Дифференциал функции

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Связь производной и дифференциала
Правила вычисления дифференциалов
Инвариантность формы первого дифференциала
Приближённые вычисления с помощью дифференциала
Отсутствие инвариантности формы дифференциалов высших порядков
Выражение второй производной через дифференциалы

теорема

Связь производной и дифференциала

Формулировка

Функция $f$ имеет дифференциал в точке $x$ тогда и только тогда, когда она имеет конечную производную $f'(x)$ ; при этом

dy = f'(x)\,dx,\qquad f'(x) = \frac{dy}{dx}.

$\Delta y - dy = o(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$ .
Если $f'(x)\ne 0$ , то $\Delta y\sim dy$ при $\Delta x\to 0$ .
$dy$ равен приращению ординаты касательной к графику в точке $(x, f(x))$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Дифференциал определён для дифференцируемых функций, а по теореме о связи дифференцируемости с конечной производной дифференцируемость равносильна существованию конечной $f'(x)$ , причём $A = f'(x)$ . Так как $dx = \Delta x$ , то $dy = f'(x)\,dx$ , и при $dx\ne 0$ $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ — производная есть отношение дифференциалов (что оправдывает обозначение Лейбница).

Пункт 2. По той же теореме $\Delta y = f'(x)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x$ , $\alpha\to 0$ , поэтому $\Delta y - dy = \alpha(\Delta x)\Delta x = o(\Delta x)$ .

Пункт 3. При $f'(x)\ne 0$ и $\Delta x\ne 0$

\frac{\Delta y}{dy} = \frac{f'(x)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x}{f'(x)\Delta x} = 1 + \frac{\alpha(\Delta x)}{f'(x)}\to 1,

т. е. $\Delta y\sim dy$ .

Пункт 4. По теореме о геометрическом смысле производной касательная имеет уравнение $Y(\xi) = f(x) + f'(x)(\xi - x)$ , поэтому $Y(x + \Delta x) - Y(x) = f'(x)\Delta x = dy$ . $\blacksquare$

Замечание

При $f'(x) = 0$ дифференциал $dy = 0$ не является главной частью приращения: для $y = x^3$ в нуле $dy = 0$ , $\Delta y = \Delta x^3$ .

теорема

Правила вычисления дифференциалов

Формулировка

Пусть $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ , $C\in\mathbb R$ . Тогда

dC = 0,\quad d(Cu) = C\,du,\quad d(u\pm v) = du\pm dv,\quad d(uv) = v\,du + u\,dv,

и при $v(x)\ne 0$

d\left(\frac uv\right) = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи производной и дифференциала $dw = w'(x)\,dx$ для любой дифференцируемой функции $w$ . Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного и их следствия дают дифференцируемость функций $Cu$ , $u\pm v$ , $uv$ , $\frac uv$ и формулы для их производных.

Умножая эти формулы на $dx$ , получаем, например,

d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v\,(u'dx) + u\,(v'dx) = v\,du + u\,dv,

d\left(\frac uv\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}dx = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2};

остальные формулы получаются так же ( $C' = 0$ ). $\blacksquare$

теорема

Инвариантность формы первого дифференциала

Формулировка

Пусть $y = f(u)$ , $u = \varphi(x)$ , где $x$ — независимая переменная, $\varphi$ дифференцируема в точке $x$ , а $f$ — в точке $u = \varphi(x)$ . Тогда дифференциал сложной функции $y = f(\varphi(x))$ равен

dy = f'(u)\,du,\qquad du = \varphi'(x)\,dx,

т. е. имеет ту же форму, что и в случае, когда $u$ — независимая переменная.

Доказательство

Развернуть

Как функция независимой переменной $x$ , $y = f(\varphi(x))$ дифференцируема в точке $x$ по теореме о производной сложной функции, и по теореме о связи производной и дифференциала

dy = \big(f(\varphi(x))\big)'dx = f'(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx.

Но $\varphi'(x)\,dx = du$ — дифференциал функции $u$ , поэтому $dy = f'(u)\,du$ . $\blacksquare$

Следствия

Таблица дифференциалов $d(\sin u) = \cos u\,du$ , $d(e^u) = e^u\,du$ , $d(\ln u) = \frac{du}u$ и т. д., а также правила вычисления дифференциалов верны для любых дифференцируемых функций $u$ , $v$ . 2) Формула $y'_x = \frac{dy}{dx}$ верна независимо от того, какая переменная независима; например, при $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)\,dt}{\varphi'(t)\,dt} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ . Отметим, что $du = \varphi'(x)dx$ — уже не произвольное приращение, а функция от $x$ и $dx$ ; совпадает лишь форма записи.

теорема

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулировка

Если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то

f(a + \Delta x) = f(a) + f'(a)\,\Delta x + o(\Delta x),\quad\Delta x\to 0,

так что приближённая формула $f(a + \Delta x)\approx f(a) + f'(a)\,\Delta x$ имеет погрешность $o(\Delta x)$ . 2. Стандартные приближённые формулы при малых $x$ :

(1 + x)^\alpha\approx 1 + \alpha x,\quad \sqrt{1 + x}\approx 1 + \frac x2,\quad \sqrt[n]{1 + x}\approx 1 + \frac xn,

\sin x\approx x,\quad \operatorname{tg}x\approx x,\quad e^x\approx 1 + x,\quad \ln(1 + x)\approx x,\quad \arcsin x\approx x,\quad \operatorname{arctg}x\approx x.

Если $x$ известно с абсолютной погрешностью $\delta$ , то абсолютная погрешность $y = f(x)$ приближённо равна $|f'(x)|\delta$ , а относительная — $\left|\frac{f'(x)}{f(x)}\right|\delta$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По теореме о связи производной и дифференциала $\Delta y = dy + o(\Delta x)$ , т. е. $f(a + \Delta x) - f(a) = f'(a)\Delta x + o(\Delta x)$ .

Пункт 2 — частный случай пункта 1 при $a = 0$ , $\Delta x = x$ с производными из таблицы производных (и правила для сложной функции): для $(1 + x)^\alpha$ имеем $f(0) = 1$ , $f'(0) = \alpha$ (при $\alpha = \frac12$ и $\alpha = \frac1n$ — формулы для корней); для $\sin x$ , $\operatorname{tg}x$ , $\arcsin x$ , $\operatorname{arctg}x$ , $\ln(1 + x)$ имеем $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ ; для $e^x$ : $f(0) = f'(0) = 1$ .

Пункт 3. Если истинное значение аргумента $x + \Delta x$ , $|\Delta x|\le\delta$ , то по пункту 1 $|\Delta y|\approx|dy| = |f'(x)||\Delta x|\le|f'(x)|\delta$ с точностью до $o(\Delta x)$ . Деля на $|f(x)|$ , получаем оценку относительной погрешности. $\blacksquare$

Замечание

Формула не даёт оценки погрешности при конкретном $\Delta x$ ; такую оценку даёт формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

теорема

Отсутствие инвариантности формы дифференциалов высших порядков

Формулировка

Если $x$ — независимая переменная и $f$ $n$ раз дифференцируема, то

d^ny = f^{(n)}(x)\,dx^n,\qquad f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}.

Если $y = f(u)$ , $u = \varphi(x)$ , $x$ — независимая переменная, $f$ и $\varphi$ дважды дифференцируемы, то

d^2y = f''(u)\,du^2 + f'(u)\,d^2u,\qquad du = \varphi'(x)\,dx,\quad d^2u = \varphi''(x)\,dx^2.

Так как, вообще говоря, $d^2u\ne 0$ , форма $d^2y = f''(u)\,du^2$ не сохраняется: второй дифференциал не обладает инвариантностью. 3. Если $u = kx + b$ — линейная функция, то $d^2u = 0$ и $d^ny = f^{(n)}(u)\,du^n$ (инвариантность сохраняется при линейной замене).

