Производная. Дифференцируемость функции

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Существование производной и односторонние производные
Геометрический смысл производной
Связь дифференцируемости с существованием конечной производной
Непрерывность дифференцируемой функции
Производная суммы, разности, произведения и частного
Следствия правил дифференцирования. Производная степени и многочлена

теорема

Существование производной и односторонние производные

Формулировка

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ . Производная $f'(a)$ (конечная или равная $+\infty$ , $-\infty$ ) существует тогда и только тогда, когда существуют обе односторонние производные и

f'_-(a) = f'_+(a);

при этом $f'(a) = f'_-(a) = f'_+(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим разностное отношение $g(\Delta x) = \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ , определённое в проколотой окрестности точки $\Delta x = 0$ . По определению $f'(a) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}g(\Delta x)$ , $f'_\pm(a) = \lim\limits_{\Delta x\to\pm 0}g(\Delta x)$ .

По теореме о связи двустороннего предела с односторонними предел $g$ при $\Delta x\to 0$ существует и равен $A$ (конечному или $\pm\infty$ ) тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела $g(-0)$ и $g(+0)$ и оба равны $A$ . Переходя к обозначениям производных, получаем утверждение теоремы. $\blacksquare$

Замечание

Функция $|x|$ в точке $0$ имеет $f'_-(0) = -1\ne 1 = f'_+(0)$ , поэтому производной в нуле не имеет.

теорема

Геометрический смысл производной

Формулировка

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ и непрерывна в точке $a$ , $M_0 = (a, f(a))$ .

Наклонная касательная к графику $f$ в точке $M_0$ существует тогда и только тогда, когда существует конечная производная $f'(a)$ ; при этом угловой коэффициент касательной равен $\operatorname{tg}\varphi_0 = f'(a)$ , а её уравнение

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Вертикальная касательная $x = a$ существует тогда и только тогда, когда $f'(a) = \infty$ (т. е. $\left|\frac{\Delta y}{\Delta x}\right|\to+\infty$ ; в частности, при $f'(a) = \pm\infty$ ).
Левая (правая) наклонная касательная существует тогда и только тогда, когда существует конечная $f'_-(a)$ (соответственно $f'_+(a)$ ); её угловой коэффициент равен этой односторонней производной.
Если $f'(a)$ конечна, уравнение нормали:

(x - a) + f'(a)\,(y - f(a)) = 0,

т. е. $y = f(a) - \frac{x - a}{f'(a)}$ при $f'(a)\ne 0$ и $x = a$ при $f'(a) = 0$ . При вертикальной касательной нормаль — прямая $y = f(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $k(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ и $\varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)$ — угловой коэффициент и угол наклона секущей. Функции $\operatorname{arctg}$ (на $\mathbb R$ ) и $\operatorname{tg}$ (на $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ ) непрерывны по теореме о непрерывности основных элементарных функций.

Пусть существует конечная $f'(a) = k_0$ , т. е. $k(\Delta x)\to k_0$ . Так как $\operatorname{arctg}$ непрерывен в точке $k_0$ , по теореме о предельном переходе под знаком непрерывной функции $\varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)\to\operatorname{arctg}k_0 = \varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . Значит, наклонная касательная существует и $\operatorname{tg}\varphi_0 = k_0 = f'(a)$ .

Обратно, пусть $\varphi(\Delta x)\to\varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . Так как $\operatorname{tg}$ непрерывен в точке $\varphi_0$ , то $k(\Delta x) = \operatorname{tg}\varphi(\Delta x)\to\operatorname{tg}\varphi_0$ , т. е. существует конечная производная $f'(a) = \operatorname{tg}\varphi_0$ . Прямая через $M_0$ с угловым коэффициентом $f'(a)$ имеет уравнение $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Пункт 1 доказан.

Пункт 2. Функция $\operatorname{arctg}$ нечётна и строго возрастает, поэтому $|\varphi| = \operatorname{arctg}|k|$ . Если $|k(\Delta x)|\to+\infty$ , то для любого $\varepsilon\in\left(0, \frac\pi2\right)$ при $|k| > \operatorname{tg}\left(\frac\pi2 - \varepsilon\right)$ имеем $|\varphi| > \frac\pi2 - \varepsilon$ , т. е. $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ . Обратно, если $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ , то для любого $E > 0$ , взяв $\varepsilon = \frac\pi2 - \operatorname{arctg}E$ , при $|\varphi| > \frac\pi2 - \varepsilon$ получаем $|k| = \operatorname{tg}|\varphi| > E$ , т. е. $|k(\Delta x)|\to+\infty$ .

Пункт 3 доказывается дословно так же, как пункт 1, с заменой $\Delta x\to 0$ на $\Delta x\to\mp 0$ .

Пункт 4. Касательная имеет направляющий вектор $(1, f'(a))$ . Нормаль — прямая через $M_0$ , для которой этот вектор является нормальным: $1\cdot(x - a) + f'(a)(y - f(a)) = 0$ . При $f'(a)\ne 0$ это $y = f(a) - \frac{x - a}{f'(a)}$ , при $f'(a) = 0$ — прямая $x = a$ . Вертикальная касательная имеет направляющий вектор $(0, 1)$ , и нормаль к ней через $M_0$ — прямая $y = f(a)$ . $\blacksquare$

Замечание

Условие непрерывности существенно. Для $f(x) = \operatorname{sign}x$ имеем $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{|\Delta x|}\to+\infty$ , т. е. $f'(0) = +\infty$ , но касательной в точке $(0, 0)$ нет: точки графика не приближаются к $M_0$ .

теорема

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной

Формулировка

Функция $f$ дифференцируема в точке $a$ тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную $f'(a)$ ; при этом число $A$ в определении дифференцируемости единственно и

A = f'(a),\qquad \Delta y = f'(a)\,\Delta x + o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.

Если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,

где функция $\alpha$ , доопределённая значением $\alpha(0) = 0$ , непрерывна в точке $0$ (и формула верна и при $\Delta x = 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $\Delta y = A\,\Delta x + o(\Delta x)$ . Разделив на $\Delta x\ne 0$ , получим $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ , а $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to 0$ по определению «о малого». Значит, $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to A$ , т. е. существует конечная производная $f'(a) = A$ . По единственности предела функции число $A$ определено однозначно.

Достаточность. Пусть $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)\in\mathbb R$ . По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(a) + \alpha(\Delta x)$ , где $\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ . Умножая на $\Delta x$ , получаем $\Delta y = f'(a)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x$ , причём $\alpha(\Delta x)\Delta x = o(\Delta x)$ , так как $\frac{\alpha(\Delta x)\Delta x}{\Delta x} = \alpha(\Delta x)\to 0$ . Следовательно, $f$ дифференцируема и $A = f'(a)$ .

Пункт 2. Из доказанного $\alpha(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} - f'(a)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ . Положив $\alpha(0) = 0$ , получаем $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta x) = \alpha(0)$ — непрерывность $\alpha$ в нуле; при $\Delta x = 0$ обе части формулы равны нулю. $\blacksquare$

Замечание

Поэтому для функций одной переменной термины «дифференцируема в точке» и «имеет конечную производную» равносильны; функция с бесконечной производной не дифференцируема.

теорема

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , то она непрерывна в точке $a$ .

Обратное неверно: функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $0$ , но не дифференцируема в ней.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной

\Delta y = f'(a)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x,\qquad \alpha(\Delta x)\to 0.

При $\Delta x\to 0$ оба слагаемых стремятся к нулю, поэтому $\Delta y\to 0$ . По определению непрерывности через приращения (равносильному остальным по теореме об эквивалентности определений непрерывности) $f$ непрерывна в точке $a$ .

Контрпример. Функция $|x|$ непрерывна в нуле: $\big||\Delta x| - 0\big| = |\Delta x|\to 0$ . Но $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ , и по теореме о существовании производной и односторонних производных $f'(0)$ не существует; значит, $|x|$ не дифференцируема в нуле. $\blacksquare$

Замечания

Из бесконечной производной непрерывность не следует: $\operatorname{sign}x$ разрывна в нуле, но $f'(0) = +\infty$ . 2) Существуют функции, непрерывные на всей прямой и не дифференцируемые ни в одной точке (пример Вейерштрасса).

теорема

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ . Тогда функции $u\pm v$ , $uv$ , а при $v(x)\ne 0$ и $\frac uv$ дифференцируемы в точке $x$ и

(u\pm v)' = u'\pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)$ , $\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)$ ; по условию $\frac{\Delta u}{\Delta x}\to u'(x)$ , $\frac{\Delta v}{\Delta x}\to v'(x)$ , а по теореме о непрерывности дифференцируемой функции $v(x + \Delta x)\to v(x)$ при $\Delta x\to 0$ .

Сумма и разность: $\frac{\Delta(u\pm v)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\pm\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)\pm v'(x)$ по теореме об арифметических операциях над пределами.

Произведение: прибавляя и вычитая $u(x)v(x + \Delta x)$ , получаем

\Delta(uv) = u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x) = \Delta u\cdot v(x + \Delta x) + u(x)\,\Delta v,

откуда

\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\,v(x + \Delta x) + u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}\to u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Частное: так как $v$ непрерывна в точке $x$ и $v(x)\ne 0$ , по локальным свойствам непрерывных функций $v\ne 0$ в некоторой окрестности точки $x$ , так что $\frac uv$ определена в этой окрестности. Далее

\Delta\left(\frac uv\right) = \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{v(x)v(x + \Delta x)} = \frac{\Delta u\cdot v(x) - u(x)\,\Delta v}{v(x)v(x + \Delta x)}.

Разделив на $\Delta x$ и перейдя к пределу (знаменатель стремится к $v^2(x)\ne 0$ ), получим $\left(\frac uv\right)'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ . Во всех трёх случаях производная конечна, т. е. функции дифференцируемы. $\blacksquare$

следствие

Следствия правил дифференцирования. Производная степени и многочлена

Формулировка

Пусть функции $u, v, u_1, \dots, u_n$ дифференцируемы в точке $x$ , $C, \alpha, \beta\in\mathbb R$ . Тогда:

$(Cu)' = Cu'$ , $(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v'$ (линейность);
$(u_1u_2\cdots u_n)' = u_1'u_2\cdots u_n + u_1u_2'\cdots u_n + \dots + u_1u_2\cdots u_n'$ ;
$(x^n)' = nx^{n-1}$ при $n\in\mathbb N$ , $x\in\mathbb R$ ; производная многочлена: $\left(\sum_{k=0}^n a_kx^k\right)' = \sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}$ ;
при $v(x)\ne 0$ : $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ ; в частности, $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$ при $n\in\mathbb N$ , $x\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Постоянная $C$ имеет производную $0$ , поэтому по правилу произведения $(Cu)' = 0\cdot u + Cu' = Cu'$ ; линейность получается отсюда и из правила для суммы.

Пункт 2 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ утверждение тривиально, при $n = 2$ это правило произведения. Если формула верна для $n$ сомножителей, то по правилу произведения

(u_1\cdots u_nu_{n+1})' = (u_1\cdots u_n)'u_{n+1} + u_1\cdots u_nu_{n+1}',

и, подставив выражение для $(u_1\cdots u_n)'$ из предположения индукции, получаем формулу для $n + 1$ сомножителей. По принципу математической индукции она верна при всех $n$ .

Пункт 3. Применим пункт 2 к $u_1 = \dots = u_n = x$ , $x' = 1$ : каждое из $n$ слагаемых равно $x^{n-1}$ , поэтому $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Формула для многочлена следует из линейности.

Пункт 4. По правилу частного с $u\equiv 1$ : $\left(\frac1v\right)' = \frac{0\cdot v - 1\cdot v'}{v^2} = -\frac{v'}{v^2}$ . Для $v = x^n$ , $x\ne 0$ : $(x^{-n})' = -\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}$ . $\blacksquare$

Производная по определению

Условие

Исходя из определения, найти производные: а) $f(x) = x^3$ в произвольной точке $x_0$ ; б) $f(x) = \sqrt x$ в точке $x_0 > 0$ , а также $f'_+(0)$ ; в) $f(x) = \sqrt[3]x$ в точке $x_0 = 0$ . Каков геометрический смысл результата в пункте в)?

Решение

Развернуть

а) При $h = \Delta x\ne 0$ :

\frac{(x_0 + h)^3 - x_0^3}{h} = \frac{3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3}{h} = 3x_0^2 + 3x_0h + h^2\to 3x_0^2.

Значит, $(x^3)' = 3x^2$ .

б) Домножая на сопряжённое выражение,

\frac{\sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0}}{h} = \frac{1}{\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}}\to\frac1{2\sqrt{x_0}}

по непрерывности корня. В точке $0$ функция определена лишь справа: $\frac{\sqrt h - 0}{h} = \frac1{\sqrt h}\to+\infty$ при $h\to+0$ , т. е. $f'_+(0) = +\infty$ .

в) $\frac{\sqrt[3]h - 0}{h} = \frac1{\sqrt[3]{h^2}}\to+\infty$ при $h\to 0$ (с обеих сторон), т. е. $f'(0) = +\infty$ . Функция $\sqrt[3]x$ непрерывна в нуле, поэтому по теореме о геометрическом смысле производной её график имеет в точке $(0, 0)$ вертикальную касательную $x = 0$ (график «пересекает» её, переходя из третьей четверти в первую).

Ответ: а) $3x_0^2$ ; б) $\frac1{2\sqrt{x_0}}$ , $f'_+(0) = +\infty$ ; в) $f'(0) = +\infty$ , касательная $x = 0$ вертикальна.

Дифференцируемость функций с модулем

Условие

а) Найти односторонние производные функции $f(x) = |x^2 - 1|$ в точках $x = \pm 1$ . Дифференцируема ли $f$ в этих точках?

б) Дифференцируема ли функция $g(x) = x|x|$ в точке $0$ ? Найти $g'(x)$ на $\mathbb R$ .

