Производные сложной и обратной функций. Производные высших порядков

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Производная обратной функции
Производная сложной функции
Производная чётной, нечётной и периодической функции
Производные основных элементарных функций
Логарифмическая производная. Производная показательно-степенной функции
Производная функции, заданной параметрически и неявно
Производные высших порядков основных функций
Формула Лейбница

теорема

Производная обратной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна и строго монотонна на промежутке $I$ , $x_0$ — внутренняя точка $I$ , и существует конечная производная $f'(x_0)\ne 0$ . Тогда обратная функция $g = f^{-1}$ , определённая на промежутке $J = f(I)$ , дифференцируема в точке $y_0 = f(x_0)$ и

g'(y_0) = \frac1{f'(x_0)}.

Если же $f'(x_0) = 0$ , то $g'(y_0) = +\infty$ при возрастающей $f$ и $g'(y_0) = -\infty$ при убывающей.

Геометрически: графики $f$ и $g$ симметричны относительно прямой $y = x$ , и если касательные образуют с осями абсцисс углы $\alpha$ и $\beta$ , то $\operatorname{tg}\beta = \frac1{\operatorname{tg}\alpha}$ , т. е. $\alpha + \beta = \frac\pi2$ для возрастающей $f$ и $\alpha + \beta = -\frac\pi2$ для убывающей.

Доказательство

Развернуть

По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $g$ определена на промежутке $J$ , строго монотонна (того же характера, что $f$ ) и непрерывна на $J$ . Точка $y_0$ внутренняя для $J$ : найдутся $x_1 < x_0 < x_2$ из $I$ , значения $f(x_1)$ и $f(x_2)$ лежат по разные стороны от $y_0$ и отличны от него, а весь отрезок между ними лежит в промежутке $J$ .

Пусть $\Delta y\ne 0$ , $y_0 + \Delta y\in J$ , и $\Delta x = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0)$ . Так как $g$ инъективна, $\Delta x\ne 0$ ; так как $g$ непрерывна в $y_0$ , $\Delta x\to 0$ при $\Delta y\to 0$ . Кроме того, $f(x_0 + \Delta x) = y_0 + \Delta y$ , т. е. $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ .

Положим $h(\Delta x) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ ; по условию $h(\Delta x)\to f'(x_0)$ при $\Delta x\to 0$ . Внутренняя функция $\Delta x(\Delta y)$ стремится к $0$ и не обращается в $0$ при $\Delta y\ne 0$ , поэтому по теореме о пределе сложной функции $h(\Delta x(\Delta y))\to f'(x_0)$ при $\Delta y\to 0$ . Тогда

\frac{g(y_0 + \Delta y) - g(y_0)}{\Delta y} = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac1{h(\Delta x(\Delta y))}\to\frac1{f'(x_0)}

по теореме об арифметических операциях с пределами (так как $f'(x_0)\ne 0$ ).

Если $f'(x_0) = 0$ , то $h(\Delta x(\Delta y))$ — бесконечно малая, отличная от нуля (так как $\Delta y\ne 0$ ), и по связи бесконечно больших и бесконечно малых $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ бесконечно велико. При возрастающей $f$ приращения $\Delta x$ и $\Delta y$ одного знака, поэтому $\frac{\Delta x}{\Delta y} > 0$ и $g'(y_0) = +\infty$ ; при убывающей — $g'(y_0) = -\infty$ . $\blacksquare$

теорема

Производная сложной функции

Формулировка

Пусть функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $a$ и дифференцируема в точке $a$ , а функция $z = g(y)$ определена в окрестности $V$ точки $b = f(a)$ и дифференцируема в точке $b$ . Тогда сложная функция $h = g\circ f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ , дифференцируема в точке $a$ и

h'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a),\qquad\text{т. е.}\quad \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о непрерывности дифференцируемой функции $f$ непрерывна в точке $a$ , поэтому найдётся окрестность $U$ точки $a$ , для которой $f(U)\subset V$ ; на $U$ определена функция $h(x) = g(f(x))$ .

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной (пункт 2) для $g$ в точке $b$ : при всех $\Delta y$ с $b + \Delta y\in V$

g(b + \Delta y) - g(b) = g'(b)\,\Delta y + \beta(\Delta y)\,\Delta y,

где $\beta(0) = 0$ и $\beta$ непрерывна в нуле. Важно, что формула верна и при $\Delta y = 0$ .

Пусть $\Delta x\ne 0$ , $a + \Delta x\in U$ , $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ (возможно, $\Delta y = 0$ ). Тогда $h(a + \Delta x) - h(a) = g(b + \Delta y) - g(b)$ , и после деления на $\Delta x$ :

\frac{h(a + \Delta x) - h(a)}{\Delta x} = g'(b)\,\frac{\Delta y}{\Delta x} + \beta(\Delta y)\,\frac{\Delta y}{\Delta x}.

При $\Delta x\to 0$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)$ ; функция $\Delta x\mapsto\Delta y$ непрерывна в нуле и равна там нулю, а $\beta$ непрерывна в нуле и $\beta(0) = 0$ , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции $\beta(\Delta y(\Delta x))\to 0$ . По теореме об арифметических операциях с пределами правая часть стремится к $g'(b)f'(a)$ . Следовательно, $h'(a) = g'(f(a))f'(a)$ — конечна, т. е. $h$ дифференцируема в точке $a$ . $\blacksquare$

Замечание

Приём с функцией $\beta$ , доопределённой нулём, нужен потому, что $\Delta y$ может обращаться в нуль при сколь угодно малых $\Delta x\ne 0$ (например, для $f(x) = x^2\sin\frac1x$ при $a = 0$ ), и делить на $\Delta y$ нельзя.

следствие

Производная чётной, нечётной и периодической функции

Формулировка

Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $(-l, l)$ ( $0 < l\le+\infty$ ).

Если $f$ чётна, то $f'$ нечётна; если $f$ нечётна, то $f'$ чётна.
Если $f$ дифференцируема на $\mathbb R$ и $T$ -периодична, то $f'$ также $T$ -периодична.

Доказательство

Развернуть

Если две функции совпадают на интервале, то совпадают и их производные (разностные отношения одинаковы). Функция $x\mapsto f(-x)$ — композиция дифференцируемых функций $x\mapsto -x$ и $f$ , поэтому по теореме о производной сложной функции $\big(f(-x)\big)' = f'(-x)\cdot(-1)$ .

Если $f$ чётна, то $f(x) = f(-x)$ на $(-l, l)$ ; дифференцируя, получаем $f'(x) = -f'(-x)$ , т. е. $f'$ нечётна. Если $f$ нечётна, то $f(x) = -f(-x)$ , откуда $f'(x) = f'(-x)$ , т. е. $f'$ чётна.

Если $f(x + T) = f(x)$ при всех $x$ , то по теореме о производной сложной функции (с внутренней функцией $x + T$ ) $f'(x + T)\cdot 1 = f'(x)$ . $\blacksquare$

Замечание

Обратное к пункту 1 неверно: $(x + 1)' = 1$ — чётная функция, но $x + 1$ не нечётна.

теорема

Производные основных элементарных функций

Формулировка

В каждой точке области определения (с указанными ограничениями) справедливы формулы:

$(C)' = 0$ ; $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ при $x > 0$ , $\alpha\in\mathbb R$ (при $\alpha\in\mathbb N$ — при всех $x$ , при целых $\alpha < 0$ — при $x\ne 0$ ; если $\alpha = \frac pq$ с нечётным $q$ , то и при $x < 0$ );
$(a^x)' = a^x\ln a$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), $(e^x)' = e^x$ ;
$(\log_ax)' = \frac1{x\ln a}$ , $(\ln x)' = \frac1x$ ( $x > 0$ ); $(\ln|x|)' = \frac1x$ ( $x\ne 0$ );
$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg}x)' = \frac1{\cos^2x}$ ( $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ ), $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac1{\sin^2x}$ ( $x\ne\pi k$ );
$(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ , $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ ( $|x| < 1$ ); $(\operatorname{arctg}x)' = \frac1{1 + x^2}$ , $(\operatorname{arcctg}x)' = -\frac1{1 + x^2}$ ;
$(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \operatorname{sh}x$ , $(\operatorname{th}x)' = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ ( $x\ne 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Степенная функция при $x > 0$ . Положим $t = \frac{\Delta x}{x}$ ; тогда $t\to 0$ , $t\ne 0$ при $\Delta x\to 0$ , $\Delta x\ne 0$ , и

\frac{(x + \Delta x)^\alpha - x^\alpha}{\Delta x} = x^{\alpha - 1}\cdot\frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t}\to\alpha x^{\alpha - 1}

по следствию второго замечательного предела $\frac{(1 + t)^\mu - 1}{t}\to\mu$ и теореме о пределе сложной функции. Для $\alpha\in\mathbb N$ при всех $x$ и для целых $\alpha < 0$ при $x\ne 0$ формула доказана в следствиях правил дифференцирования; постоянная имеет нулевое приращение. Если $\alpha = \frac pq$ , $q$ нечётно, $x < 0$ , то $x^\alpha = (-1)^p(-x)^\alpha$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(x^\alpha)' = (-1)^{p+1}\alpha(-x)^{\alpha - 1}$ ; так как $q$ нечётно, $x^{\alpha - 1} = x^{(p - q)/q} = (-1)^{p - q}(-x)^{\alpha - 1} = (-1)^{p + 1}(-x)^{\alpha - 1}$ , т. е. снова $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ .

Показательная функция: $\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} = a^x\cdot\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\to a^x\ln a$ по следствию второго замечательного предела; при $a = e$ получаем $e^x$ .

Логарифм, $x > 0$ : при $t = \frac{\Delta x}{x}$

\frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_ax}{\Delta x} = \frac1x\cdot\frac{\ln(1 + t)}{t\ln a}\to\frac1{x\ln a},

так как $\frac{\ln(1 + t)}{t}\to 1$ . При $x < 0$ : $\ln|x| = \ln(-x)$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(\ln(-x))' = \frac1{-x}\cdot(-1) = \frac1x$ .

Синус и косинус: по формулам разности

\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\cos\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to\cos x,

\frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = -\frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\sin\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to-\sin x

по первому замечательному пределу и непрерывности $\sin$ , $\cos$ .

Тангенс и котангенс — по правилу дифференцирования частного: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2x} = \frac1{\cos^2x}$ , $(\operatorname{ctg}x)' = \frac{-\sin^2x - \cos^2x}{\sin^2x} = -\frac1{\sin^2x}$ .

Обратные тригонометрические функции — по теореме о производной обратной функции. Функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает на $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ ; при $|x| < 1$ точка $y = \arcsin x$ внутренняя и $(\sin y)' = \cos y > 0$ , поэтому $(\arcsin x)' = \frac1{\cos y} = \frac1{\sqrt{1 - \sin^2y}} = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \arccos x\in(0, \pi)$ : $(\cos y)' = -\sin y < 0$ , $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$ , откуда $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \operatorname{arctg}x\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ : $(\operatorname{arctg}x)' = \cos^2y = \frac1{1 + \operatorname{tg}^2y} = \frac1{1 + x^2}$ . Для $y = \operatorname{arcctg}x\in(0, \pi)$ : $(\operatorname{arcctg}x)' = -\sin^2y = -\frac1{1 + \operatorname{ctg}^2y} = -\frac1{1 + x^2}$ .

Гиперболические функции. По правилу дифференцирования сложной функции $(e^{-x})' = -e^{-x}$ , поэтому $(\operatorname{sh}x)' = \frac{e^x + e^{-x}}2 = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \frac{e^x - e^{-x}}2 = \operatorname{sh}x$ . По правилу частного и тождеству $\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x = 1$ : $(\operatorname{th}x)' = \frac{\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x}{\operatorname{ch}^2x} = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = \frac{\operatorname{sh}^2x - \operatorname{ch}^2x}{\operatorname{sh}^2x} = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ . $\blacksquare$

теорема

Логарифмическая производная. Производная показательно-степенной функции

Формулировка

Если $f$ дифференцируема в точке $x$ и $f(x)\ne 0$ , то

\big(\ln|f(x)|\big)' = \frac{f'(x)}{f(x)}

— логарифмическая производная; отсюда $f' = f\cdot(\ln|f|)'$ . В частности, для $f = u_1^{k_1}\cdots u_m^{k_m}$ ( $u_i$ дифференцируемы в точке $x$ , $u_i(x)\ne 0$ , $k_i\in\mathbb Z$ ):

\frac{f'}{f} = k_1\frac{u_1'}{u_1} + \dots + k_m\frac{u_m'}{u_m}.

Если $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ и $u(x) > 0$ , то

\left(u^v\right)' = u^v\left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right) = vu^{v-1}u' + u^v\ln u\cdot v'.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Функция $f$ непрерывна в точке $x$ и $f(x)\ne 0$ , поэтому по локальным свойствам непрерывных функций $f\ne 0$ в некоторой окрестности $x$ и $\ln|f|$ определена в ней. По таблице производных $(\ln|y|)' = \frac1y$ при $y\ne 0$ , и по теореме о производной сложной функции $\big(\ln|f(x)|\big)' = \frac1{f(x)}f'(x)$ .

Для произведения степеней в окрестности точки $x$ выполнено $\ln|f| = k_1\ln|u_1| + \dots + k_m\ln|u_m|$ . Дифференцируя обе части (правую — по правилу суммы) и применяя уже доказанную формулу к каждому слагаемому, получаем требуемое.

Пункт 2. По определению степени с положительным основанием $u^v = e^{v\ln u}$ . По теореме о производной сложной функции и правилу произведения

\left(e^{v\ln u}\right)' = e^{v\ln u}\left(v\ln u\right)' = u^v\left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right).

$\blacksquare$

Замечание

Формула пункта 2 — сумма производной «как степенной функции» ( $vu^{v-1}u'$ , $v$ фиксировано) и «как показательной» ( $u^v\ln u\cdot v'$ , $u$ фиксировано).

теорема

Производная функции, заданной параметрически и неявно

Формулировка

Пусть $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ , $t\in T$ ( $T$ — интервал), $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ .

Если $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы в точке $t_0\in T$ и $\varphi'(t_0)\ne 0$ , то функция $y = \psi(\varphi^{-1}(x))$ дифференцируема в точке $x_0 = \varphi(t_0)$ и

y'_x(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}.

