 0$ , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции $\beta(\Delta y(\Delta x))\to 0$ . По теореме об арифметических операциях с пределами правая часть стремится к $g'(b)f'(a)$ . Следовательно, $h'(a) = g'(f(a))f'(a)$ — конечна, т. е. $h$ дифференцируема в точке $a$ . $\blacksquare$

Замечание

Приём с функцией $\beta$ , доопределённой нулём, нужен потому, что $\Delta y$ может обращаться в нуль при сколь угодно малых $\Delta x\ne 0$ (например, для $f(x) = x^2\sin\frac1x$ при $a = 0$ ), и делить на $\Delta y$ нельзя.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Формулировка

Доказательство

Теорема Ролля

Формулировка

Доказательство

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши об обобщённых конечных приращениях

Формулировка

Доказательство

Следствия теоремы Лагранжа

Формулировка

Доказательство

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Формулировка

Доказательство

Проверка условий теоремы Ролля

Условие

Решение

Нахождение промежуточной точки в теореме Лагранжа

Условие

Решение

Теорема Коши — проверка условий и контрпример

Условие

Решение

Неравенства Липшица для синуса, арктангенса и тангенса

Условие

Решение

Двусторонние оценки логарифма и арктангенса

Условие

Решение

Число корней уравнения и теорема Ролля

Условие

Решение

Доказательство тождества через постоянство функции

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Локальный экстремум

Производная функции в точке

Односторонние производные

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Касательная и нормаль к графику функции

Функции, заданные параметрически и неявно

Равномерная непрерывность

Существование производной и односторонние производные

Формулировка

Доказательство

Замечание

Предельный переход в неравенстве

Формулировка

Доказательство

Необходимое условие точки перегиба

Формулировка

Доказательство

Необходимое условие локального экстремума

Формулировка

Доказательство

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)

Формулировка

Доказательство

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Доказательство

Условие выпуклости по первой производной

Формулировка

Доказательство

Связь выпуклости с положением касательной

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Доказательство

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Доказательство