в) При каких $\alpha > 0$ функция $h(x) = |x|^\alpha$ дифференцируема в точке $0$ ? Что происходит с касательной при остальных $\alpha$ ?

Решение

Развернуть

а) В точке $1$ : $f(1) = 0$ , $f(1 + t) = |2t + t^2| = |t|\,|2 + t|$ . При $0 < |t| < 2$ имеем $2 + t > 0$ , поэтому

\frac{f(1 + t) - f(1)}{t} = \frac{|t|}{t}(2 + t)\to\begin{cases}2, & t\to+0,\\ -2, & t\to-0.\end{cases}

Итак, $f'_+(1) = 2$ , $f'_-(1) = -2$ . Функция чётна: $f(-1 + t) = f(1 - t)$ , поэтому $\frac{f(-1 + t) - f(-1)}{t} = -\frac{f(1 - t) - f(1)}{-t}$ , откуда $f'_+(-1) = -f'_-(1) = 2$ , $f'_-(-1) = -f'_+(1) = -2$ . Так как односторонние производные различны, по теореме о существовании производной и односторонних производных $f$ не дифференцируема в точках $\pm 1$ . Геометрически в точках $(\pm1, 0)$ график имеет излом: две различные полукасательные с угловыми коэффициентами $\pm 2$ .

б) $\frac{g(t) - g(0)}{t} = \frac{t|t|}{t} = |t|\to 0$ , поэтому $g'(0) = 0$ . При $x > 0$ $g(x) = x^2$ , $g'(x) = 2x$ ; при $x < 0$ $g(x) = -x^2$ , $g'(x) = -2x$ . Итак, $g'(x) = 2|x|$ на $\mathbb R$ .

в) $\frac{h(t) - h(0)}{t} = \frac{|t|^\alpha}{t} = |t|^{\alpha - 1}\operatorname{sign}t$ .

При $\alpha > 1$ : $|t|^{\alpha - 1}\to 0$ , так что $h'(0) = 0$ , касательная $y = 0$ .
При $\alpha = 1$ : $h'_\pm(0) = \pm 1$ , производной нет (излом).
При $0 < \alpha < 1$ : $|t|^{\alpha - 1}\to+\infty$ , поэтому $h'_+(0) = +\infty$ , $h'_-(0) = -\infty$ ; производная $h'(0) = \infty$ (бесконечная, без определённого знака). Функция непрерывна, и по теореме о геометрическом смысле производной касательная $x = 0$ вертикальна (точка возврата).

Ответ: а) $f'_\pm(1) = \pm 2$ , $f'_\pm(-1) = \pm 2$ , не дифференцируема; б) да, $g'(0) = 0$ , $g'(x) = 2|x|$ ; в) при $\alpha > 1$ ; при $\alpha = 1$ — излом, при $0 < \alpha < 1$ — вертикальная касательная.

Непрерывность и дифференцируемость функции |x|^α sin(1/x)

Условие

Пусть $\alpha\in\mathbb R$ и

f(x) = \begin{cases}|x|^\alpha\sin\frac1x, & x\ne 0,\\ 0, & x = 0.\end{cases}

При каких $\alpha$ функция $f$ а) непрерывна в точке $0$ ; б) дифференцируема в точке $0$ ?

Решение

Развернуть

Рассмотрим последовательности $x_n = \frac1{\pi/2 + 2\pi n}\to+0$ и $y_n = \frac1{\pi n}\to+0$ ; для них $\sin\frac1{x_n} = 1$ , $\sin\frac1{y_n} = 0$ , и $0 < x_n < 1$ .

а) При $\alpha > 0$ : $|f(x)|\le|x|^\alpha\to 0 = f(0)$ (произведение бесконечно малой на ограниченную — бесконечно малая), так что $f$ непрерывна в нуле. При $\alpha\le 0$ : $f(x_n) = x_n^\alpha\ge 1$ (так как $0 < x_n < 1$ ), поэтому $f(x_n)\not\to 0$ и по определению предела по Гейне (равносильному определению по Коши) $f$ разрывна в нуле.

б) Разностное отношение в нуле:

q(t) = \frac{f(t) - f(0)}{t} = |t|^{\alpha - 1}\operatorname{sign}t\cdot\sin\frac1t.

При $\alpha > 1$ : $|q(t)|\le|t|^{\alpha - 1}\to 0$ , поэтому $f'(0) = 0$ и $f$ дифференцируема.

При $\alpha\le 1$ : $q(y_n) = 0$ , а $q(x_n) = x_n^{\alpha - 1}\ge 1$ . Вдоль одной последовательности значения стремятся к $0$ , вдоль другой — не стремятся к $0$ . По определению Гейне предел $q$ при $t\to 0$ (даже при $t\to+0$ ), конечный или бесконечный, не существует. Значит, $f$ не имеет в нуле ни производной, ни односторонних производных (в том числе бесконечных).

Заметим, что при $0 < \alpha\le 1$ функция непрерывна, но не дифференцируема в нуле — ещё один пример к тому, что обратное к теореме о непрерывности дифференцируемой функции неверно.

Ответ: а) $\alpha > 0$ ; б) $\alpha > 1$ , при этом $f'(0) = 0$ .

Уравнения касательной и нормали

Условие

Дана кривая $y = x^3 - 3x + 2$ . а) Написать уравнения касательной и нормали в точке с абсциссой $x_0 = 2$ . б) Найти точки, в которых касательная параллельна прямой $y = 9x$ . в) Найти точки, в которых касательная горизонтальна.

Решение

Развернуть

По формуле производной многочлена $y' = 3x^2 - 3$ .

а) $y(2) = 8 - 6 + 2 = 4$ , $y'(2) = 12 - 3 = 9$ . По теореме о геометрическом смысле производной касательная: $y = 4 + 9(x - 2)$ , т. е. $y = 9x - 14$ . Нормаль: $(x - 2) + 9(y - 4) = 0$ , т. е. $x + 9y - 38 = 0$ .

б) Нужно $y'(x) = 9$ : $3x^2 - 3 = 9$ , $x = \pm 2$ . Точки $(2, 4)$ и $(-2, 0)$ (так как $y(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$ ); касательные $y = 9x - 14$ и $y = 9x + 18$ .

в) $y'(x) = 0$ : $x = \pm 1$ . Точки $(1, 0)$ и $(-1, 4)$ ; касательные $y = 0$ и $y = 4$ .

Ответ: а) касательная $y = 9x - 14$ , нормаль $x + 9y - 38 = 0$ ; б) $(2, 4)$ и $(-2, 0)$ ; в) $(1, 0)$ и $(-1, 4)$ .

Касательные через внешнюю точку. Угол между кривыми

Условие

а) Написать уравнения касательных к параболе $y = x^2$ , проходящих через точку $P(1, -3)$ .

б) Найти углы, под которыми пересекаются кривые $y = x^2$ и $y = \sqrt x$ (углом между кривыми в точке пересечения называется угол между их касательными в этой точке).

Решение

Развернуть

а) Касательная в точке $(x_0, x_0^2)$ по теореме о геометрическом смысле производной: $y = x_0^2 + 2x_0(x - x_0) = 2x_0x - x_0^2$ . Точка $P$ не лежит на параболе ( $1\ne -3$ ), и касательная проходит через $P$ тогда и только тогда, когда $-3 = 2x_0 - x_0^2$ , т. е. $x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$ , $x_0 = 3$ или $x_0 = -1$ . Получаем касательные $y = 6x - 9$ и $y = -2x - 1$ (проверка: $6 - 9 = -3$ , $-2 - 1 = -3$ ).

б) Точки пересечения: $x^2 = \sqrt x$ , $x\ge 0$ , откуда $x^4 = x$ , $x = 0$ или $x = 1$ .

В точке $(1, 1)$ : $(x^2)' = 2$ , $(\sqrt x)' = \frac1{2\sqrt x} = \frac12$ . Если $k_1 = 2$ , $k_2 = \frac12$ — угловые коэффициенты, то

\operatorname{tg}\theta = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right| = \frac{3/2}{2} = \frac34,\qquad \theta = \operatorname{arctg}\frac34.

В точке $(0, 0)$ : касательная к $y = x^2$ — прямая $y = 0$ , а функция $\sqrt x$ непрерывна справа и $f'_+(0) = +\infty$ , поэтому её график имеет вертикальную (правую) касательную $x = 0$ . Угол между кривыми равен $\frac\pi2$ .

Ответ: а) $y = 6x - 9$ , $y = -2x - 1$ ; б) $\operatorname{arctg}\frac34$ в точке $(1, 1)$ и $\frac\pi2$ в точке $(0, 0)$ .

Дифференцируемость суммы и произведения. Контрпримеры

Условие

а) Доказать: если $f$ дифференцируема в точке $a$ , а $g$ не дифференцируема, то $f + g$ не дифференцируема в точке $a$ .

б) Могут ли сумма и произведение двух функций, не дифференцируемых в точке $a$ , быть дифференцируемыми в ней?

в) Может ли произведение дифференцируемой и недифференцируемой функций быть дифференцируемым?

г) Пусть $D(x)$ — функция Дирихле ( $1$ на $\mathbb Q$ , $0$ вне $\mathbb Q$ ). Доказать, что $f(x) = x^2D(x)$ дифференцируема только в точке $0$ .

Решение

Развернуть

а) От противного: если $f + g$ дифференцируема в $a$ , то по правилу дифференцирования разности функция $g = (f + g) - f$ дифференцируема в $a$ — противоречие.

б) Да. Пусть $f(x) = |x|$ , $g(x) = -|x|$ , $a = 0$ : обе не дифференцируемы в нуле, а $f + g\equiv 0$ дифференцируема. Для $f = g = |x|$ произведение $fg = x^2$ дифференцируемо в нуле.

в) Да. $f(x) = x$ дифференцируема, $g(x) = |x|$ — нет, а $fg = x|x|$ дифференцируема в нуле: $\frac{t|t|}{t} = |t|\to 0$ . (Правило произведения здесь неприменимо, но и не нужно.)

г) В нуле: $\left|\frac{f(t) - f(0)}{t}\right| = |t|D(t)\le|t|\to 0$ , поэтому $f'(0) = 0$ .

Пусть $a\ne 0$ . Возьмём рациональные $r_n\to a$ и иррациональные $s_n\to a$ (они существуют по плотности $\mathbb Q$ и $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ в $\mathbb R$ ). Тогда $f(r_n) = r_n^2\to a^2\ne 0$ , а $f(s_n) = 0$ . Значит, $f$ не имеет предела в точке $a$ и разрывна в ней. По теореме о непрерывности дифференцируемой функции $f$ не дифференцируема в точке $a$ .

Ответ: б) да; в) да; г) доказано, $f'(0) = 0$ .

Подбор параметров для дифференцируемости. Симметричная производная

Условие

а) При каких $a$ и $b$ функция

f(x) = \begin{cases}x^2, & x\le 1,\\ ax + b, & x > 1\end{cases}

дифференцируема в точке $1$ ?

б) Доказать, что если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то

\lim_{h\to 0}\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a).

Верно ли обратное?

Решение

Развернуть

а) По теореме о непрерывности дифференцируемой функции необходимо $f(1 + 0) = f(1)$ : $a + b = 1$ . Слева: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h\to 2$ при $h\to -0$ , т. е. $f'_-(1) = 2$ . Справа при $a + b = 1$ : $\frac{a(1 + h) + b - 1}{h} = \frac{ah}{h} = a$ , т. е. $f'_+(1) = a$ . По теореме о существовании производной и односторонних производных нужно $a = 2$ , тогда $b = -1$ . При этих значениях $f'(1) = 2$ .

б) Запишем

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = \frac12\cdot\frac{f(a + h) - f(a)}{h} + \frac12\cdot\frac{f(a - h) - f(a)}{-h}.

Первое слагаемое стремится к $\frac12f'(a)$ . Во втором сделаем замену $t = -h$ ( $t\to 0$ , $t\ne 0$ ): по теореме о пределе сложной функции $\frac{f(a + t) - f(a)}{t}\to f'(a)$ . Сумма пределов равна $f'(a)$ .

Обратное неверно: для $f(x) = |x|$ и $a = 0$ имеем $\frac{|h| - |-h|}{2h} = 0\to 0$ , но $f'(0)$ не существует.

Ответ: а) $a = 2$ , $b = -1$ ; б) обратное неверно (пример $|x|$ в нуле).

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Производная функции в точке

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(a)$ точки $a$ . Для $\Delta x\ne 0$ с $a + \Delta x\in U(a)$ положим

\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)

— приращение функции, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ .

Производной функции $f$ в точке $a$ называется конечный предел

f'(a) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a},

если он существует. Обозначения: $f'(a)$ , $y'(a)$ , $\dfrac{df}{dx}(a)$ .

Если этот предел равен $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ , говорят, что $f$ имеет в точке $a$ бесконечную производную ( $f'(a) = +\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ соответственно).

Если $f$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $X$ , то говорят, что $f$ имеет производную на множестве $X$ ; функция $x\mapsto f'(x)$ , $x\in X$ , называется производной функцией (или просто производной) функции $f$ . Для отрезка $[a, b]$ в концах используются односторонние производные. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Примеры: для $f(x)\equiv c$ имеем $\Delta y = 0$ , $f'(x) = 0$ ; для $f(x) = x$ имеем $\Delta y = \Delta x$ , $f'(x) = 1$ . Механический смысл: если $s = s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ , то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$ .

Односторонние производные

Пусть $f$ определена на полуинтервале $[a, a + \delta)$ , $\delta > 0$ . Правой производной функции $f$ в точке $a$ называется предел

f'_+(a) = \lim_{\Delta x\to +0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}.

Аналогично, если $f$ определена на $(a - \delta, a]$ , левой производной называется

f'_-(a) = \lim_{\Delta x\to -0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}.