Если $\varphi$ , $\psi$ дифференцируемы на $T$ , $\varphi'(t)\ne 0$ на $T$ , а $\varphi'$ , $\psi'$ дифференцируемы в точке $t_0$ , то

y''_{xx}(x_0) = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

(Неявная функция.) Пусть $y = y(x)$ дифференцируема на интервале $X$ и $F(x, y(x)) = 0$ при всех $x\in X$ , где выражение $G(x) = F(x, y(x))$ составлено из $x$ и $y(x)$ с помощью арифметических операций и композиций с дифференцируемыми функциями. Тогда $G'(x) = 0$ на $X$ ; вычисленное по правилам дифференцирования, это равенство линейно относительно $y'$ :

P(x, y)\,y' + Q(x, y) = 0,\qquad y' = -\frac{Q(x, y)}{P(x, y)}\quad\text{там, где } P\ne 0.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $\varphi^{-1}$ определена на интервале $X = \varphi(T)$ , непрерывна и строго монотонна; $t_0$ — внутренняя точка $T$ . По теореме о производной обратной функции $(\varphi^{-1})'(x_0) = \frac1{\varphi'(t_0)}$ . Функция $y = \psi\circ\varphi^{-1}$ , и $\psi$ дифференцируема в точке $t_0 = \varphi^{-1}(x_0)$ , поэтому по теореме о производной сложной функции

y'_x(x_0) = \psi'(t_0)\cdot\frac1{\varphi'(t_0)}.

Пункт 2. По пункту 1, применённому в каждой точке $t\in T$ , производная $y'_x$ как функция от $x$ задана параметрически: $x = \varphi(t)$ , $y'_x = \chi(t)$ , где $\chi(t) = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ . По правилу дифференцирования частного $\chi$ дифференцируема в точке $t_0$ и $\chi'(t_0) = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^2}(t_0)$ . Применяя пункт 1 к паре $(\varphi, \chi)$ , получаем

y''_{xx}(x_0) = \frac{\chi'(t_0)}{\varphi'(t_0)} = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

Пункт 3. Функция $G$ тождественно равна нулю на $X$ , поэтому все её приращения равны нулю и $G'(x) = 0$ . С другой стороны, $G'$ вычисляется по правилам дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции (с внутренней функцией $y(x)$ ). Линейность относительно $y'$ проверяется индукцией по построению выражения: $x' = 0\cdot y' + 1$ и $(y)' = 1\cdot y' + 0$ линейны; если $A' = P_Ay' + Q_A$ и $B' = P_By' + Q_B$ , то $(A\pm B)'$ , $(AB)' = A'B + AB'$ , $\left(\frac AB\right)' = \frac{A'B - AB'}{B^2}$ и $(\omega(A))' = \omega'(A)A'$ — снова линейные выражения относительно $y'$ . Разрешая $Py' + Q = 0$ там, где $P\ne 0$ , находим $y'$ . $\blacksquare$

Замечание

Вторую производную неявной функции находят, дифференцируя равенство $G'(x) = 0$ ещё раз (считая $y$ и $y'$ функциями от $x$ ) и подставляя найденное $y'$ .

теорема

Производные высших порядков основных функций

Формулировка

Для всех $n\in\mathbb N$ :

если $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $kx + b$ , то $\big(f(kx + b)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx + b)$ ;
$(x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)\,x^{\alpha - n}$ при $x > 0$ (при $\alpha\in\mathbb Z$ — при всех $x\ne 0$ ); при $\alpha = m\in\mathbb N$ : $(x^m)^{(n)} = \frac{m!}{(m - n)!}x^{m - n}$ при $n\le m$ и $(x^m)^{(n)} = 0$ при $n > m$ ;
$(a^x)^{(n)} = a^x\ln^na$ , $(e^x)^{(n)} = e^x$ ;
$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ , $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ ;
$\big((1 + x)^\alpha\big)^{(n)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(1 + x)^{\alpha - n}$ , $x > -1$ ; в частности,

\left(\frac1{1 + x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}{(1 + x)^{n+1}};

при $x > -1$

\big(\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n}.

Доказательство

Развернуть

Все формулы доказываются индукцией по $n$ ; база $n = 1$ в каждом случае берётся из таблицы производных и теоремы о производной сложной функции, а шаг состоит в дифференцировании формулы для $n$ .

Пункт 1. По теореме о производной сложной функции $\big(f(kx + b)\big)' = kf'(kx + b)$ . Если $\big(f(kx + b)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx + b)$ (в окрестности точки), то, дифференцируя ещё раз тем же правилом, получаем $k^n\cdot kf^{(n+1)}(kx + b) = k^{n+1}f^{(n+1)}(kx + b)$ .

Пункт 2. $\left(\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)x^{\alpha - n}\right)' = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(\alpha - n)x^{\alpha - n - 1}$ . При $\alpha = m\in\mathbb N$ коэффициент равен $\frac{m!}{(m - n)!}$ при $n\le m$ ; при $n = m$ производная — постоянная $m!$ , и все следующие производные равны нулю.

Пункт 3. $\left(a^x\ln^na\right)' = a^x\ln^{n+1}a$ .

Пункт 4. $(\sin x)' = \cos x = \sin\left(x + \frac\pi2\right)$ . Если $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ , то по пункту 1 (с $k = 1$ ) $(\sin x)^{(n+1)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}2\right) = \sin\left(x + \frac{\pi(n + 1)}2\right)$ . Аналогично $\left(\cos\left(x + \frac{\pi n}2\right)\right)' = -\sin\left(x + \frac{\pi n}2\right) = \cos\left(x + \frac{\pi(n + 1)}2\right)$ .

Пункт 5 следует из пунктов 1 и 2 с $k = 1$ , $b = 1$ . При $\alpha = -1$ : $(-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^nn!$ .

Пункт 6. $\big(\ln(1 + x)\big)' = (1 + x)^{-1}$ , поэтому по пункту 5 при $n\ge 2$

\big(\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \left((1 + x)^{-1}\right)^{(n-1)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n};

при $n = 1$ формула также верна. $\blacksquare$

теорема

Формула Лейбница

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ $n$ раз дифференцируемы в точке $x$ , $\alpha, \beta\in\mathbb R$ . Тогда:

$(\alpha u + \beta v)^{(n)} = \alpha u^{(n)} + \beta v^{(n)}$ ;
произведение $uv$ $n$ раз дифференцируемо в точке $x$ и

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)},\qquad u^{(0)} = u,\ v^{(0)} = v.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1 получается индукцией по $n$ из линейности первой производной.

Пункт 2 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ это правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ .

Пусть формула верна для всех пар функций, $n$ раз дифференцируемых в точке, и пусть $u$ , $v$ $(n + 1)$ раз дифференцируемы в точке $x$ . Тогда $u^{(n)}$ , $v^{(n)}$ существуют в некоторой окрестности $U$ точки $x$ , т. е. $u$ и $v$ $n$ раз дифференцируемы в каждой точке $U$ , и по предположению индукции на $U$

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}.

Каждый множитель $u^{(n-k)}$ , $v^{(k)}$ ( $0\le k\le n$ ) дифференцируем в точке $x$ , поэтому по правилу произведения и линейности

(uv)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k+1)}v^{(k)} + \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k+1)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n+1-k)}v^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1}C_n^{k-1}\,u^{(n+1-k)}v^{(k)}

(во второй сумме индекс сдвинут: $k + 1\to k$ ).

Выделим слагаемое с $k = 0$ из первой суммы ( $u^{(n+1)}v$ ) и с $k = n + 1$ из второй ( $uv^{(n+1)}$ ); при $1\le k\le n$ коэффициенты складываются: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$ (свойство биномиальных коэффициентов). Так как $C_{n+1}^0 = C_{n+1}^{n+1} = 1$ , получаем

(uv)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^k\,u^{(n+1-k)}v^{(k)}.

По принципу математической индукции формула верна при всех $n$ . $\blacksquare$

Замечание

Формула Лейбница устроена как бином Ньютона $(a + b)^n$ с заменой степеней $a^{n-k}b^k$ на производные $u^{(n-k)}v^{(k)}$ . Особенно удобна, когда один из множителей — многочлен: тогда в сумме лишь несколько ненулевых слагаемых.

Производные сложных функций

Условие

Найти производные функций: а) $y = \sin^3 2x$ ; б) $y = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ ; в) $y = \operatorname{arctg}\frac{1 + x}{1 - x}$ , $x\ne 1$ ; г) $y = e^{-x^2}\cos 3x$ .

Решение

Развернуть

Используем теорему о производной сложной функции, таблицу производных и правила дифференцирования.

а) $y' = 3\sin^22x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6\sin^22x\cos 2x$ .

б)

y' = \frac1{x + \sqrt{x^2 + 1}}\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) = \frac1{x + \sqrt{x^2 + 1}}\cdot\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac1{\sqrt{x^2 + 1}}.

в) Пусть $u = \frac{1 + x}{1 - x}$ ; $u' = \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 - x)^2} = \frac2{(1 - x)^2}$ , $1 + u^2 = \frac{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x)^2}$ . Тогда

y' = \frac{u'}{1 + u^2} = \frac2{(1 - x)^2}\cdot\frac{(1 - x)^2}{2(1 + x^2)} = \frac1{1 + x^2}.

г) $y' = -2xe^{-x^2}\cos 3x - 3e^{-x^2}\sin 3x = -e^{-x^2}(2x\cos 3x + 3\sin 3x)$ .

Ответ: а) $6\sin^22x\cos 2x$ ; б) $\frac1{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; в) $\frac1{1 + x^2}$ ; г) $-e^{-x^2}(2x\cos 3x + 3\sin 3x)$ .

Логарифмическое дифференцирование

Условие

Найти производные: а) $y = x^x$ , $x > 0$ ; б) $y = (\sin x)^{\cos x}$ , $0 < x < \pi$ ; в) $y = \dfrac{(x + 1)^3\sqrt{x - 1}}{(x + 2)^2}$ , $x > 1$ .

Решение

Развернуть

а) По формуле производной показательно-степенной функции ( $u = x$ , $v = x$ ):

y' = x^x\left(\ln x + x\cdot\frac1x\right) = x^x(\ln x + 1).

б) $u = \sin x > 0$ , $v = \cos x$ :

y' = (\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\right) = (\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2x}{\sin x} - \sin x\ln\sin x\right).

в) При $x > 1$ функция положительна, $\ln y = 3\ln(x + 1) + \frac12\ln(x - 1) - 2\ln(x + 2)$ . По формуле логарифмической производной

\frac{y'}{y} = \frac3{x + 1} + \frac1{2(x - 1)} - \frac2{x + 2},\qquad y' = \frac{(x + 1)^3\sqrt{x - 1}}{(x + 2)^2}\left(\frac3{x + 1} + \frac1{2(x - 1)} - \frac2{x + 2}\right).

Ответ: а) $x^x(\ln x + 1)$ ; б) $(\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2x}{\sin x} - \sin x\ln\sin x\right)$ ; в) см. выше.

Первая и вторая производные функции, заданной параметрически (циклоида)

Условие

Функция $y(x)$ задана параметрически: $x = a(t - \sin t)$ , $y = a(1 - \cos t)$ , $t\in(0, 2\pi)$ , $a > 0$ (арка циклоиды). Найти $y'_x$ , $y''_{xx}$ и уравнение касательной в точке, соответствующей $t = \frac\pi2$ .

Решение

Развернуть

Проверим условия теоремы о производной параметрически заданной функции. Функция $\varphi(t) = a(t - \sin t)$ непрерывна и строго возрастает: при $t_1 < t_2$

|\sin t_2 - \sin t_1| = 2\left|\sin\frac{t_2 - t_1}2\right|\left|\cos\frac{t_1 + t_2}2\right|\le 2\left|\sin\frac{t_2 - t_1}2\right| < t_2 - t_1,

так как $|\sin u| < |u|$ при $u\ne 0$ ; значит, $\varphi(t_2) - \varphi(t_1) > 0$ . Далее $\varphi'(t) = a(1 - \cos t) > 0$ на $(0, 2\pi)$ , $\psi'(t) = a\sin t$ .

Первая производная:

y'_x = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{2\sin\frac t2\cos\frac t2}{2\sin^2\frac t2} = \operatorname{ctg}\frac t2.

Вторая производная: $\varphi'' = a\sin t$ , $\psi'' = a\cos t$ ,

y''_{xx} = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^3} = \frac{a^2\cos t(1 - \cos t) - a^2\sin^2t}{a^3(1 - \cos t)^3} = \frac{a^2(\cos t - 1)}{a^3(1 - \cos t)^3} = -\frac1{a(1 - \cos t)^2}.

Проверка другим способом: $\frac{d}{dt}\operatorname{ctg}\frac t2 = -\frac1{2\sin^2(t/2)}$ , и после деления на $\varphi' = 2a\sin^2\frac t2$ получаем $-\frac1{4a\sin^4(t/2)} = -\frac1{a(1 - \cos t)^2}$ .

Касательная при $t = \frac\pi2$ : точка $\left(a\left(\frac\pi2 - 1\right), a\right)$ , угловой коэффициент $\operatorname{ctg}\frac\pi4 = 1$ :

y - a = x - a\left(\frac\pi2 - 1\right),\qquad y = x + a\left(2 - \frac\pi2\right).

Ответ: $y'_x = \operatorname{ctg}\frac t2$ , $y''_{xx} = -\frac1{a(1 - \cos t)^2}$ ; касательная $y = x + a\left(2 - \frac\pi2\right)$ .

Производные неявной и обратной функций

Условие

а) Функция $y = y(x)$ задана неявно уравнением $x^2 + xy + y^2 = 3$ в окрестности точки $(1, 1)$ (т. е. $y(1) = 1$ , $y$ дважды дифференцируема). Найти $y'(1)$ , $y''(1)$ и уравнение касательной в точке $(1, 1)$ .

б) Пусть $x = x(y)$ — функция, обратная к $y = x + e^x$ . Найти $x'(1)$ и $x''(1)$ .

Решение

Развернуть

а) Дифференцируем тождество $x^2 + xy(x) + y^2(x) = 3$ (правило для неявной функции):

2x + y + xy' + 2yy' = 0,\qquad y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}.