Доказательство

Развернуть

Пункт 1 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ это $dy = f'(x)dx$ . Если $d^ny = f^{(n)}(x)dx^n$ , то, так как $dx$ не зависит от $x$ ,

d^{n+1}y = d\left(f^{(n)}(x)\,dx^n\right) = \left(f^{(n)}(x)\right)'dx\cdot dx^n = f^{(n+1)}(x)\,dx^{n+1}.

Пункт 2. По инвариантности формы первого дифференциала $dy = f'(u)\,du$ , где $f'(u) = f'(\varphi(x))$ и $du = \varphi'(x)dx$ — функции от $x$ . Вычисляя $d(dy)$ при фиксированном $dx$ по правилу дифференциала произведения:

d^2y = d\big(f'(u)\big)\,du + f'(u)\,d(du).

По инвариантности (для функции $f'$ ) $d\big(f'(u)\big) = f''(u)\,du$ , а $d(du) = d\big(\varphi'(x)dx\big) = \varphi''(x)dx^2 = d^2u$ . Отсюда $d^2y = f''(u)du^2 + f'(u)d^2u$ . (Это же получается непосредственно: $\big(f(\varphi(x))\big)'' = f''(\varphi)\varphi'^2 + f'(\varphi)\varphi''$ , и $d^2y = y''dx^2$ по пункту 1.)

Пример отсутствия инвариантности: $y = u^2$ , $u = x^2$ . Тогда $y = x^4$ , $d^2y = 12x^2dx^2$ , тогда как $2\,du^2 = 2(2x\,dx)^2 = 8x^2dx^2$ ; недостающее слагаемое $f'(u)d^2u = 2x^2\cdot 2dx^2 = 4x^2dx^2$ .

Пункт 3. При $u = kx + b$ имеем $d^2u = (kx + b)''dx^2 = 0$ , $du = k\,dx$ . По пункту 1 и формуле для $n$ -й производной функции от линейного аргумента

d^ny = \big(f(kx + b)\big)^{(n)}dx^n = k^nf^{(n)}(u)\,dx^n = f^{(n)}(u)\,(k\,dx)^n = f^{(n)}(u)\,du^n.

$\blacksquare$

следствие

Выражение второй производной через дифференциалы

Формулировка

Пусть $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ удовлетворяют условиям пункта 2 теоремы о производной параметрически заданной функции, $t$ — независимая переменная, и все дифференциалы вычисляются по $t$ . Тогда

y'_x = \frac{dy}{dx},\qquad y''_{xx} = \frac{dx\,d^2y - dy\,d^2x}{dx^3}.

В частности, если $x$ — независимая переменная ( $d^2x = 0$ ), то $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ ; в общем случае $y''_{xx}\ne\frac{d^2y}{dx^2}$ .

Доказательство

Развернуть

Так как $t$ — независимая переменная, по пункту 1 теоремы о дифференциалах высших порядков $dx = \varphi'dt$ , $dy = \psi'dt$ , $d^2x = \varphi''dt^2$ , $d^2y = \psi''dt^2$ , где $dt\ne 0$ — фиксированное приращение.

По теореме о производной параметрически заданной функции $y'_x = \frac{\psi'}{\varphi'} = \frac{\psi'dt}{\varphi'dt} = \frac{dy}{dx}$ .

Для второй производной, умножая числитель и знаменатель формулы $y''_{xx} = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^3}$ на $dt^3$ :

y''_{xx} = \frac{\varphi'dt\cdot\psi''dt^2 - \psi'dt\cdot\varphi''dt^2}{(\varphi'dt)^3} = \frac{dx\,d^2y - dy\,d^2x}{dx^3}.

Если $x$ — независимая переменная (можно взять $t = x$ , $\varphi(t) = t$ ), то $d^2x = 0$ и формула превращается в $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ . При $d^2x\ne 0$ слагаемое $-\frac{dy\,d^2x}{dx^3}$ в общем случае не равно нулю — проявление отсутствия инвариантности второго дифференциала. $\blacksquare$

Дифференциал и приращение функции

Условие

а) Найти дифференциалы функций $y = xe^{x^2}$ и $y = \ln\operatorname{tg}\frac x2$ ( $0 < x < \pi$ ).

б) Для $y = x^3$ в точке $x = 2$ при $\Delta x = 0{,}1$ найти $\Delta y$ , $dy$ и $\Delta y - dy$ .

Решение

Развернуть

а) По теореме о связи производной и дифференциала $dy = y'dx$ . Для $y = xe^{x^2}$ : $y' = e^{x^2} + x\cdot 2xe^{x^2}$ , поэтому

dy = (1 + 2x^2)e^{x^2}dx.

Для $y = \ln\operatorname{tg}\frac x2$ по инвариантности формы первого дифференциала

dy = \frac{d\left(\operatorname{tg}\frac x2\right)}{\operatorname{tg}\frac x2} = \frac{\cos\frac x2}{\sin\frac x2}\cdot\frac{dx}{2\cos^2\frac x2} = \frac{dx}{2\sin\frac x2\cos\frac x2} = \frac{dx}{\sin x}.

б) $\Delta y = 2{,}1^3 - 2^3 = 9{,}261 - 8 = 1{,}261$ ; $dy = 3x^2\Delta x = 12\cdot 0{,}1 = 1{,}2$ ; $\Delta y - dy = 0{,}061$ . Действительно, $\Delta y - dy = 3x\Delta x^2 + \Delta x^3 = 0{,}06 + 0{,}001$ — величина порядка $\Delta x^2$ , т. е. $o(\Delta x)$ . Относительная ошибка замены $\Delta y$ на $dy$ составляет $\frac{0{,}061}{1{,}261}\approx 4{,}8\%$ .

Ответ: а) $(1 + 2x^2)e^{x^2}dx$ ; $\frac{dx}{\sin x}$ ; б) $\Delta y = 1{,}261$ , $dy = 1{,}2$ , $\Delta y - dy = 0{,}061$ .

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Условие

С помощью дифференциала вычислить приближённо: а) $\sqrt{4{,}02}$ ; б) $\sin 31^\circ$ ; в) $\sqrt[3]{8{,}24}$ ; г) $\ln 1{,}03$ ; д) $\operatorname{arctg}1{,}05$ . Сравнить с точными значениями.

Решение

Развернуть

Используем формулу $f(a + \Delta x)\approx f(a) + f'(a)\Delta x$ .

а) $f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ , $\Delta x = 0{,}02$ , $f'(4) = \frac1{2\sqrt4} = \frac14$ : $\sqrt{4{,}02}\approx 2 + \frac{0{,}02}4 = 2{,}005$ . Точное значение $2{,}0049938\ldots$ , погрешность около $6\cdot 10^{-6}$ .

б) Аргумент тригонометрических функций берётся в радианах: $31^\circ = \frac\pi6 + \frac\pi{180}$ , $\Delta x = \frac\pi{180}\approx 0{,}0174533$ . $f(x) = \sin x$ , $f'\left(\frac\pi6\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ :

\sin 31^\circ\approx\frac12 + \frac{\sqrt3}2\cdot\frac\pi{180}\approx 0{,}5 + 0{,}866025\cdot 0{,}0174533\approx 0{,}51512.

Точное значение $0{,}5150381\ldots$ , погрешность около $8\cdot 10^{-5}$ .

в) $f(x) = \sqrt[3]x$ , $a = 8$ , $\Delta x = 0{,}24$ , $f'(8) = \frac1{3\sqrt[3]{64}} = \frac1{12}$ : $\sqrt[3]{8{,}24}\approx 2 + \frac{0{,}24}{12} = 2{,}02$ . Точное значение $2{,}0198033\ldots$ , погрешность около $2\cdot 10^{-4}$ .

г) $\ln(1 + x)\approx x$ : $\ln 1{,}03\approx 0{,}03$ . Точное значение $0{,}0295588\ldots$ , погрешность около $4{,}4\cdot 10^{-4}$ .