Если предел конечен, односторонняя производная называется конечной; допускаются и бесконечные односторонние производные ( $\pm\infty$ ).

Пример: для $f(x) = |x|$ при $\Delta x > 0$ отношение $\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$ , при $\Delta x < 0$ оно равно $-1$ , поэтому $f'_+(0) = 1$ , $f'_-(0) = -1$ .

Функция называется дифференцируемой на отрезке $[a, b]$ (имеющей производную на отрезке), если она имеет конечную производную в каждой точке интервала $(a, b)$ , конечную правую производную в точке $a$ и конечную левую производную в точке $b$ .

Касательная и нормаль к графику функции

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ и непрерывна в ней, $M_0 = (a, f(a))$ , $M = (a + \Delta x, f(a + \Delta x))$ , $\Delta x\ne 0$ — точки графика. Прямая $M_0M$ называется секущей; её угловой коэффициент и угол наклона к оси $Ox$ равны

k(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right).

При $\Delta x\to 0$ точка $M$ стремится к $M_0$ по графику (в силу непрерывности $f$ в точке $a$ ).

Наклонной касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ называется прямая, проходящая через $M_0$ под углом $\varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ к оси $Ox$ , где

\varphi_0 = \lim_{\Delta x\to 0}\varphi(\Delta x),

т. е. предельное положение секущей $M_0M$ при $M\to M_0$ .

Если $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ при $\Delta x\to 0$ , то предельным положением секущей считается прямая $x = a$ ; она называется вертикальной касательной.

Если предел угла $\varphi(\Delta x)$ берётся лишь при $\Delta x\to -0$ (при $\Delta x\to +0$ ), получаем левую (правую) наклонную касательную (полукасательную).

Нормалью к графику в точке $M_0$ называется прямая, проходящая через $M_0$ перпендикулярно касательной.

Дифференцируемая функция

Функция $f$ , определённая в окрестности точки $a$ , называется дифференцируемой в точке $a$ , если существует число $A\in\mathbb R$ такое, что

\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) = A\,\Delta x + o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.

Равносильная запись: $\Delta y = A\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\,\Delta x$ , где $\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции есть сумма линейной по $\Delta x$ части $A\,\Delta x$ и бесконечно малой более высокого порядка, чем $\Delta x$ .

Функция называется дифференцируемой на интервале $X$ , если она дифференцируема в каждой точке $X$ .

Односторонние пределы

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\mathbb R$ .

Если $a$ — предельная точка множества $X\cap(-\infty, a)$ , то число $A$ называется пределом слева (левым односторонним пределом) функции $f$ в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\quad a - \delta < x < a\ \Rightarrow\ |f(x) - A| < \varepsilon .

Обозначения: $f(a - 0) = \lim\limits_{x\to a - 0}f(x) = A$ .

Если $a$ — предельная точка множества $X\cap(a, +\infty)$ , то число $A$ называется пределом справа функции $f$ в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\quad a < x < a + \delta\ \Rightarrow\ |f(x) - A| < \varepsilon ,

обозначения: $f(a + 0) = \lim\limits_{x\to a + 0}f(x) = A$ . При $a = 0$ пишут $f(-0)$ , $f(+0)$ .

Иначе говоря, односторонний предел — это предел сужения $f$ на множество $X\cap(-\infty, a)$ (соответственно $X\cap(a, +\infty)$ ). Аналогично определяются бесконечные односторонние пределы: например, $f(a + 0) = -\infty$ , если $\forall M\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X\cap(a, a + \delta)$ : $f(x) < M$ .

Пример: для $f(x) = \operatorname{sgn}x$ имеем $f(-0) = -1$ , $f(+0) = 1$ .

Сравнение бесконечно малых. Символ «о малое»

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — бесконечно малые функции при $x\to a$ ( $a$ — конечная точка или один из символов $\pm\infty$ , $\infty$ ), причём $\beta(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ .

Если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0,

то $\alpha$ называется бесконечно малой более высокого порядка, чем $\beta$ (а $\beta$ — бесконечно малой более низкого порядка, чем $\alpha$ ), и пишут $\alpha = o(\beta)$ при $x\to a$ (« $\alpha$ есть о малое от $\beta$ »).

Если

\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c,\qquad c\ne 0,\ c\in\mathbb R,

то $\alpha$ и $\beta$ называются бесконечно малыми одного порядка.

Если $\alpha$ и $\beta^k$ ( $k > 0$ ) — бесконечно малые одного порядка, то говорят, что $\alpha$ имеет порядок малости $k$ относительно $\beta$ (при нецелом $k$ предполагается $\beta > 0$ ). Обычно в качестве эталонной бесконечно малой берут $\beta = x - a$ при конечном $a$ и $\beta = \frac1x$ при $a = \infty$ .
Если предел $\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ не существует (ни конечный, ни бесконечный), то $\alpha$ и $\beta$ называются несравнимыми бесконечно малыми. Например, $\alpha = x\sin\frac1x$ и $\beta = x$ несравнимы при $x\to 0$ .

Общее определение символа $o$ , не требующее условия $\beta\ne 0$ : $\alpha = o(\beta)$ при $x\to a$ , если в некоторой проколотой окрестности точки $a$

\alpha(x) = \varepsilon(x)\beta(x),\qquad \lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0.

При $\beta\ne 0$ это равносильно условию $\frac\alpha\beta\to 0$ . Запись $o(\beta)$ обозначает любую функцию из класса функций, обладающих этим свойством, поэтому равенства с $o$ читаются только слева направо: $x^3 = o(x^2)$ при $x\to 0$ , но запись $o(x^2) = x^3$ бессмысленна.

О большое: $\alpha = O(\beta)$ при $x\to a$ , если существуют $C > 0$ и проколотая окрестность точки $a$ , в которой

|\alpha(x)|\le C|\beta(x)|.

Если $\alpha$ и $\beta$ одного порядка, то $\alpha = O(\beta)$ и $\beta = O(\alpha)$ ; запись $\alpha = O(1)$ означает локальную ограниченность $\alpha$ .

Непрерывность функции в точке

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ и $a\in X$ . Функция $f$ называется непрерывной в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\ |x - a| < \delta\ \Rightarrow\ |f(x) - f(a)| < \varepsilon.

На языке окрестностей: для любой окрестности $V(f(a))$ существует окрестность $U(a)$ , такая что $f\big(U(a)\cap X\big)\subset V(f(a))$ .

Если $a$ — предельная точка $X$ (в частности, если $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ ), то непрерывность в $a$ равносильна равенству

\lim_{x\to a}f(x) = f(a),

т. е. предел существует, конечен и равен значению функции в точке («знаки предела и функции перестановочны»: $\lim f(x) = f(\lim x)$ ).

Определение по Гейне: $f$ непрерывна в $a$ , если для любой последовательности $x_n\in X$ , $x_n\to a$ , выполнено $f(x_n)\to f(a)$ .

Приращением аргумента в точке $a$ называется $\Delta x = x - a$ , приращением функции — $\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)$ . Непрерывность в точке $a$ (предельной для $X$ ) равносильна условию

\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0:

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

В изолированной точке множества $X$ любая функция непрерывна (по первому определению).

Связь двустороннего предела с односторонними

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , точка $a\in\mathbb R$ является предельной как для $X\cap(-\infty, a)$ , так и для $X\cap(a, +\infty)$ , и $A\in\overline{\mathbb R}$ . Тогда

\lim_{x\to a}f(x) = A\quad\Longleftrightarrow\quad f(a - 0) = f(a + 0) = A .

В частности, если односторонние пределы существуют, но различны, то предела $f$ в точке $a$ нет.

Если же $a$ — предельная точка множества $X\cap(a, +\infty)$ , но не множества $X\cap(-\infty, a)$ , то $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A\ \Longleftrightarrow\ f(a + 0) = A$ (аналогично для предела слева).

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ , и дано $\varepsilon > 0$ . Найдётся $\delta > 0$ такое, что $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ для всех $x\in X$ с $0 < |x - a| < \delta$ . В частности, это верно для всех $x\in X\cap(a - \delta, a)$ и для всех $x\in X\cap(a, a + \delta)$ , т. е. то же $\delta$ годится в определениях обоих односторонних пределов. Значит, $f(a - 0) = f(a + 0) = A$ .

Достаточность. Пусть $f(a - 0) = f(a + 0) = A$ , и дано $\varepsilon > 0$ . По определению левого предела найдётся $\delta_1 > 0$ с $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ при $x\in X\cap(a - \delta_1, a)$ , а по определению правого — $\delta_2 > 0$ с $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ при $x\in X\cap(a, a + \delta_2)$ .

Положим $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ . Если $x\in X$ и $0 < |x - a| < \delta$ , то либо $a - \delta_1 < x < a$ , либо $a < x < a + \delta_2$ ; в обоих случаях $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ . Следовательно, $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ . Утверждение о различных односторонних пределах — переформулировка необходимости.

Наконец, если $a$ не является предельной точкой $X\cap(-\infty, a)$ , то найдётся $\delta_1 > 0$ с $X\cap(a - \delta_1, a) = \varnothing$ . Тогда при $0 < \delta\le\delta_1$ условия « $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ » и « $x\in X$ , $a < x < a + \delta$ » равносильны, и определения двустороннего предела и предела справа совпадают. $\blacksquare$

Теорема Ферма

Формулировка

Пусть $c$ — точка локального экстремума функции $f$ (в частности, $c$ — внутренняя точка области определения) и в точке $c$ существует производная $f'(c)$ (конечная или бесконечная определённого знака). Тогда

f'(c) = 0.

Геометрический смысл: если в точке локального экстремума существует касательная к графику, не параллельная оси $Oy$ , то она горизонтальна (параллельна оси $Ox$ ).

Замечание. Условие « $c$ — внутренняя точка» существенно: функция $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ принимает наибольшее значение в точке $1$ , но $f'_-(1) = 1\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $c$ — точка локального максимума (для минимума рассуждение аналогично или сводится к $-f$ ). Тогда существует $\delta > 0$ такое, что $f(c + h)\le f(c)$ при $|h| < \delta$ , т.е. $f(c + h) - f(c)\le 0$ .

Отсюда для разностного отношения получаем

\frac{f(c + h) - f(c)}{h}\le 0\ \ \text{при}\ 0 < h < \delta,\qquad \frac{f(c + h) - f(c)}{h}\ge 0\ \ \text{при}\ -\delta < h < 0.

Так как производная $f'(c)$ существует, по теореме о связи производной с односторонними производными существуют и односторонние производные, причём $f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)$ .

Покажем, что $f'(c)$ конечна. Если бы $f'(c) = +\infty$ , то разностное отношение было бы положительным при всех достаточно малых $h > 0$ , а если бы $f'(c) = -\infty$ , — отрицательным при всех достаточно малых по модулю $h < 0$ ; оба случая противоречат полученным неравенствам.

Итак, $f'(c)$ — число. Переходя к пределу в неравенствах для разностного отношения (предельный переход в неравенстве), получаем $f'_+(c)\le 0$ и $f'_-(c)\ge 0$ . Значит, $0\le f'_-(c) = f'(c) = f'_+(c)\le 0$ , т.е. $f'(c) = 0$ . $\blacksquare$

Следствия теоремы Лагранжа

Формулировка

Пусть $I$ — промежуток (любого типа), функции $f$ и $g$ непрерывны на $I$ и дифференцируемы во всех его внутренних точках.

Если $f'(x) = 0$ во всех внутренних точках $I$ , то $f$ постоянна на $I$ .
Если $f'(x) = g'(x)$ во всех внутренних точках $I$ , то $f(x) - g(x) = C = \mathrm{const}$ на $I$ .
Если $|f'(x)|\le L$ во всех внутренних точках $I$ , то

|f(x_1) - f(x_2)|\le L|x_1 - x_2|\qquad\forall x_1, x_2\in I,

т.е. $f$ удовлетворяет на $I$ условию Липшица и, следовательно, равномерно непрерывна на $I$ . 4. (Предел производной.) Пусть $f$ непрерывна на $[a, a + \delta)$ , дифференцируема на $(a, a + \delta)$ и существует $\lim\limits_{x\to a+0}f'(x) = A$ (конечный или бесконечный). Тогда существует $f'_+(a) = A$ . Аналогично для левой производной; если $f$ непрерывна в точке $a$ , дифференцируема в её проколотой окрестности и $\lim\limits_{x\to a}f'(x) = A$ , то $f'(a) = A$ .

Замечание. В п. 1 существенно, что $I$ — промежуток: функция, равная $0$ на $(-1, 0)$ и $1$ на $(0, 1)$ , имеет нулевую производную во всех точках своей области определения, но не постоянна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x_1, x_2\in I$ , $x_1 < x_2$ . Тогда $[x_1, x_2]\subset I$ , все точки интервала $(x_1, x_2)$ внутренние для $I$ , $f$ непрерывна на $[x_1, x_2]$ и дифференцируема на $(x_1, x_2)$ . По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\qquad c\in(x_1, x_2).

П. 1: если $f'\equiv 0$ во внутренних точках, то $f'(c) = 0$ и $f(x_2) = f(x_1)$ для любых $x_1, x_2\in I$ , т.е. $f$ постоянна.

П. 2: функция $h = f - g$ непрерывна на $I$ и по правилу дифференцирования разности $h' = f' - g' = 0$ во внутренних точках; по п. 1 $h = \mathrm{const}$ .

П. 3: из формулы Лагранжа $|f(x_2) - f(x_1)| = |f'(c)|\,|x_2 - x_1|\le L|x_2 - x_1|$ . По достаточному условию равномерной непрерывности функция, удовлетворяющая условию Липшица, равномерно непрерывна.