В точке $(1, 1)$ : $y'(1) = -1$ . Дифференцируем равенство ещё раз:

2 + 2y' + xy'' + 2y'^2 + 2yy'' = 0,\qquad y'' = -\frac{2 + 2y' + 2y'^2}{x + 2y}.

При $x = y = 1$ , $y' = -1$ : $y''(1) = -\frac{2 - 2 + 2}{3} = -\frac23$ . Касательная: $y - 1 = -(x - 1)$ , т. е. $x + y = 2$ .

Проверка: решая уравнение относительно $y$ , получаем $y = \frac{-x + \sqrt{12 - 3x^2}}2$ (знак выбран из условия $y(1) = 1$ ); отсюда $y' = \frac12\left(-1 - \frac{3x}{\sqrt{12 - 3x^2}}\right)$ , $y'(1) = -1$ , и $y'' = -\frac{18}{(12 - 3x^2)^{3/2}}$ , $y''(1) = -\frac{18}{27} = -\frac23$ .

б) Функция $f(x) = x + e^x$ непрерывна и строго возрастает на $\mathbb R$ , $f'(x) = 1 + e^x > 0$ . Значению $y = 1$ отвечает $x = 0$ . По теореме о производной обратной функции

x'(y) = \frac1{f'(x(y))} = \frac1{1 + e^{x(y)}},\qquad x'(1) = \frac12.

Дифференцируя это равенство по $y$ по теореме о производной сложной функции:

x''(y) = -\frac{e^{x}\,x'(y)}{(1 + e^{x})^2} = -\frac{e^x}{(1 + e^x)^3},\qquad x''(1) = -\frac18.

Ответ: а) $y'(1) = -1$ , $y''(1) = -\frac23$ , касательная $x + y = 2$ ; б) $x'(1) = \frac12$ , $x''(1) = -\frac18$ .

Производные n-го порядка

Условие

Найти $y^{(n)}$ : а) $y = \dfrac1{x^2 - 1}$ ; б) $y = \sin^2x$ ; в) $y = \ln\dfrac{1 + x}{1 - x}$ , $|x| < 1$ .

Решение

Развернуть

а) Разложим на простейшие дроби: $\frac1{x^2 - 1} = \frac12\left(\frac1{x - 1} - \frac1{x + 1}\right)$ . По формуле для $(x^{-1})^{(n)}$ (с линейной заменой аргумента) $\left(\frac1{x + c}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}{(x + c)^{n+1}}$ , и по линейности $n$ -й производной

y^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}2\left(\frac1{(x - 1)^{n+1}} - \frac1{(x + 1)^{n+1}}\right).

б) $\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}2$ . По формуле $(\cos u)^{(n)} = \cos\left(u + \frac{\pi n}2\right)$ и правилу $\big(f(kx)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx)$ при $n\ge 1$ :

y^{(n)} = -\frac12\cdot 2^n\cos\left(2x + \frac{\pi n}2\right) = -2^{n-1}\cos\left(2x + \frac{\pi n}2\right).

Проверка при $n = 1$ : $-\cos\left(2x + \frac\pi2\right) = \sin 2x = 2\sin x\cos x$ .

в) $y = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)$ . Для второго слагаемого по правилу $\big(f(-x)\big)^{(n)} = (-1)^nf^{(n)}(-x)$ :

\big(\ln(1 - x)\big)^{(n)} = (-1)^n\cdot\frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 - x)^n} = -\frac{(n - 1)!}{(1 - x)^n}.

Поэтому

y^{(n)} = (n - 1)!\left(\frac{(-1)^{n-1}}{(1 + x)^n} + \frac1{(1 - x)^n}\right).

Проверка при $n = 1$ : $\frac1{1 + x} + \frac1{1 - x}$ .

Ответ: см. формулы выше.

Формула Лейбница

Условие

а) Найти $y^{(n)}$ для $y = x^2e^{3x}$ .

б) Найти $y^{(20)}$ для $y = x^3\sin x$ .

в) Найти $y^{(n)}(0)$ для $y = \operatorname{arctg}x$ .

Решение

Развернуть

а) По формуле Лейбница с $u = e^{3x}$ , $v = x^2$ ( $v' = 2x$ , $v'' = 2$ , $v^{(k)} = 0$ при $k\ge 3$ ), $u^{(m)} = 3^me^{3x}$ :

y^{(n)} = 3^ne^{3x}x^2 + n\cdot 3^{n-1}e^{3x}\cdot 2x + \frac{n(n - 1)}2\cdot 3^{n-2}e^{3x}\cdot 2 = 3^{n-2}e^{3x}\left(9x^2 + 6nx + n(n - 1)\right).

б) $u = \sin x$ , $v = x^3$ : $v' = 3x^2$ , $v'' = 6x$ , $v''' = 6$ , далее нули; $u^{(m)} = \sin\left(x + \frac{\pi m}2\right)$ . При $n = 20$ : $u^{(20)} = \sin x$ , $u^{(19)} = \sin\left(x + \frac{3\pi}2\right) = -\cos x$ , $u^{(18)} = \sin(x + \pi) = -\sin x$ , $u^{(17)} = \sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ . С $C_{20}^1 = 20$ , $C_{20}^2 = 190$ , $C_{20}^3 = 1140$ :

y^{(20)} = x^3\sin x - 60x^2\cos x - 1140x\sin x + 6840\cos x.

в) $y' = \frac1{1 + x^2}$ , т. е. $(1 + x^2)y' = 1$ . Дифференцируем это тождество $n$ раз ( $n\ge 1$ ) по формуле Лейбница ( $u = y'$ , $v = 1 + x^2$ ):

(1 + x^2)y^{(n+1)} + 2nx\,y^{(n)} + n(n - 1)\,y^{(n-1)} = 0.

При $x = 0$ : $y^{(n+1)}(0) = -n(n - 1)\,y^{(n-1)}(0)$ . Так как $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ , все производные чётного порядка в нуле равны нулю, а для нечётных $y^{(2m+1)}(0) = -2m(2m - 1)\,y^{(2m-1)}(0)$ , откуда по индукции

y^{(2m+1)}(0) = (-1)^m(2m)!.

Например, $y'''(0) = -2$ , $y^{(5)}(0) = 24$ .

Ответ: а) $3^{n-2}e^{3x}(9x^2 + 6nx + n(n - 1))$ ; б) $x^3\sin x - 60x^2\cos x - 1140x\sin x + 6840\cos x$ ; в) $y^{(2m)}(0) = 0$ , $y^{(2m+1)}(0) = (-1)^m(2m)!$ .

Разрывная производная функции |x|^α sin(1/x)

Условие

Пусть $f(x) = |x|^\alpha\sin\frac1x$ при $x\ne 0$ , $f(0) = 0$ , где $\alpha > 1$ (тогда $f$ дифференцируема на $\mathbb R$ и $f'(0) = 0$ ). Найти $f'(x)$ при $x\ne 0$ и выяснить, при каких $\alpha$ производная $f'$ непрерывна в точке $0$ .

Решение

Развернуть

При $x\ne 0$ по таблице производных, правилу произведения и теореме о производной сложной функции ( $(|x|^\alpha)' = \alpha|x|^{\alpha - 1}\operatorname{sign}x$ — при $x > 0$ это $\alpha x^{\alpha - 1}$ , при $x < 0$ это $\big((-x)^\alpha\big)' = -\alpha(-x)^{\alpha - 1}$ ; $\left(\sin\frac1x\right)' = -\frac1{x^2}\cos\frac1x$ ):

f'(x) = \alpha|x|^{\alpha - 1}\operatorname{sign}x\cdot\sin\frac1x - |x|^{\alpha - 2}\cos\frac1x.

Первое слагаемое при $\alpha > 1$ стремится к нулю при $x\to 0$ (бесконечно малая на ограниченную).

Если $\alpha > 2$ , второе слагаемое тоже стремится к нулю, поэтому $f'(x)\to 0 = f'(0)$ : производная непрерывна в нуле.

Если $1 < \alpha\le 2$ , возьмём $x_n = \frac1{2\pi n}\to 0$ : $\sin\frac1{x_n} = 0$ , $\cos\frac1{x_n} = 1$ , $f'(x_n) = -x_n^{\alpha - 2}\le -1$ , так как $0 < x_n < 1$ и $\alpha - 2\le 0$ . А при $x'_n = \frac1{\pi/2 + 2\pi n}$ : $\cos\frac1{x'_n} = 0$ , $f'(x'_n) = \alpha(x'_n)^{\alpha - 1}\to 0$ . Значит, $\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$ не существует, и $f'$ имеет в нуле разрыв второго рода.

Классический пример — $x^2\sin\frac1x$ ( $\alpha = 2$ ): функция дифференцируема всюду, но её производная разрывна в нуле.

Ответ: $f'(x) = \alpha|x|^{\alpha - 1}\operatorname{sign}x\,\sin\frac1x - |x|^{\alpha - 2}\cos\frac1x$ при $x\ne 0$ ; $f'$ непрерывна в нуле при $\alpha > 2$ , при $1 < \alpha\le 2$ — разрыв второго рода.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Производные высших порядков

Пусть функция $f$ имеет производную $f'$ в некоторой окрестности точки $x$ . Если функция $f'$ имеет производную в точке $x$ , то она называется второй производной функции $f$ в точке $x$ :

f''(x) = (f')'(x).

По индукции: если $f^{(n-1)}$ определена в окрестности точки $x$ и имеет производную в точке $x$ , то

f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)

— производная $n$ -го порядка ( $n$ -я производная); $f^{(0)} = f$ . Обозначения: $y''$ , $y^{(n)}$ , $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ .

Функция, имеющая конечную $n$ -ю производную в точке $x$ (на интервале $X$ ), называется $n$ раз дифференцируемой в точке $x$ (на $X$ ).

Через $C^n(X)$ обозначается класс функций, $n$ раз дифференцируемых на промежутке $X$ , у которых $f^{(n)}$ непрерывна на $X$ (на концах промежутка — односторонние производные); $C^0(X)$ — непрерывные функции, $C^\infty(X) = \bigcap_n C^n(X)$ — бесконечно дифференцируемые.

Механический смысл: если $s(t)$ — закон движения, то $s''(t)$ — ускорение.

Функции, заданные параметрически и неявно

Пусть функции $\varphi$ и $\psi$ определены на интервале $T$ , причём $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ . Тогда $X = \varphi(T)$ — интервал и существует обратная функция $t = \varphi^{-1}(x)$ , $x\in X$ . Функция

y = \psi\big(\varphi^{-1}(x)\big),\qquad x\in X,

называется заданной параметрически уравнениями

x = \varphi(t),\quad y = \psi(t),\quad t\in T.

Примеры: верхняя полуокружность $x = R\cos t$ , $y = R\sin t$ , $t\in(0, \pi)$ ; арка циклоиды $x = a(t - \sin t)$ , $y = a(1 - \cos t)$ , $t\in(0, 2\pi)$ .

Пусть $F(x, y)$ — функция двух переменных, определённая на некотором множестве плоскости. Функция $y = y(x)$ , определённая на промежутке $X$ , называется заданной неявно уравнением $F(x, y) = 0$ , если

F\big(x, y(x)\big) = 0\quad\text{для всех } x\in X.

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 1$ неявно задаёт на $[-1, 1]$ функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ и $y = -\sqrt{1 - x^2}$ (и бесконечно много разрывных). Поэтому обычно дополнительно требуют, чтобы $y(x)$ была непрерывна (дифференцируема) и проходила через заданную точку $(x_0, y_0)$ . Условия существования такой функции изучаются в теории функций нескольких переменных.

Производная функции в точке

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(a)$ точки $a$ . Для $\Delta x\ne 0$ с $a + \Delta x\in U(a)$ положим

\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)

— приращение функции, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ .

Производной функции $f$ в точке $a$ называется конечный предел

f'(a) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a},

если он существует. Обозначения: $f'(a)$ , $y'(a)$ , $\dfrac{df}{dx}(a)$ .

Если этот предел равен $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ , говорят, что $f$ имеет в точке $a$ бесконечную производную ( $f'(a) = +\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ соответственно).

Если $f$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $X$ , то говорят, что $f$ имеет производную на множестве $X$ ; функция $x\mapsto f'(x)$ , $x\in X$ , называется производной функцией (или просто производной) функции $f$ . Для отрезка $[a, b]$ в концах используются односторонние производные. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Примеры: для $f(x)\equiv c$ имеем $\Delta y = 0$ , $f'(x) = 0$ ; для $f(x) = x$ имеем $\Delta y = \Delta x$ , $f'(x) = 1$ . Механический смысл: если $s = s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ , то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$ .

Обратное отображение. Композиция

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ . Композицией (суперпозицией, сложной функцией) отображений $f$ и $g$ называется отображение $g\circ f\colon X\to Z$ ,

(g\circ f)(x) = g(f(x)).

(Композиция определена и тогда, когда $f(X)$ содержится в области определения $g$ .)

Отображение $g\colon Y\to X$ называется обратным к отображению $f\colon X\to Y$ , если

g\circ f = \mathrm{id}_X,\qquad f\circ g = \mathrm{id}_Y,

т. е. $g(f(x)) = x$ при всех $x\in X$ и $f(g(y)) = y$ при всех $y\in Y$ . Обратное отображение обозначается $f^{-1}$ , а $f$ называется обратимым. Для биекции $f$ обратное отображение задаётся правилом: $f^{-1}(y)$ — тот единственный $x\in X$ , для которого $f(x) = y$ .

Для числовой функции $y = f(x)$ точка $(x, y)$ лежит на графике $f$ тогда и только тогда, когда $(y, x)$ лежит на графике $f^{-1}$ ; поэтому графики $f$ и $f^{-1}$ (в одной системе координат) симметричны относительно прямой $y = x$ .

Дифференцируемая функция

Функция $f$ , определённая в окрестности точки $a$ , называется дифференцируемой в точке $a$ , если существует число $A\in\mathbb R$ такое, что

\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) = A\,\Delta x + o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.

Равносильная запись: $\Delta y = A\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x$ , где $\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции есть сумма линейной по $\Delta x$ части $A\,\Delta x$ и бесконечно малой более высокого порядка, чем $\Delta x$ .

Функция называется дифференцируемой на интервале $X$ , если она дифференцируема в каждой точке $X$ .

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Пусть $f\colon X\to\mathbb R$ , $X\subset\mathbb R$ .