д) $f(x) = \operatorname{arctg}x$ , $a = 1$ , $\Delta x = 0{,}05$ , $f'(1) = \frac12$ : $\operatorname{arctg}1{,}05\approx\frac\pi4 + 0{,}025\approx 0{,}78540 + 0{,}025 = 0{,}81040$ . Точное значение $0{,}8097836\ldots$ , погрешность около $6\cdot 10^{-4}$ .

Погрешность во всех случаях мала по сравнению с $\Delta x$ , в согласии с оценкой $o(\Delta x)$ (фактически она порядка $\Delta x^2$ ).

Ответ: а) $2{,}005$ ; б) $\approx 0{,}5151$ ; в) $2{,}02$ ; г) $0{,}03$ ; д) $\approx 0{,}8104$ .

Инвариантность формы дифференциала в вычислениях

Условие

а) Найти $dy$ для $y = \operatorname{arctg}e^{2x}$ .

б) Функция $y(x)$ , дифференцируемая в окрестности точки $x = 0$ , задана неявно уравнением $e^y + xy = e$ , $y(0) = 1$ . С помощью дифференциалов найти $y'(0)$ .

в) Найти $\frac{dy}{dx}$ для $x = t^2$ , $y = t^3$ , $t > 0$ .

Решение

Развернуть

а) По инвариантности формы первого дифференциала с $u = e^{2x}$ : $d(\operatorname{arctg}u) = \frac{du}{1 + u^2}$ , $du = 2e^{2x}dx$ , поэтому

dy = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{4x}}\,dx.

б) Точка $(0, 1)$ удовлетворяет уравнению: $e^1 + 0 = e$ . Беря дифференциалы обеих частей тождества (правила вычисления дифференциалов и инвариантность для $e^y$ , где $y = y(x)$ ):

e^y\,dy + y\,dx + x\,dy = 0,\qquad dy = -\frac{y\,dx}{e^y + x}.

При $x = 0$ , $y = 1$ : $y'(0) = \frac{dy}{dx} = -\frac1e$ .

в) По инвариантности $dx = 2t\,dt$ , $dy = 3t^2\,dt$ , и

\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2\,dt}{2t\,dt} = \frac{3t}2.

Проверка: $y = x^{3/2}$ , $y' = \frac32x^{1/2} = \frac32t$ .

Ответ: а) $\frac{2e^{2x}}{1 + e^{4x}}dx$ ; б) $-\frac1e$ ; в) $\frac{3t}2$ .

Вторые дифференциалы сложной функции

Условие

а) Пусть $y = u^2$ , $u = \sin x$ ( $x$ — независимая переменная). Найти $d^2y$ двумя способами и показать, что формула $d^2y = f''(u)\,du^2$ даёт неверный результат.

б) То же для $y = e^u$ , $u = x^2$ .

в) Найти $d^2y$ и $d^3y$ для $y = x\ln x$ .

Решение

Развернуть

а) Непосредственно: $y = \sin^2x$ , $y' = \sin 2x$ , $y'' = 2\cos 2x$ , и для независимой переменной $d^2y = y''dx^2 = 2\cos 2x\,dx^2$ .

По формуле для второго дифференциала сложной функции: $f(u) = u^2$ , $f' = 2u$ , $f'' = 2$ , $du = \cos x\,dx$ , $d^2u = -\sin x\,dx^2$ :

d^2y = 2\,du^2 + 2u\,d^2u = 2\cos^2x\,dx^2 - 2\sin^2x\,dx^2 = 2\cos 2x\,dx^2.

«Инвариантная» формула дала бы $2\,du^2 = 2\cos^2x\,dx^2\ne 2\cos 2x\,dx^2$ .

б) $y = e^{x^2}$ , $y' = 2xe^{x^2}$ , $y'' = (2 + 4x^2)e^{x^2}$ , $d^2y = (2 + 4x^2)e^{x^2}dx^2$ . По формуле: $du = 2x\,dx$ , $d^2u = 2\,dx^2$ , $d^2y = e^u\,du^2 + e^u\,d^2u = e^{x^2}(4x^2 + 2)dx^2$ . Формула $e^u\,du^2 = 4x^2e^{x^2}dx^2$ теряет слагаемое $2e^{x^2}dx^2$ .

в) $y' = \ln x + 1$ , $y'' = \frac1x$ , $y''' = -\frac1{x^2}$ , поэтому $d^2y = \frac{dx^2}x$ , $d^3y = -\frac{dx^3}{x^2}$ .

Ответ: а) $2\cos 2x\,dx^2$ ; б) $(4x^2 + 2)e^{x^2}dx^2$ ; в) $d^2y = \frac{dx^2}x$ , $d^3y = -\frac{dx^3}{x^2}$ .

Оценка погрешности измерений

Условие

а) Радиус шара измерен: $R = 10$ см с абсолютной погрешностью $0{,}05$ см. Оценить абсолютную и относительную погрешности вычисленного объёма.

б) Период малых колебаний маятника $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ . Длина $l$ измерена с относительной погрешностью $1\%$ . С какой относительной погрешностью найден период?

Решение

Развернуть

а) $V = \frac43\pi R^3$ , $V(10) = \frac{4000\pi}3\approx 4188{,}8$ см³. По формуле оценки погрешности с помощью дифференциала

|\Delta V|\approx|dV| = 4\pi R^2|\Delta R|\le 4\pi\cdot 100\cdot 0{,}05 = 20\pi\approx 62{,}8\ \text{см}^3.

Относительная погрешность: $\frac{|dV|}{V} = 3\frac{|\Delta R|}R\le 3\cdot 0{,}005 = 0{,}015$ , т. е. $1{,}5\%$ .

б) Относительная погрешность равна модулю дифференциала логарифма: $\ln T = \ln 2\pi + \frac12\ln l - \frac12\ln g$ , по формуле логарифмической производной $\frac{dT}T = \frac12\cdot\frac{dl}l$ . Поэтому $\left|\frac{\Delta T}T\right|\approx\frac12\cdot 1\% = 0{,}5\%$ .

Ответ: а) $\approx 62{,}8$ см³, $1{,}5\%$ ; б) $0{,}5\%$ .

Главная часть приращения. Приближённое извлечение корней

Условие

а) Показать на примере $y = x^3$ в точке $0$ , что при $f'(a) = 0$ приращение $\Delta y$ не эквивалентно дифференциалу $dy$ , хотя $\Delta y - dy = o(\Delta x)$ по-прежнему верно.

б) Вывести приближённую формулу $\sqrt[n]{a^n + b}\approx a + \dfrac{b}{na^{n-1}}$ ( $a > 0$ , $|b|$ мало по сравнению с $a^n$ ) и вычислить с её помощью $\sqrt[3]{1010}$ и $\sqrt[5]{33}$ .

Решение

Развернуть

а) $f'(0) = 0$ , поэтому $dy = 0\cdot\Delta x = 0$ , а $\Delta y = \Delta x^3\ne 0$ при $\Delta x\ne 0$ . Отношение $\frac{\Delta y}{dy}$ не определено, так что $\Delta y\not\sim dy$ : нулевой дифференциал не является главной частью приращения (эквивалентность по теореме о связи производной и дифференциала гарантирована лишь при $f'(a)\ne 0$ ). Однако $\Delta y - dy = \Delta x^3 = o(\Delta x)$ .

б) $\sqrt[n]{a^n + b} = a\left(1 + \frac b{a^n}\right)^{1/n}$ . По приближённой формуле $(1 + x)^{1/n}\approx 1 + \frac xn$ при $x = \frac b{a^n}$ :

\sqrt[n]{a^n + b}\approx a\left(1 + \frac b{na^n}\right) = a + \frac b{na^{n-1}}.

$\sqrt[3]{1010} = \sqrt[3]{10^3 + 10}\approx 10 + \frac{10}{3\cdot 100} = 10{,}0333$ (точно $10{,}03322\ldots$ ).

$\sqrt[5]{33} = \sqrt[5]{2^5 + 1}\approx 2 + \frac1{5\cdot 16} = 2{,}0125$ (точно $2{,}01235\ldots$ ).