П. 4, случай конечного $A$ : возьмём $\varepsilon > 0$ и выберем $\delta_1\in(0, \delta]$ так, что $|f'(t) - A| < \varepsilon$ при $a < t < a + \delta_1$ . Для $x\in(a, a + \delta_1)$ по теореме Лагранжа на $[a, x]$

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(c_x),\qquad c_x\in(a, x)\subset(a, a + \delta_1),

поэтому $\left|\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - A\right| = |f'(c_x) - A| < \varepsilon$ . Это и означает $f'_+(a) = A$ .

Если $A = +\infty$ (или $-\infty$ , $\infty$ ), рассуждение то же с заменой $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ на соответствующую окрестность бесконечности: из $f'(t)\in U(A)$ при $t\in(a, a + \delta_1)$ следует, что разностное отношение $f'(c_x)$ лежит в $U(A)$ при $x\in(a, a + \delta_1)$ .

Для левой производной рассуждение симметрично. В двустороннем случае получаем $f'_-(a) = f'_+(a) = A$ , и по теореме о связи производной с односторонними производными $f'(a) = A$ . $\blacksquare$

Непрерывность сложной функции. Предельный переход под знаком непрерывной функции

Формулировка

Пусть $f: X\to Y$ , $g: Y\to\mathbb R$ .

Если $f$ непрерывна в точке $a\in X$ , а $g$ непрерывна в точке $b = f(a)$ , то сложная функция $g\circ f$ непрерывна в точке $a$ .
Если $a$ — предельная точка $X$ , существует конечный предел $\lim\limits_{x\to a}f(x) = b$ , причём $b\in Y$ и $g$ непрерывна в точке $b$ , то

\lim_{x\to a}g(f(x)) = g(b) = g\Big(\lim_{x\to a}f(x)\Big).

(В отличие от теоремы о пределе сложной функции, условие $f(x)\ne b$ здесь не требуется.)

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Используем определение по Гейне. Пусть $x_n\in X$ , $x_n\to a$ . По непрерывности $f$ в точке $a$ последовательность $y_n = f(x_n)\in Y$ сходится к $b = f(a)$ . По непрерывности $g$ в точке $b$ (определение Гейне для $g$ ) $g(y_n)\to g(b)$ , т. е. $(g\circ f)(x_n)\to(g\circ f)(a)$ . Значит, $g\circ f$ непрерывна в $a$ .
Пункт 2. Зададим $\varepsilon > 0$ . По непрерывности $g$ в точке $b$ найдётся $\eta > 0$ , такое что

y\in Y,\ |y - b| < \eta\ \Rightarrow\ |g(y) - g(b)| < \varepsilon.

По определению предела $f(x)\to b$ для этого $\eta$ найдётся $\delta > 0$ , такое что $|f(x) - b| < \eta$ при $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ .
Тогда при $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ точка $y = f(x)\in Y$ удовлетворяет $|y - b| < \eta$ , и потому $|g(f(x)) - g(b)| < \varepsilon$ . Это и означает $\lim\limits_{x\to a}g(f(x)) = g(b)$ . Заметим, что равенство $f(x) = b$ при некоторых $x$ ничему не мешает: тогда $|g(f(x)) - g(b)| = 0$ . $\blacksquare$

Непрерывность основных элементарных функций

Формулировка

Функции $y = c$ и $y = x$ непрерывны на $\mathbb R$ ; $x^n$ ( $n\in\mathbb N$ ) и многочлены непрерывны на $\mathbb R$ ; дробно-рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$ непрерывна в каждой точке, где $Q(x)\ne 0$ .
$\sin x$ и $\cos x$ непрерывны на $\mathbb R$ , причём

|\sin x - \sin a|\le|x - a|,\qquad|\cos x - \cos a|\le|x - a|;

$\operatorname{tg} x$ непрерывен при $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ , $\operatorname{ctg} x$ — при $x\ne\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . 3. $\arcsin x$ и $\arccos x$ непрерывны на $[-1, 1]$ ; $\operatorname{arctg} x$ и $\operatorname{arcctg} x$ — на $\mathbb R$ . 4. Показательная функция $a^x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), в частности $e^x$ , непрерывна на $\mathbb R$ . 5. Логарифмическая функция $\log_a x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ) непрерывна на $(0, +\infty)$ . 6. Степенная функция $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ при любом $\alpha\in\mathbb R$ , а при $\alpha > 0$ — на $[0, +\infty)$ (где $0^\alpha = 0$ ). 7. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство

Развернуть

Для $f(x) = c$ имеем $|f(x) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ при любом $\delta$ ; для $f(x) = x$ достаточно взять $\delta = \varepsilon$ . Тогда $x^n = x\cdot\ldots\cdot x$ непрерывна как произведение непрерывных функций (индукция по $n$ ), многочлен $\sum c_kx^k$ — как сумма произведений непрерывных функций, а $\frac PQ$ — как частное непрерывных функций в точках, где $Q\ne 0$ (теорема об арифметических операциях над непрерывными функциями).
При доказательстве первого замечательного предела установлено неравенство $\sin t < t$ при $0 < t < \frac\pi2$ ; по нечётности $|\sin t| < |t|$ при $0 < |t| < \frac\pi2$ , а при $|t|\ge\frac\pi2 > 1$ имеем $|\sin t|\le 1 < |t|$ . Итак, $|\sin t|\le|t|$ для всех $t$ . Отсюда

|\sin x - \sin a| = 2\Bigl|\sin\frac{x - a}2\Bigr|\Bigl|\cos\frac{x + a}2\Bigr|\le 2\cdot\frac{|x - a|}2 = |x - a|,

и аналогично $|\cos x - \cos a| = 2\bigl|\sin\frac{x - a}2\bigr|\bigl|\sin\frac{x + a}2\bigr|\le|x - a|$ . Поэтому в определении непрерывности на языке $\varepsilon$ – $\delta$ можно взять $\delta = \varepsilon$ . Функции $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ непрерывны как частные там, где знаменатель не равен нулю.

На $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает: при $-\frac\pi2\le x < y\le\frac\pi2$ имеем $\sin y - \sin x = 2\sin\frac{y - x}2\cos\frac{y + x}2 > 0$ . По теореме об обратной функции её множество значений — отрезок $[\sin(-\frac\pi2), \sin\frac\pi2] = [-1, 1]$ , а обратная функция $\arcsin$ непрерывна на $[-1, 1]$ . Аналогично $\cos$ строго убывает на $[0, \pi]$ ( $\cos y - \cos x = -2\sin\frac{y + x}2\sin\frac{y - x}2 < 0$ ), и $\arccos$ непрерывен на $[-1, 1]$ . На $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ функция $\operatorname{tg}$ непрерывна и строго возрастает: $\operatorname{tg} y - \operatorname{tg} x = \frac{\sin(y - x)}{\cos x\cos y} > 0$ при $x < y$ . При $x\to\frac\pi2 - 0$ имеем $\sin x\to 1$ , $\cos x\to+0$ , поэтому $\frac1{\cos x}$ — бесконечно большая (связь бесконечно малых и бесконечно больших) и $\operatorname{tg} x\to+\infty$ ; аналогично $\operatorname{tg} x\to-\infty$ при $x\to-\frac\pi2 + 0$ . По теореме об обратной функции множество значений — интервал $(\inf\operatorname{tg}, \sup\operatorname{tg}) = \mathbb R$ , и $\operatorname{arctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ . Для $\operatorname{ctg}$ на $(0, \pi)$ (строго убывает: $\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\sin(y - x)}{\sin x\sin y} > 0$ ) рассуждение то же, и $\operatorname{arcctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ .
Пусть $a > 1$ . Используем известные свойства степени с действительным показателем: $a^x > 0$ , $a^{x + y} = a^xa^y$ , $a^0 = 1$ , $a^x$ строго возрастает. Покажем, что $a^{1/n}\to 1$ . Положим $h_n = a^{1/n} - 1 > 0$ ; по неравенству Бернулли $a = (1 + h_n)^n\ge 1 + nh_n$ , откуда $0 < h_n\le\frac{a - 1}n$ , и по теореме о трёх последовательностях $h_n\to 0$ . Тогда и $a^{-1/n} = \frac1{a^{1/n}}\to 1$ . Для $\varepsilon\in(0, 1)$ выберем $n$ так, что $a^{1/n} < 1 + \varepsilon$ и $a^{-1/n} > 1 - \varepsilon$ . При $|x| < \delta = \frac1n$ по монотонности

1 - \varepsilon < a^{-1/n} < a^x < a^{1/n} < 1 + \varepsilon,

т. е. $|a^x - 1| < \varepsilon$ : функция непрерывна в нуле. В произвольной точке $x_0$ приращение

\Delta y = a^{x_0 + \Delta x} - a^{x_0} = a^{x_0}\bigl(a^{\Delta x} - 1\bigr)\to 0\quad(\Delta x\to 0),

что по определению непрерывности через приращения означает непрерывность в $x_0$ . При $0 < a < 1$ имеем $a^x = \frac1{(1/a)^x}$ , где $\frac1a > 1$ , и непрерывность следует из теоремы о частном. Частный случай $a = e > 1$ даёт непрерывность $e^x$ .

Пусть $a > 1$ . Функция $a^x$ непрерывна и строго возрастает на $\mathbb R$ . По неравенству Бернулли $a^n = (1 + (a - 1))^n\ge 1 + n(a - 1)$ , так что $a^x$ не ограничена сверху, а $a^{-n} = \frac1{a^n}\le\frac1{1 + n(a - 1)}$ , так что $\inf a^x = 0$ (все значения положительны). По теореме об обратной функции множество значений есть $(0, +\infty)$ , а обратная функция $\log_a x$ строго возрастает и непрерывна на $(0, +\infty)$ . При $0 < a < 1$ имеем $\log_a x = -\log_{1/a} x$ , и непрерывность следует из уже доказанного.
При $x > 0$ по определению степени $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ . Функция $\ln x$ непрерывна на $(0, +\infty)$ (п. 5), $\alpha\ln x$ — тоже, а $e^t$ непрерывна на $\mathbb R$ (п. 4); по теореме о непрерывности сложной функции $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ . Пусть $\alpha > 0$ ; тогда $x^\alpha$ строго возрастает на $(0, +\infty)$ как композиция возрастающих функций, и для $\varepsilon > 0$ при $0\le x < \delta = \varepsilon^{1/\alpha}$ имеем $0\le x^\alpha < \delta^\alpha = \varepsilon$ , т. е. $x^\alpha$ непрерывна справа в нуле.
Элементарная функция получается из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Индукцией по числу операций: если функции, участвующие в очередной операции, непрерывны в каждой точке своих областей определения, то по теоремам об арифметических операциях над непрерывными функциями и о непрерывности сложной функции результат непрерывен в каждой точке своей области определения. База — пп. 1–6. $\blacksquare$

Связь выпуклости с положением касательной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во внутренних точках $X$ . Тогда $f$ выпукла вниз на $X$ тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже любой своей касательной, проведённой во внутренней точке:

f(x)\ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\quad\text{для всех } x\in X \text{ и всех внутренних } x_0\in X.

Строгая выпуклость вниз равносильна строгому неравенству при $x\ne x_0$ (график лежит выше касательной, касаясь её в одной точке). Для выпуклости вверх — график лежит не выше касательных.

Доказательство

Развернуть

Прямая $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ — касательная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$ по геометрическому смыслу производной.

Необходимость. Пусть $f$ выпукла вниз; тогда по условию выпуклости по первой производной $f'$ не убывает на множестве внутренних точек. Пусть $x\in X$ , $x\ne x_0$ . По теореме Лагранжа

f(x) - f(x_0) = f'(c)(x - x_0),\quad c \text{ строго между } x_0 \text{ и } x.

Если $x > x_0$ , то $c > x_0$ , $f'(c)\ge f'(x_0)$ и $f'(c)(x - x_0)\ge f'(x_0)(x - x_0)$ . Если $x < x_0$ , то $f'(c)\le f'(x_0)$ , а $x - x_0 < 0$ , и снова $f'(c)(x - x_0)\ge f'(x_0)(x - x_0)$ . В обоих случаях $f(x)\ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ; при строгой выпуклости $f'$ строго возрастает, и неравенства строгие.

Достаточность. Пусть $x_1 < x_2$ — внутренние точки $X$ . Запишем неравенство для касательной в точке $x_1$ при $x = x_2$ и для касательной в точке $x_2$ при $x = x_1$ :

f(x_2)\ge f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1),\qquad f(x_1)\ge f(x_2) + f'(x_2)(x_1 - x_2).

Складывая, получаем $0\ge(x_2 - x_1)(f'(x_1) - f'(x_2))$ , т. е. $f'(x_1)\le f'(x_2)$ (при строгих неравенствах — $f'(x_1) < f'(x_2)$ ). Значит, $f'$ не убывает (строго возрастает), и по условию выпуклости по первой производной $f$ выпукла вниз (строго). $\blacksquare$

Связь производной и дифференциала

Формулировка

Функция $f$ имеет дифференциал в точке $x$ тогда и только тогда, когда она имеет конечную производную $f'(x)$ ; при этом

dy = f'(x)\,dx,\qquad f'(x) = \frac{dy}{dx}.

$\Delta y - dy = o(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$ .
Если $f'(x)\ne 0$ , то $\Delta y\sim dy$ при $\Delta x\to 0$ .
$dy$ равен приращению ординаты касательной к графику в точке $(x, f(x))$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Дифференциал определён для дифференцируемых функций, а по теореме о связи дифференцируемости с конечной производной дифференцируемость равносильна существованию конечной $f'(x)$ , причём $A = f'(x)$ . Так как $dx = \Delta x$ , то $dy = f'(x)\,dx$ , и при $dx\ne 0$ $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ — производная есть отношение дифференциалов (что оправдывает обозначение Лейбница).

Пункт 2. По той же теореме $\Delta y = f'(x)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x$ , $\alpha\to 0$ , поэтому $\Delta y - dy = \alpha(\Delta x)\Delta x = o(\Delta x)$ .