Ограниченность. Функция $f$ ограничена сверху на $X$ , если $\exists M\ \forall x\in X\ \ f(x)\le M$ ; ограничена снизу, если $\exists m\ \forall x\in X\ \ f(x)\ge m$ ; ограничена, если

\exists C > 0\ \ \forall x\in X\quad|f(x)|\le C.

Иначе говоря, $f$ ограничена (сверху, снизу) на $X$ , если таково множество $f(X)$ . Обозначают $\sup_Xf = \sup f(X)$ , $\inf_Xf = \inf f(X)$ .

Монотонность. Функция $f$ называется неубывающей на $X$ , если

\forall x_1, x_2\in X\ \ \bigl(x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\bigr),

и (строго) возрастающей, если $x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Аналогично определяются невозрастающие ( $f(x_1)\ge f(x_2)$ ) и (строго) убывающие ( $f(x_1) > f(x_2)$ ) функции. Все они называются монотонными, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. (В литературе встречается и другая терминология: «возрастающая» в смысле «неубывающая».)

Чётность. Множество $X$ симметрично относительно нуля, если $x\in X\Rightarrow -x\in X$ . Функция $f$ , заданная на симметричном $X$ , называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ , и нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ при всех $x\in X$ .

Периодичность. Число $T\ne 0$ называется периодом функции $f$ , если для любого $x\in X$

x\pm T\in X\quad\text{и}\quad f(x + T) = f(x).

Функция, имеющая период, называется периодической. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом.

Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называются:

постоянная $y = c$ ;
степенная $y = x^\alpha$ , $\alpha\in\mathbb R$ . Область определения зависит от $\alpha$ : при $\alpha\in\mathbb N$ это $\mathbb R$ ; при целом $\alpha\le 0$ это $\mathbb R\setminus\{0\}$ ; при $\alpha = \frac1n$ с нечётным $n$ это $\mathbb R$ , с чётным $n$ — $[0, +\infty)$ ; при произвольном $\alpha > 0$ функцию рассматривают на $[0, +\infty)$ , при $\alpha < 0$ — на $(0, +\infty)$ . При $\alpha > 0$ функция возрастает на $[0, +\infty)$ , при $\alpha < 0$ убывает на $(0, +\infty)$ ;
показательная $y = a^x$ , $a > 0$ , $a\ne 1$ : $D = \mathbb R$ , $E = (0, +\infty)$ ; возрастает при $a > 1$ , убывает при $0 < a < 1$ ;
логарифмическая $y = \log_ax$ , $a > 0$ , $a\ne 1$ — обратная к $a^x$ : $D = (0, +\infty)$ , $E = \mathbb R$ ; $\ln x = \log_ex$ ;
тригонометрические: $\sin x$ и $\cos x$ ( $D = \mathbb R$ , $E = [-1, 1]$ , основной период $2\pi$ , синус нечётен, косинус чётен); $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ( $D = \mathbb R\setminus\{\frac\pi2 + \pi k:\ k\in\mathbb Z\}$ , $E = \mathbb R$ , период $\pi$ , нечётна); $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ ( $D = \mathbb R\setminus\{\pi k:\ k\in\mathbb Z\}$ , $E = \mathbb R$ , период $\pi$ , нечётна);
обратные тригонометрические: $\arcsin\colon[-1, 1]\to[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ — обратная к сужению синуса на $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ , возрастает, нечётна; $\arccos\colon[-1, 1]\to[0, \pi]$ — обратная к сужению косинуса на $[0, \pi]$ , убывает; $\operatorname{arctg}\colon\mathbb R\to(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ — обратная к сужению тангенса на $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ , возрастает, нечётна; $\operatorname{arcctg}\colon\mathbb R\to(0, \pi)$ — обратная к сужению котангенса на $(0, \pi)$ , убывает.

Элементарной функцией называется функция, получаемая из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Например, $y = |x| = \sqrt{x^2}$ и $y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)$ — элементарные функции.

Замечание. Строгие определения $a^x$ при иррациональных $x$ и тригонометрических функций и доказательство перечисленных свойств даются в теории пределов и непрерывности; пока они используются как известные из школьного курса.

Гиперболические функции

Гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом называются функции

\operatorname{sh}x = \frac{e^x - e^{-x}}2,\qquad\operatorname{ch}x = \frac{e^x + e^{-x}}2,\qquad x\in\mathbb R,

где $e$ — число, определённое как предел $\left(1 + \frac1n\right)^n$ . Гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом называются

\operatorname{th}x = \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}},\qquad\operatorname{cth}x = \frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}.

Области определения: $\operatorname{sh}$ , $\operatorname{ch}$ , $\operatorname{th}$ определены на всём $\mathbb R$ (так как $\operatorname{ch}x > 0$ ); $\operatorname{cth}$ — при $x\ne 0$ (так как $\operatorname{sh}x = 0\iff e^{2x} = 1\iff x = 0$ ).

Множества значений: $\operatorname{sh}x$ принимает все действительные значения, $\operatorname{ch}x\in[1, +\infty)$ , $\operatorname{th}x\in(-1, 1)$ , $\operatorname{cth}x\in(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)$ .

Название объясняется тем, что точка $(\operatorname{ch}t, \operatorname{sh}t)$ при $t\in\mathbb R$ пробегает правую ветвь гиперболы $x^2 - y^2 = 1$ — подобно тому, как $(\cos t, \sin t)$ пробегает окружность $x^2 + y^2 = 1$ .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на промежутке $I$ . Тогда:

множество значений $J = f(I)$ — промежуток; в частности,

f([a, b]) = [f(a), f(b)]\quad(\text{для возрастающей}),\qquad f((a, b)) = \Bigl(\inf_{(a, b)} f,\ \sup_{(a, b)} f\Bigr),

где $a, b$ могут быть и бесконечными, а грани — бесконечными; 2. $f: I\to J$ — биекция, и существует обратная функция $f^{-1}: J\to I$ ; 3. $f^{-1}$ строго возрастает (строго убывает) на $J$ ; 4. $f^{-1}$ непрерывна на $J$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f$ строго возрастает. По теореме о промежуточных значениях $J = f(I)$ — промежуток. Если $I = [a, b]$ , то по монотонности $f(a)\le f(x)\le f(b)$ , и $f(a), f(b)\in J$ , поэтому $J = [f(a), f(b)]$ . Если $I = (a, b)$ , то для любой $x\in(a, b)$ найдутся $x', x''\in(a, b)$ с $x' < x < x''$ , и $f(x') < f(x) < f(x'')$ ; значит, $J$ не содержит своих точных граней, и промежуток $J$ есть интервал $(\inf f, \sup f)$ .

Строго монотонная функция инъективна, а на $J = f(I)$ отображение $f: I\to J$ сюръективно по определению $J$ . Значит, $f: I\to J$ — биекция, и по теореме о существовании обратного отображения существует $f^{-1}: J\to I$ , причём $f(f^{-1}(y)) = y$ , $f^{-1}(f(x)) = x$ .

По теореме об обратимости строго монотонной функции обратная к строго возрастающей функции строго возрастает: если $y_1 < y_2$ и $x_i = f^{-1}(y_i)$ , то $x_1\ge x_2$ дало бы $y_1 = f(x_1)\ge f(x_2) = y_2$ .

Наконец, $f^{-1}$ монотонна на промежутке $J$ , и множество её значений $f^{-1}(J) = I$ — промежуток. По критерию непрерывности монотонной функции $f^{-1}$ непрерывна на $J$ . Случай строго убывающей $f$ сводится к рассмотренному заменой $f$ на $-f$ (или повторяется дословно).

Замечание. Существование строго монотонной обратной функции на $f(X)$ (пункты 2–3) верно для любой строго монотонной функции на любом множестве $X$ ; непрерывность (пункт 4) существенно использует то, что $I$ — промежуток. $\blacksquare$

Предел сложной функции (замена переменной в пределе)

Формулировка

Пусть $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to\mathbb R$ , $a$ — предельная точка $X$ , $b$ — предельная точка $Y$ ( $a, b, B\in\overline{\mathbb R}$ ), и

\lim_{x\to a}f(x) = b,\qquad \lim_{y\to b}g(y) = B .

Пусть выполнено одно из условий:

(а) существует $\delta_0 > 0$ такое, что $f(x)\ne b$ для всех $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (при бесконечном $b$ это выполнено автоматически);
(б) $b\in Y$ и $g(b) = B$ .

Тогда

\lim_{x\to a}g(f(x)) = B .

Доказательство

Развернуть

Пусть дано $\varepsilon > 0$ . Так как $g(y)\to B$ при $y\to b$ , найдётся $\eta > 0$ такое, что $g(y)\in U_\varepsilon(B)$ для всех $y\in\dot U_\eta(b)\cap Y$ .

Так как $f(x)\to b$ при $x\to a$ , для этого $\eta$ найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $f(x)\in U_\eta(b)$ для всех $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ .

В случае (а) положим $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ . Для $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ имеем $f(x)\in U_\eta(b)\cap Y$ и $f(x)\ne b$ , т. е. $f(x)\in\dot U_\eta(b)\cap Y$ , поэтому $g(f(x))\in U_\varepsilon(B)$ .

В случае (б) положим $\delta = \delta_1$ . Для $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ либо $f(x)\ne b$ , и тогда, как выше, $g(f(x))\in U_\varepsilon(B)$ ; либо $f(x) = b$ , и тогда $g(f(x)) = g(b) = B\in U_\varepsilon(B)$ .

В обоих случаях $g(f(\dot U_\delta(a)\cap X))\subset U_\varepsilon(B)$ , что и означает $g(f(x))\to B$ при $x\to a$ . Если $b$ бесконечно, то $f(x)\in\mathbb R$ не может равняться $b$ , так что (а) выполнено с любым $\delta_0$ .

Замечание: без условий (а), (б) теорема неверна. Пусть $f(x)\equiv 0$ , $g(y) = 1$ при $y\ne 0$ , $g(0) = 0$ . Тогда $f\to 0$ при $x\to 0$ , $g(y)\to 1$ при $y\to 0$ , но $g(f(x))\equiv 0\to 0\ne 1$ . $\blacksquare$

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , и

\lim_{x\to a}f(x) = A\in\mathbb R,\qquad \lim_{x\to a}g(x) = B\in\mathbb R .

Тогда:

$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x)) = A\pm B$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x) = AB$ , в частности $\lim\limits_{x\to a}cf(x) = cA$ ;
если $B\ne 0$ , то $g(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и на множестве $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB .

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $f = A + \alpha$ , $g = B + \beta$ , где $\alpha, \beta$ — б.м. при $x\to a$ . Каждое утверждение сведём к тому, что соответствующая разность является б.м., и снова применим ту же теорему.

$(f\pm g) - (A\pm B) = \alpha\pm\beta$ — б.м. как сумма б.м. (произведение $\beta$ на постоянную $-1$ — б.м.).
$fg - AB = (A + \alpha)(B + \beta) - AB = A\beta + B\alpha + \alpha\beta$ . Слагаемые $A\beta$ , $B\alpha$ — б.м. как произведения б.м. на постоянные, $\alpha\beta$ — б.м. как произведение б.м. По свойству суммы б.м. $fg - AB$ — б.м. При $g\equiv c$ получаем $cf\to cA$ .
По теореме о знакопостоянстве существует $\delta_0 > 0$ такое, что $|g(x)| > \frac{|B|}2 > 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Точка $a$ остаётся предельной для множества $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (любая меньшая проколотая окрестность содержит его точки). На этом множестве

\frac fg - \frac AB = \frac{Bf - Ag}{Bg} = \frac{B(A + \alpha) - A(B + \beta)}{Bg} = (B\alpha - A\beta)\cdot\frac1{Bg} .

Множитель $B\alpha - A\beta$ — б.м. по пп. 1, 2 свойств б.м., а $\left|\frac1{Bg(x)}\right| < \frac2{B^2}$ , т. е. $\frac1{Bg}$ локально ограничена. По свойству произведения б.м. на локально ограниченную функцию разность $\frac fg - \frac AB$ — б.м., и $\frac fg\to\frac AB$ . $\blacksquare$

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций

Формулировка

Пусть рассматривается процесс $x\to a$ , $a$ — предельная точка $X$ .

Если $f$ — б.б. при $x\to a$ , то $f(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и функция $\frac1f$ (на $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ ) — б.м. при $x\to a$ .
Если $\alpha$ — б.м. при $x\to a$ и $\alpha(x)\ne 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ , то $\frac1\alpha$ — б.б. при $x\to a$ .

Доказательство

Развернуть

По определению б.б. при $M = 1$ найдётся $\delta_0 > 0$ с $|f(x)| > 1$ , в частности $f(x)\ne 0$ , при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Пусть дано $\varepsilon > 0$ . Для $M = \frac1\varepsilon$ найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $|f(x)| > \frac1\varepsilon$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ . При $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ и $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$

\left|\frac1{f(x)}\right| < \varepsilon ,

т. е. $\frac1f$ — б.м.

Пусть дано $M > 0$ . Для $\varepsilon = \frac1M$ найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $|\alpha(x)| < \frac1M$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ . При $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ и $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ имеем $0 < |\alpha(x)| < \frac1M$ , откуда $\left|\frac1{\alpha(x)}\right| > M$ . Значит, $\frac1\alpha$ — б.б. $\blacksquare$

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной

Формулировка

Функция $f$ дифференцируема в точке $a$ тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную $f'(a)$ ; при этом число $A$ в определении дифференцируемости единственно и

A = f'(a),\qquad \Delta y = f'(a)\,\Delta x + o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.

Если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,

где функция $\alpha$ , доопределённая значением $\alpha(0) = 0$ , непрерывна в точке $0$ (и формула верна и при $\Delta x = 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $\Delta y = A\,\Delta x + o(\Delta x)$ . Разделив на $\Delta x\ne 0$ , получим $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ , а $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to 0$ по определению «о малого». Значит, $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to A$ , т. е. существует конечная производная $f'(a) = A$ . По единственности предела функции число $A$ определено однозначно.

Достаточность. Пусть $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)\in\mathbb R$ . По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(a) + \alpha(\Delta x)$ , где $\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ . Умножая на $\Delta x$ , получаем $\Delta y = f'(a)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x$ , причём $\alpha(\Delta x)\Delta x = o(\Delta x)$ , так как $\frac{\alpha(\Delta x)\Delta x}{\Delta x} = \alpha(\Delta x)\to 0$ . Следовательно, $f$ дифференцируема и $A = f'(a)$ .