Ответ: б) $\sqrt[3]{1010}\approx 10{,}0333$ , $\sqrt[5]{33}\approx 2{,}0125$ .

Вторая производная параметрически заданной функции через дифференциалы

Условие

Функция $y(x)$ задана параметрически: $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , $t\in(0, \pi)$ , $a, b > 0$ (верхняя половина эллипса). Найти $y''_{xx}$ через дифференциалы и показать, что «формула» $\frac{d^2y}{dx^2}$ (с дифференциалами по $t$ ) даёт неверный ответ.

Решение

Развернуть

Функция $\varphi(t) = a\cos t$ непрерывна и строго убывает на $(0, \pi)$ , $\varphi'(t) = -a\sin t\ne 0$ . Дифференциалы по независимой переменной $t$ :

dx = -a\sin t\,dt,\quad d^2x = -a\cos t\,dt^2,\quad dy = b\cos t\,dt,\quad d^2y = -b\sin t\,dt^2.

По формуле выражения второй производной через дифференциалы

y''_{xx} = \frac{dx\,d^2y - dy\,d^2x}{dx^3} = \frac{ab\sin^2t + ab\cos^2t}{-a^3\sin^3t} = -\frac{b}{a^2\sin^3t}.

Проверка: $y = b\sqrt{1 - x^2/a^2}$ , $y'' = -\frac{b}{a^2(1 - x^2/a^2)^{3/2}}$ , и при $x = a\cos t$ , $\sin t > 0$ получаем то же.

Неверное вычисление: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-b\sin t\,dt^2}{a^2\sin^2t\,dt^2} = -\frac{b}{a^2\sin t}$ . Ошибка вызвана тем, что $x$ — не независимая переменная ( $d^2x\ne 0$ ), а второй дифференциал не обладает инвариантностью формы.

Ответ: $y''_{xx} = -\dfrac{b}{a^2\sin^3t}$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Дифференциал функции

Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x$ :

\Delta y = f'(x)\,\Delta x + o(\Delta x),\quad\Delta x\to 0.

Дифференциалом функции $f$ в точке $x$ называется линейная функция приращения $\Delta x$

dy = df(x) = f'(x)\,\Delta x.

При $f'(x)\ne 0$ дифференциал — главная линейная часть приращения функции.

Для независимой переменной $x$ полагают $dx = \Delta x$ (это согласуется с определением: для $y = x$ имеем $dy = 1\cdot\Delta x$ ). Поэтому

dy = f'(x)\,dx.

Дифференциал зависит от двух аргументов: точки $x$ и приращения $dx$ .

Геометрический смысл: $dy$ — приращение ординаты касательной к графику $f$ в точке $(x, f(x))$ при переходе от $x$ к $x + \Delta x$ ; разность $\Delta y - dy$ — расстояние по вертикали между графиком и касательной.

Дифференциалы высших порядков

Пусть $x$ — независимая переменная и $f$ дважды дифференцируема. Первый дифференциал $dy = f'(x)\,dx$ при фиксированном $dx$ (одном и том же для всех $x$ ) есть функция от $x$ . Вторым дифференциалом называется дифференциал от первого, вычисленный при том же $dx$ :

d^2y = d(dy) = d\big(f'(x)\,dx\big) = \big(f'(x)\,dx\big)'dx = f''(x)\,dx^2,

где $dx^2 = (dx)^2$ . По индукции дифференциал $n$ -го порядка $d^ny = d\left(d^{n-1}y\right)$ .

Для независимой переменной $d^2x = d(dx) = 0$ , так как $dx$ — постоянная.

Если аргумент $x$ сам является функцией $x = \varphi(t)$ некоторой независимой переменной $t$ , то все дифференциалы вычисляются по $t$ (при фиксированном $dt$ ), и $d^2x = \varphi''(t)\,dt^2$ , вообще говоря, не равен нулю.

Дифференцируемая функция

Функция $f$ , определённая в окрестности точки $a$ , называется дифференцируемой в точке $a$ , если существует число $A\in\mathbb R$ такое, что

\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) = A\,\Delta x + o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.

Равносильная запись: $\Delta y = A\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x$ , где $\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции есть сумма линейной по $\Delta x$ части $A\,\Delta x$ и бесконечно малой более высокого порядка, чем $\Delta x$ .

Функция называется дифференцируемой на интервале $X$ , если она дифференцируема в каждой точке $X$ .

Эквивалентные бесконечно малые

Бесконечно малые при $x\to a$ функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ ( $\beta\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $a$ ) называются эквивалентными (асимптотически равными), если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1.

Обозначение: $\alpha\sim\beta$ при $x\to a$ .

Эквивалентные бесконечно малые — частный случай бесконечно малых одного порядка ( $c = 1$ ). Например, $\sin x\sim x$ при $x\to 0$ (первый замечательный предел), $x^2 + x\sim x$ при $x\to 0$ , но $x^2 + x\sim x^2$ при $x\to\infty$ (здесь функции уже бесконечно большие, см. сравнение бесконечно больших).

Та же запись $f\sim g$ употребляется и для произвольных функций с $\frac fg\to 1$ .

Сравнение бесконечно малых. Символ «о малое»

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — бесконечно малые функции при $x\to a$ ( $a$ — конечная точка или один из символов $\pm\infty$ , $\infty$ ), причём $\beta(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ .

Если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0,

то $\alpha$ называется бесконечно малой более высокого порядка, чем $\beta$ (а $\beta$ — бесконечно малой более низкого порядка, чем $\alpha$ ), и пишут $\alpha = o(\beta)$ при $x\to a$ (« $\alpha$ есть о малое от $\beta$ »).

Если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c,\qquad c\ne 0,\ c\in\mathbb R,

то $\alpha$ и $\beta$ называются бесконечно малыми одного порядка.

Если $\alpha$ и $\beta^k$ ( $k > 0$ ) — бесконечно малые одного порядка, то говорят, что $\alpha$ имеет порядок малости $k$ относительно $\beta$ (при нецелом $k$ предполагается $\beta > 0$ ). Обычно в качестве эталонной бесконечно малой берут $\beta = x - a$ при конечном $a$ и $\beta = \frac1x$ при $a = \infty$ .
Если предел $\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ не существует (ни конечный, ни бесконечный), то $\alpha$ и $\beta$ называются несравнимыми бесконечно малыми. Например, $\alpha = x\sin\frac1x$ и $\beta = x$ несравнимы при $x\to 0$ .

Общее определение символа $o$ , не требующее условия $\beta\ne 0$ : $\alpha = o(\beta)$ при $x\to a$ , если в некоторой проколотой окрестности точки $a$

\alpha(x) = \varepsilon(x)\beta(x),\qquad \lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0.

При $\beta\ne 0$ это равносильно условию $\frac\alpha\beta\to 0$ . Запись $o(\beta)$ обозначает любую функцию из класса функций, обладающих этим свойством, поэтому равенства с $o$ читаются только слева направо: $x^3 = o(x^2)$ при $x\to 0$ , но запись $o(x^2) = x^3$ бессмысленна.

О большое: $\alpha = O(\beta)$ при $x\to a$ , если существуют $C > 0$ и проколотая окрестность точки $a$ , в которой

|\alpha(x)|\le C|\beta(x)|.

Если $\alpha$ и $\beta$ одного порядка, то $\alpha = O(\beta)$ и $\beta = O(\alpha)$ ; запись $\alpha = O(1)$ означает локальную ограниченность $\alpha$ .

Производные высших порядков

Пусть функция $f$ имеет производную $f'$ в некоторой окрестности точки $x$ . Если функция $f'$ имеет производную в точке $x$ , то она называется второй производной функции $f$ в точке $x$ :

f''(x) = (f')'(x).

По индукции: если $f^{(n-1)}$ определена в окрестности точки $x$ и имеет производную в точке $x$ , то

f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)

— производная $n$ -го порядка ( $n$ -я производная); $f^{(0)} = f$ . Обозначения: $y''$ , $y^{(n)}$ , $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ .

Функция, имеющая конечную $n$ -ю производную в точке $x$ (на интервале $X$ ), называется $n$ раз дифференцируемой в точке $x$ (на $X$ ).

Через $C^n(X)$ обозначается класс функций, $n$ раз дифференцируемых на промежутке $X$ , у которых $f^{(n)}$ непрерывна на $X$ (на концах промежутка — односторонние производные); $C^0(X)$ — непрерывные функции, $C^\infty(X) = \bigcap_n C^n(X)$ — бесконечно дифференцируемые.

Механический смысл: если $s(t)$ — закон движения, то $s''(t)$ — ускорение.

Функции, заданные параметрически и неявно

Пусть функции $\varphi$ и $\psi$ определены на интервале $T$ , причём $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ . Тогда $X = \varphi(T)$ — интервал и существует обратная функция $t = \varphi^{-1}(x)$ , $x\in X$ . Функция

y = \psi\big(\varphi^{-1}(x)\big),\qquad x\in X,

называется заданной параметрически уравнениями

x = \varphi(t),\quad y = \psi(t),\quad t\in T.

Примеры: верхняя полуокружность $x = R\cos t$ , $y = R\sin t$ , $t\in(0, \pi)$ ; арка циклоиды $x = a(t - \sin t)$ , $y = a(1 - \cos t)$ , $t\in(0, 2\pi)$ .

Пусть $F(x, y)$ — функция двух переменных, определённая на некотором множестве плоскости. Функция $y = y(x)$ , определённая на промежутке $X$ , называется заданной неявно уравнением $F(x, y) = 0$ , если

F\big(x, y(x)\big) = 0\quad\text{для всех } x\in X.

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 1$ неявно задаёт на $[-1, 1]$ функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ и $y = -\sqrt{1 - x^2}$ (и бесконечно много разрывных). Поэтому обычно дополнительно требуют, чтобы $y(x)$ была непрерывна (дифференцируема) и проходила через заданную точку $(x_0, y_0)$ . Условия существования такой функции изучаются в теории функций нескольких переменных.

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной

Формулировка

Функция $f$ дифференцируема в точке $a$ тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную $f'(a)$ ; при этом число $A$ в определении дифференцируемости единственно и

A = f'(a),\qquad \Delta y = f'(a)\,\Delta x + o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.

Если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,

где функция $\alpha$ , доопределённая значением $\alpha(0) = 0$ , непрерывна в точке $0$ (и формула верна и при $\Delta x = 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $\Delta y = A\,\Delta x + o(\Delta x)$ . Разделив на $\Delta x\ne 0$ , получим $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ , а $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to 0$ по определению «о малого». Значит, $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to A$ , т. е. существует конечная производная $f'(a) = A$ . По единственности предела функции число $A$ определено однозначно.

Достаточность. Пусть $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)\in\mathbb R$ . По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(a) + \alpha(\Delta x)$ , где $\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ . Умножая на $\Delta x$ , получаем $\Delta y = f'(a)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x$ , причём $\alpha(\Delta x)\Delta x = o(\Delta x)$ , так как $\frac{\alpha(\Delta x)\Delta x}{\Delta x} = \alpha(\Delta x)\to 0$ . Следовательно, $f$ дифференцируема и $A = f'(a)$ .

Пункт 2. Из доказанного $\alpha(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} - f'(a)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ . Положив $\alpha(0) = 0$ , получаем $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta x) = \alpha(0)$ — непрерывность $\alpha$ в нуле; при $\Delta x = 0$ обе части формулы равны нулю. $\blacksquare$

Замечание

Поэтому для функций одной переменной термины «дифференцируема в точке» и «имеет конечную производную» равносильны; функция с бесконечной производной не дифференцируема.

Геометрический смысл производной

Формулировка

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ и непрерывна в точке $a$ , $M_0 = (a, f(a))$ .

Наклонная касательная к графику $f$ в точке $M_0$ существует тогда и только тогда, когда существует конечная производная $f'(a)$ ; при этом угловой коэффициент касательной равен $\operatorname{tg}\varphi_0 = f'(a)$ , а её уравнение

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Вертикальная касательная $x = a$ существует тогда и только тогда, когда $f'(a) = \infty$ (т. е. $\left|\frac{\Delta y}{\Delta x}\right|\to+\infty$ ; в частности, при $f'(a) = \pm\infty$ ).
Левая (правая) наклонная касательная существует тогда и только тогда, когда существует конечная $f'_-(a)$ (соответственно $f'_+(a)$ ); её угловой коэффициент равен этой односторонней производной.
Если $f'(a)$ конечна, уравнение нормали:

(x - a) + f'(a)\,(y - f(a)) = 0,

т. е. $y = f(a) - \frac{x - a}{f'(a)}$ при $f'(a)\ne 0$ и $x = a$ при $f'(a) = 0$ . При вертикальной касательной нормаль — прямая $y = f(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $k(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ и $\varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)$ — угловой коэффициент и угол наклона секущей. Функции $\operatorname{arctg}$ (на $\mathbb R$ ) и $\operatorname{tg}$ (на $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ ) непрерывны по теореме о непрерывности основных элементарных функций.

Пусть существует конечная $f'(a) = k_0$ , т. е. $k(\Delta x)\to k_0$ . Так как $\operatorname{arctg}$ непрерывен в точке $k_0$ , по теореме о предельном переходе под знаком непрерывной функции $\varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)\to\operatorname{arctg}k_0 = \varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . Значит, наклонная касательная существует и $\operatorname{tg}\varphi_0 = k_0 = f'(a)$ .

Обратно, пусть $\varphi(\Delta x)\to\varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . Так как $\operatorname{tg}$ непрерывен в точке $\varphi_0$ , то $k(\Delta x) = \operatorname{tg}\varphi(\Delta x)\to\operatorname{tg}\varphi_0$ , т. е. существует конечная производная $f'(a) = \operatorname{tg}\varphi_0$ . Прямая через $M_0$ с угловым коэффициентом $f'(a)$ имеет уравнение $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Пункт 1 доказан.

Пункт 2. Функция $\operatorname{arctg}$ нечётна и строго возрастает, поэтому $|\varphi| = \operatorname{arctg}|k|$ . Если $|k(\Delta x)|\to+\infty$ , то для любого $\varepsilon\in\left(0, \frac\pi2\right)$ при $|k| > \operatorname{tg}\left(\frac\pi2 - \varepsilon\right)$ имеем $|\varphi| > \frac\pi2 - \varepsilon$ , т. е. $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ . Обратно, если $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ , то для любого $E > 0$ , взяв $\varepsilon = \frac\pi2 - \operatorname{arctg}E$ , при $|\varphi| > \frac\pi2 - \varepsilon$ получаем $|k| = \operatorname{tg}|\varphi| > E$ , т. е. $|k(\Delta x)|\to+\infty$ .

Пункт 3 доказывается дословно так же, как пункт 1, с заменой $\Delta x\to 0$ на $\Delta x\to\mp 0$ .

Пункт 4. Касательная имеет направляющий вектор $(1, f'(a))$ . Нормаль — прямая через $M_0$ , для которой этот вектор является нормальным: $1\cdot(x - a) + f'(a)(y - f(a)) = 0$ . При $f'(a)\ne 0$ это $y = f(a) - \frac{x - a}{f'(a)}$ , при $f'(a) = 0$ — прямая $x = a$ . Вертикальная касательная имеет направляющий вектор $(0, 1)$ , и нормаль к ней через $M_0$ — прямая $y = f(a)$ . $\blacksquare$

Замечание

Условие непрерывности существенно. Для $f(x) = \operatorname{sign}x$ имеем $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{|\Delta x|}\to+\infty$ , т. е. $f'(0) = +\infty$ , но касательной в точке $(0, 0)$ нет: точки графика не приближаются к $M_0$ .