Пункт 3. При $f'(x)\ne 0$ и $\Delta x\ne 0$

\frac{\Delta y}{dy} = \frac{f'(x)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x}{f'(x)\Delta x} = 1 + \frac{\alpha(\Delta x)}{f'(x)}\to 1,

т. е. $\Delta y\sim dy$ .

Пункт 4. По теореме о геометрическом смысле производной касательная имеет уравнение $Y(\xi) = f(x) + f'(x)(\xi - x)$ , поэтому $Y(x + \Delta x) - Y(x) = f'(x)\Delta x = dy$ . $\blacksquare$

Замечание

При $f'(x) = 0$ дифференциал $dy = 0$ не является главной частью приращения: для $y = x^3$ в нуле $dy = 0$ , $\Delta y = \Delta x^3$ .

Связь функции, её предела и бесконечно малой

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , $A\in\mathbb R$ . Тогда

\lim_{x\to a}f(x) = A\quad\Longleftrightarrow\quad f(x) = A + \alpha(x),\ \text{где } \alpha \text{ — б.м. при } x\to a .

Доказательство

Развернуть

Положим $\alpha(x) = f(x) - A$ , $x\in X$ ; тогда $f = A + \alpha$ тождественно на $X$ , и обратно, если $f = A + \alpha$ , то $\alpha = f - A$ .

Условие $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ означает: $\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ : $|f(x) - A| < \varepsilon$ . Так как $|f(x) - A| = |\alpha(x) - 0|$ , это дословно совпадает с условием $\lim\limits_{x\to a}\alpha(x) = 0$ , т. е. с тем, что $\alpha$ — б.м. при $x\to a$ . $\blacksquare$

Единственность предела функции

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\overline{\mathbb R}$ — предельная точка $X$ . Если $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ и $\lim\limits_{x\to a}f(x) = B$ , где $A, B\in\mathbb R\cup\{-\infty, +\infty\}$ , то $A = B$ .

Доказательство

Развернуть

Предположим, что $A\ne B$ . Покажем, что у различных элементов $A, B$ расширенной прямой есть непересекающиеся окрестности $U_\varepsilon(A)$ , $U_\varepsilon(B)$ . Если $A, B$ конечны, годится $\varepsilon = \frac{|A - B|}2$ . Если $A$ конечно, а $B = +\infty$ , возьмём $\varepsilon$ так, что $\varepsilon < 1$ и $\frac1\varepsilon > |A| + 1$ : тогда $U_\varepsilon(A)\subset(-\infty, |A| + 1)$ и $U_\varepsilon(+\infty) = (\frac1\varepsilon, +\infty)\subset(|A| + 1, +\infty)$ . Случай $B = -\infty$ симметричен, а при $A = -\infty$ , $B = +\infty$ годится $\varepsilon = 1$ .

По определению предела найдутся $\delta_1, \delta_2 > 0$ такие, что $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ и $f(x)\in U_\varepsilon(B)$ при $x\in\dot U_{\delta_2}(a)\cap X$ .

Пусть $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ . Так как $a$ — предельная точка $X$ , в проколотой окрестности $\dot U_\delta(a)$ есть точка $x\in X$ . Для неё одновременно $f(x)\in U_\varepsilon(A)$ и $f(x)\in U_\varepsilon(B)$ , что невозможно, так как эти окрестности не пересекаются. Противоречие показывает, что $A = B$ . $\blacksquare$

Производная сложной функции

Формулировка

Пусть функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $a$ и дифференцируема в точке $a$ , а функция $z = g(y)$ определена в окрестности $V$ точки $b = f(a)$ и дифференцируема в точке $b$ . Тогда сложная функция $h = g\circ f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ , дифференцируема в точке $a$ и

h'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a),\qquad\text{т. е.}\quad \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о непрерывности дифференцируемой функции $f$ непрерывна в точке $a$ , поэтому найдётся окрестность $U$ точки $a$ , для которой $f(U)\subset V$ ; на $U$ определена функция $h(x) = g(f(x))$ .

По теореме о связи дифференцируемости с конечной производной (пункт 2) для $g$ в точке $b$ : при всех $\Delta y$ с $b + \Delta y\in V$

g(b + \Delta y) - g(b) = g'(b)\,\Delta y + \beta(\Delta y)\,\Delta y,

где $\beta(0) = 0$ и $\beta$ непрерывна в нуле. Важно, что формула верна и при $\Delta y = 0$ .

Пусть $\Delta x\ne 0$ , $a + \Delta x\in U$ , $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ (возможно, $\Delta y = 0$ ). Тогда $h(a + \Delta x) - h(a) = g(b + \Delta y) - g(b)$ , и после деления на $\Delta x$ :

\frac{h(a + \Delta x) - h(a)}{\Delta x} = g'(b)\,\frac{\Delta y}{\Delta x} + \beta(\Delta y)\,\frac{\Delta y}{\Delta x}.

При $\Delta x\to 0$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)$ ; функция $\Delta x\mapsto\Delta y$ непрерывна в нуле и равна там нулю, а $\beta$ непрерывна в нуле и $\beta(0) = 0$ , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции $\beta(\Delta y(\Delta x))\to 0$ . По теореме об арифметических операциях с пределами правая часть стремится к $g'(b)f'(a)$ . Следовательно, $h'(a) = g'(f(a))f'(a)$ — конечна, т. е. $h$ дифференцируема в точке $a$ . $\blacksquare$

Замечание

Приём с функцией $\beta$ , доопределённой нулём, нужен потому, что $\Delta y$ может обращаться в нуль при сколь угодно малых $\Delta x\ne 0$ (например, для $f(x) = x^2\sin\frac1x$ при $a = 0$ ), и делить на $\Delta y$ нельзя.

Эквивалентность определений непрерывности

Формулировка

Пусть $f: X\to\mathbb R$ , $a\in X$ . Следующие условия равносильны:

( $\varepsilon$ – $\delta$ ) $\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\ |x - a| < \delta\Rightarrow|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ ;
(по Гейне) для любой последовательности $x_n\in X$ , $x_n\to a$ , выполнено $f(x_n)\to f(a)$ .

Если, кроме того, $a$ — предельная точка $X$ , то условия 1, 2 равносильны также каждому из условий:

(через предел) $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ ;
(через приращения) $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0$ , где $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ , $a + \Delta x\in X$ .

Если $a$ — изолированная точка $X$ , то условия 1 и 2 выполнены для любой функции $f$ .

Доказательство

Развернуть

(1 $\Rightarrow$ 2). Пусть $x_n\in X$ , $x_n\to a$ , и задано $\varepsilon > 0$ . Возьмём $\delta$ из условия 1. По определению предела последовательности найдётся $N$ , такое что $|x_n - a| < \delta$ при $n > N$ ; тогда $|f(x_n) - f(a)| < \varepsilon$ при $n > N$ . Значит, $f(x_n)\to f(a)$ .
(2 $\Rightarrow$ 1). Пусть условие 1 нарушено: существует $\varepsilon_0 > 0$ , такое что для любого $\delta > 0$ найдётся $x\in X$ с $|x - a| < \delta$ , но $|f(x) - f(a)|\ge\varepsilon_0$ . Беря $\delta = \frac1n$ , получаем $x_n\in X$ , $|x_n - a| < \frac1n$ , $|f(x_n) - f(a)|\ge\varepsilon_0$ . Тогда $x_n\to a$ , но $f(x_n)\not\to f(a)$ — противоречие с условием 2.
Изолированная точка. Если $a$ изолирована, то найдётся $\delta_0 > 0$ с $X\cap(a - \delta_0, a + \delta_0) = \{a\}$ ; при $\delta = \delta_0$ единственная точка $x\in X$ с $|x - a| < \delta$ — это $a$ , и $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ . Условие 1 выполнено, а значит, и условие 2.
(1 $\Rightarrow$ 3). Пусть $a$ — предельная точка $X$ . Из условия 1 тем более следует: $\forall\varepsilon\ \exists\delta\ \forall x\in X:\ 0 < |x - a| < \delta\Rightarrow|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ , а это и есть определение $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ по Коши.
(3 $\Rightarrow$ 1). Обратно, если выполнено определение предела по Коши с $A = f(a)$ , то неравенство $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ верно при $0 < |x - a| < \delta$ , а при $x = a$ оно верно тривиально: $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ . Получаем условие 1. (Связь с условием 2 видна и через определение Гейне: условие 2 содержит, в частности, все последовательности $x_n\ne a$ , т. е. влечёт равенство $\lim f = f(a)$ в смысле Гейне, равносильное определению по Коши по теореме об эквивалентности определений предела.)
(3 $\Leftrightarrow$ 4). Функция $g(\Delta x) = f(a + \Delta x) - f(a)$ определена на множестве $X - a = \{x - a: x\in X\}$ , для которого $0$ — предельная точка. Условие $\lim\limits_{\Delta x\to 0}g(\Delta x) = 0$ по определению Коши означает:

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0:\ 0 < |\Delta x| < \delta,\ a + \Delta x\in X\ \Rightarrow\ |f(a + \Delta x) - f(a)| < \varepsilon.

После подстановки $x = a + \Delta x$ это дословно определение $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ . $\blacksquare$

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Формулировка

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a, b]$ (в концах — односторонние производные $f'(a) = f'_+(a)$ , $f'(b) = f'_-(b)$ ). Тогда для любого числа $C$ , лежащего строго между $f'(a)$ и $f'(b)$ , существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f'(c) = C.

Следствие. Производная, существующая во всех точках промежутка, не может иметь на нём разрывов первого рода (скачков и устранимых разрывов): если в точке $x_0$ существует односторонний предел $f'(x_0 + 0)$ (или $f'(x_0 - 0)$ ), то он равен $f'(x_0)$ .

Замечание. Непрерывность $f'$ здесь не предполагается: например, $f(x) = x^2\sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , имеет разрывную в нуле производную, и тем не менее теорема Дарбу для неё верна.

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f'(a) < C < f'(b)$ (противоположный случай сводится к этому заменой $f$ на $-f$ и $C$ на $-C$ ). Рассмотрим $g(x) = f(x) - Cx$ . Она дифференцируема на $[a, b]$ , и

g'(a) = f'(a) - C < 0,\qquad g'(b) = f'(b) - C > 0.

Функция $g$ непрерывна на $[a, b]$ (дифференцируемая функция непрерывна), поэтому по второй теореме Вейерштрасса она достигает наименьшего значения в некоторой точке $c\in[a, b]$ .

Покажем, что $c\ne a$ . Так как $\lim\limits_{x\to a+0}\frac{g(x) - g(a)}{x - a} = g'(a) < 0$ , по теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, это отношение отрицательно при $x\in(a, a + \eta)$ для некоторого $\eta > 0$ ; при таких $x$ имеем $x - a > 0$ , значит, $g(x) < g(a)$ , и $a$ — не точка минимума.

Аналогично $c\ne b$ : так как $\lim\limits_{x\to b-0}\frac{g(x) - g(b)}{x - b} = g'(b) > 0$ , при $x$ , близких к $b$ слева, отношение положительно, а $x - b < 0$ , т.е. $g(x) < g(b)$ .

Итак, $c\in(a, b)$ — внутренняя точка, в которой $g$ принимает наименьшее на $[a, b]$ значение, т.е. точка локального минимума, и $g'(c)$ существует. По теореме Ферма $g'(c) = f'(c) - C = 0$ , т.е. $f'(c) = C$ .

Следствие. Пусть $f'(x_0 + 0) = L$ существует. Тогда $f$ непрерывна на $[x_0, x_0 + \delta)$ (дифференцируемая функция непрерывна) и дифференцируема на $(x_0, x_0 + \delta)$ , и по п. 4 следствий теоремы Лагранжа $f'_+(x_0) = L$ ; так как $f'(x_0)$ существует, $f'(x_0) = f'_+(x_0) = L$ , и разрыва в точке $x_0$ нет. Для $f'(x_0 - 0)$ — аналогично. (Можно рассуждать и по теореме Дарбу: если бы $L\ne f'(x_0)$ , то при $x_1 > x_0$ , близком к $x_0$ , значение $f'(x_1)$ было бы ближе к $L$ , чем середина $M$ отрезка между $f'(x_0)$ и $L$ , а по доказанному $f'$ принимала бы на $(x_0, x_1)$ значение $M$ — вопреки тому, что все значения $f'$ на $(x_0, x_1)$ ближе к $L$ , чем $M$ .) $\blacksquare$

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ и дифференцируема в проколотой окрестности $(a - \delta, a)\cup(a, a + \delta)$ .

Если $f'(x) > 0$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f'(x) < 0$ при $x\in(a, a + \delta)$ (производная меняет знак с « $+$ » на « $-$ »), то $a$ — точка строгого локального максимума.
Если $f' < 0$ на $(a - \delta, a)$ и $f' > 0$ на $(a, a + \delta)$ (смена знака с « $-$ » на « $+$ »), то $a$ — точка строгого локального минимума.
Если $f'$ имеет один и тот же знак на $(a - \delta, a)$ и на $(a, a + \delta)$ , то экстремума в точке $a$ нет.

Доказательство

Развернуть

Функция $f$ дифференцируема, а значит, непрерывна на $(a - \delta, a)$ и непрерывна в точке $a$ ; поэтому для любого $x\in(a - \delta, a)$ она непрерывна на $[x, a]$ и дифференцируема на $(x, a)$ . Аналогично для $x\in(a, a+\delta)$ и отрезка $[a, x]$ .

Пункт 1. Для $x\in(a - \delta, a)$ по теореме Лагранжа

f(a) - f(x) = f'(c)(a - x) > 0,\quad c\in(x, a),

так как $f'(c) > 0$ . Для $x\in(a, a + \delta)$ :

f(x) - f(a) = f'(c)(x - a) < 0,\quad c\in(a, x).