Пункт 2. Из доказанного $\alpha(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} - f'(a)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ . Положив $\alpha(0) = 0$ , получаем $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta x) = \alpha(0)$ — непрерывность $\alpha$ в нуле; при $\Delta x = 0$ обе части формулы равны нулю. $\blacksquare$

Замечание

Поэтому для функций одной переменной термины «дифференцируема в точке» и «имеет конечную производную» равносильны; функция с бесконечной производной не дифференцируема.

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , то она непрерывна в точке $a$ .

Обратное неверно: функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $0$ , но не дифференцируема в ней.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,\qquad \alpha(\Delta x)\to 0.

При $\Delta x\to 0$ оба слагаемых стремятся к нулю, поэтому $\Delta y\to 0$ . По определению непрерывности через приращения (равносильному остальным по теореме об эквивалентности определений непрерывности) $f$ непрерывна в точке $a$ .

Контрпример. Функция $|x|$ непрерывна в нуле: $\big||\Delta x| - 0\big| = |\Delta x|\to 0$ . Но $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ , и по теореме о существовании производной и односторонних производных $f'(0)$ не существует; значит, $|x|$ не дифференцируема в нуле. $\blacksquare$

Замечания

Из бесконечной производной непрерывность не следует: $\operatorname{sign}x$ разрывна в нуле, но $f'(0) = +\infty$ . 2) Существуют функции, непрерывные на всей прямой и не дифференцируемые ни в одной точке (пример Вейерштрасса).

Непрерывность сложной функции. Предельный переход под знаком непрерывной функции

Формулировка

Пусть $f: X\to Y$ , $g: Y\to\mathbb R$ .

Если $f$ непрерывна в точке $a\in X$ , а $g$ непрерывна в точке $b = f(a)$ , то сложная функция $g\circ f$ непрерывна в точке $a$ .
Если $a$ — предельная точка $X$ , существует конечный предел $\lim\limits_{x\to a}f(x) = b$ , причём $b\in Y$ и $g$ непрерывна в точке $b$ , то

\lim_{x\to a}g(f(x)) = g(b) = g\Big(\lim_{x\to a}f(x)\Big).

(В отличие от теоремы о пределе сложной функции, условие $f(x)\ne b$ здесь не требуется.)

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Используем определение по Гейне. Пусть $x_n\in X$ , $x_n\to a$ . По непрерывности $f$ в точке $a$ последовательность $y_n = f(x_n)\in Y$ сходится к $b = f(a)$ . По непрерывности $g$ в точке $b$ (определение Гейне для $g$ ) $g(y_n)\to g(b)$ , т. е. $(g\circ f)(x_n)\to(g\circ f)(a)$ . Значит, $g\circ f$ непрерывна в $a$ .
Пункт 2. Зададим $\varepsilon > 0$ . По непрерывности $g$ в точке $b$ найдётся $\eta > 0$ , такое что

y\in Y,\ |y - b| < \eta\ \Rightarrow\ |g(y) - g(b)| < \varepsilon.

По определению предела $f(x)\to b$ для этого $\eta$ найдётся $\delta > 0$ , такое что $|f(x) - b| < \eta$ при $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ .
Тогда при $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ точка $y = f(x)\in Y$ удовлетворяет $|y - b| < \eta$ , и потому $|g(f(x)) - g(b)| < \varepsilon$ . Это и означает $\lim\limits_{x\to a}g(f(x)) = g(b)$ . Заметим, что равенство $f(x) = b$ при некоторых $x$ ничему не мешает: тогда $|g(f(x)) - g(b)| = 0$ . $\blacksquare$

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулировка

Если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то

f(a + \Delta x) = f(a) + f'(a)\,\Delta x + o(\Delta x),\quad\Delta x\to 0,

так что приближённая формула $f(a + \Delta x)\approx f(a) + f'(a)\,\Delta x$ имеет погрешность $o(\Delta x)$ . 2. Стандартные приближённые формулы при малых $x$ :

(1 + x)^\alpha\approx 1 + \alpha x,\quad \sqrt{1 + x}\approx 1 + \frac x2,\quad \sqrt[n]{1 + x}\approx 1 + \frac xn,

\sin x\approx x,\quad \operatorname{tg}x\approx x,\quad e^x\approx 1 + x,\quad \ln(1 + x)\approx x,\quad \arcsin x\approx x,\quad \operatorname{arctg}x\approx x.

Если $x$ известно с абсолютной погрешностью $\delta$ , то абсолютная погрешность $y = f(x)$ приближённо равна $|f'(x)|\delta$ , а относительная — $\left|\frac{f'(x)}{f(x)}\right|\delta$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По теореме о связи производной и дифференциала $\Delta y = dy + o(\Delta x)$ , т. е. $f(a + \Delta x) - f(a) = f'(a)\Delta x + o(\Delta x)$ .

Пункт 2 — частный случай пункта 1 при $a = 0$ , $\Delta x = x$ с производными из таблицы производных (и правила для сложной функции): для $(1 + x)^\alpha$ имеем $f(0) = 1$ , $f'(0) = \alpha$ (при $\alpha = \frac12$ и $\alpha = \frac1n$ — формулы для корней); для $\sin x$ , $\operatorname{tg}x$ , $\arcsin x$ , $\operatorname{arctg}x$ , $\ln(1 + x)$ имеем $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ ; для $e^x$ : $f(0) = f'(0) = 1$ .

Пункт 3. Если истинное значение аргумента $x + \Delta x$ , $|\Delta x|\le\delta$ , то по пункту 1 $|\Delta y|\approx|dy| = |f'(x)||\Delta x|\le|f'(x)|\delta$ с точностью до $o(\Delta x)$ . Деля на $|f(x)|$ , получаем оценку относительной погрешности. $\blacksquare$

Замечание

Формула не даёт оценки погрешности при конкретном $\Delta x$ ; такую оценку даёт формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Отсутствие инвариантности формы дифференциалов высших порядков

Формулировка

Если $x$ — независимая переменная и $f$ $n$ раз дифференцируема, то

d^ny = f^{(n)}(x)\,dx^n,\qquad f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}.

Если $y = f(u)$ , $u = \varphi(x)$ , $x$ — независимая переменная, $f$ и $\varphi$ дважды дифференцируемы, то

d^2y = f''(u)\,du^2 + f'(u)\,d^2u,\qquad du = \varphi'(x)\,dx,\quad d^2u = \varphi''(x)\,dx^2.

Так как, вообще говоря, $d^2u\ne 0$ , форма $d^2y = f''(u)\,du^2$ не сохраняется: второй дифференциал не обладает инвариантностью. 3. Если $u = kx + b$ — линейная функция, то $d^2u = 0$ и $d^ny = f^{(n)}(u)\,du^n$ (инвариантность сохраняется при линейной замене).

Доказательство

Развернуть

Пункт 1 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ это $dy = f'(x)dx$ . Если $d^ny = f^{(n)}(x)dx^n$ , то, так как $dx$ не зависит от $x$ ,

d^{n+1}y = d\left(f^{(n)}(x)\,dx^n\right) = \left(f^{(n)}(x)\right)'dx\cdot dx^n = f^{(n+1)}(x)\,dx^{n+1}.

Пункт 2. По инвариантности формы первого дифференциала $dy = f'(u)\,du$ , где $f'(u) = f'(\varphi(x))$ и $du = \varphi'(x)dx$ — функции от $x$ . Вычисляя $d(dy)$ при фиксированном $dx$ по правилу дифференциала произведения:

d^2y = d\big(f'(u)\big)\,du + f'(u)\,d(du).

По инвариантности (для функции $f'$ ) $d\big(f'(u)\big) = f''(u)\,du$ , а $d(du) = d\big(\varphi'(x)dx\big) = \varphi''(x)dx^2 = d^2u$ . Отсюда $d^2y = f''(u)du^2 + f'(u)d^2u$ . (Это же получается непосредственно: $\big(f(\varphi(x))\big)'' = f''(\varphi)\varphi'^2 + f'(\varphi)\varphi''$ , и $d^2y = y''dx^2$ по пункту 1.)

Пример отсутствия инвариантности: $y = u^2$ , $u = x^2$ . Тогда $y = x^4$ , $d^2y = 12x^2dx^2$ , тогда как $2\,du^2 = 2(2x\,dx)^2 = 8x^2dx^2$ ; недостающее слагаемое $f'(u)d^2u = 2x^2\cdot 2dx^2 = 4x^2dx^2$ .

Пункт 3. При $u = kx + b$ имеем $d^2u = (kx + b)''dx^2 = 0$ , $du = k\,dx$ . По пункту 1 и формуле для $n$ -й производной функции от линейного аргумента

d^ny = \big(f(kx + b)\big)^{(n)}dx^n = k^nf^{(n)}(u)\,dx^n = f^{(n)}(u)\,(k\,dx)^n = f^{(n)}(u)\,du^n.

$\blacksquare$

Инвариантность формы первого дифференциала

Формулировка

Пусть $y = f(u)$ , $u = \varphi(x)$ , где $x$ — независимая переменная, $\varphi$ дифференцируема в точке $x$ , а $f$ — в точке $u = \varphi(x)$ . Тогда дифференциал сложной функции $y = f(\varphi(x))$ равен

dy = f'(u)\,du,\qquad du = \varphi'(x)\,dx,

т. е. имеет ту же форму, что и в случае, когда $u$ — независимая переменная.

Доказательство

Развернуть

Как функция независимой переменной $x$ , $y = f(\varphi(x))$ дифференцируема в точке $x$ по теореме о производной сложной функции, и по теореме о связи производной и дифференциала

dy = \big(f(\varphi(x))\big)'dx = f'(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx.

Но $\varphi'(x)\,dx = du$ — дифференциал функции $u$ , поэтому $dy = f'(u)\,du$ . $\blacksquare$

Следствия

Таблица дифференциалов $d(\sin u) = \cos u\,du$ , $d(e^u) = e^u\,du$ , $d(\ln u) = \frac{du}u$ и т. д., а также правила вычисления дифференциалов верны для любых дифференцируемых функций $u$ , $v$ . 2) Формула $y'_x = \frac{dy}{dx}$ верна независимо от того, какая переменная независима; например, при $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)\,dt}{\varphi'(t)\,dt} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ . Отметим, что $du = \varphi'(x)dx$ — уже не произвольное приращение, а функция от $x$ и $dx$ ; совпадает лишь форма записи.

Теорема Бернулли–Лопиталя для неопределённости [0/0]

Формулировка

Пусть $a\in\mathbb R$ или $a = \pm\infty$ , и в некоторой проколотой (или односторонней) окрестности $\mathring U(a)$ точки $a$ :

функции $f$ и $g$ дифференцируемы, причём $g'(x)\ne 0$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x) = \lim\limits_{x\to a}g(x) = 0$ ;
существует (конечный или бесконечный) предел $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A$ .

Тогда $g(x)\ne 0$ в $\mathring U(a)$ , существует предел отношения функций и

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A.

Замечания. 1) Если $\frac{f'}{g'}$ снова даёт неопределённость $\left[\frac00\right]$ и $f'$ , $g'$ удовлетворяют условиям теоремы, правило можно применить повторно. 2) Теорема даёт лишь достаточное условие: из существования $\lim\frac fg$ не следует существование $\lim\frac{f'}{g'}$ .

Доказательство

Развернуть

Случай $x\to a + 0$ , $a\in\mathbb R$ . Пусть условия выполнены на $(a, a + \delta)$ . Доопределим $f(a) = g(a) = 0$ ; тогда по условию 2 функции $f$ , $g$ непрерывны на $[a, a + \delta)$ , а на $(a, a + \delta)$ дифференцируемы (и потому непрерывны).

Для любого $x\in(a, a + \delta)$ функции $f$ , $g$ на отрезке $[a, x]$ удовлетворяют условиям теоремы Коши ( $g'\ne 0$ на $(a, x)$ ). Поэтому $g(x) = g(x) - g(a)\ne 0$ и найдётся $c = c(x)\in(a, x)$ такое, что

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

Пусть $V$ — произвольная окрестность $A$ (конечного или бесконечного). По условию 3 существует $\delta_1\in(0, \delta]$ такое, что $\frac{f'(t)}{g'(t)}\in V$ для всех $t\in(a, a + \delta_1)$ . Если $x\in(a, a + \delta_1)$ , то $c(x)\in(a, x)\subset(a, a + \delta_1)$ , следовательно, $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}\in V$ . Это и означает, что $\frac{f(x)}{g(x)}\to A$ при $x\to a + 0$ .

Случай $x\to a - 0$ разбирается так же (отрезок $[x, a]$ ), а двусторонний предел при $x\to a$ получается из совпадения односторонних по теореме о связи двустороннего предела с односторонними.

Случай $x\to+\infty$ . Пусть условия выполнены на $(M, +\infty)$ , $M > 0$ . Положим $F(t) = f(1/t)$ , $G(t) = g(1/t)$ при $t\in(0, 1/M)$ . По теореме о пределе сложной функции ( $1/t\to+\infty$ при $t\to 0 + 0$ ) $F(t)\to 0$ , $G(t)\to 0$ . По правилу дифференцирования сложной функции

F'(t) = -\frac{1}{t^2}f'\Bigl(\frac1t\Bigr),\qquad G'(t) = -\frac{1}{t^2}g'\Bigl(\frac1t\Bigr)\ne 0,\qquad \frac{F'(t)}{G'(t)} = \frac{f'(1/t)}{g'(1/t)}\to A\ \ (t\to 0 + 0).

По уже доказанному $\frac{F(t)}{G(t)}\to A$ при $t\to 0 + 0$ . Снова по теореме о пределе сложной функции ( $1/x\to 0 + 0$ и $1/x\ne 0$ при $x\to+\infty$ ) получаем $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F(1/x)}{G(1/x)}\to A$ .

Случай $x\to-\infty$ аналогичен, а случай $x\to\infty$ следует из двух предыдущих, так как окрестность $\infty$ есть объединение окрестностей $+\infty$ и $-\infty$ . $\blacksquare$

Формула Тейлора для многочленов

Формулировка

Всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ при любом $a\in\mathbb R$ раскладывается по степеням $x - a$ , причём коэффициенты разложения однозначно определяются производными $P$ в точке $a$ :

P(x) = \sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k.