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ . Тогда функции $u\pm v$ , $uv$ , а при $v(x)\ne 0$ и $\frac uv$ дифференцируемы в точке $x$ и

(u\pm v)' = u'\pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)$ , $\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)$ ; по условию $\frac{\Delta u}{\Delta x}\to u'(x)$ , $\frac{\Delta v}{\Delta x}\to v'(x)$ , а по теореме о непрерывности дифференцируемой функции $v(x + \Delta x)\to v(x)$ при $\Delta x\to 0$ .

Сумма и разность: $\frac{\Delta(u\pm v)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\pm\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)\pm v'(x)$ по теореме об арифметических операциях над пределами.

Произведение: прибавляя и вычитая $u(x)v(x + \Delta x)$ , получаем

\Delta(uv) = u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x) = \Delta u\cdot v(x + \Delta x) + u(x)\,\Delta v,

откуда

\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\,v(x + \Delta x) + u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Частное: так как $v$ непрерывна в точке $x$ и $v(x)\ne 0$ , по локальным свойствам непрерывных функций $v\ne 0$ в некоторой окрестности точки $x$ , так что $\frac uv$ определена в этой окрестности. Далее

\Delta\left(\frac uv\right) = \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{v(x)v(x + \Delta x)} = \frac{\Delta u\cdot v(x) - u(x)\,\Delta v}{v(x)v(x + \Delta x)}.

Разделив на $\Delta x$ и перейдя к пределу (знаменатель стремится к $v^2(x)\ne 0$ ), получим $\left(\frac uv\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ . Во всех трёх случаях производная конечна, т. е. функции дифференцируемы. $\blacksquare$

Следствия правил дифференцирования. Производная степени и многочлена

Формулировка

Пусть функции $u, v, u_1, \dots, u_n$ дифференцируемы в точке $x$ , $C, \alpha, \beta\in\mathbb R$ . Тогда:

$(Cu)' = Cu'$ , $(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v'$ (линейность);
$(u_1u_2\cdots u_n)' = u_1'u_2\cdots u_n + u_1u_2'\cdots u_n + \dots + u_1u_2\cdots u_n'$ ;
$(x^n)' = nx^{n-1}$ при $n\in\mathbb N$ , $x\in\mathbb R$ ; производная многочлена: $\left(\sum_{k=0}^n a_kx^k\right)' = \sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}$ ;
при $v(x)\ne 0$ : $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ ; в частности, $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$ при $n\in\mathbb N$ , $x\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Постоянная $C$ имеет производную $0$ , поэтому по правилу произведения $(Cu)' = 0\cdot u + Cu' = Cu'$ ; линейность получается отсюда и из правила для суммы.

Пункт 2 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ утверждение тривиально, при $n = 2$ это правило произведения. Если формула верна для $n$ сомножителей, то по правилу произведения

(u_1\cdots u_nu_{n+1})' = (u_1\cdots u_n)'u_{n+1} + u_1\cdots u_nu_{n+1}',

и, подставив выражение для $(u_1\cdots u_n)'$ из предположения индукции, получаем формулу для $n + 1$ сомножителей. По принципу математической индукции она верна при всех $n$ .

Пункт 3. Применим пункт 2 к $u_1 = \dots = u_n = x$ , $x' = 1$ : каждое из $n$ слагаемых равно $x^{n-1}$ , поэтому $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Формула для многочлена следует из линейности.

Пункт 4. По правилу частного с $u\equiv 1$ : $\left(\frac1v\right)' = \frac{0\cdot v - 1\cdot v'}{v^2} = -\frac{v'}{v^2}$ . Для $v = x^n$ , $x\ne 0$ : $(x^{-n})' = -\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}$ . $\blacksquare$

Производная сложной функции

Формулировка

Пусть функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $a$ и дифференцируема в точке $a$ , а функция $z = g(y)$ определена в окрестности $V$ точки $b = f(a)$ и дифференцируема в точке $b$ . Тогда сложная функция $h = g\circ f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ , дифференцируема в точке $a$ и

h'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a),\qquad\text{т. е.}\quad \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о непрерывности дифференцируемой функции $f$ непрерывна в точке $a$ , поэтому найдётся окрестность $U$ точки $a$ , для которой $f(U)\subset V$ ; на $U$ определена функция $h(x) = g(f(x))$ .

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной (пункт 2) для $g$ в точке $b$ : при всех $\Delta y$ с $b + \Delta y\in V$

g(b + \Delta y) - g(b) = g'(b)\,\Delta y + \beta(\Delta y)\,\Delta y,

где $\beta(0) = 0$ и $\beta$ непрерывна в нуле. Важно, что формула верна и при $\Delta y = 0$ .

Пусть $\Delta x\ne 0$ , $a + \Delta x\in U$ , $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ (возможно, $\Delta y = 0$ ). Тогда $h(a + \Delta x) - h(a) = g(b + \Delta y) - g(b)$ , и после деления на $\Delta x$ :

\frac{h(a + \Delta x) - h(a)}{\Delta x} = g'(b)\,\frac{\Delta y}{\Delta x} + \beta(\Delta y)\,\frac{\Delta y}{\Delta x}.

При $\Delta x\to 0$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)$ ; функция $\Delta x\mapsto\Delta y$ непрерывна в нуле и равна там нулю, а $\beta$ непрерывна в нуле и $\beta(0) = 0$ , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции $\beta(\Delta y(\Delta x))\to 0$ . По теореме об арифметических операциях с пределами правая часть стремится к $g'(b)f'(a)$ . Следовательно, $h'(a) = g'(f(a))f'(a)$ — конечна, т. е. $h$ дифференцируема в точке $a$ . $\blacksquare$

Замечание

Приём с функцией $\beta$ , доопределённой нулём, нужен потому, что $\Delta y$ может обращаться в нуль при сколь угодно малых $\Delta x\ne 0$ (например, для $f(x) = x^2\sin\frac1x$ при $a = 0$ ), и делить на $\Delta y$ нельзя.

Производные основных элементарных функций

Формулировка

В каждой точке области определения (с указанными ограничениями) справедливы формулы:

$(C)' = 0$ ; $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ при $x > 0$ , $\alpha\in\mathbb R$ (при $\alpha\in\mathbb N$ — при всех $x$ , при целых $\alpha < 0$ — при $x\ne 0$ ; если $\alpha = \frac pq$ с нечётным $q$ , то и при $x < 0$ );
$(a^x)' = a^x\ln a$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), $(e^x)' = e^x$ ;
$(\log_ax)' = \frac1{x\ln a}$ , $(\ln x)' = \frac1x$ ( $x > 0$ ); $(\ln|x|)' = \frac1x$ ( $x\ne 0$ );
$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg}x)' = \frac1{\cos^2x}$ ( $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ ), $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac1{\sin^2x}$ ( $x\ne\pi k$ );
$(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ , $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ ( $|x| < 1$ ); $(\operatorname{arctg}x)' = \frac1{1 + x^2}$ , $(\operatorname{arcctg}x)' = -\frac1{1 + x^2}$ ;
$(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \operatorname{sh}x$ , $(\operatorname{th}x)' = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ ( $x\ne 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Степенная функция при $x > 0$ . Положим $t = \frac{\Delta x}{x}$ ; тогда $t\to 0$ , $t\ne 0$ при $\Delta x\to 0$ , $\Delta x\ne 0$ , и

\frac{(x + \Delta x)^\alpha - x^\alpha}{\Delta x} = x^{\alpha - 1}\cdot\frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t}\to\alpha x^{\alpha - 1}

по следствию второго замечательного предела $\frac{(1 + t)^\mu - 1}{t}\to\mu$ и теореме о пределе сложной функции. Для $\alpha\in\mathbb N$ при всех $x$ и для целых $\alpha < 0$ при $x\ne 0$ формула доказана в следствиях правил дифференцирования; постоянная имеет нулевое приращение. Если $\alpha = \frac pq$ , $q$ нечётно, $x < 0$ , то $x^\alpha = (-1)^p(-x)^\alpha$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(x^\alpha)' = (-1)^{p+1}\alpha(-x)^{\alpha - 1}$ ; так как $q$ нечётно, $x^{\alpha - 1} = x^{(p - q)/q} = (-1)^{p - q}(-x)^{\alpha - 1} = (-1)^{p + 1}(-x)^{\alpha - 1}$ , т. е. снова $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ .

Показательная функция: $\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} = a^x\cdot\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\to a^x\ln a$ по следствию второго замечательного предела; при $a = e$ получаем $e^x$ .

Логарифм, $x > 0$ : при $t = \frac{\Delta x}{x}$

\frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_ax}{\Delta x} = \frac1x\cdot\frac{\ln(1 + t)}{t\ln a}\to\frac1{x\ln a},

так как $\frac{\ln(1 + t)}{t}\to 1$ . При $x < 0$ : $\ln|x| = \ln(-x)$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(\ln(-x))' = \frac1{-x}\cdot(-1) = \frac1x$ .

Синус и косинус: по формулам разности

\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\cos\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to\cos x,

\frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = -\frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\sin\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to-\sin x

по первому замечательному пределу и непрерывности $\sin$ , $\cos$ .

Тангенс и котангенс — по правилу дифференцирования частного: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2x} = \frac1{\cos^2x}$ , $(\operatorname{ctg}x)' = \frac{-\sin^2x - \cos^2x}{\sin^2x} = -\frac1{\sin^2x}$ .

Обратные тригонометрические функции — по теореме о производной обратной функции. Функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает на $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ ; при $|x| < 1$ точка $y = \arcsin x$ внутренняя и $(\sin y)' = \cos y > 0$ , поэтому $(\arcsin x)' = \frac1{\cos y} = \frac1{\sqrt{1 - \sin^2y}} = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \arccos x\in(0, \pi)$ : $(\cos y)' = -\sin y < 0$ , $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$ , откуда $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \operatorname{arctg}x\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ : $(\operatorname{arctg}x)' = \cos^2y = \frac1{1 + \operatorname{tg}^2y} = \frac1{1 + x^2}$ . Для $y = \operatorname{arcctg}x\in(0, \pi)$ : $(\operatorname{arcctg}x)' = -\sin^2y = -\frac1{1 + \operatorname{ctg}^2y} = -\frac1{1 + x^2}$ .

Гиперболические функции. По правилу дифференцирования сложной функции $(e^{-x})' = -e^{-x}$ , поэтому $(\operatorname{sh}x)' = \frac{e^x + e^{-x}}2 = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \frac{e^x - e^{-x}}2 = \operatorname{sh}x$ . По правилу частного и тождеству $\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x = 1$ : $(\operatorname{th}x)' = \frac{\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x}{\operatorname{ch}^2x} = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = \frac{\operatorname{sh}^2x - \operatorname{ch}^2x}{\operatorname{sh}^2x} = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ . $\blacksquare$

Принцип математической индукции

Формулировка

Пусть $\mathbb N = \{1, 2, 3,\dots\}$ и выполнен принцип наименьшего элемента: всякое непустое подмножество $\mathbb N$ имеет наименьший элемент (основное свойство натуральных чисел; при аксиоматическом построении $\mathbb R$ оно выводится из определения $\mathbb N$ как наименьшего индуктивного множества). Пусть $P(n)$ — предикат на $\mathbb N$ .

(Принцип индукции.) Если $P(1)$ истинно (база) и для любого $n\in\mathbb N$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ (шаг), то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ :

\Bigl(P(1)\land\forall n\in\mathbb N\ \bigl(P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr)\Bigr)\Rightarrow\forall n\in\mathbb N\ \ P(n).

(Индукция с базой $n_0$ .) Пусть $n_0\in\mathbb Z$ и $P(n)$ — предикат на множестве целых $n\ge n_0$ . Если $P(n_0)$ истинно и для любого целого $n\ge n_0$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех целых $n\ge n_0$ .
(Полная индукция.) Если $P(1)$ истинно и для любого $n\in\mathbb N$ из истинности $P(1),\dots,P(n)$ следует истинность $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Рассуждаем от противного. Пусть множество $M = \{n\in\mathbb N:\ P(n)\ \text{ложно}\}$ непусто. По принципу наименьшего элемента в $M$ есть наименьший элемент $m$ .

Так как $P(1)$ истинно, $m\ne 1$ , поэтому $m\ge 2$ и $m - 1\in\mathbb N$ . Поскольку $m - 1 < m$ и $m$ — наименьший элемент $M$ , имеем $m - 1\notin M$ , т. е. $P(m - 1)$ истинно.

По условию шага из $P(m-1)$ следует $P(m)$ , т. е. $P(m)$ истинно, что противоречит $m\in M$ . Значит, $M = \varnothing$ , и $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Пункт 2. Положим $Q(k) = P(n_0 + k - 1)$ , $k\in\mathbb N$ . Тогда $Q(1) = P(n_0)$ истинно, а при любом $k\in\mathbb N$ число $n = n_0 + k - 1\ge n_0$ , и из $Q(k) = P(n)$ следует $P(n + 1) = Q(k+1)$ . По пункту 1 $Q(k)$ истинно при всех $k$ . Любое целое $n\ge n_0$ имеет вид $n_0 + k - 1$ с $k = n - n_0 + 1\in\mathbb N$ , поэтому $P(n)$ истинно.

Пункт 3. Положим $Q(n) = P(1)\land P(2)\land\ldots\land P(n)$ . Тогда $Q(1) = P(1)$ истинно. Если $Q(n)$ истинно, то по условию истинно $P(n+1)$ , а значит, и $Q(n+1) = Q(n)\land P(n+1)$ . По пункту 1 $Q(n)$ истинно при всех $n$ , откуда истинно и каждое $P(n)$ . $\blacksquare$

Производные высших порядков основных функций

Формулировка

Для всех $n\in\mathbb N$ :

если $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $kx + b$ , то $\big(f(kx + b)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx + b)$ ;
$(x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)\,x^{\alpha - n}$ при $x > 0$ (при $\alpha\in\mathbb Z$ — при всех $x\ne 0$ ); при $\alpha = m\in\mathbb N$ : $(x^m)^{(n)} = \frac{m!}{(m - n)!}x^{m - n}$ при $n\le m$ и $(x^m)^{(n)} = 0$ при $n > m$ ;
$(a^x)^{(n)} = a^x\ln^na$ , $(e^x)^{(n)} = e^x$ ;
$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ , $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ ;
$\big((1 + x)^\alpha\big)^{(n)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(1 + x)^{\alpha - n}$ , $x > -1$ ; в частности,

\left(\frac1{1 + x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}{(1 + x)^{n+1}};

при $x > -1$

\big(\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n}.

Доказательство

Развернуть

Все формулы доказываются индукцией по $n$ ; база $n = 1$ в каждом случае берётся из таблицы производных и теоремы о производной сложной функции, а шаг состоит в дифференцировании формулы для $n$ .

Пункт 1. По теореме о производной сложной функции $\big(f(kx + b)\big)' = kf'(kx + b)$ . Если $\big(f(kx + b)\big)^{(n)} = k^nf^{(n)}(kx + b)$ (в окрестности точки), то, дифференцируя ещё раз тем же правилом, получаем $k^n\cdot kf^{(n+1)}(kx + b) = k^{n+1}f^{(n+1)}(kx + b)$ .

Пункт 2. $\left(\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)x^{\alpha - n}\right)' = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(\alpha - n)x^{\alpha - n - 1}$ . При $\alpha = m\in\mathbb N$ коэффициент равен $\frac{m!}{(m - n)!}$ при $n\le m$ ; при $n = m$ производная — постоянная $m!$ , и все следующие производные равны нулю.

Пункт 3. $\left(a^x\ln^na\right)' = a^x\ln^{n+1}a$ .