Итак, $f(x) < f(a)$ при всех $x\ne a$ из окрестности — строгий максимум.

Пункт 2 получается применением пункта 1 к функции $-f$ .

Пункт 3. Пусть $f' > 0$ с обеих сторон. Те же оценки дают $f(x) < f(a)$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f(x) > f(a)$ при $x\in(a, a+\delta)$ , так что в любой окрестности $a$ есть значения как меньше, так и больше $f(a)$ ; экстремума нет. Случай $f' < 0$ аналогичен. $\blacksquare$

Лемма о функции с нулевыми производными в точке

Формулировка

Пусть функция $\varphi$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ ( $n\ge 1$ ) и

\varphi(a) = \varphi'(a) = \ldots = \varphi^{(n)}(a) = 0.

Тогда

\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)\qquad\text{при } x\to a.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . База $n = 1$ : так как $\varphi(a) = 0$ и $\varphi'(a) = 0$ , по определению производной

\frac{\varphi(x)}{x - a} = \frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{x - a}\to\varphi'(a) = 0,

т.е. $\varphi(x) = o(x - a)$ .

Индукционный переход. Пусть утверждение верно для $n - 1\ge 1$ (для любой функции), и $\varphi$ удовлетворяет условиям с номером $n$ . Так как $\varphi^{(n)}(a)$ существует, производная $\varphi'$ определена в некоторой окрестности $U$ точки $a$ , $(n - 1)$ раз дифференцируема в точке $a$ , и $\varphi'(a) = (\varphi')'(a) = \ldots = (\varphi')^{(n - 1)}(a) = 0$ . По предположению индукции $\varphi'(t) = o\bigl((t - a)^{n - 1}\bigr)$ : для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ (с $(a - \delta, a + \delta)\subset U$ ) такое, что

|\varphi'(t)|\le\varepsilon|t - a|^{n - 1}\qquad\text{при } 0 < |t - a| < \delta.

Пусть $0 < |x - a| < \delta$ . Функция $\varphi$ дифференцируема (а значит, и непрерывна) на отрезке с концами $a$ и $x$ , и по теореме Лагранжа

\varphi(x) = \varphi(x) - \varphi(a) = \varphi'(c)(x - a),

где $c$ лежит строго между $a$ и $x$ , так что $0 < |c - a| < |x - a| < \delta$ .

Следовательно,

|\varphi(x)| = |\varphi'(c)|\,|x - a|\le\varepsilon|c - a|^{n - 1}|x - a|\le\varepsilon|x - a|^n.

В силу произвольности $\varepsilon$ это означает $\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ . $\blacksquare$

Формула Тейлора с остаточным членом в общем виде

Формулировка

Пусть $x\ne a$ и $\Delta$ — отрезок с концами $a$ и $x$ . Пусть функция $f$ имеет на $\Delta$ непрерывные производные до порядка $n$ включительно (в концах — односторонние), а во внутренних точках $\Delta$ — производную $f^{(n + 1)}$ . Пусть функция $\varphi$ непрерывна на $\Delta$ , дифференцируема во внутренних точках $\Delta$ и $\varphi'(t)\ne 0$ при $t$ строго между $a$ и $x$ . Тогда существует точка $c$ , лежащая строго между $a$ и $x$ , такая, что

R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = \frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{\varphi'(c)\,n!}\,f^{(n + 1)}(c)\,(x - c)^n.

Это остаточный член в общей форме (форме Шлёмильха–Роша). Точку $c$ можно записать как $c = a + \theta(x - a)$ , $0 < \theta < 1$ .

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $x$ и рассмотрим как функцию переменной $t\in\Delta$

F(t) = f(x) - \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k,

т.е. остаток формулы Тейлора с центром $t$ , вычисленный в точке $x$ . Функция $F$ непрерывна на $\Delta$ (производные $f^{(k)}$ , $k\le n$ , непрерывны на $\Delta$ ) и дифференцируема во внутренних точках $\Delta$ (там существуют $f^{(k + 1)}$ , $k\le n$ ).

Значения на концах: $F(x) = f(x) - f(x) = 0$ (при $t = x$ все слагаемые с $k\ge 1$ равны нулю), $F(a) = R_n(x)$ .

Производная. Дифференцируя произведения, при $k\ge 1$ получаем

\left(\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k\right)' = \frac{f^{(k + 1)}(t)}{k!}(x - t)^k - \frac{f^{(k)}(t)}{(k - 1)!}(x - t)^{k - 1},

а при $k = 0$ производная равна $f'(t)$ . При суммировании по $k = 0, \ldots, n$ слагаемые попарно сокращаются («телескопическая» сумма), и остаётся только $\frac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n$ . Значит,

F'(t) = -\frac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n.

Применим к функциям $F$ и $\varphi$ на отрезке $\Delta$ теорему Коши (её равенство симметрично относительно перестановки концов, так что порядок $a$ и $x$ не важен): $\varphi(x)\ne\varphi(a)$ и найдётся $c$ строго между $a$ и $x$ с

\frac{F(x) - F(a)}{\varphi(x) - \varphi(a)} = \frac{F'(c)}{\varphi'(c)},\qquad\text{т.е.}\qquad \frac{-R_n(x)}{\varphi(x) - \varphi(a)} = -\frac{f^{(n + 1)}(c)(x - c)^n}{n!\,\varphi'(c)}.

Умножая на $-(\varphi(x) - \varphi(a))$ , получаем требуемую формулу. $\blacksquare$

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , и

\lim_{x\to a}f(x) = A\in\mathbb R,\qquad \lim_{x\to a}g(x) = B\in\mathbb R .

Тогда:

$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x)) = A\pm B$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x) = AB$ , в частности $\lim\limits_{x\to a}cf(x) = cA$ ;
если $B\ne 0$ , то $g(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и на множестве $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB .

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $f = A + \alpha$ , $g = B + \beta$ , где $\alpha, \beta$ — б.м. при $x\to a$ . Каждое утверждение сведём к тому, что соответствующая разность является б.м., и снова применим ту же теорему.

$(f\pm g) - (A\pm B) = \alpha\pm\beta$ — б.м. как сумма б.м. (произведение $\beta$ на постоянную $-1$ — б.м.).
$fg - AB = (A + \alpha)(B + \beta) - AB = A\beta + B\alpha + \alpha\beta$ . Слагаемые $A\beta$ , $B\alpha$ — б.м. как произведения б.м. на постоянные, $\alpha\beta$ — б.м. как произведение б.м. По свойству суммы б.м. $fg - AB$ — б.м. При $g\equiv c$ получаем $cf\to cA$ .
По теореме о знакопостоянстве существует $\delta_0 > 0$ такое, что $|g(x)| > \frac{|B|}2 > 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Точка $a$ остаётся предельной для множества $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (любая меньшая проколотая окрестность содержит его точки). На этом множестве

\frac fg - \frac AB = \frac{Bf - Ag}{Bg} = \frac{B(A + \alpha) - A(B + \beta)}{Bg} = (B\alpha - A\beta)\cdot\frac1{Bg} .

Множитель $B\alpha - A\beta$ — б.м. по пп. 1, 2 свойств б.м., а $\left|\frac1{Bg(x)}\right| < \frac2{B^2}$ , т. е. $\frac1{Bg}$ локально ограничена. По свойству произведения б.м. на локально ограниченную функцию разность $\frac fg - \frac AB$ — б.м., и $\frac fg\to\frac AB$ . $\blacksquare$

Локальные свойства функций, непрерывных в точке

Формулировка

Пусть $f: X\to\mathbb R$ непрерывна в точке $a\in X$ . Тогда:

(локальная ограниченность) существуют $\delta > 0$ и $M > 0$ , такие что

|f(x)|\le M\quad\forall x\in X\cap(a - \delta, a + \delta);

(сохранение неравенства) если $f(a) > c$ (соответственно $f(a) < c$ ), то существует $\delta > 0$ , такое что $f(x) > c$ (соответственно $f(x) < c$ ) для всех $x\in X\cap(a - \delta, a + \delta)$ ;
(знакопостоянство) если $f(a) > 0$ , то существует $\delta > 0$ , такое что

f(x) > \frac{f(a)}{2} > 0\quad\forall x\in X\cap(a - \delta, a + \delta);

аналогично при $f(a) < 0$ : $f(x) < \frac{f(a)}2 < 0$ . В частности, если $f(a)\ne 0$ , то $f$ не обращается в нуль и сохраняет знак в некоторой окрестности точки $a$ .

В отличие от соответствующих свойств функций, имеющих предел, здесь окрестность не проколотая: точка $a$ в неё входит.

Доказательство

Развернуть

Возьмём в определении непрерывности ( $\varepsilon$ – $\delta$ ) $\varepsilon = 1$ : найдётся $\delta > 0$ , такое что $|f(x) - f(a)| < 1$ при $x\in X$ , $|x - a| < \delta$ . Тогда для таких $x$

|f(x)|\le|f(x) - f(a)| + |f(a)| < 1 + |f(a)| = M.

Пусть $f(a) > c$ . Положим $\varepsilon = f(a) - c > 0$ и найдём $\delta$ из определения непрерывности. При $x\in X$ , $|x - a| < \delta$ :

f(x) > f(a) - \varepsilon = c.

Случай $f(a) < c$ сводится к рассмотренному заменой $f$ на $-f$ (функция $-f$ непрерывна в $a$ , так как $|(-f)(x) - (-f)(a)| = |f(x) - f(a)|$ ) и $c$ на $-c$ .

При $f(a) > 0$ применим пункт 2 с $c = \frac{f(a)}2 < f(a)$ ; при $f(a) < 0$ — с $c = \frac{f(a)}2 > f(a)$ . $\blacksquare$

Правила вычисления дифференциалов

Формулировка

Пусть $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ , $C\in\mathbb R$ . Тогда

dC = 0,\quad d(Cu) = C\,du,\quad d(u\pm v) = du\pm dv,\quad d(uv) = v\,du + u\,dv,

и при $v(x)\ne 0$

d\left(\frac uv\right) = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2}.

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи производной и дифференциала $dw = w'(x)\,dx$ для любой дифференцируемой функции $w$ . Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного и их следствия дают дифференцируемость функций $Cu$ , $u\pm v$ , $uv$ , $\frac uv$ и формулы для их производных.

Умножая эти формулы на $dx$ , получаем, например,

d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v\,(u'dx) + u\,(v'dx) = v\,du + u\,dv,

d\left(\frac uv\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}dx = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2};

остальные формулы получаются так же ( $C' = 0$ ). $\blacksquare$

Формула Лейбница

Формулировка

Пусть функции $u$ и $v$ $n$ раз дифференцируемы в точке $x$ , $\alpha, \beta\in\mathbb R$ . Тогда:

$(\alpha u + \beta v)^{(n)} = \alpha u^{(n)} + \beta v^{(n)}$ ;
произведение $uv$ $n$ раз дифференцируемо в точке $x$ и

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)},\qquad u^{(0)} = u,\ v^{(0)} = v.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1 получается индукцией по $n$ из линейности первой производной.

Пункт 2 — индукцией по $n$ . При $n = 1$ это правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ .

Пусть формула верна для всех пар функций, $n$ раз дифференцируемых в точке, и пусть $u$ , $v$ $(n + 1)$ раз дифференцируемы в точке $x$ . Тогда $u^{(n)}$ , $v^{(n)}$ существуют в некоторой окрестности $U$ точки $x$ , т. е. $u$ и $v$ $n$ раз дифференцируемы в каждой точке $U$ , и по предположению индукции на $U$

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}.

Каждый множитель $u^{(n-k)}$ , $v^{(k)}$ ( $0\le k\le n$ ) дифференцируем в точке $x$ , поэтому по правилу произведения и линейности

(uv)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k+1)}v^{(k)} + \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k+1)} = \sum_{k=0}^nC_n^k\,u^{(n+1-k)}v^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1}C_n^{k-1}\,u^{(n+1-k)}v^{(k)}

(во второй сумме индекс сдвинут: $k + 1\to k$ ).

Выделим слагаемое с $k = 0$ из первой суммы ( $u^{(n+1)}v$ ) и с $k = n + 1$ из второй ( $uv^{(n+1)}$ ); при $1\le k\le n$ коэффициенты складываются: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$ (свойство биномиальных коэффициентов). Так как $C_{n+1}^0 = C_{n+1}^{n+1} = 1$ , получаем

(uv)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^k\,u^{(n+1-k)}v^{(k)}.

По принципу математической индукции формула верна при всех $n$ . $\blacksquare$

Замечание

Формула Лейбница устроена как бином Ньютона $(a + b)^n$ с заменой степеней $a^{n-k}b^k$ на производные $u^{(n-k)}v^{(k)}$ . Особенно удобна, когда один из множителей — многочлен: тогда в сумме лишь несколько ненулевых слагаемых.

Логарифмическая производная. Производная показательно-степенной функции

Формулировка

Если $f$ дифференцируема в точке $x$ и $f(x)\ne 0$ , то

\big(\ln|f(x)|\big)' = \frac{f'(x)}{f(x)}

— логарифмическая производная; отсюда $f' = f\cdot(\ln|f|)'$ . В частности, для $f = u_1^{k_1}\cdots u_m^{k_m}$ ( $u_i$ дифференцируемы в точке $x$ , $u_i(x)\ne 0$ , $k_i\in\mathbb Z$ ):

\frac{f'}{f} = k_1\frac{u_1'}{u_1} + \dots + k_m\frac{u_m'}{u_m}.

Если $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$ и $u(x) > 0$ , то

\left(u^v\right)' = u^v\left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right) = vu^{v-1}u' + u^v\ln u\cdot v'.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Функция $f$ непрерывна в точке $x$ и $f(x)\ne 0$ , поэтому по локальным свойствам непрерывных функций $f\ne 0$ в некоторой окрестности $x$ и $\ln|f|$ определена в ней. По таблице производных $(\ln|y|)' = \frac1y$ при $y\ne 0$ , и по теореме о производной сложной функции $\big(\ln|f(x)|\big)' = \frac1{f(x)}f'(x)$ .