Иначе говоря, для многочлена степени $n$ остаточный член $R_n$ формулы Тейлора тождественно равен нулю. 2. Если $Q(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ , то $Q^{(k)}(a) = k!\,c_k$ при $0\le k\le n$ и $Q^{(k)}\equiv 0$ при $k > n$ . В частности, многочлен Тейлора $P_n$ функции $f$ удовлетворяет условиям $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ , $k = 0, \ldots, n$ .

Доказательство

Развернуть

Существование разложения. Запишем $P(x) = \sum_{j=0}^nb_jx^j$ и подставим $x = a + (x - a)$ . По формуле бинома Ньютона

x^j = \bigl(a + (x - a)\bigr)^j = \sum_{m=0}^jC_j^ma^{j - m}(x - a)^m,

и после приведения подобных $P(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ с некоторыми числами $c_m$ (причём $c_n = b_n\ne 0$ ).

Производные степеней. По формуле для производных высших порядков степенной функции (и правилу дифференцирования сложной функции с линейной внутренней функцией)

\bigl((x - a)^m\bigr)^{(k)} = \begin{cases}\dfrac{m!}{(m - k)!}(x - a)^{m - k}, & k\le m,\\[2mm] 0, & k > m.\end{cases}

Вычисление коэффициентов. Дифференцируя сумму $Q(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ почленно $k$ раз (производная суммы равна сумме производных) и подставляя $x = a$ , получаем, что все слагаемые с $m > k$ обращаются в нуль (содержат множитель $(x - a)^{m - k}$ ), слагаемые с $m < k$ — тождественный нуль, а слагаемое с $m = k$ даёт $k!\,c_k$ . Итак, $Q^{(k)}(a) = k!\,c_k$ , т.е. $c_k = \frac{Q^{(k)}(a)}{k!}$ ; при $k > n$ все слагаемые дают нуль. Это доказывает п. 2.

Применяя п. 2 к разложению $P(x) = \sum c_m(x - a)^m$ , получаем $c_k = \frac{P^{(k)}(a)}{k!}$ , что доказывает формулу п. 1 и однозначность коэффициентов. Применяя п. 2 к $P_n(x) = \sum\frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x - a)^m$ , находим $P_n^{(k)}(a) = k!\cdot\frac{f^{(k)}(a)}{k!} = f^{(k)}(a)$ . $\blacksquare$

Первый замечательный предел

Формулировка

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1 .

Доказательство

Развернуть

Пусть $0 < x < \frac\pi2$ . На единичной окружности с центром $O$ отложим угол $x$ (в радианах) от точки $A = (1, 0)$ ; пусть $B = (\cos x, \sin x)$ , а $C = (1, \operatorname{tg}x)$ — точка пересечения луча $OB$ с касательной к окружности в точке $A$ . Треугольник $OAB$ содержится в секторе $OAB$ , а сектор — в треугольнике $OAC$ . Сравнивая площади, получаем

\frac12\sin x < \frac12x < \frac12\operatorname{tg}x,\quad\text{т. е.}\quad \sin x < x < \operatorname{tg}x .

Разделив на $\sin x > 0$ , получаем $1 < \frac x{\sin x} < \frac1{\cos x}$ , откуда

\cos x < \frac{\sin x}x < 1,\qquad 0 < x < \frac\pi2 .

Все три функции чётные, поэтому неравенство верно и при $-\frac\pi2 < x < 0$ .

Докажем, что $\cos x\to 1$ при $x\to 0$ . Из $\sin t < t$ при $0 < t < \frac\pi2$ , нечётности синуса и оценки $|\sin t|\le 1 < |t|$ при $|t|\ge\frac\pi2$ следует $|\sin t|\le |t|$ для всех $t$ . Поэтому

0\le 1 - \cos x = 2\sin^2\frac x2\le 2\cdot\frac{x^2}4 = \frac{x^2}2 .

Так как $\frac{x^2}2\to 0$ при $x\to 0$ (теорема о пределе произведения), по теореме о пределе промежуточной функции $1 - \cos x\to 0$ , т. е. $\cos x\to 1$ .

Теперь в неравенстве $\cos x < \frac{\sin x}x < 1$ при $0 < |x| < \frac\pi2$ обе крайние функции стремятся к $1$ , и по теореме о пределе промежуточной функции $\frac{\sin x}x\to 1$ . $\blacksquare$

Следствия второго замечательного предела

Формулировка

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}x = 1$ ; более общо, $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\log_a(1 + x)}x = \dfrac1{\ln a}$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ).
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}x = 1$ .
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^x - 1}x = \ln a$ ( $a > 0$ ).
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1 + x)^\mu - 1}x = \mu$ ( $\mu\in\mathbb R$ ).

Доказательство

Развернуть

При $x\in(-1, 0)\cup(0, +\infty)$

\frac{\ln(1 + x)}x = \ln\left((1 + x)^{1/x}\right).

По второму замечательному пределу $(1 + x)^{1/x}\to e$ ; по лемме о пределе строго монотонной функции $\ln y\to\ln e = 1$ при $y\to e$ , и $\ln$ определён в точке $e$ . По теореме о пределе сложной функции (условие (б)) $\frac{\ln(1 + x)}x\to 1$ . Поскольку $\log_a(1 + x) = \frac{\ln(1 + x)}{\ln a}$ , второе утверждение следует из теоремы о пределе произведения на постоянную.

Положим $y = e^x - 1$ . По лемме $e^x\to e^0 = 1$ , поэтому $y\to 0$ при $x\to 0$ ; $y\ne 0$ при $x\ne 0$ (строгая монотонность), и $x = \ln(1 + y)$ . Тогда

\frac{e^x - 1}x = h(y),\qquad h(y) = \frac y{\ln(1 + y)} = \frac1{\frac{\ln(1 + y)}y}\to 1\ \ (y\to 0)

по п. 1 и теореме о пределе частного. По теореме о пределе сложной функции (условие (а)) $\frac{e^x - 1}x\to 1$ .

При $a = 1$ функция тождественно равна $0 = \ln 1$ . При $a\ne 1$ имеем $\ln a\ne 0$ , и при $x\ne 0$

\frac{a^x - 1}x = \frac{e^{x\ln a} - 1}{x\ln a}\cdot\ln a .

Функция $u = x\ln a\to 0$ и $u\ne 0$ при $x\ne 0$ ; по п. 2 и теореме о пределе сложной функции $\frac{e^u - 1}u\to 1$ , так что предел равен $\ln a$ .

При $\mu = 0$ функция тождественно равна $0 = \mu$ . Пусть $\mu\ne 0$ , $x\in(-1, 0)\cup(0, +\infty)$ . Тогда $(1 + x)^\mu = e^{\mu\ln(1 + x)}$ . Положим $u = \mu\ln(1 + x)$ ; по лемме $\ln(1 + x)\to\ln 1 = 0$ , поэтому $u\to 0$ , и $u\ne 0$ при $x\ne 0$ . Запишем

\frac{(1 + x)^\mu - 1}x = \frac{e^u - 1}u\cdot\mu\cdot\frac{\ln(1 + x)}x .

Первый множитель стремится к $1$ по п. 2 и теореме о пределе сложной функции, третий — к $1$ по п. 1. По теореме о пределе произведения предел равен $\mu$ . $\blacksquare$

Непрерывность основных элементарных функций

Формулировка

Функции $y = c$ и $y = x$ непрерывны на $\mathbb R$ ; $x^n$ ( $n\in\mathbb N$ ) и многочлены непрерывны на $\mathbb R$ ; дробно-рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$ непрерывна в каждой точке, где $Q(x)\ne 0$ .
$\sin x$ и $\cos x$ непрерывны на $\mathbb R$ , причём

|\sin x - \sin a|\le|x - a|,\qquad|\cos x - \cos a|\le|x - a|;

$\operatorname{tg} x$ непрерывен при $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ , $\operatorname{ctg} x$ — при $x\ne\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . 3. $\arcsin x$ и $\arccos x$ непрерывны на $[-1, 1]$ ; $\operatorname{arctg} x$ и $\operatorname{arcctg} x$ — на $\mathbb R$ . 4. Показательная функция $a^x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), в частности $e^x$ , непрерывна на $\mathbb R$ . 5. Логарифмическая функция $\log_a x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ) непрерывна на $(0, +\infty)$ . 6. Степенная функция $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ при любом $\alpha\in\mathbb R$ , а при $\alpha > 0$ — на $[0, +\infty)$ (где $0^\alpha = 0$ ). 7. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство

Развернуть

Для $f(x) = c$ имеем $|f(x) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ при любом $\delta$ ; для $f(x) = x$ достаточно взять $\delta = \varepsilon$ . Тогда $x^n = x\cdot\ldots\cdot x$ непрерывна как произведение непрерывных функций (индукция по $n$ ), многочлен $\sum c_kx^k$ — как сумма произведений непрерывных функций, а $\frac PQ$ — как частное непрерывных функций в точках, где $Q\ne 0$ (теорема об арифметических операциях над непрерывными функциями).
При доказательстве первого замечательного предела установлено неравенство $\sin t < t$ при $0 < t < \frac\pi2$ ; по нечётности $|\sin t| < |t|$ при $0 < |t| < \frac\pi2$ , а при $|t|\ge\frac\pi2 > 1$ имеем $|\sin t|\le 1 < |t|$ . Итак, $|\sin t|\le|t|$ для всех $t$ . Отсюда

|\sin x - \sin a| = 2\Bigl|\sin\frac{x - a}2\Bigr|\Bigl|\cos\frac{x + a}2\Bigr|\le 2\cdot\frac{|x - a|}2 = |x - a|,

и аналогично $|\cos x - \cos a| = 2\bigl|\sin\frac{x - a}2\bigr|\bigl|\sin\frac{x + a}2\bigr|\le|x - a|$ . Поэтому в определении непрерывности на языке $\varepsilon$ – $\delta$ можно взять $\delta = \varepsilon$ . Функции $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ непрерывны как частные там, где знаменатель не равен нулю.

На $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает: при $-\frac\pi2\le x < y\le\frac\pi2$ имеем $\sin y - \sin x = 2\sin\frac{y - x}2\cos\frac{y + x}2 > 0$ . По теореме об обратной функции её множество значений — отрезок $[\sin(-\frac\pi2), \sin\frac\pi2] = [-1, 1]$ , а обратная функция $\arcsin$ непрерывна на $[-1, 1]$ . Аналогично $\cos$ строго убывает на $[0, \pi]$ ( $\cos y - \cos x = -2\sin\frac{y + x}2\sin\frac{y - x}2 < 0$ ), и $\arccos$ непрерывен на $[-1, 1]$ . На $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ функция $\operatorname{tg}$ непрерывна и строго возрастает: $\operatorname{tg} y - \operatorname{tg} x = \frac{\sin(y - x)}{\cos x\cos y} > 0$ при $x < y$ . При $x\to\frac\pi2 - 0$ имеем $\sin x\to 1$ , $\cos x\to+0$ , поэтому $\frac1{\cos x}$ — бесконечно большая (связь бесконечно малых и бесконечно больших) и $\operatorname{tg} x\to+\infty$ ; аналогично $\operatorname{tg} x\to-\infty$ при $x\to-\frac\pi2 + 0$ . По теореме об обратной функции множество значений — интервал $(\inf\operatorname{tg}, \sup\operatorname{tg}) = \mathbb R$ , и $\operatorname{arctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ . Для $\operatorname{ctg}$ на $(0, \pi)$ (строго убывает: $\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\sin(y - x)}{\sin x\sin y} > 0$ ) рассуждение то же, и $\operatorname{arcctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ .
Пусть $a > 1$ . Используем известные свойства степени с действительным показателем: $a^x > 0$ , $a^{x + y} = a^xa^y$ , $a^0 = 1$ , $a^x$ строго возрастает. Покажем, что $a^{1/n}\to 1$ . Положим $h_n = a^{1/n} - 1 > 0$ ; по неравенству Бернулли $a = (1 + h_n)^n\ge 1 + nh_n$ , откуда $0 < h_n\le\frac{a - 1}n$ , и по теореме о трёх последовательностях $h_n\to 0$ . Тогда и $a^{-1/n} = \frac1{a^{1/n}}\to 1$ . Для $\varepsilon\in(0, 1)$ выберем $n$ так, что $a^{1/n} < 1 + \varepsilon$ и $a^{-1/n} > 1 - \varepsilon$ . При $|x| < \delta = \frac1n$ по монотонности

1 - \varepsilon < a^{-1/n} < a^x < a^{1/n} < 1 + \varepsilon,

т. е. $|a^x - 1| < \varepsilon$ : функция непрерывна в нуле. В произвольной точке $x_0$ приращение

\Delta y = a^{x_0 + \Delta x} - a^{x_0} = a^{x_0}\bigl(a^{\Delta x} - 1\bigr)\to 0\quad(\Delta x\to 0),

что по определению непрерывности через приращения означает непрерывность в $x_0$ . При $0 < a < 1$ имеем $a^x = \frac1{(1/a)^x}$ , где $\frac1a > 1$ , и непрерывность следует из теоремы о частном. Частный случай $a = e > 1$ даёт непрерывность $e^x$ .