Пункт 4. $(\sin x)' = \cos x = \sin\left(x + \frac\pi2\right)$ . Если $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}2\right)$ , то по пункту 1 (с $k = 1$ ) $(\sin x)^{(n+1)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}2\right) = \sin\left(x + \frac{\pi(n + 1)}2\right)$ . Аналогично $\left(\cos\left(x + \frac{\pi n}2\right)\right)' = -\sin\left(x + \frac{\pi n}2\right) = \cos\left(x + \frac{\pi(n + 1)}2\right)$ .

Пункт 5 следует из пунктов 1 и 2 с $k = 1$ , $b = 1$ . При $\alpha = -1$ : $(-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^nn!$ .

Пункт 6. $\big(\ln(1 + x)\big)' = (1 + x)^{-1}$ , поэтому по пункту 5 при $n\ge 2$

\big(\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \left((1 + x)^{-1}\right)^{(n-1)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n};

при $n = 1$ формула также верна. $\blacksquare$

Производная функции, заданной параметрически и неявно

Формулировка

Пусть $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ , $t\in T$ ( $T$ — интервал), $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ .

Если $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы в точке $t_0\in T$ и $\varphi'(t_0)\ne 0$ , то функция $y = \psi(\varphi^{-1}(x))$ дифференцируема в точке $x_0 = \varphi(t_0)$ и

y'_x(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}.

Если $\varphi$ , $\psi$ дифференцируемы на $T$ , $\varphi'(t)\ne 0$ на $T$ , а $\varphi'$ , $\psi'$ дифференцируемы в точке $t_0$ , то

y''_{xx}(x_0) = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

(Неявная функция.) Пусть $y = y(x)$ дифференцируема на интервале $X$ и $F(x, y(x)) = 0$ при всех $x\in X$ , где выражение $G(x) = F(x, y(x))$ составлено из $x$ и $y(x)$ с помощью арифметических операций и композиций с дифференцируемыми функциями. Тогда $G'(x) = 0$ на $X$ ; вычисленное по правилам дифференцирования, это равенство линейно относительно $y'$ :

P(x, y)\,y' + Q(x, y) = 0,\qquad y' = -\frac{Q(x, y)}{P(x, y)}\quad\text{там, где } P\ne 0.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $\varphi^{-1}$ определена на интервале $X = \varphi(T)$ , непрерывна и строго монотонна; $t_0$ — внутренняя точка $T$ . По теореме о производной обратной функции $(\varphi^{-1})'(x_0) = \frac1{\varphi'(t_0)}$ . Функция $y = \psi\circ\varphi^{-1}$ , и $\psi$ дифференцируема в точке $t_0 = \varphi^{-1}(x_0)$ , поэтому по теореме о производной сложной функции

y'_x(x_0) = \psi'(t_0)\cdot\frac1{\varphi'(t_0)}.

Пункт 2. По пункту 1, применённому в каждой точке $t\in T$ , производная $y'_x$ как функция от $x$ задана параметрически: $x = \varphi(t)$ , $y'_x = \chi(t)$ , где $\chi(t) = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ . По правилу дифференцирования частного $\chi$ дифференцируема в точке $t_0$ и $\chi'(t_0) = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^2}(t_0)$ . Применяя пункт 1 к паре $(\varphi, \chi)$ , получаем

y''_{xx}(x_0) = \frac{\chi'(t_0)}{\varphi'(t_0)} = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

Пункт 3. Функция $G$ тождественно равна нулю на $X$ , поэтому все её приращения равны нулю и $G'(x) = 0$ . С другой стороны, $G'$ вычисляется по правилам дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции (с внутренней функцией $y(x)$ ). Линейность относительно $y'$ проверяется индукцией по построению выражения: $x' = 0\cdot y' + 1$ и $(y)' = 1\cdot y' + 0$ линейны; если $A' = P_Ay' + Q_A$ и $B' = P_By' + Q_B$ , то $(A\pm B)'$ , $(AB)' = A'B + AB'$ , $\left(\frac AB\right)' = \frac{A'B - AB'}{B^2}$ и $(\omega(A))' = \omega'(A)A'$ — снова линейные выражения относительно $y'$ . Разрешая $Py' + Q = 0$ там, где $P\ne 0$ , находим $y'$ . $\blacksquare$

Замечание

Вторую производную неявной функции находят, дифференцируя равенство $G'(x) = 0$ ещё раз (считая $y$ и $y'$ функциями от $x$ ) и подставляя найденное $y'$ .

Логарифмическая производная. Производная показательно-степенной функции

Формулировка

Если $f$ дифференцируема в точке $x$ и $f(x)\ne 0$ , то

\big(\ln|f(x)|\big)' = \frac{f'(x)}{f(x)}

— логарифмическая производная; отсюда $f' = f\cdot(\ln|f|)'$ . В частности, для $f = u_1^{k_1}\cdots u_m^{k_m}$ ( $u_i$ дифференцируемы в точке $x$ , $u_i(x)\ne 0$ , $k_i\in\mathbb Z$ ):

\frac{f'}{f} = k_1\frac{u_1'}{u_1} + \dots + k_m\frac{u_m'}{u_m}.

Если $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ и $u(x) > 0$ , то

\left(u^v\right)' = u^v\left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right) = vu^{v-1}u' + u^v\ln u\cdot v'.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Функция $f$ непрерывна в точке $x$ и $f(x)\ne 0$ , поэтому по локальным свойствам непрерывных функций $f\ne 0$ в некоторой окрестности $x$ и $\ln|f|$ определена в ней. По таблице производных $(\ln|y|)' = \frac1y$ при $y\ne 0$ , и по теореме о производной сложной функции $\big(\ln|f(x)|\big)' = \frac1{f(x)}f'(x)$ .

Для произведения степеней в окрестности точки $x$ выполнено $\ln|f| = k_1\ln|u_1| + \dots + k_m\ln|u_m|$ . Дифференцируя обе части (правую — по правилу суммы) и применяя уже доказанную формулу к каждому слагаемому, получаем требуемое.

Пункт 2. По определению степени с положительным основанием $u^v = e^{v\ln u}$ . По теореме о производной сложной функции и правилу произведения

\left(e^{v\ln u}\right)' = e^{v\ln u}\left(v\ln u\right)' = u^v\left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right).

$\blacksquare$

Замечание

Формула пункта 2 — сумма производной «как степенной функции» ( $vu^{v-1}u'$ , $v$ фиксировано) и «как показательной» ( $u^v\ln u\cdot v'$ , $u$ фиксировано).

Дифференциал функции

Связь производной и дифференциала

Формулировка

Доказательство

Замечание

Правила вычисления дифференциалов

Формулировка

Доказательство

Инвариантность формы первого дифференциала

Формулировка

Доказательство

Следствия

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулировка

Доказательство

Замечание

Отсутствие инвариантности формы дифференциалов высших порядков

Формулировка

Доказательство

Выражение второй производной через дифференциалы

Формулировка

Доказательство

Дифференциал и приращение функции

Условие

Решение

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Условие

Решение

Инвариантность формы дифференциала в вычислениях

Условие

Решение

Вторые дифференциалы сложной функции

Условие

Решение

Оценка погрешности измерений

Условие

Решение

Главная часть приращения. Приближённое извлечение корней

Условие

Решение

Вторая производная параметрически заданной функции через дифференциалы

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Дифференциал функции

Дифференциалы высших порядков

Дифференцируемая функция

Эквивалентные бесконечно малые

Сравнение бесконечно малых. Символ «о малое»

Производные высших порядков

Функции, заданные параметрически и неявно

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной

Формулировка

Доказательство

Замечание

Геометрический смысл производной

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Доказательство

Следствия правил дифференцирования. Производная степени и многочлена

Формулировка

Доказательство

Производная сложной функции

Формулировка

Доказательство

Замечание

Производные основных элементарных функций

Формулировка

Доказательство

Принцип математической индукции

Формулировка

Доказательство

Производные высших порядков основных функций

Формулировка

Доказательство

Производная функции, заданной параметрически и неявно