Для произведения степеней в окрестности точки $x$ выполнено $\ln|f| = k_1\ln|u_1| + \dots + k_m\ln|u_m|$ . Дифференцируя обе части (правую — по правилу суммы) и применяя уже доказанную формулу к каждому слагаемому, получаем требуемое.

Пункт 2. По определению степени с положительным основанием $u^v = e^{v\ln u}$ . По теореме о производной сложной функции и правилу произведения

\left(e^{v\ln u}\right)' = e^{v\ln u}\left(v\ln u\right)' = u^v\left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right).

$\blacksquare$

Замечание

Формула пункта 2 — сумма производной «как степенной функции» ( $vu^{v-1}u'$ , $v$ фиксировано) и «как показательной» ( $u^v\ln u\cdot v'$ , $u$ фиксировано).

Производная функции, заданной параметрически и неявно

Формулировка

Пусть $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ , $t\in T$ ( $T$ — интервал), $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ .

Если $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы в точке $t_0\in T$ и $\varphi'(t_0)\ne 0$ , то функция $y = \psi(\varphi^{-1}(x))$ дифференцируема в точке $x_0 = \varphi(t_0)$ и

y'_x(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}.

Если $\varphi$ , $\psi$ дифференцируемы на $T$ , $\varphi'(t)\ne 0$ на $T$ , а $\varphi'$ , $\psi'$ дифференцируемы в точке $t_0$ , то

y''_{xx}(x_0) = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

(Неявная функция.) Пусть $y = y(x)$ дифференцируема на интервале $X$ и $F(x, y(x)) = 0$ при всех $x\in X$ , где выражение $G(x) = F(x, y(x))$ составлено из $x$ и $y(x)$ с помощью арифметических операций и композиций с дифференцируемыми функциями. Тогда $G'(x) = 0$ на $X$ ; вычисленное по правилам дифференцирования, это равенство линейно относительно $y'$ :

P(x, y)\,y' + Q(x, y) = 0,\qquad y' = -\frac{Q(x, y)}{P(x, y)}\quad\text{там, где } P\ne 0.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $\varphi^{-1}$ определена на интервале $X = \varphi(T)$ , непрерывна и строго монотонна; $t_0$ — внутренняя точка $T$ . По теореме о производной обратной функции $(\varphi^{-1})'(x_0) = \frac1{\varphi'(t_0)}$ . Функция $y = \psi\circ\varphi^{-1}$ , и $\psi$ дифференцируема в точке $t_0 = \varphi^{-1}(x_0)$ , поэтому по теореме о производной сложной функции

y'_x(x_0) = \psi'(t_0)\cdot\frac1{\varphi'(t_0)}.

Пункт 2. По пункту 1, применённому в каждой точке $t\in T$ , производная $y'_x$ как функция от $x$ задана параметрически: $x = \varphi(t)$ , $y'_x = \chi(t)$ , где $\chi(t) = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ . По правилу дифференцирования частного $\chi$ дифференцируема в точке $t_0$ и $\chi'(t_0) = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^2}(t_0)$ . Применяя пункт 1 к паре $(\varphi, \chi)$ , получаем

y''_{xx}(x_0) = \frac{\chi'(t_0)}{\varphi'(t_0)} = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

Пункт 3. Функция $G$ тождественно равна нулю на $X$ , поэтому все её приращения равны нулю и $G'(x) = 0$ . С другой стороны, $G'$ вычисляется по правилам дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции (с внутренней функцией $y(x)$ ). Линейность относительно $y'$ проверяется индукцией по построению выражения: $x' = 0\cdot y' + 1$ и $(y)' = 1\cdot y' + 0$ линейны; если $A' = P_Ay' + Q_A$ и $B' = P_By' + Q_B$ , то $(A\pm B)'$ , $(AB)' = A'B + AB'$ , $\left(\frac AB\right)' = \frac{A'B - AB'}{B^2}$ и $(\omega(A))' = \omega'(A)A'$ — снова линейные выражения относительно $y'$ . Разрешая $Py' + Q = 0$ там, где $P\ne 0$ , находим $y'$ . $\blacksquare$

Замечание

Вторую производную неявной функции находят, дифференцируя равенство $G'(x) = 0$ ещё раз (считая $y$ и $y'$ функциями от $x$ ) и подставляя найденное $y'$ .

Производные основных элементарных функций

Формулировка

В каждой точке области определения (с указанными ограничениями) справедливы формулы:

$(C)' = 0$ ; $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ при $x > 0$ , $\alpha\in\mathbb R$ (при $\alpha\in\mathbb N$ — при всех $x$ , при целых $\alpha < 0$ — при $x\ne 0$ ; если $\alpha = \frac pq$ с нечётным $q$ , то и при $x < 0$ );
$(a^x)' = a^x\ln a$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), $(e^x)' = e^x$ ;
$(\log_ax)' = \frac1{x\ln a}$ , $(\ln x)' = \frac1x$ ( $x > 0$ ); $(\ln|x|)' = \frac1x$ ( $x\ne 0$ );
$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg}x)' = \frac1{\cos^2x}$ ( $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ ), $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac1{\sin^2x}$ ( $x\ne\pi k$ );
$(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ , $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ ( $|x| < 1$ ); $(\operatorname{arctg}x)' = \frac1{1 + x^2}$ , $(\operatorname{arcctg}x)' = -\frac1{1 + x^2}$ ;
$(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \operatorname{sh}x$ , $(\operatorname{th}x)' = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ ( $x\ne 0$ ).

Доказательство

Развернуть

Степенная функция при $x > 0$ . Положим $t = \frac{\Delta x}{x}$ ; тогда $t\to 0$ , $t\ne 0$ при $\Delta x\to 0$ , $\Delta x\ne 0$ , и

\frac{(x + \Delta x)^\alpha - x^\alpha}{\Delta x} = x^{\alpha - 1}\cdot\frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t}\to\alpha x^{\alpha - 1}

по следствию второго замечательного предела $\frac{(1 + t)^\mu - 1}{t}\to\mu$ и теореме о пределе сложной функции. Для $\alpha\in\mathbb N$ при всех $x$ и для целых $\alpha < 0$ при $x\ne 0$ формула доказана в следствиях правил дифференцирования; постоянная имеет нулевое приращение. Если $\alpha = \frac pq$ , $q$ нечётно, $x < 0$ , то $x^\alpha = (-1)^p(-x)^\alpha$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(x^\alpha)' = (-1)^{p+1}\alpha(-x)^{\alpha - 1}$ ; так как $q$ нечётно, $x^{\alpha - 1} = x^{(p - q)/q} = (-1)^{p - q}(-x)^{\alpha - 1} = (-1)^{p + 1}(-x)^{\alpha - 1}$ , т. е. снова $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ .

Показательная функция: $\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} = a^x\cdot\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\to a^x\ln a$ по следствию второго замечательного предела; при $a = e$ получаем $e^x$ .

Логарифм, $x > 0$ : при $t = \frac{\Delta x}{x}$

\frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_ax}{\Delta x} = \frac1x\cdot\frac{\ln(1 + t)}{t\ln a}\to\frac1{x\ln a},

так как $\frac{\ln(1 + t)}{t}\to 1$ . При $x < 0$ : $\ln|x| = \ln(-x)$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $(\ln(-x))' = \frac1{-x}\cdot(-1) = \frac1x$ .

Синус и косинус: по формулам разности

\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\cos\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to\cos x,

\frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = -\frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\sin\left(x + \frac{\Delta x}2\right)\to-\sin x

по первому замечательному пределу и непрерывности $\sin$ , $\cos$ .

Тангенс и котангенс — по правилу дифференцирования частного: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2x} = \frac1{\cos^2x}$ , $(\operatorname{ctg}x)' = \frac{-\sin^2x - \cos^2x}{\sin^2x} = -\frac1{\sin^2x}$ .

Обратные тригонометрические функции — по теореме о производной обратной функции. Функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает на $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ ; при $|x| < 1$ точка $y = \arcsin x$ внутренняя и $(\sin y)' = \cos y > 0$ , поэтому $(\arcsin x)' = \frac1{\cos y} = \frac1{\sqrt{1 - \sin^2y}} = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \arccos x\in(0, \pi)$ : $(\cos y)' = -\sin y < 0$ , $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$ , откуда $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}$ . Для $y = \operatorname{arctg}x\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ : $(\operatorname{arctg}x)' = \cos^2y = \frac1{1 + \operatorname{tg}^2y} = \frac1{1 + x^2}$ . Для $y = \operatorname{arcctg}x\in(0, \pi)$ : $(\operatorname{arcctg}x)' = -\sin^2y = -\frac1{1 + \operatorname{ctg}^2y} = -\frac1{1 + x^2}$ .

Гиперболические функции. По правилу дифференцирования сложной функции $(e^{-x})' = -e^{-x}$ , поэтому $(\operatorname{sh}x)' = \frac{e^x + e^{-x}}2 = \operatorname{ch}x$ , $(\operatorname{ch}x)' = \frac{e^x - e^{-x}}2 = \operatorname{sh}x$ . По правилу частного и тождеству $\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x = 1$ : $(\operatorname{th}x)' = \frac{\operatorname{ch}^2x - \operatorname{sh}^2x}{\operatorname{ch}^2x} = \frac1{\operatorname{ch}^2x}$ , $(\operatorname{cth}x)' = \frac{\operatorname{sh}^2x - \operatorname{ch}^2x}{\operatorname{sh}^2x} = -\frac1{\operatorname{sh}^2x}$ . $\blacksquare$

Теорема Коши об обобщённых конечных приращениях

Формулировка

Пусть функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a, b]$ , дифференцируемы на интервале $(a, b)$ и $g'(x)\ne 0$ для всех $x\in(a, b)$ . Тогда $g(b)\ne g(a)$ и существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

Частный случай $g(x) = x$ — теорема Лагранжа.

Геометрический смысл: для кривой, заданной параметрически $x = g(t)$ , $y = f(t)$ , $t\in[a, b]$ , левая часть — угловой коэффициент хорды, соединяющей концы кривой, а правая — угловой коэффициент касательной в точке, отвечающей $t = c$ ; на кривой есть точка, где касательная параллельна хорде.

Замечание. Теорему нельзя получить, применив теорему Лагранжа отдельно к числителю и знаменателю: при этом получились бы, вообще говоря, разные точки $c_1$ и $c_2$ .

Доказательство

Развернуть

Если бы $g(b) = g(a)$ , то по теореме Ролля нашлась бы точка из $(a, b)$ , в которой $g' = 0$ , что противоречит условию. Следовательно, $g(b)\ne g(a)$ , и число

\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

определено.

Рассмотрим функцию $\varphi(x) = f(x) - \lambda g(x)$ . Она непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , причём $\varphi'(x) = f'(x) - \lambda g'(x)$ .

Проверим равенство значений на концах:

\varphi(b) - \varphi(a) = f(b) - f(a) - \lambda\bigl(g(b) - g(a)\bigr) = 0.

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \lambda g'(c)$ . Поскольку $g'(c)\ne 0$ , получаем $\lambda = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ . $\blacksquare$

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Если положить $a = x_0$ , $b = x_0 + \Delta x$ (допускается и $\Delta x < 0$ ), то получится формула конечных приращений

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta\Delta x)\,\Delta x,\qquad 0 < \theta < 1.

В отличие от приближённого равенства $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ она точна, но содержит неизвестную промежуточную точку.

Геометрический смысл: отношение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ графика; на дуге $AB$ есть точка $(c, f(c))$ , в которой касательная параллельна хорде $AB$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим вспомогательную функцию — разность между $f$ и линейной функцией, график которой есть хорда $AB$ :

\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Функция $\varphi$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ как разность таких функций, причём

\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Непосредственно проверяется, что $\varphi(a) = 0$ и $\varphi(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0$ .

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , что равносильно доказываемому равенству.

Формула конечных приращений получается применением доказанного к отрезку с концами $x_0$ и $x_0 + \Delta x$ : точка $c$ , лежащая строго между ними, записывается в виде $c = x_0 + \theta\Delta x$ с $\theta\in(0, 1)$ (равенство симметрично относительно перестановки концов, поэтому годится и $\Delta x < 0$ ). $\blacksquare$

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Формулировка

Пусть функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ . Тогда при $x\to a$

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr),

т.е. остаточный член $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ есть $o\bigl((x - a)^n\bigr)$ (остаточный член в форме Пеано).

В терминах приращений ( $h = x - a = dx$ , $d^kf(a) = f^{(k)}(a)\,dx^k$ ):

f(a + h) - f(a) = df(a) + \frac{d^2f(a)}{2!} + \ldots + \frac{d^nf(a)}{n!} + o(h^n),\qquad h\to 0.

При $n = 1$ это определение дифференцируемости: $\Delta f = f'(a)h + o(h)$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим $\varphi(x) = R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ . Многочлен $P_n$ бесконечно дифференцируем, поэтому $\varphi$ , как разность, $n$ раз дифференцируема в точке $a$ , и $\varphi^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) - P_n^{(k)}(a)$ .

По формуле Тейлора для многочленов (п. 2) $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ при $k = 0, 1, \ldots, n$ . Следовательно,

\varphi(a) = \varphi'(a) = \ldots = \varphi^{(n)}(a) = 0.

По лемме о функции с нулевыми производными в точке $\varphi(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ при $x\to a$ , т.е. $R_n(x) = o\bigl((x - a)^n\bigr)$ , что и требовалось. Запись в дифференциалах получается подстановкой $x = a + h$ и $f^{(k)}(a)h^k = d^kf(a)$ . $\blacksquare$

Формула Тейлора для многочленов

Формулировка

Всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ при любом $a\in\mathbb R$ раскладывается по степеням $x - a$ , причём коэффициенты разложения однозначно определяются производными $P$ в точке $a$ :

P(x) = \sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k.

Иначе говоря, для многочлена степени $n$ остаточный член $R_n$ формулы Тейлора тождественно равен нулю. 2. Если $Q(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ , то $Q^{(k)}(a) = k!\,c_k$ при $0\le k\le n$ и $Q^{(k)}\equiv 0$ при $k > n$ . В частности, многочлен Тейлора $P_n$ функции $f$ удовлетворяет условиям $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ , $k = 0, \ldots, n$ .

Доказательство

Развернуть

Существование разложения. Запишем $P(x) = \sum_{j=0}^nb_jx^j$ и подставим $x = a + (x - a)$ . По формуле бинома Ньютона

x^j = \bigl(a + (x - a)\bigr)^j = \sum_{m=0}^jC_j^ma^{j - m}(x - a)^m,

и после приведения подобных $P(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ с некоторыми числами $c_m$ (причём $c_n = b_n\ne 0$ ).

Производные степеней. По формуле для производных высших порядков степенной функции (и правилу дифференцирования сложной функции с линейной внутренней функцией)

\bigl((x - a)^m\bigr)^{(k)} = \begin{cases}\dfrac{m!}{(m - k)!}(x - a)^{m - k}, & k\le m,\\[2mm] 0, & k > m.\end{cases}

Вычисление коэффициентов. Дифференцируя сумму $Q(x) = \sum_{m=0}^nc_m(x - a)^m$ почленно $k$ раз (производная суммы равна сумме производных) и подставляя $x = a$ , получаем, что все слагаемые с $m > k$ обращаются в нуль (содержат множитель $(x - a)^{m - k}$ ), слагаемые с $m < k$ — тождественный нуль, а слагаемое с $m = k$ даёт $k!\,c_k$ . Итак, $Q^{(k)}(a) = k!\,c_k$ , т.е. $c_k = \frac{Q^{(k)}(a)}{k!}$ ; при $k > n$ все слагаемые дают нуль. Это доказывает п. 2.

Применяя п. 2 к разложению $P(x) = \sum c_m(x - a)^m$ , получаем $c_k = \frac{P^{(k)}(a)}{k!}$ , что доказывает формулу п. 1 и однозначность коэффициентов. Применяя п. 2 к $P_n(x) = \sum\frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x - a)^m$ , находим $P_n^{(k)}(a) = k!\cdot\frac{f^{(k)}(a)}{k!} = f^{(k)}(a)$ . $\blacksquare$

Принцип математической индукции

Формулировка

Пусть $\mathbb N = \{1, 2, 3,\dots\}$ и выполнен принцип наименьшего элемента: всякое непустое подмножество $\mathbb N$ имеет наименьший элемент (основное свойство натуральных чисел; при аксиоматическом построении $\mathbb R$ оно выводится из определения $\mathbb N$ как наименьшего индуктивного множества). Пусть $P(n)$ — предикат на $\mathbb N$ .

(Принцип индукции.) Если $P(1)$ истинно (база) и для любого $n\in\mathbb N$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ (шаг), то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ :

\Bigl(P(1)\land\forall n\in\mathbb N\ \bigl(P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr)\Bigr)\Rightarrow\forall n\in\mathbb N\ \ P(n).

(Индукция с базой $n_0$ .) Пусть $n_0\in\mathbb Z$ и $P(n)$ — предикат на множестве целых $n\ge n_0$ . Если $P(n_0)$ истинно и для любого целого $n\ge n_0$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех целых $n\ge n_0$ .
(Полная индукция.) Если $P(1)$ истинно и для любого $n\in\mathbb N$ из истинности $P(1),\dots,P(n)$ следует истинность $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Рассуждаем от противного. Пусть множество $M = \{n\in\mathbb N:\ P(n)\ \text{ложно}\}$ непусто. По принципу наименьшего элемента в $M$ есть наименьший элемент $m$ .

Так как $P(1)$ истинно, $m\ne 1$ , поэтому $m\ge 2$ и $m - 1\in\mathbb N$ . Поскольку $m - 1 < m$ и $m$ — наименьший элемент $M$ , имеем $m - 1\notin M$ , т. е. $P(m - 1)$ истинно.

По условию шага из $P(m-1)$ следует $P(m)$ , т. е. $P(m)$ истинно, что противоречит $m\in M$ . Значит, $M = \varnothing$ , и $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Пункт 2. Положим $Q(k) = P(n_0 + k - 1)$ , $k\in\mathbb N$ . Тогда $Q(1) = P(n_0)$ истинно, а при любом $k\in\mathbb N$ число $n = n_0 + k - 1\ge n_0$ , и из $Q(k) = P(n)$ следует $P(n + 1) = Q(k+1)$ . По пункту 1 $Q(k)$ истинно при всех $k$ . Любое целое $n\ge n_0$ имеет вид $n_0 + k - 1$ с $k = n - n_0 + 1\in\mathbb N$ , поэтому $P(n)$ истинно.

Пункт 3. Положим $Q(n) = P(1)\land P(2)\land\ldots\land P(n)$ . Тогда $Q(1) = P(1)$ истинно. Если $Q(n)$ истинно, то по условию истинно $P(n+1)$ , а значит, и $Q(n+1) = Q(n)\land P(n+1)$ . По пункту 1 $Q(n)$ истинно при всех $n$ , откуда истинно и каждое $P(n)$ . $\blacksquare$

Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\overline{\mathbb R}$ — предельная точка $X$ , $A\in\overline{\mathbb R}$ . Тогда $A$ является пределом $f$ при $x\to a$ по Коши тогда и только тогда, когда $A$ является пределом $f$ при $x\to a$ по Гейне.

Доказательство

Развернуть

Будем пользоваться языком окрестностей: $x_n\to a$ означает, что $\forall\delta > 0\ \exists N\ \forall n > N$ : $x_n\in U_\delta(a)$ ; это охватывает и конечные, и бесконечные $a$ .

Коши $\Rightarrow$ Гейне. Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ по Коши, и $(x_n)$ — последовательность с $x_n\in X$ , $x_n\ne a$ , $x_n\to a$ . Возьмём $\varepsilon > 0$ и по определению Коши найдём $\delta > 0$ с $f(\dot U_\delta(a)\cap X)\subset U_\varepsilon(A)$ . Так как $x_n\to a$ , существует $N$ такое, что $x_n\in U_\delta(a)$ при $n > N$ ; поскольку $x_n\ne a$ и $x_n\in X$ , имеем $x_n\in\dot U_\delta(a)\cap X$ , откуда $f(x_n)\in U_\varepsilon(A)$ при $n > N$ . Значит, $f(x_n)\to A$ .

Гейне $\Rightarrow$ Коши. Докажем от противного. Пусть $A$ — предел по Гейне, но не по Коши. Построив отрицание определения Коши, получим:

\exists\varepsilon_0 > 0\ \forall\delta > 0\ \exists x\in\dot U_\delta(a)\cap X:\quad f(x)\notin U_{\varepsilon_0}(A).

Применим это при $\delta = \frac1n$ , $n\in\mathbb N$ : найдутся точки $x_n\in\dot U_{1/n}(a)\cap X$ с $f(x_n)\notin U_{\varepsilon_0}(A)$ . По построению $x_n\in X$ и $x_n\ne a$ .

Проверим, что $x_n\to a$ . Пусть дано $\delta > 0$ ; по следствию принципа Архимеда найдётся $N$ с $\frac1N < \delta$ . Окрестности $U_\eta(a)$ вложены друг в друга при уменьшении $\eta$ (для конечного $a$ это интервалы $(a - \eta, a + \eta)$ , для $a = +\infty$ — лучи $(\frac1\eta, +\infty)$ , и т. д.), поэтому при $n > N$ имеем $x_n\in U_{1/n}(a)\subset U_\delta(a)$ .

Итак, $(x_n)$ удовлетворяет условиям определения Гейне, но $f(x_n)\notin U_{\varepsilon_0}(A)$ ни при каком $n$ , т. е. $f(x_n)\not\to A$ . Это противоречит тому, что $A$ — предел по Гейне. Значит, $A$ — предел и по Коши. $\blacksquare$

Свойства бесконечно малых функций

Формулировка

Пусть все функции определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , и рассматривается процесс $x\to a$ .

Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
Произведение б.м. на локально ограниченную при $x\to a$ функцию (в частности, на постоянную) есть б.м.
Произведение конечного числа б.м. есть б.м.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\alpha, \beta$ — б.м., $\varepsilon > 0$ . Найдутся $\delta_1, \delta_2 > 0$ такие, что $|\alpha(x)| < \frac\varepsilon2$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ и $|\beta(x)| < \frac\varepsilon2$ при $x\in\dot U_{\delta_2}(a)\cap X$ . При $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ и $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ имеем

|\alpha(x) + \beta(x)|\le |\alpha(x)| + |\beta(x)| < \varepsilon .

Для $k$ слагаемых утверждение получается индукцией по $k$ : $\alpha_1 + \dots + \alpha_{k + 1} = (\alpha_1 + \dots + \alpha_k) + \alpha_{k + 1}$ .

Пусть $\alpha$ — б.м., а $|g(x)|\le M$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ , причём можно считать $M > 0$ . Для $\varepsilon > 0$ найдём $\delta_1 > 0$ с $|\alpha(x)| < \frac\varepsilon M$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ . При $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ и $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ получаем $|\alpha(x)g(x)| < \frac\varepsilon M\cdot M = \varepsilon$ . Постоянная функция, очевидно, локально ограничена.
Б.м. $\beta$ имеет конечный предел $0$ , поэтому по теореме о локальной ограниченности она локально ограничена. По п. 2 произведение $\alpha\beta$ — б.м. Для $k$ сомножителей — индукция по $k$ . $\blacksquare$

Предел сложной функции (замена переменной в пределе)

Формулировка

Пусть $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to\mathbb R$ , $a$ — предельная точка $X$ , $b$ — предельная точка $Y$ ( $a, b, B\in\overline{\mathbb R}$ ), и

\lim_{x\to a}f(x) = b,\qquad \lim_{y\to b}g(y) = B .

Пусть выполнено одно из условий:

(а) существует $\delta_0 > 0$ такое, что $f(x)\ne b$ для всех $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (при бесконечном $b$ это выполнено автоматически);
(б) $b\in Y$ и $g(b) = B$ .

Тогда

\lim_{x\to a}g(f(x)) = B .

Доказательство

Развернуть

Пусть дано $\varepsilon > 0$ . Так как $g(y)\to B$ при $y\to b$ , найдётся $\eta > 0$ такое, что $g(y)\in U_\varepsilon(B)$ для всех $y\in\dot U_\eta(b)\cap Y$ .

Так как $f(x)\to b$ при $x\to a$ , для этого $\eta$ найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $f(x)\in U_\eta(b)$ для всех $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ .

В случае (а) положим $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ . Для $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ имеем $f(x)\in U_\eta(b)\cap Y$ и $f(x)\ne b$ , т. е. $f(x)\in\dot U_\eta(b)\cap Y$ , поэтому $g(f(x))\in U_\varepsilon(B)$ .

В случае (б) положим $\delta = \delta_1$ . Для $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ либо $f(x)\ne b$ , и тогда, как выше, $g(f(x))\in U_\varepsilon(B)$ ; либо $f(x) = b$ , и тогда $g(f(x)) = g(b) = B\in U_\varepsilon(B)$ .

В обоих случаях $g(f(\dot U_\delta(a)\cap X))\subset U_\varepsilon(B)$ , что и означает $g(f(x))\to B$ при $x\to a$ . Если $b$ бесконечно, то $f(x)\in\mathbb R$ не может равняться $b$ , так что (а) выполнено с любым $\delta_0$ .

Замечание: без условий (а), (б) теорема неверна. Пусть $f(x)\equiv 0$ , $g(y) = 1$ при $y\ne 0$ , $g(0) = 0$ . Тогда $f\to 0$ при $x\to 0$ , $g(y)\to 1$ при $y\to 0$ , но $g(f(x))\equiv 0\to 0\ne 1$ . $\blacksquare$

Производная. Дифференцируемость функции

Существование производной и односторонние производные

Формулировка

Доказательство

Замечание

Геометрический смысл производной

Формулировка

Доказательство

Замечание

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной

Формулировка

Доказательство

Замечание

Непрерывность дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство

Замечания

Производная суммы, разности, произведения и частного

Формулировка

Доказательство

Следствия правил дифференцирования. Производная степени и многочлена

Формулировка

Доказательство

Производная по определению

Условие

Решение

Дифференцируемость функций с модулем

Условие

Решение

Непрерывность и дифференцируемость функции |x|^α sin(1/x)

Условие

Решение

Уравнения касательной и нормали

Условие

Решение

Касательные через внешнюю точку. Угол между кривыми

Условие

Решение

Дифференцируемость суммы и произведения. Контрпримеры

Условие

Решение

Подбор параметров для дифференцируемости. Симметричная производная

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Производная функции в точке

Односторонние производные

Касательная и нормаль к графику функции

Дифференцируемая функция

Односторонние пределы

Сравнение бесконечно малых. Символ «о малое»

Непрерывность функции в точке

Связь двустороннего предела с односторонними

Формулировка

Доказательство

Теорема Ферма

Формулировка

Доказательство

Следствия теоремы Лагранжа

Формулировка

Доказательство

Непрерывность сложной функции. Предельный переход под знаком непрерывной функции

Формулировка

Доказательство

Непрерывность основных элементарных функций

Формулировка

Доказательство

Связь выпуклости с положением касательной

Формулировка

Доказательство

Связь производной и дифференциала

Формулировка

Доказательство

Замечание

Связь функции, её предела и бесконечно малой

Формулировка

Доказательство

Единственность предела функции

Формулировка