Пусть $a > 1$ . Функция $a^x$ непрерывна и строго возрастает на $\mathbb R$ . По неравенству Бернулли $a^n = (1 + (a - 1))^n\ge 1 + n(a - 1)$ , так что $a^x$ не ограничена сверху, а $a^{-n} = \frac1{a^n}\le\frac1{1 + n(a - 1)}$ , так что $\inf a^x = 0$ (все значения положительны). По теореме об обратной функции множество значений есть $(0, +\infty)$ , а обратная функция $\log_a x$ строго возрастает и непрерывна на $(0, +\infty)$ . При $0 < a < 1$ имеем $\log_a x = -\log_{1/a} x$ , и непрерывность следует из уже доказанного.
При $x > 0$ по определению степени $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ . Функция $\ln x$ непрерывна на $(0, +\infty)$ (п. 5), $\alpha\ln x$ — тоже, а $e^t$ непрерывна на $\mathbb R$ (п. 4); по теореме о непрерывности сложной функции $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ . Пусть $\alpha > 0$ ; тогда $x^\alpha$ строго возрастает на $(0, +\infty)$ как композиция возрастающих функций, и для $\varepsilon > 0$ при $0\le x < \delta = \varepsilon^{1/\alpha}$ имеем $0\le x^\alpha < \delta^\alpha = \varepsilon$ , т. е. $x^\alpha$ непрерывна справа в нуле.
Элементарная функция получается из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Индукцией по числу операций: если функции, участвующие в очередной операции, непрерывны в каждой точке своих областей определения, то по теоремам об арифметических операциях над непрерывными функциями и о непрерывности сложной функции результат непрерывен в каждой точке своей области определения. База — пп. 1–6. $\blacksquare$

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ . Тогда функции $u\pm v$ , $uv$ , а при $v(x)\ne 0$ и $\frac uv$ дифференцируемы в точке $x$ и

(u\pm v)' = u'\pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)$ , $\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)$ ; по условию $\frac{\Delta u}{\Delta x}\to u'(x)$ , $\frac{\Delta v}{\Delta x}\to v'(x)$ , а по теореме о непрерывности дифференцируемой функции $v(x + \Delta x)\to v(x)$ при $\Delta x\to 0$ .

Сумма и разность: $\frac{\Delta(u\pm v)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\pm\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)\pm v'(x)$ по теореме об арифметических операциях над пределами.

Произведение: прибавляя и вычитая $u(x)v(x + \Delta x)$ , получаем

\Delta(uv) = u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x) = \Delta u\cdot v(x + \Delta x) + u(x)\,\Delta v,

откуда

\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\,v(x + \Delta x) + u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Частное: так как $v$ непрерывна в точке $x$ и $v(x)\ne 0$ , по локальным свойствам непрерывных функций $v\ne 0$ в некоторой окрестности точки $x$ , так что $\frac uv$ определена в этой окрестности. Далее

\Delta\left(\frac uv\right) = \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{v(x)v(x + \Delta x)} = \frac{\Delta u\cdot v(x) - u(x)\,\Delta v}{v(x)v(x + \Delta x)}.

Разделив на $\Delta x$ и перейдя к пределу (знаменатель стремится к $v^2(x)\ne 0$ ), получим $\left(\frac uv\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ . Во всех трёх случаях производная конечна, т. е. функции дифференцируемы. $\blacksquare$

Следствия правил дифференцирования. Производная степени и многочлена

Формулировка

Пусть функции $u, v, u_1, \dots, u_n$ дифференцируемы в точке $x$ , $C, \alpha, \beta\in\mathbb R$ . Тогда:

$(Cu)' = Cu'$ , $(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v'$ (линейность);
$(u_1u_2\cdots u_n)' = u_1'u_2\cdots u_n + u_1u_2'\cdots u_n + \dots + u_1u_2\cdots u_n'$ ;
$(x^n)' = nx^{n-1}$ при $n\in\mathbb N$ , $x\in\mathbb R$ ; производная многочлена: $\left(\sum_{k=0}^n a_kx^k\right)' = \sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}$ ;
при $v(x)\ne 0$ : $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ ; в частности, $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$ при $n\in\mathbb N$ , $x\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Постоянная $C$ имеет производную $0$ , поэтому по правилу произведения $(Cu)' = 0\cdot u + Cu' = Cu'$ ; линейность получается отсюда и из правила для суммы.

Пункт 2 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ утверждение тривиально, при $n = 2$ это правило произведения. Если формула верна для $n$ сомножителей, то по правилу произведения

(u_1\cdots u_nu_{n+1})' = (u_1\cdots u_n)'u_{n+1} + u_1\cdots u_nu_{n+1}',

и, подставив выражение для $(u_1\cdots u_n)'$ из предположения индукции, получаем формулу для $n + 1$ сомножителей. По принципу математической индукции она верна при всех $n$ .

Пункт 3. Применим пункт 2 к $u_1 = \dots = u_n = x$ , $x' = 1$ : каждое из $n$ слагаемых равно $x^{n-1}$ , поэтому $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Формула для многочлена следует из линейности.

Пункт 4. По правилу частного с $u\equiv 1$ : $\left(\frac1v\right)' = \frac{0\cdot v - 1\cdot v'}{v^2} = -\frac{v'}{v^2}$ . Для $v = x^n$ , $x\ne 0$ : $(x^{-n})' = -\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}$ . $\blacksquare$

Свойства гиперболических функций

Формулировка

Для всех $x, y\in\mathbb R$ :

$\operatorname{ch}$ — чётная функция, $\operatorname{sh}$ и $\operatorname{th}$ — нечётные; $\operatorname{ch}x\pm\operatorname{sh}x = e^{\pm x}$ ;
основное тождество

\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x = 1;

формулы сложения

\operatorname{sh}(x\pm y) = \operatorname{sh}x\operatorname{ch}y\pm\operatorname{ch}x\operatorname{sh}y,\qquad\operatorname{ch}(x\pm y) = \operatorname{ch}x\operatorname{ch}y\pm\operatorname{sh}x\operatorname{sh}y;

формулы двойного аргумента

\operatorname{sh}2x = 2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x,\qquad\operatorname{ch}2x = \operatorname{ch}^2x + \operatorname{sh}^2x = 1 + 2\operatorname{sh}^2x = 2\operatorname{ch}^2x - 1;

$1 - \operatorname{th}^2x = \dfrac1{\operatorname{ch}^2x}$ .

Доказательство

Развернуть

При замене $x$ на $-x$ слагаемые $e^x$ и $e^{-x}$ меняются местами, поэтому $\operatorname{ch}(-x) = \operatorname{ch}x$ , $\operatorname{sh}(-x) = -\operatorname{sh}x$ , и $\operatorname{th}(-x) = -\operatorname{th}x$ как частное нечётной и чётной функций. Складывая и вычитая определения, получаем $\operatorname{ch}x + \operatorname{sh}x = e^x$ , $\operatorname{ch}x - \operatorname{sh}x = e^{-x}$ .
Перемножая два равенства п. 1:

\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x = (\operatorname{ch}x + \operatorname{sh}x)(\operatorname{ch}x - \operatorname{sh}x) = e^xe^{-x} = 1.

Раскроем скобки:

\operatorname{sh}x\operatorname{ch}y + \operatorname{ch}x\operatorname{sh}y = \frac{(e^x - e^{-x})(e^y + e^{-y}) + (e^x + e^{-x})(e^y - e^{-y})}4 = \frac{2e^{x+y} - 2e^{-x-y}}4 = \operatorname{sh}(x + y).

Аналогично

\operatorname{ch}x\operatorname{ch}y + \operatorname{sh}x\operatorname{sh}y = \frac{(e^x + e^{-x})(e^y + e^{-y}) + (e^x - e^{-x})(e^y - e^{-y})}4 = \frac{2e^{x+y} + 2e^{-x-y}}4 = \operatorname{ch}(x + y).

Формулы для $x - y$ получаются заменой $y$ на $-y$ с учётом чётности $\operatorname{ch}$ и нечётности $\operatorname{sh}$ .

Полагая $y = x$ в формулах сложения, получаем $\operatorname{sh}2x = 2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x$ и $\operatorname{ch}2x = \operatorname{ch}^2x + \operatorname{sh}^2x$ ; заменяя $\operatorname{ch}^2x = 1 + \operatorname{sh}^2x$ или $\operatorname{sh}^2x = \operatorname{ch}^2x - 1$ по п. 2, получаем две другие формы.
Делим тождество п. 2 на $\operatorname{ch}^2x > 0$ . $\blacksquare$

Сравнение роста логарифмической, степенной и показательной функций

Формулировка

Пусть $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $a > 1$ . Тогда при $x\to+\infty$

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^\beta x}{x^\alpha} = 0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x} = 0,

т.е. $\ln^\beta x = o(x^\alpha)$ и $x^\alpha = o(a^x)$ : любая положительная степень логарифма растёт медленнее любой положительной степени $x$ , а любая степень $x$ — медленнее любой показательной функции с основанием $a > 1$ .

Следствия.

$\lim\limits_{x\to 0 + 0}x^\alpha\ln^\beta\frac1x = 0$ ; в частности, $\lim\limits_{x\to 0 + 0}x^\alpha\ln x = 0$ .
Для последовательностей: $\frac{\ln^\beta n}{n^\alpha}\to 0$ , $\frac{n^\alpha}{a^n}\to 0$ при $n\to\infty$ .

Доказательство

Развернуть

Сначала докажем, что $\frac{\ln x}{x^\gamma}\to 0$ при любом $\gamma > 0$ . Это неопределённость $\left[\frac\infty\infty\right]$ : функции $\ln x$ и $x^\gamma$ дифференцируемы на $(1, +\infty)$ , $(x^\gamma)' = \gamma x^{\gamma - 1}\ne 0$ , $x^\gamma\to+\infty$ , и

\frac{(\ln x)'}{(x^\gamma)'} = \frac{1/x}{\gamma x^{\gamma - 1}} = \frac{1}{\gamma x^\gamma}\to 0.

По теореме Бернулли–Лопиталя для неопределённости $\left[\frac\infty\infty\right]$ $\frac{\ln x}{x^\gamma}\to 0$ .

Далее при $x > 1$ , $\gamma = \alpha/\beta$ :

\frac{\ln^\beta x}{x^\alpha} = \left(\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}}\right)^\beta.

Функция $t\mapsto t^\beta$ непрерывна в точке $t = 0$ (справа) и $0^\beta = 0$ , поэтому по теореме о предельном переходе под знаком непрерывной функции предел равен $0^\beta = 0$ .

Аналогично сначала докажем, что $\frac{x}{b^x}\to 0$ при $b > 1$ : по той же теореме, так как $b^x\to+\infty$ , $(b^x)' = b^x\ln b\ne 0$ и

\frac{(x)'}{(b^x)'} = \frac{1}{b^x\ln b}\to 0.

Затем $\frac{x^\alpha}{a^x} = \left(\frac{x}{b^x}\right)^\alpha$ с $b = a^{1/\alpha} > 1$ , и снова по непрерывности $t^\alpha$ в нуле предел равен $0$ .

Следствие 1: замена $x = 1/t$ , $t\to+\infty$ , даёт $x^\alpha\ln^\beta\frac1x = \frac{\ln^\beta t}{t^\alpha}\to 0$ ; при $\beta = 1$ получаем $x^\alpha\ln x = -\frac{\ln t}{t^\alpha}\to 0$ .

Следствие 2 вытекает из определения предела функции по Гейне (эквивалентного определению по Коши): если $\varphi(x)\to 0$ при $x\to+\infty$ , то $\varphi(n)\to 0$ для последовательности $x_n = n\to+\infty$ . $\blacksquare$

Локальные свойства функций, непрерывных в точке

Формулировка

Пусть $f: X\to\mathbb R$ непрерывна в точке $a\in X$ . Тогда:

(локальная ограниченность) существуют $\delta > 0$ и $M > 0$ , такие что

|f(x)|\le M\quad\forall x\in X\cap(a - \delta, a + \delta);

(сохранение неравенства) если $f(a) > c$ (соответственно $f(a) < c$ ), то существует $\delta > 0$ , такое что $f(x) > c$ (соответственно $f(x) < c$ ) для всех $x\in X\cap(a - \delta, a + \delta)$ ;
(знакопостоянство) если $f(a) > 0$ , то существует $\delta > 0$ , такое что

f(x) > \frac{f(a)}{2} > 0\quad\forall x\in X\cap(a - \delta, a + \delta);

аналогично при $f(a) < 0$ : $f(x) < \frac{f(a)}2 < 0$ . В частности, если $f(a)\ne 0$ , то $f$ не обращается в нуль и сохраняет знак в некоторой окрестности точки $a$ .

В отличие от соответствующих свойств функций, имеющих предел, здесь окрестность не проколотая: точка $a$ в неё входит.

Доказательство

Развернуть

Возьмём в определении непрерывности ( $\varepsilon$ – $\delta$ ) $\varepsilon = 1$ : найдётся $\delta > 0$ , такое что $|f(x) - f(a)| < 1$ при $x\in X$ , $|x - a| < \delta$ . Тогда для таких $x$

|f(x)|\le|f(x) - f(a)| + |f(a)| < 1 + |f(a)| = M.

Пусть $f(a) > c$ . Положим $\varepsilon = f(a) - c > 0$ и найдём $\delta$ из определения непрерывности. При $x\in X$ , $|x - a| < \delta$ :

f(x) > f(a) - \varepsilon = c.

Случай $f(a) < c$ сводится к рассмотренному заменой $f$ на $-f$ (функция $-f$ непрерывна в $a$ , так как $|(-f)(x) - (-f)(a)| = |f(x) - f(a)|$ ) и $c$ на $-c$ .

При $f(a) > 0$ применим пункт 2 с $c = \frac{f(a)}2 < f(a)$ ; при $f(a) < 0$ — с $c = \frac{f(a)}2 > f(a)$ . $\blacksquare$

Выражение второй производной через дифференциалы

Формулировка

Пусть $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ удовлетворяют условиям пункта 2 теоремы о производной параметрически заданной функции, $t$ — независимая переменная, и все дифференциалы вычисляются по $t$ . Тогда

y'_x = \frac{dy}{dx},\qquad y''_{xx} = \frac{dx\,d^2y - dy\,d^2x}{dx^3}.

В частности, если $x$ — независимая переменная ( $d^2x = 0$ ), то $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ ; в общем случае $y''_{xx}\ne\frac{d^2y}{dx^2}$ .

Доказательство

Развернуть

Так как $t$ — независимая переменная, по пункту 1 теоремы о дифференциалах высших порядков $dx = \varphi'dt$ , $dy = \psi'dt$ , $d^2x = \varphi''dt^2$ , $d^2y = \psi''dt^2$ , где $dt\ne 0$ — фиксированное приращение.

По теореме о производной параметрически заданной функции $y'_x = \frac{\psi'}{\varphi'} = \frac{\psi'dt}{\varphi'dt} = \frac{dy}{dx}$ .

Для второй производной, умножая числитель и знаменатель формулы $y''_{xx} = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^3}$ на $dt^3$ :

y''_{xx} = \frac{\varphi'dt\cdot\psi''dt^2 - \psi'dt\cdot\varphi''dt^2}{(\varphi'dt)^3} = \frac{dx\,d^2y - dy\,d^2x}{dx^3}.

Если $x$ — независимая переменная (можно взять $t = x$ , $\varphi(t) = t$ ), то $d^2x = 0$ и формула превращается в $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ . При $d^2x\ne 0$ слагаемое $-\frac{dy\,d^2x}{dx^3}$ в общем случае не равно нулю — проявление отсутствия инвариантности второго дифференциала. $\blacksquare$

Принцип математической индукции

Формулировка

Пусть $\mathbb N = \{1, 2, 3,\dots\}$ и выполнен принцип наименьшего элемента: всякое непустое подмножество $\mathbb N$ имеет наименьший элемент (основное свойство натуральных чисел; при аксиоматическом построении $\mathbb R$ оно выводится из определения $\mathbb N$ как наименьшего индуктивного множества). Пусть $P(n)$ — предикат на $\mathbb N$ .

(Принцип индукции.) Если $P(1)$ истинно (база) и для любого $n\in\mathbb N$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ (шаг), то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ :

\Bigl(P(1)\land\forall n\in\mathbb N\ \bigl(P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr)\Bigr)\Rightarrow\forall n\in\mathbb N\ \ P(n).

(Индукция с базой $n_0$ .) Пусть $n_0\in\mathbb Z$ и $P(n)$ — предикат на множестве целых $n\ge n_0$ . Если $P(n_0)$ истинно и для любого целого $n\ge n_0$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех целых $n\ge n_0$ .
(Полная индукция.) Если $P(1)$ истинно и для любого $n\in\mathbb N$ из истинности $P(1),\dots,P(n)$ следует истинность $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Рассуждаем от противного. Пусть множество $M = \{n\in\mathbb N:\ P(n)\ \text{ложно}\}$ непусто. По принципу наименьшего элемента в $M$ есть наименьший элемент $m$ .

Так как $P(1)$ истинно, $m\ne 1$ , поэтому $m\ge 2$ и $m - 1\in\mathbb N$ . Поскольку $m - 1 < m$ и $m$ — наименьший элемент $M$ , имеем $m - 1\notin M$ , т. е. $P(m - 1)$ истинно.

По условию шага из $P(m-1)$ следует $P(m)$ , т. е. $P(m)$ истинно, что противоречит $m\in M$ . Значит, $M = \varnothing$ , и $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Пункт 2. Положим $Q(k) = P(n_0 + k - 1)$ , $k\in\mathbb N$ . Тогда $Q(1) = P(n_0)$ истинно, а при любом $k\in\mathbb N$ число $n = n_0 + k - 1\ge n_0$ , и из $Q(k) = P(n)$ следует $P(n + 1) = Q(k+1)$ . По пункту 1 $Q(k)$ истинно при всех $k$ . Любое целое $n\ge n_0$ имеет вид $n_0 + k - 1$ с $k = n - n_0 + 1\in\mathbb N$ , поэтому $P(n)$ истинно.

Пункт 3. Положим $Q(n) = P(1)\land P(2)\land\ldots\land P(n)$ . Тогда $Q(1) = P(1)$ истинно. Если $Q(n)$ истинно, то по условию истинно $P(n+1)$ , а значит, и $Q(n+1) = Q(n)\land P(n+1)$ . По пункту 1 $Q(n)$ истинно при всех $n$ , откуда истинно и каждое $P(n)$ . $\blacksquare$

Формула Маклорена для (1+x)^α

Формулировка

Пусть $\alpha\in\mathbb R$ . Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}C_\alpha^k x^k + o(x^n),

где $C_\alpha^0 = 1$ и

C_\alpha^k = \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}{k!},\quad k\ge 1,

— обобщённые биномиальные коэффициенты. В частности,

\frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k + o(x^n),\qquad \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n}x^k + o(x^n),

\sqrt{1+x} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3).

Если $\alpha = m\in\mathbb N$ и $n\ge m$ , то $o(x^n)$ отсутствует и формула превращается в бином Ньютона.

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = (1+x)^\alpha$ бесконечно дифференцируема на $(-1, +\infty)$ , и по формуле для производных высших порядков

f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k},\qquad f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1).

Значит, коэффициенты многочлена Маклорена равны $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = C_\alpha^k$ , и общая формула есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при $a = 0$ .

Частные случаи. При $\alpha = -1$ : $C_{-1}^k = \frac{(-1)(-2)\ldots(-k)}{k!} = (-1)^k$ , что даёт разложение $\frac1{1+x}$ ; замена $x$ на $-x$ даёт разложение $\frac1{1-x}$ (так как $o((-x)^n) = o(x^n)$ ). При $\alpha = \frac12$ :

C_{1/2}^1 = \frac12,\quad C_{1/2}^2 = \frac{\frac12\cdot\left(-\frac12\right)}{2} = -\frac18,\quad C_{1/2}^3 = \frac{\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\left(-\frac32\right)}{6} = \frac1{16}.

Если $\alpha = m\in\mathbb N$ , то $C_m^k = 0$ при $k > m$ (в произведении есть множитель $m - m = 0$ ), а $(1+x)^m$ — многочлен степени $m$ ; по формуле Тейлора для многочленов он точно равен $\sum_{k=0}^{m}C_m^k x^k$ , и остаток равен нулю. $\blacksquare$

Формула Маклорена для e^x

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + o(x^n).

Для любых $x\in\mathbb R$ и $n\in\mathbb N$ найдётся $\theta\in(0, 1)$ такое, что

e^x = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}\,x^{n+1}.

Оценка остатка: если $|x|\le a$ , то

\left|e^x - \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right|\le \frac{e^{a}a^{n+1}}{(n+1)!}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0,

поэтому $e^x = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ при каждом $x\in\mathbb R$ . 4. Приближённое вычисление $e$ : для любого $n\in\mathbb N$

0 < e - \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} < \frac{3}{(n+1)!}.

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = e^x$ бесконечно дифференцируема на $\mathbb R$ , и по формуле для производных высших порядков $f^{(k)}(x) = e^x$ , поэтому $f^{(k)}(0) = 1$ при всех $k\ge 0$ . Значит, многочлен Маклорена порядка $n$ равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ .

Пункт 1 есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в точке $a = 0$ , применённая к $n$ раз дифференцируемой в нуле функции $e^x$ .

Пункт 2 есть формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа: $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$ , где $c$ лежит между $0$ и $x$ ; записывая $c = \theta x$ , $\theta\in(0, 1)$ , получаем $f^{(n+1)}(c) = e^{\theta x}$ (при $x = 0$ формула тривиальна).

Для пункта 3 заметим, что при $|x|\le a$ имеем $\theta x\le |x|\le a$ , откуда $e^{\theta x}\le e^a$ и $|R_n(x)|\le\frac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}$ . Покажем, что $\frac{a^m}{m!}\to 0$ при $m\to\infty$ . Выберем натуральное $N > 2a$ . При $m > N$

0 < \frac{a^m}{m!} = \frac{a^N}{N!}\cdot\frac{a}{N+1}\cdots\frac{a}{m}\le\frac{a^N}{N!}\left(\frac12\right)^{m-N},

и правая часть стремится к нулю; по теореме о трёх последовательностях $\frac{a^m}{m!}\to 0$ . Значит, $R_n(x)\to 0$ при $n\to\infty$ , и частичные суммы сходятся к $e^x$ .

Для пункта 4 положим $x = 1$ в пункте 2: $e - \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} = \frac{e^\theta}{(n+1)!}$ , $\theta\in(0, 1)$ . Так как $1 < e^\theta < e < 3$ (свойство числа $e$ ), получаем $0 < e - \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} < \frac{3}{(n+1)!}$ . $\blacksquare$

Формула Маклорена для ln(1+x)

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N$ при $x\to 0$

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o(x^n) = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k} + o(x^n).

Для $x > -1$ остаток в форме Лагранжа имеет вид

R_n(x) = \frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}},\quad c \text{ между } 0 \text{ и } x;

в частности, при $0\le x\le 1$ справедлива оценка $|R_n(x)|\le\frac{x^{n+1}}{n+1}\le\frac1{n+1}$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $f(x) = \ln(1+x)$ бесконечно дифференцируема на $(-1, +\infty)$ , $f(0) = 0$ , и по формуле для производных высших порядков

f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k},\qquad f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}(k-1)!.

Поэтому коэффициенты многочлена Маклорена равны $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!} = \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ , и пункт 1 есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при $a = 0$ .

Для пункта 2 применим формулу Маклорена с остатком в форме Лагранжа:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1} = \frac{(-1)^n n!}{(1+c)^{n+1}(n+1)!}x^{n+1} = \frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}}.

Если $0\le x\le 1$ , то $c\ge 0$ , $(1+c)^{n+1}\ge 1$ , и $|R_n(x)|\le\frac{x^{n+1}}{n+1}\le\frac{1}{n+1}$ . $\blacksquare$

Формулы Маклорена для sin x и cos x

Формулировка

Для любого $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ при $x\to 0$

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}),

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}).

Для любого $x\in\mathbb R$ найдутся $\theta_1, \theta_2\in(0, 1)$ такие, что

\sin x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + (-1)^{n+1}\cos(\theta_1 x)\,\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!},

\cos x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + (-1)^{n+1}\cos(\theta_2 x)\,\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}.

Оценки погрешности: при всех $x\in\mathbb R$

\left|\sin x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!},\qquad \left|\cos x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}.

Доказательство

Развернуть

По формулам для производных высших порядков $(\sin x)^{(m)} = \sin\left(x + \frac{\pi m}{2}\right)$ , $(\cos x)^{(m)} = \cos\left(x + \frac{\pi m}{2}\right)$ . Поэтому $(\sin x)^{(m)}\big|_{x=0} = \sin\frac{\pi m}{2}$ равно $0$ при чётном $m$ и $(-1)^k$ при $m = 2k + 1$ ; аналогично $(\cos x)^{(m)}\big|_{x=0} = \cos\frac{\pi m}2$ равно $0$ при нечётном $m$ и $(-1)^k$ при $m = 2k$ .

Следовательно, многочлен Маклорена синуса порядка $2n + 2$ совпадает с многочленом порядка $2n+1$ (коэффициент при $x^{2n+2}$ равен нулю) и равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ . Формула Тейлора с остатком в форме Пеано порядка $2n + 2$ даёт первую формулу пункта 1 с остатком $o(x^{2n+2})$ . Аналогично многочлен Маклорена косинуса порядка $2n+1$ равен $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ , и формула Пеано порядка $2n+1$ даёт вторую формулу.

Для пункта 2 запишем остаток в форме Лагранжа. Для синуса (порядок $2n+2$ ): $R(x) = \frac{\sin^{(2n+3)}(c)}{(2n+3)!}x^{2n+3}$ , $c = \theta_1 x$ , и

\sin^{(2n+3)}(c) = \sin\left(c + \frac{3\pi}{2} + \pi n\right) = (-1)^n\sin\left(c + \frac{3\pi}2\right) = (-1)^{n+1}\cos c.

Для косинуса (порядок $2n+1$ ): $R(x) = \frac{\cos^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ , $c = \theta_2 x$ , и $\cos^{(2n+2)}(c) = \cos(c + \pi(n+1)) = (-1)^{n+1}\cos c$ .

Пункт 3 следует из пункта 2, так как $|\cos(\theta x)|\le 1$ . $\blacksquare$

Бином Ньютона

Формулировка

Для целых $1\le k\le n$ справедливо равенство

C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k.

Для любых чисел $a$ , $b$ и любого $n\in\mathbb N$ (при соглашении $a^0 = b^0 = 1$ )

(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k\,a^{n-k}b^k = a^n + C_n^1a^{n-1}b + \ldots + C_n^{n-1}ab^{n-1} + b^n.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Приведём к общему знаменателю, используя $k! = k\,(k-1)!$ и $(n - k + 1)! = (n - k + 1)(n - k)!$ :

\frac{n!}{k!\,(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k+1)!} = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\Bigl(\frac1k + \frac1{n - k + 1}\Bigr) = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\cdot\frac{n + 1}{k\,(n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k!\,(n + 1 - k)!}.

Пункт 2 докажем индукцией по $n$ . База $n = 1$ : $C_1^0a + C_1^1b = a + b$ .

Шаг. Пусть формула верна для $n$ . Умножим её на $a + b$ :

(a + b)^{n+1} = \sum_{k=0}^nC_n^ka^{n+1-k}b^k + \sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^{k+1}.

Во второй сумме сделаем замену индекса $j = k + 1$ : она равна $\sum_{j=1}^{n+1}C_n^{j-1}a^{n+1-j}b^j$ .

Выделим в первой сумме слагаемое с $k = 0$ , во второй — с $j = n + 1$ , и объединим остальные:

(a + b)^{n+1} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n\bigl(C_n^k + C_n^{k-1}\bigr)a^{n+1-k}b^k + b^{n+1}.

По пункту 1 $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$ , а $C_{n+1}^0 = C_{n+1}^{n+1} = 1$ , поэтому $(a + b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k$ . По принципу математической индукции формула верна при всех $n\in\mathbb N$ . $\blacksquare$

Производные сложной и обратной функций. Производные высших порядков

Производная обратной функции

Формулировка

Доказательство

Производная сложной функции

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производная чётной, нечётной и периодической функции

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производные основных элементарных функций

Формулировка

Доказательство

Логарифмическая производная. Производная показательно-степенной функции

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производная функции, заданной параметрически и неявно

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производные высших порядков основных функций

Формулировка

Доказательство

Формула Лейбница

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производные сложных функций

Условие

Решение

Логарифмическое дифференцирование

Условие

Решение

Первая и вторая производные функции, заданной параметрически (циклоида)

Условие

Решение

Производные неявной и обратной функций

Условие

Решение

Производные n-го порядка

Условие

Решение

Формула Лейбница

Условие

Решение

Разрывная производная функции |x|^α sin(1/x)

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Производные высших порядков

Функции, заданные параметрически и неявно

Производная функции в точке

Обратное отображение. Композиция

Дифференцируемая функция

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Основные элементарные функции

Гиперболические функции

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Формулировка

Доказательство

Предел сложной функции (замена переменной в пределе)

Формулировка

Доказательство

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Доказательство

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций

Формулировка

Доказательство

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной

Формулировка

Доказательство

Замечание

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство